05 int linha
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AM2
Linha
Vectortangente erecta tangente
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo escalar
Integrais de LinhaAnalise Matematica 2
Sandra Gaspar [email protected]
2o Semestre 2011/12versao de 16 de Maio de 2012
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Vectortangente erecta tangente
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo escalar
Quais destas linhas sao graficos de funcoes?(Cada objecto tem uma so imagem.)
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Vectortangente erecta tangente
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo escalar
Equacoes parametricas da curva Cde R2
Definicao
Seja C uma curva/linha de R2 tal que{x = f (t)y = g(t)
, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,
com f e g funcoes contınuas em I. A t chama-se a variavel ouparametro.
A orientacao da curva C corresponde ao sentido definido pelosvalores crescentes de t no intervalo I .
Ao ponto (x , y) correspondente a t = 0 chama-se origem ouponto de partida e ao correspondente a t = b chama-seextremidade ou ponto de chegada da curva.
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Vectortangente erecta tangente
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo escalar
Outra forma de descrever a curva C e utilizando funcoesvectoriais:
~r : I = [a, b] −→ R2
t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t))
~r(a) e a origem ou ponto de partida e~r(b) e a extremidade ou ponto de chegada de C.
Exemplo: Represente geometricamente a curva C:
~r : [−1, 1] −→ R2
t 7−→ ~r(t) = (t, t2)
ou seja, {x = ty = t2
, t ∈ I = [−1, 1]
ou seja,
~r(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 1] 3/24
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Exercıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2]
2 ~r(t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, π]
3 ~r(t) = (t,√t), t ∈ [0, 9]
4 ~r(t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5]
5 ~r(t) = (t, t), t ∈ [0, 2]
6 ~r(t) = (t,−t), t ∈ [0, 2]
7 ~r(t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1]
8 ~r(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2]
9 ~r(t) = (t + 1, t2 + 3), t ∈ [0, 2]
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Integral delinha decampo escalar
Exercıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2π]
2 ~r(t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, π]
3 ~r(t) = (cos(t)− 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, π2 ]
4 ~r(t) = (sin(t), cos(t)), t ∈ [0, 2π]
5 ~r(t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [π, 2π]
6 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−π, π3 ]
7 ~r(t) = (cos(t)− 4, sin(t) + 2), t ∈ [−π2 , 0]
8 ~r(t) = (2 sin(t), 2 cos(t)), t ∈ [0, π]
9 ~r(t) = (sin(t)− 1, cos(t) + 3), t ∈ [π2 , 2π]
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Integral delinha decampo escalar
Definicao
Uma parametrizacao de um segmento de recta com origemem A e extremidade em B, pode ser:
~r(t) = A + t( ~AB), t ∈ [0, 1].
Definicao
Seja C uma curva dada pelo caminho ~r(t), t ∈ [a, b] comorigem em A = ~r(A) e extremidade em B = ~r(B). A curva −C(com origem em B e extremidade em A) e dada pelo caminhoinverso de ~r , ~r∗, obtem-se se ~r substituindo t por −t, ou seja,
~r∗(t) = ~r(−t), t ∈ [−b,−a]
.Exemplo: Parametrize o segmento de recta de R2 que comecaem (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso.
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Exercıcios I
Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas:
1 O segmento de recta que comeca em (1,2) e termina em(-1,-3).
2 A parte da recta y = 2x para x ∈ [−2, 3].
3 A parte do grafico da funcao f (x) = ex2 − 1 para
x ∈ [0, 1].
4 As linhas que se seguem:
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Exercıcios II
Nota: Repare que a parametrizacao nao e unica.
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Equacoes parametricas da curva Cde R3
Definicao
Seja C uma curva/linha de R3 tal quex = f (t)y = g(t)z = h(t)
, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,
ou seja,
~r : I = [a, b] −→ R3
t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t), h(t))
ou seja,
~r(t) = (f (t), g(t), h(t)), t ∈ [a, b]
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Integral delinha decampo escalar
Exercıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1]
2 ~r(t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3]
3 ~r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2]
4 ~r(t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2π]
5 Helice circular:~r(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π]
6 Helice elıptica:~r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π]
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Exercıcios
Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte querepresenta o cilindro
{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}
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Classificacao de curvas
Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].A curva C diz-se fechada se a origem coincide com aextremidade, ou seja, ~r(a) = ~r(b). Caso contrario a curvadiz-se aberta.
A curva C diz-se simples se nao se intersecta a si propria(excluindo a origem e a extremidade).
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ExemploClassifique a curva
~r(t) = (sin(t), sin(2t)), t ∈[−π
2,
3π
2
]
Nota: Curvas de Lissajous1
~r(t) = (sin(nt), sin(mt)), m, n ∈ N
1http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve13/24
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Vector tangente e recta tangente
Definicao
Seja C uma curva de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Designa-se por vector tangente a curva C no pontoP0 = ~r(t0) a derivada
~r ′(t0) = limh→0
~r(t0 + h)−~r(t0)
h, t0 ∈]a, b[
quando existe e e nao nula.
A recta tangente a curva em P0 = ~r(t0) e dada por:
~rT (t) = ~r(t0) + t~r ′(t0), t ∈ R
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Integral delinha decampo escalar
1 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (−1, 0), ao longo de uma circunferencia de equacao
x2 + y2 = 1
em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao darecta tangente a curva no ponto (0,1).
2 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (0, 2), ao longo de uma elipse de equacao
x2 +y2
4= 1
em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao darecta tangente a curva no ponto correspondente a t = π
4 .
3 Determine a recta tangente a curva representada pelafuncao
~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t)
no ponto t0 = π4 .
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Definicao
Uma curva C de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b] diz-se regularse a derivada ~r ′(t) existe e e contınua (o que significa que~r(t) ∈ C 1) e nao nula em ]a, b[.
C e seccionalmente regular se se puder dividir num numerofinito de curvas regulares.
Nota: Se um caminho e regular, a curva por ele descrita naoapresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evoluisem variacoes bruscas de direccao ou sentido.
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Aplicacoes
Se ~r(t) der origem a uma curva que traduz o movimento deum corpo ou partıcula, ~r ′(t) correspondera ao vectorvelocidade, ou seja,
~v(t) = ~r ′(t).
O vector aceleracao sera
~a(t) = ~v ′(t) = ~r ′′(t).
Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de umacurva C dada por
~r(t) = (t − 2, t2).
Determine os vectores velocidade e aceleracao nos instantest = 0 e t = 1. Represente-os.
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Comprimento de uma linha
Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Chamamos comprimento da linha/curva C com origem emA = ~r(a) e extremidade B = ~r(b) ao integral
lC =
∫ b
a
∥∥~r ′(t)∥∥ dt
Definicao
Uma curva diz-se rectificavel se tiver comprimento finito.
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Exercıcios1 Prove que o perımetro de uma circunferencia de raio R e
2πR.2 Determine k de modo que o comprimento da recta
y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2.3 Considere
~r(t) = 4 sin(t)~e1 + 3t ~e2 + 4 cos(t)~e3, t ∈ [0, π]
Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5π)4 Determine o comprimento da curva C de equacoes
parametricas {x = et cos(t)y = et sin(t)
, t ∈[0,π
2
]5 Determine o comprimento do arco de curva dado por
x = aet cos(t)y = aet sin(t)
z = aet
desde (a, o, a) ate (−aeπ, 0, aeπ). R:√
3a(eπ − 1)19/24
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Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar contınuo cujodomınio Df contem todos os pontos da curva CChamamos integral de linha do campo escalar f ao longo dacurva C ao integral∫
Cf dS =
∫ b
af (~r(t))
∥∥~r ′(t)∥∥ dt
Notas:
S e o comprimento infinitesimo do arco, ou seja,S =
∫‖~r ′(t)‖ dt logo dS
dt = ‖~r ′(t)‖ portantodS = ‖~r ′(t)‖ dtQuando a curva e fechada o integral de linha representa-sepor ∮
Cf dS
e designa-se por circulacao.Este integral nao depende da parametrizacao escolhidapara C.
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Propriedades
Propriedades dos integrais de linha de campos escalares:Seja f e g campos escalares contınuos com Df ,Dg ⊂ Rn eC curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg .C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df .α, β ∈ R.
1 ∫Cαf + βg dS = α
∫Cf dS + β
∫Cg dS
2 ∫C1∪C2
f dS =
∫C1f dS +
∫C2f dS
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Exercıcios I
1 Calcule∫C f dS onde C e a linha da figura:
2 Calcule∫C y dS onde C e a meia circunferencia de raio 2
centrada na origem percorrida desde o ponto (2,0) ate aoponto (-2,0). (R: 8)
3 Calcule∫C 2√x − y dS onde C e o semento de recta com
origem em (0,0) e extremidade em (1,1). (R:5√2
6 )
4 Calcule∫C x + z dS onde C e o segmento de recta que tem
origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R:5√142 )
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Exercıcios II
5 Calcule∫C x + y + z dS onde C e a linha de equacao
parametrica x = cos(t)y = sin(t)z = t
entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2π).
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Integral delinha decampo escalar
Autora:Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:Nuno David Lopes
eCristina Januario
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