05. termômetro de resistência - Google Groups
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura
1
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 19 – TEMPERATURA
05. Um termômetro de resistência é aquele que utiliza a variação da resistência elétrica com a
temperatura de uma substância. Podemos definir as temperaturas medidas por esse termômetro,
em Kelvins (K), como sendo diretamente proporcionais às resistência R, medida ohms ( ). Um
certo termômetro de resistência, quando seu bulbo é colocado na água à temperatura do ponto
triplo (273,16 K), tem uma resistência R de 90, 35 . Qual a leitura do termômetro, quando sua
resistência for 96,28 ?
(Pág. 180)
Solução.
Para um termômetro de resistência, a temperatura medida em função da resistência é dada pela Eq.
(1),
kRT R)( (1)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Nesse termômetro, a temperatura do ponto tríplice da
água (T3) é dada por (2), onde R3 é a medida da resistência no mesmo ponto tríplice.
3)(3 3kRTT R (2)
Dividindo-se (1) por (2):
33
)(
R
R
T
T R
( ) 3
3
96,28 273,16 K 291,088 K
90,35 R
RT T
R
K 1,291T
06. Dois termômetros de gás a volume constante são usados em conjunto. Um deles usa nitrogênio e
o outro, hidrogênio. A pressão de gás em ambos os bulbos é p3 = 80 mmHg. Qual é a diferença
da pressão nos dois termômetros, se colocarmos ambos em água fervendo? Em qual dos
termômetros a pressão será mais alta?
(Pág. 180)
Solução.
Este problema deve ser resolvido com o auxílio do gráfico apresentado na Fig. 19-6 (pág. 173).
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2
(a) A Fig. 19-6 mostra que um termômetro de gás a volume constante que usa H2 como substância
termométrica a uma pressão de 80 mmHg, mede uma temperatura para a água fervente
aproximadamente igual 2H 373,15 KT . Usando-se N2 à mesma pressão, a medida da temperatura
será 2N 373,35 KT . Para um termômetro de gás a volume constante, vale a seguinte relação:
3
273,16 Kp
Tp
Logo:
2
2
H
H
3
273,16 Kp
Tp
2
2
3 H
H273,16 K
p Tp (1)
De maneira idêntica, temos:
2
2
3 N
N273,16 K
p Tp (2)
Fazendo-se (2) (1):
2 2 2 2
3N H N H
273,16 K
pp p p T T
80 mmHg
373,35 K 373,15 K 0,058573 mmHg273,16 K
p
0,059 mmHgp
(b) A pressão será mais alta no termômetro de N2, pois 2 2N HT T . Isto se deve ao fato de o N2 ter
um comportamento menos ideal do que o N2.
08. Um termistor é um componente semicondutor cuja resistência elétrica depende da temperatura.
Costuma ser usado em terrmômetros clínicos e também para detectar superaquecimento em
equipamentos eletrônicos. Dentro de uma faixa limitada de temperatura, a resistência é dada por
1/ 1/ aB T T
aR R e ,
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onde R é a resistência do termistor à temperatura T e Ra é a resistência à temperatura Ta; B é
uma constante que depende do material semicondutor utilizado. Para um tipo de termistor, B =
4.689 K, e a resistência a 273 K é 1,00 × 104 . Que temperatura o termistor mede quando sua
resistência é 100 ?
(Pág. 180)
Solução.
A resistência do termístor (R) em função da temperatura (T) é dada por:
)/1/1(
)(aTTB
aT eRR
Aplicando-se logaritmo natural, têm-se:
eTT
BRRRa
aT ln11
lnlnln )(
B
RR
TT
a
a
lnln11
11
4
100 1 1 1 1ln ln 373,0116 K
4.689 K 273 K1,00 10 a a
RT
B R T
K 373T
10. A que temperatura a escala Fahrenheit indica uma leitura igual a (a) duas vezes a da escala
Celsius e (b) metade da escala Celsius?
(Pág. 180)
Solução.
(a) O enunciado exige que:
2F CT T
A regra de conversão da escala Celsius para Fahrenheit é:
9
325
F CT T
Logo:
9
325 2
FF
TT
o320 FFT
(b) Agora o enunciado exige que:
2
CF
TT
Logo:
9
2 325
F FT T
o12,3076 FFT
o12 FFT
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14. A que temperatura os seguintes pares de escalas dão a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius
(veja Tabela 19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin?
(Pág. 180)
Solução.
(a)
F C
932
5T T
F=C F=C
932
5T T
F=C 40T
(b)
F C
932
5T T
F K
9273,15 32
5T T
F=K F=K
9273,15 32
5T T
F=K 574,5875T
F=K 575T
(c)
C K 273,15T T
C=K C=K 273,15T T
A equação acima não tem solução. Logo, as escalas Celsius e Kelvin nunca apresentam a mesma leitura.
15. Suponha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -53,5oX e congele a -170
oX. Qual o
valor de 340 K, na escala X?
(Pág. 180)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
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Comparando-se as escalas X e Kelvin, pode-se afirmar que:
X
53,5 X 170 X 373,15 K 273,15 K
373,15 K 340 K53,5 X T
X
116,5 X 100 K
33,15 K53,5 X T
X 92,11975 XT
X 92,1 XT
26. Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioativos
aumentou a temperatura interna média de 300 para 3.000 K, que é, aproximadamente, o valor
atual. Supondo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3,0 105 K
1, de quanto
aumentou o raio da Terra, desde a sua formação?
(Pág. 181)
Solução.
A razão entre o raio inicial da Terra R0 e o raio atual R pode ser calculado a partir da variação do volume da Terra, que é dada por:
0 0V V V V T
0 1V V T
0
1V
TV
33
33 00
4
3 14
3
RR
TR
R
1/31/3 5 1
0
1 3,0 10 K 2.700 K 1 1,026302R
TR
01,026302
RR
Logo:
53,5o
170o
Escala X
TX
373,15 K
Escala Kelvin
340 K
273,15 K
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6
6
0
16,37 10 m 1 163.250,74 m
1,026302 1,026302
RR R R R
170 kmR
34. Uma caneca de alumínio de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22
oC. Quanta glicerina derramará,
se a temperatura do sistema subir para 28oC? (O coeficiente de dilatação da glicerina é = 5,1
104/oC.)
(Pág. 181)
Solução.
O volume de líquido derramado corresponderá à diferença entre o seu volume final e o volume final do recipiente. O volume final da caneca de alumínio VAl é:
Al 0 Al1 3V V T
O volume final da glicerina VGli é:
Gli 0 Gli1V V T
O volume derramado V será:
Gli Al 0 Gli 0 Al 0 Gli Al1 1 3 1 1 3V V V V T V T V T T
0 Gli Al3V V T
3 4 1 5 1 3100 cm 5,1 10 C 3 2,3 10 C 28 C 22 C 0,2646 cmV
30,26 cmV
36. Uma barra de aço a 25oC tem 3,00 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de
2,992 cm a 25oC. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra?
(Pág. 181)
Solução.
A solução do problema baseia-se em calcular separadamente os diâmetros finais da barra (db) e do anel (da) e igualá-los posteriormente. O diâmetro final do anel é:
a a0 a 01d d T T (1)
De forma semelhante, o diâmetro final da barra será:
b b0 b 01d d T T (2)
Igualando-se (1) e (2):
a0 a 0 b0 b 01 1d T T d T T
Resolvendo-se a equação acima para T:
b0 a0 a0 a b0 b 0
a0 a b0 b
d d d d TT
d d
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7
o 5o 1
5o 1 5o 1
o 5o 1
o
5o 1 5o 1
3,00 cm 2,992 cm 2,992 cm 25 C 1,9 10 C
2,992 cm 1,9 10 C 3,00 cm 1,1 10 C
3,00 cm 25 C 1,1 10 C 360,4579 C
2,992 cm 1,9 10 C 3,00 cm 1,1 10 C
T
C 360 oT
37. A área A de uma placa retangular é ab. O coeficiente de dilatação linear é . Depois de um
aumento de temperatura T, o lado a aumentou de a e b de b. Mostre que, desprezando a
quantidade pequena a b/ab (veja Fig. 19-15), A = 2 A T.
(Pág. 181)
Solução.
A grandeza procurada é:
0AAA (1)
A área da placa expandida, A, é dada por:
A a a b b (2)
Enquanto que a área da placa original, A0, é dada por:
abA0 (3)
Substituindo-se (2) e (3) em (1):
A a a b b ab (4)
Os valores de a e b são dados por:
Taa (5)
Tbb (6)
Substituindo-se (5) e (6) em (4):
A a a T b b T ab
Desenvolvendo-se a expressão acima, teremos:
abTabTababA 222
222 TabTabA
O termo 2ab T
2 pode ser identificado como sendo a b, que corresponde à área do pequeno
retângulo no extremo inferior direito da placa expandida. Esse termo é muito pequeno em
comparação a 2 ab T, e pode ser desprezado. Identificando o produto ab como a área A0, chega-se
ao final da demonstração:
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8
TAA 02
49. Um tubo de vidro vertical de 1,28 m está cheio até a metade com um líquido a 20oC. Qual a
variação da altura da coluna líquida, se aquecermos o tubo até 30oC? Considere vidro = 1,0
105/oC e líquido = 4,0 10
5/oC.
(Pág. 182)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
A variação da altura da coluna líquida H vale:
00
2
LH H H H (1)
Como L0 é conhecido, precisamos determinar H. Vamos começar o cálculo de H pela expressão do volume final do líquido, Vliq:
2
liqV R H
liq
2
VH
R (2)
Agora dependemos de Vliq, que pode ser obtido pela análise da expansão térmica do líquido:
liq liq,0 1V V T
Na expressão acima, Vliq,0 corresponde ao volume inicial do líquido. Logo:
2 2 0liq 0 0 01 1
2
LV R H T R T (3)
Substituindo-se (3) em (2):
2
0 0 12
R LH T
R (4)
A razão entre os raios do tubo antes (R0) e depois (R) da variação térmica pode ser obtida pela
análise da dilatação linear do tubo:
0 1R R T
Logo:
T0 T
L0
H
R0R
H L = 0 0/2
L
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9
0 0
0
1
1 1
R R
R R T T (5)
Substituindo-se (5) em (4):
0
2
1
2 1
TLH
T (6)
Finalmente, podemos substituir (6) em (1):
0 0 0
2 2
1 11
2 2 21 1
T TL L LH
T T
5o 1 o
25o 1 o
1 4,0 10 C 10 C1, 28 mm1 0,1279 mm
2 1 1,0 10 C 10 CH
0,13 mmH
51. Uma espessa barra de alumínio e um fio de aço estão ligados em paralelo (Fig. 19-19). A
temperatura é de 10,0oC. Ambos têm comprimento 85,0 cm e nenhum dos dois está tensionado.
O sistema é aquecido até 120oC. Calcule a tensão resultante no fio, supondo que a barra se
expande livremente.
(Pág. 182)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
O problema pede para determinar a tensão no fio de aço após a expansão do cilindro de alumínio.
Devido à natureza do problema, sua solução requer a utilização do módulo de Young do fio, EAço.
Veja maiores detalhes sobre o módulo de Young na seção13-6 - Elasticidade. O valor do módulo de
Young para o aço foi extraído da Tab. 13.1, pag. 13. O módulo de Young (E) é definido como a
constante de proporcionalidade entre F/A e L/L0, onde F é a força exercida sobre um objeto, A é a
L0
Al
Aço
L
Aço
TT0 Al
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área da seção transversal do objeto na direção de F e L0 se refere ao comprimento original do
objeto, medido na direção de F. Ou seja:
0L
LE
A
F (1)
De acordo com a Eq. (1), a pressão (F/A) exercida sobre uma barra, na direção do seu comprimento,
é diretamente proporcional à variação fracional do comprimento ( L/L0). A pressão nos extremos
da barra pode ser no sentido de comprimi-la ou expandi-la. No presente caso, tem-se um fio ao
invés de uma barra e o processo é de expansão. Como o problema não forneceu a área da seção
transversal do fio de aço, somente será possível determinar a razão F/A, e não F, como foi pedido.
Inicialmente, à temperatura T0, tanto o fio quanto o cilindro possuem comprimento L0. Portanto, o
fio encontra-se inicialmente relaxado. Quando o sistema é aquecido, o fio e o cilindro expandem-se,
sendo que o alumínio expande-se mais do que o fio de aço (coeficiente de dilatação térmica maior
para o alumínio). A diferença entre os comprimentos finais do cilindro e do fio é que gera a tensão
no fio, sendo essa diferença, L, que entra em (1). Assim, o comprimento do cilindro de alumínio após a expansão térmica será:
5o 1 o
0 Al(1 ) 85,0 cm 1 2,3 10 C 110 C 85,21505 cmL L T
Se o fio de aço não estivesse conectado ao cilindro, seu comprimento após a expansão térmica seria:
' 5o 1 o
0 Aço(1 ) 85,0 cm 1 1,1 10 C 110 C 85,10285 cmL L T
Em relação à situação do fio de aço no problema, a Eq. (1) pode ser reescrita da seguinte forma:
Aço Aço
'
' '
F L L LE E
A L L
Substituindo-se pelos valores numéricos fornecidos:
9 2 885,21505 cm 85,10285 cm
200 10 N/m 2,6368 10 Pa85,10285 cm
F
A
Pa 1064,2 8
A
F
53. Duas barras de materiais diferentes, mas com o mesmo comprimento L e seção reta igual à A
são colocadas, como na Fig. 19-20a. A temperatura é T e não há tensão inicial. A temperatura é
aumentada em T. (a) Mostre que a interface entre as barras é deslocada de uma quantidade
dada por
1 1 2 2
1 2
E EL L T
E E
onde a1 e 2 são os coeficientes de dilatação linear e E1 e E2 são os módulos de Young dos
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materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o
aquecimento?
(Pág. 182)
Solução.
O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não
estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente.
Os termos L1 e L2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas:
1 1L L L L (1)
2 2 2L L L L L L L (2)
A equação que define o módulo de Young é:
F L
EA L
Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, L é a variação observada no
comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo
de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + T, temos:
1 2
1 2
F F
A A
Logo:
1 21 2
L LE E
L L
1 1 2 2E L E L (3)
Substituindo-se (1) e (2) em (3):
1 1 2 2E L L L E L L L
Na expressão acima, os termos L1 L e L2 L podem ser substituídos pelos equivalentes L 1 T e
L 2 T.
L1
L L
L
L2
L1
L2
T
T T +
T T +
Barra 1 livre
T T +
Barra 2 livre
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12
1 1 2 2E L T L E L T L
1 1 1 2 2 2E L T E L E L T E L
1 2 1 1 2 2E E L E E L T
1 1 2 2
1 2
E EL L T
E E
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FÍSICA 2
CAPÍTULO 22 – TEMPERATURA
09. Observa-se que objetos quentes ou frios esfriam ou esquentam, respectivamente, para atingir a
temperatura do ambiente. Se a diferença de temperatura T entre o objeto e sua vizinhança( T
= Tobj Tviz) não for grande, a taxa de esfriamento ou aquecimento do objeto será
aproximadamente proporcional à diferença de temperatura, isto é,
d T
A Tdt
onde A é uma constante. O sinal menos aparece porque se T for positivo, ele decresce com o
tempo e, se for negativo, cresce. Esta é a lei de Newton para o resfriamento. (a) De que fatores
A depende? (b) Se no instante t = 0 a diferença de temperatura for T0, mostre que num instante
t ela será
0
AtT T e
(Pág. 176)
Solução.
(a) A constante A depende da massa, da área superficial e do calor específico do corpo. A unidade de A é s
-1.
(b) Partindo-se da função fornecida,
TAdt
Td
pode-se rearranjá-la da seguinte forma:
Tddt
Adt1
(1)
Integrando-se (1) dentro dos limites apropriados, obtém-se:
T
T
t
tTd
dtdtA
00
1
0
0lnln TTAt
AteT
T
0
Finalmente
AteTT 0
12. Um termômetro a gás especial consiste em dois bulbos que contém gás, cada um colocado em
um reservatório de água, como mostra a Fig. 13. A diferença de pressão entre os dois bulbos é
medida por um manômetro de mercúrio, também representado na figura. Reservatórios
apropriados, que não são mostrados na figura, mantém constante o volume de gás nos bulbos.
Quando os dois banhos estão no ponto tríplice da água, não há diferença de pressão. Quando um
banho está no ponto tríplice e o outro no ponto de ebulição da água, a diferença de pressão é de
120 mmHg. Finalmente, a diferença de pressão é de 90,0 mmHg, quando um banho está no
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14
ponto tríplice da água e o outro numa temperatura desconhecida que desejamos medir. Que
temperatura é esta?
(Pág. 176)
Solução.
Considerando-se que a diferença de pressão observada no manômetro de mercúrio seja proporcional
à temperatura, podemos construir o seguinte gráfico da dependência entre estas grandezas, em que
T3 e p3 são a pressão e a temperatura do ponto tríplice da água, TE e pE são a pressão e a temperatura
do ponto de ebulição da água, T é a temperatura que se quer medir e p é a pressão do observada para
a temperatura T:
Como a declividade da curva vale T/ p, podemos escrever:
1 2
1 2
T T
p p
3 3
3 3
E
E
T T T T
p p p p
273,16 K 373,15 K 273,16 K
90,0 mmHg 120 mmHg
T
o355,6517 K 82,5017 CT
o82,5 CT
25. O comprimento de uma barra, medido com uma régua de ferro à temperatura ambiente de 20oC,
é de 20,05 cm. A barra e a régua são colocadas em um forno a 270oC e a medida da barra com a
régua é agora de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatação térmica do material da barra.
(Pág. 177)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
T
p3p
T3
TE
pE
T
p
p1
p2
T1
T2
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15
T0
T
L0
L
Régua
Barra
Régua
Barra
Régua
T0
T
T0
L’
L’
Para calcular o coeficiente de dilatação da barra, é preciso determinar seu comprimento após a
expansão térmica, medindo-a com uma régua que esteja à temperatura T0. No presente caso, o comprimento final da barra foi medido com uma régua à temperatura T, que resultou na medida L’.
T
Régua
Barra
TL’
Como conhecemos o coeficiente de expansão linear da régua, podemos determinar o quanto a régua
expandiu. Ou seja, à temperatura T a marca L’ (20,11 cm)da régua coincide com o comprimento da
barra. Se a régua for resfriada à temperatura T0, mas a barra não, a régua irá marcar L como sendo o
comprimento da barra.
T
L
Barra
RéguaT0L’
A expansão térmica da régua é dada por (T0 T; L’ L):
' '
RL L L L T
' ' 1RL L L T (1)
A expansão térmica da barra é dada por:
TLLLL B 00
0 0 1BL L L T (2)
Igualando-se (1) e (2):
' '
0 0 1 1B RL L T L L T
' '
0 0 1B RL L T L L T
5o 1 o'
0
o0
20,11 cm 1,1 10 C 250 C 1 20,05 cm( 1)
250 C 20,05 cm
RB
L T L
TL
Na expressão acima, utilizou-se o coeficiente de dilatação térmica do aço para o ferro, pois são praticamente iguais.
5 o 12,30029 10 CB
1o5 C 103,2B
28. Uma barra de comprimento L0 = 3,77 m e coeficiente de dilatação térmica 25 106 por grau C
é fixada em seus extremos e tem uma rachadura em seu centro. Como conseqüência de um
aumento de temperatura de 32oC ela se eleva no centro, como mostra a Fig. 15. Determine a
elevação x.
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16
(Pág. 177)
Solução.
O comprimento final da barra é
0 1L L T (1)
Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo indicado na figura abaixo:
x
L/2
L /20
2
02
2
22
Lx
L (2)
Resolvendo-se (2) para x e substituindo-se o valor de L dado por (1):
22 202 0
1
4 4
L T Lx
2
22 0 1 14
Lx T
22 5o 1 o0
3,77 m1 1 1 2,5 10 C 32 C 1 0,07541 m
2 2
Lx T
7,5 cmx
33. A densidade é obtida dividindo-se a massa pelo volume. Como o volume V depende da
temperatura, a densidade também deve depender dela. Mostre que a variação da densidade
com a variação da temperatura T é dada por = T, onde é o coeficiente de dilatação
volumétrica. Explique o sinal menos.
(Pág. 178)
Solução.
Seja 0 a densidade à temperatura T0 e a densidade à temperatura T, definidas por:
0
0V
m
V
m
A variação do volume V devida à variação de temperatura T é dada por:
TVV 0 (1)
A variação de densidade devida à variação de temperatura será:
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17
0
0
0 0
m V Vm m
V V VV
0
0 0
V V Vm m
VV VV (2)
Substituindo-se (1) em (2):
V
Tm
VV
TVm
0
0
T (3)
O sinal negativo em (3) é conseqüência de uma variação positiva da temperatura resultar numa variação negativa da densidade.
41. O pêndulo de um relógio é feito de latão e é projetado para dar o tempo com precisão a 20oC.
Qual será o erro, em segundos por hora, se o relógio funcionar a 0oC?
(Pág. 178)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a situação:
L0
T0
L
T
O erro pedido no problema é a variação observada no período do relógio de pêndulo ( P), durante
uma hora. Utilizou-se a abreviação P para o período para não confundir com a temperatura T. A
variação do período do relógio de pêndulo devida à variação de temperatura T é dada por:
0PPP (1)
onde P0, o período do relógio de pêndulo à temperatura T0, e P, o período à temperatura T, são
definidos por:
g
LP 0
0 2
g
LP 2 (2)
Na equação (2), g é a aceleração local da gravidade. O comprimento da haste do pêndulo, à temperatura T é:
0 1L L T (3)
Substituindo-se (3) em (2):
0 00
12 2 1 1
L T LP T P T
g g (4)
Substituindo-se (4) em (1):
0 0 01 1 1P P T P P T
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18
Em uma hora, o que implica em P0 = 3600 s, o erro será:
5o 1 o3.600 s 1 1,9 10 C 20 C 1 0,68406 sP
0,68 sP
O sinal negativo de P significa que houve diminuição no período do relógio que, em uma hora,
acumulou 0,68 s. Como uma diminuição no período faz com que o relógio ande mais rápido, a conseqüência é que o relógio vai adiantar 0,68 s em uma hora.
45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20oC um triângulo
equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar
será de 59,95o?
(Pág. 178)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a situação:
Al Inv
Aço
L0 L0
L0
LAl
LInv
LAço
T0 T
A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à
temperatura T:
cos2222
AçoAlAçoAlInv LLLLL (1)
Mas:
0 1L L T (2)
Substituindo-se a (2) em (1):
22 22 2 2
0 0 0
0 0
1 1 1
2 1 1 cos
Inv Al Aço
Al Aço
L T L T L T
L T L T
Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses:
2 2
22
1 2 1 2 1 2
2cos 1
Inv Inv Al Al Aço
Aço Al Aço Al Aço
T T T T T
T T T T
Reconhecendo-se que os termos envolvendo 2 são muito menores dos que aqueles envolvendo
apenas , pode-se desprezar os primeiros:
1 2 1 2 1 2 2cos 1Inv Al Aço Al AçoT T T T T
TTTTT AçoAlAçoAlInv cos2cos2cos22122
cos2
1coscos TTTTT AçoAlAçoAlInv
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1
cos cos cos2
Inv Al Aço Al Aço T
1cos
2
cos cosInv Al Aço Al Aço
T
o
6o 1 6o 1 6o 1 o 6o 1
o
o 6o 1
1cos 59,95
2
0,7 10 C 23 10 C 11 10 C cos 59,95 23 10 C
1 46,426497 C
cos 59,95 11 10 C
T
Por definição:
0TTT
TTT 0
o o o20 C 46,426497 C 66,426497 CT
O valor aproximado de T, com apenas um algarismo significativo, é:
o70 CT
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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 21 - TEMPERATURA
26. Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 60 para 100oC, o seu
comprimento aumenta em 0,092%. (a) Encontre a variação percentual na massa específica. (b)
Identifique o metal.
(Pág. 221)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
(a) O enunciado do problema pede para calcular a razão ( 0)/ 0.
0
0
0
mV VV
m m V
V V
Aplicando-se a expansão volumétrica do cilindro:
0 0
0 0
1 3
1 1 1 3
V V T T T
V T T T (1)
Agora precisamos determinar o valor do coeficiente de expansão térmica α do metal do cilindro
para completar o cálculo. Isso é feito por meio da informação sobre a expansão linear do cilindro,
fornecida pelo enunciado.
0
0
0,00092L L
L
00,00092L L
0 00,00092L T L
0,00092
T (2)
Substituindo-se (2) em (1):
0
0,000923
0,002760,0027524
0,00092 1 0,002761 3
TT
TT
0
0,0028
L0
T
T0
L
L
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21
Ou:
0
0,28%
O sinal negativo indica que houve diminuição na variação percentual da massa específica do cilindro.
(b) A identificação do metal é feita pela comparação do valor do coeficiente de expansão térmica do
metal com valores tabelados. A Equação (2) permite o cálculo de α.
5 o 1
o o0
0,00092 0,000922,3 10 C
100 C 60 CT T
A Tabela 21-3, Pág. 213, indica que o cilindro é feito de alumínio.
30. (a) Prove que a variação da inércia rotacional I de um sólido com a temperatura é dada por I =
2αI T. (b) Uma haste fina de latão, girando livremente a 230 rev/s em torno de um eixo
perpendicular à haste e passando pelo seu centro, é aquecida sem sem contato mecânico até que
sua temperatura aumente para 170oC. Calcule a variação na velocidade angular.
(Pág. 221)
Solução.
(a) Vamos supor que o momento de inércia inicial é I0 e o final, após o aquecimento, é I. Vamos
supor também que I0 = kML2, em que k é uma fração que depende do corpo e do eixo em relação ao
qual I0 é calculado.
2 2 2 2
0 0 0I I I kML kML kM L L
22 2 2 2 2 2
0 0 0 01 1 2I kM L T L kM L T T L
O termo α2
T2 é, em geral, muito menor do que α T. Neste caso, 2α T 10
3, enquanto que α
2T
2
105. Vamos, portanto desprezar α
2T
2.
2 2
0 02 2I kM TL kML T
02I I T
(b) A variação da velocidade angular é calculada por meio da aplicação da conservação do momento angular (L), dada a ausência de torques externos atuando sobre a haste.
0L L
0 0I I
Usando-se o resultado obtido no Item (a):
0 0 0 02I I T I
0
6 o 1 o 1
230 rev/s228,5237 rev/s
2 2 19 10 C 170 CT
Logo:
0 228,5237 rev/s 230 rev/s 1,4762 rev/s
0 1,45 rev/s
O sinal negativo indica que há uma diminuição na velocidade angular da haste como conseqüência
do aumento de temperatura.
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22
40. Gás oxigênio com um volume de 1130 cm3 a 42,0
oC e à pressão de 101 kPa expande até que seu
volume seja 1530 cm3 e a sua pressão seja 106 kPa. Determine (a) o número de moles de
oxigênio no sistema e (b) a sua temperatura final.
(Pág. 221)
Solução.
(a) considerando-se que o oxigênio nessas condições apresente comportamento ideal, teremos:
0 0 0p V nRT
5 5 3
0
0 0
101 10 Pa 1,130 10 m0,043558 mol
8,314 J/K.mol 315,15 K
RTn
p V
0,0436 moln
(b) Comparando-se os estados inicial e final do sistema teremos:
0 0
0
p V pV
T T
5 3
0
5 30 0
106 10 Pa 1530 cm 315,15 K447,8316 K
101 10 Pa 1130 cm
pVTT
p V
448 KT
10. Considere um termômetro de vidro de mercúrio. Suponha que a seção transversal do capilar A é
constante e que V é o volume do bulbo de mercúrio a 0,00oC. Mostre que o comprimento L da
coluna de mercúrio no capilar a uma temperatura T, em oC,
3V
L TA
,
isto é, proporcional à temperatura, onde é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio
e é o coeficiente de dilatação linear do vidro.
(Pág. 223)
Solução.
A variação do volume do vidro é dada por:
vidro 03V V T
A variação do volume do mercúrio é dada por:
Hg 0V V T
O volume de mercúrio na coluna de vidro é dado pela dilatação aparente do mercúrio. Para isso, está implícito que na temperatura 0,00
oC o nível de mercúrio está na base da coluna (L = 0).
Hg, ap Hg vidroV V V
0 0 0 0 03 3 3AL V T V T V T V T T
Como T0 = 0,00oC:
0 3V
L TA