Estatística e Probabilidade Computacional 1

CÁLCULO DAS PROBABILIDADES

Já vimos temas como tipos de séries de dados (provenientes de amostras e populações), organização,

tabulação e gráfico de dados (distribuições de frequências), medidas estatísticas de posição (ou

tendência central), de dispersão (ou variabilidade) e de forma da distribuição.

Estes conhecimentos permitiram-nos analisar séries de dados, e obter algumas conclusões sobre como

tais dados se distribuem em todo seu intervalo de variação ou ao redor de valores centrais como a sua

média. Logo a partir da organização, apresentação e descrição dos dados observados, é possível fazer

análise sobre o comportamento da variável em estudo. Denominamos de Indução, resultados ou dados

observados, lançamos hipóteses sobre o comportamento do fenômeno.

Agora, estamos interessados em compreender como poderão ocorrer os resultados de uma variável, a

partir de suposições sobre o problema em estudo, caracterizando assim o que denominamos de

raciocínio Dedutivo, que são hipóteses sobre o comportamento de um fenômeno, tentamos prever os

resultados.

Em resumo, estamos interessados agora em realizar inferências sobre a população de onde foi extraída

a amostra. Para tanto, teremos que usar modelos matemático-probabilísticos, o que nos obriga a

conhecer os aspectos fundamentais do Cálculo de Probabilidades, sobre o qual se apresenta a

Estatística Inferencial.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E)

Todo processo desenvolvido para realizar observações e obter dados com um determinado objetivo, é

denominado experimento. Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos

várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados que não se pode prever com certeza.

Exemplos:

E1: Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar se o naipe é “ouros”.

E2: Lançar uma moeda e observar se a figura na face voltada para cima é “cara”.

E3: Jogar um dado e observar se o número da face voltada para cima é “5”.

A análise destes experimentos revela que:

Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições.

Não se conhece um particular resultado do experimento a priori (conhecimento anterior a toda

experiência), mas é possível descrever todos os possíveis resultados.

Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, ou seja,

uma estabilidade da fração f = r / n (freqüência relativa), onde n é o número total de repetições e r é

o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização. Esta característica

é de importância fundamental para a avaliação da probabilidade do evento desejado.

Espaço Amostral (S)

Definição: Para cada experimento aleatório E, define-se o espaço amostral S como o conjunto de todos

os possíveis resultados desse experimento (CONJUNTO UNIVERSO).

Exemplos:

Para E = naipes de um baralho, então S = {espada, paus, copas, ouros};

Para E = jogar duas moedas e observar o resultado, então S = {cara, coroa};

Para E = lançar um dado e observar o nº da face de cima, então S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento

É um subconjunto formado por um ou mais resultados do espaço amostral.

Evento Elementar é um resultado único do espaço amostral.

Evento Certo é quando o evento corresponde à ocorrência do próprio espaço amostral S.

Evento Impossível é quando o evento corresponde a um conjunto vazio .

Estatística e Probabilidade Computacional 2

Exemplo: E = Lançar um dado de seis faces.

A = {2, 4, 6} contido em S: A é um evento de S. (obter um número par)

B = {4} contido em S: B é um evento elementar. (obter o número 4)

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} contido em S: C é um evento certo. (obter o número 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6)

D = {8} não é subconjunto de S. Logo D= ,D é um evento impossível. (obter um número maior que

6)

Operações com Eventos

A) COMPLEMENTO

O complemento de um evento A é o evento A , formado por todos os

elementos do espaço amostral que não estejam incluídos em A. É o evento

que ocorre quando A não ocorre. Exemplo: Para o evento A acima, A =

{1, 3, 5}.

B) INTERSEÇÃO

A interseção dos eventos A e B gera um novo evento formado pelos

elementos comuns aos dois conjuntos, conforme ilustra o Diagrama de Venn

ao lado. Ocorre somente se A ocorre e B ocorre.

C) UNIÃO

A união dos eventos A e B gera um novo evento formado pelos elementos

comuns e não comuns dos dois conjuntos. Ocorre se A ocorre, B ocorre ou

ambos.

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer

simultaneamente, ou seja, a interseção entre elas é vazia: A B =

Exemplo: no lançamento de um dado, se A={1,3,5} e B={2,4,6}, então A B =

Eventos Independentes

Dois eventos A e B são denominados independentes, se a ocorrência (ou não ocorrência) de A, não

afeta a possibilidade de ocorrência de B e vice-versa.

Probabilidade

Dado um experimento aleatório E, e sendo S seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A

(denotada por P{A}) é uma função definida em S, que associa a cada evento um número real que

satisfaz as seguintes propriedades:

0 P{A} 1;

P{S} = 1;

P{A U B} = P{A} + P{B} se A e B forem eventos mutuamente exclusivos.

A probabilidade teórica de um evento é obtida utilizando procedimentos de contagem (ANÁLISE

COMBINATÓRIA) dos casos favoráveis à ocorrência do evento e de contagem de todos os casos

possíveis:

OBS: A expressão P{A} acima é uma consequência da suposição de que todos os resultados sejam

igualmente verossímeis (ou equiprováveis), e portanto só deve ser aplicada quando essa suposição for

atendida.

)(

)(}{

Sn

An

possíveiseventosdenúmero

AeventoaofavoráveiscasosdenúmeroAP

Estatística e Probabilidade Computacional 3

EXEMPLO: Seja um experimento E = {jogar três moedas e observar os resultados}

S =

Seja A o evento: {ocorrer pelo menos 2 caras}

S =

Técnicas de Contagem ou Análise Combinatória

Ajudam a determinar, sem necessidade de enumeração direta ou montagem de árvores de

possibilidades, o número de resultados possíveis de um espaço amostral.

PERMUTAÇÕES E ARRANJOS

Fornece o número de formas diferentes de organização de um grupo, de forma que a ORDEM dos

elementos dentro do grupo é levada em conta. A fórmula geral para PERMUTAÇÃO de n elementos,

com (n ≥ r) é:

Notas:

Fatorial de um é igual a 1. ( 1!=1 )

Fatorial de zero é igual a 1. ( 0!=1 )

EXEMPLOs:

a). Calcule o número de arranjos de 7 objetos tomados 5 a 5. (2.520)

b) De quantas maneiras diferentes, 5 pessoas podem se organizar em fila ?

Caso típico de Permutação de 5 elementos, tomados 5 a 5: P(5,5) = 5! = 120.

c) Com 8 bandeiras diferentes, quantos sinais feitos com 3 bandeiras se podem obter ?

Como importa a ordem, trata-se de um Arranjo de 8 elementos tomados 3 a 3: P(8,3) = 8!/5!

e portanto P(8,3) = 8.7.6 = 336

COMBINAÇÕES

Quando a ORDEM dos elementos dentro do grupo não importa, mas apenas a quantidade de cada

elemento no grupo, utiliza-se a COMBINAÇÃO. A fórmula para cálculo de combinações é:

EXEMPLOs:

a) Com 8 pessoas, quantas comissões de 3 membros podem ser escolhidas?

Como a ordem das pessoas numa comissão não importa, temos C(8,3) = 8!/(5!.3!) = 8.7 = 56

comissões.

b) Um grupo de 8 pessoas é formado de 5 homens e 3 mulheres. Quantas comissões mistas de 3

pessoas podem ser formadas, nas quais se tenha exatamente 2 homens?

Aqui temos que escolher 2 homens dentre 5 e 1 mulher dentre 3. Assim, o número procurado é

C(5,2)C(3,1) = 10x3 = 30 comissões.

PRINCIPAIS TEOREMAS E PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE 1. PROBABILIDADE DO CONJUNTO VAZIO

P{} = 0 (evento impossível)

2. PROBABILIDADE DO EVENTO CERTO

P{S} = 1 (evento certo)

!

!,

rn

nrnP

!!.

!,

rnr

nrnC

Estatística e Probabilidade Computacional 4

3. PROBABILIDADE DO COMPLEMENTO

Se A é o complemento do evento A, então P{ A } = 1 – P{A}

4. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (OU TEOREMA DA SOMA)

Se A e B são dois eventos quaisquer, então P{A U B} = P{A} + P{B} – P{A ∩ B}

EVENTO INTERSECÇÃO (TEOREMA DO PRODUTO): Ocorrer o evento A e o evento B. A

probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem simultaneamente numa prova é igual à probabilidade

de um, multiplicada pela probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro.

)/()()()/()()( BAPBPBAPouABPAPBAP .

Quando os eventos A e B forem independentes “Quando a ocorrência de um não influencia a

ocorrência do outro”, então:

)()()( BPAPBAP

Probabilidade Condicionada

Dados dois eventos A e B, denota-se P{A/B} à probabilidade condicionada do evento A, quando B

tiver ocorrido. Pode ser obtida pela divisão da probabilidade conjunta P{A e B} pela probabilidade do

evento B.

De outra forma, P{A/B} é a razão entre o nº de vezes que A e B podem ocorrer e o nº de vezes que B

pode ocorrer.

Se os eventos A e B forem independentes, então P{A/B} = P{A} e P{B/A} = P{B}.

EXEMPLO: Um lote possui 20 peças defeituosas e 80 peças perfeitas. Seleciona-se 2 peças deste lote

sem reposição. Sejam os eventos:

A = {a primeira peça é defeituosa} e B = {a segunda peça é defeituosa}

Na retirada da primeira peça, temos P{A} = 20/100 = 1/5. Para calcularmos P{B}, é preciso conhecer a

nova composição do lote no momento da extração da segunda peça. Isto significa saber se A ocorreu

ou não.

Se A ocorreu, teremos agora 19 peças defeituosas e 80 perfeitas, o que implica em P{B/A} = 19/99.

Caso não tenha ocorrido A, teremos 20 peças defeituosas e 79 perfeitas, implicando em P{B/A} =

20/99.

Probabilidade da Interseção (ou Teorema do Produto)

Se A e B são dois eventos quaisquer, então a probabilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos,

é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o

primeiro.

No caso do exemplo anterior, a probabilidade de ambas as peças serem defeituosas será:

AP

BAPA/BP,tambéme

BP

BAPB/AP

}B/A{P}.B{P}BA{Pou}A/B{P}.A{P}BA{P

495

19

99

19.

5

1}A/B{P}.A{P}BA{P

Estatística e Probabilidade Computacional 5

Teorema da Probabilidade Total

Seja A1, A2, A3,..., An, n eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS tais

que A1UA2U... UAn = S, (ou seja, o espaço amostral particionado

em n eventos), e sejam P{Ai} as probabilidades conhecidas dos

vários eventos, e seja B um evento qualquer de S tal que sejam

conhecidas todas as probabilidades condicionais P{B/Ai}. Então,

para cada i tem-se que:

EXEMPLO 1: Retomemos o exemplo do lote com 20 peças defeituosas e 80 peças perfeitas.

Seleciona-se 2 peças deste lote sem reposição. Sejam os eventos:

A = {a primeira peça é defeituosa} e B = {a segunda peça é defeituosa}

Podemos agora calcular P{B} como:

Teorema de Bayes

Seja A1, A2, A3,..., An, n eventos mutuamente exclusivos conforme item anterior (Probabilidade Total).

Então, para cada i tem-se que:

Exercícios

1- Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule:

a) A probabilidade de ambas serem defeituosas;

b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas.

2- Qual a probabilidade de se obter um número par ao se lançar um dado?

3- Qual a probabilidade de se obter uma “dama” ao se retirar uma carta de um baralho?

4- Joga-se 2 dados; qual a probabilidade de:

a) A soma dos pontos obtidos ser ≤ 8 ?

b) O produto dos pontos obtidos ser ≥ 10 ?

c) Os pontos obtidos iguais ?

5- Em uma urna temos 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas. Vamos aleatoriamente retirar 2 bolas,

qual a probabilidade de:

a) Retirar 2 bolas brancas?

b) Retirar 2 bolas vermelhas?

c) Retirar 2 bolas azuis?

6- Numa urna com 10 bolas brancas e 8 vermelhas, qual a probabilidade de:

a) 2 brancas?

b) 2 vermelhas?

c) Uma branca e uma vermelha?

7- Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado?

8- Qual a probabilidade de sair um número par ou um número menor que 3 quando se joga um

dado?

9- Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho, qual a probabilidade de ocorrer “figura”

e “espada”?

n

1iiinn2211 }A{P}.A/B{P}A{P}.A/B{P....}A{P}.A/B{P}A{P}.A/B{P}B{P

}A/B{P}.A{P...}A/B{P}.A{P}A/B{P}.A{P

}A/B{P}.A{P}A{P

nn2211

iii

5

1

5.99

8019

5

4.

99

20

5

1.

99

19}A{P}.A/B{P}A{P}.A/B{P}B{P

Estatística e Probabilidade Computacional 6

10- Joga-se duas moedas, qual a probabilidade de saírem 2 caras?

11- Uma rifa é composta por 50 números e irá definir o ganhador de dois prêmios, sorteados um de

cada vez. Se você adquiriu 5 números, qual a probabilidade de ganhar os 2 prêmios?

12- Um projeto para ser transformado em lei, deve ser aprovado pela Câmara dos deputados e pelo

senado. A probabilidade de certo projeto ser aprovado pela Câmara dos deputados é de 40% e

pelo senado é de 80%. Qual a probabilidade deste projeto ser transformado em lei?

13- Em uma urna A, temos 7 bolas vermelhas e 6 bolas azuis, e em uma urna B, temos 5 bolas

vermelhas e 10 bolas azuis. Vou retirar uma bola da urna A e passar para a urna B, e em

seguida, vou retirar uma bola da urna B, qual a probabilidade dela ser azul?

14- Um piloto de F1 tem 50% de probabilidade de vencer uma corrida, quando esta se realiza sob

condições de chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade é de 25%. O serviço

de meteorologia estima em 30% a probabilidade de chuva. Qual a probabilidade deste piloto

ganhar a corrida?

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

1-A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no período

de um ano (ano 2000). Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a

população brasileira esta em torno de 170 milhões? (0,00012%)

2- Um grupo de turistas é composto de 15 homens e 35 mulheres. O guia sorteia aleatoriamente

alguém do grupo. Qual a probabilidade de não ser mulher? (30%)

3- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.(11,11%)

4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma do

segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de

paus? (0,1479%)

5- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2

pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada

urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem,

respectivamente, branca, preta e verde? (3,703%)

6- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de

a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus? (0,037%)

7- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número inferior a 5? (66,67%)

8- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e

uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente

nessa ordem? (1,18%)

9- Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agencia de viagens, 100 viajam para Fortaleza e 80

para Manaus (os turistas restantes viajam para outras localidades). Esses dados incluem 30 turistas que

viajam para as duas cidades simultaneamente. Qual a probabilidade de um turista aleatoriamente ter

escolhido estar de viagem para:

a) Fortaleza; (33,33%)

b) Manaus;(26,66%)

c) Fortaleza ou Manaus.(50%)

10- Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que

10. (16,66%)

11- Determinar a probabilidade para cada um dos seguintes eventos:

a) De aparecer um número ímpar em um único lance de um dado honesto. (50%)

Estatística e Probabilidade Computacional 7

b) De ocorrer pelo menos uma cara em dois lances de uma moeda honesta.(75%)

c) De surgir um ás, um dez de ouros ou um dois de espadas na retirada de uma carta única de um

baralho, de 52 cartas. ( 11,53%)

d) De aparecer o total 7 em um único lançamento de dois dados.(16,66%)

e) De aparecer uma coroa, no próximo lance de uma moeda, se, de um total de 100 lances, 56

foram caras. (44%)

12- Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.

Determine a probabilidade de ela ser: (a) ser vermelha; (b) ser branca; (c) ser azul; (d) não ser

vermelha; (e) ser vermelha ou branca. (40%; 26,66%; 33,33%; 60%, 66,66%)

13-Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3, 4, ..., 18, 19, 20} e por meio de um sorteio

aleatório, retire um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de o número

sorteado ser o número 13? (10%)

14-São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as

duas cartas seja de ouros? (5,88%)