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Aula 07

Estatstica p/ ICMS/RJ (com videoaulas)Professor: Jeronymo Marcondes

Estatstica p/ ICMS-RJ

Teoria e exerccios comentados

Prof. Jeronymo Marcondes Aula 07

Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 70

AULA 07 Intervalo de Confiana e Teste de Hipteses

SUMRIO PGINA Testes de Hipteses e Intervalo de Confiana 1

Teste para a varincia 33 Poder de um teste e o p-valor 37

Teste para propores 41 Lista de Exerccios resolvidos em aula 58

Gabarito 70

Mais uma etapa que vocs devem enfrentar se quiserem trabalhar na Receita Estadual: testes de hipteses. ltima vez, fora na peruca!

1. Testes de Hipteses e Intervalo de Confiana

1.1 Testando a mdia distribuio normal

Suponha que uma pessoa tenha visto sua pesquisa sobre a altura mdia das pessoas que vivem em um determinado territrio e faa a seguinte afirmao:

-$PpGLDGHDOWXUDGRVLQGLYtGXRVTXHYLYHPQDTXHODUHJLmRpGHP

H como testar se a sua amostra d suporte a essa afirmao? Sim, por meio do teste de hiptese!

A forma de testar quais valores seriam condizentes com a nossa amostra exige conhecimento da distribuio de probabilidades de nossa amostra!

Para que voc entenda, pense em um grfico que represente a distribuio de frequncias de nossa varivel. No caso, vamos supor que se trata de uma varivel contnua, o que faz sentido, j que devem existir infinitas alturas de indivduos em uma sociedade muito grande.

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Varivel, professor, mas no estamos tratando da mdia calculada para QRVVDDPRVWUD"

9HMDRSDUkPHWURPpGLDSRSXODFLRQDOQmRpXPDYDULiYHOpois seu valor o mesmo para todos os experimentos possveis em que possamos calcul-lo, haja vista em todos estes o tamanho da amostra igual prpria populao. Isso no verdade no caso da mdia amostral! A mdia ser calculada para as mais diversas amostras que podem ser retiradas da populao, ou seja, este estimador uma varivel!

Assim, muito provvel que a nossa distribuio da variYHOPpGLDGHDOWXUDVHMDalgo semelhante :

Veja, esse tipo de distribuio de frequncias o mais comum (formato de sino), pois muitos fenmenos so assim:

x Valores extremos com menor probabilidade de ocorrncia; x Valores mediano e mdio (e/ou prximos a estes) com grande chance de

ocorrncia.

No nosso exemplo, de se esperar que alturas comuns no povo brasileiro (como o intervalo que vai de 1,70m a 1,80m) sejam valores em torno dos quais a maior parte das mdias calculadas ir orbitar. Por outro lado, podem ocorrer valores extremos, como uma altura mdia de 1,95, entretanto a probabilidade (frequncia em que ocorre) de sua ocorrncia ser pequena!

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Esta distribuio com formato de sino muito comum e chamada de distribuio normal ou distribuio gaussiana, como j estudamos na aula 01.

Se ns conhecermos bem essa nossa distribuio, podemos determinar valores limites (pouco provveis) e assim aceitar ou refutar hipteses que so feitas sobre nossa amostra! Perceba que a afirmao feita no incio desta seo, provavelmente pode ser verdadeira, se a nossa distribuio seguir uma distribuio normal.

No nosso caso, podemos dizer com toda certeza que, se a nossa amostra for suficientemente grande, a varivel em estudo tem distribuio normal, isso feito com base no Teorema do Limite Central.

Entendeu o que isso quer dizer? Para qualquer varivel (desde que suas observaes sejam independentes), podemos afirmar que a distribuio de sua mdia amostral ser gaussiana para amostras suficientemente grandes. Esse teorema incrivelmente poderoso, pois podemos nos basear nele para garantir que a nossa avaliao de mdias baseie-se na distribuio normal, que fcil de ser analisada.

-3RUTXHpIiFLODQDOLVDUXPDYDULiYHOTXHWHQKDGLVWULEXLomRQRUPDO"

Em termos bem simples, o Teorema do Limite Central (TLC) afirma que, para uma dada varivel , com mdia e desvio padro ?, sua respectiva mdia amostral ( ) convergir para uma distribuio normal, com mdia e varincia ? , conforme a amostra tende para o infinito, sendo o tamanho da amostra.

Cuidado! Quando estivermos analisando mdias, devemos dividir a nossa estatstica de desvio padro populacional pelo tamanho da amostra!

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Pelo seguinte meu querido aluno, ns podemos padronizar qualquer varivel com distribuio normal de forma que sua mdia seja sempre igual zero e seu desvio padro igual 1 por meio da seguinte operao:

No caso da mdia amostral, sabemos que: ?

Sendo a varivel () uma padronizao da nossa mdia amostral ( ) por meio da diminuio da mesma de sua mdia e diviso pelo seu respectivo desvio padro. Essa operao garante que a varivel () ter uma distribuio normal com mdia igual a zero e varincia igual a 1.

-7XGREHPSURIHVVRUPDVSRUTXHID]HUWXGRLVVR"

Calma, voc vai entender agora! A questo que a normal padro, que obtida pela transformao de uma varivel em seu respectivo valor (), tem uma WDEHOLQKDPiJLFDTXHQRVGL]DSUREDELOLGDGHGHTXHRYDORUHQFRQWUDGR ( calculado) esteja entre 0 (zero) e um determinado valor a ser especificado!

Perceba que o estudo que se segue no se aplica somente a mdias, mas tambm a qualquer varivel que possua distribuio normal e que, portanto, pode ser padronizada. S ateno ao caso das mdias, pois voc precisa dividir a estatstica do desvio padro por ? na hora de padronizar a varivel.

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Vamos a um exerccio para vocs entenderem. No tentem resolver sozinhos, acompanhem a minha resoluo e depois tentem sozinhos!

Exerccio 1

(Elaborado pelo autor) Suponha que a seguinte amostra de alturas tenha sido retirada da populao:

Alturas

(metros)

1,7

1,6

1,7

1,75

1,8

1,82

1,9

1,78

1,74

1,83

Dado que a altura mdia da populao de 1,70m e sabendo que o desvio padro populacional de 0,1, qual a probabilidade de encontrarmos um valor para a mdia amostral que se situe entre 1,70m e o valor encontrado para esta amostra?

Resoluo

O que temos de fazer aqui bem simples. Vamos calcular o valor () para o nosso exemplo. Para isso precisamos encontrar os valores da mdia com base em nossa amostra. Calcule a mdia que voc vai chegar a: ? ? ? ? Agora, temos de encontrar o valor () com vistas a definir a probabilidade de que esta mdia calculada esteja no intervalo definido pela normal padro (pois, pelo TLC, sabemos que a mdia amostral converge em distribuio para uma gaussiana). $VVLPILFDIiFLOSRLVEDVWDVXEVWLWXLUQDIyUPXODGHSDGURQL]DomR

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?

Portanto: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Agora faa assim, olhe a tabela de distribuio normal:

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O processo de utilizar a tabela assim: veja qual o valor correspondente dentro da tabela de um . Olhe a linha correspondente aos dois primeiros dgitos de e o terceiro voc vai encontrar na coluna l em cima. Por exemplo, encontramos um valor ? ? ?, portanto:

Este valor a probabilidade monocaudal de o valor testado pertencer nossa populao.

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-0RQRFDXGDOSURIHVVRU"

Isso mesmo! O que estamos vendo qual a probabilidade de que o valor calculado esteja no intervalo amarelo abaixo:

Viu? Trata-se da probabilidade monocaudal, pois s estamos vendo a probabilidade de que ocorram valores maiores do que 1,70m, que foi normalizado em ?, mas menores do que 1,762, normalizado em 1,96. Isso , a parte amarela s corresponde a valores direita (ou maiores) do que 1,70m.

Portanto, no grfico acima, estamos calculando a probabilidade de que o valor testado (1,762m) tenha derivado de uma amostra de nossa populao. Com base na tabela acima podemos inferir que o valor encontrado de 0,475, ou seja, 47,5%! Portanto, a probabilidade de que a mdia amostral se situe entre os valores de 1,70m e 1,762 de 47,5%! Assim, no nosso exemplo: ?

6LPSOHVQmR"2OKHXPUHVXPLQKR

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Mas, cuidado! Este um caso em que estamos lidando com probabilidade monocaudal, ou seja, olhando se o valor testado se situa dentro do intervalo superior (valores maiores do que a mdia populacional, mas compatveis com nossas informaes). Entretanto, ns podemos estar interessados em saber qual a probabilidade de que um determinado desvio com relao mdia ocorra, isso , um intervalo de valores maiores e menores do que a mdia populacional, mas condizentes com nossas informaes.

Vamos a um exemplo para simplificar! Se ao invs de calcularmos a probabilidade de ocorrncia do valor 1,762m, podemos estar interessados na probabilidade de que a mdia populacional seja 0,062m maior ou menor do que 1,70m. Neste caso, estamos interessados em uma probabilidade bicaudal! Vamos calcular o valor () para a probabilidade de ocorrncia de ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?): ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Assim:

Para o clculo da probabilidade de que uma varivel com distribuio normal padronizada assuma determinado valor faa:

1) Calcule o valor correspondente 2) Olhe a tabela com o valor correspondente 3) Multiplique o valor por 100

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Neste caso, o que estamos calculando :

Como a distribuio normal simtrica, uma mesma distncia com relao origem ( ?) corresponde mesma probabilidade de ocorrncia, seja esquerda ou direita. Assim, fica fcil perceber que a probabilidade de ocorrncia do evento acima igual a 2 (duas) vezes a chance de ocorrncia de um dos dois isoladamente! Analiticamente: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Portanto: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Entendeu? A probabilidade de encontrarmos um valor que varie em 0,062 da mdia populacional na nossa amostra de 95%.

Essa aula pesada! Respire um pouquinho antes de continuar!

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2.2 Testando a mdia teste de hipteses e intervalo de confiana

Com base no que sabemos j somos capazes de testar hipteses. A primeira coisa TXHWHPRVGHHVWLSXODUpRTXHpPXLWDFRLQFLGrQFLD.

-&RPRDVVLPSURIHVVRU"

Veja, no exemplo anterior encontramos que 95% das vezes em que realizarmos uma amostragem com base em nossa populao, nosso valor de mdia amostral se encontrar dentro daquele intervalo ( ? ? ? ? ? ? ? ?).

0DVRTXHHVWHVTXHUHPGL]HU"6HUiTXHHVVHLQWHUYDORpPXLWRRXSRXFRprovvel? Ora, voc j deve ter percebido onde quero chegar. Existe uma arbitrariedade envolvida na definio do que provvel ou no!

Veja, no nosso exemplo, 95% das vezes os valores encontrados para a mdia amostral estaro dentro daquele intervalo. A que entra a definio de significncia de um teste:

No caso em estudo, poderamos estipular que 10% seria muita coincidncia, ou seja, se a mdia amostral testada ocorrer em menos do que 10% das vezes, isso seria muita coincidncia e poderamos descartar a hiptese de que aquele intervalo seria possvel com base em nossas informaes.

Significncia de um teste o valor que FRQVLGHUDGR FRPR PXLWD FRLQFLGrQFLD Este valor definido previamente pelo pesquisador com base em estudos e em sua experincia pessoal.

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Mas, com base nos nossos clculos, encontramos que aquele intervalo ocorre em 95% das vezes, assim aceitaramos a hiptese de que aquela amostra foi retirada da populao em estudo!

Agora que vocs entenderam o que significncia de um teste, podemos realizar o exerccio inverso e calcularmos um intervalo de confiana para nosso estudo, de forma que possamos ver a adequao de nossas hipteses com base em informaes prvias. Vamos fazer um exerccio para ficar claro!

Faa a mesma coisa de novo! Resolva o exerccio junto comigo e s depois faa sozinho.

Exerccio 2

(Auditor da Previdncia Social ESAF/2002/modificada) O desvio padro para o peso de peas mecnicas obtidas num lote de produo de 25kg. Sabendo-se que, em uma amostra de 100 peas do lote, foi encontrado um peso mdio de 23,2kg, qual o intervalo de confiana para a mdia? a) b) c) d) e)

Resoluo

O que o exerccio est te pedindo : a 95% de confiana, qual o intervalo que corresponde a valores possveis para a mdia de peso destas peas?

Ora, o exerccio j est te dando o valor (), haja vista a informao de que o nvel de confiana de 95%! Olhando a tabela voc ver que o valor de ( ? ? ? ?), que a metade de ( ? ? ?), corresponde ao nmero ? ? ?&RORFDQGRQDIyUPXOD

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Voc entende porque estamos lidando com 1,96 em valores positivos e negativos? Isso porque queremos encontrar um intervalo de confiana para a mdia populacional, ou seja, o quanto ela pode variar positivamente ou negativamente, de forma a observarmos a parte esquerda e direita da curva! Olhem o desenho abaixo que vocs entendero:

$VVLPSUHFLVDPRVHQFRQWUDURYDORUPi[LPRHPtQLPRTXHVmRSRVVtYHLVSDUDDmdia populacional, dadas as informaes que temos.

Assim: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Este valor ( pFKDPDGRGHPDUJHPGHHUUR Isso mesmo! aquele valor que os jornais costumam falar quando tratam de campanhas eleitorais. Em nosso exemplo, o que esta margem de erro est nos dizendo que a mdia populacional

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ser igual a XPDPpGLDDPRVWUDOPDLVXPYDORUTXHQRVGDUiHVWDIOXWXDomRQRVresultados, a saber: ? ? ? ? ? ? ? ?

Este nosso intervalo de confiana (): ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (a).

Ateno! E os valores que esto fora da regio de aceitao da hiptese nula? Essa chamada de Regio Crtica! Esta define-se como o conjunto de valores para os quais a hiptese nula rejeitada.

Mais um? Vamos l!

Exerccio 3

(BACEN FCC\2005) A distribuio dos valores de aluguis dos imveis em certa localidade bem representada por uma curva normal com desvio padro populacional de R$ 200,00. Por meio de uma amostra aleatria de 100 imveis neste local, determinou-se um intervalo de confiana para a mdia destes valores de [R$ 540,00;R$ 660,00]. A mesma mdia amostral foi obtida com um outro tamanho de amostra, com o mesmo nvel de confiana anterior, sendo o novo intervalo [R$ 560,00;R$ 640,00]. A populao tem tamanho infinito, o tamanho da amostra no segundo caso de:

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a) 225 b) 256 c) 324 d) 400 e) 625

Resoluo

Questo bem difcil! Tem que pensar! Veja o raciocnio que voc tem de fazer:

1) Encontre a mdia amostral; 2) calcule o valor Z para a primeira amostra; 3) Com base no Z anterior, encontre o tamanho da amostra.

A mdia amostral no difcil de ser calculada, pois j aprendemos isso em aulas anteriores:

? ? ? ? ? ?

Agora fica fcil encontrar o valor () para a primeira amostra: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Ou seja, em valores absolutos (sem considerar sinal), ?. Com intuito de simplificao, vamos utilizar o limite superior, mas saiba que d na mesma!

Agora, vamos substituir ( ?) na equao da segunda amostra de modo que:

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Realizando a operao: ? ? ? ? ? ?

Alternativa (a).

Retornando aula!

Bom, vimos que possvel estabelecer um intervalo de confiana de modo a garantirmos que, a determinado nvel de confiana, os valores possveis estaro contidos em um intervalo descrito. Mas, se ns podemos construir tal intervalo, ns tambm podemos testar hipteses que so feitas com relao a nossos dados.

-&RPRLVVRpSRVVtYHOSURIHVVRU"

Bom, a primeira coisa que voc vai fazer determinar qual hiptese voc est testando. Por exemplo, se algum faz afirmaes sobre o valor de um determinado parmetro , feita a seguinte hiptese nula ():

Este o nosso exemplo da altura dos indivduos, a hiptese nula afirma que a mdia de altura dos mesmos igual 1,70m.

0DV WRGD KLSyWHVH FLHQWtILFD WHP XPD DOWHUQDWLYD TXH p R FDVR quando o que estamos afirmando no verdade. Esta hiptese alternativa () pode assumir as seguintes formas:

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Ou seja, poderamos concluir que o parmetro em estudo no igual ao valor sob hiptese nula por se tratar de um valor diferente do mesmo, menor, ou maior, respectivamente!

Assim, a nossa hiptese nula seria sempre uma igualdade e teria como alternativa um destes casos, sendo que o primeiro necessitaria de uma anlise bicaudal, enquanto que o segundo e terceiro seriam monocaudais.

Com efeito, isso est intimamente relacionado com o que j estudamos sobre probabilidades monocaudais e bicaudais. A ideia aqui seria criar um intervalo de confiana para o valor testado, se o mesmo no estivesse contido neste, rejeitaramos a hiptese nula.

Assim, no caso do nosso exemplo de altura dos indivduos, como ns conclumos que 1,70m encontra-se dentro do intervalo de confiana calculado a 95% de confiana, podemos afirmar que a afirmao verdadeira.

Veja que no h nada de novo com relao ao clculo do intervalo de confiana, no fundo a mesma coisa, s o jeito de olhar que diferente!

Vamos fazer uns exerccios para entender! Faa este primeiro junto comigo, ok?

Exerccio 4

(TRF 1 Regio FCC/2001/modificada) Julgue a afirmativa.

Seja uma varivel aleatria X, com mdia e desvio padro igual 5. A partir de uma amostra aleatria de 16 elementos, observou-se uma mdia amostral de valor 13. Uma pessoa afirmou que a mdia populacional dos elementos igual a 15, com 5% de significncia. Essa afirmao mostrou-se como verdadeira.

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Resoluo

Vamos l pessoal, a primeira coisa definir nossas hipteses nula e alternativa: ? ? ? ?

Perceba que se trata de um teste bicaudal, pois podemos encontrar valores superiores e inferiores a 15$VVLPQyVLUHPRVXVDUDTXHODIyUPXODGDHVWDWtVWLFD(), tambm chamada de estatstica de teste: ?

Dado que se trata de uma mdia!

Assim: ? ? ? ? ?

Olhando a nossa tabela, vamos construir um intervalo, supondo verdadeira a hiptese nula e que contenha 95% dos possveis valores amostrais: ? ? ? ? ? ?

Voc percebeu? Como falamos 5% de significncia, isso significa 2,5% de cada lado, o que nos leva a um valor de 1,96 na tabela! Assim, quando

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estivermos trabalhando com testes bicaudais, devemos dividir a significncia pedida pelo exerccio por 2 (dois).

Assim, substituindo o valor de z: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Com efeito, nosso intervalo de confiana ser: ? ? ? ? ? ? ? ?

Ou seja, o valor 15 est contido no intervalo! A afirmao verdadeira!

Outra forma de resolver o exerccio calculando a estatstica de teste como se a hiptese fosse verdadeira e vendo se o calculado est dentro do intervalo previsto para a varivel padronizada.

Assim, calcule a estatstica de teste como se a mdia fosse realmente 15: ? ? ? ? ? ? ?

Como seria o intervalo de confiana para os valores padronizados? Este seria dado pelos valores de que fazem com que 95% da amostra esteja em seu intervalo, ou seja: ? ? ? ? ? ?

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O valor calculado est no intervalo, portanto aceitamos a hiptese nula!

Alternativa correta.

Para que vocs aprendam o uso de testes monocaudais, vamos refazer o exerccio com uma pequena modificao!

Exerccio 5


Seja uma varivel aleatria X, com mdia e desvio padro igual 5. A partir de uma amostra aleatria de 16 elementos, observou-se uma mdia amostral de valor 13. Uma pessoa afirmou que a mdia populacional dos elementos de, no mnimo, 15, com 5% de significncia. Essa afirmao mostrou-se como verdadeira.

Resoluo

Agora a hiptese alternativa que muda: ? ? ? ?

Lembre-se de que a hiptese nula sempre avaliada em uma igualdade!

Bom, pelas nossas hipteses, o valor nunca ser superior a 15, portanto s precisamos olhar o lado esquerdo da distribuio normal padronizada. Vamos testar se a amostra com mdia igual 13 compatvel com a afirmao do indivduo.

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3HUFHEDP TXH WRGRV RV 5 ILFDP GR ODGR esquerdo! A diferente na hora de consultar a tabela! Como a tabela te d os valores unicaudais, procure o valor respectivo a 45%, que 1,65!

Esquea o lado direito! Vamos s testar se a mdia menor do que 15 (ou menor do que 0 (zero) na verso padronizada)! Neste caso, s faramos o clculo para a cauda superior: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Assim, nosso intervalo de confiana seria:

? ? ? ? ? ?

Ou seja, o limite superior YDLDWpLQILQLWRFREULQGRWRGDVDSRVVLELOLGDGHVKDYHQGRto somente, um limite mnimo!

Com base nestas consideraes podemos concluir que a hiptese nula verdadeira! Pois, mesmo com uma mdia igual a 15, podemos obter uma mdia amostral de valor 13.

Mais um exerccio?

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Exerccio 6

(BACEN FCC/2005) As empresas de um determinado setor tm uma situao lquida bem descrita por uma distribuio normal, com mdia igual a 2,5 milhes de reais e desvio padro de 2 milhes de reais. Selecionando uma empresa aleatoriamente deste setor, a probabilidade dela apresentar uma situao lquida negativa de:

a) 50% b) 39% c) 23% d) 16% e) 11%

Resoluo

Outra questo que exige um pouco mais de raciocnio! Atente-se que, neste caso, no estamos testando uma mdia, mas uma varivel com distribuio normal. Assim, na padronizao basta utilizarmos o desvio padro em nvel (sem dividi-lo pelo tamanho da amostra, como no caso da mdia).

Vamos encontrar o valor normalizado para o caso de uma situao lquida nula ( ?):

? ? ? ?

Ou seja:

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Agora basta olharmos na tabela a probabilidade correspondente a ? ? ?, isso , qual a probabilidade de que um valor esteja entre 0 e 1,25. Podem conferir, o valor encontrado 0,39. Assim, toda aquela rea amarela corresponde a uma probabilidade de 0,39!

Agora, eu te pergunto: qual a probabilidade de ocorrncia de um evento na parte vermelha da figura (que o que desejamos saber, dado que o exerccio pergunta a probabilidade da empresa ter resultado nulo ou negativo)?

Ora, toda a figura tem probabilidade igual a 1, certo? Ento, como a distribuio VLPpWULFDFDGDODGRGRVLQRWHPSUREDELOLGDGHGHRFRUUrQFLDLJXDOD$VVLPDprobabilidade da parte vermelha : ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (e).

1.2 Testando a mdia quando a varincia desconhecida

At agora tratamos do caso em que queremos testar um possvel valor de mdia populacional, dadas informaes sobre uma mdia calculada com base na amostra e na varincia populacional.

Mas, isso no estranho? Se voc no tem a mdia populacional, porque teria a varincia? O que ns costumamos ter a varincia amostral.

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Neste caso, a verso padronizada de nossa estatstica de teste seria: ?

Sendo o desvio padro amostral, dado por:

?

-2TXHLVVRPXGDSURIHVVRU"

Simples, a distribuio correspondente a esta estatstica deixa de ser uma normal padro e torna-se a famosa t de Student. A distribuio t de Student muito parecida com a normal, no necessitando de maiores detalhes sobre a mesma, tal como pode ser percebido no grfico abaixo:

Assim, pode-se dizer que a expresso acima segue uma distribuio t de Student com ( ?) graus de liberdade. Analiticamente:

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? ?

2TXHVmRHVWHVJUDXVGHOLEHUGDGHSURIHVVRU"

Olhe pessoal, isso um pouco mais avanado e desnecessrio para seu concurso, portanto decore que o grau de liberdade associado a uma estatstica t de Student igual ao tamanho da amostra em questo menos uma unidade. Voc precisar deste valor para consultar a tabela, como vocs podem ver abaixo:

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A forma de utilizao desta tabela buscar o nmero de graus de liberdade na linha e o valor crtico na coluna. Perceba que a coluna tem 2 valores, sendo que o de cima corresponde ao valor bicaudal, enquanto que o de baixo o respectivo valor no caso de um teste monocaudal (s vezes a tabela s d o valor monocaudal). A ttulo de exemplo, veja o valor para o caso de 4 graus de liberdade e 10% de significncia em um teste monocaudal:

Pode-se provar que, conforme aumentam os graus de liberdade, a distribuio t converge para uma distribuio normal! Assim, a forma de avaliao das duas muito semelhante.

-3URIHVVRUFRPRYRXGHFRUDUHVWHPRQWHGHWDEHODV"

No se preocupe, a banca vai disponibilizar os valores das tabelas, voc s tem que aprender como us-las!

A forma de resoluo de problemas com a distribuio t muito semelhante ao caso da normal padro, tal como vocs podero perceber nos exerccios abaixo.

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Exerccio 7

(TRT 2 Regio 2008/FCC) Para uma experincia realizada com referncia medio do comprimento de determinada pea fabricada por uma indstria, utilizou-se uma amostra de 16 peas, apurando-se uma mdia de 0,9m e um desvio padro de 0,2m. Supondo que os comprimentos das peas tenham distribuio normal, com mdia e varincia desconhecida, deseja-se saber, ao nvel de significncia de 5%, se o comprimento da pea no inferior a 1m. Seja H0 a hiptese nula do teste ( ) e H1 a hiptese alternativa ( ) e o quantil da distribuio t de Student tabelado para teste unicaudal, com 15 graus de liberdade. Ento, pelo teste t:

a) A concluso obtida seria a mesma para qualquer nvel de significncia b) H0 no pode ser aceita, indicando que os comprimentos so menores

que 1m c) O nmero de graus de liberdade no interferiu na definio de d) Para um nvel de significncia superior a 5% a concluso no poderia

ser a mesma

e) O valor da estatstica de teste de -0,5

Resoluo

Bom, pode-se perceber que se trata de um teste monocaudal, ou seja, a regio OLPLWH PXLWDV YH]HV FKDPDGD GH FUtWLFD p IRUPDGD SRU valores na esquerda do grfico da distribuio. O valor crtico fornecido pelo exerccio : ? ? ?

Confira com o valor da tabela, assim voc aprende a us-la caso seja necessrio.

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O que este valor est nos mostrando um intervalo de confiana para testarmos nossa estatstica de teste, sendo que este dado por: ? ? ? ?

O exerccio s nos fornece o desvio padro amostral, assim, temos de utilizar a estatstica t de Student. Calculando a estatstica de teste chegamos a: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Veja que este valor no est no intervalo de confiana, superando o valor crtico inferior do intervalo. Portanto rejeitamos a hiptese nula!

Alternativa (b).

Vamos fazer mais alguns exerccios! Agora vamos dar uma generalizada!

Exerccio 8

(ATRFB ESAF/2013) A varincia da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 igual a a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5.

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Resoluo

Para calcularmos esta estatstica devemos nRVDWHQWDUjSDODYUDDPRVWUDPerceba que, neste caso, a varincia deve ser calculada com base na seguinte estatstica: ?

No se esquea de modificar o denominador por ( ?).

Agora fcil: ? ? ? ? ? ? ?

Ento: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (b).

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Exerccio 9

(FINEP CESGRANRIO/2011) Uma amostra aleatria de 100 famlias foi selecionada com o objetivo de estimar o gasto mdio mensal das famlias com medicamentos. Os resultados amostrais esto resumidos na distribuio de frequncia, a seguir, segundo as classes de gastos, em 10 reais. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Gastos em 10 reais Frequncia Absoluta

de 1 a 3 10

de 3 a 5 30

de 5 a 7 60

total 100

As melhores estimativas para a mdia aritmtica e para a varincia amostral so, aproximada e respectivamente,

a) 5 reais e 1,82 reais b) 5 reais e 18,2 reais c) 50 reais e 1,82 reais d) 50 reais e 18,2 reais e) 50 reais e 182 reais

Resoluo

Na aula 01 ns j realizamos parte deste exerccio, calculando a mdia, que era de 50 reais. Agora, com base no nosso conhecimento de varincia amostral, vamos calcular esta estatstica. A melhor forma encontrar os pontos mdios de cada classe:

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Gastos (em 10 reais) Ponto Mdio Frequncia Absoluta de 1 a 3 2 10 de 3 a 5 4 30 de 5 a 7 6 60

total 100

Agora, calcule a varincia: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Entretanto, cuidado, estamos tratando com unidades de 10 reais, assim, nosso resultado de 182 reais ( ? ? ? ? ? ?, pois estamos tratando de varincia, assim a medida tambm fica ao quadrado).

Alternativa (e).

Exerccio 10

(FINEP CESGRANRIO\2011) Dois dados comuns, honestos, foram lanados simultaneamente. Sabe-se que a diferena entre o maior resultado e o menor igual a um. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a sete?

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/7

Resoluo

Bom, a primeira coisa a fazer pensar quais so os resultados cuja soma pode ser igual a 7, mas a diferena entre o maior e o menor resultado igual a 1.

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Bom, os nicos casos em que isso ocorre so: ? ? ? ?

Mas existem vrias outras possibilidades de que a diferena entre o maior e menor valor seja igual a 1. Vamos listar de cabea o espao amostral (): ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Assim: ? ? ? ? ? ?

Alternativa (c).

(TCU CESPE/2008) Uma instituio afirma que o custo mdio para realizao de determinada obra igual ou inferior a R$ 850,00 m. Para avaliar esta afirmao, foi realizado um teste estatstico cujas hipteses nulas e alternativas so, respectivamente, H0: e H1: . Considere que a distribuio de custos por metros quadrados possa ser considerada como normal com mdia e desvio padro de R$ 300m. A partir de uma amostra aleatria de tamanho 25, a estatstica de teste para a mdia foi igual a 2,1. Com base nestas afirmaes, julgue o item a seguir:

Exerccio 11

A mdia amostral produzida pelo teste estatstico foi superior a 950 m e inferior a 1000 m.

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Resoluo

Basta calcularmos a estatstica de teste: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Calculando o valor de : ? ? ? ? ? ?

Portanto, o item est correto, pois o valor calculado encontra-se entre 950m e 1000m.

Retornando!

2. Teste para a varincia

At agora analisamos hipteses feitas sobre mdias ou variveis com distribuio normal, o que podamos fazer com base na distribuio normal padro (ou t de Student, caso no conheamos a varincia). Agora vamos aprender como determinar intervalos de confiana para varincias, que sejam derivadas de distribuies normais (isso muito importante).

-&RPRID]HULVVRSURIHVVRU"

A forma de fazer isso por meio do clculo da seguinte estatstica de teste:

? ? ?

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Sendo ? a varincia populacional, ? a varincia amostral e o tamanho da amostra.

Sob a hiptese nula, pode-se provar que esta estatstica seguir uma distribuio qui-quadrado com ? graus de liberdade. Assim: ? ?

A distribuio qui-quadrado, em geral, no simtrica, tal como pode ser observado abaixo:

Portanto, a forma de realizao do teste de hipteses para a varincia feito da mesma forma que para a mdia, mas utilizamos a estatstica de teste qui-quadrado, alm da necessidade de atentarmos para o fato de que os valores na cauda direita e esquerda sero diferentes!

Veja a tabela de valores crticos qui-quadrado:

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Calma, vou ensinar a vocs com exerccios!

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Exerccio 12

(TRT 3 Regio FCC/2009) O peso de pacotes de caf uma varivel aleatria X. Uma mquina de encher pacotes est regulada para faz-lo com e ? ?. Com o objetivo de manter sob controle a variabilidade do produto, a cada 30 minutos uma amostra aleatria de alguns pacotes selecionada e testa-se se a variabilidade est controlada. Assim, desejando-se testar H0: ? contra H1: ? , toma-se uma amostra de 16 pacotes e observa-se uma varincia amostral de 160g. O valor observado para a estatstica de teste de: a)31 b)28 c)24 d)22 e)19

Resoluo

O clculo da estatstica de teste feito da seguinte forma: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (c).

Exerccio 13

(Elaborado pelo autor) Com base no exerccio anterior, a 5% de significncia, verifique se a hiptese nula satisfeita.

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Resoluo

A forma de olhar a tabela um pouco diferente dos casos anteriores, pois a distribuio no simtrica. Portanto, no caso em questo, devemos verificar as duas extremidades da distribuio, ou seja, os 2,5% da extremidade inferior e os 97,5% da extremidade superior, de forma que tenhamos um total de 5% de significncia testada. Olhando a tabela vocs encontraro: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Entendeu o que fizemos? Como a distribuio no simtrica, precisamos encontrar os valores para os limites superior e inferior individualmente e assim estabelecer o intervalo de confiana, que no nosso caso : ? ? ? ? ? ?

Como o valor calculado est dentro do intervalo, aceitamos a hiptese nula.

3. Poder de um teste e o p-valor

Suponha que estejamos tentando determinar se uma moeda ou no viciada. Neste caso, podemos testar essa hiptese com base na quantidade de caras que ocorrem em uma determinada quantidade de lanamentos. Assim, as hipteses nulas e alternativas com relao probabilidade de ocorrer cara so: ? ? ? ?

Agora, vamos determinar a significncia do nosso teste, ou seja, o que muita coincidncia! Por suposio, vamos considerar que o nosso nvel de significncia de 10%.

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A probabilidade de ocorrer uma cara no primeiro lanamento de 0,5. Assim, qual a probabilidade de ocorrerem duas caras seguidas? ? ? ? ? ? ? ? ?

Com base em nosso nvel de significncia, isso possvel de ocorrer, pois 10% que muita coincidncia. E se tirarmos outra cara em um terceiro lanamento? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Isso continua sendo possvel! E se fosse 4 vezes? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Perceba que este valor inferior significncia do teste, portanto isso seria muita coincidncia! Neste caso, rejeitaramos a hiptese nula de que a moeda honesta.

Este valor (6,25%) seria o p-valor para este experimento. O p-valor seria o valor limite entre a aceitao e rejeio da hiptese nula. Em termos mais analticos, pode-se definir o p-valor como o menor nvel de significncia em que a hiptese nula pode ser rejeitada. No exemplo, como o p-valor (6,25%) menor do que o nvel de significncia adotado, rejeita-se a hiptese nula!

Fique calmo, ns j vamos fazer uns exerccios que vo te ajudar a entender o conceito!

-7XGREHPSURIHVVRUPDVHVHHXUHDOL]DUXPWHVWHGHKLSyWHVHTXH, apesar GHUHMHLWDUXPDGHWHUPLQDGDKLSyWHVHQXODHOHHVWLYHULQFRUUHWR"

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No vou mentir, esta uma possibilidade! Na verdade, esta SUREDELOLGDGH WHP DWp XP QRPH HUUR WLSR . O erro tipo 1 ocorre quando rejeitamos uma hiptese nula, quando na verdade ela verdadeira. No caso da moeda, nosso teste de hipteses est rejeitando a hiptese nula de uma moeda honesta, mas isso no certo, pois, apesar de pouco provvel, aquele resultado pode acontecer.

No nosso exemplo, o erro tipo 1 seria a probabilidade de que estivssemos na parte LPSURYiYHO GD FXUYD GH GLVWULEXLomR RX VHMD QRV YDORUHV GHILQLGRV SHODsignificncia de 10%. Portanto fica fcil ver que: ?

Isso fiFDFODURTXDQGRSHQVDPRVTXDODSUREDELOLGDGHGHRYDORUYHUGDGHLURQmRestar no intervalo de confiana a ser definido por ns? Ora, nos valores que FRQVLGHUDPRVPXLWDFRLQFLGrQFLD

Outro erro possvel ocorre quando aceitamos a hiptese nula quando ela falsa! Este o erro tipo 2!

Neste caso, temos um problemo aqui! Pense comigo, este valor ns no temos acesso, haja vista no conhecermos a distribuio que contem o valor verdadeiro que estamos procurando. Com base na figura abaixo, pode-se inferir um caso em que aceitaramos a hiptese nula apesar de ela ser falsa.

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Voc percebe o que est ocorrendo? A primeira curva seria relativa aos dados que estamos testando, enquanto que a segunda seria relativa verdadeira distribuio da varivel. A parte escura est dentro de nossa regio de aceitao, mas ela no contem o valor verdadeiro.

-(VHHXGLPLQXLURQtYHOGHVLJQLILFkQFLDSDUDVHUPDLVULJRURVR"

No tem jeito, o problema do cobertor curto. Se voc reduz a probabilidade de erro tipo 1, voc aumenta a probabilidade do erro tipo 2! Isso porque o que voc vai ID]HUpTXHPDLVYDORUHVSRVVDPVHUFRQVLGHUDGRVFRPRFRUUHWRVDXPHQWDQGRDchance de que outras distribuies possam ter valores considerados como verdadeiros, quando no o so.

O erro de tipo 2 importante para definir a efetividade de um teste, fixando o poder do teste. Se chamarmos a probabilidade de erro tipo 2 de , o poder do teste ser dado por: ? ? ?

Este valor nos diz qual a probabilidade de que um determinado teste rejeite a hiptese nula quando ela falsa.

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-0DVFRPRPHOKRUDUDHILFLrQFLDGHPLQKDVHVWLPDWLYDVSURIHVVRU"

9RFr SUHFLVD GHL[DU VXDV GLVWULEXLo}HV PDLV ILQLQKDV RX VHMD FRP PHQRUvarincia, deste modo diminumos a probabilidade dos dois erros. Isso s possvel com amostras maiores. Portanto, uma amostra maior pode ser vista como uma TXDQWLGDGHPDLRUGHSURYDVSDUDQRVVDVFRQFOXV}HVRTXHaumenta a acurcia de nossas previses.

Bom, estudamos vrios testes de hipteses, mas focamos no caso de variveis com distribuio normal! Este no o nico tipo de distribuio conhecida, o que pode mudar a forma de abordagem do teste de hipteses.

4. Teste para propores

Vamos fazer um exerccio juntos para que vocs possam entender bem como funciona este teste. Perceba que se trata de um caso com uma amostra grande (1000 elementos). Em geral, quando voc vir uma amostra de mais 50 elementos, pode usar a distribuio normal. Alm disso, pelo formato do exerccio vocs vo saber quando um caso ou outro. Voc vai ver!

Exerccio 14

(Petrobrs CESGRANRIO/2010) Um fabricante deseja fazer um estudo, com confiana de 95%, a respeito da aceitao de seu novo produto. Esse novo lanamento s ser comercializvel se o ndice de aceitao for de, pelo menos, 90%. Para tal, realizou uma pesquisa em uma cidade na qual o produto j foi comercializado. Foi perguntado aos consumidores se estes gostaram do produto. O resultado foi o seguinte: 850 consumidores responderam que gostaram e 150 que no gostaram. Qual ser a estatstica de teste a ser utilizada neste teste?

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a) -5,27 b) -1,96 c) -1,65 d) 1,96 e) 5,27

Resoluo

No presente caso estamos tratando com um caso de distribuio Bernoulli. No percebeu? Ao escolhermos um consumidor ao acaso, temos 85% ( ? ? ? ? ? ? ?) de chance de encontrar algum que gosta do produto. Ou seja, estamos comparando uma prRSRUomR GH VXFHVVR FRP XPD SURSRUomR WHyULFD H YHULILFDQGR VH Damostra permite concluir que a teoria est adequada.

%RPYDPRVQRVOHPEUDUGDTXHODIyUPXODGDHVWDWtVWLFDGHWHVWH

Assim, na mdia, temos 85% de chance de acertar! Essa nossa mdia amostral (). Por simplicidade, vamos chamar a este valor de ().

-,VVRpXPDSURSRUomRPpGLDSURIHVVRU"

Sim, pois o percentual de 85% nem sempre pode bater com o valor encontrado. Por exemplo, se voc extrair uma amostra de 20 indivduos deste total, isso significa que voc encontrar, exatamente, 17 pessoas que gosta do produto? No! Pode ser que voc no encontre nenhuma! O que voc sabe que, na mdia, 85% das pessoas analisadas preferem o produto, ou seja, se voc realizar este experimento infinitas vezes 85% das pessoas iro gostar.

Qual o parmetro que estamos comparando com essa mdia? Ns queremos saber se, na mdia e com base no que sabemos da amostra, podemos assumir como verdadeira a hiptese feita sobre a populao, de que a mdia de preferncias que

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pode ser encontrada de 90%. Esse nosso parmetro populacional (). Vamos chamar a este parmetro de ().

E a varincia? Ns j sabemos como calcular a varincia de uma binomial: ?

Ento, ns temos como saber qual a varincia da populao se hiptese feita for verdadeira: ? ? ? ? ?

Mas, devido ao fato de que estamos tratando de uma proporo mdia, devemos nos lembrar da frmula para o estimador no viesado da varincia da mdia amostral: ?

Portanto, combinando tudo isso que falamos, a nossa frmula modificada para testes em propores seria:

Viu? No fundo a mesma coisa, o que muda mesmo o clculo da varincia! Vamos aplicar ao caso concreto para entendermos. A varincia do processo seria: ? ? ? ? ? ? ? ?

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Sendo que o desvio padro respectivo seria:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Colocando tudo na estatstica de teste, chegamos a: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exerccio chato de clculo! Uma forma de resolver pensar, mais ou menos, quanto seria a raiz quadrada de 1000. Pense 20 400, 30 900 e 40 1600, opa, pare a mesmo! Deve ser um nmero entre 30 e 40, s que bem mais prximo de 30, ento deve ser inferior a 35. Se voc fizer 31 voc chegar 961. Este o valor mais prximo!

Ento vamos fazer um clculo aproximado: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O que chega mais prximo a alternativa (a). Esta a correta! Faa com a calculadora e confirme o raciocnio.

Entenderam como se calcula a estatstica de teste?

Agora, podemos testar essa hiptese, fixando a hiptese nula de que ? ? e a hiptese alternativa de que ? ?. Assim: ? ? ? ?

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Se formos testar a hiptese a 10% de significncia, basta olharmos a tabela da normal padronizada para encontrarmos o valor do intervalo: ? ? ? ? ? ?

Lembre-se de que este um teste monocaudal, portanto, vocs devem procurar uma probabilidade de, aproximadamente 0,40 na tabela!

Se voc comparar a estatstica de teste com o intervalo construdo, voc perceber que a mesma no est contida neste ltimo, portanto, rejeita-se a hiptese nula.

Entendeu? No tem segredo! Agora, vamos treinar um pouco para aprender de verdade. Alguns exerccios podem ter uns macetes que falta ensinar, mas pode deixar que eu aviso antes para que vocs acompanhem a resoluo.

Chega de lero lero, vamos exercitar!


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Exerccio 15

O poder do teste que representa a probabilidade de se aceitar corretamente a hiptese nula de 98,2%.

Resoluo

Simples pessoal. Est errado! O poder de um teste a probabilidade de se rejeitar a hiptese nula dada que ela falsa.

Exerccio 16

(DNOCS FCC/2010) Em um teste de hipteses estatstico, sendo H0 a hiptese nula e H1 a hiptese alternativa, o nvel de significncia do teste consiste na probabilidade de:

a) Aceitar H0 dado que H0 verdadeira b) Rejeitar H0 dado que H0 falsa c) Aceitar H0, independentemente de falsa ou verdadeira d) Aceitar H0, dado que falsa e) Rejeitar H0, dado que verdadeira

Resoluo

O nvel de significncia de um teste a probabilidade de cometer o erro tipo 1, isso , a probabilidade de rejeitar H0 dado que ela verdadeira.

Alternativa (e).

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Exerccio 17

(Petrobras CESGRANRIO/2010) Em um teste de hipteses estatstico, sendo H0 a hiptese nula e H1 a hiptese alternativa, cometer erro tipo 2 consiste em:

a) Rejeitar H0, dado que verdadeira b) Aceitar H0, dado que falsa c) Aceitar H1, sendo H1 verdadeira d) Rejeitar H1, sendo H1 falsa e) Aceitar H0 e H1

Resoluo

A probabilidade de erro tipo 2 a de aceitar H0, dado que a mesma falsa.

Alternativa (b).

Exerccio 18

(STN ESAF/2013) Em um teste de hipteses, onde Ho a hiptese nula e H a hiptese alternativa, pode-se afirmar que: a) ocorre Erro Tipo I quando aceita-se Ho e Ho falsa. b) a estatstica F de Snedecor tem por finalidade testar o efeito individual de cada varivel explicativa sobre a varivel explicada. c) a soma das probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II igual a 1. d) se o valor-p de um teste de hipteses for igual 0,015, ento a hiptese nula ser rejeitada ao nvel de significncia de 5%, mas no ao nvel de significncia de 1%. e) o nvel de confiana a probabilidade de se cometer Erro Tipo II.

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Resoluo

Vamos analisar uma a uma: a) Errado, o nvel de significncia do teste. b) Na ltima aula vocs vo aprender a estatstica F, mas est errado! c) Essa propriedade no existe. d) Perfeito, como o p-valor menor do que 0,05 e maior do que 0,01, rejeitamos

a hiptese nula a 5% e aceita-se a 1%. e) No, este o erro tipo 2.

Alternativa (d).

Exerccio 19

(ISS-SP FCC/2006) Uma varivel aleatria X tem distribuio normal com mdia e desvio padro 100. O tamanho da amostra para que a diferena, em valor absoluto, entre a mdia amostral e seja menor do que 2, com coeficiente de confiana de 89% : a)1100 b)2200 c)2800 d)3600 e)6400

Resoluo

2OKH TXDQGR R H[HUFtFLR WH GL] GLIHUHQoD HQWUH PpGLD DPRVWUDO H HOH HVWifalando de: ?

Sabendo que um nvel de confiana de 89% corresponde a um valor de 0,445 de cada lado. Olhe a tabela normal, voc ver que o valor encontrado de 1,6.

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Agora basta substituirmos na estatstica de teste: ? ? ? ? ? ? ? ?

Agora vamos operar: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (e).

(ANPEC 2012) Julgue as afirmativas.

Exerccio 20

Se o p-valor de um teste maior do que o nvel de significncia adotado, rejeita-se a hiptese nula.

Resoluo

exatamente o contrrio, caso o p-valor seja inferior ao nvel de significncia, a sim rejeita-se a hiptese nula.

Alternativa errada.

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Exerccio 21

Suponha que o objetivo seja testar a hiptese nula de que a mdia populacional igual a 0. Se esta hiptese rejeitada num teste monocaudal contra a hiptese alternativa de que , ela tambm ser rejeitada num teste bicaudal contra a hiptese alternativa de que , adotando-se o mesmo nvel de significncia.

Resoluo

A um mesmo nvel de significncia, o valor crtico ser um nmero superior (em nmero absoluto) em um teste bicaudal do que em um monocaudal.

Por exemplo, compare um nvel de significncia de 10% em um teste bicaudal, que nos d um valor ( ? ? ?), enquanto que em um monocaudal o valor passa a ser ( ? ? ?).

Assim, para uma mesma estatstica de teste, nada garante que, se o valor supera o valor de () monocaudal, o mesmo ser superior ao valor bicaudal para um mesmo nvel de significncia.

Alternativa errada.

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Exerccio 22

(Gestor fazendrio ESAF/2005) Lana-se uma moeda 20 vezes e observa-se a ocorrncia de 7 caras. Seja a probabilidade de cara. Assinale a opo que d o valor da estatstica de teste correspondente ao teste contra .

a) ? b) ? c) ? d) ? e) ?

Resoluo

Bom, vamos testar esta moeda que mostra uma probabilidade de obter cara de: ? ? ?

Agora s precisamos usar a frmula de estatstica de teste: ? Assim, substituindo os valores: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (a).

A prxima vale a pena vocs acompanharem primeiro!

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Exerccio 23

(ICMS-MG ESAF/2005) Um fabricante afirma que, pelo menos, 95% dos equipamentos que fornece indstria encontram-se dentro de suas especificaes. Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de especificao. Assinale a opo que corresponde ao valor probabilstico (p-valor) do teste contra , sendo a proporo populacional dos itens dentro das especificaes. a) 0,5 b) 0,05 c) 0,025 d) 0,01 e) 0,1

Resoluo

9DPRVXWLOL]DUDPHVPDIyUPXODSDUDHVWDWtVWLFDGHWHVWHGRH[HUFtFLRDQWHULRU ?

A questo agora que o que pedido o p-valor. Mas, o que o p-valor? Vamos lembrar-nos da aula anterior: Em termos mais analticos, pode-se definir o p-valor como o menor nvel de significncia em que a hiptese nula pode ser UHMHLWDGD

Ento, em termos prticos, o que estamos fazendo? Ns vamos calcular, por meio da estatstica de teste, os valores que esto dentro de um intervalo de confiana definido para a proporo. O p-valor ser a probabilidade de obtermos valores extremos, alm do intervalo de confiana definido para a proporo.

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Vamos aplicar no nosso exemplo, sendo que, para isso, temos de calcular a proporo amostral: ? ? ? ? ? ?

Vamos substituir na estatstica de teste: ? ? ? ? ? ? ?

Veja que nem precisamos calcular o denominador, pois o numerador igual zero.

O que este resultado est nos dizendo? Olhe o grfico abaixo:

Ns estamos bem no centro da distribuio, o que nos leva concluso de que estamos em um ponto que divide a distribuio em duas partes iguais de 50% de chance.

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Qual o p-valor? a probabilidade de estarmos direita do calculado, ou seja, nos valores extremos delimitados pelo intervalo de confiana. Portanto, o p-valor ser de: ? ? ?

Alternativa (a).

(ICMS-RJ FCC\2013) Para responder s questes de nmeros 24 a 25, considere as informaes a seguir: Se Z tem distribuio normal padro, ento: P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977

Exerccio 24

Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lana uma determinada moeda. Com base em 100 lanamentos da moeda, deseja-se testar a hiptese de que a moeda no viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com base na varivel aleatria que representa a proporo de caras em 100 lanamentos estabeleceu-se para o teste a seguinte regio crtica (RC): RC = { ` 6HQGR D SUREDELOLGDGH GR HUUR GR WLSR ,, H DGPLWLQGR-se a aproximao normal para a distribuio deRYDORUGHp a) 0,150 b) 0,250 c) 0,106 d) 0,053 e) 0,125

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Resoluo

O erro tipo II a probabilidade de aceitarmos a hiptese nula dado que ela falsa. O exerccio fala que a regio crtica dada pelos valores nos quais a proporo maior ou igual a 0,75.

Para fazer isso, precisamos encontrar a probabilidade de que encontremos um valor menor do que 0,75, sabendo-se que a mdia do processo 0,8.

Antes de comearmos, atente-se que se trata de um caso de teste de jipteses com propores! Assim, vamos usar nossa frmula: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Ou seja, com base no enunciado: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Essa a probabilidade de encontrarmos um valor maior do que 0,75, mas ns queremos exatamente o contrrio!

Portanto, a probabilidade de encontrarmos um valor menor do que 0,75 significa encontrar um valor de estatstica Z mais negativo, ou mais esquerda da curva de distribuio normal. ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (c).

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Exerccio 25

O tempo necessrio para o atendimento de uma pessoa em um guich de uma repartio pblica tem distribuio normal com mdia = 140 segundos e desvio padro = 50 segundos. A probabilidade de que um indivduo, aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido a) 0,765 b) 0,632 c) 0,235 d) 0,189 e) 0,678

Resoluo

Vamos trabalhar com a unidade segundos: ? ? ? ? ? ? ? ?

Precisamos encontrar a diferena entre a probabilidade de o indivduo esperar 4 minutos e 3 minutos a fim de respondermos a questo. Assim, a probabilidade de o indivduo esperar at 3 minutos: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Com base no enunciado: ? ? ? ? ? ?

J a chance de o indivduo esperar entre 0 e 4 minutos : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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Assim: ? ? ? ? ?

O que estamos procurando : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (d).

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Lista de exerccios resolvidos

Exerccio 1

(Elaborado pelo autor) Suponha que a seguinte amostra de alturas tenha sido retirada da populao:

Alturas

(metros)

1,7

1,6

1,7

1,75

1,8

1,82

1,9

1,78

1,74

1,83

Dado que a altura mdia da populao de 1,70m e sabendo que o desvio padro populacional de 0,1, qual a probabilidade de encontrarmos um valor para a mdia amostral que se situe entre 1,70m e o valor encontrado para esta amostra?

Exerccio 2

(Auditor da Previdncia Social ESAF/2002/modificada) O desvio padro para o peso de peas mecnicas obtidas num lote de produo de 25kg. Sabendo-se que, em uma amostra de 100 peas do lote, foi encontrado um peso mdio de 23,2kg, qual o intervalo de confiana para a mdia? a) b) c) d) e)

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Exerccio 3

(BACEN FCC\2005) A distribuio dos valores de aluguis dos imveis em certa localidade bem representada por uma curva normal com desvio padro populacional de R$ 200,00. Por meio de uma amostra aleatria de 100 imveis neste local, determinou-se um intervalo de confiana para a mdia destes valores de [R$ 540,00;R$ 660,00]. A mesma mdia amostral foi obtida com um outro tamanho de amostra, com o mesmo nvel de confiana anterior, sendo o novo intervalo [R$ 560,00;R$ 640,00]. A populao tem tamanho infinito, o tamanho da amostra no segundo caso de:

a) 225 b) 256 c) 324 d) 400 e) 625

Exerccio 4


Seja uma varivel aleatria X, com mdia e desvio padro igual 5. A partir de uma amostra aleatria de 16 elementos, observou-se uma mdia amostral de valor 13. Uma pessoa afirmou que a mdia populacional dos elementos igual a 15, com 5% de significncia. Essa afirmao mostrou-se como verdadeira.

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Exerccio 5


Seja uma varivel aleatria X, com mdia e desvio padro igual 5. A partir de uma amostra aleatria de 16 elementos, observou-se uma mdia amostral de valor 13. Uma pessoa afirmou que a mdia populacional dos elementos de, no mnimo, 15, com 5% de significncia. Essa afirmao mostrou-se como verdadeira.

Exerccio 6

(BACEN FCC/2005) As empresas de um determinado setor tm uma situao lquida bem descrita por uma distribuio normal, com mdia igual a 2,5 milhes de reais e desvio padro de 2 milhes de reais. Selecionando uma empresa aleatoriamente deste setor, a probabilidade dela apresentar uma situao lquida negativa de:

a) 50% b) 39% c) 23% d) 16% e) 11%

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Exerccio 7

(TRT 2 Regio 2008/FCC) Para uma experincia realizada com referncia medio do comprimento de determinada pea fabricada por uma indstria, utilizou-se uma amostra de 16 peas, apurando-se uma mdia de 0,9m e um desvio padro de 0,2m. Supondo que os comprimentos das peas tenham distribuio normal, com mdia e varincia desconhecida, deseja-se saber, ao nvel de significncia de 5%, se o comprimento da pea no inferior a 1m. Seja H0 a hiptese nula do teste ( ) e H1 a hiptese alternativa ( ) e o quantil da distribuio t de Student tabelado para teste unicaudal, com 15 graus de liberdade. Ento, pelo teste t:

a) A concluso obtida seria a mesma para qualquer nvel de significncia b) H0 no pode ser aceita, indicando que os comprimentos so menores

que 1m c) O nmero de graus de liberdade no interferiu na definio de d) Para um nvel de significncia superior a 5% a concluso no poderia

ser a mesma

e) O valor da estatstica de teste de -0,5

Exerccio 8

(ATRFB ESAF/2013) A varincia da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 igual a a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5.

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Exerccio 9

(FINEP CESGRANRIO/2011) Uma amostra aleatria de 100 famlias foi selecionada com o objetivo de estimar o gasto mdio mensal das famlias com medicamentos. Os resultados amostrais esto resumidos na distribuio de frequncia, a seguir, segundo as classes de gastos, em 10 reais. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Gastos em 10 reais Frequncia Absoluta

de 1 a 3 10

de 3 a 5 30

de 5 a 7 60

total 100

As melhores estimativas para a mdia aritmtica e para a varincia amostral so, aproximada e respectivamente,

a) 5 reais e 1,82 reais b) 5 reais e 18,2 reais c) 50 reais e 1,82 reais d) 50 reais e 18,2 reais e) 50 reais e 182 reais

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Exerccio 10

(FINEP CESGRANRIO\2011) Dois dados comuns, honestos, foram lanados simultaneamente. Sabe-se que a diferena entre o maior resultado e o menor igual a um. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a sete?

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/7


Exerccio 11

A mdia amostral produzida pelo teste estatstico foi superior a 950 m e inferior a 1000 m.

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Exerccio 12

(TRT 3 Regio FCC/2009) O peso de pacotes de caf uma varivel aleatria X. Uma mquina de encher pacotes est regulada para faz-lo com e ? ?. Com o objetivo de manter sob controle a variabilidade do produto, a cada 30 minutos uma amostra aleatria de alguns pacotes selecionada e testa-se se a variabilidade est controlada. Assim, desejando-se testar H0: ? contra H1: ? , toma-se uma amostra de 16 pacotes e observa-se uma varincia amostral de 160g. O valor observado para a estatstica de teste de: a)31 b)28 c)24 d)22 e)19

Exerccio 13

(elaborado pelo autor) Com base no exerccio anterior, a 5% de significncia, verifique se a hiptese nula satisfeita.

Exerccio 14

(Petrobrs CESGRANRIO/2010) Um fabricante deseja fazer um estudo, com confiana de 95%, a respeito da aceitao de seu novo produto. Esse novo lanamento s ser comercializvel se o ndice de aceitao for de, pelo menos, 90%. Para tal, realizou uma pesquisa em uma cidade na qual o produto j foi comercializado. Foi perguntado aos consumidores se estes gostaram do produto. O resultado foi o seguinte: 850 consumidores responderam que gostaram e 150 que no gostaram. Qual ser a estatstica de teste a ser utilizada neste teste?

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a) -5,27 b) -1,96 c) -1,65 d) 1,96 e) 5,27


Exerccio 15

O poder do teste que representa a probabilidade de se aceitar corretamente a hiptese nula de 98,2%.

Exerccio 16

(DNOCS FCC/2010) Em um teste de hipteses estatstico, sendo H0 a hiptese nula e H1 a hiptese alternativa, o nvel de significncia do teste consiste na probabilidade de:

a) Aceitar H0 dado que H0 verdadeira b) Rejeitar H0 dado que H0 falsa c) Aceitar H0, independentemente de falsa ou verdadeira d) Aceitar H0, dado que falsa e) Rejeitar H0, dado que verdadeira

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Exerccio 17

(Petrobras CESGRANRIO/2010) Em um teste de hipteses estatstico, sendo H0 a hiptese nula e H1 a hiptese alternativa, cometer erro tipo 2 consiste em:

a) Rejeitar H0, dado que verdadeira b) Aceitar H0, dado que falsa c) Aceitar H1, sendo H1 verdadeira d) Rejeitar H1, sendo H1 falsa e) Aceitar H0 e H1

Exerccio 18

(STN ESAF/2013) Em um teste de hipteses, onde Ho a hiptese nula e H a hiptese alternativa, pode-se afirmar que: a) ocorre Erro Tipo I quando aceita-se Ho e Ho falsa. b) a estatstica F de Snedecor tem por finalidade testar o efeito individual de cada varivel explicativa sobre a varivel explicada. c) a soma das probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II igual a 1. d) se o valor-p de um teste de hipteses for igual 0,015, ento a hiptese nula ser rejeitada ao nvel de significncia de 5%, mas no ao nvel de significncia de 1%. e) o nvel de confiana a probabilidade de se cometer Erro Tipo II.

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Exerccio 19

(ISS-SP FCC/2006) Uma varivel aleatria X tem distribuio normal com mdia e desvio padro 100. O tamanho da amostra para que a diferena, em valor absoluto, entre a mdia amostral e seja menor do que 2, com coeficiente de confiana de 89% : a)1100 b)2200 c)2800 d)3600 e)6400

(ANPEC 2012) Julgue as afirmativas.

Exerccio 20

Se o p-valor de um teste maior do que o nvel de significncia adotado, rejeita-se a hiptese nula.

Exerccio 21

Suponha que o objetivo seja testar a hiptese nula de que a mdia populacional igual a 0. Se esta hiptese rejeitada num teste monocaudal contra a hiptese alternativa de que , ela tambm ser rejeitada num teste bicaudal contra a hiptese alternativa de que , adotando-se o mesmo nvel de significncia.

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Exerccio 22

(Gestor fazendrio ESAF/2005) Lana-se uma moeda 20 vezes e observa-se a ocorrncia de 7 caras. Seja a probabilidade de cara. Assinale a opo que d o valor da estatstica de teste correspondente ao teste contra .

a) ? b) ? c) ? d) ? e) ?

Exerccio 23

(ICMS-MG ESAF/2005) Um fabricante afirma que, pelo menos, 95% dos equipamentos que fornece indstria encontram-se dentro de suas especificaes. Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de especificao. Assinale a opo que corresponde ao valor probabilstico (p-valor) do teste contra , sendo a proporo populacional dos itens dentro das especificaes. a) 0,5 b) 0,05 c) 0,025 d) 0,01 e) 0,1

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(ICMS-RJ FCC\2013) Para responder s questes de nmeros 24 a 25, considere as informaes a seguir: Se Z tem distribuio normal padro, ento: P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977

Exerccio 24

Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lana uma determinada moeda. Com base em 100 lanamentos da moeda, deseja-se testar a hiptese de que a moeda no viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com base na varivel aleatria que representa a proporo de caras em 100 lanamentos estabeleceu-se para o teste a seguinte regio crtica (RC): RC = { ` 6HQGR D SUREDELOLGDGH GR HUUR GR WLSR ,, H DGPLWLQGR-se a aproximao normal para a distribuio deRYDORUGHp a) 0,150 b) 0,250 c) 0,106 d) 0,053 e) 0,125

Exerccio 25

O tempo necessrio para o atendimento de uma pessoa em um guich de uma repartio pblica tem distribuio normal com mdia = 140 segundos e desvio padro = 50 segundos. A probabilidade de que um indivduo, aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido a) 0,765 b) 0,632 c) 0,235 d) 0,189 e) 0,678

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2 a 3 a 4 C 5 C 6 e 7 b 8 b 9 e 10 c 11 C 12 c 13 C 14 - a 15 E 16 e 17 b 18 d 19 e 20 E 21 E 22 a 23 a 24 c 25 d

O assunto de hoje muito importante e daremos enfoque a ele em nosso simulado. Estudem e mandem dvidas! Vocs conseguiro realizar seus sonhos, basta se esforar! O tpico amostragem fica para a prxima aula. [email protected]

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