Analise de Tenso e Falha de Laminados Multidirecionais

Analise de falha de um laminado muito mais complexa de que a de uma nica lamina. As tenses nas lminas individuais so essenciais e controlem iniciao de falha e avano no laminado. Falha de uma lamina no significa necessariamente falha total do laminado, mas s o comeo de um processo de falha interativo. Critrios de resistncia de laminado, como critrios de resistncia de lamina, so macroscpicos e so expressos em termos de parmetros bsicos de resistncia de lamina. A resistncia de cada lamina avaliada separadamente transformando as suas tenses para seus eixos principais (1,2), que variam de lamina a lamina, e aplicando um critrio de falha escolhido.

A resistncia de um laminado multidirecional uma funo de muitos fatores, alem de resistncias bsicas de lamina. As caractersticas direcionais de resistncia de laminado so afeitadas pelas diferentes orientaes de lamina, rigidezes, resistncias, e coeficientes de expanso trmica e de umidade. O empilhamento exato da sequencia afeita as rigidezes em flexo e de acoplamento (D e B) e consequentemente as tenses e a resistncia da lamina. No final, o processo de fabricao afeita as tenses residuais, que influenciam a resistncia total. Analise de falha ou de resistncia pode ter um dos dois objetivos:

1. analise de um laminado existente e determinao de cargas de ruptura ou de fatores de segurana. 2. design de um laminado para uma condio de carregamento dada.

Tipos de Falha

Falha em um laminado pode ser causada por falha de laminas individuais dentro de laminado (falha intralaminar) ou por separao de laminas contiguas (falha interlaminar). Falha de um laminado pode ser definida como falha inicial ou de ruptura, dependendo do grau de conservadorismo aplicado. Estas definies so anlogas aos critrios de escoamento e de ruptura usados em analise elstica/plstica de estruturas metlicas.

Na primeira definio, chamada falha de primeira camada (first ply failure FPF), um laminado falha quando a primeira camada (ou grupo de camadas) falha. Isto determinado pela analise do laminado nas condies dadas de carregamento, determinando o estado de tenso em cada camada, e avaliando a resistncia de cada camada aplicando um critrio de falha escolhido. Isto pressupes que uma camada, ou lamina, no laminado tem as mesmas propriedades e se comporta de mesmo modo como uma lamina unidirecional isolada. A abordagem de FPF conservativa e pode ser usada com fatores de segurana baixos. Uma pratica geral em projeto de estruturas principais manter as cargas de trabalho abaixo de valores que produzem falha de primeira camada. Por exemplo, uma pratica geral na industria aeronutica limitar a deformao transversal em camadas de carbono/epxi abaixo de 0,4%.

No caso de falha de ruptura de laminado (ultimate laminate failure ULF), no existe uma definio aceita em geral. Portanto aceito que um laminado falha quando o valor mximo de carga atingido. Previso de falha de laminado exige, alem de um critrio de falha de lamina, um plano de danos sucessivos. A abordagem de falha de ruptura do laminado mais avanada exige um conhecimento mais exato de carregamento e distribuio de tenses, e consequentemente usada com fatores de segurana maiores.

Falha interlaminar um caso especial de falha. Previso deste tipo de falha exige uma analise tridimensional de tenses e resistncia incluindo resistncia interlaminar e propriedades de tenacidade.

Analise de Tenses e Fatores de Segurana para Falha de Primeira Camada de Laminados Simtricos (Carregamento em

Plano) Para um laminado simtrico carregado em plano s, as tenses medias so

onde h a espessura do laminado

As deformaes do laminado, que so uniformes atravs da espessura, so iguais s deformaes do plano de referencia e s deformaes da cada camada k e so relacionadas s foras aplicadas pelas seguintes equaes

As deformaes em camada k relacionadas a seus eixos principais de material so

e as tenses correspondentes

Para abordagem FPF, o critrio de falha escolhido aplicado ao estado de tenso em cada camada separadamente. Assim, para um estado de tenso (1, 2, 6)k em camada k, o estado de tenso na ruptura da mesma camada Sfk(1, 2, 6)k onde Sfk o fator de segurana para camada k. Substituio do estado critico (ruptura) no criterio Tsai-Wu em eq. (6.29) gera

ou

onde

As solues da equao quadrtica (9.5)

ou

e

onde Sfka o fator de segurana de camada k para o estado atual da tenso (1, 2, 6)k e Sfkr o fator de segurana da mesma camada k para um estado de tenso com sinal invertido, i.e. (-1, -2, -6)k .

O procedimento acima executado repetidamente para todas as camadas do laminado. Os valores mnimos dos Sfka e Sfkr so os fatores de segurana do laminado na abordagem FPF, para carregamento atual e invertido.

Componentes de Resistncia para Falha de Primeira Camada de Laminados Simtricos

Dado um laminado multidirecional, necessrio, por exemplo, determinar sua resistncia axial ao longo de eixo x conforme FPF. Podemos assumir que o laminado em fig. 9.1 carregado com uma tenso mdia com valor de uma unidade em direo x, i.e.

As deformaes so

ou

A resistncia axial em trao e compresso do laminado so

De maneira similar, se pode calcular a resistncia ao longo do eixo y assumido o seguinte estado de tenso no laminado

A resistncia em cisalhamento no plano se calcule com o seguinte estado de tenso

EXEMPLO Resistncia Uniaxial de Laminado Angle-Ply

necessrio determinar a resistncia axial de um laminado [45]ns usando o critrio Tsai-Hill para FPF.

xtF

O carregamento

As deformaes so

As deformaes na lamina de -45 referenciadas aos eixos principais de material, so cf. eq. (4.58)

Usando eq. (9.12)

Se pode demonstrar, que para um laminado [45]ns

e

Usando as relaes acima obtemos

As tenses na lamina, da eq. (4.31) so

Podemos introduzir as componentes de tenso da cima no critrio de Tsai-Hill para obter um valor exato da na ruptura, i.e. . Podemos obter mais fcil um valor aproximado para resistncia em caso de um compsito com alta rigidez, i.e. quando E1

Para um compsito de alta resistncia com F1 >> F2 e F1 >> F6 , podemos simplificar mais a relao acima

e porque E2

EXEMPLO Resistncia em Cisalhamento no Plano de Laminado Angle-Ply necessrio determinar a resistncia axial de um laminado [45]ns usando o critrio Tsai-Hill para FPF. Consideramos o laminado em fig. 9.2 carregado em cisalhamento, em plano

xF

As deformaes, uniformes atravs da espessura so

As deformaes na camada +45, obtidas por transformao, so

e as tenses correspondentes so

Se pode demonstrar que

Usando a ultima relao, obtemos

Para um compsito de alta rigidez, com E1 >> E2, as tenses acima podem ser aproximadas como

Assim, a camada de +45 est tracionada de maneira longitudinal e comprimida transversalmente. As tenses na camada -45 tem sinais opostos aos (9.24). Visto que a trao transversal o carregamento mais severo para uma lamina unidirecional tpica, FPF vai acontecer na camada de -45.

Substituindo as tenses da camada -45 no critrio Tsai-Hill, obtemos para o valor de ruptura u

s sF

ou

Ou porque E1 >> E2 e supondo F1c >> F2t ,

Para um compsito tpico de carbono/epxi a quantidade dentro de colchetes de ordem 3, que significa que a resistncia em cisalhamento e a grosso modo F1c/(23), ou aproximadamente 30% da resistncia longitudinal em compresso da lamina. Se pode concluir que, este laminado angle-ply sujeito ao carregamento em cisalhamento utilizado de modo mais eficiente visto que na FPF, que uma falha transversal, a tenso longitudinal na camada alcance aproximadamente 60% do seu valor de ruptura . Assim, a resistncia em cisalhamento de um laminado [45]s para um compsito de alta rigidez e resistncia principalmente uma propriedade dominada pela fibra.

sF

EXEMPLO NUMERICO Determine a resistncia axial na falha da primeira camada (FPF) de um laminado [45]s usando o critrio Tsai-Wu. O compsito carbono/epxi de alta rigidez e alta resistncia (AS4/3501-6, Table A.4) E1 = 14710

9 Pa; E2 = 10,3109 Pa; G12 = 710

9 Pa; 12 = 0,27 F1t = 228010

6 Pa; F2t = 57106 Pa; F1c = 172510

6 Pa; F2c = 228106 Pa

F6 = 76106 Pa

xtF

Soluo

Q11 = 147,8109 Pa; Q22 = 10,3510

9 Pa; Q12 = 2,795109 Pa;

Q66 = 7,0109 Pa

Qxx = 47,92109 Pa; Qyy = 47,9210

9 Pa; Qxy = 33,92109 Pa;

Qss = 38,13109 Pa

t = 1m; h = 4t = 4 m Axx = 1,91710

11 N/m; Axy = 1,3571011 N/m; Ayy = 1,91710

11 N/m Ass = 1,52510

11 N/m

11

1,917 1,357 0

1,357 1,917 0 10 N/m

0 0 1,525

A

1 10

0,1046 - 0,0740 0

- 0,0740 0,1046 0 10 m/N

0 0 0,0656

a A

Nx = 1106 N/m = 1 MN/m

x = axx Nx = 4,18210-5 ; y = ayx Nx = -2,96110

-5 ; s = 0

1 = 6,10810-6 ; 2 = 6,10810

-6 ; 6 45 = -7,14310-5 ; 6 -45 = 7,14310

-5

1 = 9,197105 Pa; 2 = 8,03310

4 Pa; 6 45 = -5,0105 Pa; 6 -45 = 5,010

5 Pa

Tsai-Wu

a = 4,36710-5 ; b = 9,27110-4 ;

Sfa = 141,09

141,09 MPaxtF

Procedimento Computacional para Tenso e Analise de Falha de Laminados Multidirecionais (Falha de Primeira Camada)

Uma fluxograma para calculo de fatores de segurana e componentes de resistncia de um laminado geral multidirecional mostrado na fig. 9.3. O procedimento para determinao de fatores de segurana tem os seguintes passos: 1. Insira as propriedades de engenharia da camada unidirecional, E1, E2, 12, e G12. 2. Calcule as rigidezes da camada Q11, Q22, Q12, e Q66 referenciadas aos eixos

principais do material, usando eq. (4.56). 3. Insira a orientao da fibra, k, de camada k. 4. Calcule as rigidezes transformadas [Q]x,y de camada k referenciadas ao sistema de

coordenadas (x, y), usando eq. (4.67). 5. Insira as coordenadas zk e zk+1 das superfcies de camada k. 6. Calcule as matrizes de rigidez de laminado [A], [B] e [D] usando eq. (7.20). 7. Calcule a matriz de flexibilidade de laminado [a], usando eq. (7.27). 8. Insira o carregamento mecnico, i.e. foras [N]x,y e momentos [M]x,y . 9. Calcule as deformaes no plano de referencia [0]x,y e curvaturas []x,y usando eq.

(7.25)

10. Insira a coordenada z, no ponto que interessa na camada k. Para um laminado composto de muitas camadas finas (comparadas com a espessura do laminado) ou para um laminado simtrico sujeito ao carregamento plano, a coordenada z = , usada. Assim, as deformaes e as tenses calculadas so a mdia atravs da espessura da camada. Porm, quando o laminado composto de poucas camadas e relativamente espessas (relativo espessura do laminado) e assimtrico ou sujeito flexo e toro, z = e z = so usados a fim de determinar os valores extremos das deformaes e das tenses na superfcie superior e inferior da camada.

11. Calcule as deformaes da camada em coordenadas de referencia do laminado (x, y), usando eq. (7.8).

12. Calcule as deformaes da camada em coordenadas principais da camada (1,2), usando eq. (4.58).

13. Calcule as tenses da camada em coordenadas principais da camada (1,2), usando eq. (4.31).

14. Insira as resistncias da lamina [F]1,2 e calcule os coeficientes de Tsai-Wu fi e fij usando eq. (6.32), (6.33), (6.35), e (6.40).

15. Calcule os fatores de segurana da camada Sfka e Sfkr e usando eq. (9.7) e (9.8). 16. Determine os fatores de segurana do laminado usando eq. (9.9). 17. Determine as componentes de resistncia do laminado , aplicando tenses

unidade na direo respectiva de cada componente e usando eq. (9.11).

kz

kz 1kz

,

k

x y

1,2

k

1,2

k

e fa frS S

,x yF

Comparao de Resistncias de Laminados Unidirecionais e Angulares (Falha de Primeira Camada)

Efeito da Historia Higrotermal sobre Resistncia de Laminados Multidirecionais (Falha de Primeira Camada; Critrio Tsai-Wu)

Para um arranjo (layup) dado de laminado sujeito ao carregamento mecnico [N] e [M], e carregamento higrotrmal T e c, aplicao de critrios de falha pode fornecer os seguintes resultados:

1. fator de segurana do carregamento aplicado 2. componentes de resistncia de laminado 3. Espessura admissvel (mnima) de laminado (do mesmo layup) para um fator de segurana admissvel dado.

As tenses criticas na falha de camada k, (if)k, so obtidas multiplicando as tenses induzidas pelo carregamento mecnico (i) pelo fator de segurana Sfk e combinando-lhes com as tenses higrotermais (ie) onde i = 1,2,6, i.e.

Substituio deste estado de tenso no critrio de falha Tsai-Wu, eq. (6.29), rende

ou

onde

A soluo da equao quadrtica (9.26) determina os fatores de segurana para o carregamento atual e oposto (sinal), Sfka e Sfkr

Os valores mnimos destes fatores so os fatores de segurana do laminado, como em eq. (9.9).

O procedimento para determinao de componentes de resistncia do laminado na presena de tenses higrotermais o mesmo de antes. O laminado carregado por uma tenso mecnica mdia na direo desejada. Os fatores de segurana do laminado obtidos para este carregamento unitrio combinados com carregamento higrotermal determinam as componentes desejadas de resistncia com em eq. (9.11).

Em aplicaes de projeto o objetivo determinar uma configurao especifica de

laminado.

Em aplicaes de projeto o objetivo determinar uma configurao especifica de laminado, o numero e a orientao de camadas para um carregamento mecnico e higrotermal dado, e para um fator de segurana dado. O design completo envolve otimizao e tem muitos graus de liberdade, como o numero e a orientao de camadas. Porem, se um arranjo bsico for selecionado, o objetivo de design se reduz a achar a espessura admissvel do laminado, que consiste de um mltiplo do arranjo bsico. A abordagem neste caso assumir um laminado com espessura unidade h = 1. Assim as tenses medias no laminado so

O carregamento mecnico da cima combinado com carregamento higrotermal dado determina o estado de tenso em cada lamina k, (i + ie)k para h = 1. Falha da lamina ocorre quando as cargas mecnicas ou as tenses so multiplicadas pelo fator de segurana, Sfk . Seguindo o mesmo procedimento de antes, determinamos o fator de segurana mnimo, que o fator de segurana ( ). Assim, a espessura admissvel do laminado

fS ou fa fkS S

onde ha = espessura admissvel de laminado Sall = fator de segurana admissvel Esta abordagem limitada aos laminados simtricos ([B] = 0) sujeitos ao carregamento em plano s ([M] = 0). Os resultados da analise tratada aqui, i.e., fatores de segurana, resistncia de laminado, e dimensionamento de laminado so sumarizados na tabela 9.1

Procedimento Computacional para Tenso e Analise de Falha de Laminados Multidirecionais Sujeitos ao Carregamento Mecnico e Higrotermal Combinados (Falha de Primeira

Camada; Critrio Tsai-Wu)

Para um laminado determinado, a primeira camada que falha depende de seu estado de tenso. Como o carregamento do laminado varia continuamente, FPF muda de uma camada a outra. Envelopes de falha (FPF) para um laminado consistem de pores de envelopes de falha de camadas diferentes. Envelopes de FPF foram calculadas para um laminado (AS4/3501-6) [045/90]s de carbono/epxi quase isotrpico sujeito ao carregamento biaxial normal e carregamento biaxial cisalhamento/normal . As tenses residuais de cura foram consideradas assumindo uma diferena de temperatura T = -100 C entre estado livre de tenso e temperatura atual.

,x y

,s x

Critrios de Falha de Laminado Resumo, Avaliao, e Aplicabilidade

O escopo de um critrio de falha inclui os seguintes:

1. um critrio de lamina para previso de iniciao de falha, i.e. falha de primeira camada (FPF) no laminado

2. um mtodo de reduo de camada e progresso de falha no laminado depois de FPF.

3. Um critrio ou definio de falha de ruptura de laminado (ULF) O pesquisador C.T. Sun examinou 6 critrios de falha e mostrou comparaes de

previses tericas de resistncia de laminado com resultados experimentais de 6 conjuntos de materiais compsitos e vrios casos de carregamento. Ele mostrou comparaes entre previses tericas baseadas no mtodo de reduo de camada por camada (ply-by-ply) e resultados experimentais de testes biaxiais para laminados de carbono/epxi quase isotrpicos e laminados fora de eixo (off-axis). No caso de laminados dominados por fibras, onde as resistncias dominadas por matriz F2t, F2c, e F6 tem menos influencia, os critrios limite

(tenso mxima e deformao mxima) e critrios de modo de falha (Hashin-Rotem) apresentaram as melhores previses. Os critrios interativos (Tsai-Hill, Tsai-Wu), que esto dando importncia a resistncias dominadas por matriz, exige determinao precisa destas propriedades no local. Alem disso, foi estabelecido que as tenses residuais tem que ser tomadas em considerao em todos os casos.

Numa outra pesquisa foram avaliados 19 critrios, 4 conjuntos de materiais compsitos, 6 configuraes de laminado, e 14 casos de carregamento. Resultados de testes biaxiais foram providenciados para uma gama de laminados de compsitos como dados de referencia (benchmark) para comparao com previses tericas.

Em geral, foi percebida uma variao grande na previses de falha de laminados pelos diversos critrios. A divergncia das previses maior para FPF de que para ULF; tambm maior para falhas dominadas por matriz de que para aquelas dominadas por fibras. A divergncia observada pode ser atribuda primariamente aos seguintes fatores:

1. Os modos diferentes de considerar as tenses residuais, especialmente no caso de falha de primeira camada 2. O conceito de comportamento de lamina no laminado, que ainda em debate. 3. Os diferentes mtodos de modelagem do processo de progresso da falha e a definio de falha de ruptura de laminado 4. O comportamento no linear dos laminados dominados por matriz, por exemplo laminados angulares (angle-ply)

Ilustrao de processo de design: projeto de um vaso de presso

Um vaso de presso com parede fina tem uma presso interna p, e um torque externo T. preciso determinar o conjunto timo de material compsito e o empilhamento (layup) para alcanar peso mnimo e compar-lo com um vaso de referencia de alumnio. O fator de segurana permitido Sall = 2,0. O design do vaso de alumnio baseado no critrio de von Mises para um material com resistncia de escoamento yp = 242 MPa. A densidade do alumnio = 2,8 g/cm3. O design do laminado compsito baseado no critrio Tsai-Wu para FPF (falha da primeira camada). Laminados simtricos e balanceados vo ser investigados para 3 materiais compsitos candidatos, vidro-epxi (S-glass/epoxy), Kevlar/epxi, carbono/epxi.

Vaso de presso com parede fina sob presso interna e torque

As cargas por unidade de comprimento, que agem sobre um elemento da casca cilndrica, ao longo da direo axial e de circunferncia (hoop) so

2

4

(9.64)2

2

x x

y y

s s

pDN h

pDN h

TN h

D

Substituindo os dados, obtemos

As tenses principais para estado de tenso da cima so

Vaso de referencia de alumnio

De acordo com critrio de von Mises

Substituindo os resultados numricos da eq. (9.66) e os dados em eq. (9.67), obtemos

ha = 7,36 mm

Laminados crossply [0m/90n]s

Laminados angle-ply []ns

Laminados [90/]ns

Laminados [0/]ns

Laminados quase isotrpicos [0/45/90]ns

Categorizao (ranking) de materiais compsitos

O seguinte processo de categorizao recomendado 1. Selecione um conjunto de material e determine o melhor arranjo

(layup) para alcanar poso mnimo. 2. Compare diferentes conjuntos de material para este arranjo. 3. Selecione o conjunto de material que resulta em peso mnimo em

passo 2 e repete passo 1 para este conjunto de material.