0Esforcos combinados - Transformacao tensoes - Circulo Mohr - PT.pdf

of 52/52
Transformação de tensões Círculo de Mohr Estados de tensão plana Tensões em reservatórios de parede fina Critérios de falha Tensões devidas a Esforços Combinados Tradução e adaptação: Victor Franco Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill (Capítulos 1 e 7) Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education. Mecânica dos Materiais 7,8
  • date post

    11-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    87
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of 0Esforcos combinados - Transformacao tensoes - Circulo Mohr - PT.pdf

Mecnica dos MateriaisTransformao de tenses Crculo de Mohr Estados de tenso plana Tenses em reservatrios de parede fina Critrios de falha Tenses devidas a Esforos Combinados

7,8

Traduo e adaptao: Victor Franco Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf McGraw-Hill (Captulos 1 e 7) Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education.

Estado de tenses num ponto (caso geral) Como vimos, o estado de tenso num ponto pode ser representado, no caso geral, por 6 componentes independentes:x , y , z xy , yz , zx tenses normais tenses de corte com : xy = yx , yz = zy , zx = xz

O mesmo estado de tenso pode ser representado por um conjunto diferente de valores das componentes de tenso se o sistema de eixos sofrer uma rotao de x-y-z para x-y-z.

Estado de Tenso Plana Tenso Plana - estado de tenso em que duas das faces do elemento infinitsimal cbico tm tenses nulas:

x , y , xyExemplo:

z = zx = zy = 0.

Transformao de tenses em Tenso Plana Considere-se o equilibrio esttico do elemento prismtico representado na figura: Fx = 0 = x A x (A cos ) cos xy (A cos )sin y (A sin )sin xy (A sin ) cos Fy = 0 = x y A + x (A cos )sin xy (A cos ) cos y (A sin ) cos + xy (A sin )sin

As equaes podem ser escritas por forma a obter-se: x = y = x + y2 x + y 2 2 +

x y2 x y 2

cos 2 + xy sin 2 cos 2 xy sin 2

xy =

x y

sin 2 + xy cos 2

Conceito de Tenses Principais As equaes anteriores podem ser combinadas resultando a equao paramtrica de um crculo:

( x med )2 + 2xy = R 2ondemed

med =

x + y 2

y R= x + 2 xy 2

2

As tenses principais ocorrem nos planos principais de tenso onde as tenses de corte so zero pontos B e A:

max, min = tan 2 p =

x + y 2 2 xy x y

x y 2

+ 2 xy

2

Tenso de corte mximaA tenso de corte mxima ocorre para os pontos D ou E, quando a tenso normal dada por:

x = med x y max = R = 2 x y tan 2 s = 2 xy 2 + xy 2

med

= med =

x + y2

Nota : o ngulo S est separado 45 de p

Exemplo 7.01 Calcular a orientao das tenses principais:tan 2 p = 2 xy

x y

Calcular as tenses principais:x + y2 x y 2 + xy 2 2

max,min =

Para o estado de tenso plana ilustrado, determinar:

Calcular a tenso de corte mxima: x y 2 + xy max = 2 2

(a) A orientao do plano das tenses principais, (b) As tenses e a tenso normal correspondente: principais, (c) a tenso de corte mxima e a correspondente tenso x + y = normal. 2

Exemplo 7.01 Orientao das tenses principais:tan 2 p = 2 xy 2(+ 40 ) = 1.333 50 ( 10 )

x y

=

2 p = 53.1, 233.1

p = 26.6, 116.6 x = +50 MPa x = 10 MPa xy = +40 MPa

Tenses principais: max,min = x + y2

x y 2 + xy 2

2

= 20

(30)2 + (40)2

max = 70 MPa min = 30 MPa

Exemplo 7.01 Tenso de corte mxima: x y 2 + xy max = 2 =2

(30)2 + (40)2Angulo onde ocorre a tenso de corte mxima, desfasado 45 relativamente orientao das tenses principais max e min.

max = 50 MPa x = +50 MPa x = 10 MPa xy = +40 MPa

s = p 45 s = 18.4, 71.6

Tenso normal correspondente: + y 50 10 = med = x = 2 2 = 20 MPa

Crculo de Mohr para Tenso Plana Para um estado de tenso plana x , y , xy conhecido, marcar os pontos X e Y e construr o crculo centrado em C: (uma tenso de corte positiva se provoca rotao no sentido horrio e negativa se provoca rotao anti-horria)x + y 2 y 2 R= x 2 + xy 2

med =

As tenses principais so obtidas nos pontos A e B. max,min = med R tan 2 p = 2 xy x y

Crculo de Mohr para Tenso Plana Com o Circulo de Mohr traado, o estado de tenso em qualquer outra orientao pode ser facilmente obtido graficamente. Para o estado de tenso num plano que forma um ngulo em relao aos eixos xy, constri-se uma nova linha diametral XY com um ngulo 2 em relao a XY. As tenses normal e de corte so obtidas atravs das coordenadas de XY.

Exemplo 7.02

Para o estado de tenso plana ilustrado, (a) desenhar o crculo de Mohr, determinar (b) os planos principais, (c) as tenses principais, (d) a tenso de corte mxima e a correspondente tenso normal.

2 2 CF = 50 20 = 30 MPa FX = 40 MPa R = CX =

med =

x + y

=

(50) + ( 10) = 20 MPa= 50 MPa

(30)2 + (40)2

Exemplo 7.02 Tenses principais: max = OA = OC + CA = 20 + 50 max = 70 MPa max = OB = OC BC = 20 50 max = 30 MPa

tan 2 p =

FX 40 = CF 30 2 p = 53.1

p = 26.6

Exemplo 7.02med

Orientao da tenso de corte mxima

Orientao das tenses principais

Tenso de corte mxima s = p + 45 s = 71.6 max = R max = 50 MPa

= med = 20 MPa

Crculo de Mohr (cont.) Crculo de Mohr para traco uniaxial:

x =

P , y = xy = 0 A

x = y = xy =

P 2A

Crculo de Mohr para Toro:

x = y = 0 xy =

Tc J

x =y =

Tc xy = 0 J

Falha por toro (reviso) Os materiais dcteis normalmente sofrem falha por tenses de corte. Os materiais frgeis so menos resistentes em traco que em corte. Quando sujeito a toro, um provete de um material dctil, rompe ao longo de um plano de tenses de corte mximas, ie. num plano perpendicular ao eixo do veio. Quando sujeito a toro, um provete de um material frgil, rompe ao longo de planos perpendiculares direco na qual a tenso normal de traco mxima, ie. ao longo das superfcies que fazem 45o com o eixo longitudinal do veio.3 - 16

Exemplo traco uniaxial

Cont.

Exemplo - toro

Problema 7.2med

Para o estado de tenses representado, determinar: a) as tenses principais e respectiva orientao, b) as componentes de tenso exercidas num elemento obtido rodando 30 no sentido antihorrio o elemento dado.x + y 2 100 + 60 = 80 MPa 2 =

med = R=

=

(CF )2 + (FX )2

(20)2 + (48)2

= 52 MPa

Problema 7.2med

Tenses principais:tan 2 p =

XF 48 = = 2.4 CF 20 2 p = 67.4

max = OA = OC + CA= 80 + 52

max = OA = OC BC= 80 52

max = +132 MPa

min = +28 MPa

p = 33.7 sentido horrio

Problema 7.2

Tenses no elemento infinitsimal rodado de 30 em relao a XY: Os pontos X e Y no crculo de Mohr que correspondem s tenses no elemento rodado de 30, so obtidas rodando XY no sentido anti-horrio: 2 = 60

= 180 60 67.4 = 52.6 x = OK = OC KC = 80 52 cos 52.6 y = OL = OC + CL = 80 + 52 cos 52.6 xy = KX = 52 sin 52.6 x = +48.4 MPa y = +111.6 MPa xy = 41.3 MPa

Tenses em reservatrios de presso de paredes finas Reservatrios cilindricos sob presso: 1 = tenso circunferencial 2 = tenso longitudinal

Tenso circunferencial:

F

z

= 0 = 1 (2t x ) p (2r x ) pr t

1 =

Tenso longitudinal:Fx = 0 = 2 (2 rt ) p ( r 2 ) 2 = pr 2t

1 = 2 2

Reservatrios cilndricos de paredes finas (cont.) Os pontos A e B correspondem s tenses circunferenciais, 1, e longitudinais, 2 Tenso de corte mxima no plano da virola (in-plane), (rotao das tenses no plano, ie. circulo AB no circulo de Mohr), ocorre numa direco a 45 com as tenses principais: max(in plane) = 2 =1 2 pr 4t

A tenso de corte mxima fora do plano da virola (out-of-plane) corresponde a uma rotao de 45 do elemento em tenso plana em torno de um eixo longitudinal do cilindro (ie. plano OA no circulo de Mohr), e o correspondente valor : max = 2 =pr 2t

Tenses em reservatrios de presso de paredes finas

Tenses no reservatrio esfrico sob presso:1 = 2 =pr 2t

Reservatrios esfricos de paredes finas (cont.)

1 = 2 =

pr 2t

Circulo de Mohr Tenso de corte mxima (in-plane) = 1 = 2 = constant max(in -plane) = 0

Tenso de corte mxima (out-of-plane)

max = 1 1 = 2

pr 4t

Exemploe e

Considere o reservatrio cilndrico em ao, com um raio interior de 1 m e uma espessura de virola e fundos de 5 mm, representado na figura. Admita que os fundos hemisfricos so ligados s virolas cilndricas utilizando 126 rebites em cada um. A presso de servio de 10 bar. Calcular: a) Tenses nas virolas. b) Tenses nos fundos, desprezando os efeitos da ligao dos fundos s virolas. c) Admitindo que se usavam rebites com 10 mm de dimetro, na ligao dos fundos virola como se ilustra na figura, verificar a segurana ao corte dos rebites para a presso de servio ( adm = 150 MPa).

Estado de tenso geralTransformao de tenses resultante da rotao do elemento infinitsimal: O estado de tenso no ponto Q definido por x , y , z , xy , yz , zx

Considerando o tetraedro com a face perpendicular linha QN com cosenos directores: x , y , z Impondo o equilibrio esttico Fn = 0 obtm-se n = x 2 + y 2 + z 2 x y z+ 2 xy x y + 2 yz y z + 2 zxz x

possvel encontrar uma orientao para o elemento infinitsimal por forma que:2 n = a 2 + bb + c 2 a c

estes so os eixos principais e os planos principais e as tenses normais so tenses principais.

Aplicao do circulo de Mohr anlise de um estado de tenso tridimensional

Eixos principais a, b,c Os pontos A, B, e C representam as tenses principais nos planos principais (com tenses de corte nulas)

Os 3 crculos representam as tenses normais e de corte para rotaes em torno de cada eixo principal. O raio do circulo maior corresponde tenso de corte mxima max = max min1 2

Aplicao do circulo de Mohr anlise de um estado de tenso tridimensional (cont.) Caso em que as tenses principais so:a > 0; b < 0; z = 0

(tenso plana)

Os pontos A e B (representando os planos principais) esto em lados opostos em relao origem, ento: a) A tenso de corte mxima igual tenso de corte mxima no plano a,b dada pelo raio do circulo AB b) O plano da tenso de corte mxima faz 45o com os planos principais AB.

Aplicao do circulo de Mohr anlise de um estado de tenso tridimensional (cont.) Caso em que as tenses principais so:a > 0; b > 0; z = 0

(tenso plana)

Ento A e B esto do mesmo lado da origem (i.e. tm o mesmo sinal), ento: a) O crculo que define max, min, max para o elemento infinitsimal no o circulo AB mas sim o crculo AZ b) A tenso de corte mxima para o elemento infinitsimal : max = max 2 c) Os planos da tenso de corte mxima fazem 45 com o plano AZ.

Exemplo estado de tenso planaReservatrio cilindrico sujeito s tenses principais indicadas. Representao no crculo de Mohr:

max = 16MPa

Critrios de falha para materiais dcteis A falha de um componente sujeito a tenso uniaxial pode ser prevista atravs das propriedades mecnicas obtidas atravs do ensaio de traco uniaxial. Para o caso de um componente sujeito a tenso plana, conveniente determinar as tenses principais e utilizar um critrio de falha baseado no estado de tenso biaxial correspondente. Os critrios de falha so baseados nos mecanismos de fractura e permitem a comparao dos estados de tenso biaxiais com as propriedades mecnicas conhecidas atravs dos ensaios de traco uniaxiais.

Critrio de falha para materiais dcteis em tenso planaCritrio da tenso de corte mxima: O componente estrutural est em segurana se a tenso de corte mxima inferior tenso de corte mxima correspondente ao ensaio de traco uniaxial no ponto correspondente ao limite elstico:

max < limite elastico =Y e0.2

e0.22

Para a e b com o mesmo sinal,a b e0.2 max = ou < 2 2 2 Para a e b com sinais opostos,

max

a b e0.2 = < 2 2

Critrio de falha para materiais dcteis em tenso planaCritrio da Mxima Energia de Distoro: O componente estrutural est em segurana se a energia de distoro por unidade de volume inferior energia de distoro por unidade de volume correspondente ao ensaio de traco uniaxial no limite elstico:u d < uYY e0.2

1 ( a2 a b + b2 ) < 61 (Y2 Y 0 + 0 2 ) 6G G 2 2 2 a a b + b < Y ou2 2 2 a a b + b < e0 . 2

ou2 2 a a b + b < e0 . 2

Tenso equivalente (Von-Mises Huber Hencky)No caso mais geral, quando num dado ponto se combinam efeitos produzidos por vrias solicitaes corrente, no caso de solicitaes estticas e materiais dcteis, recorrer Tenso equivalente dada pela teoria de Von-Mises Huber Hencky (correspondente ao critrio de energia de distoro), para comparar o respectivo estado de tenso com o estado de tenso uniaxial produzido por um ensaio clssico de traco:

eq = 2 + 2 + 2 x y y z z x + 3( 2 + 2 + 2 ) < e0.2 x y z xy yz xzPara o caso de tenso plana, temos z = yz = xz = 0 , logo:

eq = 2 + 2 x y + 3 2 < e0.2 x y xySe tivermos as tenses principais, ser:2 eq = 1 + 2 12 < e0.2 2

Critrio de falha para materiais frgeis em tenso planaOs materiais frgeis falham porque se atinge a tenso de ruptura, ou por fractura, sem deformao plstica significativa no ensaio de traco uniaxial. A condio para o critrio de falha a tenso ltima, ou tenso de ruptura, U = r Critrio da tenso normal mxima:U r

O componente estrutural est em segurana se a tenso normal mxima for inferior tenso de ruptura do provete num ensaio de traco uniaxial:

a < r b < r

Esforos combinados veios de transmissoUm veio de transmisso como o ilustrado na figura, fica sujeito a esforos de toro e esforos transversos. As tenses de corte originadas pelos esforos de corte transversal, so normalmente muito inferiores s tenses de corte devidas ao momento toror e como tal podem ser desprezadas na presente anlise. As tenses normais de flexo devidas s foras transversais podem ser muito elevadas e tm de ser combinadas com as tenses de corte devidas toro.

Veios de transmisso sujeitos a esforos combinados Numa seco qualquer:m = Mc I Tc m = J2 2 com M 2 = M y + M z

Tenso de corte mxima:m Mc Tc 2 max = + ( m ) = + 2 2I J para uma seco circular ou tubular, 2 I = J2 2 2

max =

c J

M 2 +T 2

Condio de resistncia mecnica para o veio: 2 2J c min M +T max = adm

Exemplo 8.3 - veios de transmissoResoluo: Determinar os momentos torores e as correspondente foras tangenciais nas engrenagens. Calcular as reaces em A e B. Identificar a seco crtica a partir dos diagramas de momentos torores e de momentos flectores. Calcular o menor diametro admissivel para o veio.

O veio de transmisso de seco circular slida, roda a 480 rpm e transmite uma potncia de 30 kW do motor s engrenagens G e H; A engrenagem G absorve uma potncia de 20 kW e a engrenagem H absorve 10 kW. Sabendo que adm = 50 MPa, determinar o menor diametro admissivel para o veio.

Exemplo 8.3 Determinar os momentos torores T e as correspondentes foras tangenciais F nas engrenagens:TE = P 30 kW = = 597 N m 2f 2 (80 Hz )

T 597 N m FE = E = = 3.73 kN rE 0.16 m TC = TD = 20 kW = 398 N m 2 (80 Hz ) 10 kW = 199 N m 2 (80 Hz ) FC = 6.63 kN FD = 2.49 kN

Reaces em A e BAy = 0.932 kN B y = 2.80 kN Az = 6.22 kN Bz = 2.90 kN

Exemplo 8.3 Identificar a seco crtica do veio, a partir dos diagramas de momentos torores e dos momentos flectores:

Exemplo 8.3 Para a seco D (identificada como crtica): M2 +T2 = max

(1160 2 + 3732 )+ 597 2

= 1357 N m

Calcular o dimetro mnimo admssivel do veio:J = c M 2 + T 2 1357 N m = = 27.14 10 6 m 3 adm 50 MPa

Para uma seco cicular macia, J 3 = c = 27.14 10 6 m 3 c 2 c = 0.02585 m = 25.85 md = 2c = 51.7 mm

Tenses devidas a esforos combinados Imaginemos que se pretende determinar as tenses na seco assinalada, de um elemento estrutural sujeito a carregamento arbitrrio. Faz-se passar uma seco atravs do ponto de interesse. Impe-se o equilibrio esttico, para determinar as foras e os momentos necessros para manter o equilibrio. O sistema de foras internas, assim obtido, consiste em 3 componentes de foras e 3 componentes de momentos. Em seguida, podemos determinar a distribuo de tenses, aplicando o principio da sobreposio.

Tenses devidas a esforos combinados A fora axial e os momentos no plano transversal, contribuem para a distribuio de tenses normais na seco. As componentes da fora de corte e do momento toror contribuem para a distribuo de tenses de corte na seco.

=

Exemplo 1 esforos combinados

Considere-se o sistema representado na figura sujeito s foras P1 e P2 indicadas. O elemento cilndrico BD tem um raio da seco transversal c = 20mm. Determinar: a) Tenses normais e tenses de corte no ponto K do elemento BD. b) Tenses normais e tenses de corte no ponto H do elemento BD. Nota: Para simplificar, desprezar as tenses de corte devidas ao esforo transverso.

Exemplo 1 - cont.

Exemplo 2 esforos combinadosConsidere-se o sistema representado na figura sujeito s foras indicadas. Sabendo que a seco transversal do corpo vertical um rectngulo 40 mm x 140 mm. Determinar: a) Tenses normais no ponto H. b) Tenses normais e tenses de corte no ponto F.

Exemplo 2 - esforos combinados

(cont.)

Exemplo 3 esforos combinadosConsidere-se o sistema representado na figura sujeito s foras indicadas. Determinar: a) Tenses normais e tenses de corte no ponto H. b) Tenses normais e tenses de corte no ponto K.

Exemplo 4 esforos combinadosPara o sistema representado na figura sujeito s foras indicadas, determinar: a) Tenses normais e tenses de corte no ponto a. b) Tenses normais e tenses de corte no ponto b. c) Tenses normais e tenses de corte no ponto c.