1 - 4PNAIC_MAT_Sis Num Dec Oper_pg001-088.pdf

Ministrio da EducaoSecretaria de Educao Bsica

Diretoria de Apoio Gesto Educacional

Pacto Nacional pela Alfabetizao

na Idade CertaSISTEMA DE NUMERAODECIMAL E OPERAES

Braslia 2013

Caderno 04

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Centro de Informao e Biblioteca em Educao (CIBEC)

Brasil. Secretaria de Educao Bsica. Diretoria de Apoio Gesto Educacional. Pacto nacional pela alfabetizao na idade certa: Sistema de Numerao Decimal e Operaes / Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica, Diretoria de Apoio Gesto Educacional. Braslia: MEC, SEB, 2013. 88 p.

ISBN XXX-XX-XXXX-XXX-X

1. Alfabetizao. 2. Alfabetizao Matemtica. 3. Nmeros. 4. Sistema de Numerao Decimal. 5. Operaes.

MINISTRIO DA EDUCAOSecretaria de Educao Bsica SEBDiretoria de Apoio Gesto Educacional

Tiragem 122.102 exemplares

MINISTRIO DA EDUCAOSECRETARIA DE EDUCAO BSICA Esplanada dos Ministrios, Bloco L, Sala 500CEP: 70047-900Tel: (61)20228318 - 20228320

Sumrio

SISTEMA DE NUMERAODECIMAL E OPERAES

05 Iniciando a conversa

07 Aprofundando o tema Ao chegar escola...

71 Compartilhando

76 Para saber mais Sugestes de Leituras

77 Sugestes de atividades para os encontros em grupo

78 Atividades para casa e escola

CURRCULO NA ALFABETIZAO: CONCEPES E PRINCPIOS

CADERNO 4 | SISTEMA DE NUMERAO DECIMAL E OPERAES

Organizadores:Carlos Roberto Vianna, Emerson Rolkouski.

Comit Gestor:Adilson Oliveira do Esprito Santo, Liane Teresinha Wendling Roos, Mara Sueli Simo Moraes.

Consultores: Alexandrina Monteiro, Alina Galvo Spinillo, Antonio Jos Lopes, Celi Espasan-din Lopes, Cristiano Alberto Muniz, Gilda Lisba Guimares, Maria da Concei-o Ferreira Reis Fonseca, Maria Tereza Carneiro Soares, Rosinalda Aurora de Melo Teles.

Leitores Crticos: Camille Bordin Botke, Enderson Lopes Guimares, Luciane Ferreira Mocrosky, Larissa Kovalski, Laynara dos Reis Santos Zontini, Marcos Aurelio Zanlorenzi, Michelle Tas Faria Feliciano, Nelem Orlovski.

Autores:Ettiene Cordeiro Guerios, Neila Tonin Agranionih, Tania Teresinha Bruns Zimer.

Autores dos Relatos:Denise Ballo, Marina de Ftima Dolata, Alessandra Nacur Gauliki.

Projeto grfico e diagramao:Labores Graphici

5S I S T E M A D E N U M E R A OD E C I M A L E O P E R A E S C A D E R N O 4

Iniciando a conversa

S I S T E M A D E N U M E R A OD E C I M A L E O P E R A E S

6


Aprofundando o tema

AO CHEGAR ESCOLA...Ettiene Cordeiro Guerios

Neila Tonin Agranionih

Tania Teresinha Bruns Zimer

Ao chegar escola muitos so os conhecimentos trazidos pelas crianas. Mo-vidas pela curiosidade investigativa, em situaes como as brincadeiras comuns ao cotidiano infantil, constroem hipteses prprias sobre quantidade, espao, tempo, escritas numricas, bem como se envolvem, ao explorar objetos, em aes que re-querem quantificar, comparar, contar, juntar, tirar, repartir, entre outras, na resolu-o de pequenos problemas de modo prtico e tambm simblico.

Relaes matemticas com nmeros esto em evidncia no cotidiano das pes-soas e isso no diferente quando se trata de crianas. Por exemplo, ao observar um grupo de alunos brincando durante o intervalo das aulas (recreio ou horrio do lanche), pode-se constatar que muitas brincadeiras requerem algum tipo de conta-gem ou quantificao (amarelinha, queimada ou caador, STOP, esconde-esconde, etc.), e tambm, possibilitam que estabeleam relaes espaciais e temporais e, em alguns casos, realizem clculos e resolvam problemas.

Tais atividades contribuem para a construo de esquemas que favorecem o de-sencadear do processo de compreenso das operaes bsicas: adio, subtrao, multiplicao e diviso. Do mesmo modo, permitem a interao das crianas com diferentes formas de registros simblicos, tais como nmeros de canais de televiso, nmeros de telefone, preos de mercadorias, placas de carro, o que contribui para a gradativa familiarizao com as escritas numricas e com o sistema de numerao decimal.

possvel constatar, tambm, modos prprios das crianas lidarem com situa-es empregando processos cognitivos diversos que esto envolvidos no raciocnio matemtico, tais como, o estabelecimento de relaes parte-todo, a realizao de transformaes de uma das partes que compem o todo, comparaes, composi-o entre quantidades de diferentes grupos, retirada ou incluso de quantidades em relao a certo grupo, reparties, distribuies e diviso de certa quantidade, combinaes e comparaes entre objetos em quantidades pr-estabelecidas, entre outras.

Ao chegar escola, juntamente com a riqueza de conhecimentos possibilitada pelas suas vivncias, as crianas trazem o desejo e a urgncia de aprender mais, e, em relao Matemtica, tais como, aprender a escrever nmeros grandes e fa-zer contas.


8

fato que, nas escolas, por muito tempo, a nfase do ensino da Matemtica esteve nas tcnicas operatrias e na compreenso dos algoritmos em si e pouca ateno foi dada compreenso dos conceitos matemticos e s propriedades en-volvidas nas operaes. Nos dias atuais, no raras vezes, o ensino de tcnicas ope-ratrias pouco vincula situaes que possam dar sentido aos clculos e contribuam para o entendimento das operaes envolvidas. Esta realidade contribui para que muitas crianas se desmotivem e gradativamente, percam o gosto e o interesse em aprender matemtica.

Neste caderno, tratamos de clculos e operaes no Ciclo Inicial da Alfabeti-zao. Ao voltar-se aos clculos numricos e as operaes matemticas de adio, subtrao, multiplicao e diviso, buscamos faz-lo de modo integrado aos pro-cessos de construo de conceitos que envolvem as operaes e seus modos de representao.

Muitas vezes a atividade matemtica escolar organizada apenas em exerccios em que a meta aprender a realizar clculos (mentais e escritos) e a operar com algoritmos, de modo a tornar a rotina na sala de aula em interminveis exerccios sem significado matemtico para os alunos.

Algoritmos so procedimentos de clculo que envolvem tcnicas com passos ou sequncias determinadas que conduzem a um resultado numrico.

insuficiente um aluno saber fazer contas mecanicamente, se no souber as ideias matemticas que lhes so pertinentes. Por exemplo, pouco adianta a um alu-no saber fazer conta de mais, em outras palavras, saber desenvolver o algoritmo da adio, se no souber desenvolver estratgias que lhe permita resolver um pro-blema que tenha sido solicitado em sala de aula ou na prpria vida fora da escola. Esta prtica no a pretendida no ensino da Matemtica.

O uso de algoritmos deve estar associado compreenso pelos alunos dos significados conceituais nele envolvidos. Por exemplo, a compreenso da adio como operao matemtica e tambm a compreenso dos processos do prprio algoritmo da adio. necessrio considerar que a resoluo de um algoritmo pode ser realizada de forma mecnica sem que haja a compreenso dos agrupamentos envolvidos nos processos de clculo, como o vai um, por exemplo. Por outro lado, a resoluo pode estar fundamentada na compreenso das propriedades do sistema de numerao decimal que sustentam o algoritmo, ou seja, na compreenso dos agrupamentos e reagrupamentos em base dez.

Aprender sobre adio, subtrao, multiplicao e diviso requer aprender mui-to mais do que algoritmos. Mais do que destreza no fazer contas e habilidade na tcnica operatria prpria aos algoritmos, espera-se que os alunos compreendam o


que fazem e construam os conceitos envolvidos nessas operaes, e neste sentido, que se estabelece, neste caderno, um dilogo com a Resoluo de Problemas. Esta perspectiva metodolgica contribui significativamente para que a atividade mate-mtica seja desenvolvida de modo a valorizar a compreenso conceitual inerente aos procedimentos de clculos durante toda a escolaridade e, marcadamente, desde o Ciclo de Alfabetizao do Ensino Fundamental.

Durante um bom tempo, problemas matemticos foram utilizados na sala de aula como uma forma de treinar ou aplicar algoritmos. Estas prticas ainda persis-tem em muitas escolas. No contexto de formao na rea de Matemtica do PACTO, entende-se que a Resoluo de Problemas deve desencadear a atividade matemti-ca. Uma proposta pedaggica pautada na Resoluo de Problemas possibilita que as crianas estabeleam diferentes tipos de relaes entre objetos, aes e eventos a partir do modo de pensar de cada uma, momento em que estabelecem lgicas pr-prias que devem ser valorizadas pelos professores. A partir delas, os alunos podem significar a atividade algortmica da resoluo e construir ou consolidar conceitos matemticos pertinentes s solues.

Para os Parmetros Curriculares Nacionais [...] o problema certamente no um exerccio em que o aluno aplica, de forma quase mecnica, uma frmula ou um processo operatrio. S h problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questo que lhe posta e a estruturar a situao que lhe apresentada [...]. (BRA-SIL, 1997, p. 43). Esta afirmao evidencia que problemas matemticos em que o aluno no precise pensar matematicamente e desenvolver estratgias de resoluo, ou seja, no precise identificar o conceito matemtico que o resolve, transforma-se em simples exerccio algortmico, ou seja, em apenas fazer contas.

Mas, o que , ento, um problema matemtico?

De acordo com os PCN: Um problema matemtico uma situao que deman-da a realizao de uma sequncia de aes ou operaes para obter um resultado. Ou seja, a soluo no est disponvel de incio, no entanto possvel constru-la (BRASIL, 1997, p. 44).

O processo de construo de soluo pelo aluno fundamental para a aprendi-zagem e dar sentido matemtico para os clculos e operaes que efetuar.

CLCULOS E RESOLUO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA

Partindo da possibilidade de situaes no conhecidas pelos alunos constitu-rem-se em problemas e a riqueza da diversidade de estratgias dos alunos, na reso-luo dos mesmos desencadear a construo de conhecimentos matemticos, um aspecto fundamental na atividade com resoluo de clculos e problemas em sala de aula que os professores observem e considerem os modos prprios de resolu-o e de aprendizagem de cada criana.


10

A partir da resoluo das crianas possvel perceber as estratgias e aprendi-zagens de cada uma.

Ana Gabrielli inicialmente desenhou os 15 peixes em sequncia. A seguir, pin-tou os ltimos 6 de amarelo e os restantes de verde. Contou ento os peixes verdes e escreveu o resultado 9 ao lado. Observe que Ana Gabrieli espelhou a grafia do 9. Ana Gabrielli resolveu o problema pela contagem da diferena entre os peixes amarelos e os demais e mostra estar aprendendo a grafia dos numerais.

Anita pintou em cores diferentes os dados do problema, escreveu o valor encontrado ao lado do enunciado, pintou e escreveu a resposta: 9 peixes so verdes. Inicialmente, desenhou os 15 peixes agrupados em duas linhas

Ilustramos essa afirmao apresentando exemplos de estratgias diferentes de alunos para resoluo de um problema proposto por uma professora. Observem que as crianas elaboram estratgias e evidenciam o raciocnio que empregam, ao contrrio de apenas executarem mecanicamente clculos previamente indicados para serem feitos, sem compreenso conceitual.

Exemplo

Um aqurio tem 15 peixes de cor amarela e verde. 6 peixes so da cor amarela. Quantos so os peixes da cor verde?

Observe as estratgias que as crianas elaboraram para a resoluo.

Ace

rvo

pess

oal

11

S I S T E M A D E N U M E R A OD E C I M A L E O P E R A E S C A D E R N O 4

com critrio aparentemente esttico, pintou os seis primeiros de amarelo e os restantes de verde. Ao lado da representao pictrica fez o clculo usan-do o algoritmo tradicional da conta armada e fez mais uma representao pictrica com pequenas bolinhas. Anita comps sua estratgia de resoluo utilizando trs representaes, que nos parecem complementares.

Maria desenhou os 15 peixes, agrupou os 6 primeiros em um subconjunto, os restantes em outro subconjunto, abaixo, fez o algoritmo tradicional da conta armada da subtrao 15 6 = 9 e ao lado fez mais uma representao pic-trica. Percebe-se que tentou outras estratgias anteriormente, pois h sinais de escritas apagadas que embora no legveis, evidenciam tentativas de Ma-ria. Na resposta encontramos marca apagada da escrita 24. Faz-nos pensar que em determinado momento Maria encontrou 9 como resultado de suas estratgias, mas, ao elaborar a resposta, continuou efetuando clculos, sem entender exatamente o que solicitava o enunciado. A resposta 24 apagada pode ser o clculo da adio do 9 ao 15 presente no enunciado.

O que essas diferentes estratgias permitem considerar?

Os trs alunos desenvolveram estratgias diferentes e todas conduziram reso-luo correta do problema. Evidenciam movimentos cognitivos diferentes em funo de conhecimentos matemticos mobilizados por cada uma delas. Maria evidencia que est em processo de construo conceitual, mas que necessita ateno, uma vez que pode estar operando com dados numricos do problema sem ter compreendido a si-tuao presente no problema e, sem saber o que necessita, matematicamente, fazer.

Observe, agora, como Anita realizou a atividade. A professora dela tem uma orientao prpria para resoluo dos problemas que passa para seus alunos: eles devem colorir os dados e a pergunta do problema para evidenci-los. importan-te salientar que so os alunos que devem identificar quais so esses dados e qual a pergunta do problema e pint-los adequadamente. Se os professores indicarem previamente quais os dados a serem pintados, ou se pintarem os dados no quadro antes de os alunos os identificarem, o potencial didtico da Resoluo de Problemas estar comprometido, porque ser reduzido ao clculo das contas envolvidas no enunciado. Lembre que o potencial da atividade est, exatamente, em que os alunos compreendam a situao-problema e elaborem a estratgia de resoluo.

Se os alunos compreenderam a situao configurada, ento podero pensar so-bre ela e identificar o conhecimento matemtico que a resolve. Ana Gabrielli, Anita e Maria, por exemplo, desenvolveram estratgias diferentes para resolver o mesmo problema, mas, mesmo que as estratgias tenham sido diferentes, cada uma a seu modo, chegou resposta correta.

possvel afirmarmos que as crianas envolvidas na atividade descrita, Ana Ga-brielli, Anita e Maria, construram as ideias matemticas pertinentes ao problema? No podemos afirma, categoricamente, que sim. O que podemos afirmar que as estratgias que realizaram, evidenciam um processo de construo conceitual, nesse


12

caso, das operaes matemticas pertencentes ao campo conceitual aditivo, que ser, explorado mais adiante.

A socializao dessas estratgias desenvolvidas pelos alunos um recurso a mais para que os mesmos percebam as diferentes possibilidades de resoluo de um pro-blema. interessante que os caminhos pensados e construdos para chegar s res-postas sejam discutidos pelo grupo de alunos. Por exemplo, na resoluo de Maria ao problema apresentado anteriormente, questionar o significado do 9 e do 24, assim como as relaes entre 6, 9 e 15 no contexto do problema possibilitar que se apropriem de diferentes procedimentos. Para tal, importante tambm pro-mover a reflexo sobre os caminhos percorridos e as respostas obtidas, bem como, valorizar as estratgias realizadas.

importante que as estratgias individuais sejam estimuladas. So elas que pos-sibilitam aos alunos vivenciarem as situaes matemticas articulando contedos, estabelecerem relaes de naturezas diferentes e decidirem sobre a estratgia que desenvolvero. A socializao dessas estratgias com toda a turma amplia o reper-trio dos alunos e auxilia no desenvolvimento de uma atitude mais flexvel frente a resoluo de problemas.

Em primeiro lugar, preciso que as crianas compreendam o problema, ou seja, interpretem a situao-problema vivenciada, compreendam o enunciado do problema, seja oral ou escrito. Ao compreenderem, podero estabelecer relaes entre o que a situao prope pelo enunciado e os conhecimentos matemticos a ela pertinentes.

Por isso, importante que os professores dediquem um tempo para a interpre-tao da situao proposta para ser resolvida. Compreendida a situao proposta, oralmente ou no enunciado do problema, os alunos tero condio de desenvolver as estratgias de resoluo. nesse momento que mobilizaro conceitos matemti-cos conhecidos e fundamentaro os que esto em processo de construo conceitu-al. o importante momento em que os alunos decidiro COMO resolver. Cabe aqui uma observao: este momento s ter valor didtico se, de fato, o aluno mobilizar seu pensamento para a construo da estratgia de resoluo. Se os alunos estive-rem repetindo procedimentos, ou executando o que lhes for dito para fazer, no estaro desenvolvendo estratgias de resoluo. O problema estar se converten-do em exerccio de repetio ou em execuo algortmica. Observe-se que, nesses casos, a atividade matemtica em si (resolver problema por repetio de procedi-mento ou por execuo do que foi dito para fazer) pode ocorrer; o que pode no acontecer a compreenso conceitual, pois a atividade matemtica assim orientada no permite que ocorra. Por isso, enfatizamos que a Resoluo de Problema, ou de situao-problema, possibilita uma aprendizagem matemtica conceitual.

Construda a estratgia, o aluno realizar os clculos, promover a soluo, che-gar resposta. A realizao dos clculos pode ocorrer de diferentes modos. Pode

13


ser a algortmica propriamente dita, oral, pictrica, com a utilizao de material dourado ou de outro modo que expresse a resoluo da estratgia construda.

interessante que os alunos reflitam sobre a resposta obtida. Os professores devem incentivar os alunos a compararem a resposta obtida com o enunciado do problema, ou com a situao problema que gerou a necessidade de soluo. pre-ciso que argumentem se a resposta obtida faz sentido no contexto do problema. preciso examinar o sentido matemtico da resposta. Nesse momento, se os alunos perceberem inconsistncia entre resposta e dados do problema, eles mesmos deve-ro rever a estratgia.

Nos PCNs encontramos indicaes de que trabalhar com problemas observando os aspectos referidos envolve processos de construo de conhecimentos.

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua prpria resposta, a questionar o pro-blema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepo de ensino e aprendizagem no pela mera reproduo de conhecimentos, mas pela via da ao refletida que constri conhecimentos (BRASIL, 1997, p. 45 ).

A professora da Rede Municipal de Curitiba Alessandra Nacur Gauliki trabalha com Resoluo de Problemas em sua prtica cotidiana. Ela disponibilizou sua expe-rincia conforme o relato a seguir.

O TRABALHO COM O ENSINO DA MATEMTICAAlessandra Nacur Gauliki

Considerando a importncia da Matemtica para a vida cotidiana e acadmica, o estudo dessa rea do conhecimento deve ser instigante e desafiador e possibilitar ao estudante a criao de suas prprias estratgias de resoluo de problemas ou execuo de exerccios que envolvam o raciocnio lgico-matemtico. Trabalhar com a matemtica engloba, antes de tudo, proporcionar ao estudante a possibilidade de resolver situaes desafiadoras e utilizar estratgias e mecanismos que favoream essas aes.

A prtica de sala de aula requer, que ns professores, sejamos conhecedores da gnese do que queremos ensinar. As perguntas norteadoras que ajudam nesse pro-cesso so: O que vou ensinar? Para que vou ensinar? Como vou ensinar e por que vou ensinar? Precisamos saber a que objetivo pretendemos chegar ou atingir com determinado contedo de ensino. Diante desse pressuposto, faz-se necessrio tornar essa prtica permeada de significao para que a aprendizagem acontea de forma efetiva.


14Quando trabalho com uma situao-problema, por exemplo, proporciono s

crianas, primeiramente, um momento para que haja uma efetiva interpretao do que est sendo solicitado; questiono quais so os dados que temos no problema (peo at para contornarem esses dados com cores diferenciadas, valores numricos de uma cor, pergunta de outra cor e assim por diante); quais hipteses posso abstrair para resolver o problema; como, de que forma vou resolv-lo (com desenhos, dividir o problema em partes para facilitar o desenvolvimento das aes) e por fim a execu-o do algoritmo e os clculos necessrios. Em problemas de anlise combinatria, se faz necessrio levar para a sala de aula os elementos que o compem, mostrando s crianas as diversas possibilidades de combinaes que podem ser compostas, de forma que possam visualizar e manipular os dados do problema e posteriormente fazer todos os registros necessrios.

Veja este exemplo de problema multiplicativo, envolvendo a ideia adi-tiva e multiplicativa: 1.o passo) Fizemos a leitura e interpretao do proble-ma; 2.o passo) Pintamos os algarismos numricos de uma cor e a pergunta do problema de outra; 3.o passo) Desenvolvemos a estratgia que elabora-mos, primeiro com o ma-terial dourado e aps o registro com desenho; 4.o passo) Pintamos na ma-lha quadriculada as quantidades obtidas com a manipulao do material dourado; 5.o passo) Realizamos os clculos envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa; 6.o passo) Voltamos parte grifada em vermelho, perguntamos aos estudantes o que estava sendo questionado e desenvolvemos a resposta.

Procuro realizar o ensino da matemtica, na medida do possvel, de forma inter-disciplinar, onde delimito um tema a ser abordado e desenvolvo uma sequncia did-tica que contemple entre outras, a rea da matemtica, no esquecendo no entanto, o objeto de estudo de cada rea do conhecimento. Percebo assim, que os estudantes estabelecem uma melhor compreenso e assimilao do contedo abordado.

Aos estudantes que apresentam dificuldades de aprendizagem em matemtica, torna-se imprescindvel um trabalho diferenciado, que proporcione ao educando a manipulao de material concreto, como: material dourado, rguas numricas, pro-

Ace

rvo

pess

oal

15


blemas esquematizados em partes, entre outros, com o objetivo de se atingir a curio-sidade e a motivao, para que a criana consiga formar seus esquemas de represen-tao mental para posteriormente promover a consolidao do conhecimento. Ao professor tambm necessrio conhecer em que etapa de desenvolvimento cognitivo encontra-se o seu aluno, para que dessa forma, possa lhe proporcionar atividades condizentes com sua real possibilidade de compreenso. Ou seja, quando uma criana apresenta uma dificuldade em Matemtica, temos que desenrolar o novelo, para sabermos exatamente onde est o fio da meada, devo saber onde se encontra a sua dificuldade e partir daquele ponto para posteriormente ajud-la em sua superao.

No relato da Professora Alessandra, observamos como ela organiza a atividade com Resoluo de Problemas. A compreenso pelos alunos da situao-problema evidente, como tambm evidente que a prtica por ela adotada privilegia a cons-truo das estratgias de resoluo e a anlise do resultado obtido. Vamos, a seguir, abordar aspectos importantes no trabalho com Resoluo de Problemas.

ANLISE DE ESTRATGIAS QUE LEVAM A ERROS

At aqui abordamos estratgias que conduzem a respostas corretas pelos alu-nos. E o que fazer diante de estratgias que conduzem a erros?

H vrias situaes que dificultam a construo de estratgias resolutivas e que, consequentemente, conduzem os alunos a erros. Citamos aqui erros de duas natu-rezas: os decorrentes de dificuldades lingusticas e os decorrentes de compreenso de natureza matemtica.

As de natureza lingusticas so as dificuldades de compreenso de textos, con-siderando que o enunciado dos problemas um texto, seja ele apresentado de modo oral ou escrito. As de natureza matemtica so as decorrentes de limitaes na compreenso de conceitos envolvidos impedindo o estabelecimento das relaes necessrias para a soluo do problema.

Gurios e Ligeski (2013) desenvolveram pesquisa com alunos do Ensino Fun-damental em atividades com Resoluo de Problemas e identificaram os seguintes fatores que levam os alunos a erros, entre outros:

Ausncia de compreenso ou compreenso inadequada na leitura : o aluno no compreendeu o que leu e, consequentemente, no identificou uma situ-ao a ser resolvida matematicamente, ou seja, no pode desenvolver estra-tgia alguma de resoluo;

Ausncia ou equvoco de compreenso matemtica : o aluno compreendeu o que leu mas no identificou o conceito matemtico que o resolve.


16

Embora as autoras tenham identificado tais dificuldades em situao de leitura, esclarecemos que a mesma no ocorre apenas da leitura feita pelo aluno, pois mui-tas vezes a dificuldade persiste mesmo quando o enunciado lido para o aluno.

Erros de compreenso do contexto delineado pelo problema ocorrem e so bastante comuns. Nestes casos, deve-se retornar busca de sentido da situao. Devemos atentar para verificar o que os alunos erraram. Isto pode ser ocasionado por um erro de clculo, uma distrao, ausncia de compreenso ou compreenso equivocada tanto do enunciado como do conhecimento matemtico a ele pertinen-te para a soluo. Para cada uma das possibilidades h estratgias diferenciadas de interveno pedaggica.

De fato, os processos resolutivos das crianas dizem muito sobre como esto aprendendo e a resoluo de problemas e de situaes-problema possibilitam ao pro-fessor identificar se respostas numricas obtidas representam aprendizagem efetiva.

Devemos tambm ficar atentos quando as crianas se valem de indcios lingus-ticos presentes nos problemas para realizar clculos que conduzam soluo. Por exemplo, considere o problema a seguir:

Ana tem 5 doces e Maria tem 8 doces. Quantos doces Maria tem a mais?

Se diante desse problema adicionarem 5 + 8 = 13, induzidos pela palavra mais presente no enunciado, temos um forte indcio de que no compreenderam conceitualmente as operaes necessrias para resolv-lo.

Devemos observar atentamente se os alunos esto compreendendo os problemas e/ou seus enunciados. imperativo que compreendam, porque a partir dessa compreenso que haver atividade matemtica. Erros que equivocadamente so considerados dificuldades de aprendizagem em Matemtica, algumas vezes, tem sua origem na falta de compreenso do problema ou do seu enunciado. Por isso importante que os professores analisem a origem dos erros dos alunos para poder ajud-los na aprendizagem.

As pesquisadoras identificaram uma terceira situao no caracterizada por au-sncia de compreenso, mas pela evidncia de que o aluno est em processo de construo conceitual ao realizar tentativas de resoluo testando diferentes ca-minhos. No caso de Maria, comentado anteriormente, percebe-se que errou para acertar.

Analisar as tentativas ajuda a compreender como as crianas aprendem, como ela-boram suas estratgias, qual seu ritmo de aprendizagem e, principalmente, como est acontecendo a base estruturante do pensamento matemtico dos alunos.

17


Podem, tambm, ao terem sido expostas a um ensino baseado em palavras- -chaves relacionadas com operaes (mais, juntar, ganhar, etc. implicam em contas de adio, assim como tirar, perder, etc. implicam em contas de subtrao), sim-plesmente terem deduzido se tratar de uma adio. preciso que sejam exploradas as respostas dos alunos, identificando como pensaram para podermos encontrar circunstncias reveladoras do processo de aprendizagem de cada um.

OPERAES E CLCULOS NO CICLOINICIAL DO ENSINO FUNDAMENTAL

bastante comum que as crianas e tambm adultos relacionem aprender Ma-temtica com aprender a fazer contas uma vez que por muito tempo o ensino de clculos foi enfatizado no ciclo inicial do Ensino Fundamental. Por conta disso, mui-tas crianas desenvolveram e desenvolvem habilidades algortmicas, nessa fase da escolarizao, muito mais do que habilidades de resoluo de problemas.

Professor, que conta tem que fazer? de mais ou de menos? de vezes ou de dividir?

Perguntas como essas so bastante comuns na prtica cotidiana de muitos pro-fessores. Se os alunos perguntam recorrentemente que contas devem fazer diante de problemas matemticos, possivelmente no esto compreendendo as operaes envolvidas no problema e/ou no atribuem significado aos algoritmos que sabem fazer. Para aprender matemtica precisam saber mais do que fazer contas: im-portante saber o que os clculos significam e compreender os conceitos envolvidos nas operaes que representam. Exemplo disso, o fato de que um mesmo clculo pode ser realizado para resolver diferentes problemas, como pode ser observado a seguir:

Em um vaso h 3 rosas amarelas e 5 rosas vermelhas. Quantas flores h no vaso?

3 + 5 = 8Resposta: no vaso h 8 flores.

Lusa tinha alguns lpis de cor em seu estojo. Perdeu 3 lpis de cor durante a aula de artes e ficou com 5. Quantos lpis de cor Luisa ti-nha em seu estojo no incio da aula de artes?

3 + 5 = 8Resposta: Lusa tinha em seu estojo 8 lpis de cor.

O primeiro problema facilmente resolvido pelas crianas. J o segundo envolve um raciocnio mais complexo, a compreenso da adio como operao inversa da subtrao, tornando-se mais difcil para as crianas, mesmo que consigam realizar com tranquilidade o clculo numrico 3 + 5 = 8. Ou seja, saber fazer a conta no suficiente, necessrio compreender a operao envolvida no problema. neces-srio construir os conceitos envolvidos nas operaes.


18

Vergnaud (2009) afirma que conceitos no podem ser compreendidos de modo isolado, mas sim a partir de campos conceituais. Isto implica em considerar que conceitos, como por exemplo, de adio e subtrao, envolvem e so envolvidos por situaes, estruturas, operaes de pensamento e representao que relacionam-se entre si. Assim, adio e subtrao fazem parte de um mesmo campo conceitual denominado aditivo. Do mesmo modo, multiplicao e diviso fazem parte do campo conceitual denominado multiplicativo.

Apresentamos uma proposta de trabalho com clculos e operaes que con-temple a construo de conceitos a partir de campos conceituais, partindo de situ-aes que promovem o pensamento operatrio e suas diferentes formas de repre-sentao.

SITUAES ADITIVAS

A vivncia trazida pela criana no incio do processo de escolarizao no pequena e, acrescentamos, no deve ser ignorada. Trata-se de uma riqueza a ser considerada e explorada no processo de alfabetizao matemtica. Ao ingressar na escola, as crianas j conseguem resolver problemas que envolvem situaes aditivas simples, coordenando aes de juntar, ganhar e perder, por exemplo, com ou sem auxlio de objetos ou registros escritos, uma vez que so as primeiras represen-taes que as crianas formam sobre adio e subtrao, antes mesmo de ir para a escola, nas brincadeiras, na interao com outros, enfim, nas relaes que estabele-cem no seu dia a dia (MAGINA et al., 2001; NUNES; BRYANT, 1997). Por outro lado, a coordenao dessas aes com a contagem, constitui um procedimento bastante eficaz na resoluo de situaes-problema, e merece uma ateno especial no incio da escolarizao.

A atividade de contagem permite que as crianas construam estratgias que lhes possibilitam resolver problemas de complexidade crescente. Mas, para tanto, con-forme Orrantia (2004), h necessidade de desenvolver algumas habilidades, dentre elas:

comear a contagem a partir de qualquer ponto arbitrrio da srie numrica, por exemplo, contar a partir do 6;

identificar o ltimo objeto contado como o cardinal que expressa a quantida-de total sem necessidade de contar os objetos novamente;

estender a contagem iniciada no primeiro conjunto ao segundo conjunto de tal forma que o primeiro objeto deste, seja considerado o nmero seguinte na sequncia de contagem, por exemplo: na soma de um conjunto de 3 lpis com um outro de 4 lpis, a contagem se daria da seguinte maneira: 1, 2, 3 seguida por 4, 5, 6, 7.

19


Com o tempo, e medida que interagem com diferentes situaes, desenvol-vem estratgias de contagem mais sofisticadas, abstratas e eficientes, tais como as necessrias para a resoluo de problemas aditivos (FAYOL, 1996; ORRANTIA, 2004). Essas estratgias so identificadas como:

contar todos;

contar a partir do primeiro (reter o 5 na memria em 5 + 6, contando os restantes: 6, 7, 8, 9, 10, 11), por exemplo);

contar a partir do maior (reter o 6 em 5 + 6, contando os restantes: 7, 8, 9, 10, 11);

usar fatos derivados (em 5 + 6, efetuar o clculo 5 + 5 = 10 + 1 = 11;

recuperar fatos bsicos da memria (lembrar fatos memorizados, como a tabuada).

A escolarizao contribui, ou deveria contribuir, para o uso de estratgias mais maduras em relao contagem, tais como, fatos derivados e recuperao de fatos da memria, na resoluo de problemas e na realizao de clculos.

Por volta dos 5 anos, as crianas conseguem resolver problemas, tais como, os que envolvem as situaes de composio e de transformao simples pela conta-gem que veremos a seguir.

Situaes de composio simples

As situaes de composio relacionam as partes que compem um todo por aes de juntar ou separar as partes para obter o todo sem promover transformao em nenhuma das partes.

Exemplo

Em um vaso h 5 rosas amarelas e 3 rosas vermelhas. Quantas rosas h ao todo no vaso?

Os nmeros referem-se a dois conjuntos de rosas que se compem formando o total de rosas no vaso. No h transformao na situao, uma vez que no houve acrscimo de rosas e nenhuma rosa foi retirada do vaso, mas a ao de juntar as partes para determinar o todo.

A criana poder pegar 5 objetos, representando as 5 rosas, contando-os um a um (1, 2, 3, 4, 5) depois 3 objetos, tambm contando-os um a um (1, 2, 3). A se-guir, junt-los e contar todos novamente iniciando do 1 at o 8. Esse procedimento descrito na literatura como contar todos.

Problemas de composio podem ser trabalhados a partir de jogos didticos que possibilitem s crianas coordenar aes prprias s situaes aditivas e subtra-tivas. Veja o jogo a seguir.


20

JOGO 1 Comprando fichas

Comprando FichasMateriais:

Dois dados, de cores diferentes, adaptados com as faces: 1, 2, 3, 1, 2, 3;

6 fichas na cor correspondente a um dos dados;

6 fichas na cor correspondente ao outro dado;

Nmero de jogadores: 2

Regras do jogo:

O jogador, na sua vez, lana os dois dados e a seguir compra a quantidade de fichas, na cor correspondente a cada dado. Aps a compra das fichas, calcula o total de fichas compradas, somando-as. Registra o total de cada rodada na tabela de pontos. O ganhador aquele que ao final de trs rodadas comprou o menor nmero de fichas.

RODADAS PONTOS PONTOS TOTAL

DADO VERMELHO DADO AZUL

PRIMEIRA

SEGUNDA

TERCEIRA

TOTAL: ..............

Problematizar situaes do jogo uma forma bastante interessante para desa-fiar os alunos a refletir sobre as estratgias e os clculos realizados bem como suas diferentes formas de representao. Por exemplo:

Problematizando situaes aps o jogo Comprando Fichas:

1. Veja as fichas que Ana comprou na primeira rodada e descubra o nmero que caiu no outro dado.

Ana com 8 fichas.

No possvel.

21


2. Joo jogou os dados e comprou 6 fichas. Descubra o nmero que caiu no ou-tro dado.

Situaes de transformao simples

As situaes de transformao envolvem um estado inicial, uma transformao por ganho ou perda, acrscimo ou decrscimo e um estado final.

As situaes mais simples de transformao so aquelas em que o estado inicial e a transformao so conhecidos e o estado final deve ser determinado.

Exemplo:Aninha tem 3 pacotes de figurinhas. Ganhou 4 pacotes da sua av. Quantos pacotes tem agora? Estado inicial: 3 pacotes de figurinhas. Transformao: ganhou 4 pacotes. Estado final: ?

A criana poder pegar 3 objetos, representando os 3 pacotes (estado inicial), contando-os um a um (1, 2, 3) depois 4 objetos, tambm contando-os um a um (1, 2, 3, 4). A seguir, junt-los (transformao) e contar todos novamente iniciando do 1 at o 7, obtendo o estado final 7.

No possvel.


22

Tambm poderia pegar 3 pacotes de figurinhas e continuar pegando mais 4 pacotes, um a um, continuan-do a contagem at 7. Esse procedi-mento conhecido como contar na sequncia.

Problemas de subtrao tambm podem envolver situaes de transformao simples e podem ser resolvidos a partir da coordenao das aes de retirar e contar.

Exemplo:Zeca tinha 7 bolinhas de gude. Deu 3 para Lus. Quantas ele tem agora? Estado inicial: 7 bolinhas Transformao: deu 3 bolinhas Estado final:?

Inicialmente as crianas desenvolvem esquemas de juntar; separar e cor-respondncia um a um independentemente uns dos outros. Isso lhes permite dar conta de situaes mais simples. No entanto, o avano no processo de compreenso das relaes aditivas envolve coordenar estes esquemas reconhecendo a relao in-versa que existe entre adio e subtrao, e, numa fase posterior, coorden-los com a correspondncia um a um. (NUNES et al, 2005).

As crianas podem resolver o pro-blema da seguinte maneira: contar 7 bolinhas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) (estado ini-cial). Deste conjunto, contar 3 bolinhas e separ-las das demais (transformao). Contar as bolinhas restantes, reiniciando a contagem (1, 2, 3, 4), obtendo o esta-do final 4.

23


Situaes de transformao, por exemplo, podem envolver relaes inversas en-tre o todo e suas partes, tornando-se mais difceis, mesmo com o auxlio de obje-tos. Situaes de comparao podem envolver correspondncia um a um, o que tambm as torna mais complexas. A maioria das crianas ao entrar na escola no desenvolveu meios de coordenar esses esquemas. Cabe escola ajud-las.

Se desejamos promover o desenvolvimento conceitual das crianas em adio/subtrao, devemos ajud-las a estabelecer uma conexo entre duas coisas que elas j conhecem. Elas j sabem como comparar usando correspondncia termo a termo e elas j tm um conceito de adio/subtrao relacionado a situaes de transformao. Se elas podem coordenar estes dois itens de conhecimento, sua compreenso de adio/subtrao se tornar muito mais poderosa. (NUNES; BRYANT, 1997, p. 137)

A seguir apresentamos alguns exemplos dessas situaes mais complexas de adio e subtrao.

Situaes de composio com uma das partes desconhecida

Problemas de composio podem envolver situaes em que o todo e uma das partes so conhecidos, sendo necessrio determinar a outra parte. No exemplo que segue a situao envolve subtrair uma parte do todo para obter a outra parte, sem alterar as quantidades.

Exemplo:

Em um vaso h 8 rosas, 3 so vermelhas e as outras so amarelas. Quantas rosas amarelas h no vaso?

Todo: 8 rosas

Parte conhecida: 3 rosas vermelhas

Parte desconhecida: ?

A resoluo pode ser reali-zada por um processo simples como fez Igor: desenhou o vaso com 3 rosas vermelhas e a seguir foi desenhando rosas amarelas at completar 8 rosas no vaso, representando o que fez com o clculo:

5 + 3 = 8.

Dentre os procedimentos adotados para a resoluo, a criana tambm pode, aps contar oito objetos, separar os que correspondem s rosas vermelhas e contar os restantes: 1, 2, 3, 4, 5, concluindo que h 5 rosas amarelas no vaso, ou seja, sub-trair a parte conhecida (3) do todo (8), obtendo a parte desconhecida (5).

Ace

rvo

pess

oal


24

Ace

rvo

pess

oal

Luana, em seu registro, evidencia ter desenvolvido raciocnios mais complexos. Inicialmente, ela desenhou o todo (8 rosas). Pintou 3 rosas de vermelho (parte co-nhecida) e escreveu o nmero 3. A seguir, pintou as restantes de amarelo e escreveu o nmero 5. Fez a conta da subtrao (8 3 = 5), representando o resultado por meio de um novo desenho.

O procedimento realizado por Luana evidencia o uso da operao inversa na resoluo do problema aditivo e a representao da mesma por meio do clculo da subtrao.

Situaes de transformao com transformao desconhecida

Trata-se de problemas aditivos de transformao desconhecida, uma vez que so conhecidos os estados iniciais e o estado final da situao.

Exemplo:

Aninha tinha 5 bombons. Ganhou mais alguns bombons de Jlia. Agora Aninha tem 8 bombons. Quantos bombons Aninha ganhou?

Estado inicial: 5 bombons

Transformao: ?

Estado final: 8 bombons

A contagem poderia ser um recurso para a resoluo de problemas com trans-formao desconhecida, tanto envolvendo a estratgia de contar todos como a de contar na sequncia. Outro modo de resolver o problema envolveria a com-preenso e a aplicao da subtrao como operao inversa da adio. Trata-se

25


Ace

rvo

pess

oal

de acrescentar a uma quantidade inicial conhecida uma quantidade desconhecida, para obter um total tambm conhecido, ou seja, 5 + ? = 8. A operao envolvida a adio, mas a resoluo do problema requer aes prprias da subtrao, ou seja, subtrair 5 do estado final 8.

Problemas de subtrao tambm podem envolver transformaes desconhecidas.

Exemplo:

Zeca tinha 8 bombons. Deu alguns bombons para Lus e ficou com 3. Quantos bombons Zeca deu para Lus?

Estado inicial: 8 bombons

Transformao: ?

Estado final: 3 bombons

A operao envolvida na situao 8 - ? = 3. Ou seja, envolve saber quanto deve ser retirado de 8 para obter 3. O problema pode ser resolvido de diferentes formas. As crianas poderiam contar 8 bombons, desses, separar os 3 que ficaram com Zeca e contar os restantes, obtendo o resultado, assemelhando-se ao processo de resoluo de problemas de transformao simples, conforme indica o desenho de Marcela:

No entanto, Marcela, induzida pelos aspectos lingusticos presentes no problema (deu), subtrai 3 de 8 bombons, obtendo o resultado (8 3 = 5), no percebendo que o 3 indica a quantidade de bombons que Zeca ficou e no a quantidade de bombons que deu para Lus. A operao envolvida nesse raciocnio seria 8 5 = 3, uma vez que o 5 corresponde transformao desconhecida.


26

Tambm podemos ter problemas de subtrao envolvendo incio desconhecido. Por exemplo:

Paulo tinha alguns carrinhos. Deu 4 carrinhos para Pedro e ficou com 7. Quantos carrinhos Paulo tinha?

Estado inicial: ?

Transformao: deu 4 carrinhos.

Estado final: ficou com 7 carrinhos.

A resoluo do problema pela inverso pode ser influenciada pela palavra deu, que sugere subtrao. Se as crianas se deixarem influenciar pelos indcios lingus-ticos, certamente chegaro a resultados incorretos, tanto em problemas de adio

A propriedade comutativa da adio definida por a + b = b + a, ou seja, a ordem das parcelas no altera a soma. Por exemplo, 3 + 4 = 4 +3.

Outro modo de resolver o problema envolve a operao inversa: quanto devo acrescentar ao trs para obter 8, ou seja 3 + ..... = 8. Nesse caso, a criana pode-ria contar 3 objetos e junt-los num nico grupo, a partir da seguir contando at chegar a 8 objetos.

Situaes de transformao com estado inicial desconhecido

O estado inicial tambm pode ser desconhecido nas situaes de transforma-o. Esses problemas costumam ser mais difceis para as crianas, pois envolvem operaes de pensamento mais complexas.

Exemplo:

Maria tinha algumas figurinhas. Isa lhe deu mais 4. Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas figurinhas Maria tinha?

Estado inicial: ?

Transformao: deu 4 figurinhas

Estado final: tem 7 figurinhas

Para resolver o problema, as crianas poderiam, por tentativas, somar 4 a algu-mas quantidades. Por exemplo, se somassem 1 ao 4, no obteriam 7, se somassem 2, tambm no, mas se somassem 3 obteriam 7, concluindo que o resultado do problema 3.

Tambm poderiam pensar que somar um pouco a 4 o mesmo que somar 4 a um pouco e dessa forma resolver o problema por estratgias semelhantes s discutidas nos problemas de transformao desconhecida. Essa forma de resolver o problema envolve a compreenso da propriedade comutativa da adio.

27


Ace

rvo

pess

oal

como de subtrao com incio desconhecido. Uma soluo possvel envolveria a operao inversa no sentido de acrescentar aos carrinhos que ficaram com Paulo os carrinhos que ele deu para Pedro (7 + 4 = 11).

Situaes de comparao

Nas situaes de comparao no h transformao, uma vez que nada tira-do ou acrescentado ao todo ou s partes, mas uma relao de comparao entre as quantidades envolvidas.

Joo tem 7 carrinhos e Jos tem 4 carrinhos. Quem tem mais carrinhos?

Joo tem 7 carrinhos e Jos tem 4 carrinhos. Quantos carrinhos Joo tem a mais do que Jos?

Problemas como o do primeiro exemplo so resolvidos de modo intuitivo por crianas desde bem pequenas. J o segundo, possui um grau maior de dificuldade, uma vez que a operao que conduz soluo no est explcita no enunciado do problema.

Juan, no exemplo seguinte, usou a correspondncia um a um para resolver o segundo problema. Desenhou os carrinhos de Joo e os carrinhos de Jos. A seguir fez corresponder um carrinho de Joo com um de Jos, verificando que restaram 3 carrinhos sem correspondncia.

J Arthur, usou o mesmo esquema, mas utilizando risquinhos. Para evidenciar os risquinhos que correspondiam ao que Joo tinha a mais, utilizou o sinal de + e continuou fazendo correspondncia um a um entre os risquinhos de Joo e Jos, verificando que foram necessrios 3 risquinhos a mais.


28

Ace

rvo

pess

oal

Quantos faltam para seis?Materiais:

4 cartelas, conforme o modelo:

1 dado azul

24 fichas azuis e 24 amarelas


Arthur utiliza uma forma de representao diferenciada de Juan. No primeiro re-gistro, a criana utiliza uma forma de representao pictogrfica, a qual correspon-de ao contexto e ao objeto envolvido na situao problema. J no segundo registro, a criana utiliza uma forma de representao simblica, demonstrando evoluo em relao ao conhecimento de diferentes formas de representao.

Nunes et. al. (2005), sugerem que uma boa estratgia para ajudar as crianas a pensar sobre quantos tem a mais solicitar que relacionem os nmeros envol-vidos no problema a partir de uma ao, reformulando a pergunta do problema, por exemplo: quantos carrinhos temos que dar a Jos para que ele fique com a mesma quantidade de Joo? Pensando dessa forma o problema se torna seme-lhante a um problema de transformao desconhecida: 4 + ? = 7, tornando-se mais fcil de ser resolvido por envolver uma informao mais precisa em relao ao a ser realizada.

Jogos matemticos em que as crianas necessitem coordenar o que j sabem sobre adio, subtrao e correspondncia um a um podem ser benficos para a compreenso de problemas de comparao. Por exemplo:

Quantos faltam para seis?

29


Regras do jogo:

Cada jogador pega uma cartela, 6 fichas azuis e 6 fichas amarelas. O dado indica quantas fichas azuis devem ser colocadas na cartela a cada jogada. As fichas ama-relas devem ser usadas para preencher os espaos restantes da cartela. O primeiro jogador lana o dado e preenche a cartela com o nmero de fichas azuis corres-pondentes ao nmero que caiu no dado. A seguir completa a cartela com as fichas amarelas. O nmero de fichas amarelas necessrio corresponde sua pontuao na rodada. Se no dado cair 6, toda a cartela dever ser preenchida com as fichas azuis e o jogador no marcar ponto. Ganha a rodada quem completar a cartela com o maior nmero de fichas amarelas.

Jogo adaptado de: RANGEL, A. C. S. Educao Matemtica e a construo do nmero pela criana. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1992

Problematizando situaes aps o jogo:

Exemplo: 1 Preencha as cartelas dos jogadores. Quem ganhou a rodada?

Joo

Lus

Ana

Maria

Resposta:

Exemplo 2

Maria fez 2 pontos na primeira rodada e nas outras duas no fez nenhum ponto. Que nmeros caram nos dados jogados por Maria?

1. rodada: 2. rodada: 3. rodada:


30

Jogos de percurso tambm podem ser uma excelente oportunidade para pro-blematizar situaes aditivas com as crianas uma vez que permitem a resoluo de problemas pela contagem de casas. Veja o jogo a seguir.

Corrida dos carrinhos

Corrida dos carrinhosMateriais:

1 dado adaptado com as faces: 1, 2, 3, 1, 2, 3;

1 carrinho (peo) para cada jogador.


Regras do jogo:

Cada jogador escolhe uma pista e um carrinho (peo), colocando-o na casa da Largada. O jogo inicia com o primeiro jogador lanando o dado e avanando o nmero de casas sorteado no dado. O peo que primeiro atingir o final da pista, casa da chegada, o vencedor do jogo.


1. O carrinho de Maria est na casa 3. Quantas casas faltam para que chegue na casa 10, ao final da pista?

2. O carrinho de Joo est na casa 5 e o carrinho de Jos na casa 8. Quantas casas Joo est atrs de Jos?

31


3. Lus est na casa 4 e Joo est na casa 9. Quantas casas Joo andou a mais do que Lus?

4. Lus jogou o dado e avanou para a casa 8. Em qual casa ele estava se no dado caiu 4?

5. O carrinho de Ana estava na casa 4. Lus jogou o dado e andou 5 casas, ultra-passando Ana em 2 casas. Em qual casa Lus estava antes de lanar o dado?

Obs. recomendvel que tambm sejam propostos problemas sem o apoio visual do tabuleiro, como esse ltimo, para que as crianas trabalhem com diferentes formas de representao da situao.

SITUAES MULTIPLICATIVAS

Reflita a respeito da seguinte questo: Se um aluno efetua corretamente um algoritmo, uma conta de multiplicar ou de dividir significa que ele aprendeu a mul-tiplicao ou a diviso?

Se a resposta a esse questionamento for positiva e estiver pautada exclusivamen-te na concepo de que multiplicar ou dividir fazer as contas de forma correta, temos a evidncias de reduo destas operaes a clculos e aplicao de proce-dimentos. Entretanto, se a resposta a esse questionamento for negativa, podemos considerar o entendimento destas operaes (multiplicao e diviso) como formas de organizao do pensamento a partir das estruturas e conceitos matemticos es-pecficos de um determinado raciocnio, no caso, do raciocnio multiplicativo.

O raciocnio multiplicativo diferente do raciocnio aditivo, e importante co-nhecermos e diferenciarmos as caractersticas de cada um. Para isso, nos funda-mentaremos nos estudos de Nunes e Bryant (1997), Nunes et al.( 2005) e Correa e Spinillo (2004).

Raciocnio aditivo: envolve relaes entre as partes e o todo, ou seja, ao somar as partes encontramos o todo, ao subtrair uma parte do todo encontramos a outra parte. Envolve aes de juntar, separar e corresponder um a um.


32

Raciocnio multiplicativo: envolve relaes fixas entre variveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Busca um valor numa varivel que corres-ponda a um valor em outra varivel. Envolve aes de correspondncia um para muitos, distribuio e diviso.

O raciocnio multiplicativo envolve a multiplicao e a diviso com diferentes complexidades. possvel observar nos problemas apresentados a seguir como o raciocnio desenvolvido tanto em relao multiplicao quanto em relao diviso.

Situaes de comparao entre razes

Para compreendermos essas situaes multiplicativas vamos analisar os exem-plos que seguem:

Em uma caixa de lpis de cor h 12 lpis. Quantos lpis h em 3 cai-xas iguais a esta?

possvel pensar que a resoluo mais fcil ao problema seria adicionar: 12 + 12 + 12 = 36. Na escola comum o ensino da multiplicao como adio de parcelas iguais. H, de fato, a possibilidade de resolver alguns problemas multiplicativos mais simples por estratgias prprias ao raciocnio aditivo. No entanto, o raciocnio multi-plicativo diferente e bem mais abrangente e complexo que o raciocnio aditivo.

O problema pode ser resolvido desta forma:

Ace

rvo

pess

oal

O esquema um para muitos, utilizado no registro da resoluo importante para a forma de pensar sobre o problema: para cada caixa correspondem 12 lpis. A quantidade de caixas e a quantidade de lpis (medidas) esto relacionadas por um nmero fixo de lpis por caixa, ou seja, 12 lpis por caixa.

Vejamos: h duas medidas no problema, nmero de lpis e nmero de caixas. Estas medidas esto relacionadas por uma relao fixa que de 12 lpis por caixa. Observe o esquema:

33


Aumentando o nmero de caixas numa relao fixa +1, temos um aumento na quantidade de lpis numa relao tambm fixa: +12.

Observa-se uma proporo entre a quantidade de caixas e a quantidade de lpis por caixa, uma vez que, sempre que acrescentada uma caixa coleo de caixas acrescentado, tambm, 12 lpis coleo de lpis.

Para manter constante a diferena entre as duas colees, somamos nmeros diferentes a cada uma, mantendo a correspondncia um para muitos, estabeleci-da inicialmente. A correspondncia um para muitos a base para o conceito de proporo. A proporo entre as colees permanece constante, mesmo quando o nmero de caixas e de lpis muda. A proporo a expresso da relao existente entre as duas colees.

O raciocnio multiplicativo tambm envolve situaes de diviso.

Exemplo:

Jlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?

Qual a expectativa de resposta a essa situao-problema? Provavelmente, o que bastante comum nas salas de aula, espera-se que o aluno apresente um algo-ritmo para a resoluo de tal situao, isto , faa 12 : 4 = 3. Mas, essa forma de resoluo evidencia o raciocnio multiplicativo ou o conhecimento dos procedimen-tos de clculo pelo uso do algoritmo?

O aluno do 1.o ao 3.o ano do Ensino Fundamental, possivelmente, no utilizar o algoritmo da diviso para a resoluo, mas buscar outros meios, como: a conta-gem de objetos; a ao de repartio entre os amigos ou a representao por meio de desenhos (registro pictrico).

O registro pictrico uma ilustrao de como o aluno evidencia seu raciocnio multiplicativo, operando conceitualmente com a questo sem fazer uso de conta armada. Observe que Maria desenhou os 12 chocolates, circulando a quantidade que cada um receber.

+ 1

1 caixa = 12 lpis

2 caixa = 24 lpis

3 caixa = 36 lpis+ 1

+ 12

+ 12


34

Ace

rvo

pess

oal

possvel distinguir o raciocnio aditivo do multiplicativo analisando o problema anterior: a quantidade de chocolates e de pessoas foi transformada em chocolates por pessoa, isto , no se trata de uma relao com elementos de uma mesma na-tureza, chocolate com chocolate ou pessoas com pessoas, conforme acontece com as estruturas aditivas. Mas, de uma relao entre chocolates e pessoas. A transfor-mao reside no princpio de que o resultado dessa relao se constitui em outro elemento, neste caso, chocolates por pessoa. Essa transformao diz respeito ao modo como as informaes foram relacionadas, conforme pode ser observado na resoluo de Gabriel.

Gabriel para resolver o problema, primeiramente destaca, no enun-ciado, as informaes que dever relacionar. Informa que descobriu a resposta dando um chocolate para cada um, pensamento evi-dente em seu desenho, onde faz corresponder 3 chocolates a cada personagem.

Ace

rvo

pess

oal

Vrias possibilidades de resoluo do problema poderiam ser adotadas pelos alunos. Um exemplo quando a criana divide ao seu modo os 12 chocolates entre seus 4 amigos, conforme a ilustrao.

Ace

rvo

pess

oal

35


Nesse caso, a criana determinou uma quantidade diferente de chocolate a cada amigo, dividindo os chocolates a partir de critrios prprios. Aes como essas so comuns entre as crianas, bem como, o uso da distribuio para resolver problemas semelhantes.

J Gabriel realizou a diviso dos chocolates entre os amigos de modo que to-dos recebessem a mesma quantidade, distribuindo os chocolates entre eles por um esquema de distribuio: um para voc, um para voc, um para voc, at terminar os chocolates, garantindo uma diviso equitativa dos chocolates entre os amigos. Nesse caso, Gabriel recorreu a uma estratgia aditiva ao acrescentar +1 chocolate para cada criana a cada rodada de sua ao de distribuio.

Situaes de diviso por distribuio

O problema resolvido por Gabriel envolve uma diviso por distribuio. Observe:

Jlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?

Quantidade a ser dividida: 12 chocolates

Nmero de amigos: 4

Chocolates por amigo: ?

O que caracteriza esses problemas o fato de a quantidade a ser dividida e o nmero de amigos que recebero chocolates serem conhecidos. O quanto caber a cada um o que dever ser determinado. Esses problemas so considerados mais simples e geralmente so muito explorados nas salas de aula. So conhecidos como tpicos problemas de diviso.

Mas, importante estar alerta para o fato de que a diviso envolve situaes mais complexas do que a distribuio.

A criana ao realizar a distribuio, pode faz-lo simplesmente recorrendo a um raciocnio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada at que no haja mais elementos para uma nova distribuio. No entanto, dividir, como uma operao multiplica-tiva, implica que a criana possa tambm prestar ateno s relaes entre as quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relaes de covariao entre os termos envolvidos na operao. (CORREA; SPINILLO, 2004, p. 109-110)

Portanto, observa-se que Gabriel ainda precisa pensar sobre as relaes de co-variao entre os termos envolvidos no problema para compreender a diviso como operao multiplicativa. Analisando o problema podemos observar essas relaes. Temos duas variveis: nmero de chocolates e nmero de amigos e uma relao fixa: nmero de chocolates por amigo. No caso da diviso envolvida no problema, a rela-o entre as variveis nmero de chocolates por amigo constante e justamente o que as crianas precisam compreender e encontrar para a resoluo do problema. A relao de covariao est na ideia de que quando o nmero de amigos varia, o nmero de chocolates tambm varia. Por exemplo:


364 amigos 12 chocolates3 amigos 9 chocolates2 amigos 6 chocolates1 amigo 3 chocolates

RELAO CONSTANTE: 3 CHOCOLATES POR AMIGO

Observe que a medida que diminui 1 amigo diminui 3 chocolates e esta re-lao se mantm constante.

Situaes de diviso envolvendo formao de grupos

Problemas de diviso podem envolver a formao de grupos, quando o tama-nho do grupo conhecido e o nmero de grupos possveis deve ser determinado.

Problemas como esses so resolvidos com facilidade pelas crianas nos primeiros anos do Ensino Fundamental pelo uso de esquemas de correspondncia e distribui-o, mas fundamental que esses esquemas sejam coordenados entre si e possi-bilitem a resoluo de problemas mais complexos. Surge, assim, a necessidade de propor aos alunos a resoluo dos mesmos desde o incio da escolarizao e por meio de diferentes suportes de representao.

O Material Dourado pode ser um recurso para explorar estratgias mais siste-matizadas em relao ao algoritmo tradicional, j envolvendo as propriedades do Sistema de Numerao Decimal conforme o exemplo:

Na ilustrao, os 12 chocolates so representados, inicialmente, pela barra que corresponde a uma dezena e por 2 cubinhos que cor-respondem a duas unidades. En-tretanto, para a distribuio, con-forme Gabriel fez em seu desenho, preciso transformar a dezena em 10 unidades, de modo que resulte em 10 + 2 =12 unidades. Desse modo, torna-se possvel a distri-buio para os 4 amigos.

37


Os registros elaborados pelas crianas so apresentados a seguir como ilustrao de situaes de estruturas multiplicativas. Uma sugesto para a organizao da prti-ca pedaggica baseada em histrias infantis est na publicao denominada A ava-liao em matemtica nas sries iniciais que em linhas gerais prope o seguinte:

Uma possibilidade propor s crianas que faam a leitura da histria. Em seguida, pro-por-lhes que contem a histria (registro oral) e representem-na por meio de um desenho (registro pictrico). Nesse desenho, de modo geral, as crianas costumam representar os elementos que mais lhe chamam a ateno na histria. Pode-se, na sequncia, propor pro-blematizaes sobre a histria. A soluo das problematizaes pode ser evidenciada nos registros orais, pictricos ou escritos, associadas a representaes numricas e espaciais. (GURIOS, ZIMER et al, 2005, p. 9)

Alm dessa obra, livros infantis so fontes interessantes para a elaborao de problemas que permitam a explorao das estruturas aditivas e multiplicativas.

A histria As Centopeias e seus Sapatinhos pode disparar uma situao de diviso envolvendo formao de grupos, como a seguir:

Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?

Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos

Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola

Nmero de grupos: ?

A quantidade total de caixas de sapatos a ser colocada nas sacolas conhecida, bem como, a quantidade a ser colocada em cada sacola (a quantidade de elementos de cada grupo). Com materiais concretos, as crianas podem facilmente resolver o problema formando grupos de 4 e usando o esquema da correspondncia um para

Em uma turma do 3.o ano foram tra-balhados problemas do campo multi-plicativo a partir do contexto de uma histria infantil, As Centopeias e seus Sapatinhos, de Milton Camargo, Ed. tica.

Repr

odu

o


38

muitos: 4 caixas para 1 sacola, uma vez que a relao fixa entre nmero de caixas e nmero de sacolas conhecida.

visvel pelo desenho ao p da folha que Gabrielli tentou apagar o que havia feito para desenvolver outro raciocnio. comum as crianas tentarem resolver pro-blemas como esse distribuindo as caixas em 4 sacolas e obter o resultado 5. No en-tanto, nesse caso, o resultado corresponderia a 5 caixas de sapato em cada sacola. Embora o resultado numrico seja o mesmo, foi obtido por um erro de interpreta-o da situao envolvida no problema.

Ace

rvo

pess

oal

Situaes de configurao retangular

Os problemas deste tipo exploram a leitura de linha por coluna ou vice-versa. Exemplo:

Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou?

Medida conhecida 7 fileiras

Outra medida conhecida 5 caixas por fileira

Produto: ?

Este mais um exemplo de que necessrio observar qual a compreenso que o aluno tem da situao problema, considerando o processo de resoluo e no apenas o clculo realizado ou a resposta final apresentada.

39


Ace

rvo

pess

oal

No caso de Danilo, o registro pictrico permite observar sua compreenso sobre a situao problema e, tambm, pode ter contribuido para a busca do algoritmo que melhor representasse a operao utilizada para a resoluo do problema, pois possvel perceber a tentativa de faz-lo pelo algoritmo da diviso (escrita apa-gada pela criana). Certamente, como no obteve o resultado esperado, buscou encontr-lo pelo algoritmo da multiplicao, com sucesso. A opo pela diviso, possivelmente, tenha ocorrido pela ideia de distribuir as caixas de sapatos entre as fileiras, gerando um entendimento de que se tratava de um clculo de diviso. Outro aspecto a destacar a forma como o algoritmo da multiplicao foi escrito, colocando o 7 na ordem das dezenas e o 5 na ordem das unidades, indicando a necessidade de uma interveno sobre o modo de compreenso a respeito do signi-ficado das ordens numricas no Sistema de Numerao Decimal.

Situaes envolvendo raciocnio combinatrio

Algumas situaes envolvem a necessidade de verificar as possibilidades de com-binar elementos de diferentes conjuntos. Por exemplo:

Para a resoluo do problema, Danilo organizou as caixas de sapatos relacionan-do as duas medidas conhecidas: a quantidade de fileiras com a quantidade de caixas de sapatos por fileiras, constituindo uma representao com linhas e colunas, cujo resultado expressa o produto da relao entre essas quantidades, isto , 7 fileiras por 5 colunas, resultando em 35. Este tipo de tabela considerada por Vergnaud (2009) a forma mais natural de representao da relao entre as trs medidas envolvidas em problemas dessa natureza. No caso exemplificado, tem-se as duas medidas simples conhecidas e busca-se a medida composta (o produto).


40

Ace

rvo

pess

oal

Lucca constituiu as diferentes possibilidades de formar conjuntos como expressa em seu registro. Combinou os elementos dos conjuntos sem usar um esquema de-terminado e a seguir contou as diferentes possibilidades de conjuntos diferentes. O resultado foi encontrado pela contagem do total de possibilidades de combinaes possveis.

Vejamos como Carolina resolveu o problema:

Carolina registra por desenho o entendimento da relao de um para muitos na organizao das combinaes possveis, ou seja, ela identifica a existncia de dois conjuntos bsicos: chapus e bolsas e relaciona-os entre si ligando-os: chapu branco com bolsa rosa, chapu branco com bolsa azul, chapu branco com bolsa cinza. Aps faz o mesmo com o chapu preto. Obtm 3 possibilidades de combinar

Dona Centopeia tem dois chapus, um branco (B) e outro preto (P) e trs bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessrios para ir passear?

Conjunto conhecido: 2 chapus

Conjunto conhecido: 3 bolsas

Nmero de possibilidades: ?

Temos dois conjuntos conhecidos: chapus e bolsas, que devem ser combinados entre si para determinar o nmero de possibilidades de combinao. Vejamos como Lucca resolveu o problema:

41


Ace

rvo

pess

oal

Diagramas que evidenciam as possibilidades de combinaes podem ser recur-sos interessantes para a resoluo desses problemas. Por exemplo:

Chapu preto: Bolsa rosaBolsa azulBolsa cinza

3 combinaes

Chapu branco: Bolsa rosaBolsa azulBolsa cinza

3 combinaes

Ao todo, 2 x 3 = 6 combinaes diferentes, ou seja, 6 possibilidades.

Embora no sejam familiares s crianas no ciclo fundamental de alfabetizao, diagramas como esses, podem ser representaes interessantes de serem usadas pelo professor na discusso desses problemas com as crianas, pois ajudam a orga-nizar o pensamento e compreender o raciocnio envolvido.

o chapu preto com as bolsas e trs possibilidades de combinar o chapu branco com as bolsas, ou seja, 2 vezes 3, obtendo ao todo 6 possibilidades de combinaes diferentes. Carolina valeu-se do raciocnio multiplicativo para a resoluo do proble-ma e expressa esta ao pela conta de multiplicao.


42Para o desenvolvimento do raciocnio aditivo e multiplicativo importante propor aos alunos problemas variados, envolvendo as diferentes situaes que compem os campos conceituais. Assim as crianas enfrentam situaes desafiadoras e no apenas resolvem problemas a partir da repetio de estratgias j conhecidas.

SOBRE CLCULOS E ALGORITMOSAt agora enfatizamos que aprender sobre adio e subtrao, multiplicao e

diviso, envolve construir estratgias variadas e resolver diferentes problemas. No en-tanto, importante lembrar que a compreenso dos conceitos prprios a essas ope-raes requer coordenao com os diferentes sistemas de representao, o que torna clara a importncia da interao da criana com diferentes formas de registros, den-tre eles, os numricos. Portanto, afirmar a necessidade de comprometer o processo de alfabetizao matemtica com o desenvolvimento das operaes de pensamento necessrias para que as crianas se tornem capazes de resolver diferentes situaes, no significa dizer que clculos numricos no devam ser trabalhados. Pelo contrrio, desempenham um papel fundamental no processo. Como afirmam Nunes, Campos, Magina e Bryant: [...] enfatizar o raciocnio no significa deixar de lado o clculo na resoluo de problemas: significa calcular compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e das operaes de adio e subtrao. (2005, p. 56)

Por outro lado, medida que a dificuldade dos problemas avana e o campo numrico ampliado, os clculos numricos tornam-se recursos importantes e ne-cessrios para a resoluo e fundamental que sejam trabalhados no ciclo inicial do Ensino Fundamental.

Quando afirmamos a importncia do trabalho com clculos, no estamos nos referindo apenas aos procedimentos de clculo tradicionalmente ensinados na es-cola, que envolvem tcnicas operatrias determinadas, tais como: vai um, pede emprestado, deixar uma casa em branco, abaixar o nmero, entre outros, cha-mados de algoritmos tradicionais. Estamos nos referindo tambm a outros proce-dimentos de clculo, como estratgias inventadas pelos alunos e o uso de recursos didticos como o baco, material dourado e a calculadora.

Dificilmente os algoritmos tradicionais com lpis e papel so utilizados em si-tuaes extraescolares. Muitos adultos e crianas desenvolvem tcnicas de clculo prprias a partir da necessidade de resolver problemas numricos do seu dia a dia.

Por exemplo, o clculo necessrio a fornecer o troco de uma compra no valor de R$ 48,00, paga com uma cdula de R$100,00, dificilmente realizado pelo algoritmo tradicional.

01

9 0

1 0

4 8

5 2

43


Certamente, estratgias mais eficientes e rpidas possibilitam o clculo correto do troco, como por exemplo:

completar quanto falta: se tenho R$ 48,00 para R$ 50,00 faltam R$ 2,00. J para R$ 100,00, faltam R$ 50,00. Portanto, o troco de R$ 52,00;

tirar R$ 40,00 de R$ 100,00, restando R$ 60,00. Destes, tirar R$ 8,00, res-tando R$ 52,00.

O mesmo em uma situao que envolve determinar o preo a pagar por 8 me-tros e meio de fita sendo que o metro custa R$ 1,50.

O algoritmo tradicional pode ser substitudo por estratgias de clculo, como:

1,5 x 2 metros = R$ 3,00. (preo a cada dois metros)

4 x R$ 3,00 = R$ 12,00. (preo de 8 metros)

R$ 0,75 (preo de meio metro)

R$ 12,00 + R$ 0,75 = R$ 12,75 (preo total)

Mas, no s adultos constroem mtodos prprios de calcular em situaes- problema do cotidiano. No livro Na vida dez na escola zero, Carraher, Carraher e Schliemann (1988) j evidenciaram que meninos feirantes usavam mtodos de cl-culo naturais ou inventados, diferentes dos da escola, nas situaes que envol-viam o comrcio de frutas. Por exemplo, ao ser questionado sobre quanto custariam 9 abacates se o preo de 1 abacate era, na poca, 5 Cruzeiros, um aluno respondeu de imediato 45. Questionado sobre o porqu da resposta, explicou: 7 so 35, com mais 1, 40; com mais 1, 45. Essas crianas, no entanto, no se saam to bem na escola, pois no dominavam as tcnicas operatrias ensinadas por seus professores e tambm no as relacionavam com as situaes que vivenciavam em seu trabalho.

Van de Walle (2009) refere-se a essas formas de calcular como estratgias in-ventadas e as define como mtodos pessoais e flexveis de calcular que so compre-endidos pela pessoa que os usa. So estratgias que podem ser feitas mentalmente ou por escrito, mais rpidas e menos sujeita a erros do que os algoritmos tradicio-nais, uma vez que fazem sentido para quem as utiliza.

Para o autor o desenvolvimento dessas estratgias inventadas, alm de fluncia no clculo e possibilitar que se tornem mais geis e cometam menos erros, expres-sam uma compreenso rica e profunda do sistema numrico, fornecendo uma base slida para o clculo mental e por estimativas e contribuem para o envolvimento num processo de fazer matemtica.

A importncia de trabalharmos com clculos na escola de modo distinto ao que tradicionalmente trabalhado e de modo bastante semelhante ao realizado por adultos e crianas fora do contexto escolar j foi defendida por Parra (1996), tam-bm h algum tempo. Sua proposta envolve trabalhar com clculos que denominou


44

pensados ou refletidos, ou seja, procedimentos mentais ou escritos seleciona-dos em funo dos nmeros e da operao envolvida num problema, no automa-tizados e diferentes dos algoritmos tradicionais, mas apoiados nas propriedades do sistema de numerao decimal e nas propriedades das operaes. Esses clculos colocam em ao, conforme a autora, diferentes relaes entre os nmeros. Em outras palavras, permitem raciocinar sobre o que est sendo feito, ao contrrio de utilizarem algoritmos de forma mecnica.

Estratgias de clculo diferentes dos algoritmos tradicionais so construdas a par-tir da compreenso das propriedades das operaes e do sistema de numerao deci-mal de quem as inventa. Por exemplo, clculos realizados por decomposio de n-meros, so utilizados com frequncia por facilitar e tornar mais gil o processo e esto apoiados na compreenso do princpio aditivo do sistema de numerao decimal.

3 6 + 2 4

3 0 + 62 0 + 45 0 + 1 0 = 6 0

3 0 + 2 0 = 5 0 6 + 4 = 1 0 6 0

ou

3 6 x 8

3 0 + 6 x 8

3 0 x 8 = 2 4 0 6 x 8 = + 4 8 2 8 8

ou

1 5 6 4 8

1 0 0 + 5 0 + 6 4 0 + 8

1 0 0 + 4 0 + 1 6 4 0 + 81 0 0 + 0 + 8

ou

1 0 8

A proposta didtica de Parra (1996) que os alunos possam articular o que sabem com o que tm que aprender diante de situaes partindo da anlise dos dados, buscando os procedimentos que lhes paream mais teis, discutindo suas escolhas e analisando sua pertinncia e sua validade. Nessa perspectiva, cada clculo um problema novo e o caminho a ser seguido prprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais complexo.

O fato que, estratgias de clculo construdas a partir dos conhecimentos que j fazem parte da bagagem dos alunos e a partir das relaes sobre os nmeros e opera-es que os envolvem, costumam ser mais rpidas e eficientes para quem as utiliza.

Estratgias como essas no surgem do nada. Precisam ser trabalhadas em sala de aula.

45


Dentre os procedimentos possveis de serem estimulados e propostos pelos pro-fessores sugerimos alguns que descreveremos a seguir.

CONTAGEM

A contagem um procedimento natural e bastante til na resoluo de clculos pelas crianas. Alguns procedimentos que auxiliam no desenvolvimento de estrat-gias de clculo so: contar para frente; contar para trs; contar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10; contar a partir de um determinado nmero.

Jogos de percurso em que as crianas avanam e retrocedem casas so um ex-celente recurso para desenvolvimento do raciocnio aditivo e tambm de estratgias de contagem. O jogo de percurso Coelhinho procurando a toca tem o objetivo de propor a contagem de 2 em 2. O mesmo jogo pode ser adaptado para trabalhar a contagem de 3 em 3 ou outros intervalos.

Coelhinho procurando a toca

Coelhinho procurando a tocaObjetivo do jogo: Contagem de 2 em 2

Materiais:1 tabuleiro;

1 dado com trs faces azuis e com trs faces vermelhas, contendo apenas o nmero 2 nas faces;

3 pees (coelhinhos).

Nmero de jogadores: 3 jogadores

Fonte: .


46Regras do jogo:Os jogadores devero ajudar o coelhinho a encontrar sua toca saltando sobre as casinhas do tabuleiro. O jogador poder sair da toca inicial somente quando cair uma face azul no dado. Caso contrrio, nela permanecer at que isso ocorra. Se cair uma face azul avana duas casas. Se cair uma face vermelha volta duas casas. Ganha o jogo o jogador que conseguir chegar por primeiro ltima casa (onde est a toca).

O mesmo jogo pode ser jogado com outro dado: 3, 3, 3 azul e 3, 3, 3 vermelho, explorando a contagem de 3 em 3.


Joo estava na casinha 4. Quantas vezes Mrio ter que jogar o dado e que cores tm que cair para que ele possa chegar na casinha 20 o mais rpido possvel? V preenchendo as casinhas pelas quais o coelhinho dever passar.

Caio teve muita sorte! Em todas as rodadas do jogo sorteou nos dados: 2 azul, o que lhe permitiu avanar sempre e ganhar o jogo. Escreva as casas pelas quais Caio passou para chegar toca do coelhinho.

47


RECURSO PROPRIEDADE COMUTATIVA

A propriedade comutativa da adio e da multiplicao um recurso importan-te para o clculo, uma vez que facilita a memorizao e tambm a realizao dos clculos.

A propriedade comutativa da multiplicao definida por a x b = b x a, ou seja, a ordem dos fatores no altera o produto. Por exemplo, 3 x 4 = 4 x 3.

importante chamar a ateno para o fato de que a propriedade comutativa uma propriedade da adio e da multiplicao, mas que nem sempre se aplica situao-problema neles envolvida.

Ser que ao mudar a ordem dos fatores, a situao-problema continua sendo a mesma? Veja um exemplo:

Um professor trabalha 4 horas por dia, de segunda-feira sexta-feira. Quantas horas ele trabalha nesse perodo da semana?

O problema pode ser resolvido pelo clculo 5 x 4 = 20, considerando 4 + 4 + 4+ 4 + 4 = 20, uma vez que o professor trabalha 4 horas durante 5 dias da semana, totalizando 20 horas semanais. Mas, qual seria a situao para esse professor se a representao fosse 4 x 5 = ?

A quantidade de horas trabalhadas na semana a mesma do problema an-terior? E a quantidade de horas trabalhadas por dia? E a quantidade de dias trabalhados por semana? Nessa situao, apesar de o total de horas traba-lhadas por semana ser a mesma da primeira situao, 20 horas, nesse ltimo caso, o professor trabalharia 5 horas por dia ao invs de 4 horas e somente 4 dias na semana ao invs de 5 dias: 5 + 5 + 5 + 5 = 20

No caso da adio, ocorre algo semelhante. Veja o exemplo:

Jlia foi fazer compras para a sua me. Na padaria comprou po e leite, e gastou R$ 6,50 e no aougue comprou um quilo de carne e gastou R$ 13,30. Quanto Jlia gastou ao todo?

O problema pode ser resolvido pelo clculo: 6,50 + 13,30 = 19,80, onde a primeira parcela corresponde ao que Jlia gastou na padaria e a segun-da ao que Jlia gastou no aougue. Podemos afirmar que alterando as parcelas 13,30 + 6,50 = 19,80 obteramos o mesmo resultado, o que no est incorreto se pensarmos apenas nos nmeros envolvidos no problema. Mas, e se Jlia tiver que prestar contas dos gastos sua me? Alterar as parcelas poderia dificultar a explicitao do valor correspondente a cada gasto.


48

MEMORIZAO DE FATOS NUMRICOS

Quando falamos em memorizao como recurso aos clculos mentais, logo vem mente a questo da tabuada: decorar ou no decorar? H vrias crticas, com as quais concordamos, ao ensino da tabuada de modo mecnico e memorstico e ao entendimento dessa abordagem como forma de ensino da multiplicao. Como j comentado, aprender multiplicao requer muito mais do que me-morizar as tabuadas.

Por outro lado, h aqueles que, como ns, reconhecem na tabuada uma manei-ra de agilizar processos de clculos a partir da memorizao de resultados da multi-plicao entre os fatores. No entanto, entendemos que essa memorizao deva ser consequncia da adoo de estratgias metodolgicas que permitam a construo/estruturao de regularidades entre os fatos numricos e a memorizao dos mes-mos por caminhos diferentes da decoreba destituda de significado, muitas vezes presentes nas salas de aula1.

Observe um depoimento sobre a questo da memorizao de fatos e a tabuada.

O USO DA TABUADA EM SALA DE AULAMarina de Ftima Dolata professora regente 2.o e 3.o anos.

E.M. Tanira Regina Schmidt NREBV

Ao me deparar com o contedo de multiplicao nos planos trimestrais do 3.o ano, lembrei-me imediatamente de quando eu, estudante do ensino fundamental, fui apresentada temida tabuada... E agora era a minha vez de apresent-la. Pensei de que forma poderia ensinar a multiplicao e a tabuada sem que meus alunos precisassem apenas decor-la e realizar algoritmos mecanicamente, sem ao menos refletir sobre aquela operao e sua funo em nossas vidas. Enfim, a multiplicao passa a ser entendida muitas vezes, apenas na prtica e para muitos adultos apenas no uso atrelado ao sistema monetrio. Para alguns, nem nestas situaes comuns, pois apenas decoraram algo sem saber ao menos onde aplicar o conhecimento adquirido.

Compreender fundamental. inconcebvel exigir que os alunos recitem a tabu-ada, sem que tenham entendido o significado do que esto dizendo. Na multiplicao, bem como em todas as outras operaes, a noo de nmero e o sistema de nume-rao decimal, precisam ser construdos e compreendidos, trabalho iniciado no ciclo I e consolidado nesta etapa, no 3.o ano. No ciclo II, a ampliao se dar a partir dos conhecimentos que as crianas devem se apropriar at o final do ciclo I.

1 A esse respeito, veja Spinillo e Magina (2004).

No caderno 8 o tema tabuada ser tratado com maiores detalhes.

49


Assim, a construo da ideia multiplicativa iniciou-se com a ideia aditiva. O tra-balho com material manipulativo foi fundamental para que alguns alunos percebes-sem de que forma aquela problematizao estava sendo resolvida. Manipular objetos na matemtica para algumas crianas necessrio, pois necessitam se apoiar na visualizao das quantidades para ento represent-las com nmeros. Com a resolu-o de situaes-problema em diferentes contextos, os alunos desde o 2.o ano j so colocados em situaes envolvendo a ideia multiplicativa.

Em minha sala, as correes de situaes-problema acontecem no quadro de giz, com a exposio das diferentes formas de resoluo por parte das crianas, sendo re-solvidas por elas mesmas. Em dada situao-problema ocorreu a seguinte concluso por parte dos alunos: a multiplicao facilita a matemtica e com ela encontramos o mesmo resultado da adio.

Durante a resoluo em sala, tivemos cinco solues: um aluno optou pelo de-senho bem esquematizado para responder Se um coelho tem quatro patas, quantas patas tm 8 coelhos juntos?. O aluno desenhou os 8 coelhos com todos seus deta-lhes. A segunda aluna optou pela representao esquemtica, desenhando bolinhas e palitinhos para representar coelhos e nmero de patas. O terceiro aluno agrupou palitinhos de 4 em 4. A quarta criana realizou a adio de oito parcelas contendo o nmero 4. E finalmente, um aluno com um raciocnio matemtico mais consolidado, foi ao quadro e resolveu: 4 x 8 = 32. Foi o primeiro a se sentar. Como as crianas que optaram pelo desenho demoraram mais que os demais alunos, a turma prontamente concluiu que em muitas situaes o uso do algoritmo seja da soma ou da multiplica-o mais eficaz. E com relao multiplicao, compreenderam que esta operao agiliza o processo da adio, especialmente quando envolve muitas parcelas iguais. O uso do dobro e do triplo tambm foi apresentado envolvendo a ideia aditiva e aos poucos, introduzida a ideia multiplicativa.

Com o uso constante dos algoritmos da multiplicao, creio que as crianas iro memorizar os fatos mais comuns, especialmente os contidos nas tabuadas at 10, base do nosso sistema de numerao. Memorizar com seu uso e aplicao, e no apenas decorar a tabuada. Para que o raciocnio matemtico fique ainda mais gil, esto sendo propostos jogos variados, em sala e no laboratrio de informtica. Como por exemplo, bingo de tabuada, memria dos fatos, jogo do dobro e triplo, clculos mentais e todo tipo de jogos que contribuam para a fixao do raciocnio da multi-plicao e por consequncia sua memorizao. Mas memorizao sem compreenso no dar ao nosso aluno uma aprendizagem significativa, construda para que se leve adiante em sua vida escolar. Antes de qualquer coisa, deve haver compreenso para que a temida tabuada l do nosso tempo de estudante, seja uma aliada na caminhada matemtica das nossas crianas.


50

Alm das sugestes apresentadas pela professora Marina sobre as estratgias para o trabalho com a tabuada, Ponte et al (2005), prope o trabalho com os fatos numricos da multiplicao pelo desenvolvimento de atividades investigativas, nas quais os alunos so convidados a analisar padres e regularidades existentes nas operaes, por exemplo a seguinte:

Outro olhar sobre a tabuada

Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso nesta tabuada? Prolongue-a calculando 11 x 3, 12 x 3, 13 x 3 ... e formule algumas conjecturas. (PONTE et al, 2005, p. 64)

Atividades como essa, tanto em relao multiplicao como em relao adio, que contribuem para a construo de recursos cognitivos que auxiliam a memorizao, pois as crianas tm a oportunidade de estabelecer relaes entre os fatos e perceber regularidades por processos investigativos.

Outra sugesto proposta por Pires (2013) para a construo de Fatos Bsicos da Multiplicao por meio da elaborao coletiva e gradativa da Tbua de Pit-goras. A autora explica que se trata de uma tabela de dupla entrada na qual so registrados os resultados da multiplicao dos nmeros que ocupam a linha e a coluna principais (p. 148). A atividade volta-se para a possibilidade de explorao das regularidades que aparecem na construo da Tbua. uma proposta bastante semelhante a apresentada por Van de Walle (2009, p. 203).

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

51


Pires (2013, p. 148-156) prope que a construo da Tbua

1 - 4PNAIC_MAT_Sis Num Dec Oper_pg001-088.pdf

Documents

Transcript of 1 - 4PNAIC_MAT_Sis Num Dec Oper_pg001-088.pdf