1 Amostragem/Reconstrução Amostragem impulsiva Reconstrução.
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1 Amostragem/Reconstrução Amostragem impulsiva Reconstru ção
Transcript of 1 Amostragem/Reconstrução Amostragem impulsiva Reconstrução.
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Amostragem/Reconstrução
Amostragem impulsivaReconstrução
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Teorema de Amostragem
)()()( tstxtx cs
k
STF
k
kT
jSnTtts ).(2
)()()(
k
SCCS kjXT
jSjXjX )).((1
)(*)(2
1)(
O espectro do sinal amostrado é uma soma de réplicas do sinal continuo deslocadas na frequência.
A reconstrução do sinal contínuo é A reconstrução do sinal contínuo é possível desde que:possível desde que:
NaNS FF 22
f2
Ou critério de Nyquist
aff /2
Transformada de um pente de diracs é um pente de diracs:Transformada de um pente de diracs é um pente de diracs:Notar que:
)()(2 f
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Teorema de Amostragem
Com Sobreposição espectral (aliasing)
Espectro do sinalcontínuo
Sem Sobreposição espectral
(sem aliasing)
Amostragem
Espectro de uma sequência de
diracs
)()()( tstxtx cs
Amostragem impulsiva
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Aliasing
Cos[(2-)n+]=Cos[-n+]=Cos[n-] 0< para n inteiro
Dois sinais analógicos diferentes têm a mesma representação digital:
Cos[(2fA-2f) t + ] e Cos[2f t - ]
Implica perca de informação a não ser que não seja possível encontrar alguns dos sinais referidos na entrada, nomeadamente se as frequências do sinal de entrada estiverem limitadas a fA/2.
AftnnTt
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Teorema de Amostragem
Ou seja Se o sinal original estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 é
possível reconstruir o sinal original a partir do amostrado (com um filtro passa baixo) e não há perca de informação.
Se o sinal não estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 existem diversas frequências analógicas que correspondem á mesma frequência digital (aliasing), pelo que há perca de informação.
ConclusãoConclusão: não há perca de informação quando amostramos um sinal real analógico arbitrárioarbitrário com largura de banda B, se e só se e só se fA >2B
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Reconstrução
ReconstruçãoAmostragem
É possível através de um
filtro passa baixo desde
que não exista sobreposição
espectral
NS 2
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Reconstrução
Vale zero nos pontos correspondentes às restantes amostras Soma de
Sincs
k
s nTtnxtx )(][)(
k
s nTthnxthtxty )(][)(*)()(
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Frequência de amostragem
Na prática, dependendo da aplicação, a frequência de amostragem deve ser maior do que 2B, por exemplo Fa=4B
Tal permite filtros de reconstrução e de anti-aliasing menos selectivos, e mais fácil de implementar na prática.
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Sub/Sobre-Amostragem
Sub Amostragem: Redução da frequência de amostragem.
].[][ nMxnv Sobre Amostragem:
Aumento da frequência de amostragem.
k
kxkMnnv ][][][
Nota: não é, em geral, equivalente a amostrar a uma
frequência superior
Teorema da Amostragem( B < (2/M)/2 )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
0
1
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Processamento de Sinais contínuos
Sample and Hold(SH)
Anti-aliasing filter
Zero Order Hold(ZOH)
DSP
ReconstructionFilter
Analog to Digital(A/D)
Digital to Analog(DA)
Filtro Anti-Sobreposição de
espectro
retenção deordem zero
ProcessadorDigital de Sinais
Amostragem eretensão
Filtro de reconstrução
ConversorAnalógico para
Digital
Conversor Digital para analógico
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Relação entre a DTFT e FT
)(][][
)(][)()(
)(][)(
2
22
j
k
k
k
Tkf
k
tftf
kc
eHekxekx
dtekTtkxdtetxfX
kTtkxtx
A DTFT resulta da Transformada de Fourier quando consideramos o sinal no tempo formado por uma série de diracs
aff /2
f2
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Relação entre a DTFT e FT
)()(
)(lim
][lim)(lim
0
00
Hdtetx
TekTx
TekxTeH
tC
k
kTfjC
T
k
kjT
T
jT
T
A
A FT também pode ser derivada da DTFT quando o intervalo de amostragem tende para zero!
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Frequência normalizada
Resposta em FrequênciaResposta em Frequência
O processamento de sinais contínuos através de sistemas discretos (digitais) conduz a sistemas que são apenas aproximadamente invariantes no aproximadamente invariantes no tempotempo!
No entanto quando podemos aplicar o critério de Nyquist:
ãoreconstruç de Filtro -),(
discreto sistema do frequência em Resposta -,)(
espectro de ãosobreposiç-anti Filtro -),(
2
fH
)H(efH
fH
R
f
fπω
jωA
a
)()()( tstxtx cs aff /2
f2
)()()()(
)(fHfHfH
fX
fYRAs
s
s
af
f2πω
jω )H(e
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Aproximação de invariancia no tempo
Os sistemas de Processamento digital de sinais contínuos são apenas aproximadamente invariantes no tempo:
Os sinais devem estar dentro do limite de Nyquist limitados pelos filtros de anti-aliasing ou de reconstrução.
Tal pode implicar duas coisas: Que o atrasos do filtro é consideravelmente maior que o período de
amostragem. Para filtros muito selectivos o atraso será grande. Se os filtros não forem muito selectivos então o sinal fora da banda é reflectido para dentro da banda resultando em ruído de medição. Os filtros utilizados na prática dependem da aplicação.
Os sinais variam lentamente quando comparados com o período de amostragem
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Exemplo: Implementação de um Atraso Fraccionário
Atraso Fraccionário: Um atraso que não é múltiplo da frequência de amostragem. nT
fajfS eeHefH /2 )()(
Assumindo filtros de anti-aliasing e de reconstrução ideais:
)/(
)/(sin
2
1][ /
Tn
Tndenh afj
O que corresponde a um impulso para atrasos inteiros, e a um sinc amostrado para atrasos fraccionários.
Notar que é possível facilitar muito a implementação se não se exigir a correspondência ao atraso em toda a banda.
0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
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Modelação e desmodelação
DSP
D/A
Canal
A/D
DSP
Filtro de reconstrução
Filtro anti-aliasing
Sinal digital
Sinal digital
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Amostragem e Retenção
A reconstrução é muitas vezes efectuada utilizando retentores de ordem zero.
Amostragem Retenção de ordem zero
(ZOH)
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ZOH
ZOH
Saída é convulsionada,
Se necessário o efeito pode ser eliminado pre-filtrando o sinal por um filtro cuja função de transferência seja a inversa deste na banda de passagem!
T
trecttyty *)(')( TfTfYfY /sinc'
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.5
1
Frequencia (Hz)
Am
plitu
de
Sinal digital ZOH
resultado
Ex:
Fa = 400 Hz
B = 80 Hz
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Amostragem de Sinais Passa-banda
BAmostragem
Sinal Real
Distância entre
réplicas: 2B = Fa
para certos valores da frequência central e da largura de banda
(tal como na figura)Para sinais complexos
temos Fa>B!Em qualquer caso é pelo menos necessário que Fa>2B
Replicando separadamente as frequências positivas e negativas
