1. ANPEC 2018 Questão 9 · Lista de Exercícios #5 Assunto: Variáveis Aleatórias...

Lista de Exercícios #5 Assunto: Variáveis Aleatórias Multidimensionais Contínuas

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1. ANPEC 2018 – Questão 9

Uma pessoa investe R$ 10.000,00 (I) em duas aplicações cujas taxas de retorno são variáveis

aleatórias independentes, 𝑅1 e 𝑅2, com médias 5% e 14% e desvios-padrão 1% e 8%,

respectivamente. O retorno esperado é dado por 𝑅𝑡 = 𝛼𝐼𝑅1 + (1 − 𝛼)𝐼𝑅2 e o seu desvio-padrão

dado por 𝜎(𝑅𝑡).

(0) Para minimizar o risco, o percentual investido na aplicação 1, 𝛼, deve ser superior a 0,98.

(1) Adotando a estratégia de minimizar o risco, o desvio-padrão do retorno total 𝜎(𝑅𝑡) é

aproximadamente R$ 99,23.

(2) Para um retorno total de R$ 770, o valor investido na aplicação 1 deveria ser de R$ 7.000 e

na aplicação 2 deveria ser de R$ 3000,00.

(3) Para um retorno esperado total de R$ 770, o menor risco, medido pelo desvio-padrão, seria

de R$ 250.

(4) Seja 𝑅𝑡 com média R$ 770 e desvio-padrão R$ 250, então a menor probabilidade do retorno

total estar entre R$ 210,98 e R$ 1.329,02 é de 80%.

2. ANPEC 2016 - Questão 13

Uma lanchonete resolveu apostar no serviço de drive-thru, além do atendimento convencional.

Em um dia, X é a proporção de tempo em que o drive-thru está em uso e Y é a proporção de

tempo em que o caixa convencional está em uso. Assim (𝑋, 𝑌) ∈ {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤1}. O gerente, que começou a estudar estatística este ano, acredita que a função de densidade

conjunta seja dada por:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {6(𝑥 + 𝑦2)

5, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.

Calcule a probabilidade de nenhuma das alternativas de atendimento estar ocupada em mais de

um quarto do tempo. Multiplique o resultado por 1280 e marque a parte inteira.


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Sejam X e Y variáveis aleatórias, com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦), para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, com 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, caso contrário.

Julgue as afirmativas abaixo:

(0) Sendo 𝑓(𝑥) a distribuição marginal de 𝑋, podemos dizer que 𝑓(𝑥) = 𝑥 + (1/2) para 0 ≤𝑥 ≤ 1;

(1) 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 0,5) = 1/2;

(2) 𝑃(0,5 ≤ 𝑋 ≤ 1) = 5/8;

(3) 𝑓(𝑦|𝑋 = 0,5) = 𝑦;

(4) 𝑃(0 ≤ 𝑌 ≤ 0,5|𝑋 = 0,5) = 1/2.


Sejam 𝑋1 e 𝑋2 variáveis aleatórias independentes, cujas distribuições são representadas por

𝑋1 ~𝑁(𝜇1, 𝜎12) e 𝑋2 ~𝑁(𝜇2, 𝜎2

2). Considere a seguinte combinação linear: 𝑌 = 𝑎𝑋1 + 𝑏𝑋2, em

que a e b são constantes.

É correto afirmar que:

(0) Y tem distribuição normal;

(1) Y tem média igual a (𝑎𝜇1 + 𝑏𝜇2);

(2) Y tem variância igual a (𝜎12 + 𝜎2

2);

(3) A distribuição de 𝑋1 é simétrica em torno de zero;

(4) Se 𝑏 = 0, Y tem variância igual a 𝜎12.


Julgue as afirmativas abaixo:

(0) Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade:

f(x)=(1/2)x, em que 0≤x≤2. A probabilidade de que x se situe entre 0 e 1 é igual a 0,5;

(1) Se X é uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade f(x)=(1/2)x, em

que 0≤x≤2, então Var(X)=2/9;

(2) Suponha que Y seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade:

f(y)=2y-3, em que y≥1. Então E(Y)=3;

(3) Suponha que Y seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade:

f(y)=2y-3, em que y≥1. Então a mediana de Y é 2 ;

(4) Considere a seguinte função densidade de probabilidade conjunta para as variáveis Z e W:

f(z,w)=2-z-w, 0≤z≤1, 0≤w≤1. Podemos dizer que as variáveis Z e W são independentes.


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Seja (X,Y) um vetor de variáveis aleatórias com distribuição normal bivariada, tal que E[X] =

E[Y] = 0 e Var[X] = Var[Y] = 1 e o coeficiente de correlação entre X e Y (ρ) é igual a 0,8.

Podemos afirmar que:

(0) A distribuição marginal de X é uma distribuição normal com média 0 e variância 1.

(1) Se Z = X + Y, Z é uma variável aleatória que possui distribuição normal com média 0 e

variância 2.

(2) As variáveis aleatórias X e Y são independentes.

(3) Seja W = -X, podemos afirmar que W tem a mesma função de densidade de X.

(4) A variável aleatória Y2 tem uma distribuição chi-quadrada com 1 grau de liberdade.


Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas X e Y

dada por

contráriocaso

yxykxyxf

XY0

10,10,,

2

(0) Para que yxfXY

, satisfaça as propriedades de uma função de densidade conjunta, k=6.

(1) A densidade marginal de Y é dada por 23yyfY

.

(2) A densidade de Y, condicional em X=2, é igual a yXyfXY

22||

.

(3) X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas.

(4) A variância de Y, condicional em X=2, é igual a 1/9.


Denote X e Y variáveis aleatórias, cuja função densidade conjunta avaliada em (x,y) é f(x,y)=c

0<x<1 e 0<y<1, onde c é uma constante. A função de distribuição acumulada de X avaliada em

x é F(x).

(0) A variável aleatória Z=F(X) segue uma distribuição uniforme ;

(1) A constante c=2 ;

(2) X e Y são independentes ;

(3) E(X|Y=y) não depende de y ;

(4) A densidade condicional f(y|x)=cy-1.


4


Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com a

seguinte função de densidade:

contrário caso0

1x0 se1xfX

Suponha ainda que

contráriocaso0

xy0sex

1x|yf X|Y

Calcule E(Y). Multiplique o resultado por 100.


Sobre variáveis aleatórias indique se as afirmativas são corretas ou falsas:

(0) Se X é uma variável aleatória continua com fdp dada por f(x) = x/12 se 1<x<5 e f(x)=0 para

outros valores, então a densidade de Y=2X–3 é g(y)=(y+3)/24 se –1<x<7 e g(y)=0 para outros

valores.

(1) Se X e Y tiverem um coeficiente de correlação igual a ρ(X,Y) e definindo Z = aX+b e W = cY

+ d, então ρ(X,Y)= ρ(Z,W) somente se a>0 e c> 0.

(2) Se X possui distribuição Normal com média µ e variância σ2, então Z = aX + b possui

distribuição Normal com média a µ e variância (a)2σ2.

(3) Se a função distribuição de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias X e Y é

definida como f(x,y)=0,01; 0≤x,y≤10 e f(x,y)=0 para qualquer outro valor, então X e Y são

variáveis aleatórias independentes.

(4) Se duas variáveis aleatórias X e Y tem covariância nula, então elas são independentes.


Sejam X, Y, Z variáveis aleatórias não negativas. Julgue as afirmativas:

(0) Se X > Y, então, E(X|Z) > E(Y|Z).

(1) (cov(X,Y))2 ≤ var(X)var(Y).

(2) Se Z = X + Y, então, corr(Z,X) = corr(Y,X).

(3) Se W1 e W2 são variáveis aleatórias Bernoulli, independentes, com P(W1) = P(W2) = p, Z é

uma variável aleatória com distribuição Binomial em que Z = W1 + W2.

(4) Se F(Y) = 1- e-y, y ≥ 0, P(Y > 3|Y > 1) = P(Y > 2).


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Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de

densidade:

contrário caso,0

x-1y0 e 1x0 se,xy24)y,x(fXY

Calcule P(0 < Y < ¼ | X = 1/2). Multiplique o resultado por 100 e despreze as decimais.


No começo do dia uma máquina de refrigerantes armazena um montante aleatório Y de líquido

(medido em galões). No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório X é descartado pela

máquina. Como a máquina não é carregada, X ≤ Y. A distribuição conjunta de X e Y é:

contrário caso,

y ;yx se,/)y,x(f

0

20021

Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja descarregado no decorrer de um dia,

dado que a máquina contém um galão no começo do mesmo dia.

Multiplique a sua resposta por 100.


Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta f(x,y), para as

variáveis aleatórias contínuas X e Y:

(0) A função densidade de probabilidade marginal de X é: y

yxfxf

),()( .

(1) Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y) = dF(y)/dy, para

F(y) derivável em todo o y.

(2) X e Y serão independentes se f(x) = f(x | y).

(3) EX[E(Y | x ) ] = E[Y]

(4) Se X e Y são independentes, VY[E(X | y ) ] = V[X].


6


Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória

bidimensional (X,Y) seja dada por:

contrário caso0

20 e 103),(

2

yx

xyx

yxf

Calcule a P(Y<X). Multiplique o resultado por 48 e transcreva este produto para a folha de

resposta.


Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar que:

(0) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - 2Cov(Y, X);

(1) Var(Y - X) = Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X);

(2) Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes;

(3) se Cov(Y, X) = 0, então Y e X são independentes;

(4) se Cov(Y, X) = 0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são

independentes.


Considere o vetor aleatório X = (X1, X2, X3) com distribuição de probabilidade

contrário caso0

20,10,106),,( 3213

2

21321

xxxxxxxxxf X

Encontre a probabilidade de 5,00 1 x . (Multiple o resultado por 100).


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Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional

(X,Y) seja uniformemente distribuída na região de domínio,

20 ,20 )(),( yxyxxkyxf

Encontre E(X). Multiplique a resposta por 10 e transcreva somente a parte inteira do número

encontrado.


Com relação às definições de Coeficiente de Correlação e de Esperança Matemática, pode-se

afirmar que :

(0) Se X e Y são duas variáveis aleatórias de forma que Y=aX+b, onde a e b são constantes,

então o coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1 se a < 0 e igual a -1 se a > 0.

(1) Se XY é o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y onde W=aX+b e Z=cY+d com

a,b,c e d constantes, então XYWZac

ac onde a e c são diferentes de zero.

(2) Se o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é igual a zero, então

E(XY)=E(X)E(Y). Assim, pode-se concluir que X e Y são variáveis aleatórias

independentes.

(3) Se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é simétrica em relação

a um ponto X = a , então E(X) = a.

(4) Dados os seguintes eventos :

X=1 se o evento A ocorre, e 0 em caso contrário.

Y=1 se o evento B ocorre, e 0 em caso contrário.

Se as probabilidades dos eventos A e B são, respectivamente, maiores do que zero, então o

coeficiente de correlação entre X e Y igual a zero implica em que X e Y são independentes.


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Com relação às distribuições de probabilidade conjunta e marginais, pode-se afirmar que:

(0) Se a função densidade conjunta de (X,Y), f(x,y), pode ser fatorada na forma f(x,y) =

f(x).g(y), onde f(x) e g(y) são ,respectivamente, as funções densidade de X e Y, então as

variáveis aleatórias X e Y são independentes.

(1) Se a variável aleatória bidimensional (X,Y) é uniformemente distribuída, de acordo com a

função densidade conjunta f x y( , ) 2 , para 0 1 x y e, 0 fora deste intervalo, então

E(X)=1/2.

(2) Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então E(X|Y) = E(X) e E(Y|X) = E(Y).

(3) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, então

P X f x dx( ) ( )

1 .

(4) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, então

podemos definir o valor esperado de X como E X x f x dx( ) . ( ).

.


A função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por:

f x yx y x

XY ( , ),

6 1 1

0

2 , se 0 < 0 < y

, em caso contrario.

Pode-se afirmar que:

(0) a função densidade de probabilidade marginal de X é f (x) = 3xX

2 .

(1) a função densidade de probabilidade marginal de Y é f (y) = yY .

(2) a função densidade de probabilidade condicional de X dado Y é f (x, y) = 3xX Y

2 .

(3) a função densidade de probabilidade condicional de Y dado X é f (x, y) = yY X

.

(4) X e Y são independentes.

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