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BCC 101 – Matemática Discreta I

Recursão / Indução

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Recursão/Indução

Método usada para resolver uma classe de problemas, em que cada instância tem um tamanho (n ∈ N)

Construa a solução para instâncias do problema de tamanho 0

Supondo conhecida a solução do problema para instâncias de tamanho n, sendo n arbitrário, construa a solução para instâncias de tamanho (n+1)

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base da recursão

passo recursivo

Números Naturais

Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3, …}

pode ser definido recursivamente como

0 ∈ N n ∈ N → (n+1) ∈ N

Gramática: N -> 0 | suc N

Tipo de dado (em Haskell)

data Nat = Zero | Suc Nat


Fatorial

Fatorial: n! = 1x2x…x(n-1)xn0!= 1 (base)n!= n · (n -1)! (recursão)

EX: 5!

4

recursão

= 5 · 4!

= 5 · 4 · 3!

= 5 · 4 · 3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2

· 1! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

· 0!

base

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1

Exercícios

Defina recursivamente os conjuntos:1. Pares = {0,2,4,…}

2. O conjunto potência de A : P (A ).

3. O conjunto de todos os bitstrings Bs

4. O conjunto de bitstrings palindromos Pal

5. O conjunto de todas as listas de valores de um dado tipo A


Sequências

Sequência de potências de 2: an = 2n,

n≥0

pode ser definida recursivamente como:

a0 = 1

an = 2 an-1 n>0

Sequência: 3 0 3 0 3 0 …

pode ser definida recursivamente como:

a0 = 3 a1 = 0

an = an-2 n>1BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 6

Fibonacci

Fibonacci

fib 0 = 0

fib 1 = 1

fib n = fib (n -1) + fib (n -2)

Esse algoritmo é O(2n ) porque ao passar de n para n-1 efetuamos 2 chamadas recursivas da função, e cada uma usa, por sua vez, duas outras chamadas recursivas, e assim por diante.7

Exercícios

Considere a definição recursiva:

f(0) = 1 f(n+1) = 3 f(n)

Determine f(1), f(2), f(3), f(4)Encontre uma fórmula direta para f(n)

Defina recursivamente as sequências:

1.an = 3n+2 n≥0

2.1 -1 1 -1 1 …

3.an = n2


Coeficientes Binomiais (n,k)

Coeficientes binomiais ocorrem em diversas aplicações:

Combinatória/Probabilidade C (n,k) = número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos

Algebra: C (n,k) = coeficiente do k esimo termo na expansão binômio de grau n: (x + y )n

9

k

nknC ),(

Notação usada comumente:


A maneira mais eficiente de computar todos os C (n,k) até um determinado n é via o triângulo de Pascal.

O triângulo de Pascal é construído colocando 1 no topo (inicialização) e todo elemento seguinte é definido recursivamente como a soma dos números à direita e à esquerda desse número, na linha anterior. Se tal número não existe, é considerado 0.10

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combinação n k e Triângulo Pascal

1

12


1

1 1

13


1

1 1

1 2 1

14


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

15


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

16


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

17


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

18


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Q: Fórmula recursiva para C (n,k)?

n = linha0123456

0 k = coluna diagonal 1 2

3

4 5 6


Resposta: Use o triângulo de Pascal.

Base: O topo do triângulo é 1. Portanto, C (0,0) = 1. Se falta um número, ele é considerado 0. Isso dá origem a C (n,k) = 0 se k < 0, ou k > n.

Recursão: Cada valor é a soma dos números à direita e à esquerda na linha anterior:

C (n,k) = C (n -1,k-1) + C (n -1,k )19


Resumindo:

20

Máximo Divisor Comum - mdc

O algoritmo de Euclides usa o fato: mdc(x,y) = mdc(y, x mod y)

21

contrário caso

if

),mod,(

0 ,),(

yxymdc

yxyxmdc

supomos aqui que x > 0

Exercícios

Defina recursivamente:

1. an , a ∈ R, n ∈ N

2.


Tamanho do problema A generalização apropriada nem sempre é óbvia.

Exemplo: problema relativo a um tabuleiro de xadrez com 64 quadrados. Como esse problema pode ser generalizado?

Uma classe de problemas com instâncias de tamanho n, tal que uma instância é n = 64

Uma classe de problemas em que uma instância é um tabuleiro de tamanho n×n. O tamanho da instância é n; o problema original é uma instância de tamanho n = 8

Restringir a classe a problemas as casos em que o tamanho do tabuleiro é 2n. O problema original é uma instância de tamanho n = 3


Triominós

Considere um tabuleiro com tamanho 2n x 2n no qual exatamente um quadrado está coberto.


um triominó de formato L é feito de 3 quadrados:

Quantos triominós de formato L são necessários para cobrir os quadrados restantes, sem que triominós se sobreponham.

Triominós - solução para 23 x 23


Triominós Caso base (n=0):

O tabuleiro tem dimensão 20x20 = 1x1, isto é, exatamente 1 quadrado, que já está coberto. Portanto, são necessários 0 triominós para cobrir os quadrados restantes: trio(0) = 0

Passo indutivo: Considere um tabuleiro de dimensões 2n+1x2n+1

Suponha que é possível cobrir qq tabuleiro de dimensões 2nx2n com trio(n) triominós

Devemos mostrar como explorar essa hipótese para obter a solução para o caso 2n+1x2n+1


Triominós

Um tabuleiro 2n+1x2n+1 pode ser subdividido em 4 tabuleiros 2nx2n, traçando-se uma linha horizontal e uma vertical que se cruzam no meio.

Em uma desses 4 tabuleiros, há um quadrado que já está coberto. Pela nossa hipótese, os demais quadrados desse tabuleiro podem ser cobertos com k triominós.

Nenhum dos 3 outros tabuleiros 2nx2n tem um quadrado coberto. Como aplicar a hipótese aos 3 outros tabuleiros?

A idéia é colocar um triominó na junção desses 3


Triominós


Agora a hipótese pode ser aplicada para cobrir os quadrados restantes de cada uma dos 3 outros subtabuleiros. Então trio(n+1) = 4 trio(n) +1 (n>0).

trio(0) = 0trio(n+1) = 4 trio(n) +1

Exercício Torres de Hanoi

(Edouard Lucas - 1883)

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Um templo da cidade de Hanoi tem 3 torres de diamante, em uma das quais foram empilhados n discos de ouro, de maneira que os discos diminuem de tamanho da base para o topo da torre. Os monges do templo trabalham sem cessar para transferir os discos da torre em que foram inicialmente colocados para uma das outras duas torres --- mas nunca um disco de maior raio pode ser colocado sobre outro de raio menor.

Encontre uma definição recursiva para o número de movimentos de discos que são necessários para transferir n discos da torre A para a torre C, usando a torre B.

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