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BCC101 – Matemática Discreta

Demonstração de TeoremasProva de Bicondicional e

EquivalênciaProva de ∀ e Prova de ∃

Provas de Bicondicional

Para provar uma afirmativa da forma

P ↔ Q (P se, e somente se, Q) devemos provar P → Q e Q → P

Exemplo 1: Prove que um inteiro n é par se, e

somente se, n2 é par.

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Provas de BicondicionalExemplo 2: Suponha x,y ∈ . Então x𝐑 3 + x2y = y2 + xy

se, e somente se, y = x2 ou y = -x.⇒Suponha x3 + x2y = y2 + xy. Então

x2 (x+y) = y (x+y). Portanto y = x2 ou y = -x⟸ Suponha y = x2 ou y = -xSe y = x2: x3+x2y = x3+x4 = x4+x3=y2+xySe y = -x: x3+x2y=x3-x3=0 e y2+xy=y2-

y2=03

Provas de Equivalência

Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:q) n é imparb) (n+1) é parc) n2 é imparQueremos provar (a) ⇔ (b) ⇔ (c)Estratégia: (a) (b)

(c)4

Provas de Equivalência

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(a) (b): Suponha n impar, i.e., n=2k+1, para algum k∈ . Então 𝐙n+1=2k+2=2(k+1) ou seja, n+1 é par. (b) (c): Suponha (n+1) par, i.e, n+1=2kpara algum k∈ . Então n𝐙 2=(n+1)2-(2n+1)=(2k)2-4k-1=4k2-4k-1=2(2k2-2k)-1, ou seja, n2 é impar(c) (a): Suponha, por contraposição, que n é par, i.e., n=2k para algum k∈ . Então 𝐙n2=4k2, ou seja, n2 é par. Portanto, se n2 é impar então n é impar

Provas envolvendo quantificadores

Para provar uma afirmativa da forma

∀x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário.

Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros

a,b,c, se a|b e b|c então a|c.

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Provas envolvendo quantificadores

Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c.Prova: Sejam a,b,c inteiros arbitrários e suponha a|b e b|c, isto é, b = na e c=mb, para alguns n,m inteiros. Então c = mb = m(n a) = (n m) a, isto é, a|c.

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Provas envolvendo quantificadores

Para provar uma afirmativa da forma ∃x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira.

Exemplo: Prove que, para todo número real x>0,

existe um número real y>0 tal que y(y+1)=x

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Provas envolvendo quantificadores

Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y>0 tal que

y(y+1)=xProva: Seja x real arbitrário e tome

Então

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Erros em provas

Considere a seguinte afirmação incorreta: ∃x∈R. ∀y∈R. (x y2 = y-x)O que está errado com a seguinte prova desta afirmação:Prova: Seja x = y/(y2+1). Então y-x = y- y/(y2+1)

= y3/(y2+1) = (y/(y2+1)) y2 = xy2

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Prova de existência - construtiva

Prove que existe um número inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras

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1729 = 103 + 93 = 123 + 13

Prova de existência - não construtiva

Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional.Prova: Considere =√2√2 Temos 2 possíveis casos:1)√2√2 é racional, o que conclui a prova2)√2√2 é irracional. Então, tomando x = √2√2 e y = √2, temos xy = (√2√2) √2 = √22 = 2.

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Prova de existência - construtiva

Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional.Prova: Considere x=√2 e y=log29. Temos √2log

29 = √22log

23 = (√22)log

23 = 2log

23 = 3

Sabemos que √2 é irracional. Para completar a prova, basta mostrar que log29 é irracional.

(continua…)13

Prova de existência - construtiva

Provando que log29 é irracional. Suponha, por contradição, que log29 é racional, i.e., log29 = a/b, onde a,b ∈ , b≠0𝑍Isso significa que 2(a/b) = 9. Elevando ambos os lados a b, obtemos 2a = 9b. Mas 2a é par, e 9b é ímpar. 2a = 9b – ABSURDO!Portanto log29 é irracional.

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Existência e Unicidade

A prova de uma afirmativa da forma ∃! x. f(x) tem duas partes:

Prova de existência:∃x. f(x) Prova de unicidade:

(∀y∀z. f(y) ∧ f(z) ➝ y=z)Exemplo: Prove que, para todo número real x>0,

existe um único real y>0 tal que y(y+1)=x

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