1. DIST RIB UIÇ ÃO NO RMAL - cearidus.ufc.br20e%20Estat%EDstica/Apostila/… · A distribuição...
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Distribuições de Probabilidades Contínuas Capí ítu 7 7 lo 1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal é a distribuição mais importante do campo da Estatística, uma vez que: • Serve de parâmetro de comparação; • Muitas funções convergem para a normal (Poisson, Binomial); • Muitos fenômenos são descritos pela distribuição normal. Condições para que uma variável aleatória siga uma distribuição normal: • Um grande número de fatores influencia a variável aleatória • Cada fator tem, individualmente, um peso muito pequeno • Efeito de cada fator é independente dos outros fatores • Efeito dos fatores no resultado é adicionado. A f.d. p. da variável aleatória normal X, com média µ e desvio padrão σ é dada por: ∝ + < ∝< − ∏ σ = σ µ = σ µ − − x se e 2 1 ) , ; x ( N ) x ( f ) 2 ) X ( ( 2 2 A função acumulada ou Função Repartição é dada por : ∫ ∞ − = x dx ) x ( f ) x ( F
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DDiissttrriibbuuiieess ddee PPrroobbaabbiilliiddaaddeess CCoonnttnnuuaass
CC aappttuu
77lloo
1. DISTRIBUIO NORMAL
A distribuio normal a distribuio mais importante do campo da Estatstica,
uma vez que:
Serve de parmetro de comparao;
Muitas funes convergem para a normal (Poisson, Binomial);
Muitos fenmenos so descritos pela distribuio normal.
Condies para que uma varivel aleatria siga uma distribuio normal:
Um grande nmero de fatores influencia a varivel aleatria
Cada fator tem, individualmente, um peso muito pequeno
Efeito de cada fator independente dos outros fatores
Efeito dos fatores no resultado adicionado.
A f.d. p. da varivel aleatria normal X, com mdia e desvio padro dada por:
+ 100.000 cfs)
b) A magnitude da cheia centenria
c) P(x < 50.000 cfs)
Soluo
b) magnitude da cheia centenria.
t
t
0
e
0!
e
)
t
(
)
t
p(0;
-
-
=
l
=
l
(x = 67.660
(x = 20.885
Tr = 100 ( P(X > x) = 0,01
X ( s achar P(X < x) = 0,99
(
)
(
)
)
(
e
-
x
f(x)
)
-
(x
1
-
a
G
d
=
d
-
a
a
P(X < x) =
{
99
,
0
x
ln
Z
P
x
ln
X
ln
P
y
y
Y
=
s
m
-
p=/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
/p
pz = 2,32/p
pp0,11/p
p1,411/p
p/p
p /p
p2/p
p1/p
p/p
p(4,10)/p
p2/p
p1/p
p/p
pexp/p
p/p
p/p
py/p
p2/p
py/p
py/p
pn/p
p2/p
py/p
py/p
px/p
p-/p
p=/p
ps/p
p+/p
p=/p
pr/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
ps/p
p+/p
p=/p
mas div class="embedded" id="_1131830815"/
py/p
py/p
p /p
p-/p
p /p
px/p
pln/p
pz/p
ps/p
pm/p
p=/p
/p
p/
pPnX = k /p
plnx = k/p
px= ek/p
px= 130.700 cfs/p
p class="recuo_de_corpo_de_texto"b) As cheias para Tr = 50 e Tr = 1000 anos./p
p class="ttulo_8"Exerccio 7.5 (profa.Terezinha, pag. 20)/p
p class="recuo_de_corpo_de_texto_3"A descarga mdia anual do Rio Piabinha (Petrpolis) no posto hidromtrico em Areal, durante o perodo de 1933 1948, foi de 14.500 l/s, com desvio padro de 2.100 l/s. Supondo a validade do modelo lognormal, pede-se a probabilidade de que, em um determinado ano, a descarga x esteja entre 10.700 l/s e 16.900 l/s. /p
pSoluo: ( = 14.500 P(10.700 ( x ( 16.900)/p
p ( = 2.100/p
pdiv class="embedded" id="_1052744111"/
p0,0209/p
p /p
p)/p
p500/p
p./p
p14/p
p(/p
p)/p
p100/p
p./p
p2/p
p(/p
p2/p
p2/p
p2/p
px/p
p2/p
px/p
p2/p
px/p
p=/p
p=/p
pm/p
ps/p
p=/p
pn/p
/p
pdiv class="embedded" id="_1052745982"/
p1/p
p /p
p /p
p /p
p /p
pe/p
p /p
p /p
p1/p
pe/p
p2/p
px/p
py/p
py/p
p2/p
px/p
p2/p
p2/p
p+/p
pn/p
p=/p
p\/p
p-/p
p=/p
pn/p
ps/p
ps/p
/p
pdiv class="embedded" id="_1131830989"/
p(/p
p)/p
p)/p
p1/p
p(/p
p /p
pln/p
pe/p
p /p
pln/p
p /p
p2/p
py/p
p2/p
p+/p
pn/p
p=/p
ps/p
/p
p div class="embedded" id="_1052746133"/
p0207/p
p,/p
p0/p
p2/p
py/p
p=/p
ps/p
div class="embedded" id="_1052746235"/
p144/p
p,/p
p0/p
py/p
p=/p
ps/p
/p
p (x = exp((y + div class="embedded" id="_1051087926"/
p2/p
p1/p
(y2)/p
p ln (x = (y + div class="embedded" id="_1051087926"/
p2/p
p1/p
(y2 ( ( y = ln(x - div class="embedded" id="_1051087926"/
p2/p
p1/p
(y2/p
p = 9,58 0,01035 /p
p(y = 9,56/p
passim,/p
p= P (10.700 ( X ( 16.900)/p
p= P (ln 10.700 ( Y ( ln 16.900)/p
p= Pdiv class="embedded" id="_1131831075"/
p(/p
p)/p
p(/p
p)/p
p144/p
p,/p
p0/p
p56/p
p,/p
p9/p
p16.900/p
pln/p
p /p
p /p
p /p
p0,144/p
p56/p
p,/p
p9/p
p10.700/p
pln/p
p /p
p-/p
p/p
pZ/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p-/p
/p
p= P (-1,96 ( ( ( 1,21) /p
p= P (z ( 1,21) + P(z ( 1,86) = 0,3869 + 0,4750 /p
p= 0,8619/p
p class="cabealho"3. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES EXPONENCIAL /p
p class="apostila_texto_geral"(Haan, pg. 79)/p
p class="apostila_texto_geral"O processo de Poisson um processo discreto numa escala de tempo contnua. Ento, a distribuio de probabilidade do nmero de eventos num tempo t uma distribuio discreta, enquanto que a distribuio de probabilidade para o tempo entre os eventos e o tempo para que o k-simo evento ocorra uma distribuio contnua./p
p class="aPOSTILA_TPICOS_PRINCIPAIS"3.1. DEDUO DA FRMULA (Soong, 195)/p
p class="apostila_texto_geral"Suponha que o evento seja a chegada de barcos em um porto. Seja X um v.a. que representa o n( de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuio de Poisson (X ~ p(x; (t)). Mas o que nos interessa aqui o tempo entre duas chegadas, que, naturalmente, tambm uma v.a. , no caso , contnua. /p
p class="apostila_texto_geral"Denotemos por T esse tempo entre as chegadas. Suponha que chegue pelo menos 1 barco neste tempo t. A FDP da varivel aleatria T , por definio: /p
p class="apostila_texto_geral" FDP = P(T ( t) = 1 P(T t) /p
p class="apostila_texto_geral" Equivale a no h chegadas no tempo t , ou seja, P(0) ( p(0; (t)./p
p class="apostila_texto_geral"Sabemos que a distribuio de Poisson dada por:/p
p class="apostila_texto_geral" /p
p class="apostila_texto_geral"/
p class="apostila_texto_geral"Assim, /p
p class="apostila_texto_geral"Assim, a FDP da exponencial dada por: /p
p class="apostila_texto_geral"FDP = 1 e-(t , onde ( = taxa mdia de chegadas/p
p class="apostila_texto_geral"Se a FDP dada por 1 e-(t, a funo densidade de probabilidade (fdp) da Exponencial dada por:/p
p class="apostila_texto_geral"Sabemos que, por definio:/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1052823529"/
p/p
p/p
p-/p
p=/p
px/p
pdx/p
p)./p
px/p
p(/p
pf/p
p)/p
px/p
p(/p
pFDP/p
/p
p class="apostila_texto_geral"No caso da Exponencial, a varivel aleatria T, o tempo entre chegadas (no existe t < 0). /p
p class="apostila_texto_geral"Assim: /p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1132427056"/
p/p
pl/p
p=/p
p=/p
pt/p
p0/p
pt/p
p-/p
pe/p
p /p
p-/p
p1/p
p /p
p /p
pdt/p
p)/p
pt/p
p(/p
pf/p
p)/p
pT/p
p(/p
pFDP/p
/p
p class="apostila_texto_geral"Se a div class="embedded" id="_1131831628"/
p/p
p=/p
p=/p
pt/p
p0/p
p)/p
pFDP/p
p(/p
pdt/p
pd/p
p /p
p /p
pf(t)/p
p /p
pento/p
p /p
p,/p
pdt/p
p)/p
pt/p
p(/p
pf/p
pFDP/p
/p
p class="apostila_texto_geral"Assim,/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1132427199"/
p(/p
p)/p
p(/p
p)/p
pt/p
pt/p
p-/p
pt/p
p-/p
pt/p
p-/p
pe/p
p)/p
p(/p
pe/p
p /p
p-/p
p /p
p0/p
p /p
pe/p
pdt/p
pd/p
p-/p
pdt/p
pd(1)/p
pe/p
p /p
p-/p
p1/p
pdt/p
pd/p
p /p
p /p
p)/p
pt/p
p(/p
pf/p
pl/p
p-/p
pl/p
pl/p
pl/p
pl/p
p=/p
pl/p
p-/p
p=/p
p=/p
p=/p
/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1052824156"/
pt/p
pe/p
p)/p
pt/p
p(/p
pf/p
pl/p
p-/p
pl/p
p=/p
/p
p class="apostila_texto_geral"Concluindo,/p
p class="apostila_texto_geral"A funo densidade de probabilidade (fdp) e a funo distribuio de probabilidades (FDP) da Exponencial so dadas por:/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1052824207"/
pt/p
pe/p
p)/p
pt/p
p(/p
pf/p
pl/p
p-/p
pl/p
p=/p
t ( 0/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1131831809"/
p(/p
p)/p
pt/p
pe/p
p1/p
pt/p
pT/p
pF/p
p)/p
pT/p
p(/p
pF/p
pl/p
p-/p
p-/p
p=/p
p/p
p=/p
/p
p class="apostila_texto_geral"Sendo a mdia e a varincia dadas por:/p
p class="apostila_texto_geral" div class="embedded" id="_1052824391"/
pl/p
p=/p
pm/p
p1/p
div class="embedded" id="_1052824486"/
p2/p
p2/p
p1/p
pl/p
p=/p
ps/p
/p
p class="apostila_texto_geral"Exerccio 7.6 (ABRH, vol.4, pg.130)/p
p class="apostila_texto_geral"Se ocorrem 3 chuvas catastrficas com durao de 1 hora a cada 10 anos, qual a probabilidade de que leve menos de 1 ano at a prxima ocorrncia?/p
p class="apostila_texto_geral"Soluo: ( = 3/10 = 0,3 chuva/ano/p
p class="apostila_texto_geral" t = 1 ano/p
p class="apostila_texto_geral"Usando a FDP diretamente:/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1052829984"/
pt/p
pe/p
p /p
p1/p
p)/p
p1/p
pT/p
p(/p
pP/p
pl/p
p-/p
p-/p
p=/p
p/p
/p
p class="apostila_texto_geral"para t = 1/p
p class="apostila_texto_geral" ( = 0,3/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1052830005"/
p26/p
p,/p
p0/p
pe/p
p1/p
p)/p
p1/p
pT/p
p(/p
pP/p
p3/p
p,/p
p0/p
p=/p
p-/p
p=/p
p/p
p-/p
/p
p class="apostila_texto_geral"(Ver mais em Haan, pg. 78)/p
p class="apostila_texto_geral"ATENO: Possvel pergunta de um aluno/p
p class="apostila_texto_geral"Ento, em um estudo de durao de secas, eu no preciso dos dados individuais (duraes de cada seca) ? Somente o n de secas e o n total de anos observados?/p
p class="apostila_texto_geral"Depende:/p
p class="apostila_texto_geral"Se eu tiver certeza que os dados se ajustam a uma Exponencial, basta ter o ( (n de ocorrncias / n de anos observados) - parmetro da Poisson. O (, na verdade, o inverso da mdia das duraes das secas (mdia da exponencial = n de anos obs. / n de ocorrncias)./p
p class="apostila_texto_geral"(=3 ocorrncias/ 10 anos/p
p class="apostila_texto_geral"Mdia da exponencial = 1/(= 10 anos/ 3 ocorrncias = 3,3/p
p class="apostila_texto_geral"Se eu no tiver certeza que os dados se ajustam uma Exponencial, eu precisarei dos dados histricos durao de cada seca testo a aderncia pelo Teste do Chi-Quadrado ((2). Se a Exponencial passar no teste, basta calcular o parmetro ( (inverso da durao mdia)./p
p class="apostila_texto_geral"Relao Exponencial x Poisson/p
p class="apostila_texto_geral" Poisson /p
p class="apostila_texto_geral"3 chuvas catastrficas em 10 anos /p
p class="apostila_texto_geral"Qual a probabilidade de nenhuma chuva catastrfica em 30 anos ?/p
p class="apostila_texto_geral"Soluo: /p
p class="apostila_texto_geral"( = 3 chuvas/10 anos/p
p class="apostila_texto_geral"t = 30 anos/p
p class="apostila_texto_geral"x = 0/p
p class="apostila_texto_geral"Assim, (t= 9 chuvas/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1132428619"/
p(/p
p)/p
p(/p
p)/p
p0001/p
p,/p
p0/p
p /p
px/p
p /p
p1/p
p!/p
p /p
p0/p
pe/p
p /p
p./p
p9/p
p!/p
p /p
p0/p
pe/p
p /p
p./p
pt/p
pt/p
p /p
p;/p
px/p
pp/p
p9/p
p0/p
pt/p
px/p
p=/p
p=/p
pl/p
p=/p
pl/p
p-/p
pl/p
p-/p
/p
p class="apostila_texto_geral"=0,0001/p
p class="apostila_texto_geral"Explicao: o no esperado de chuvas catastrficas em 30 anos seria de 9 chuvas. Por isso a probabilidade de no ocorrer nenhuma deu to pequena!/p
p class="apostila_texto_geral"Exponencial /p
p class="apostila_texto_geral"3 chuvas catastrficas em 10 anos /p
p class="apostila_texto_geral"Qual a probabilidade de passar mais de 30 anos para que ocorra a prxima chuva catastrfica ?/p
p class="apostila_texto_geral"Soluo: div class="embedded" id="_1052828527"/
p(/p
p)/p
p(/p
p)/p
p30/p
pt/p
pP/p
p1/p
p30/p
pt/p
pP/p
p/p
p-/p
p=/p
p/p
Por definio = div class="embedded" id="_1052828714"/
pt/p
pe/p
p /p
p1/p
pl/p
p-/p
p-/p
/p
p class="apostila_texto_geral"div class="embedded" id="_1052829074"/
p(/p
p)/p
p(/p
p)/p
p(/p
p)/p
p0001/p
p,/p
p0/p
pe/p
p30/p
pt/p
pP/p
pe/p
pe/p
p1/p
p1/p
p30/p
pt/p
pP/p
p9/p
pt/p
pt/p
p=/p
p=/p
p/p
p=/p
p-/p
p-/p
p=/p
p>
-
l
-
l
-
30
t
9
t
10
3
=
=
l
=
l
Explicao: Espera-se que a cada 3,33 anos ocorra uma chuva catastrfica. Por isso a probabilidade de que se passe mais de 30 anos para ocorrer esta chuva to pequena.
Exerccio 7.8 (Haan, 99 Ex.6.2)
Haan e Jonhson estudaram as caractersticas fsicas de depresses no setor centro-oeste de Iowa. Achar a probabilidade de uma depresso ter rea maior que 2,25 acres (supor seguir uma exponencial).
rea (acres)
no de dep.
0 1/2
106
1/2 1
36
1 1/2
18
11/2 2
9
2 21/2
12
21/2 3
2
3 31/2
5
31/2 4
1
4 41/2
4
41/2 5
5
5 51/2
2
51/2 6
6
6 61/2
3
61/2 7
1
7 71/5
1
71/5 8
1
212
Sabemos que: mdia = 1/(
( = 0,7837 (parmetros de Poisson
P(x > 2,25) = 1 P(x ( 2,25) = 1 (1 e-(0,7837)(2,25) = 0,171
mas P(T ( t) = 1 e-(t
Exerccio 7.9 (Ang and Tang, pg, 121, ex.3.18)
Dados histricos de terremotos em San Francisco, Ca, mostram que no perodo de 1836 1916, ocorreram 16 terremotos de grande intensidade. Se a ocorrncia de terremotos desta intensidade segue uma distribuio de Poisson, qual a probabilidade de ocorrerem terremotos nos prximos dois anos ?
Soluo: ( = 16/125 = 0,128 terremotos por ano
P(T ( 2) = 1 e--(t = 1 - e-(0,128) .2 = 0,226
b) E a probabilidade de nenhum terremoto desta intensidade ocorrer nos prximos 10 anos.
Soluo: P(T > 10) = 1 P(T ( 10) = e--(t = e-(0,128) . 10 = 0,278
1 e-(t
Exerccio 7.10 (Bedient e Huber, 196 Hydrology e Floodplain Analysis)
Durante um ano, cerca de 110 episdios independentes de tempestade ocorreram em Gainsville, Flrida. Sua durao mdia foi de 5,3 horas. Considerando um ano com 8760 horas, o tempo mdio entre tempestades foi de:
Tempo c/ tempestade = 110 x 5,3 = 583 hs
Tempo total =
horas
3
,
74
110
583
8760
=
-
(entre tempestades)
(suponha a validade do modelo exponencial)
a) Qual a probabilidade de que no mnimo se passe 4 dias entre tempestades?
Soluo: Sabemos que: P(T ( t) = 1 e-(t
no mnimo 4 = E(4) + E(5) + E(6)
= P(T ( 4) = 1 P(T < 4)
)
e
1
(
t
l
-
-
= P(T ( 4) =
t
e
l
-
Sabemos que:
exp. ( mdia = 1/( ( ( = 0,0135
t = 4 dias x 24hs = 96hs
= P(T ( 4) = e-0,0135 ( 96
= P(T ( 4) = 0,2747
b) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade ser de exatamente 12 horas?
=
12
12
0
dt
.
)
t
(
f
c) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade seja menor ou igual a 12 horas?
P(T ( 12) = 1 e- (t = 1 e- 0,0135 ( 12 = 0,1496
4. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES GAMA
Seja X uma varivel aleatria que representa o nmero de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuio de Poisson. Suponha que o tempo a v-sima chegada seja dada pela f.d.p.
!
)
1
(
e
.
t
.
)
t
(
f
t
1)
-
(
-
n
l
=
l
-
n
n
para valores inteiros de (.
Veja que quando ( = 1....
t
e
)
t
(
f
l
-
l
=
( Exponencial
Ou seja, a Distribuio Exponencial um caso particular da Distribuio Gama.
Exerccio 7.11 Haan, 79
Os barcos chegam a uma eclusa numa mdia de 4 a cada hora. Se a eclusa s pode operar 4 barcos de cada vez, qual a probabilidade do primeiro barco ter que esperar pelo menos 1 hora antes de ser embarcado?
Soluo: a mesma coisa de : Qual a probabilidade do 4o barco demorar mais de 1 hora (aps o 1o ter chegado) ?
1 1 2 3
t = 0
Se o tempo comea a contar a partir da chegada do 1o barco, eu quero saber qual a probabilidade do terceiro barco que falta demorar mais que uma hora.
P(T3 > 1) = 1 P(T3 ( 1)
dt
!
1)
-
(
e
.
t
.
1
1
0
t
-
1)
-
(
n
l
-
=
l
n
n
Sabemos que: (=4 e (=3
= 1 -
1
0
-4t
2
3
dt
.
2
e
.
t
.
4
=
dt
.
e
.
t
2
4
1
4t
-
1
0
2
3
-
(*) Pode ser resolvida por integrao por partes
(*)
-
=
vdu
uv
udv
Se: u = t2
du = 2t dt
(-4)
(-4)
dt
e
dv
t
4
-
=
t
4
e
v
-
=
d(eu) = eu du
-
=
1
0
4t
-
4t
-
2
dt
2t
.
e
0
1
e
.
t
(resolver!) . . . = 0,762
Assim, P(T3 > 1) = 1 0,762 = 0,238 Distribuio Acumulada Inversa
Pode-se ainda usar a Tabela ( 1 FDP) da Gama (Haan, 342 347)
Entrar na tabela com: (2 = 2(t
( = 2v
No problema anterior
( = 4
v = 3
t = 1
Ento,
(2 = 2 ( 4 ( 1 = 8
( = 2 ( 3 = 6 tabela = 0,23810
Diretamente ! Pois a tabela da P(T > t)
Comparao entre diversas distribuies (ver Paul Meyer, pag 233):
1. Admita-se que provas independentes de Bernoulli esto sendo realizadas:
a) varivel aleatria = nmero de ocorrncias do evento A em um nmero fixo de provas;
Distribuio: Binomial
b) varivel aleatria = nmero de provas de Bernoulli necessrias para obter a primeira ocorrncia do evento A;
Distribuio: Geomtrica
c) varivel aleatria = nmero de provas de Bernoulli para se obter a r-sima ocorrncia do evento A.
Distribuio: Binomial Negativa (ou Pascal)
2. Admita-se um processo de Poisson
nmero mdio de sucessos num dado intervalo de tempo conhecido
p de 1 sucesso ~ comprimento do intervalo de tempo, etc.
nmero de falhas impossvel saber!
a) varivel aleatria = nmero de ocorrncias do evento A, durante um intervalo de tempo fixo.
Distribuio: Poisson
b) varivel aleatria = tempo necessrio at a primeira ocorrncia do evento A;
Distribuio: Exponencial
c) varivel aleatria = tempo necessrio at a v-sima ocorrncia de A;
Distribuio: Gama
4.1. Aplicaes da Distribuio Gama na Hidrologia (ver ABRH, vol 4 pag.134)
A Distribuio Gama tem grande aplicao na Hidrologia, devido a aspectos de natureza morfolgica unicamente. Nesse caso, o valor de ( poder no ser inteiro e o fatorial (v 1)! deve ser computado pela Funo Gama, que d seu nome a distribuio.
Funo Gama :
dx
.
e
.
x
)
v
(
x
0
1
v
-
=
G
Se v for inteiro positivo, ((v) = (v 1)!
Para v no inteiro, ((v) est tabelado (Haan, 351)
Ento,
)!
v
(
e
.
t
.
!
1)
-
v
(
e
.
t
.
)
t
(
f
t
-
1)
-
(
v
t
-
1)
-
(
G
l
=
l
=
l
n
l
n
n
Ateno:
Normalmente, a Distribuio Gama apresentada sob a seguinte estrutura matemtica:
t = x
( = (
( = (
Assim,
)
(
e
.
x
.
)
x
(
f
x
-
1)
-
(
a
G
b
=
b
a
a
(Semelhante ao Haan)
b
a
=
mdia
2
incia
var
b
a
=
Ateno:
O Walpole considera:
t = x
b
=
l
1
( = (
Assim,
)
(
e
.
t
.
)
t
(
f
t
-
1)
-
(
n
G
l
=
l
n
n
)
(
.
e
.
x
.
)
x
(
f
-x
1)
-
(
a
G
b
b
=
a
b
a
a
Semelhante ao Walpole
ab
=
mdia
2
incia
var
ab
=
( > 0, ( > 0
4.2. OS PARMETROS DA DISTRIBUIO GAMA
(Metodologia do Haan. Ver tambm Soong, 193)
Os parmetros associados Distribuio Gama so ( e ( e supem-se ambos positivos. Como a distribuio Gama unilateral, serve freqentemente de modelo para quantidades fsicas que s tomam valores positivos. Alm disto, graas sua versatilidade, torna-se um modelo til, j que variando os valores de ( e (, podemos obter uma ampla variedade de formas da f.d.p Gama.
Variando (: Variando (:
Podemos observar que ( determina a forma da distribuio, sendo portanto um parmetro de forma; enquanto ( o parmetro de escala da distribuio.
Em geral a f.d.p. unimodal com pico em x = 0 para ( ( 1 (caso da exponencial e da J-shaped) em
(
)
b
-
a
=
1
x
para ( > 1.
(OBS: Ver tambm comentrio em Yevjevich, pg 147 sobre Lognormal e Gama)
Exerccio 7.12 (ABRH vol. 14, pg. 135)
Dados os valores mximos anuais de vazes no rio Me Luzia em Forquilhinha, em m3/s.
35
,
,
311
x
=
m/s
6
,
169
=
s
m/s
a) Estimar os parmetros da distribuio da distribuio Gama
(Mtodo dos Momentos)
b
a
=
m
( = 311,35 (
2
2
b
a
=
s
(169,6)2 =
01
,
0
)
6
,
169
(
35
,
311
2
=
=
b) Calcular o perodo de retorno para a vazo mxima observada (Q = 880m3/s)
Soluo: Por definio P(Q > 880) =
Tr
1
(Na Tabela Haan, pg. 342)
v = 2( = 2 x 3,37 = 6,74
(2 = 2(x = 2 x (0,01 x 880 = 17,6
P(X > x) = 0,01444
anos
70
~
Tr
25
,
69
0,01444
1
Tr
=
=
\
5. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE CHI-QUADRADO
Um outro importante caso particular da distribuio Gamma obtido fazendo
2
1
e
2
=
b
n
=
a
, onde ( um inteiro positivo. A distribuio tem um nico parmetro ( - chamado de graus de liberdade.
(
)
(
)
(
)
0
x
,
2
.
2
e
.
x
)
x
(
f
2
1
2
2
-x
>
n
G
=
n
-
n
n
=
mdia
n
=
2
incia
var
A distribuio x2 um dos principais instrumentos na rea da inferncia estatstica e teste de hipteses.
6. LOG-NORMAL A 3 PARMETROS
(ver Yevjevich, pg.138)
Quando o limite inferior da distribuio no zero, necessrio modificar a funo distribuio de probabilidade da log-normal, introduzindo um terceiro parmetro o limite inferior.
A f.d.p. da distribuio log-normal a 3 parmetros :
=
)
x
(
f
EMBED Equation.3
p
s
d
-
2
)
x
(
1
y
. exp
(
)
s
m
-
d
-
2
y
2
y
2
)
-
(x
ln
Esta equao a mesma da Log-nomal, apenas com a substituio de x por (x -
d
):
=
)
x
(
f
EMBED Equation.3
p
s
2
x
1
y
. exp
(
)
s
m
-
-
2
y
2
y
2
)
(x
ln
A adio (ou subtrao) de uma constante de uma varivel no muda sua varincia, mas muda sua mdia. Assim, a mudana de (x implica na modificao de seu coeficiente de variao (x. Aqueles parmetros que dependem de (x, como
y
s
tambm mudam, uma vez que:
1
e
2
y
2
x
-
=
u
s
A maneira mais fcil de expressar os parmetros (, (y e (y usando os momentos de x; onde o de primeira ordem define (x e o de segunda ordem, (x . Como j foi dito anteriormente, (x e (x so diferentes dos parmetros correspondentes funo lognormal a 2 parmetros.
Onde x= x + (
Exerccio 7.13 (Lista Terezinha pg. 13, ex. 7)
X ~
L
((y, (y, ()
Sabe-se que a mdia e o desvio padro das vazes mximas so:
(x = 3.300 m3/s
(x = 470 m3/s
Considerar que a vazo mnima possvel 835 m3/s. Calcular os parmetros da Log 3
Soluo:
Sabemos que:
( x= 3.300 835 = 2.465 m/s
(x = 470 m/s
Mas,
s
+
m
=
m
2
y
y
x
2
1
exp
1
e
2
y
2
x
-
=
u
s
(
)
(
)
0364
,
0
465
.
2
470
x
2
2
2
x
2
2
x
=
=
m
s
=
u
(0,0364) =
1
e
2
y
-
s
(
)
0358
,
0
0364
,
1
l
n
2
y
=
=
s
1891
,
0
y
=
s
Ento,
2.465 = exp
{
s
+
m
0,0358
2
y
y
2
1
(
)
(
)
)
358
,
0
2
1
465
.
2
l
n
y
-
=
m
79
,
7
y
=
m
Assim, X ~
L
(7,79; 0,1891; 835)
Exerccio 7.14 (Lista Terezinha pg.6)
Consideremos a seguinte seqncia de dados hidrolgicos (ordenados)
2,50
4,30
4,65
5,31
6,30
7,14
9,43
2,70
4,32
4,70
5,50
6,36
7,36
9,69
3,80
4,50
4,73
5,78
6,43
7,80
10,20
4,05
4,57
4,85
5,82
6,66
8,10
10,68
4,10
4,60
4,90
5,88
6,89
8,56
11,50
4,13
4,61
5,10
5,93
6,92
8,77
41 valores
Ajustar uma Log-normal a 3 parmetros. Supor o menor valor possvel para qualquer observao x = 2,0.
(x = 6,10
(x = 2,14
(x= x - ( = 6,10 2 = 4,10
(x= (x = 2,14
(y = 0,489
x ~
L
(1,29; 0,49; 2)
7. GAMA A 3 PARMETROS
Similarmente a Lognormal a 3 parmetros, se x for substitudo por y = (x-(), temos que a f.d.p. ser dada por:
onde (, ( e ( so parmetros e
G
(() a Funo Gama.
Apenas a mdia alterada, passando neste caso para:
d
-
m
=
m
x
x
Exerccio 7.15
Ajustar a distribuio do exemplo anterior (Terezinha, pg.6) a uma Gama III.
(x = 6,10
(x = 2,14
( = 2
b
a
=
=
m
10
,
4
x
0,9
4,56
4,10
4,10
4,56
2
2
2
x
=
b
=
b
b
b
=
b
a
=
s
3,68
9
,
0
x
10
,
4
=
a
=
a
x ~
G
(3,68; 0,9; 2)
8. DISTRIBUIO DE EXTREMOS DO TIPO I ou DISTRIBUIO DE GUMBEL
O Mtodo de Gumbel baseia-se em uma distribuio de valores extremos. A distribuio dada por:
P (X( x) = exp(-exp(-y))
onde P a probabilidade de um dado valor de vazo ser igualado ou excedido e y a varivel reduzida dada por:
(
)
x
n
f
S
S
x
x
y
-
=
=
n
n
x
f
S
y
S
-
x
x
onde xf a moda dos valores extremos, Sn o desvio padro da varivel reduzida Y, Sx o desvio padro da varivel x, e
x
e
y
, as mdias das variveis x e y, respectivamente.
A aplicao do mtodo de Gumbel no clculo da vazo mostrada nos passos seguintes:
1. Determinar a medida
(
)
x
e o desvio-padro (Sx) da srie de dados histricos.
2. Em funo do nmero de dados (n), extrair da Tabela 7.4 os valores esperados da medida
(
)
n
y
e desvio-padro (sn), associados a varivel reduzida.
Tabela 7.4 Valores esperados da mdia (Yn) e desvio-padro (Sn) da varivel reduzida (y) em funo do nmero de dados (n). (Fonte: VILLELA, 1975).
n
n
y
Sn
n
n
y
Sn
20
0,52
1,06
80
0,56
1,19
30
0,54
1,11
90
0,56
1,20
40
0,54
1,14
100
0,56
1,21
50
0,55
1,16
150
0,56
1,23
60
0,55
1,17
200
0,57
1,24
70
0,55
1,19
(
0,57
1,28
3. Determinar a moda dos valores extremos, pela expresso seguinte:
-
=
n
n
x
f
S
Y
S
x
x
4. Em funo do perodo de retorno (Tr), extrair da tabela 7.5, o valor da varivel reduzida (y) ou usar a frmula
Tabela 7.5 Varivel reduzida, Probabilidade e perodo de retorno. (Fonte: VILLELA, 1975).
Varivel Reduzida (y)
Perodo de Retorno (Tr)
Probabilidade (1 P)
Probabilidade (P)
0,000
1,58
0,632
0,368
0,367
2,00
0,500
0,500
0,579
2,33
0,429
0,571
1,500
5,00
0,200
0,800
2,250
10,0
0,100
0,900
2,970
20,0
0,050
0,950
3,395
30,0
0,033
0,967
3,902
50,0
0,020
0,980
4,600
100
0,010
0,990
5,296
200
0,005
0,995
5,808
300
0,003
0,997
6,214
500
0,002
0,998
6,907
1000
0,001
0,999
5. Determinar a vazo de projeto (x), aplicando elementos obtidos nos passos precedentes equao:
(
)
x
n
f
S
S
x
x
y
-
=
Ou seja,
n
x
f
S
S
y
x
x
+
=
Captulo
7
Hidrologia Aplicada
Distribuies de Probabilidades Contnuas
EMBED Equation.3
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED Word.Picture.8
Determinados no problema anterior
( y = 11,0737
(y = 0,30395
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
( = 0,01
( = 3,37
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
PAGE
Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart
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x
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x
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KarineCaptulo 7_Dist Contnuas_08 dez 2003.doc
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart
2
Assim,
dxe21)bxa(P
b
a
)2
)x(( 22
=
-
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3
para = constante
= variando
Figura 7.3
para 1 2
1 2
Figura 7.4
-
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4
Figura 7.5
Ateno
P(x1< X < x2) I P(x1< X < x2) II
Pois as duas distribuies tem equaes diferentes!
Propriedades da Distribuio normal
1. A Moda da distribuio ocorre em x = ;
2. A curva simtrica em relao .;
3. A curva tem seus pontos de inflexo em x = ;
4. A curva normal se aproxima assintoticamente do eixo - x medida que se afasta
de ;
5. A rea total compreendida entre a curva e o eixo - x igual a 1 (lgico: uma
f.d.p.!).
-
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5
Clculo da probabilidade
Uma vez que o f(x) funo de e , teremos inmeras equaes para diferentes
valores de e .Para evitar clculos laboriosos com a integrao, criou-se uma tabela
nica - a da normal padronizada, com = 0 e = 1.
X ~ N( ,6) z ~ N (1, 0)
TABELADA!
P(x1 < x < x2) = P(z1 < z < z2)
Figura 7.6
Transformo x em z !
=xz
Tabela A3 - Walpole (pags 681 e 682)
Exerccio 7.1
1. Dada uma distribuio Normal com = 50 e = 10, ache a probabilidade da v.a. x assumir valores entre
45 e 62.
2. Em uma prova, a mdia das notas foi 74 e o desvio padro 7. Se 12% dos alunos tiraram nota A e as notas
seguem uma Distribuio Normal, qual ser o menor valor de A e o maior valor de B?
-
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6
3. Se a mdia das alturas dos poodles miniatura 12, com desvio padro de 1,8, qual a percentagem de
poodles que excedem 14 em altura, assumindo que as alturas seguem a distribuio Normal?
4. Se X ~ N (850, 45)
a) P(X < 900)
b) P(700 < X < 1000)
c) P(X > 750)
5. Suponha que, baseado nos dados histricos, o total anual precipitado em uma bacia hidrogrfica siga uma
normal X ~ N (60, 15).
a) Qual a probabilidade de que nos anos futuros a precipitao anual fique entre 40 e 70 polegadas ?
b) Qual a probabilidade da precipitao anual ser inferior a 30 ?
________________________________________ Teorema Central do Limite
O Teorema Central do Limite constitui o fundamento para a estimativa de parmetros
populacionais e para o teste de hipteses.
Dado:
A varivel aleatria x segue uma distribuio de probabilidades qualquer, com
mdia e desvio padro
Amostras de tamanho n so extradas aleatoriamente desta populao
Resultado:
Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio das mdias
amostrais x tende a uma Distribuio Normal
A mdia das mdias amostrais ser a mdia populacional
O desvio padro das mdias amostrais ser /n
Ateno:
Para amostras de tamanho n > 30, a distribuio das mdias amostrais pode ser
aproximada satisfatoriamente por uma Distribuio Normal. A aproximao
melhora a medida que o tamanho da amostra n aumenta
-
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7
Se a distribuio original Normal, ento as mdias amostrais seguiro uma
Distribuio Normal para qualquer tamanho de n
2.DISTRIBUIO LOG-NORMAL
Muitos fenmenos hidrolgicos exibem uma evidente assimetria, principalmente
devido ao fato dos fenmenos naturais precipitao, vazo, etc somente assumirem
valores maiores que zero, e estes valores poderem assumir teoricamente valores entre
0 e + .
Em tais casos, a varivel aleatria x no seguir uma distribuio Normal, mas o
seu logaritmo natural sim.
Y= ln x
Ento, X ~ ( y, y ), se Y ~ N ( y , y )
Neste caso, sua f.d.p (de y) pode ser facilmente determinada substituindo y
pelo x na equao da Distribuio Normal:
Normal: f(x) = 2
1 exp
22
2)x(
f(y) = 2
1
y
exp
2
y
2y
2)y(
Podemos calcular f(x) (lognormal) atravs de:
f(x) = f(y) . dxdy
mas, y = lnx
x1
dxdy
= x > 0
-
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8
x)y(f)x(f =
Assim:
Normal:
f(x) = 2x
1
y
exp
y2
2y
2
)y( , p/ x 0
f(x) = 0 , caso contrrio
A equao anterior mostra que a equao unilateral ou seja, s toma valores
somente no intervalo positivo de y.(*).
Note-se que os parmetros y e y , que aparecem na f.d.p. so a mdia e o
desvio padro de y, ou seja, de ln(x) e no de x.
(*) Alm disso, a f(x) toma vrias formas diferentes para valores distintas de y e
y Como se v na figura abaixo, a f.d.p. assimtrica a direita, tornando-se a assimetria
mais pronunciada a medida que y aumenta Ver grficos Paulo Miranda
1,02y =
3,02y =
3,02y =
Figura 7.7. Distribuio Lognormal com 0y = e vrios valores de . (SOONG) 2y
-
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9
Estimativas dos parmetros da distribuio lognormal.
1. Transformando os s em s e calculando. 'iX 'iY
Yi = l xi
n
yiy=
)1n(
y . ny
22i
y
=
2. Relao entre x e x e y e y (sem calcular os logartmos)
+== 2yyx 2
1 exp x
x = x
x
ou seja x2 = 2x
2x
mas 1e2y2
x =
Exerccio 7.2
Um curso dgua tem vazes dirias que se supe seguirem uma Distribuio Lognormal. Em um perodo de
30 anos, encontrou-se a vazo mdia igual a 2.300cfs e distribuio padro 360cfs. Qual o valor dos
parmetros y e y.
x = exp ( y + 21 y2 )
1e2y2
x =
Soluo: x = 2.300
x= 360 mas, ( )0245,0
2300360
xx
2
2
2
22x ==
=
Sabemos que:
=+= 1e 2xy2
( )nl 0245,1e 2y =
y2 = 0,0242
-
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10
y = 0,1556
mas
ln (2300) = y + 21
y2
y = 7,73
b) Qual o valor da cheia milenar ?
c) Qual o valor da cheia decamilenar?
d) Qual a probabilidade dos valores dirios ultrapassarem 4.000cfs?
Exerccio 7.3 (Haan)
Dados as vazes de pico do Rio Kentucky (USA) entre 1895 a 1960:
Tabela 7.1 - Peak discharges (cfs), Kentucky River, near Salvisa, Kentucky (McCabe, 1962)
1895 47,300 1917 111,000 1939 84,300
96 54,400 18 71,700 40 45,000 97 87,200 19 96,100 41 28,400
98 65,700 20 92,500 42 46,000 99 91,500 21 34,100 43 80,400
1900 53,500 22 69,000 44 55,000 01 67,800 23 73,400 45 72,900 02 70,000 24 99,100 46 71,200 03 66,900 25 79,200 47 46,800 04 34,700 26 62,600 48 84,100 05 58,000 27 93,700 49 61,300 06 47,000 28 68,700 50 87,100 07 66,300 29 80,100 51 70,500 08 80,900 30 32,300 52 77,700 09 80,000 31 43,100 53 44,200 10 52,300 32 77,000 54 20,000 11 58,000 33 53,000 55 85,000 12 67,200 34 70,800 56 82,900 13 115,000 35 89,400 57 88,700 14 46,100 36 62,600 58 60,200 15 52,400 37 112,000 59 40,300 16 94,300 38 44,000 60 50,500
x = 67,660
x = 20,885
-
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Notas de
11
Supondo que o modelo log.normal seja vlido, calcular:
a) P(x > 100.000 cfs)
b) A magnitude da cheia centenria
c) P(x < 50.000 cfs)
Soluo
b) magnitude da cheia centenria.
x = 67.660
x = 20.885
Tr = 100 P(X > x) = 0,01
X s achar P(X < x) = 0,99
P(X < x) = { 99,0xln
ZPxlnXlnPy
y
Y=
-
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12
0,0209 )500.14(
)100.2(2
2
2x
2x2
x ==
=
1 e 1e 2xyy2x22
+==
( ) )1( lne ln 2y2 += 0207,02y = 144,0y =
x = exp(y + 21 y2)
ln x = y + 21
y2 y = lnx - 21
y2
= 9,58 0,01035
y = 9,56
assim,
= P (10.700 X 16.900)
= P (ln 10.700 Y ln 16.900)
= P ( ) ( )144,0
56,916.900ln 0,144
56,910.700ln
= P (-1,96 1,21)
= P (z 1,21) + P(z 1,86) = 0,3869 + 0,4750
= 0,8619
3. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES EXPONENCIAL
(Haan, pg. 79)
O processo de Poisson um processo discreto numa escala de tempo contnua.
Ento, a distribuio de probabilidade do nmero de eventos num tempo t uma
distribuio discreta, enquanto que a distribuio de probabilidade para o tempo entre
os eventos e o tempo para que o k-simo evento ocorra uma distribuio contnua.
-
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3.1. DEDUO DA FRMULA (Soong, 195)
Suponha que o evento seja a chegada de barcos em um porto. Seja X um v.a. que
representa o n de chegadas no intervalo de tempo (0, t) e que segue uma distribuio
de Poisson (X ~ p(x; t)). Mas o que nos interessa aqui o tempo entre duas chegadas,
que, naturalmente, tambm uma v.a. , no caso , contnua.
Denotemos por T esse tempo entre as chegadas. Suponha que chegue pelo menos 1
barco neste tempo t. A FDP da varivel aleatria T , por definio:
FDP = P(T t) = 1 P(T > t)
Equivale a no h chegadas no tempo t , ou
seja, P(0) p(0; t).
Sabemos que a distribuio de Poisson dada por:
x!e)t()p(x,
tx =
t
t0e
0!e)t()t p(0;
=
=Assim,
Assim, a FDP da exponencial dada por:
FDP = 1 e-t , onde = taxa mdia de chegadas
Se a FDP dada por 1 e-t, a funo densidade de probabilidade (fdp) da
Exponencial dada por:
Sabemos que, por definio:
=x
dx).x(f)x(FDP
No caso da Exponencial, a varivel aleatria T, o tempo entre chegadas (no
existe t < 0).
-
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14
Assim:
==t
0
t-e -1 dt)t(f)T(FDP
Se a ==t
0)FDP(
dtd f(t) ento ,dt)t(fFDP
Assim,
( ) ( ) tt-t-t- e)(e - 0 edtd-
dtd(1)e -1
dtd )t(f ====
te)t(f =
Concluindo,
A funo densidade de probabilidade (fdp) e a funo distribuio de
probabilidades (FDP) da Exponencial so dadas por:
te)t(f = t 0
( ) te1tTF)T(F ==
Sendo a mdia e a varincia dadas por:
=
1 2
2 1
=
Exerccio 7.6 (ABRH, vol.4, pg.130)
Se ocorrem 3 chuvas catastrficas com durao de 1 hora a cada 10 anos, qual a probabilidade de que leve
menos de 1 ano at a prxima ocorrncia?
Soluo: = 3/10 = 0,3 chuva/ano
t = 1 ano
-
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15
Usando a FDP diretamente:
te 1)1T(P =<
para t = 1
= 0,3
26,0e1)1T(P 3,0 ==<
(Ver mais em Haan, pg. 78)
ATENO: Possvel pergunta de um aluno
Ento, em um estudo de durao de secas, eu no preciso dos dados individuais
(duraes de cada seca) ? Somente o n de secas e o n total de anos observados?
Depende:
Se eu tiver certeza que os dados se ajustam a uma Exponencial, basta ter o (n
de ocorrncias / n de anos observados) - parmetro da Poisson. O , na verdade, o
inverso da mdia das duraes das secas (mdia da exponencial = n de anos obs. / n de
ocorrncias).
=3 ocorrncias/ 10 anos
Mdia da exponencial = 1/= 10 anos/ 3 ocorrncias = 3,3
Se eu no tiver certeza que os dados se ajustam uma Exponencial, eu precisarei
dos dados histricos durao de cada seca testo a aderncia pelo Teste do Chi-
Quadrado (2). Se a Exponencial passar no teste, basta calcular o parmetro (inverso
da durao mdia).
-
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Relao Exponencial x Poisson
Poisson
3 chuvas catastrficas em 10 anos
Qual a probabilidade de nenhuma chuva catastrfica em 30 anos ?
Soluo:
= 3 chuvas/10 anos
t = 30 anos
x = 0
Assim, t= 9 chuvas
( ) ( ) 0001,0 x 1!0e .9
!0e .tt ;xp
90tx
==
=
=0,0001
Explicao: o no esperado de chuvas catastrficas em 30 anos seria de 9 chuvas.
Por isso a probabilidade de no ocorrer nenhuma deu to pequena!
Exponencial
3 chuvas catastrficas em 10 anos
Qual a probabilidade de passar mais de 30 anos para que ocorra a prxima chuva
catastrfica ?
Soluo: ( ) ( )30tP130tP => Por definio = te 1
( ) ( )
( ) 0001,0e30tP
ee1130tP
9
tt
==>
==>
30t9t
103
=
=
=
-
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17
Explicao: Espera-se que a cada 3,33 anos ocorra uma chuva catastrfica. Por isso a
probabilidade de que se passe mais de 30 anos para ocorrer esta chuva
to pequena.
Exerccio 7.8 (Haan, 99 Ex.6.2)
Haan e Jonhson estudaram as caractersticas fsicas de depresses no setor centro-oeste de Iowa. Achar a
probabilidade de uma depresso ter rea maior que 2,25 acres (supor seguir uma exponencial).
rea (acres) no de dep.
0 1/2 106
1/2 1 36
1 1/2 18
11/2 2 9
2 21/2 12
21/2 3 2
3 31/2 5
31/2 4 1
4 41/2 4
41/2 5 5
5 51/2 2
51/2 6 6
6 61/2 3
61/2 7 1
7 71/5 1
71/5 8 1
212
27,15,270x ==
Sabemos que: mdia = 1/
= 0,7837 parmetros de Poisson
P(x > 2,25) = 1 P(x 2,25) = 1 (1 e-(0,7837)2,25) = 0,171
mas P(T t) = 1 e-t
udart
lExponencia da mdia(
nF . xx
212
ii=
-
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18
Exerccio 7.9 (Ang and Tang, pg, 121, ex.3.18)
Dados histricos de terremotos em San Francisco, Ca, mostram que no perodo de 1836 1916, ocorreram
16 terremotos de grande intensidade. Se a ocorrncia de terremotos desta intensidade segue uma
distribuio de Poisson, qual a probabilidade de ocorrerem terremotos nos prximos dois anos ?
Soluo: = 16/125 = 0,128 terremotos por ano
P(T 2) = 1 e--t = 1 - e-(0,128) .2 = 0,226
b) E a probabilidade de nenhum terremoto desta intensidade ocorrer nos prximos 10 anos.
Soluo: P(T > 10) = 1 P(T 10) = e--t = e-(0,128) . 10 = 0,278
1 e-t
Exerccio 7.10 (Bedient e Huber, 196 Hydrology e Floodplain Analysis)
Durante um ano, cerca de 110 episdios independentes de tempestade ocorreram em Gainsville, Flrida. Sua
durao mdia foi de 5,3 horas. Considerando um ano com 8760 horas, o tempo mdio entre tempestades foi
de:
Tempo c/ tempestade = 110 x 5,3 = 583 hs
Tempo total = horas 3,74110
5838760=
(entre tempestades)
(suponha a validade do modelo exponencial)
a) Qual a probabilidade de que no mnimo se passe 4 dias entre tempestades?
Soluo: Sabemos que: P(T t) = 1 e-t
no mnimo 4 = E(4) + E(5) + E(6)
= P(T 4) = 1 P(T < 4)
)e1( t
= P(T 4) = te
Sabemos que:
exp. mdia = 1/ = 0,0135
t = 4 dias x 24hs = 96hs
-
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19
= P(T 4) = e-0,0135 96
= P(T 4) = 0,2747
b) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade ser de exatamente 12 horas?
=1212 0dt . )t(f
c) Qual a probabilidade do intervalo entre tempestade seja menor ou igual a 12 horas?
P(T 12) = 1 e- t = 1 e- 0,0135 12 = 0,1496
4. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES GAMA
Seja X uma varivel aleatria que representa o nmero de chegadas no intervalo de
tempo (0, t) e que segue uma distribuio de Poisson. Suponha que o tempo a v-sima
chegada seja dada pela f.d.p.
! )1(e.t . )t(f
t1)-(
=
para valores inteiros de .
Veja que quando = 1....
te)t(f = Exponencial
Ou seja, a Distribuio Exponencial um caso particular da Distribuio
Gama.
-
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Exerccio 7.11 Haan, 79
Os barcos chegam a uma eclusa numa mdia de 4 a cada hora. Se a eclusa s pode operar 4 barcos de cada
vez, qual a probabilidade do primeiro barco ter que esperar pelo menos 1 hora antes de ser embarcado?
Soluo: a mesma coisa de : Qual a probabilidade do 4o barco demorar mais de 1 hora (aps o 1o ter
chegado) ?
1 1 2 3
t = 0
Se o tempo comea a contar a partir da chegada do 1o barco, eu quero saber qual a probabilidade
do terceiro barco que falta demorar mais que uma hora.
P(T3 > 1) = 1 P(T3 1)
dt ! 1)-(e .t . 1 10
t-1)-(
=
Sabemos que: =4 e =3
= 1 - 10
-4t23dt .
2e . t . 4
= dt . e .t 241 4t-
1
0
23
(*) Pode ser resolvida por integrao por partes
(*) = vduuvudv
Se: u = t2 du = 2t dt
(-4)(-4)dt edv t4= d(eu) = eu du t4ev =
=10
4t- 4t-2 dt 2t .e01
e . t
(resolver!) . . . = 0,762
Assim, P(T3 > 1) = 1 0,762 = 0,238 Distribuio Acumulada Inversa
Pode-se ainda usar a Tabela ( 1 FDP) da Gama (Haan, 342 347)
Entrar na tabela com: 2 = 2t
= 2v
-
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21
No problema anterior
= 4
v = 3
t = 1
Ento,
2 = 2 4 1 = 8
= 2 3 = 6 tabela = 0,23810
Diretamente ! Pois a tabela da P(T > t)
Comparao entre diversas distribuies (ver Paul Meyer, pag 233):
1. Admita-se que provas independentes de Bernoulli esto sendo realizadas:
a) varivel aleatria = nmero de ocorrncias do evento A em um nmero fixo
de provas;
Distribuio: Binomial
b) varivel aleatria = nmero de provas de Bernoulli necessrias para obter a
primeira ocorrncia do evento A;
Distribuio: Geomtrica
c) varivel aleatria = nmero de provas de Bernoulli para se obter a r-sima
ocorrncia do evento A.
Distribuio: Binomial Negativa (ou Pascal)
-
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22
2. Admita-se um processo de Poisson
nmero mdio de sucessos num dado intervalo de tempo conhecido
p de 1 sucesso ~ comprimento do intervalo de tempo, etc.
nmero de falhas impossvel saber!
a) varivel aleatria = nmero de ocorrncias do evento A, durante um
intervalo de tempo fixo.
Distribuio: Poisson
b) varivel aleatria = tempo necessrio at a primeira ocorrncia do evento A;
Distribuio: Exponencial
c) varivel aleatria = tempo necessrio at a v-sima ocorrncia de A;
Distribuio: Gama
4.1. Aplicaes da Distribuio Gama na Hidrologia (ver ABRH, vol 4 pag.134)
A Distribuio Gama tem grande aplicao na Hidrologia, devido a aspectos de
natureza morfolgica unicamente. Nesse caso, o valor de poder no ser inteiro e o
fatorial (v 1)! deve ser computado pela Funo Gama, que d seu nome a distribuio.
Funo Gama : dx.e.x)v( x0
1v =
Se v for inteiro positivo, (v) = (v 1)!
Para v no inteiro, (v) est tabelado (Haan, 351)
Ento,
)!v(e . t.
! 1)-v(e . t. )t(f
t-1)-(vt-1)-(
=
=
-
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23
Ateno:
Normalmente, a Distribuio Gama apresentada sob a seguinte estrutura
matemtica:
t = x
=
=
Assim,
)(
e .x .)x(fx-1)-(
=
(Semelhante ao Haan)
=mdia 2inciavar
=
Ateno:
O Walpole considera:
t = x
=
1
=
Assim,
)(
e .t . )t(ft-1)-(
=
)( .
e .x .)x(f-x1)-(
=
Semelhante ao Walpole > 0, > 0 =mdia 2 inciavar =
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
24
4.2. OS PARMETROS DA DISTRIBUIO GAMA
(Metodologia do Haan. Ver tambm Soong, 193)
Os parmetros associados Distribuio Gama so e e supem-se ambos
positivos. Como a distribuio Gama unilateral, serve freqentemente de modelo para
quantidades fsicas que s tomam valores positivos. Alm disto, graas sua
versatilidade, torna-se um modelo til, j que variando os valores de e , podemos
obter uma ampla variedade de formas da f.d.p Gama.
Variando : Variando :
Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart
f(x) = 1
1,5 = 5,0 variando = 1,0 1,0
= 3,0
0 1,5 3,0 4,5 6,0
f(x) = 3 1,5 = 5,0 variando 1,0 = 3,0 0,5 = 1,0
0 1,5 3,0 4,5 6,0
Podemos observar que determina a forma da distribuio, sendo portanto um
parmetro de forma; enquanto o parmetro de escala da distribuio.
Em geral a f.d.p. unimodal com pico em x = 0 para 1 (caso da exponencial e
da J-shaped) em ( )
=1x para > 1.
(OBS: Ver tambm comentrio em Yevjevich, pg 147 sobre Lognormal e Gama)
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
Notas de Aula - Prof Ticiana Marinho de Carvalho Studart
25
Exerccio 7.12 (ABRH vol. 14, pg. 135)
Dados os valores mximos anuais de vazes no rio Me Luzia em Forquilhinha, em m3/s.
35,,311x = m/s
6,169= m/s
a) Estimar os parmetros da distribuio da distribuio Gama
(Mtodo dos Momentos) = 0,01 = 3,37
= = 311,35
22
= (169,6)2 = 01,0)6,169(
35,3112 ==
b) Calcular o perodo de retorno para a vazo mxima observada (Q = 880m3/s)
Soluo: Por definio P(Q > 880) = Tr1
(Na Tabela Haan, pg. 342)
v = 2 = 2 x 3,37 = 6,74
2 = 2x = 2 x 0,01 x 880 = 17,6
P(X > x) = 0,01444
anos 70 ~ Tr 25,690,01444
1Tr ==
5. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE CHI-QUADRADO
Um outro importante caso particular da distribuio Gamma obtido fazendo
1 e ==22
, onde um inteiro positivo. A distribuio tem um nico parmetro
- chamado de graus de liberdade.
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
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26
( )
( )( )
0 x , 2 .2
e .x)x(f2
12 2-x
>
=
=mdia = 2 inciavar
A distribuio x2 um dos principais instrumentos na rea da inferncia estatstica
e teste de hipteses.
6. LOG-NORMAL A 3 PARMETROS
(ver Yevjevich, pg.138)
Quando o limite inferior da distribuio no zero, necessrio modificar a
funo distribuio de probabilidade da log-normal, introduzindo um terceiro parmetro
o limite inferior.
A f.d.p. da distribuio log-normal a 3 parmetros :
=)x(f 2 )x(
1
y
. exp ( )
2
y
2y
2
)-(x ln
Esta equao a mesma da Log-nomal, apenas com a substituio de x por (x - ):
=)x(f 2 x
1
y
. exp ( )
2
y
2y
2
)(x ln
A adio (ou subtrao) de uma constante de uma varivel no muda sua varincia,
mas muda sua mdia. Assim, a mudana de x implica na modificao de seu coeficiente
de variao x. Aqueles parmetros que dependem de x, como y tambm mudam, uma
vez que:
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
27
1e2
y2x =
A maneira mais fcil de expressar os parmetros , y e y usando os momentos
de x; onde o de primeira ordem define x e o de segunda ordem, x . Como j foi dito
anteriormente, x e x so diferentes dos parmetros correspondentes funo
lognormal a 2 parmetros.
Notas de Aula - Prof Ticiana M
Onde x= x +
x
Exerccio 7.13 (Lista Te
X ~ (y, y, )
Sabe-se que a mdia e o desvio padro das vazes mx
x = 3.300 m3/s
x = 470 m3/s
Considerar que a vazo mnima possvel 835 m3/s. Ca
arinho de Carvalho Studart
x x
rezinha pg. 13, ex. 7)
imas so:
lcular os parmetros da Log 3
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
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28
Soluo:
f(x)
f(x)
x x
x x
= 835
x = 3.300
Sabemos que:
x= 3.300 835 = 2.465 m/s
x = 470 m/s
Mas,
+= 2yyx 2
1 exp
1e2y2
x = ( )
( )0364,0
465.2470
x
2
2
2x
22x ==
=
(0,0364) = 1e 2y ( ) 0358,00364,1ln2y ==
1891,0y =
Ento,
2.465 = exp {
+0,0358
2y y 2
1
( ) ( ))358,021465.2lny =
79,7y =
Assim, X ~ (7,79; 0,1891; 835)
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
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29
Exerccio 7.14 (Lista Terezinha pg.6)
Consideremos a seguinte seqncia de dados hidrolgicos (ordenados)
2,50 4,30 4,65 5,31 6,30 7,14 9,43
2,70 4,32 4,70 5,50 6,36 7,36 9,69
3,80 4,50 4,73 5,78 6,43 7,80 10,20
4,05 4,57 4,85 5,82 6,66 8,10 10,68
4,10 4,60 4,90 5,88 6,89 8,56 11,50
4,13 4,61 5,10 5,93 6,92 8,77 41 valores
Ajustar uma Log-normal a 3 parmetros. Supor o menor valor possvel para qualquer observao x = 2,0.
x
2 x
6,10
x
x
x = 6,10
x = 2,14
x= x - = 6,10 2 = 4,10
x= x = 2,14
0,239
(1,27)l 1,27e
27,0
1e
2y
n2y
y
2x
2x2
x
2x
2
2y
=
=
= y = 0,489
=
=
=
0,111,411
21(4,10)
21exp
y
2yyn
2yyx
=
+=
+=
1,29
y =
x ~ (1,29; 0,49; 2)
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
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30
7. GAMA A 3 PARMETROS
Similarmente a Lognormal a 3 parmetros, se x for substitudo por y = (x-), temos
que a f.d.p. ser dada por:
( )( ))(
e-xf(x))-(x1-
=
onde , e so parmetros e () a Funo Gama.
Apenas a mdia alterada, passando neste caso para:
= xx
Exerccio 7.15
Ajustar a distribuio do exemplo anterior (Terezinha, pg.6) a uma Gama III.
x = 6,10
x = 2,14
= 2
== 10,4x
0,9 4,564,10 4,104,56 22
2x ==
=
=
3,68 9,0 x 10,4 ==
x ~ (3,68; 0,9; 2)
8. DISTRIBUIO DE EXTREMOS DO TIPO I ou DISTRIBUIO DE GUMBEL
O Mtodo de Gumbel baseia-se em uma distribuio de valores extremos.
A distribuio dada por:
-
Captulo 7 - Distribuies de Probabilidades Contnuas
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31
P (X x) = exp(-exp(-y))
onde P a probabilidade de um dado valor de vazo ser igualado ou excedido e y a
varivel reduzida dada por:
( )x
nf S
S xxy =
=
n
nxf S
y S - xx
onde xf a moda dos valores extremos, Sn o desvio padro da varivel reduzida Y, Sx
o desvio padro da varivel x, e x e y , as mdias das variveis x e y, respectivamente.
A aplicao do mtodo de Gumbel no clculo da vazo mostrada nos passos
seguintes:
1. Determinar a medida ( )x e o desvio-padro (Sx) da srie de dados histricos.
2. Em funo do nmero de dados (n), extrair da Tabela 7.4 os valores esperados
da medida ( )ny e desvio-padro (sn), associados a varivel reduzida.
Tabela 7.4 Valores esperados da mdia (Yn) e desvio-padro (Sn) da varivel
reduzida (y) em funo do nmero de dados (n). (Fonte: VILLELA,
1975).
n ny Sn n ny Sn 20 0,52 1,06 80 0,56 1,19 30 0,54 1,11 90 0,56 1,20 40 0,54 1,14 100 0,56 1,21 50 0,55 1,16 150 0,56 1,23 60 0,55 1,17 200 0,57 1,24 70 0,55 1,19 0,57 1,28
3. Determinar a moda dos valores extremos, pela expresso seguinte:
=
n
nxf S
Y Sxx
-
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32
4. Em funo do perodo de retorno (Tr), extrair da tabela 7.5, o valor da varivel
reduzida (y) ou usar a frmula
Tabela 7.5 Varivel reduzida, Probabilidade e perodo de retorno. (Fonte: VILLELA, 1975).
Varivel Reduzida (y)
Perodo de Retorno (Tr)
Probabilidade (1 P)
Probabilidade (P)
0,000 1,58 0,632 0,368 0,367 2,00 0,500 0,500 0,579 2,33 0,429 0,571 1,500 5,00 0,200 0,800 2,250 10,0 0,100 0,900 2,970 20,0 0,050 0,950 3,395 30,0 0,033 0,967 3,902 50,0 0,020 0,980 4,600 100 0,010 0,990 5,296 200 0,005 0,995 5,808 300 0,003 0,997 6,214 500 0,002 0,998 6,907 1000 0,001 0,999
5. Determinar a vazo de projeto (x), aplicando elementos obtidos nos passos
precedentes equao:
( )x
nf S
S xxy =
Ou seja,
n
xf S
Syxx +=
Muitos fenmenos hidrolgicos exibem umaEm tais casos, a varivel aleatria x no seguir uma distEnto, X ~ \( \( \(y, \(y \), se Neste caso, sua f.d.p (de y) pode ser facilmente deterExerccio 7.2Exerccio 7.3 (Haan)X \( s achar P\(X < x\) = 0,Exerccio 7.5 (profa.Terezinha, pag. 20)
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