123

6- EDOs: TEORIA E TRATAMENTO NUMRICO

Introduo

Muitos problemas importantes e significativos da engenharia, das cincias fsicas e das cincias sociais, formulados em termos matemticos, exigem a determinao de uma funo que obedece a uma equao que contm uma ou mais derivadas da funo desconhecida. Estas equaes so equaes diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da lei de Newton F = m.a . Se u = u(t) a posio no instante t de uma partcula de massa m submetida a uma fora F, temos

=

dtdu

utFdt

udm ,,

2

2

(1)

onde a fora F pode ser funo de t, u, e da velocidade dtdu

. A fim de determinar o movimento da

partcula sob a ao da fora F necessrio encontrar a funo u que obedea (1). O nosso objetivo discutir propriedades de solues de equaes diferenciais ordinrias e descrever alguns mtodos que se mostram eficientes para encontrar as solues do ponto de vista analtico e numrico. 6.1- CONCEITOS BSICOS

6.1.1 Definies e Classificao das Equaes Diferenciais

Definio 6.1.1.1: Uma das classificaes mais evidentes se baseia em a funo desconhecida depender de uma s varivel independente ou de diversas variveis independentes. No primeiro caso, na equao diferencial s aparecem derivadas ordinrias e a equao a equao diferencial ordinria (E.D.O.). No segundo caso, as derivadas so derivadas parciais, e a equao uma equao diferencial parcial (E.D.P.). Um exemplo de uma E.D.O. dado pela equao

)()(1)()(

2

2

tEtQCdt

tdQR

dttQd

L =++ , (2)

enquanto que um exemplo de e.d.p. uma equao do tipo potencial

0),(),(

2

2

2

2

=

+

yyxu

xyxu

. (3)

Definio 6.1.1.2: Uma outra classificao a que depende do nmero de funes desconhecidas que esto envolvidas. Quando se quiser determinar apenas uma funo, basta uma equao. Quando forem duas ou mais as funes desconhecidas, necessrio ter um sistema de equaes diferenciais. Por exemplo, as equaes de Lotka-Volterra (ou predador-presa), importantes modelos de ecologia, tm a forma:

yxycdtdy

yxxadtdx

...

...

g

a

+-=

-= , (4)

onde x(t) e y(t) so as populaes da presa e do predador, respectivamente. As constantes a, c, a , g esto baseadas em observaes empricas e dependem das espcies particulares que esto sendo estudadas.

124

Definio 6.1.1.3: A ordem de uma equao diferencial a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equao. Neste sentido, uma equao da forma

F[t, u(t), u(t), u(t), ...., u(n)(t)] = 0 (5) uma equao diferencial ordinria de ordem n. Observao: conveniente denotar u(t) por y e conseqentemente suas derivadas ficam escritas em funo de y. Geralmente consideramos equaes diferenciais que se apresentam na forma

),...,,,,( )1(''')( -= nn yyyyxfy (6) Definio 6.1.1.4: Uma soluo de uma equao diferencial ordinria do tipo (6), no intervalo

ba

125

Teorema 6.1.2.1: (de Existncia e Unicidade de Soluo para uma E.D.O. Linear de Ordem Um):

Seja uma E.D.O. da forma ),(' yxfy = (9)

onde a funo f(x, y) est definida em um domnio D do plano xy que contm o ponto ( 00 , yx ). Se a funo f(x, y) satisfaz as condies:

f(x, y) uma funo contnua de duas variveis em D;

f(x, y) admite derivada parcial yf

contnua com relao a x e y em D.

Ento existe uma, e somente uma soluo )(xy j= da equao que satisfaz a condio

00 )( yxy = . Exemplo 6.1.3: Considere a E.D.O. de 1a ordem

y' = x.y +e-y.

O segundo membro da equao f(x, y) = x.y + e-y e sua derivada parcial yexyf --=

so contnuas

com relao a x e a y em todos os pontos do plano xy . Em virtude do teorema de existncia e unicidade, o conjunto em que a equao tem soluo nica todo o plano xy .

6.2- EQUAES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM E 2A ORDEM

6.2.1 Equaes de 1a Ordem a Variveis Separveis

s vezes conveniente usar como varivel x em vez de t para designar a varivel independente de uma equao diferencial. Neste caso, a equao geral de primeira ordem assume a forma

),( yxfdxdy

= . (1)

Se a equao (1) no-linear, isto , se f no uma funo linear da varivel dependente y, no existe um mtodo geral para resolver a equao. Consideremos uma subclasse das equaes de primeira ordem para as quais um processo direto de integrao pode ser usado.

Em primeiro lugar, reescrevemos a equao (1) na forma

M(x,y)+N(x,y)dxdy

= 0 . (2)

sempre possvel conseguir isto fazendo M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma funo apenas de x e N seja uma funo apenas de y, a equao (2) se torna

M(x) + N(y) dxdy

= 0 . (3)

Uma equao deste tipo dita separvel porque escrita na forma diferencial M(x) dx + N(y)dy = 0 (4)

na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada varivel podem ser separados pelo sinal de igualdade. Exemplo 6.1.4:

Mostrar que a equao 2

2

1 yx

dxdy

-= de varivel separvel e encontre sua soluo.

126

Exemplo 6.1.5: Mostre que a soluo da E.D.O. com condio inicial

-=-

++=

1)0()1(2

243 2

yy

xxdxdy

dada por 4221)( 23 +++-= xxxxy . Exemplo 6.1.6:

Achar a soluo do problema de valor inicial

=+

=

1)0(21

cos2

yyxy

dxdy

.

Resposta.: )1||(lnarcsen)( 2 -+= yyyx .

6.2.2- Exerccios

6.2.2.1) xy

dxdy

= Sol.: y = c.x

6.2.2.2) (1 + y) dx (1-x) dy = 0 Sol.: xxc

y-+

=1

6.2.2.3) 3'. yyyx =- Sol.: 21 ycxy +=

6.2.2.4) 0).(cot)(cos.sen)( 22 =+ dyygxdxyxtg . Sol.: cxy += 22 secseccos

6.2.2.5)

=

=+

1)0(

)1(

y

edxdy

ye xx Sol.: )2

1ln(

212 xey +

=-

6.2.2.6) yx

dxdy 2

= Sol.: cxy =- 32 23

6.2.2.7) 0)sen(2 =+ xydxdy

Sol.: 0)cos(1

=+ yseCxy

; y = 0.

6.2.2.8) )2(cos).(cos 22 yxdxdy

= Sol.:

+=

=--

4

)12(0)2cos(

)2sen(2)2(2

ny

yseCxxytg

p

6.2.2.9) y

x

eyex

dxdy

+-

=-

Sol.: Ceexy xy =-+- - )(222

6.2.2.10) )1( 3

2'

xyx

y+

= Sol.: Cxy =+- 32 1ln23

6.2.2.11) 212' )1(. yyx -= Sol.: 1];sen[ln =+= yCxy

6.2.2.12)

==+

3/)2/(0 cos(3y)dy dx sen(2x)

ppy; Sol.: 3)2cos(3)3sen(2 += xy

127

6.2.2.13)

-=

+=

21

)0(

4)1(

3

2'

y

yxx

y Sol.:

212 +

-=x

y

6.2.2.14)

=+-

=

0)0(23

2'

yy

ey

x

Sol.: 01232 =--++ xeyy x

6.2.3 Equaes de 1a Ordem Homogneas Definio 6.2.3.1: Uma funo f(x,y) diz-se homognea de grau n nas variveis x e y se para todo

l , 0>l , temos: ),(),( yxfyxf nlll = ,

onde n = grau de homogeneidade. Exemplo 6.2.1:

a) Se 3 33),( yxyxf += ento,

temos, =+=+= ),()(()((),( 3 333 33 yxfyxyxyxf llllll f homognea de grau 1.

b) 2

33

.),(

yxyx

yxf-

= homognea de grau zero.

Definio 6.2.3.2: Tambm podemos chamar uma E.D.O. de homognea se f(x,y) uma funo homognea de grau zero ou se M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, onde M e N so funes homogneas de mesmo grau. 6.2.3.1- Mtodo de Resoluo

Impe-se uma soluo do tipo y = u(x). x, sendo que a equao diferencial antes escrita na forma:

),( yxfdxdy

= ,

onde dxdu

xudxdy

.+= e ),(),( yxfyxf ll= (hiptese), tomamos x1=l , ficando

),1(),( xyfyxf = e como

xy

u = , temos que f(x,y) = f(1,u).

A E.D.O. passa a ser escrita como:

uufdxdu

xufdxdu

xu -==+ ),1(.),1(. , que uma E.D.O. de variveis separveis. Assim,

integrando chegamos :

+=- Cxdx

uufdu

),1(.

Substituindo u por xy

, aps a integrao, obtm-se a soluo da E.D.O. original.

128

6.2.3.2 Exerccios

6.2.3.2.1) 22 yx

xydxdy

-= Soluo: ||ln2 cyyx -=

6.2.3.2.2)

==-+

0)4(0..2)( 22

yydyxdxyx

Soluo: x

xy4

1. -=

6.2.3.2.3) 0)()( =--+ dyxydxyx Soluo: 2

2 1)(2)(xC

xy

xy

=++-

6.2.3.2.4) 0)()32( =-++ dyxydxyx Soluo: ||ln|2

2|ln

2

2

Cxuu

uu=

+

+

6.2.3.2.5) 03)( 233 =++ dyxydxyx Soluo: 3 2 ))(1

1(21

)(cx

xxy -=

6.2.3.2.6) 0))cos(.())cos(.( =+- dyxy

xdxxy

yx Soluo: ||ln)sen( xCxy -=

6.2.4- Equaes de 1a Ordem Lineares com Coeficientes Variveis Definio 6.2.4.1: Uma equao diferencial linear de primeira ordem uma equao da forma

)()(' xQyxPy =+ , onde P(x) e Q(x) so funes contnuas. Se, na definio anterior, assumirmos Q(x) = 0 para todo x, podemos separar as variveis e integrar ento como segue (desde que y 0):

+-=-=-==+ CdxxPydxxPdyyxPdxdy

yyxP

dxdy

ln)(ln)(1

)(1

0)(

Expressamos a constante de integrao sob a forma ln|C|a fim de modificar, como a seguir, a forma da ltima equao:

CeyeCy

dxxPCy

dxxPCydxxPdxxP

==-=-=- - )()(

.)(ln)(||ln||ln .

Observemos em seguida que, pela regra do produto, +=+=+=

dxxPdxxPdxxPdxxP

x

dxxP

x

dxxP

x eyxPyexyPeyeDyeyDyeD)(')()(')()()( ))(()()()()( .

Conseqentemente, multiplicando ambos os membros de )()(' xQyxPy =+ por dxxP

e)(

, a equao resultante pode ser escrita como

=dxxPdxxP

x exQyeD)()(

)()( . Integrando ambos os membros, obtemos a seguinte soluo implcita da E.D.O. de a1 ordem :

+= KdxexQeydxxPdxxP )()(

).(. ,

para uma constante K. Resolvendo esta equao em relao a y, somos levados a uma soluo

explcita. A expresso dxxP

e)(

um fator integrante da equao diferencial. Exemplo 6.2.2:

129

Resolva a E.D.O. 223 xyxdxdy

=- .

Como P(x) = -3x2, calculamos o fator integrante 323 xdxx ee -

-= .

Multiplicando ambos os membros da E.D.O. obtm-se: 33333 222 ).(3 xxx

xxx exyeDexyexdxdy

e ----- ==- .

Integrando ambos os lados, obtemos

+-=+-== ---3333

.31

)(31

. 2 xxxx eCxyCedxexey .

Exemplo 6.2.3: Resolva a E.D.O. 03..5 5'2 =++ xyxyx , com x 0. Dividindo ambos os membros por x2, obtemos:

3' 35

xyx

y -=+ .

O fator integrante dado por 5|ln|5

5

|| xee xdx

x == . Se x > 0, ento |x|5 = x5. Se x < 0, |x|5 = - x5. Em qualquer caso, a multiplicao por |x|5 de ambos os membros da forma padronizada d

8584'5 3)(35. xyxDxyxyx x -=-=+ . Integrando ambos os membros da igualdade acima, obtemos como soluo:

+-=+-=-= 549

85

3)(

33.

xCx

xyCx

dxxyx .

Exemplo 6.2.4: Resolva a equao diferencial )cos(..2)sec()(.' xxxxtgyy +=+ .

Clculo do fator integrante: |)sec(|)|sec(|ln xee xtgxdx

== . Desprezando o valor absoluto e multiplicando por ambos os lados, chegamos

xxxyDxxxxxtgxyxy x .2)(sec))sec(.()sec().cos(2)(sec)().sec(.)sec(22' +=+=+ .

Integrando ambos os membros, obtm-se: )cos()()sen()()()sec(. 22 xCxxxyCxxtgxy ++=++= .

6.2.4.1- Tcnica Alternativa Para Resoluo de uma E.D.O. Linear De 1A Ordem

Suponha que y(x) = u(x).v(x), onde v(x) uma soluo particular da E.D.O. .0)(' =+ yxPy

Derivando y com relao x, obtm-se:

...dxdu

vdxdv

udxdy

+=

Considerando a E.D.O. )().( xQyxPdxdy

=+ e substituindo a derivada de y com relao a x,

obtemos:

)(.).(. xQvuxPdxdu

vdxdv

u =++

)(.).( xQdxdu

vvxPdxdv

u =+

+

130

Determinao de v(x): Imponha que a expresso entre colchetes seja zero, isto :

dxxPv

dvvxP

dxdv

).(0).( -==+

Substitua a expresso de v(x) encontrada na equao:

)(. xQdxdu

v =

e determine u(x). Finalizando, obtemos y(x) = u(x).v(x). 6.2.4.2- Exerccios

6.2.4.2.1) )cos(.5)(cot. xexgydxdy

=+ Soluo: ]).[sec(cos)( cos cexxy x +-=

6.2.4.2.2) 0.3..5. 5'2 =++ xyxyx Soluo: 5

4

3)(

xcx

xy +-=

6.2.4.2.3) )ln(' xyxy =+ Soluo; 1ln)( -+=xc

xxy

6.2.4.2.4) 0))cos(.( 2 =-+ xdydxyxx Soluo; cxxxxy += sen)(

6.2.4.2.5) 0).3.2( 323 =--+ dxxyxydyx Soluo: 21

33

..2

)( xexcx

xy +=

6.2.4.2.6) xxxydxdy

x 23. 23 -++= Soluo: xcxxxx

xy .)ln(.2.32

)( 23

+-+=

6.2.4.2.7) 0).2(.2 =-=- dxexydxxdy x Soluo: 2

.)( xx ecexy +=

6.2.4.2.8) xeyy 2' 2 =+ Sol.: xx

cee

xy 22

4)( -+=

6.2.4.2.9) 23' =- yy Sol.: xcexy 332

)( +-=

6.2.4.2.10) 5' 3. xyyx =- Sol.: 35

2)( cx

xxy +=

6.2.4.2.11) )sec(cos)(cot' xxgyy =+ Sol.: )sen(

)(xcx

xy+

=

6.2.4.2.12) xexyyx =++'. Sol.: xcx

xe

xyx

+-=2

)(

6.2.4.2.13) 0).2(2 =-+ dxeyxdyx x Sol.:2

)(x

cexy

x +=

6.2.4.2.14) )sen()(.' xxtgyy =+ Sol.: ])sec(|)[lncos()( cxxxy += 6.2.4.2.15) 0))cos(.( 2 =-+ xdydxyxx Sol.: cxxxxy += )sen(.)(

6.2.4.2.1) xexyxyx 3' .)32(. -=++ Sol.: xexcx

xy 323)( -

+=

6.2.4.2.16) 0)sen(().( =-+ dxxydyxtg Sol.:)sen(

)sen(21

)(x

cxxy +=

6.2.4.2.17) 322' .3 xexyxy -+=+ Sol.:

3

)(31

)( xecxxy -++=

6.2.4.2.18)

=+=-

2)1(. 2'

yxxyyx

Sol.: )1)ln(.()( ++= xxxxy

131

6.2.4.2.19)

==++ -

0)1(.. '

yeyxyyx x

Sol.: )1

1()(x

exy x -= -

6.2.4.2.20) A equao diferencial dt

dVCI

dtdI

R =+ descreve um circuito eltrico que consiste em

uma fora eletromotriz V com uma resistncia R e capacitncia C ligadas em srie. Se V constante e se I(0) = I0, expresse I como funo de t.

Resp.: RCt

eItI-

= .)( 0 6.2.5 Equaes de 1a Ordem Exatas e Fatores Integrantes

Considere a equao diferencial de a1 ordem do tipo 022 '2 =++ xyyyx . (1) Esta equao no separvel. No entanto observe que a funo 22 .),( yxxyx +=j satisfaz a propriedade que:

xyx

=+j22 e xy

y2=

j

. (2)

Assim a E.D.O. pode ser escrita como

0)()( 2222 =+

++

dxdy

xyxy

xyxx

. (3)

Admitindo que y seja funo de x (utilizando a Regra da Cadeia), pode-se escrever a (3) na forma

0)( 22 =+ xyxdxd

. (4)

Portanto, cxyx =+ 22 , (5)

onde c uma constante arbitrria, uma expresso implcita (soluo) de (1). Ao resolver (1), a etapa principal foi o reconhecimento da existncia de uma funo

),( yxj que obedecia (2). De modo mais geral, considere a equao diferencial

M(x,y)+N(x,y) 'y = 0. (6) Suponha que se possa identificar uma funo ),( yxj tal que

),(),( yxMyxx

=j

e ),(),( yxNyxy

=j

, (7)

de modo que ),( yxj = c obedea a equao y = )(xf , como uma funo derivvel de x. Ento:

M(x,y)+N(x,y) 'y = )](,[ xxdxd

dxdy

yxfj

jj=

+

,

sendo que (6) pode ser reescrita como:

0)](,[ =xxdxd

fj . (8)

Neste caso, (6) uma equao diferencial exata. A soluo de (6) ou de sua equivalente (8) dada implicitamente por cyx =),(j , (9) onde c uma constante arbitrria.

132

No exemplo estudado, foi fcil encontrar a sua soluo, devido ao reconhecimento da funo desejada j . Para os casos em que isto no possvel, existe um teorema para verificao desta condio: Teorema 6.2.5.1: Sejam M, N, My, Nx funes contnuas no domnio retangular (conexo) R:

ba

133

ou xyxyh --= 2'21

)( . Como o 2o membro depende de x e y, impossvel encontrar h(y). Portanto

no h uma funo ),( yxj que satisfaa as derivadas parciais. Algumas vezes, possvel converter uma equao diferencial que no seja exata numa exata, multiplicando-a por um fator integrante apropriado. Multipliquemos a equao

0),(),( =+ dyyxNdxyxM (11) por uma funo m e tentemos encontr-la de modo que

0),().,(),().,( =+ dyyxNyxdxyxMyx mm (12) seja exata. Sabe-se, de antemo, que a equao acima ser exata se, e somente se,

xy NM )()( mm = , (13)

isto , m dever obedecer seguinte equao diferencial de a1 ordem 0)( =-+- mmm xyxy NMNM . (14)

Se uma funo m satisfizer (14), ento (12) ser exata. A soluo de (12) poder ento ser obtida pelo mtodo anteriormente descrito. A soluo encontrada satisfaz (11) pois o fator integrante m ser cancelado. Supondo que m dependa somente de x e do fato que xy NM )()( mm = , obtm-se

mm

N

NM

dxd xy-=

que o fator integrante procurado. Exemplo 6.2.6:

Encontre o fator integrante e resolva a equao 0)()3( '22 =+++ yxyxyxy . (*)

J sabemos que esta equao no exata. Determinamos um fator integrante que dependa exclusivamente de x. Ao determinar a expresso

xxyxyxyx

yxN

yxNyxM xy 1)2(23),(

),(),(2

=+

+-+=

-,

observamos que o fator integrante depende exclusivamente de x e para encontr-lo basta resolver a equao diferencial

xxxdx

d== )(m

mm.

Multiplicando (*) por )(xm , obtm-se:

0)()3( '2322 =+++ yyxxxyyx que exata e, aps sua resoluo, encontra-se

cyxyx =+ 22321

.

6.2.5.1- Exerccios

Determinar se as equaes so exatas ou no. Para as equaes exatas, encontre a soluo: 6.2.5.1.1) 0)22()32( ' =-++ yyx Sol.: Cyyxx =-++ 23 22 6.2.5.1.2) 0)22()42( ' =-++ yyxyx Sol.: No exata 6.2.5.1.3) 0)36()223( 222 =+-++- dyxydxxyx Sol.: Cyyxyxx =+++- 322 323 6.2.5.1.4) 0)22()22( '22 =+++ yxyxyxy Sol.: Cxyyx =+ 222 6.2.5.1.5) 0))cos(2)cos(())sen(2)sen(( =++- dyxyedxxyye xx

134

Sol.: Cxyye x =+ )cos(2)sen( ; y = 0. 6.2.5.1.6) 0))sen(3()3)sen(( =--+ dyyexdxyye xx Sol.: No exata 6.2.5.1.7) 0)3)2cos(()2)2sen(2)2cos(( =-++- dyxxedxxxexye xyxyxy Sol.: Cyxxe xy =-+ 3)2cos( 2

6.2.5.1.8) 0)2(ln)6( =-++ dyxdxxxy

, x > 0 Sol.: Cyxxy =-+ 23ln. 2

6.2.5.1.9) 0)ln())ln(( =+++ dyxyxydxxyyx , x > 0, y > 0 Sol.: No exata

6.2.5.1.10) 0)( 2

322=

+

+

yx

ydyxdx Sol.: Cyx =+ 22

Encontre o valor de b para o qual a equao exata e resolver cada equao com o valor

encontrado: 6.2.5.1.11) 0)()( 222 =+++ dyxyxdxybxxy Sol.: b=3; Cyxyx =+ 322 2 6.2.5.1.12) 0)( 22 =++ dybxedxxye xyxy Sol.: b=1; Cxe xy =+ 22 6.2.6 Equaes de 2a Ordem Lineares Homogneas com Coeficientes Constantes Definio 6.2.6.1: Uma equao diferencial ordinria de 2a ordem tem a forma

),,(2

2

dxdy

yxfdx

yd= (1)

onde f uma funo conhecida. Dizemos que a equao (1) linear quando a funo f linear em y e suas derivadas, isto , quando

yxqdxdy

xpxgdxdy

yxf )()()(),,( --= , (2)

onde g, p e q so funes da varivel independente x. Neste caso, a equao (1) fica )()()( '" xgyxqyxpy =++ (3)

Definio 6.2.6.2: Se a equao (1) no tem a forma (3), ento ela denominada no linear. Para uma E.D.O. de 2a ordem, um problema de valor inicial constitudo por um par de condies iniciais

00 )( yxy = e 10' )( yxy = (4)

onde 0y e 1y so nmeros dados. Observao: Note que so necessrias duas condies iniciais para uma equao de segunda ordem, pois falando em termos gerais, so necessrias duas integraes para se chegar a soluo. Um exemplo de ocorrncia de uma equao linear de 2a ordem dado pelo movimento de um corpo ligado a uma mola, e muitos outros sistemas oscilantes simples, que descrito por uma equao da forma:

)(2

2

tFkudtdu

dtud

m =++ g , (5)

onde m, g e k so constantes e F uma funo.

135

Definio 6.2.6.3: Uma E.D.O. linear de 2a ordem homognea se o termo g(x) em (3) for nulo para todo x. No sendo assim, a equao no-homognea. Observao: O termo g(x) denominado no-homogneo. Consideremos a E.D.O. linear homognea de 2a ordem

0'" =++ qypyy (*) Propriedades 6.2.6.4: 1. Se y1 e y2 so solues particulares da E.D.O. linear homognea de 2a ordem (*) ento y1 + y2 tambm soluo da equao. 2. Se y1 uma soluo de (*) e C uma constante, o produto Cy1 tambm soluo desta equao.

6.2.6.1- A Independncia Linear e o Wronskiano

Definio 6.2.6.1.1: Duas solues y1 e y2 de (*) denominam-se linearmente independentes (L.I.)

no intervalo [a,b] se sua razo teconsyy

tan2

1 . Em caso contrrio, as solues chamam

linearmente dependentes (L.D.). Em outras palavras, duas solues y1 e y2 so L.D. se l$ tal que

l=2

1

yy

quando x [a,b].

Exemplo 6.2.7:

A equao 0" =- yy admite como solues ex , e-x , 3.ex e 5.e-x. As funes ex e e-x so L.I.

em todo o domnio e por esta razo xxx

eee 2=- que varia com x . Ao passo que

xe e 3 xe so L.D.

pois 33

=xx

ee

(constante).

Definio 6.2.6.1.2: Se 21 yey so funes de x, ento o determinante

W( '2

'1

2121 ), yy

yyyy =

denomina-se determinante do Wronski ou Wronskiano das funes dadas. Propriedades: 1. Se as funes y1 e y2 so L.D. em [a,b], ento o Wronskiano em [a,b] zero. De fato, se 12 yy l= donde l constante, ento

'1

'2 yy l= e

0),( '1

'1

11'1

'1

11'2

'1

2121 ==== yy

yyyyyy

yyyy

yyW lll

.

2. Se o Wronskiano W(y1,y2) das solues y1 e y2 da equao homognea no se anula em um ponto x = x0 de [a, b], ento ele no se anula para qualquer valor de x neste intervalo.

136

Observao: Se o Wronskiano nulo para certo valor de x = x0, ento este determinante tambm igual a zero para qualquer valor de x no intervalo considerado. 3. Se as solues y1 e y2 de (*) so L.I. em [a,b], ento o Wronskiano formado por estas solues no se anular em nenhum ponto do intervalo. 4. Se y1 e y2 so solues de (*), ento

2211 ycycy += , onde c1 e c2 so constantes arbitrrias, uma soluo geral de (*).

6.2.6.2 Razes da Equao Caracterstica Tipos de Solues

Neste momento, vamos dirigir nossas atenes para o caso em que os termos que

acompanham yyy ,, '" de (*) so constantes, ou seja, estaremos interessados em resolver uma E.D.O. de 2a ordem do tipo

0. '" =++ cybyya , (6) onde a, b, c so constantes dadas. Antes de mostrarmos a forma de soluo, consideremos o seguinte exemplo:

0" =- yy (7) Para esta equao, tm-se a=1, b=0 e c=-1. Com um pouco de meditao, observamos que

uma funo que satisfaz (7) y(t) = et. Seguindo o mesmo raciocnio, observamos que y(t) = e-t tambm satisfaz (7). Com o tempo, veremos que a combinao destas duas solues tambm satisfaz (7). Com isto, verifica-se que solues do tipo )()()( 2211 tyctycty += apresentam uma soluo de (7) na forma geral. Observao: Para determinar os valores das constantes so necessrias duas condies iniciais. Voltando equao (6), j vimos que solues do tipo exponencial, so vlidas. Suponhamos que rtey = , onde r o parmetro a ser determinado. Temos que rtrey =' e

rtery 2" = . Levando as expresses de y, y e y em (6), obtm-se:

( ) 0 0 202 =++ =++ cbrarecbrar rtert (8) A equao (8) denominada equao caracterstica. A soluo desta equao caracterstica

envolve um estudo do sinal do delta da equao. Caso 1: >D 0 razes reais e distintas. Suponha r1 e r2 as duas razes. Neste caso tem-se como soluo trety 1)(1 = e

trety 2)(2 = e portanto, a soluo geral fica trtr ecectyctycty 21 212211 )()()( +=+= . (9)

Observao: Verifique que (9) satisfaz (6). Exemplos 6.2.8: a) Encontre a soluo da E.D.O. 065 '" =++ yyy , sujeita s condies iniciais:

3)0(2)0( ' == yey .

137

b) Encontre a soluo do P.V.I.

=

=

=+-

21

)0(

2)0(

0384

'

'"

y

y

yyy

Soluo: 223

25

21

)(tt

eety +-= .

Caso 2: =D 0 razes reais e iguais. Neste caso. Tem-se que acb 42 = e ento a

brr

221-== .

Assim, obtemos como soluo, para a E.D.O. do tipo xrexy =)(1 . A soluo rxexxy .)(2 = tambm

satisfaz. Portanto a soluo geral para este caso : rxexccxy ).()( 21 += . (10)

Caso 3:

138

6.2.6.3.4) 032 '" =-+ yyy 6.2.6.3.5) 023 '" =++ yyy 6.2.6.3.6) 06 '" =-- yyy 6.2.6.3.7) 032 '" =+- yyy 6.2.6.3.8) 05 '" =+ yy 6.2.6.3.9) 0994 '" =+- yyy 6.2.6.3.10) 022 '" =-- yyy

Nos problemas abaixo, encontrar a soluo das E.D.O. de 2a ordem:

6.2.6.3.11) 022 '" =+- yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcetyt +=

6.2.6.3.12) 062 '" =+- yyy Sol. )]5sen()5cos([)( 21 tctcetyt +=

6.2.6.3.13) 082 '" =-+ yyy Sol. tt ececty 422

1)(-+=

6.2.6.3.14) 022 '" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcetyt += -

6.2.6.3.15) 0136 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 213 tctcety t += -

6.2.6.3.16) 094 " =+ yy Sol. )23

sen()23

cos()( 21t

ct

cty +=

6.2.6.3.17) 025,12 '" =++ yyy Sol. )]2

sen()2

cos([)( 21t

ct

cety t += -

6.2.6.3.18) 0499 '" =-+ yyy Sol. 34

23

1)(tt

ececty-

+=

6.2.6.3.19) 025,1'" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 212 tctcetyt

+= -

6.2.6.3.20) 025,64 '" =++ yyy Sol. )]23

sen()23

cos([)( 212 tc

tcety t += -

6.2.6.3.21)

===+

1)0(;0)0(04

'

"

yyyy

Sol. )2sen(21

)( tty =

6.2.6.3.22)

===++

0)0(;1)0(054

'

'"

yyyyy

Sol. )]sen(2)[cos()( 2 ttety t += -

6.2.6.3.23)

===+-

2)2(;0)2(052

'

'"

pp yyyyy

Sol. )2sen()( 2 tety tp--=

6.2.6.3.24)

-===+

4)3(;2)3(0

'

"

pp yyyy

Sol. )sen()32()cos()321()( ttty --+=

6.2.6.3.25)

===++

1)0(;3)0(025,1

'

'"

yyyyy

Sol. )]sen(25

)cos(3[)( 2 ttetyt

+=-

6.2.6.3.26)

-===++

2)4(;2)4(022

'

'"

pp yyyyy

Sol. )sen(2)cos(2)( )4()4( tetety tt -- +=pp

6.2.6.3.27) 02 '" =+- yyy Sol. ][)( 21 tccetyt +=

6.2.6.3.28) 069 '" =++ yyy Sol. ][)( 213 tccetyt

+=-

6.2.6.3.29) 0344 '" =-- yyy Sol. 23

22

1)(tt

ececty +=-

139

6.2.6.3.30) 09124 '" =++ yyy Sol. ][)( 2123

tccetyt

+=-

6.2.6.3.31) 0102 '" =+- yyy Sol. )]3sen()3cos([)( 21 tctcety

t += 6.2.6.3.32) 096 '" =+- yyy Sol. ][)( 21

3 tccety t +=

6.2.6.3.33) 04174 '" =++ yyy Sol. tt

eccety 4214)(-

-

+=

6.2.6.3.34) 092416 '" =++ yyy Sol. ][)( 2143

tccetyt

+=-

6.2.6.3.35) 042025 '" =+- yyy Sol. ][)( 2152

tccetyt

+=

6.2.6.3.36) 022 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 212 tctcety

t+=

-

6.2.7 Equaes de 2a Ordem Lineares No Homogneas com Coeficientes Constantes 6.2.7.1 - Mtodo dos Coeficientes Indeterminados

A forma geral da equao )('" tgqypyy =++ .

Suponhamos que g(t) seja produto de uma funo exponencial por um polinmio, tendo a forma

tn etPtg

a)()( = , (1) onde )(tPn um polinmio de grau n. Alguns casos podem ocorrer: 1. O nmero a no uma raz da equao caracterstica 02 =++ qprr . Ento se torna necessrio encontrar uma soluo particular da forma:

tn

nnp eAtAtAty

a)...()( 110 +++=- = tn etQ

a)( (2) O trabalho agora se concentra em determinar os coeficientes do polinmio. Esta tarefa consiste em substituir py na equao original, ou seja, deriva-se tantas vezes quanto for a ordem da derivada e iguala-se com o lado direito da E.D.O. lembrando uma regra fundamental: Dois polinmios so iguais se, e somente se, seus coeficientes so iguais termo a termo. 2. O nmero a uma raz simples da equao caracterstica. Para esta situao, a soluo que deve satisfazer a E.D.O.ter a forma: tn

nnp eAtAtAtty

a)....()( 110 +++=- = tn etQt

a)( (3) Novamente, o trabalho concentra-se em derivar a expresso (3) de modo a determinar seus coeficientes, impondo como soluo da E.D.O.. 3. O nmero a uma raz dupla da equao caracterstica. Nesta situao, a soluo que deve satisfazer a E.D.O. ter a forma: tn

nnp eAtAtAtty

a)....()( 1102 +++= - = tn etQt

a)(2 (4) Na tabela abaixo, encontram-se resumidos as solues particulares para o caso no homogneo:

140

g(t) Raz Soluo Particular ( )(ty p ) t

nnn eatata a)...( 110 +++

- a21 rer t

nnn eAtAtA a)...( 110 +++

- aa == 21 rour

tn

nn eAtAtAt a)...( 110 +++-

a=r (a raz dupla) tn

nn eAtAtAt a)...( 1102 +++ -

Suponhamos agora que g(t) seja da forma ]sen)(cos)([ xxQxxPe x bba + onde P(x) e Q(x) so polinmios. Deve-se encontrar uma soluo para o caso particular onde a forma desta soluo depende da raiz do polinmio caracterstico. O problema que, como temos na funo f(t) que produto de uma exponencial por uma funo trigonomtrica do tipo sen xb ou cos xb , a raiz a ser considerada dever necessariamente ter a forma ba i+ , sendo que a dever ser comparada parte real ou o coeficiente da exponencial e b dever ser comparado com o argumento do ngulo. Por exemplo, se tivermos uma funo, para o caso no homogneo, da forma

)4cos()( 5 tetg t= e as razes do polinmio caracterstico forem da forma 5 4i, obteremos como soluo particular uma funo da forma:

))]4sen()4cos(([)( 5 tBtAetty t += , que ser determinada quando descobrirmos o valor das constantes A e B. Agora considere por exemplo a situao, para o caso no homogneo, onde )3(cos)( ttf = e as razes do polinmio caracterstico so da forma 2 3i. Neste caso, teremos uma soluo, para o caso particular, da forma

)3sen()3cos()( tBtAty += , onde novamente, basta determinar os valores de A e B. Observao: Se aparecer polinmios multiplicando as funes trigonomtricas, ser necessrio impor na soluo particular, polinmios de mesmo grau que do caso no homogneo, e compar-los a fim de determinar o valor dos coeficientes. Resumindo, para este caso temos os seguintes resultados: g (t)

Razes --

+ ba i Soluo Particular ( )(ty p )

]sen)(cos)([ ttQttPe t bba + baba ii +=+--

]sen)(cos)([ ttQttPte t bba--

+

baba ii ++--

]sen)(cos)([ ttQttPe t bba--

+ 6.2.7.2- Exerccios

Resolva as equaes abaixo:

6.2.7.2.1) xyyy =++ 34 '" Sol.: 94

31)( 321 -++=

-- xececxy xx

6.2.7.2.2) xexyy 32" )1(9 +=+ Sol.: xexxxcxcxy 3221 )815

271

181

()3sen()3cos()( +-++=

6.2.7.2.3) xexyyy )2(67 '" -=+- Sol.: xxx exxececxy )259

101

()( 621 +-++=

141

6.2.7.2.4) xeyyy 265 '" =+- Sol.: xxx eececxy ++= 322

1)(

6.2.7.2.5) teyyy -=-- 22'" Sol.: ttt teececty -- -+=32

)( 22

1

6.2.7.2.6) 3" xkyy =+ Sol.: xk

xk

xKcxKcxy2

321

61)sen()cos()( -++=

6.2.7.2.7) )cos(252 '" xyyy =++

Sol.: )sen(51

)cos(52

)2sen()2cos([)( 21 xxxcxcexyx +++= -

6.2.7.2.8) )2cos(4" xyy =+ Sol.: )2sen(41

)2sen()2cos()( 21 xxxcxcxy ++=

6.2.7.2.9) )cos(3 2" xeyy x=- Sol.: ]sen53

cos103

[)( 221 xxeececxyxxx +++= -

6.2.7.3 - Mtodo da Variao dos Parmetros

A forma geral da equao )('" tgqypyy =++ .

Objetivo: Determinar uma soluo particular de uma equao no homognea. Vantagem: um mtodo geral, ou seja, no exige hipteses detalhadas sobre a forma da soluo. Idia Bsica: Substituir os coeficientes da soluo encontrada no caso homogneo por funes

)(1 tu e )(2 tu de modo que a soluo reescrita, seja soluo da no homognea. Exemplo 6.2.9:

Considere a E.D.O. )sec(cos34" tyy =+ , (1)

cuja soluo para o caso homogneo ( 04" =+ yy ), (2)

tem a forma )2sen()2cos()( 21 tctcty += . (3)

A idia do mtodo impor como soluo, para o caso particular, uma equao da forma )2sen()()2cos()()( 21 ttuttuty += , (4)

de modo que esta torne soluo para o caso no homogneo. Derivando (4) uma vez, obtm-se:

)2sen()()2cos()()2cos()(2)2sen()(2)( '2'121

' ttuttuttuttuty +++-= . (5) Imponha que

0)2sen()()2cos()( '2'1 =+ ttuttu (6)

De (5), obtemos )2cos()(2)2sen()(2)( 21

' ttuttuty +-= (7) Derivando (7), obtemos:

)2cos()(2)2sen()(2)2sen()(4)2cos()(4)( '2'121

" ttuttuttuttuty +---= . (8) Introduzindo as equaes (8) e (4) em (1), obtm-se:

)sec(cos3)2cos()(2)2sen()(2 '2'1 tttuttu =+- (9)

Neste ponto, queremos escolher u1(t) e u2(t) de modo a satisfazer (6) e (9) simultaneamente. De (6),

142

)2sen()2cos(

)()( '1'2 t

ttutu -= (10)

Levando (10) em (9), chegamos :

)cos(32

)2sen()sec(cos3)('1 t

tttu -=-= (11)

Retornando em (10), com )('1 tu , obtm-se para )('2 tu :

)sen(3)sec(cos23

)sen(2))(sen21(3

)2sen()2cos()cos(3

)(2

'2 ttt

tt

tttu -=

-== (12)

Integrando (11) e (12), obtm-se: 11 )sen(3)( cttu +-= (13)

22 )cos(3|)(cot)sec(cos|ln23

)( cttgttu ++-= (14)

Assim,

)2sen()2cos()2sen()]cos(3|)(cot)sec(cos|ln23

[)2cos()sen(3)( 21 tctctttgtttty +++-+-= (15)

A expresso (15) uma soluo geral para a equao (1). Pensando agora no caso geral, consideremos a equao:

)('" tgqypyy =++ (16) Admitindo que a soluo da equao homognea tem a forma:

)()()( 2211 tyctyctyh += (17) e levando em conta que o M.V.P. impe como soluo para o caso no homogneo uma soluo do tipo

)()()()()( 2211 tytutytuty p += , (18)

devemos determinar )(1 tu e )(2 tu . Derivando (18) em relao a t, obtm-se:

)()()()()()()()()( '22'112

'21

'1

' tytutytutytutytuty p +++= . (19)

Como no exemplo anterior, consideramos nula a soma que envolve os termos )('1 tu e )('2 tu , ou seja,

0)()()()( 2'21

'1 =+ tytutytu . (20)

Derivando a expresso (19), levando em considerao (20), obtm-se:

)()()()()()()()()( "22"11

'2

'2

'1

'1

" tytutytutytutytuty p +++= . (21) Levando em conta as expresses (18), (19) e (21), chegamos : )()()()()()]()()()[()]()()()[( '2

'2

'1

'12

'2

"221

'1

"11 tgtytutytutqytpytytutqytpytytu =+++++++ (22)

Cada expresso entre colchetes de (22) nula, pois y1 e y2 so solues da equao homognea. Portanto, a equao (22) se reduz

)()()()()( '2'2

'1

'1 tgtytutytu =+ . (23)

De modo a determinar as expresses de u1(t) e u2(t), devemos resolver o sistema:

=+=+

)()()()()(0)()()()(

'2

'2

'1

'1

2'21

'1

tgtytutytutytutytu

. (24)

Observe que o determinante deste sistema

),( 21'2

'1

21 yyWyyyy

= ,

que o Wronskiano das solues y1 e y2.

143

Observao: Lembre-se que para que o sistema tenha soluo nica, devemos ter W(y1,y2) 0. Resolvendo este sistema, chegamos facilmente s expresses:

),()()(

21

2'1 yyW

tgtyu -= e

),()()(

21

1'2 yyW

tgtyu = (25)

Integrando estas expresses, chegamos :

-= ),()()(

)(21

21 yyW

tgtytu e = ),(

)()()(

21

12 yyW

tgtytu (26)

que substituindo em (18) determinam a soluo para o caso particular de (16). 6.2.7.4- Exerccios

Resolva as equaes abaixo: 6.2.7.4.1) )(cot" xgyy =+ Sol.: xxgxxcxcxy sen|)(cot)sec(cos|lnsencos)( 21 -++= . 6.2.7.4.2) )(" xtgyy =+ Sol.: xxtgxxcxcxy cos|)()sec(|lnsencos)( 21 +-+= . 6.2.7.4.3) )3(sec99 2" tyy =+ Sol.: )3sen()3cos()3sen(|)3()3sec(|ln1)( 21 tctctttgtty ++++-= 6.2.7.4.4) tetyyy 22'" 44 --=++ Sol.: |]|ln[)( 21

2 ttccety t -+= -

6.2.7.4.5) )2

sec(2"4t

yy =+

Sol.: )2

sen(.4)2

cos(.|)2

cos(|ln8)2

sen()2

cos()( 21t

tttt

ct

cty +++=

6.3- Reduo de um Sistema de Equaes uma Equao de Ordem n Um modo fcil de integrar o sistema de n equaes diferenciais

)(1

tfxadtdx

ij

n

jij

i += =

para i = 1, 2, 3, ..., n. (1)

consiste em reduzi-lo a uma equao de ordem n. Este mtodo conduz a resoluo do sistema para uma equao diferencial linear de coeficientes constantes. Considere, por exemplo, o sistema de duas equaes abaixo:

++=

++=

)2.1( )(

)1.1( )(

tgdycxdtdy

tfbyaxdtdx

Aqui, a, b, c, d so coeficientes constantes; f(t), g(t) so funes dadas. De (1.1), vemos que

))((1

tfaxdtdx

by --= (2)

Introduzindo y na segunda equao do sistema e dtdy

pela derivada do segundo membro de

(1), obtemos uma equao diferencial de 2a ordem em x(t):

144

0)(2

2

=+++ tPCxdtdx

Bdt

xdA , (3)

onde A, B, C so constantes.

Observao: ),,( 21 CCtxx = e, introduzindo em (1) o valor encontrado de x, assim como dtdx

,

encontramos y. Exemplo 6.3.1:

Resolva o sistema de equaes:

+=

+=

)( 1

)( 1

IIxdtdy

Iydtdx

.

De (I), tira-se

1-=dtdx

y (III)

Derivando (III) e substituindo em (II), resulta em uma equao diferencial linear de a2 ordem com coeficientes constantes:

012

2

=-- xdt

xd, (IV)

cuja soluo geral tem a forma: 1)( 21 -+=

- tt eCeCtx , sendo que de (III), obtm-se para y a seguinte expresso:

1)( 21 --=-tt eCeCty ,

obtendo assim tanto x(t), quanto y(t). Exemplo 6.3.2:

Consideremos a E.D.O. linear de segunda ordem: 2''' -=+ xyxy , para x > 0.

Fazendo a substituio z = y, obtemos a E.D.O. linear de a1 ordem: x.z + z = x 2,

cuja soluo geral (que utiliza o mtodo do fator integrante) :

-+=

-dxe

xCexz

dxxdxx12

1)(1

,

onde um clculo simples nos fornece z (x) = 22

-+x

xC

e portanto,

++-== 12

ln.24

)()( CxCxx

dxxzxy .