1 Equivalência Lógica e Preposições
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AULÃO BRASILIA – RACIOCÍNIO LÓGICO PROF: RONILTON LOYOLA Teoria T Equivalência Lógica 1. Conceito de Equivalência de Proposições Dadas duas proposições P e Q, dizemos que “P é equivalente a Q” quando P e Q têm tabelas-verdade iguais, isto é, quando P e Q têm sempre o mesmo valor lógico: ambas são simultaneamente verdadeiras ou falsas. Quando “P é equivalente a Q”, indicamos por P ⇔ Q. Note que P ⇔ Q quando a bicondicional PQ é verdadeira, isto é, quando não ocorre V F nem F V em nenhuma linha. Obs : Cabe observar que os símbolos e ⇔ são distintos. Quando P Q é uma tautologia, ou seja, quando não ocorre V F nem F V em nenhuma linha, passamos a escrever P ⇔ Q. Exemplos: a) Mostre que as proposições P Q e ¬P v Q são equivalentes, isto é, (P Q) ⇔ (¬P v Q). Devemos mostrar que as proposições P Q e ¬P v Q são simultaneamente verdadeiras ou falsas, o que equivale a dizer que a bicondicional (P Q) (¬P v Q) é uma tautologia, nunca ocorrendo V F nem F V em nenhuma linha da tabela. Veja a tabela-verdade: P Q ¬P P Q ¬P v Q (P Q) (¬P v Q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V Repare que, na 4ª e na 5ª colunas da tabela, as proposições P Q e ¬P v Q são simultaneamente verdadeiras ou falsas. Então, (P Q) (¬P v Q) é uma tautologia, o que acarreta a equivalência (P Q) ⇔ (¬P v Q). b) Mostre, através de uma tabela-verdade, a seguinte equivalência (P Q) ⇔ (¬Q ¬P). Devemos mostrar que a bicondicional (P Q) (¬Q ¬P) é uma tautologia. Veja: P Q ¬P ¬Q P Q ¬Q ¬P (P Q) (¬Q ¬P) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Repare, na 5ª e 6ª colunas da tabela, que as proposições (P Q) e (¬Q ¬P) tem valores lógicos iguais, ou seja, são simultaneamente verdadeiras ou falsas. Então, (P Q) (¬Q ¬P) é uma tautologia, o que acarreta a equivalência (P Q) ⇔ (¬Q ¬P). www.concursovirtual.com.br www.concursovirtual.com.br
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TeoriaTEquivalnciaLgica 1. Conceito de Equivalncia de Proposies Dadas duas proposies P e Q, dizemos que P equivalente a Q quando P e Q tm tabelas-verdade iguais, isto , quando P e Q tm sempre o mesmo valor lgico: ambas so simultaneamente verdadeiras ou falsas. Quando P equivalente a Q, indicamos por P Q. Note que P Q quando a bicondicional PQ verdadeira, isto , quando no ocorre V F nem FV em nenhuma linha. Obs: Cabe observar que os smbolos e so distintos. Quando P Q uma tautologia, ou seja, quando no ocorre V F nem F V em nenhuma linha, passamos a escrever P Q. Exemplos: a) Mostre que as proposies P Q e P v Q so equivalentes, isto , (P Q) (P v Q). Devemos mostrar que as proposies P Q e P v Q so simultaneamente verdadeiras ou falsas, o que equivale a dizer que a bicondicional (P Q) (P v Q) uma tautologia, nunca ocorrendo V F nem F V em nenhuma linha da tabela. Veja a tabela-verdade: P Q P P Q P v Q (P Q) (P v Q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V Repare que, na 4 e na 5 colunas da tabela, as proposies P Q e P v Q so simultaneamente verdadeiras ou falsas. Ento, (P Q) (P v Q) uma tautologia, o que acarreta a equivalncia (P Q) (P v Q). b) Mostre, atravs de uma tabela-verdade, a seguinte equivalncia (P Q) (Q P). Devemos mostrar que a bicondicional (P Q) (Q P) uma tautologia. Veja: P Q P Q P Q Q P (P Q) (Q P) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Repare, na 5 e 6 colunas da tabela, que as proposies (P Q) e (Q P) tem valores lgicos iguais, ou seja, so simultaneamente verdadeiras ou falsas. Ento, (P Q) (Q P) uma tautologia, o que acarreta a equivalncia (P Q) (Q P).
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2. Equivalncias Notveis Neste item apresentamos algumas equivalncias que so muito comuns em provas. Todas elas podem ser demonstradas atravs de uma tabela-verdade. Dentro dessas equivalncias, mostramos como a negao de uma conjuno, de uma disjuno e de uma condicional. 1) Contrapositiva da Condicional: (PQ) (QP) A demonstrao dessa equivalncia foi feita no item anterior. Exemplo: - Sejam as proposies: P: Hoje segunda-feira. Q: Amanh carnaval. P: Hoje no segunda-feira. Q: Amanh no carnaval. P Q: Se hoje segunda-feira, ento amanh carnaval. Q P: Se amanh no carnaval, ento hoje no segunda-feira. Como temos a equivalncia (PQ) (Q P),podemos afirmar que dizer Se hoje segunda-feira, ento amanh carnaval equivalente a dizer Se amanh no carnaval, ento hoje no segunda-feira. 2) Reescrita da Condicional: (PQ)(P v Q) A demonstrao dessa equivalncia foi feita no item anterior. Exemplo: - Sejam as proposies: P: Marcos dentista. P: Marcos no dentista. Q: Joo professor. P Q: Se Marcos dentista, ento Joo professor. P v Q: Marcos no dentista ou Joo professor. Como temos a equivalncia (PQ)(P v Q), podemos afirmar que dizer Se Marcos dentista, ento Joo professor equivalente a dizer Marcos no dentista ou Joo professor. 3) Negao da Conjuno: (PQ)(PvQ) P Q P Q PQ (PQ ) (PvQ) ( PQ ) (PvQ)
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V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V Veja que na ltima coluna da bicondicional ( P Q ) (PvQ) s temos o valor verdadeiro (V). Ento, temos a seguinte equivalncia, chamada de negao da conjuno: (PQ)(PvQ). Exemplo: - Qual a negao da proposio Marcos fala ingls e Joo fala francs ? Queremos negar a conjuno P: Marcos fala ingls e Q: Joo fala francs. Segundo a equivalncia (P Q) (PvQ), a negao da conjuno dada P: Marcos no fala ingls ou Q: Joo no fala francs. Obs.: A negao da conjuno tambm pode ser dada por P Q, ou seja: (PQ)( P Q) 4) Negao da Disjuno:(P v Q)(PQ) P Q P Q P v Q (P v Q)PQ (P v Q)(PQ) V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V Como a bicondicional (P v Q)(PQ) uma tautologia, ento temos a seguinte equivalncia, chamada de negao da disjuno: (P v Q)(PQ). Exemplo: - Qual a negao de Pedro vai ao cinema ou Maria feliz ? Queremos negar a disjuno P: Pedro vai ao cinema ou Q: Maria feliz. Segundo a equivalncia (P v Q) (PQ), a negao da disjuno dada P: Pedro no vai ao cinema e Q: Maria no feliz. 5) Negao da Condicional: (P Q)(PQ) P Q Q P Q (P Q) PQ (P Q)(PQ)
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V V F V F F V V F V F V V V F V F V F F V F F V V F F V Como a bicondicional (P Q) (P Q) uma tautologia, ento vale a seguinte equivalncia, chamada de negao da condicional: (P Q )(PQ). Obs: Poderamos demonstrar a equivalncia (P Q ) (P Q) sem utilizar a tabela-verdade. Vimos que a condicional pode ser reescrita na forma de disjuno, isto , (PQ) (P v Q). Ento, negar a condicional PQ o mesmo que negar a disjuno P v Q. Da, temos: (P Q ) P v Q) P) Q PQ. Exemplo: - Qual a negao de Se o Flamengo disputar o campeonato, ento ele ser o campeo ? Queremos negar a condicional P: Se o Flamengo disputar o campeonato ento Q: O Flamengo ser o campeo. Segundo a equivalncia (P Q ) (P Q), a negao da condicional dada P:O Flamengo vai disputar o campeonato e Q: O Flamengo no ser o campeo.
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