1 Fenômenos de Transporte INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO.
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1
Fenômenos de Transporte
INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO
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2
Fenômenos de Transporte
1. Velocidade do fluido
Em primeiro lugar entre as propriedades de um escoamento, está velocidade que variando numa região do espaço define um campo de velocidades. De maneira geral, determinar o campo de velocidades de um escoamento significa resolver o problema de escoamento.Na descrição da velocidade de um fluido pode-se pensar em uma pequena massa de fluido que ocupa um pequeno volume V que se move com o escoamento.
Assim é possível descrever o movimento das partículas focalizado o movimento das partículas individuais e estudar como a sua posição varia com o tempo.
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3
tzyxatzyxvtzyxs ,,,;,,,;,,, 000000000
1.Velocidade do fluido
tzyxinicialponto ,,, 000
Descrição Lagrangeana (Joseph L. langrange – 1736 -1813):
Fenômenos de Transporte
É possível também descrever o movimento das partículas acompanhando como varia a velocidade em uma determinada região do espaço.
tzyxv ,,, zyxv ,,ou Se a velocidade não depende do tempo
A região onde varia a velocidade varia é o campo de velocidades
Campos de escoamento: região do espaço de interesse do escoamento e na qual uma determinada propriedade está sendo considerada.
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4
Em alguns livros, por tradição, usa-se de u, v e w em substituição a vx, vy e vz, se dá por motivos históricos.
kji tzyxvtzyxvtzyxvtzyxv zyx ,,,,,,,,,,,,
Descrição Euleriana – Ref. Euleriano ( Leonhard Euler 1707 –1783)
1. Velocidade do fluido
Fenômenos de Transporte
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5
1. Velocidade do fluido
kjiv wvu
kji2v zxtx
j80i60v ,,
Exercício 1
a) u?;v?;w=? V(0,0); v(1,-2);
j2iv 2yyx .b) u?;v?;w=? V(0,0); v(1,-2);
c) u?;v?;w=? V(0,0,0,t=0s); v(1,-2,1,t=2s);
kjiv tzyxwtzyxvtzyxutzyx ,,,,,,,,,,,,
Fenômenos de Transporte
d)
jiv y8,05,18,05,0
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6
2.Tipos de escoamento em função da velocidadeUnidimensional
Fenômenos de Transporte
Bidimensional
Tridimensional
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7
2.2. Regime transiente (não estacionário ).
2.1. Regime permanente ( estado estacionário)
irvtzyxv x,,,
itrutzyxv ,,,,
Fenômenos de Transporte
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8
3.Velocidade do fluido. Linha de Corrente
kjiv wvu
kjiv tzyxwtzyxvtzyxutzyx ,,,,,,,,,,,,
Fenômenos de Transporte
Linhas de corrente.É uma linha imaginaria que define o lugar geométrico da tangentes às velocidades de escoamento.
0SV dx
Produto vetorial (VxdS)= 0
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9
3. Linha de corrente.
Exercício 2. O campo de velocidade para um escoamento é dado pela expressão: v = 2xi-ytj (m/s), com x e y dados em metros e t segundos. Determinar a linha de corrente que passa pelo ponto( 2,-1) quando t = 4s.
0)4(2
0
042 kydxxdy
dydx
yx
kji 042 kydxxdy
042 ydxxdy ydxxdy 42 x
dx
y
dy2
Cxyx
dx
y
dylnln2ln2 2lnln Cxy
2x
Cy 4
21
2 C
C2
4
xy
Fenômenos de Transporte
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10
2
4
xy
u
v
v = 2xi-4yj t =4 s
uv
OBS 1. Linha de corrente
Vz
dz
V
dy
V
dx
yx
3. Linha de corrente.
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11
4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.
Quanto sai de fluido por um tubo de secção A?
smt
VQ3
Depende da velocidade de escoamento e da área da seção transversal do tubo
dAvQdAvdQ **
Velocidade média numa secção
AA
dAvA
vdAvAvQ ***1
Vazão mássica de uma secção
Vazão numa secção
AvQm ...
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12
Exercício 3. Sabendo-se que o perfil de velocidade de água escoando num tubo , calcular a velocidade média do escoamento.
2
1R
rvv max
rdrR
rv
AdAv
Av
AA
2111
2
max.
R
dr
R
r
R
rv
R
RdAv
Rv
AA
211
2
2
2
2 max.
AA
xdxxvxdxxv
v 22 1212
maxmax
4
12
2
1222
1
0
31
0
maxmaxmaxmax vvxdxvxdvv
22
1 maxmaxmax
vvvv
4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.
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Exercício 4. Água flui por com velocidade uniforme de 3 m/s por dentro de um bocal que tem diâmetro de 10 cm. Calcular a vazão volumétrica e mássica na saída desse bocal .
4. Velocidade, velocidade média e vazão de um fluido.
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5. Escoamento laminar e turbulento
laminar
turbulento
mantém-se linhas de corrente;não existe passagem de partíclas de uma camada para outra.
O movimento das partículas ocorre de forma irregular e aleatório, ocorre mistura de partículas no fluido.
Fenômenos de Transporte
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15
No. de Reynolds ( Osborne Reynolds – 1842-1912)
Placa: V e lTubos: Vmédia> e D
Esferas: Vb e D
Re crítico = Rec
Laminar Re < Rec Turbulento Re > Rec
Tubos rugosos Rec= 2100
Placa plana rugosos Rec = 500 000
Esferas rugosos Rec= 0,1
Fenômenos de Transporte
LVLV ...
Re
5. Escoamento laminar e turbulento
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16
Exercício 5
Água ; duto D = 1 in . Qual vmax para haver regime laminar?
Fenômenos de Transporte
Água ; duto D = 1 in . Se v mdia for 2,5 m/s qual o regime de escoamento?
5. Escoamento laminar e turbulento
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17
6. Aceleração convectiva, local e material
dt
va
d
kjiv wvu kjiv ),,,(),,,(),,,(),,,( tzyxwtzyxvtzyxutzyxv
dtt
dzz
dyy
dxx
zyxd
vvvv
v ,,
dt
dt
tdt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xdt
zyxda
vvvvv ,,
t
wz
vy
uxdt
D
dt
zyxda
vvvvvv ,,
tw
zv
yu
xdt
D
Derivada substancial ou material (derivada de uma prop. do sistema)
Aceleração convectiva
Aceleração local
Fenômenos de Transporte
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18
t
wvuw
z
wvuv
y
wvuu
x
wvu
dt
zyxd
kjikjikjikjiva
....,,
t
wvuw
z
wvuv
y
wvuu
x
wvu
kjikjikjikjia
....
kjikkkjjjiiit
w
t
v
t
uw
z
wv
y
wu
x
ww
z
wv
y
vu
x
vw
z
uv
y
uu
x
ua
iiiiit
uw
z
uv
y
uu
x
uax
t
uw
z
uv
y
uu
x
uax
jjjjjt
vw
z
wv
y
vu
x
vay
t
vw
z
wv
y
vu
x
vay
kkkkkt
ww
z
wv
y
wu
x
waz
t
ww
z
wv
y
wu
x
waz
6. Aceleração convectiva, local e material
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19
z
u
y
u
xz
u
y
u
x
kji,, zw
yv
xu
z
u
y
u
x
,,.v
z
wy
vx
uz
u
y
u
x
vvv
vv ,,.
t
wz
vy
uxdt
zyxd
vvvvv
a,,
tdt
zyxd
v
vvv
a .,,
tDt
D
tDt
D
.. vv
vvv
a
6. Aceleração convectiva, local e material
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20
Exercício 6:
kji2v zxtx
j80i60v ,, a)
j2iv 2yyx .
b)
c)
a(0,0,0); a(1,-2,1)
a(0,0,0); a(1,-2,1)
a(0,0,0); a(1,-2,1)
a(0,0,0,t=0s); a(1,-2,1,t=2s) d)
i10v y,
Fenômenos de Transporte
6. Aceleração
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21
t
uw
z
uv
y
uu
x
uax
iiii
2666617
020
726478i
s
mu
x
uu
x
uax
,,
,,
em C
Fenômenos de Transporte
6. Aceleração
Exercício 7:
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22
7. Tipos de movimento de um fluido
Translação
Vetor Taxa de translação
kjiv wvu
y
u
x
v
y
u
dy
dy
y
uu
dy
y
uu
dy
vvx
v
dx
dx
x
vv
dx
x
vv
dx
vv
z
CD
CDCD
AB
ABAB
CDABz
2
1
2.
2.
2.
2.
2Rotação
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24
x
w
z
uz
u
dz
dz
z
uu
dz
z
uu
dx
vvx
w
dx
dx
x
ww
dx
x
ww
dx
vv
y
EF
EFEF
AB
ABAB
EFABy
2
1
2.
2.
2.
2.
2
Rotação
7. Tipos de movimento de um fluido
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x
w
z
uz
u
dz
dz
z
uu
dz
z
uu
dx
vvx
w
dx
dx
x
ww
dx
x
ww
dx
vv
y
EF
EFEF
AB
ABAB
EFABx
2
1
2.
2.
2.
2.
2Rotação
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7. Tipos de movimento de um fluido
Vetor Taxa de rotação
Vetor vorticidade
Vetor vorticidade escoamento bidimensional
kjiωy
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
2
1
kji
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
kζ
y
u
x
v
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27
Deformação linear
x
wx
vx
u
dx
dxxu
udx
xu
u
dx
vv
zz
yy
xx
ABxx
2.
2.
Taxa de deformação linear
Vetor taxa de deformação volumétrica
z
w
y
v
x
uzzyyxx
ε
7. Tipos de movimento de um fluido
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28
Deformação por cisalhamento
Fenômenos de Transporte
y
u
x
v
dt
dy
dtdyyu
dx
dtdxxv
xy
CDABxy
2
1
....
2
1
2
1
7. Tipos de movimento de um fluido
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29
Fenômenos de Transporte
z
u
x
w
dt
dz
dtdzzu
dx
dtdxxw
xz
CDABxy
2
1
....
2
1
Deformação por cisalhamento
7. Tipos de movimento de um fluido
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30
Fenômenos de Transporte
z
v
y
w
dt
dz
dtdzzv
dy
dtdyyw
zy
CDABxy
2
1
....
2
1
7. Tipos de movimento de um fluido
Deformação por cisalhamento
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31
Tensor das taxas de deformação
Fenômenos de Transporte
y
x
z
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
7. Tipos de movimento de um fluido
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
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Tensor das tensões
zzyzxy
zyyyxy
zxyxxx
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33
Força de pressão em um elemento fluido
Pressão não causa nenhuma força líquida sobre um elemento fluido a menos que varie espacialmente.
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
x
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34
Sendo f a força líquida por elemento de volume:
tzyxpp ,,,
zyx
yzpyzp xaxax
...
y
p
y
p
x
p
dV
d pressão kjiF
ppressão f
0 yzpyzpF xaxaxX ...
O gradiente de pressão representa uma força de superfície que atua sobre os lados do elemento.
x
p
x
pp
dV
Fxaxax
x
x
pressão
0lim
Fenômenos de Transporte
Força de pressão em um elemento fluido
8. Equação do movimento para fluidos.
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35
Pode haver uma força de campo agindo sobre toda a massa do elemento. A força da gravidade não pode ser desconsiderada.
gdVmgd grav F
γgF
f dV
d gravgrav
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
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36
Forças viscosas. Em geral, deve haver uma força de superfície devido ao gradiente de tensões viscosas. Pode ser demonstrado que
dxdyddxdzddzdyd
dxdyddxdzddzdyd
dxdyddxdzddzdydd
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxxVISC
τττ
τττ
τττF
..
..
..
.
..
dz
d
dy
d
dx
d
dz
ddxdz
dy
ddzdy
dx
d
dz
d
dy
d
dx
d
dV
dF
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxxFVVISC
τττ
τττ
τττf
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
![Page 37: 1 Fenômenos de Transporte INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO.](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022061615/552fc10a497959413d8c0c02/html5/thumbnails/37.jpg)
37
O vetor resultante das forças de pressão, da gravidade e das forças viscosas causa um movimento com aceleração a.
Reescrevendo esta equação, tem-se:
Da segunda lei de Newton:
gfa pfff VISCgravpressão
agp
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
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38
A. Fluido em repouso ou com velocidade constante (condição hidrostática) v=cte a=0.
Termos aceleração e viscosos são nulos.
A pressão depende apenas da gravidade e da massa específica.
B. Translação de corpo rígido( não há movimento relativo).
Termos viscosos nulos.
A pressão depende apenas da aceleração, da aceleração da gravidade, e da massa específica.
agpExaminando esta equação, pode-se destacar alguns casos especiais:
gp
ag p
Fenômenos de Transporte
8. Equação do movimento para fluidos.
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39
C. Escoamento não viscoso. Termos viscosos nulos.
A pressão depende apenas da aceleração, da aceleração da gravidade, e da massa específica.
agp0
ag p
Fenômenos de Transporte
Escoamento viscoso e não viscoso
Não-viscoso: quando em relação a outros fatores , os efeitos dissipativos não são importantes.
8. Equação do movimento para fluidos.
![Page 40: 1 Fenômenos de Transporte INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO.](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022061615/552fc10a497959413d8c0c02/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Foi enunciada em 1738 por Daniel Bernoulli e deduzida em 1755 por Euler.
Para um escoamento permanente, não-viscoso, incompressível ao longo de uma linha de corrente, tem-se:
8. A equação de Bernoulli
teconszg
V
g
pz
g
V
g
ptan 2
222
1
211
22
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41
Balanço de forças atuando no elemento de fluido ap longo de uma linha de corrente
a
cosgs
p
s
h
cos s
vt
vsDt
sDV
vvv
a
s
VV
s
hg
s
p
0
2
2
ghV
ps
cteghV
p 2
2
ctehg
V
g
p
2
2
agag pp
8. A equação de Bernoulli
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42
8. A equação de Bernoulli
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43
8. A equação de Bernoulli
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44
A lista completa de hipóteses que conduz à obtenção da equação de Bernoulli a partir da equação da energia é:• regime permanente; • escoamento incompressível;• escoamento sem atrito; • escoamento ao longo de uma linha de corrente; • ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2; • ausência de troca de calor entre 1 e 2.
Esta é a lista completa de hipóteses a ser considerada na aplicação da equação de Bernoulli. Logo: cuidado com a aplicação da equação de Bernoulli !!!
8. A equação de Bernoulli
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45
Exemplos de regiões de validade e não validade da equação de Bernoulli.
8. A equação de Bernoulli
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46
Exemplos de regiões de validade e não validade da equação de Bernoulli.
8. A equação de Bernoulli
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47
zg
p
Carga piezométrica
Carga total zg
V
g
p
2
2
p = pressão estática
P
VV
pp
2
2
2
12
zg
ppp estT
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
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48
Linhas piezométrica e de energia para o escoamento sem atrito em um duto
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
![Page 49: 1 Fenômenos de Transporte INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO.](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022061615/552fc10a497959413d8c0c02/html5/thumbnails/49.jpg)
49
p1
p2
Exercício 8. Em uma tempestade a velocidade do vento atinge 65 mph. Calcular a forca do vento agindo sobre uma janela de 3ft x6ft de frente para a tormenta. A janela está localizada num a ponto em que a velocidade do vento não é afetada pelo solo, admitir = 0,0024 lug/ft3.
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
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50
Exercício 9. A carga de pressão estática em uma tubulação de ar é medida e indica 16 mm H2O. Um tubo de pitot indica na mesma posição 24 mm H2O. Calcular a velocidade ar a 20 0C.Hg.
8. A equação de Bernoulli. Tubo de Pitot
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51
Perda de carga
Trans
cilindroSk
APPF
VAfF
*
** _
21
2
2
2
2
12
VAfAPP cilindroSTrans *** _
2
2
21
V
A
AfPP
Trans
cilindroS ** _
2
42
2
2
2
2
2
2 2222
221
V
D
Lf
VDL
fV
R
Lf
V
R
RLfPP
*..******
*
2
122V
PP
L
DfMoody
* fM = fator de atrito de Moody
(adimensinal)
g
V
D
Lf
PPhL 2
42
12 ***
4*fF= fM
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Perda de carga Perda de carga-fator de atrito (Diagrama de Moody)
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Referências Bibliográficas:
[01] WHITE, FRANK M.; Mecânica dos Fluidos - 4a Edição; McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda.
[02] - POTTER, M.C. e WIGGERT, D. C. Mecânica dos fluidos.
Thomson Pioneira. 2004.