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Introdução ao curso de Matemática

Simbólica no MatLab

Prof. Marcelo Sousa NevesMestre em Engenharia Elétrica

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Symbolic Math Toolbox O Toolbox de Matemática Simbólica

disponibiliza uma coleção de diversas funções do MATLAB utilizadas para calcular operações básicas, tais como: derivadas, limites, integrais, expansão da serie de Taylor, e outras operações. A manipulação simbólica no MATLAB pode ser vista como uma evolução do modo como você utiliza o MATLAB para processar números.

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Symbolic Math Toolbox

A grande vantagem de se utilizar tal processo é que podemos obter resultados mais exatos, eliminando-se assim a imprecisão introduzida pelos valores numéricos. Podemos resolver derivadas, integrais, equações diferenciais e algébricas utilizando-se esta poderosa ferramenta.

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Symbolic Math ToolboxEXPRESSÕES SIMBÓLICAS

Deve-se entender por Expressão simbólica as expressões que contêm objetos simbólicos que podem representar números, funções e operações e variáveis.

Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um valor numérico. Esta variável simbólica representa apenas um símbolo de uma expressão simbólica.

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EXPRESSÕES SIMBÓLICAS

Exemplos: 3x )5( 4xdxdz

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O MATLAB disponibiliza várias funções que trabalham com funções polinomiais e que podem ser utilizadas para representar funções polinomiais. Dentre elas, encontram-se as seguintes funções:

collectexpand factorsimplifysimple

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Symbolic Math Toolboxcollect

Organiza os coeficientes

Sintaxe

collect( f )

mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x. Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.

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Symbolic Math Toolboxcollect(f)

1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial>> clear % Limpa a Janela de Comandos>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)>> collect(y); % Organiza os coeficientes>> pretty(ans) % Exibe o resultado

x3 + 3x2 + 3x + 1

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Faça você!!!

Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma polinomial.

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collect( f, nome da variável simbólica)

A função collect neste caso aceita um segundo argumento que especifica que variável simbólica deve ser utilizada para organizar o polinômio.

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Symbolic Math Toolboxcollect(f, nome da variável simbólica)

2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial.

>> x = sym('x'); % Define a variável simbólica x>> z = sym(‘z’); % Define a variável simbólica z>> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z)>> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x>> pretty(ans) % Exibe o resultado

x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z

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Faça você!!!

Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2na forma polinomial, em termos de z.

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Symbolic Math Toolbox expand

realiza a distribuição de produtos para polinômios e aplica outras identidades que envolvem funções de somas, identidades trigonométricas, exponenciais e logaritmos.

Sintaxe

expand( f )

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Symbolic Math Toolboxexpand(f)

3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial>> clear % Limpa a Janela de Comandos>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)>> expand(y); % Realiza o produto polinomial>> pretty(ans) % Exibe o resultado

x3 + 3x2 + 3x + 1

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expand X collect

Além de representar funções polinomiais a função é bastante útil na manipulação de expressões simbólicas trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras funções. Esta é uma das características marcantes que diferenciam a função expand da collect. A função expand é bem mais robusta, porque trabalha com muitos tipos de funções, enquanto a função collect é restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer que a função expand é uma evolução da função collect, agregando-se novas funcionalidades.

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Symbolic Math Toolboxexpand

4) Obtenha a forma expandida da função trigonométrica cos(x + y).

x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.y = sym(‘y’); % Cria a variável simbólica y.expand(cos(x+y)) % Realiza a operação ans = % Variável padrão do matlabcos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado

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Faça você!!!

Obtenha a forma expandida da função exponencial exp(x + y).

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Symbolic Math ToolboxFactor

Fatoração

Sintaxe

factor(X)

Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio. Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão simbólica. Ou um array simbólico contendo vários expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a função factor retorna um array com as expressões simbólicas correspondentes.

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Uso da Função factor

Calcular os fatores primos de um número inteiro.

Obter a forma polinomial fatorada.Simplificar expressões simbólicas.

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Symbolic Math ToolboxFactor(x)

5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.

>> factor(15)ans = 3 5

>> factor(50)ans = 2 5 5

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Symbolic Math ToolboxFactor(x)

5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890

>> factor(sym('12345678901234567890')) ans = (2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)

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6) Obtenha a forma fatorada da equação y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1

>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. >> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x)>> factor(y); % Fatoração>> pretty(ans) % Exibe o resultado (x + 1)^3

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Faça você!!!

Obtenha a forma fatorada da equação y = x^2 + 3*x + 2

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Symbolic Math ToolboxSimplify

Simplificação simbólica.

Sintaxe: R = simplify(S)

A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em geral aplica várias identidades algébricas que envolvem somas, potência inteira, raízes quadradas e potência fracionária, como também vários identidades que envolvem funções trigonométricas, exponencial e funções de Bessel, função gama, etc.

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7) Simplifique a seguinte expressão:

>> x = sym('x'); % Cria a variável simbólica x. >> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x)>> simplify(y); % Simplificação simbólica>> pretty(ans) % Exibe o resultado x^2 - 2x + 4 ------------------- x^3 - 2x^2 + 4x - 8

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4

3

xxy

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Faça você!!!

Simplifique a seguinte expressão:

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3

xxy

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8) Simplifique a seguinte expressão

>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. >> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x)>> simplify(y); % Simplificação simbólica>> pretty(ans) % Exibe o resultado 1

)(sin)(cos 22 xxy

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9) Simplifique a seguinte expressão:

>> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas x e y, ambas positivas.

>> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica>> pretty(ans) % Exibe o resultado log(x) + log(y)

)*log( yx

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Symbolic Math ToolboxSimple

Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.

Sintaxe:

r = simple( S )[r,how] = simple( S )

A função simple(S) tenta várias simplificações algébricas diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o resultado indica a representação mais curta da matriz inteira que necessariamente não é a representação mais curta de cada elemento individual.

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10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2) >> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x. >> simple((x+1)(x+2)) % Simplificaçãoans = x^2+3*x+2

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Faça você!!!

Simplifique a expressão

)(sin)(cos2 22 xxy

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Symbolic Math Toolboxpretty

Esta função imprime uma expressão simbólica.

Pretty(expressão simbólica).

A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se com matemática simbólica é que a exibição da expressão simbólica é a mais clara possível.

Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica mostrada na tela.

Créditos

Notas de aulas do prof. Josenildo F. Galdino, 2007 – UFCG.

www.mathworks.com

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http://www.mathworks.com/

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