GUIA DO PROFESSOR

- MARÉS, ONDAS, MATEMÁTICA –

- COLÉGIO MÓBILE -

1 – Introdução: Um contexto significativo: ondas e marés

Partimos do princípio de que há uma série de grandes temas sobre os quais

podemos identificar aplicações de conteúdos matemáticos. Esses temas formam o

contexto de trabalho onde serão desenvolvidos tais conteúdos. O contexto nesse

caso, considerado significativo, permite que diferentes significados conceituais

sejam aproximados uns dos outros de maneira que possam ser visualizados

caminhos para a condução do trabalho sobre a malha conceitual.

A escolha de um contexto de trabalho passa pela avaliação quanto à

pertinência do tema em relação a dois aspectos principais, que denominaremos

aqui de significatividade social e significativade conceitual. Vamos detalhar como

entendemos cada um desses aspectos.

A significatividade social diz repeito à possibilidade de que as idéias

englobadas pelo tema estejam incorporadas, de alguma forma, às práticas sociais

dos sujeitos. Um determinado tema pode estar próximo da vivência de

determinado grupo, de determinada região geográfica, e, dessa forma, revestir-se

de significatividade, e, ao mesmo tempo, não evidenciar qualquer proximidade

com outros grupos sociais. Assim, na escolha do tema, para que ele possua

significatividade social, torna-se importante refletir sobre as proto-relações

estabelecidas entre a cultura do grupo e as idéias, os objetos, os conceitos, que

podem ser ligados ao tema. Visto dessa forma, quanto maior for a universalidade

do tema, maior também será sua significatividade.

Denominamos significatividade conceitual à propriedade que um tema pode

possuir de agregar a maior quantidade possível de conteúdos matemáticos. O

trabalho escolar deve, por princípio, transcorrer com base no desenvolvimento de

conteúdos. Para construir seu conhecimento matemático, no nível que for, um

aluno necessita dominar conteúdos. Sendo assim, parece fundamental que o

contexto de trabalho, no qual será desenhado um caminho conceitual, um

percurso temático, permita que nele sejam detectadas aplicações, de toda

natureza, de inúmeros conteúdos matemáticos.

A escolha pelo tema Ondas e Marés, que fundamenta a produção e a

aplicação do Objeto Virtual de Aprendizagem, passou pela avaliação de que esse

tema é significativo tanto socialmente quanto conceitualmente. Devemos apontar

os motivos dessa conclusão.

Julgamos ser possível afirmar que não há ser humano capaz de ficar

indiferente à observação do mar. Se para uns, o mar é motivo de inspiração para a

realização de passeios imaginários, para poesias, contos, telas, e todo tipo de

manifistação artística, evidenciando a admiração pela beleza do ambiente

marinho, para outros, o mar é mais do que isso: é a fonte no qual buscam

elementos para sua subsistência. Existe também quem sinta medo do mar, de

seus mistérios, da fúria que às vezes o acompanha. Medo, nesses casos, não

está, de forma alguma, relacionado à indiferença.

Vários fenômenos observados no ambiente marinho podem ser, e de fato o

são, analisados com base em modelos matemáticos. Podemos enunciar, dentre

outros, a formação e a propagação de ondas, as correntes marinhas, a dispersão

de poluentes em emissários submarinos, e o subir e descer das marés. Na análise

desses casos deparamos com vários tipos de funções – lineares, polinomiais,

trigonométricas etc. Assim, escolhemos o mar e as marés como contexto de

trabalho por avaliarmos que ele é significativo sob os dois aspectos apontados

anteriormente, social e conceitual.

2. Objetivos de Aprendizagem

São estes os principais objetivos previstos para a aplicação do objeto de

aprendizagem Marés, Ondas, Matemática:

1. Identificar a existência e as características de alguns fenômenos naturais

periódicos.

2. Reconhecer as principais características da geração e propagação de ondas:

freqüência, período, amplitude e velocidade.

3. Avaliar a possibilidade de que fenômenos naturais periódicos venham a ser

modelados por funções trigonométricas.

4. Analisar as causas e associar o movimento de subida e descida da maré em

determinado lugar à posição relativa entre Sol, Lua e Terra

3. Pré-requisitos É esperado que os alunos dominem a construção e a interpretação de

gráficos cartesianos.

4. Duração da atividade Para a aplicação do Objeto, propriamente dito, é previsto um tempo de duas

aulas de 50 minutos. No entanto, toda a atividade de estudo dos conceitos

envolvidos no Objeto exigirá dos alunos o envolvimento com outras rotinas de

trabalho, virtuais ou não, conforme será descrito na seqüência deste guia.

A necessidade de outras rotinas de trabalho justifica-se devido à extensão e

importância do corpo de conteúdos envolvidos no Objeto, que envolve,

principalmente, o estudo das funções trigonométricas seno e cosseno, as

características da propagação das ondas e as causas da formação das marés.

5. Possível seqüência de aplicação do Objeto

Sugerimos que o Objeto Virtual componha um percurso temático com várias

atividades, conforme relataremos em seguida. Nesse processo, os conteúdos

matemáticos envolvidos serão:

1. Circunferência trigonométrica

2. Senos e cossenos na circunferência trigonométrica

3. Função seno e função cosseno – gráficos

4. Equações e inequações trigonométricas com seno e cosseno

As atividades que comporão o percurso, além do Objeto de Aprendizagem,

são:

:

• Atividade 1

o Todo dia ela faz tudo sempre igual

• Atividade 2

o As sombras longas

• Atividade 3

o Usando o software Grafhmática

• Atividade 4

o Modelando o subir e descer das marés

• Atividade 5

o Interagindo com o Objeto Virtual de Aprendizagem

Apresentamos a seguir o detalhamento dessas atividades, acrescidas de

algum comentário.

Atividade 1 – O desenvolvimento das atividades em sala de aula parte da

caracterização da periodicidade de determinados fenômenos

naturais. Assim, vamos convidar os alunos a refletirem sobre o

movimento relativo entre Terra e Sol e a formação de sombras, a

partir de narrativas, na situação descrita no texto seguinte.

Todo dia ela faz tudo sempre igual (Chico Buarque)

Você já parou para pensar em quantas coisas faz hoje que são parecidas às que fez

ontem, e anteontem, e que não serão diferentes das que fará amanhã ou depois de amanhã?

São muitas, não são? Nesse aspecto somos semelhantes à natureza.

Todo dia o sol nasce e depois se põe; todo mês a Lua fica cheia, mingua e depois cresce

novamente; todo ano temos o verão, outono, inverno e, por fim, a primavera. Em Belém, no

Pará, chove quase todo dia; no sertão, quase nunca. A maré enche e esvazia duas vezes por dia

em toda praia de mar do Brasil e do mundo. Como se vê, há muitos fenômenos naturais que se

repetem quase sempre nas mesmas condições. São fenômenos periódicos.

Faz bastante tempo que os homens começaram a entender a periodicidade da natureza

e a criar instrumentos para acompanhá-la. Assim surgiram os primeiros calendários. No começo

uma simples estaca enfiada no chão ajudava a perceber a regularidade do movimento aparente

do Sol.

O comprimento da sombra projetada no chão pela estaca varia de acordo com a

inclinação do movimento aparente do Sol. No verão, o Sol passa mais “a pino”, enquanto no

inverno passa “mais baixo”. Assim, o comprimento da sombra é menor no verão e maior no

inverno.

Se acompanharmos a variação do comprimento da sombra da estaca durante um ano, e

sempre no mesmo horário, começando pelo inicio do verão, veremos que ele vai de um valor

mínimo a um valor máximo, e depois retorna ao mínimo inicial.

Essa “monotonia” do movimento relativo Terra-Sol foi, talvez, a primeira periodicidade

percebida pelo homem. Hoje, percebemos muitas outras, e as estudamos. A Matemática é uma

das ciências que nos ajuda a compreender a periodicidade dos fenômenos naturais.

Como podemos mostrar a variação do tamanho da sombra de uma estaca? Uma das

possibilidades é desenhar um gráfico. Discuta com seus colegas como produzir esse gráfico,

use sua imaginação para projetar o tempo passando rapidamente, e desenhe esse gráfico para

um intervalo de tempo de dois anos.

Atividade 2 – Dando continuidade à atividade 1, os alunos poderão agora refletir

sobre outra situação envolvendo o movimento relativo Terra-Sol,

descrita no texto seguinte.

As sombras longas

O movimento aparente do Sol, como sabemos é periódico. Todo dia ele surge no

horizonte, a Leste, e desloca-se até o horizonte do outro extremo, a Oeste.

Devido à inclinação do eixo de rotação da Terra, de cerca de 23°, o Sol não é visto à

mesma altura no céu de qualquer lugar. Perto da linha do Equador o Sol passa mais “à pino”,

enquanto nas regiões próximo dos pólos o Sol passa bem perto da linha do horizonte.

Imagine a sombra de uma pessoa projetada no chão e imagine a alteração no

comprimento dessa sombra dependendo da região do planeta em que essa pessoa estiver.

Estando na linha do Equador, a sombra dessa pessoa, ao meio dia, terá comprimento quase nulo.

Por outro lado, se a pessoa estiver perto do pólo Norte, terá, não apenas ao meio dia, uma

sombra de grande comprimento, uma sombra longa.

Os desenhos (I), (II) e (III) nos dão uma idéia de como a sombra da estaca cresce à

medida que o ângulo de inclinação do Sol diminui. Já o desenho (IV), mostra uma situação

limite, em que o Sol está tão baixo que o comprimento da sombra, de tão grande, é impossível

de ser medido.

( I ) ( II )

( III )

( III )

No dia seguinte, ao nascer do Sol, o comprimento da sombra muda de lado, partindo de

um valor incomensurável e diminuindo com a passagem das horas.

Converse com seus colegas de grupo e resolvam como representar em um gráfico a

variação do comprimento da sombra de um objeto, colocado, por exemplo, em Manaus, em

relação à passagem das horas de um dia.

Atividade 3 – Nesta etapa os alunos interagirão com o software Grapfmática,

desenhando gráficos de funções trigonométricas e sendo

questionados sobre as propriedades e regularidades que

observavam nos gráficos desenhados pelo software. Esta atividade

pode ser composta das 3 fichas de acompanhamento

apresentadas a seguir.

FICHA NÚMERO 1

Gráficos do tipo y = A.senx

1. Desenhe, com o graphmática, em um mesmo sistema de eixos os gráficos:

( I ) y = senx ( II ) y = 2 senx ( III ) y = 3 senx

Pronto? Agora faça no papel um esboço do que o computador desenhou para você.

2. Apague da tela os gráficos ( II ) e ( III ) e desenhe mais dois gráficos:

( IV ) y = 5 senx ( V ) y = - 3 senx

Qual é a alteração produzida no gráfico de y = senx quando multiplicamos toda a função

por um valor constante A?

a) Sem usar o graphmática, desenhe no sistema de eixos seguinte os gráficos:

( VI ) y = 4 senx ( VII ) y = - 2 senx

3. Observando todos os gráficos desenhados até agora, responda:

a) Qual é o domínio de uma função do tipo y = Asenx?

b) Qual é a imagem de uma função do tipo y = Asenx?

c) Qual é o período d e uma função do tipo y = Asenx?

Gráficos do tipo Y = A.cosx

Repita os exercícios 1, 2 e 3 que você fez anteriormente, trocando seno por cosseno. Não se

esqueça de identificar cada gráfico com a equação correspondente.

4. ( igual ao exercício 1)

5. (Igual ao exercício 2)

a)

b)

6. ( Igual ao 3)

a)

b)

c)

7. Os gráficos das funções y = senx e y = cosx têm semelhanças e diferenças. Aponte uma

semelhança e uma diferença

Semelhança: ..........................................................................................

Diferença: ..............................................................................................

FICHA NÚMERO 2

Gráficos do tipo y = Asen(Bx) ou y = Acos(Bx)

8. Usando o graphmática desenhe em um único sistema de eixos os gráficos:

( I ) y = senx ( VIII ) y = sen 2x ( IX ) y = sen4x

Faça um esboço desses 3 gráficos no sistema de eixos seguinte:

9. Você deve ter percebido diferença entre as formas “senoidais” dos 3 gráficos que você

acabou de desenhar. Explique a diferença.

10. Ainda usando o graphmatica desenhe em um único sistema de eixos:

( I ) y = senx ( X ) y = sen2x ( XI ) y = sen

4x

Faça os esboços desses gráficos no sistema de eixos:

11. Ainda no graphmática, desenhe os gráficos e depois faça os esboços:

( XII ) y = cosx ( XIII ) y = cos2x ( XIV) y = cos2x

12. Agora sem o graphmática. Desenhe no sistema de eixos seguinte os gráficos:

( I ) y = senx ( XV ) y = 3 sen4x ( XVI ) y = - 2 sen2x

13. Em funções do tipo y = A.senBx ou do tipo y = A.cosBx, qual é:

a) O domínio? ...................................................................................

b) A imagem? ...................................................................................

c) O período? ..................................................................................

14. Responda:

a) Qual é o domínio da função y = - 4 sen4x? ..............................

b) Qual é a imagem da função y = 5 sen5x

? ...............................

c) Quais são os períodos das funções dos itens a e b aí de cima?

............................. .............................

15. Sem usar o graphmática e faça o esboço do gráfico da função y = 5 sen3x

FICHA NÚMERO 3

Gráficos do tipo y = D + AsenBx 16. Desenho com o Graphmatica e também no papel os gráficos:

( I ) y = senx (XVII) y = 2 + senx ( XVIII) y = -1 + senx

17. Repita o exercício anterior trocando seno por cosseno 18. Qual é o período e qual é a imagem de uma função do tipo y = D + senx ou y = D +

cosx? 19. Sem computador! Faça o esboço de um período do gráfico da função

y = 1 + 2 senx

20. Desenhe na tela do computador e também no papel os gráficos: ( I ) y = senx ( XIX) y = -1 + sen2x 21. O gráfico desenhado a seguir representa uma função do tipo y = AsenBx. Determine a

equação dessa função.

1

-1

3

2π 4π0

Resposta: ..................................

Atividade 4 - Completado e avaliado o trabalho com as fichas da atividade 3, os

alunos poderão agora pesquisar, em algum site de busca, os

valores das tábuas de marés de alguma região da costa brasileira1.

Nessa etapa, escolhida determinada região, os alunos anotarão os

valores das marés altas de dois meses consecutivos, transportarão

os dados para uma planilha eletrônica e desenharão, com a ajuda

de uma planilha eletrônica, como o Excel, por exemplo, os gráficos

relacionando os dias de observação às alturas das marés altas. De

posse dos gráficos, os alunos receberão a incumbência de

determinar a equação que se ajusta aos gráficos. Vale frisar que,

nessa etapa, será necessário realizar algumas simplificações para

que os gráficos possam, de fato, serem associados à funções do

tipo y = Asen(Bx). Apresentamos a seguir o resultado de alguns

desses trabalhos, produzidos por alunos de 2º ano de Ensino

Médio.

1 O site do Instituto Climatempo, www.climatempo.com.br/, apresenta medidas de altura de marés de vários portos brasileiros.

Vale ressaltar que a construção dos gráficos, além de ser

acompanhada pela obtenção das equações das funções, o que se

traduz em uma autêntica vivência de modelagem matemática, deve

ser acompanhada também por uma discussão sobre as causas

das marés e das variações observadas nos gráficos. Dessa forma,

os alunos poderão pesquisar sobre a influência da gravidade da

Lua e do Sol na formação das marés e avaliar a relação entre as

fases da Lua e as cristas e os vales observados na onda de maré

representada nos gráficos.

Atividade 5 – Como última etapa do trabalho os alunos interagirão com o Objeto

de Aprendizagem Marés, Ondas, Matemática

Divididos em duplas, os alunos “navegarão” pelo objeto virtual

contextualizado sobre a propagação de ondas e a periodicidade

das marés. Durante esse processo, tomarão contato com os

seguintes conceitos relativos às ondas:

1. Amplitude

2. Velocidade de propagação

3. Período

4. Freqüência

Variando amplitude e freqüência de ondas geradas pelo sistema,

os alunos poderão perceber, intuitivamente, a relação entre o

comportamento da onda e os valores desses parâmetros.

Será possível, também, comparar o gráfico das funções y = senx e

y = cosx com as ondas geradas pelo sistema.

Poderão ser discutidas as causas principais da produção das

marés: influência da gravidade do Sol e da gravidade da Lua.

Durante esse trabalho de interação com o Objeto Virtual, os alunos

preencherão um roteiro de acompanhamento de atividade que

associa uma ficha de trabalho a cada novo grupo de conceitos que

lhes era apresentado pelo Objeto Virtual. Essas fichas e as

correspondentes telas do Objeto Virtual são apresentadas a seguir.

Telas de Introdução

Tela “Caranguejo”

Nesta simulação, um objeto flutua na superfície da água e, ao sabor das ondas,

sobe e desce em determinada freqüência. O caranguejo abre e fecha sua garra

em uma freqüência ajustada pelo usuário, com o objetivo de pegar o objeto que

flutua.

INTERVENÇÕES – 1 – CARANGUEJO

1. Qual é a freqüência como que o caranguejo abre e fecha sua garra?

2. Qual é a freqüência da onda gerada?

3. Descreva as condições que devem ser obedecidas pelas freqüências da onda e da garra, e

também pela amplitude da onda, para que o caranguejo consiga pegar a pipoca.

4. Qual é o movimento executado pela pipoca devido à passagem da onda?

5. Suponha que o caranguejo pudesse pegar a pipoca com qualquer uma de suas duas garras.

Suponha também que as garras abrem e fecham em freqüências diferentes. Nessas

condições, estipule valores para as freqüências das garras e da onda para que uma das

garras abra e feche 4 vezes sem pegar a pipoca, enquanto a outra garra pegue a pipoca na

3ª vez que fechar.

Tela “Seno na circunferência trigonométrica”

Esta simulação apresenta um ponto girando sobre a circunferência e a

correspondente projeção sobre o eixo vertical. O usuário pode parar o movimento

no ponto que desejar a fim de avaliar o valor do seno do arco fixado.

INTERVENÇÕES – 2 – SENO NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

1. Complete as tabelas com os valores do seno dos arcos que dividem os quadrantes e com o

sinal do seno em cada quadrante

Arco(rad) 0 2π

π

23π

2π

Seno

Quadrante 1º 2º 3º 4º

Sinal do Seno

2. Repita o procedimento para o cosseno.

Arco(rad) 0 2π

π

23π

2π

Cosseno

Quadrante 1º 2º 3º 4º

Sinal do

Cosseno

3. Acompanhando o movimento do ponto sobre a circunferência, avalie, em cada quadrante, se

aumentando a medido do arco aumenta, em correspondência, o valor do seno. Se isso

ocorrer, diremos que o seno é crescente no quadrante. Em caso contrário, o seno é

decrescente no quadrante. Complete a tabela:

Quadrante 1º 2º 3º 4º

Seno:crescente ou

decrescente?

4. Repita o procedimento para o cosseno

Quadrante 1º 2º 3º 4º

Cosseno: crescente ou

decrescente?

5. Observe o sistema de eixos coordenados representado abaixo, e assinale

a) no eixo horizontal a posição dos números reais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Estabeleça uma

escala.

b) os números reais ππππ 22

3,,2

e , respeitando a escala estabelecida anteriormente

c) no eixo vertical os valores -1 e +1, respeitando a mesma escala

d) os pontos (x, y) nos quais x corresponde aos números reais que são medidas de arcos

que dividem os quadrantes, e y é o valor do seno correspondente.

e) Unindo os pontos assinalados é possível desenhar o gráfico de y = senx. Discuta com os

colegas sobre a melhor maneira de unir esses pontos e obter o gráfico

Tela “O gráfico do seno”

Nesta tela, o movimento de um ponto sobre a circunferência é

acompanhado da construção do gráfico que mostra a variação do comprimento da

projeção obtida no eixo vertical.

INTERVENÇÕES – 3 – O GRÁFICO DO SENO

1. Observando o movimento do ponto sobre a circunferência e lembrando do gráfico que você

desenhou na folha anterior, desenhe agora o gráfico da função y = senx no intervalo [0,

4π]

2. O gráfico que está sendo desenhado na tela do computador não é idêntico ao que você

desenhou. Descreva a diferença entre eles.

3. Converse com seus colegas para avaliar a forma do gráfico da função y = cosx. Em seguida,

faça um esboço desse gráfico.

Tela “Seno x Tempo”

Nesta tela o usuário pode variar a velocidade com que o ponto gira em torno

da circunferência e observar, simultaneamente, a construção do gráfico que

relaciona a variação do seno com o tempo.

INTERVENÇÕES – 4 – SENO X TEMPO

1. Descreva as alterações sofridas pelo gráfico à medida que é aumentada a velocidade do

ponto girando sobre a circunferência.

2. Período é o intervalo de tempo correspondente a uma volta do ponto em torno da

circunferência. Desenhe no sistema de eixos o gráfico da variação do seno em função do

tempo para o caso de um período de 3 segundos e tempo de observação igual a 9 segundos.

3. Faça um esboço do gráfico da variação do cosseno em função do tempo, para um período de

2 segundos e 6 segundos de observação.

Tela “Marés: solar e lunar”

Tela mostrando uma das simulações previstas. Nesse caso, o sistema mostra ao

usuário o formato das curvas de marés se apenas houvesse a influência do Sol ou

da Lua. O usuário deverá imaginar a composição das duas curvas e prever um

momento em que será possível observar, no gráfico, a ocorrência das marés mais

baixas possíveis durante o intervalo de um mês. Na seqüência, o sistema analisa

a resposta do usuário, emitindo feedback sob a forma de uma simulação da altura

da maré no dia previsto.

INTERVENÇÕES – 5 – MARÉS: SOLAR E LUNAR

1. Complete:

a) o período de rotação da Terra em torno de seu eixo é igual a .............

b) o período de rotação da Lua em torno da Terra é igual a ....................

2. Suponha que as marés fossem causadas apenas pela atração gravitacional do Sol sobre a

Terra. Nesse caso, desenhe o gráfico de observação da altura da maré em uma praia,

durante dois dias de observação. Comece com a observação de uma maré alta.

3. Suponha que as marés fossem causadas apenas pela atração gravitacional da Lua sobre a

Terra. Nesse caso, desenhe o gráfico de observação da altura da maré em uma praia,

durante dois dias de observação. Comece com a observação de uma maré alta.

4. Justifique matematicamente o motivo pelo qual o período de uma maré lunar é igual a 12,4

horas, e não, simplesmente, igual a 12 horas, como é o caso da maré solar.

5. Desenhe dois gráficos no mesmo sistema de eixos:

( I ) Gráfico da maré solar em um intervalo de 3 dias

( II ) Gráfico da maré lunar em um intervalo de 3 dias

Para isso, suponha

a) que em t = 0, as duas marés sejam as mais altas possíveis.

b) Que a amplitude da onda da maré lunar seja o dobro da amplitude da onda da maré

solar

6. Avaliação

As várias atividades, de 1 a 5, que compõem o módulo no qual o Objeto

Virtual representa o mais importante papel, poderão ser utilizadas pelo professor

para avaliar a aprendizagem dos alunos.