1 Junho 2005Seminários de Informática – Pesquisa e Optimização 1 Seminários de Informática...

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 1 Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao Programao por Restries Pedro Barahona Junho de 2005

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 2 Pesquisa e Optimizao Alguns exemplos de Problemas de Deciso que envolvem pesquisa e optimizao: Testes em circuitos digitais (para deteco de avarias) Gesto de Redes de Telecomunicaes Sequenciao de Tarefas (Scheduling) Gesto de Frotas Gesto da Produo Gerao de Horrios Colocao ou preenchimento 2D: corte de peas (tecido, tbuas, etc...) 3D: prenchimento de contentores

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 3 Problemas de Pesquisa e Optimizao O que tm em comum estas aplicaes: Muitas solues potenciais Restries entre as variveis do problema Nenhuma forma de as obter de uma forma bvia Recurso: pesquisa das vrias solues Espao de pesquisa ENORME Necessidade de pesquisa eficiente

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 4 Exemplo: Circuitos Digitais Objectivo: Verificar se a gate G2 est stuck-at-1. Possibilidades: Valores 0/1 nas vrias entradas Restries (binrias): Exemplo: F = nand(B,C) A C D B E F G H I G1 G2 G3 G4 G5 Espao de Pesquisa: As 4 entradas, A, B, C e D, podem tomar valores 0 ou 1, Existem 2*2*2*2 = 2 4 solues potenciais Se o circuito tiver n entradas h que testar 2 n possibilidades!

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 5 Exemplo: Gesto de Redes (de Telecomunicaes) Espao de Pesquisa: Os m troos (m=17 neste caso) com 0 a C pacotes Neste caso 6*5*8*9 *....* 7*10*8*3 possibilidades Em geral, com n ns, existem at n*(n-1)/2 troos. Se assumirmos a mesma capacidade c em todos os troos temos c n(n-1)/2 possibilidades. Objectivo: Enviar k pacotes de A a Z. Possibilidades: 0 a C pacotes em cada troo C- capacidade do troo Restries: No se perdem pacotes AE + BE + CE = EH + EZ A B C D E F G Z 5 4 8 7 H 6 5 2 7 6 9 3 3 5 4 3 7

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 6 Exemplo: Escalonamento de tarefas Espao de Pesquisa: As k tarefas tm durao inteira e comeam entre os tempos 0 e T. Em geral teremos de considerar T*T*... * T = T k possibilidades. Objectivo (job-shop): Executar k tarefas at um tempo T. Possibilidades: Cada tarefa comea entre 0 e T Restries (binrias): Precedncia de algumas tarefas; J 12 >= J 11 +D 11 No sobreposio de tarefas J 22 >= J 12 +D 12 ou J 12 >= J 22 +D 22

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 7 Exemplo: Gesto de Produo e de Frotas Problemas semelhantes aos anteriores, mas em que se devem considerar algumas restries adicionais Gesto de Produo Atribuir tarefas a trabalhadores /mquinas Capacidade mxima de cada trabalhador Possibilidades da tarefa requerer vrios trabalhadores ... Gesto de Frotas As tarefas tm um ponto de partida e de chegada Existem capacidades mximas para os camies ...

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 8 Exemplo: Gerao de Horrios Para as vrias aulas necessrias de um conjunto de cursos atribuir-lhes professores e salas de forma a que se satisfaam algumas restries obrigatrias 2 aulas com o mesmo professor no podem ser leccionadas ao mesmo tempo 2 aulas no podem ser leccionadas na mesma sala H ainda que tentar satisfazer restries opcionais tais como Evitar furos Evitar aulas isoladas Tericas de manh e Prticas tarde ....

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 9 Exemplo: Colocao ou preenchimento Objectivo: Colocar os vrios rectngulos num rectngulo maior (2D). Colocar os vrios paralelippedos num paralelippedo maior (3D) Restries: No sobreposio dos rectngulos i e j, isto Xi > Xj + aj (i direita de j) ou Xj > Xi + ai (i esquerda de j) ou Yi > Yj + bj (i acima de j) ou Yj > Yi + bi (i abaixo de j) ou Espao de pesquisa Canto inferior esquerdo de cada uma das n peas em qualquer das k = l*h posies. O nmero de possibilidades pois de k*k*...*k = k n

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 10 Relevncia destes Problemas Custos e Produo numa grande empresa 2 000 trabalhadores a 50 000 /ano ( 3 570 /ms) Custos pessoal de 100 000 000 /ano Outros Custos de 20 000 000 /ano Produo de 70 000 /ano/trabalhador Receitas totais de 140 000 000 /ano Lucro de 20 000 000 /ano Melhoria de Produtividade Reduo de Pessoal Mesma Produo com menos trabalhadores Aumento da Produo Mesmos trabalhadores, mas produzindo mais Cenrios intermdios

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 11 Relevncia destes Problemas Cenrio: Aumento de eficincia de 5% Melhoria de Produtividade Reduo de Pessoal Menos 5 000 000 Aumento dos Lucros de 25% (20 M para 25 M) Aumento da Produo Produo de 73 500 por trabalhador (em vez de 70 K) Lucros aumentam 2000 * 3 500 = 7 M Aumento de Lucros de 35% Cenrios intermdios

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 12 Relevncia destes Problemas Outros custos envolvidos - Material Cenrio: Melhoria de Eficincia de 5% Gesto de Frotas (1) 1000 camies TIR * 250 000 cada TIR Poupana de 50 camies: 12 500 000 Gesto de Frotas (2) 100 avies * 5 000 000 cada avio Poupana de 5 avies: 25 000 000 Gesto de Redes de Telecomunicaes 200 antenas de telemveis * 500 000 por antena Poupana de 10 antenas: 5 000 000

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 13 Integrao em Sistemas Informticos Todos os problemas envolvem a anlise dos dados de uma empresa Sistemas de Informao Sofisticados Bases de Dados + DataWarehousing Sistemas de Apoio Deciso Integrar algoritmos nos sistemas de Informao Adaptao (parametrizao) de algoritmos existentes Papel de um Engenheiro Informtico Integrar informao para usar Produtos existentes Melhorar as solues existentes Melhores Modelos Melhores Algoritmos

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 14 Formalizao de Problemas de Deciso Um problema de satisfao de restries um triplo, em que V um conjunto de variveis D o domnio das variveis R o conjunto de restries entre as variveis Um problema de optimizao um qudruplo, em que V, D e R so como os anteriores F uma funo das variveis que se pretende optimizar Para ilustrar os algoritmos de resoluo destes problemas e a sua complexidade podemos enunciar problemas tericos cuja resoluo segue os mesmos mtodos de problemas mais realistas.

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 15 Exemplos simples N - rainhas Colocar n rainhas num tabuleiro de n*n casas de forma a que nenhumas rainhas se ataquem mutuamente (i.e. estejam na mesma linha, coluna ou diagonal). Criptografia Atribuir nmeros a letras (nmeros diferentes a letras diferentes) de forma a que as operaes indicadas sejam vlidas Exemplos de Problemas (Satisfao)

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 16 4 - rainhas Variveis: V: {Q1, Q2, Q3, Q4} Domnio D : {1,2,3,4} Exemplos de Problemas (Satisfao) Restries R: % Colunas Diferentes: Q1 Q2, Q1 Q3, Q1 Q4, Q2 Q3, Q2 Q4, Q3 Q4, % Diagonais / Diferentes: Q1+1 Q2+2, Q1+1 Q3+3, Q1+1 Q4+4, Q2+2 Q3+3, Q2+2 Q4+4, Q3+3 Q4+4, % Diagonais \ Diferentes: Q1-1 Q2-2, Q1-1 Q3-3, Q1-1 Q4-4, Q2-2 Q3-3, Q2-2 Q4-4, Q3-3 Q4-4, Soluo: Q1 = 2, Q2 = 4, Q3 = 1, Q4 = 3

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 17 Send More Money Variveis: V: {S, E, N, D, M, O, R, Y} Domnio D : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Exemplos de Problemas (Satisfao) Restries R: % Valores diferentes para letras diferentes : S E, S N,..., R Y % Conta Certa: 1000*S + 100*E + 10*N + D + 1000*M + 100*O + 10*R + E = 10000*M + 1000*O + 100*N + 10*E + Y B. Neste caso, A no pode ser 1, pois no h valor de B tal que B 4. A propagao de restries neste caso, mantendo a consistncia de arco, reduz os domnios para D A = {2,3,4} e D A = {1,2,3}.">

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 79 Propagao de Restries Neste ponto vale a pena precisar uma outra forma de propagao de restries. Para alm de retirar valores incompatveis com valores j atribudos (consistncia de n), podem ser retirados valores do domnio de variveis que no tenham suporte no domnio de outras variveis. Por exemplo consideremos as variveis A e B, com domnio {1,2,3,4} e a restrio A > B. Neste caso, A no pode ser 1, pois no h valor de B tal que B 4. A propagao de restries neste caso, mantendo a consistncia de arco, reduz os domnios para D A = {2,3,4} e D A = {1,2,3}.

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 80 Redes de Restries Um problema de satisfao de restries pode ser modelado atravs de um grafo (ou rede) de restries em que os ns so as variveis e os arcos as restries. Por exemplo, o problema das 4 rainhas pode ser modelado atravs da seguinte rede Q 1 in 1..4 Q 4 in 1..4 Q 3 in 1..4Q 2 in 1..4

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 81 Redes de Restries Para manter consistncia de arco pode assim olhar-se para cada arco e analisar os domnios das variveis nos seus extremos. Podemos analisar a situao na continuao do problema das 8 rainhas.

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 82 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 Q 6 s pode tomar o valor 4 Retirar valores incompatveis nas outras variveis

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 83 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 84 Propagao 2 Agora Q 8 que s pode tomar o valor 7 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 85 Propagao 2 Retiremos pois os valores incompatveis 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 8 8

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 86 Propagao 2 Q 4 s pode tomar o valor 8 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 8 8 4

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 87 Propagao 2 Propagando verifica-se que Q5 s pode tomar o valor 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 8 8 4

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 88 Propagao 2 Mas agora Q7 no pode tomar nenhum valor! 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 8 8 4

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 89 Propagao 2 H que retroceder para a ltima rainha atribuda, Q3. 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 90 Heursticas First Fail No caso de restries de diferena, s faz sentido a sua propagao se uma das variveis tiver um s valor no domnio. Mas nessa situao, mais conveniente utilizar esse facto atravs da heurstica first-fail. Em geral a heurstica indica que se devem tratar primeiro as situaes mais difceis, que no se podem evitar. Em particular, enter atribuir valores a uma varivel com 8 valores no domnio e outra com apenas 2 mais difcil atribuir valores a esta (so menos valores). No caso em causa, se uma varivel s tem um valor no domnio h que atribuir imediatamente esse valor !

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 91 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 Testes 92 + 4 * 5 = 112 Retrocessos 0 Q 6 s pode tomar o valor 4

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 92 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 Testes 112+3+3+3+4 = 125 Retrocessos 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 93 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 Testes 125 Retrocessos 0 Q 8 s pode tomar o valor 7

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 94 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 Testes 125 Retrocessos 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 95 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 Testes 125+2+2+2=131 Retrocessos 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 96 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 Testes 131 Retrocessos 0 Q 4 s pode tomar o valor 8

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 97 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 Testes 131 Retrocessos 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 98 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 4 Testes 131+2+2=135 Retrocessos 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 99 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 4 Testes 135 Retrocessos 0 Q 5 s pode tomar o valor 2

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 100 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 4 5 Testes 135+1=136 Retrocessos 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 101 Propagao 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 2 6 6 6 8 8 4 5 Testes 136 Retrocessos 0 Falha 7 Retrocede 3 !

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 102 Eficincia da Propagao c/ First -Fail Nesta altura da pesquisa determinou-se que no se podem construir solues a partir da soluo parcial Q1 = 1, Q2 =3, Q3 = 5 De notar que com retrocesso puro tal concluso foi tirada aps se terem efectuado 15 retrocessos de valores de variveis 324 testes de verificao Neste caso, a combinao de propagao de restries (simples consistncia de n) com heurstica permitiu chegar mesma concluso com 0 retrocessos de valores de variveis 136 testes de verificao

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 103 Outros Mtodos de Propagao Existem mtodos mais fortes de propagao, tais como a manuteno da consistncia de caminho Exemplo: A impossibilidade deste problema no obtida por manuteno de consistncia de arco, mas -o por consistncia de caminho. {0,1} {0,1}

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 104 Restries Globais Em geral quanto mais forte a propagao mais pesada a sua implementao. Existem alguns casos particulares de restries, envolvendo muitas variveis, que tm mtodos de resoluo muito apropriados e que podem ser integrados nas linguagens de resoluo destes problemas. Este o caso da restrio all_different([X1,X2,X3]) que no usando consistncia de arco consegue detectar a inconsitncia do problema anterior. Outra restrio global importante a restrio cumulative, til para problemas de alocao de recursos.

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 105 Restries Globais - Cumulative Histria: Uma instncia 10*10 do problema de Job-shop foi proposta no livro Industrial Scheduling [MuTh63]. Durante 30 anos, no foi encontrada nenhuma soluo ptima para o makespan (terminao mais rpida da ltima tarefa). Melhor soluo era 935 unidades de tempo. Em 1985, tinha sido provado que no havia soluo com menos de 930 unidades de tempo.. Em 1987, o problema foi resolvido com um algoritmo altamente especializado, que decobriu uma soluo com 930 unidades de tempo, aps algumas horas de execuo. Com a restrio cumulative, o problema foi resolvido em 1993 em 1506 segundos (numa SUN/SPARC) !

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 106 Mtodos Reparativos Pesquisa Local Um mtodo alternativo de resoluo corresponde a partir de uma soluo qualquer e ir reparando-a para obter outra melhor. Este mtodo til para problemas de optimizao em que h vrias solues possveis, embora no ptimas. Em problemas de satisfao, pode tentar minimizar-se o nmero de restries violadas. Para ser utilizvel h que definir: Quais os vizinhos de uma soluo Qual o vizinho a escolher No caso das rainhas os vizinhos so obtidos por troca de duas rainhas, de preferncia envolvidas em restries violadas, como ilustrado de seguida.

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 107 Pesquisa Local - Reparao 4716358247163582 Soluo Permutao Vizinhana Troca

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 108 Pesquisa Local - Reparao 2 Ataques 3 - 5 4 - 8 4716358247163582

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 109 Pesquisa Local - Reparao 4 7 1 2 6 3 5 8 2 1 2 Ataques 3 - 5 4 - 8

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 110 Pesquisa Local - Reparao 4726358147263581 3 Ataques 1 - 3 2 - 8 3 - 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 111 Pesquisa Local - Reparao 4 1 7 2 6 3 5 8 1 4 3 Ataques 1 - 3 2 - 8 3 - 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 112 Pesquisa Local - Reparao 1 Ataque 3 - 6 1726358417263584

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 113 Pesquisa Local - Reparao 1 7 2 8 6 3 5 8 2 4 1 Ataque 3 - 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 114 Pesquisa Local - Reparao 1786352417863524 3 Ataques 2 - 3 2 - 7 3 - 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 115 Pesquisa Local - Reparao 1 7 5 8 6 3 5 7 2 4 3 Ataques 2 - 3 2 - 7 3 - 6

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 116 Pesquisa Local - Reparao 0 Ataques 1586372415863724

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 117 Mtodos Reparativos Pesquisa Local Estes mtodos tm em geral o problema de fugir dos ptimos locais, tal como acontecem neste caso. Por vezes, necessrio escolher um vizinho pior! 2 3 1 3 0

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 118 Mtodos Reparativos Pesquisa Local Para escapar a ptimos locais existem vrias tcnicas: Recomeos aleatrios Simulated Annealing Tabu Search Algoritmos Genticos Um outro problema com estes mtodos, relacionado com o anterior, no serem completos, isto descobrem ptimos locais, mas no o ptimo global. No entanto, para os problemas mais complexos no h esperana de obter a soluo ptima! Existe ainda a possibilidade de hibridizar os mtodos reparativos com mtodos construtivos!

1 Junho 2005Seminrios de Informtica Pesquisa e Optimizao 119 Disciplinas da LEI Algoritmos e Estruturas de Dados Pesquisa em rvore Mtodos Quantitativos Problemas de deciso Programao em Lgica Paradigma de Programao que inclui o retrocesso Programao por Restries Estende o paradigma para propagao de restries Bases de Dados e DataWareHousing Integrao de dados em Sistemas de Informao que podem ser posteriormente utilizados nestes modelos

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