EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli,

propriedades das séries, condição necessária de convergência,

1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

1ª Lista de Exercícios

1. Determine a natureza das séries abaixo e caso seja possível, calcule a sua soma.

a)

1 5

1

n

n

b)

1 63

1

n nnn c)

1

5n

n

d)

1 42

1

3

1

n

n

nnn

2. Determine a natureza das séries abaixo

a)

1 4

6

5

2

n

nn

b)

1 125

2

3

1

n

n

nn

c)

125 3

13

n nnn d)

132 22

7

n nnn

e)

136 65

8

n nn f)

1

2

1 2n n n n

g) 1

1

3 3 9n n n

h) 2

1

2 2 4n n n

i) 1

1

4 3 4 1

n n n

j) 2

21

5 3 3

7 2 6n

n n

n n

k) 1

1

2 1

n

n

n l)

2

21 7 4

n

n

n

m) 2

1 3 2n

n

n

n)

4

1

11

n

n n

o) 2

4 21

5 3

2 3n

n n

n n

p)

2

51

2 3

5

n

n n

n

q)3 2

1

4

3n n

r)

2

2

1

n

n

n n

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Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli,

propriedades das séries, condição necessária de convergência,

1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

s)3

1

1

5n n

t)

5 2

2

1

lnn n n

u) 2

6 21

1

1

n

n n

n n

2. Aplicando o critério de D´Alembert, caso seja possível, determine a natureza das séries

abaixo

a)

1

1.3.5... 2 1

2.4.6... 2n

n

n

b)

1

!

n

nn

n

n c)

3

1

2 !

!n

n

n

3. Aplicando o critério da raiz, determine a natureza das séries abaixo

a) 1

1

3

n

n

n

n b)

2

1

3 1

5 1

n

n

n

n c)

1

4 1

4 3

n

n

n

n

d)

2

1 1

n

n

n

n e)

1

1

1 5

nn

n

f)

1 2

4

n

n

n

n

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propriedades das séries, condição necessária de convergência, 1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1. a)

1 5

1

n

n

Trata-se de uma série geométrica de razão 15

1 , logo convergente. A sua soma é dada por:

razão

termoSoma

1

º1

Temos então: 4

1

5

11

5

1

Soma

b)

1 63

1

n nnn

Vamos ver se se trata de uma série de Mengolli. Se isto for verdade, então

pnn u

n

u

n nn

B

nn

A

nnn

63363

1

11

Vamos ver se existe A e B que satisfaçam a igualdade acima

nBnA

nn

B

nn

A

nnn

61

63363

1

Fazendo n=-6, obtemos

6

1B

Fazendo n=0, obtemos

6

1A

Encontrámos então A e B tais que

63363

1

nn

B

nn

A

nnn

Trata-se então de uma série de Mengolli.

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[2011]

Vamos estudar a sua natureza. Se for convergente,

Cnn

nu

n

3

6

1

lim

, o que é verdade,

pois

03

6

1

limnnn

, logo, a série dada é convergente.A sua soma é dada por

nn

n upuuuuSoma

lim...321

Vamos então calcular o valor de p:

633 nnpnpn

Temos então p=3. A soma é então

3

6

1

lim321

nn

uuuSoman

n

Ou seja

0638888889,0

0108

1

60

1

24

1

3

6

1

lim333

6

1

322

6

1

311

6

1

Soma

Soma

nnSoma

n

c)

1

5n

n

Trata-se de uma série geométrica de razão 5>1, logo divergente. Como é

divergente, a sua soma não existe.

d)

1 42

1

3

1

n

n

nnn

Trata-se da soma de duas séries, uma geométrica e outra de Mengolli. Vejamos:

111 42

1

3

1

42

1

3

1

nn

n

n

n

nnnnnn

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[2011]

A primeira é uma série geométrica de razão

15

1

, logo convergente. A sua soma é :

razão

termoSoma

1

º1

Temos então:

2

1

3

11

3

1

Soma

A segunda, é uma série de Mengolli, pois

42242

1

11

nn

B

nn

A

nnn nn

, onde A e B podem ser calculados da

seguinte forma:

BnnA

nn

B

nn

A

nnn

41

42242

1

Fazendo n=-4, obtém-se 4

1B , e fazendo n=0, obtém-se

4

1A . Temos então

pnn u

n

u

n nnnnnnn

42

4

1

2

4

1

42

1

11

.

Esta série é convergente, pois

02

4

1

lim

nu

n nn

Sabemos que a sua soma, é dada por:

nn

n upuuuuSoma

lim...321

Vamos então calcular o valor de p:

422 nnpnpn

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[2011]

Temos então p=2. A soma é então

2

4

1

lim21

nn

uuSoman

Ou seja

1145833333,0

032

1

12

1

2

4

1

lim222

4

1

211

4

1

Soma

Soma

nnSoma

n

A série dada inicialmente,

1 42

1

3

1

n

n

nnn é convergente, pois é a soma de

duas séries convergentes e tem por soma, a soma das duas, ou seja

0,0638888889+0,1145833333 =0,1784722222.

2a).

1 4

6

5

2

n

nn

111 4

6

5

2

4

6

5

2

n

n

n

n

n

nn

Trata-se da soma de duas séries, uma geométrica de razão 15

2 , logo convergente, e outra,

também geométrica, de razão 14

6 , logo divergente.

A soma de uma série convergente com uma divergente, dá origem a uma série divergente,

logo a série

1 4

6

5

2

n

nn

, é divergente.

b)

1 125

2

3

1

n

n

nn

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[2011]

Trata-se da soma de duas séries

125

2

3

1

1 1 nnn n

n

Trata-se da soma de duas séries, uma geométrica de razão 13

1 , logo convergente, e outra,

125

2

1 nnn

, da qual vamos estudar a sua natureza, usando o 2º critério de

comparação. Vejamos:

Vamos compará-la com a série

2

1

1

nn

, que é uma série convergente, pois é uma série de

Dirichlet com p=2>1, logo convergente. Então temos:

,01

2

2

125

2lim

1

125

2

lim 2

2

nnn

n

nn

nn, logo as séries são da mesma

natureza. Como estamos a comparar a série

125

2

1 nnn

, com uma série

convergente ,

2

1

1

nn

, então

125

2

1 nnn

é também convergente.

A série

125

2

1 nnn

, é uma série convergente pois é a soma de duas séries

convergentes.

c)

125 3

13

n nnn

Trata-se da soma de duas séries,

12

15 3

13

nn nnn. A primeira , pode ser escrita como

1 5

11

5

13

13

nnn

n, que é uma série de Dirichlet divergente(pois 1

5

1 ), multiplicada por uma

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propriedades das séries, condição necessária de convergência, 1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

constante. Como a multiplicação pela constante não altera a natureza da série, então

15

13

n n

é uma série divergente.

A segunda,

12 3

1

n nn, pode ter a sua natureza estudada a partir, por exemplo, do 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

13

1

n n, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,01

3

1lim

1

3

1

lim 3

3

3

2

nnn

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que as

séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

Para finalizar o exercício, temos que

125 3

13

n nnn

É uma série divergente, pois é a soma de uma série divergente com uma convergente.

d)

132 22

7

n nnn A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério

de comparação. Vamos então compará-la com a série

15

1

n n, que já sabemos ser uma série de

Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,01

22

1lim

1

22

7

lim 5

235

5

32

nnnn

n

nnn

nn . Concluímos então por este

critério, que as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

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propriedades das séries, condição necessária de convergência, 1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

e)

136 65

8

n nn A natureza desta série pode ser estudada usando, por

exemplo, o 2º critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

16

1

n n, que já

sabemos ser uma série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,0865

8lim

165

8

lim 6

36

6

36

nnn

n

nnnn

. Concluímos então por este critério,

que as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

f)

1 21

2

n nnn

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º critério de comparação.

Vamos então compará-la com a série

13

1

n n, que já sabemos ser uma série de Dirichlet

convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,02

22

2lim

1

21

2

lim 3

23

3

nnnn

n

nnn

nn . Concluímos então por este

critério, que as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

g) 1

1

3 3 9n n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

12

1

n n, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

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[2011]

,0

9

1

279

1lim

1

933

1

lim 2

2

2

nnn

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que

as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

h) 2

1

2 2 4n n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

12

1

n n, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,0

4

1

84

1lim

1

422

1

lim 2

2

2

nnn

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que

as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

i) 1

1

4 3 4 1

n n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

12

1

n n, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,0

16

1

31616

1lim

1

1434

1

lim 2

2

2

nnn

n

nn

nn . Concluímos então por este

critério, que as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

j) 2

21

5 3 3

7 2 6n

n n

n n

Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 07

5

627

335lim

2

2

nn

nn

n, logo a série é divergente.

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[2011]

k) 1

1

2 1

n

n

n Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 02

1

12

3lim

n

n

n, logo a série é divergente.

l) 2

21 7 4

n

n

n Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 07

1

47lim

2

2

n

n

n, logo a série é divergente

m) 2

1 3 2n

n

n

Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 03

1

23lim

2

n

n

n, logo a série é divergente

n)

4

1

11

n

n n

Pela condição necessária de convergência, concluímos que esta série é

divergente, pois 01

1lim1

1lim 4

44

e

nn

n

n

n

n, logo a série é divergente.

o) 2

4 21

5 3

2 3n

n n

n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

1

21

24

11

nn nn, que já

sabemos ser uma série de Dirichlet convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,0

2

1

32

35lim

132

35

lim 2

24

2

2

24

2

nnn

nn

n

nn

nn

nn . Concluímos então por este critério, que

as séries são da mesma natureza, portanto Convergentes.

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[2011]

p) 2

51

2 3

5

n

n n

n A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

1 2

11 2

2

5

11

nnnn

, que já

sabemos ser uma série de Dirichlet Divergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,02

5

32lim

1

5

32

lim 2

1

5

2

2

1

5

2

nn

nn

n

n

nn

nn . Concluímos então por este critério, que as

séries são da mesma natureza, portanto Divergentes.

q)3 2

1

4

3n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

1 3

2

1

nn

, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet Divergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

,04

3

4lim

1

3

4

lim 3

2

3 2

3

2

3 2

nn

n

nnn

. Concluímos então por este critério, que as

séries são da mesma natureza, portanto Divergentes.

r)

2

2

1

n

n

n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º critério

de comparação. Vamos então compará-la com a série

1 2

31 2

12

11

nnnn

, que já sabemos ser

uma série de Dirichlet Convergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação:

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propriedades das séries, condição necessária de convergência, 1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

,01lim

1lim

1

1

lim 2

3

2

22

3

2

3

2

2

3

2

nnn

nnn

nn

n

n

nn

n

nnn . Concluímos então por este

critério, que as séries são da mesma natureza, logo Convergentes.

s)3

1

1

5n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 1º critério

de comparação. Vamos então compará-la com a série

13

1

n n, que já sabemos ser uma série de

Dirichlet Convergente.

Vamos então aplicar o 1º Critério de comparação:

Sabemos que 33

1

5

1

nn

Ora

13

1

n n, é convergente, logo, pelo 1º critério de comparação,

13 5

1

n n também o será.

t)

5 2

2

1

lnn n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 1º

critério de comparação. Vamos então compará-la com a série

15

1

n n, que já sabemos ser uma

série de Dirichlet Convergente.

Vamos então aplicar o 1º Critério de comparação:

Sabemos que 525

1

ln

1

nnn

. Ora

15

1

n n, é convergente, logo, pelo 1º critério de

comparação,

225 ln

1

n nntambém é convergente.

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[2011]

u)

2

6 21

1

1

n

n n

n n

A natureza desta série pode ser estudada usando, por exemplo, o 2º critério de comparação.

Vamos então compará-la com a série

11 2

2

6

11

nn nn

, que já sabemos ser uma série de

Dirichlet Divergente.

Vamos então aplicar o 2º Critério de comparação: 2

6 21

1

1

n

n n

n n

,01

1lim

1

1lim

1

1

1

lim26

23

26

226

2

nn

nnnn

nn

nn

n

nn

nn

nnn . Concluímos

então por este critério, que as séries são da mesma natureza, logo Divergentes.

2. a)

1

1.3.5... 2 1

2.4.6... 2n

n

n

Aplicando o critério de D´Alembert, temos:

122

12lim

12...5.3.1

2...6.4.2

222...6.4.2

1212...5.3.1lim

2...6.4.2

12...5.3.1

122...6.4.2

11212...5.3.1

limlim 1

n

n

n

n

nn

nn

n

n

nn

nn

u

u

n

nnn

n

n

Logo, por este critério, nada se pode concluir.

b) 1

!

n

nn

n

n Aplicando o critério de D´Alembert, temos:

1

11

1lim

1lim

1lim

111

1lim

!1

!1lim

!

1

!1

limlim1

11

1

1

e

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u

nn

n

nn

n

n

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

Logo, pelo critério de D´Alembert, a série é Divergente.

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[2011]

c)

3

1

2 !

!n

n

n

Aplicando o critério de D´Alembert, temos:

10

1

22lim

!2

!

1!

!222lim

!2

!

!1

!22lim

!2

!

!1

!12lim

!

!2

!1

!12

limlim

3

3

33

3

3

3

3

3

3

1

n

n

n

n

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u

nn

nnnn

n

n

Logo, podemos concluir pelo critério de D´Alembert, que a série é Convergente.

3. a) 1

1

3

n

n

n

n Aplicando o critério da raiz, temos:

13

1

3

1lim

3

1limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n, logo, a série é Convergente.

b) 2

1

3 1

5 1

n

n

n

n Aplicando o critério da raiz, temos:

15

3

15

13lim

15

13limlim

2

1

2

1

n

n

n

nu

nn

n

n

nn

n, logo, a série é Convergente.

c) 1

4 1

4 3

n

n

n

n

Aplicando o critério da raiz, temos:

1

34

14lim

34

14limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n, logo, pelo critério da raiz, nada se pode

concluir relativamente à natureza desta série. Será necessário recorrer a um outro critério.

d)

2

1 1

n

n

n

n Aplicando o critério da raiz, temos:

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS Série geométrica, série de Dirichlet, série de Mengolli,

propriedades das séries, condição necessária de convergência, 1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz

[2011]

11

11

1lim

1lim

1limlim

2

e

n

n

n

n

nu

n

n

n

n

n

n

n

nn

n, logo, podemos concluir,

pelo critério da raiz, que a série é convergente.

e)

1

1

1 5

nn

n

Aplicando o critério da raiz, temos:

parénse

ímparénse

unn

n

n

nn

nn

n

6

1

4

1

51

1lim

51

1limlim . Este limite é

sempre menor que um, logo, a série é convergente.

f)

1 2

4

n

n

n

n Aplicando o critério da raiz, temos:

142

4lim

2

4limlim

n

n

n

nu

n

n

n

n

nn

n, logo, a série é Divergente.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Condição necessária de convergência,

1º e 2º critérios de comparação, critérios de D´Alembert e da Raiz, Séries Alternadas.

[2011]

2ª Lista de Exercícios

1. Determine a natureza das séries abaixo

a)

22

3

n nn

narctg

b)

1 !123

!22

nn

n

n

n c)

12

2

53nn

n

n

n

d)

12

!4

!2

nn n

nn

e)

1 !1

3

n

n

n f)

12

!30

!3

nn n

n

g)

12

n nn

n h)

1 12....7.5.3

!

n n

n

i)

1 2!2

!

nnn

n

j)

1 !

31

n n

n

k)

1

22

31

nn

nn

e l)

1

1

n

n

n

m)

12 3

1n

n

n

n n)

12

!1

!251

n

nn

n

n 0)

14

2

3

321

n

n

n

n

p)

13

2

5

51

n

n

n

n q)

1 1

11

n

n

n r)

13

3

31

n

n

n

n

s)

1

2

1n

nne t)

14

2

5

231

n

n

n

nn u)

1 !!1

!!11

n

n

nn

nn

v)

15

5

5

21

n

n

n

nn x)

16

5

21

n

n

n

n z)

1 21

21

n

n

nn

n

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Proposta de Resolução da 2ª Lista de Exercícios

1.a)

22

3

n nn

narctg Vamos aplicar o 1º e o 2º critérios de comparação:

Sabemos que

2

3

2

3

n

narctg

nn

narctg

. Vamos estudar agora a natureza da série

2

3

1 n

narctg

n

, usando o segundo critério de comparação. Vamos compará-la com a série

21

1

nn

, que já sabemos ser uma série Convergente (série de Dirichlet). Temos então:

,021

lim1

lim2

2

3

2

2

3

n

n

narctg

n

n

narctg

nn, logo as séries

2

3

1 n

narctg

n

e 2

1

1

nn

,

são da mesma natureza, portanto convergentes. Agora, aplicando o 1º critério de comparação,

relativamente às séries

22

3

n nn

narctg

e

2

3

1 n

narctg

n

, concluímos que

22

3

n nn

narctg

É uma série convergente, pois

2

3

2

3

n

narctg

nn

narctg

e, segundo o 1º critério de

comparação, se

2

3

1 n

narctg

n

é convergente, também

22

3

n nn

narctg o é.

b)

1 !123

!22

nn

n

n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de D´Alembert:

13

2

323

122lim

!22

!123

!3233

!2222lim

!123

!22

!3233

!2222

lim

!123

!22

!1123

!122

limlim1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

Podemos então concluir que a série dada é convergente, pois 1lim 1

n

n

n a

a.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

c)

12

2

53nn

n

n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério da Raiz:

1

3

1

53lim

53limlim

2

2

2

2

n

n

n

na

nn

n

n

n

nn

n

Como 1lim

nn

na , a série dada é convergente.

d) Para estudar a natureza da série

12

!4

!2

nn n

nnpodemos usar o critério de D´Alembert:

114

2212lim

!2

!4

1!44

!221lim

!4

!2

1!44

!221

lim

!4

!2

!14

!121

limlim

2

22

2

22

2

211

nn

nn

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

nn

n

nn

n

nn

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

Podemos concluir então que a série é divergente, pois

1lim 1

n

n

n a

a.

e)

1 !1

3

n

n

n Para estudar a natureza desta série Vamos aplicar o 1º e o 2º critérios de

comparação:

Sabemos que !

3

!1

3

nn

nn

. Vamos estudar agora a natureza da série !

3

1 n

n

n

, usando o

critério de D´Alembert. Temos então:

101

3lim

3

!

!1

3lim

!

3

!1

3

lim1

1

1

n

n

n

n

n

a

a

nn

n

nn

n

n

n

n, logo as séries

1 !1

3

n

n

n e

!

3

1 n

n

n

,

são da mesma natureza, portanto convergentes. Agora, aplicando o 1º critério de comparação,

relativamente às séries

1 !1

3

n

n

n

e

!

3

1 n

n

n

, concluímos que

1 !1

3

n

n

n

É uma série convergente, pois !

3

!1

3

nn

nn

e, segundo o 1º critério de comparação, se

!

3

1 n

n

n

é convergente, também

1 !1

3

n

n

n o é.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

f)

12

!30

!3

nn n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de D´Alembert:

1

130

332313lim

!3

!30

!13030

!33lim

!30

!3

!13030

!33

lim

!30

!3

!130

!13

limlim

2

2

2

2

2

2

211

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

Podemos então concluir que a série dada é divergente, pois 1lim 1

n

n

n a

a.

g)

12

n nn

n Vamos estudar esta série usando o 2º critério de comparação. Vamos

compará-la com a série

1 2

31 2

12

11

nnnn

, que é uma série convergente (série de

Dirichlet). Temos então:

,011

lim1

lim2

3

2

2

3

2 n

nn

n

n

nn

n

nn, logo as duas séries são

da mesma natureza, logo convergentes.

h)

1 12....7.5.3

!

n n

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de

D´Alembert:

12

1

32

1lim

!

12....7.5.3

3212....7.5.3

!1lim

12....7.5.3

!

3212....7.5.3

!1

lim

12....7.5.3

!

3212....7.5.3

!1

limlim 1

n

n

n

n

nn

nn

n

n

nn

nn

n

n

nn

n

a

a

nn

nnn

n

n

Como 1lim 1

n

n

n a

a, a série é convergente.

i)

1 2!2

!

nnn

n Para estudar a natureza desta série, vamos usar o critério de

D´Alembert:

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

1012222

1lim

!

2!2

22!21222

!1lim

2!2

!

22!22

!1

lim

2!2

!

2!12

!1

limlim1

1

nn

n

n

n

nnn

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

a

a

n

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

Como 1lim 1

n

n

n a

a, a série é convergente.

j)

1 !

31

n n

n

Estamos perante uma série alternada.

O primeiro passo é estudar a natureza da série dos módulos, ou seja, da série

1 !

3

n n

Para isso vamos usar o critério de D´Alembert:

101

1lim

3

!

!1

3lim

!

3

!1

3

lim

!

3

!1

3

limlim 1

n

n

nn

n

nn

n

n

a

a

nnnnn

n

n

A série dos módulos é convergente, logo, a série

1 !

31

n n

n

, é absolutamente convergente.

k)

1

22

31

nn

nn

e Trata-se de uma série Alternada. Vamos estudar a natureza da

série dos módulos, ou seja, da série

122

3

nn

n

e. Para tal, vamos aplicar o critério de

D´Alembert:

13

lim3

33lim

3

3

lim3

3

limlim2

22

42

22

212

1

22

212

1

1

e

e

e

e

e

e

e

a

a

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

A série dos módulos é convergente, logo a série

1

22

31

nn

nn

e é absolutamente

convergente.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

l)

1

1

n

n

nTrata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, comecemos por

estudar a natureza da série dos módulos:

1

1

n n

Ora, esta série é uma série de Dirichlet divergente. Temos então que recorrer ao critério de

Leibniz, uma vez que a série dos módulos é divergente.

Critério de Leibniz:

Como

01

lim nn

, e

01

n

, e

n

1 é decrescente, pois fazendo

xxf

1 , temos que

xxf

2

1 , que é negativo

no intervalo considerado ( ,1 ) , logo

n

1é decrescente, então a série dada é

SIMPLESMENTE convergente.

m)

12 3

1n

n

n

n Estamos perante uma série alternada. Vamos analisar a natureza

da série dos módulos:

12

12 33

1nn

n

n

n

n

n

O estudo desta série dos módulos pode ser feito usando, por exemplo, o segundo

critério de comparação. A série usada para fazer a comparação vai ser a série

nn nn

11

112

1

. Vejamos:

,0113

lim1

3lim2

2 n

n

n

n

n

n

nn

Logo, as séries são da mesma natureza, portanto divergentes. Como a série dos módulos é

divergente, vamos recorrer ao critério de Leibniz:

Como

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

03

lim2

n

n

n e

032

n

n, e

32n

n é decrescente, pois considerando ,

32

x

xxf

temos

,2,0

3

322

2

xx

xxf

Então, podemos concluir que a série é SIMPLESMENTE convergente.

n)

1

2

!25

!11

nn

n

n

n Estamos perante uma série alternada. Vamos analisar a

natureza da série dos módulos:

1 1

22

!25

!1

!25

!11

n nnn

n

n

n

n

n

O estudo desta série dos módulos pode ser feito usando o critério de D´Alembert:

120

1

12225

2lim

!1

!25

!2255

!2lim

!1

!25

!125

!11lim

!25

!1

!125

!11

limlim

2

2

2

21

2

2

1

2

1

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

n

Concluímos então que a série dos módulos é convergente, logo, a série dada, ou seja a série

1

2

!25

!11

nn

n

n

né absolutamente convergente.

o)

14

2

3

321

n

n

n

n Estamos perante uma série alternada. Vamos fazer o seu estudo

começando por analisar a natureza da série dos módulos:

14

2

14

2

3

32

3

321

nn

n

n

n

n

n

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério de comparação. Vamos usar

para série de comparação a série

12

124

11

nn nn que, como sabemos, é uma série de

Dirichlet convergente. Temos então:

,02

3

32lim

13

32

lim 2

4

2

2

4

2

nn

n

n

n

n

nn, logo, as duas séries são da mesma natureza, por

isso convergentes.

Como a série dos módulos é convergente, a série dada, ou seja, a série

14

2

3

321

n

n

n

n

é absolutamente convergente.

p) 5

51

3

2

1

n

nn

n

Estamos perante uma série alternada. Vamos fazer o seu estudo

começando por analisar a natureza da série dos módulos:

13

2

3

2

1 5

5

5

51

n

n

n n

n

n

n

A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério de comparação. Vamos usar

para série de comparação a série nn nn

11

123

1

que, como sabemos é uma série

harmónica, por isso divergente.

,01

5

5lim

15

5

lim3

23

2

nn

n

n

n

n

nn, logo as duas séries são da mesma natureza, por

isso, divergentes. Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de

Leibniz para determinar a sua natureza:

Como 05

5lim

3

2

n

n

n e como 0

5

53

2

n

n e como

5

53

2

n

n é decrescente pois fazendo

5

53

2

x

xxf , temos

05

1015

5

355223

24

23

223

x

xxx

x

xxxxxf

Logo, concluímos que a série

13

2

5

51

n

n

n

n é SIMPLESMENTE convergente.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

q)

1 1

11

n

n

n Trata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

analisar a série dos módulos:

11 1

1

1

11

nn

n

nn

A natureza desta série pode ser estudada usando o 2º critério de comparação. A série usada

para comparação vai ser a série

1

1

n n, que, como sabemos é divergente (série de Dirichlet

com 12

1 ). Vejamos:

,01

1

11lim

1

1

1

limn

n

n

nnn

, logo as séries são da mesma natureza, por isso

divergentes.

Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

Como

01

1lim

nn, e

01

1

n, e

1

1

né decrescente, pois considerando

1

1

xxf , temos

,101

11

2

11

32

3

2

1

xx

xxxf

Então concluímos que a série é SIMPLESMENTE convergente.

r)

13

3

31

n

n

n

n Esta série é divergente pela Condição Necessária de Convergência (o limite

do termo geral é diferente de zero).

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

s)

1

2

1n

nne Trata-se de uma série alternada. Vamos começar por estudar a natureza da

série dos módulos:

11

22

1n

n

n

nnee . Podemos fazê-lo usando o critério DA RAIZ:

10limlimlim2

n

n

nn

n

n

n n

neee

logo a série

1

2

n

ne é convergente, e então a série

1

2

1n

nne é absolutamente

convergente.

t)

14

2

5

231

n

n

n

nn Trata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

começar por estudar a natureza da série dos módulos:

5

23

5

231

4

2

114

2

n

nn

n

nn

nn

n, usando o 2º critério de comparação. Vamos

compará-la com a série 2

124

1

11

nn nn

, que é uma série de Dirichlet convergente.

Temos então:

,01

23

51lim

5

23

1

lim2

4

2

4

2

2

nn

n

n

n

nn

nnn

, logo as séries são da

mesma natureza, portanto, convergentes.

Como a série dos módulos é convergente, a série

14

2

5

231

n

n

n

nn é absolutamente

convergente.

u)

1 !!1

!!11

n

n

nn

nn Trata-se de uma série alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

começar por estudar a natureza da série dos módulos:

!1!!1

11!

!!1

!!1

!!1

!!11

1111

n

n

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnn

n Vamos aplicar o

critério de D´Alembert para fazer o estudo desta série:

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

10

2

1lim

!1

!12

1lim

!1

!2

1lim

!1

!2

1

limlim1

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

nnnn

n

n

Logo, a série dos módulos é convergente, e por isso, a série

1 !!1

!!11

n

n

nn

nn é

absolutamente convergente.

v)

15

5

5

21

n

n

n

nn Esta série é divergente, pela condição necessária de convergência, pois

o limite do termo geral da série não é zero.

x)

16

5

21

n

n

n

n Trata-se de uma série alternada. Vamos estudar a natureza da série

dos módulos:

16

5

16

5

221

nn

n

n

n

n

n . O estudo da natureza desta série pode ser feito

usando o 2º critério de comparação e a série usada para fazer a comparação, vai ser a série

1156

11

nn nn, que é uma série harmónica, por isso, divergente. Temos então:

,012

lim1

2lim6

56

5

nn

n

n

n

n

nn. As séries são da mesma natureza, por isso

divergentes.

Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

Como

02

lim6

5

n

n

n, e

026

5

n

n, e

26

5

n

n é decresente, pois considerando

26

5

x

xxf , temos

0

2

1026

410

x

xxxf

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Então, a série

16

5

21

n

n

n

n é SIMPLESMENTE Convergente.

z)

1 21

21

n

n

nn

n Trata-se de uma série alternada. Vamos estudar a natureza da

série dos módulos:

1 1 21

2

21

21

n n

n

nn

n

nn

n . O estudo da natureza

desta série pode ser feito usando o 2º critério de comparação e a série usada para fazer a

comparação, vai ser a série

1112

11

nn nn, que é uma série harmónica, por isso, divergente.

Temos então:

,02

21

2lim

1

21

2

lim nnn

n

n

nn

n

nn. As séries são da mesma natureza,

por isso divergentes.

Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

Como

0

21

2lim

nn

n

n, e

0

21

2

nn

n, e

21

2

nn

n é decrescente, pois considerando

21

2

xx

xxf , temos

0 xf

Então, a série

1 21

21

n

n

nn

n é SIMPLESMENTE Convergente.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Proposta de Resolução da 3ª Lista de Exercícios

a)

0

6n

nn x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

6

1

6

1lim

n nnr . Podemos então dizer que a série converge absolutamente para

6

1x ,

ou seja para 6

1

6

1 x . Vamos ver agora a natureza da série quando

6

1x e quando

6

1x .

Se 6

1x , temos :

00

16

16

n

n

nn

nn . Esta série é divergente pela condição necessária de

convergência ( 01lim n

).

Se 6

1x , temos :

00

16

16

n

n

nn

n

n . Esta série é divergente pela condição

necessária de convergência ( 01lim n

).

Podemos concluir que a série converge para 6

1

6

1 x .

b)

12

5

n

n

n

xn

Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o

raio de convergência desta série:

5

1

5

12lim

55

15lim

1

5

5

lim2

22

2

2

1

2

n

nnn

n

n

nrnn

n

nn

n

n . Podemos então dizer que a

série converge absolutamente para 5

1

5

1 x . Vamos ver agora a natureza da série quando

5

1x e quando

5

1x .

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Se 5

1x , temos :

1

21

2

1

5

15

nnn

n

nn. Esta série é convergente, pois é uma série de

Dirichlet com 12 .

Se 5

1x , temos :

12

12

1

5

15

n

n

nn

nn

nn. Esta série é alternada. Vamos estudar a

natureza da série dos módulos:

12

1

n n. É uma série convergente, como acabámos de ver

atrás. Como a série dos módulos é convergente, a série

12

1

n

n

né absolutamente

convergente.

Concluímos então que a série

12

5

n

n

n

xn

converge absolutamente para 5

1

5

1 x

c)

1

1n

nn

n

x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

1

1

1

1

lim1

n

nr

n

n

n . Podemos então dizer que a série converge absolutamente para

11 x . Vamos ver agora a natureza da série quando 1x e quando 1x .

Se 1x , temos :

11

211

nn

n

nn. Esta série é divergente, pois é uma série de Mengolli

com 12

1 .

Se 1x , temos :

1

1

n

n

n. Esta série é alternada. Para estudar a sua natureza, vamos

estudar a natureza da série dos módulos:

1

1

n n. Esta série é divergente, como acabámos de

ver anteriormente. Vamos recorrer ao critério de Leibniz:

i) 01

n

ii) 01

lim nn

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

iii)

n

1é decrescente, pois 1

1

1

n

n

Podemos então concluir que a série

1

1

n

n

né simplesmente convergente

A série

1

1n

nn

n

x converge para 11 x .

d)

0 2

!

n

n

nx

n Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

0

!1

2

2

!lim

2

!12

!

lim1

1

n

n

n

n

rn

nn

n

n

n . Podemos então dizer que a série converge apenas

para 0x .

e)

0

1

11

n

nn

n

x Vamos usar aqui o critério de D´Alembert, pois a série não está na

forma

0n

n

n xa

Calculemos então

x

n

nx

x

nx

nx

n

xn

nn

nn

n

nn

n

n

n

n

2

1lim

11

2

1lim

1

1

2

1

lim1

2

1

1

2

1

A série é convergente para 1x , ou seja, para 11 x .

Se 1x , a série fica

0 1

1

n

n

n, que é uma série alternada. Vamos começar por estudar a

série dos módulos:

0 1

1

n n. Vamos estudar a natureza desta série usando o 2º critério de

comparação e vamos usar como série de comparação a série

0

1

n n, que já sabemos ser uma

série divergente, pois é uma série harmónica:

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

,011

1lim

1

1

1

lim nn

n

nnn

, logo as séries são da mesma natureza e portanto,

divergentes. Como a série dos módulos é divergente, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

i) 01

1

n

ii) 01

1lim

nn

iii)

1

1

né decrescente, pois 1

2

11

1

n

n

Então a série

0 1

1

n

n

n é simplesmente convergente.

Se 1x , temos

00 0

121

1

1

1

1

1

11

nn n

nnn

nnn, que é uma série divergente,

como foi visto acima.

Podemos então concluir que a série

0

1

11

n

nn

n

x é convergente para 11 x .

f)

1 !1

2

n

nn

n

x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

2lim

2

!

!1

2lim

!

2

!1

2

lim11

nn

n

n

nr

nn

n

nn

n

n . Podemos então dizer que a série

converge absolutamente para qualquer valor de x, uma vez que o raio de convergência é .

g) n

n

n 2

nx

n !

Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

en

n

nn

nn

n

n

n

n

n

n

r

n

nn

n

nn

n

n

1

1lim

11

!1

!lim

!1

1

!lim1

. Podemos então dizer

que a série converge absolutamente para e

x1

, ou seja, para e

xe

11 .

h)

1 2nn

nx Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

22.22

1lim

2

12

1

lim

1

n

nn

n

n

nr . Podemos então dizer que a série converge

absolutamente para 2x , ou seja, para 22 x . 11 x . Vamos ver agora a

natureza da série quando 2x e quando 2x .

Se 2x , temos :

11

12

2

nnn

n

. Esta série é divergente, pela condição necessária de

convergência.

Se 2x , temos :

11

12

2

n

n

nn

n

. Esta série é alternada e é divergente, pela

condição necessária de convergência.

i)

0nn

n

n

x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

n

n

n

nn

n

n

n n

nnnn

n

n

nr1

1lim111

lim

1

1

1

lim

1

. Podemos então

dizer que a série converge absolutamente para qualquer valor de x.

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

j)

03 2

3

n

nn

n

x Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

3

1

23

21lim

3

21

2

3lim

21

3

2

3

lim3

3

1

3

3

3

1

3

n

nn

n

n

nrnn

n

nn

n

n

Podemos então dizer que a série converge absolutamente para 3

1x , ou seja, para

3

1

3

1 x . Vamos ver agora a natureza da série quando

3

1x e quando

3

1x .

Se 3

1x , temos :

03

03 2

1

3

1

2

3

n

n

n

n

nn. Esta série é convergente, por comparação

com a série

03

1

n n.Vejamos:

Usando o 1º critério de comparação, temos :

33

1

2

1

nn

e

03

1

n n, como sabemos é uma série convergente (série de Dirichlet com

1 ). Usando o 1º critério de comparação, concluímos então que a série dada é

convergente.

Se 3

1x , temos :

03

03 2

11

3

1

2

3

n

n

n

n

n

nn. Esta série é alternada. Para estudar

a sua natureza, vamos começar por estudar a natureza da série dos módulos:

03 2

1

n n. Esta

série, como vimos acima, é convergente, então, como a série dos módulos é convergente, a

série

03 2

11

n

n

né absolutamente convergente.

Conclusão: A série

03 2

3

n

nn

n

x, converge para

3

1

3

1 x .

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

k)

0

2

!21

n

nn

n

xVamos aplicar o critério de D´Alembert à série dos módulos, pois a

série não está na forma n

n

n xa

0

.Temos então:

102212

1lim

!21

!121lim

!21

!121

lim

1

2

2

121

2

121

nnx

x

n

n

x

n

x

n

xn

nn

nn

n

nnn

nn

n

Logo, a série é convergente, qualquer que seja o valor de x.

l)

n

n

xn

n

0 !2

!3 Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

0332313

2212lim

!13

!12

!2

!3lim

!12

!13

!2

!3

lim

nnn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

rnnn

Conclusão: A série

n

n

xn

n

0 !2

!3, converge apenas para 0x .

m)

0

1 ! n

n

n x

. Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o seu raio de

convergência:

02

1lim

!2

!1lim

nn

nr

nn

Conclusão: A série

n

n

xn

n

0 !2

!3, converge apenas para 0x .

n)

1

1

1

2

n

nn

n

x A série não está na forma n

n

n xa

1

, por isso, temos que usar o critério

de D´Alembert para estudar a sua natureza.

Temos então:

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

xn

nx

x

n

n

x

n

x

n

x

nnn

nn

nnn

nn

n2

2

12lim

2

1

2

2lim

1

2

2

2

lim1

21

1

21

A série é convergente para 12 x , ou seja, para 2

1

2

1

x .

Se 2

1x , temos

111

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

12

nnn

n

n

nnn, que é uma série divergente por

comparação (2º critério de comparação)com

1

1

n n.

Se 2

1x , temos

11

1

1

1

1

1

2

1

1

12

1

1

2

12

n

n

n

n

n

n

n

nnn, que é uma série

alternada simplesmente convergente, pois a série dos módulos é divergente e as três

condições do critério de Leibniz são satisfeitas.

Conclusão: A série

1

1

1

2

n

nn

n

x converge para

2

1

2

1

x .

o)

n

n

nx

n

n

1 12...5.3.1

...3.2.11 Estamos perante uma série de potências de x.

Vamos calcular o raio de convergência desta série:

2)1(

121lim

1...3.2.1

112...5.3.11

12...5.3.1

...3.2.11lim

112...5.3.1

1...3.2.11

12...5.3.1

...3.2.11

lim

12

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

r

n

n

nn

nn

n

n

A série

n

n

nx

n

n

1 12...5.3.1

...3.2.11 , converge apenas para 22 x .

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Se 2x , temos

n

n

n

n

n2

12...5.3.1

...3.2.11

1

, que é uma série alternada. Vamos estudar a

natureza da série dos módulos:

n

n n

n2

12...5.3.1

...3.2.1

1

. Podemos aplicar o critério de

D´Alembert:

2

1

12

)1(lim

...3.2.1

12...5.3.1

112...5.3.1

1...3.2.1lim

12...5.3.1

...3.2.1

112...5.3.1

1...3.2.1

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

A série em 2x é absolutamente convergente.

Se 2x , temos

n

n

n

n

n2

12...5.3.1

...3.2.11

1 n

n n

n2

12...5.3.1

...3.2.1

1

, que é a série que

acabámos de estudar acima e que vimos que era absolutamente convergente.

Conclusão: A série

n

n

nx

n

n

1 12...5.3.1

...3.2.11 , converge apenas para 22 x .

p)

1 13...10.7.4

2...6.4.2

n

nxn

n Estamos perante uma série de potências de x. Vamos calcular o

raio de convergência desta série:

2

3

)22(

43lim

22...6.4.2

43...10.7.4

13...10.7.4

2...6.4.2lim

43...10.7.4

22...6.4.2

13...10.7.4

2...6.4.2

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

r

n

nn

A série

1 13...10.7.4

2...6.4.2

n

nxn

n, converge apenas para

2

3

2

3 x .

2- A série

1 3n

sen nx

n n

é absolutamente convergente para x , pois sabemos que

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

2

1

3 nnn

nxsen

, ora, pelo 1º critério de comparação podemos então concluir que a série

1 3n nn

nxsen é absolutamente convergente, pois

12

1

n n é convergente.

3- O raio de convergência da série

0

k

n

n

n!x

kn !

, é dado por

k

knn

kn

kn

nkn

kn

nkn

kn

n

kkknknknkn

kkn

kn

nk

kn

nk

knr

1

!1

!

!1

!

!1

!

...321lim

!

!lim

!1

!lim

!1

!lim

4- a)

2 1

2!

n

n

n

xn Estamos perante uma série de potências de 2x . Vamos

calcular o raio de convergência desta série:

0

11lim

!11

!lim

!11

!

lim

nn

n

n

n

n

n

n

nn

n

rnnn

Como o raio de convergência é zero, a série converge apenas para x=2.

b)

0 42

4

n

n

n

x Estamos perante uma série de potências de 4x . Vamos calcular o

raio de convergência desta série:

16242

1lim

62

142

1

lim

nn

n

nrnn

Como o raio de convergência é um, a série converge absolutamente para

141 x , ou seja para 53 x .

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Se x=5, temos

00 42

1

42

45

nn

n

nn. Podemos estudar a natureza desta série, usando o 2º

critério de comparação e usando a série

1

1

n n, para comparação, que como sabemos é uma

série divergente (série harmónica):

,0242

1lim

42

1

1

lim nn

n

nnn

As séries são da mesma natureza, por isso divergentes.

Se x=3, temos

00 42

1

42

43

n

n

n

n

nn, que é uma série alternada. Para estudar a sua

natureza, vamos começar por estudar a série dos módulos:

0 42

1

n n, que já vimos

anteriormente que é divergente, tendo por isso que recorrer ao critério de Leibniz:

i) 042

1

n

ii) 042

1lim

nn

iii)

42

1

n é decrescente, pois, 1

42

62

62

142

1

n

n

n

n

Podemos então concluir que a série é simplesmente convergente.

O intervalo de convergência da série

0 42

4

n

n

n

xé 5,3

c)

0 2

3

nn

nx

Estamos perante uma série de potências de 3x . Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

2222

1lim

2

12

1

lim

1

n

nn

n

n

nr

Como o raio de convergência da série é 2, a série converge absolutamente para

232 x , ou seja, para 51 x .

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Se x=5, temos

00

12

35

n

n

nn

n

, que é uma série divergente, pela condição necessária de

convergência.

Se x=1, temos

00

12

31

n

n

nn

n

, que é uma série divergente, pela condição necessária

de convergência.

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é 5,1 .

d)

1

3n

n

x

n

Estamos perante uma série de potências de 3x . Vamos calcular o raio de

convergência desta série:

111

lim

1

1

1

lim

nn

n

nrnn

Como o raio de convergência da série é 1, a série converge absolutamente para

131 x , ou seja, para 42 x .

Se x=4, temos

11

134

nn

n

nn, que é uma série harmónica, que como sabemos é

divergente.

Se x=2, temos

11

132

n

n

n

n

nn, que é uma série alternada. Para estudar a sua

natureza, vamos começar por estudar a série dos módulos, ou seja, a série

1

1

n n , que

acabámos de ver que é divergente. Assim sendo, temos que recorrer ao critério de Leibniz:

i) 01

n

ii) 01

lim nn

iv)

n

1 é decrescente, pois 1

1

1

1

n

n

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Então a série

1

1

n

n

n é simplesmente convergente.

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é 4,2 .

e)

1

111

n

nn

n

x Estamos perante uma série de potências de 1x . Vamos

calcular o raio de convergência desta série:

111

11lim

1

11

11

lim21

2

1

n

n

n

nrnn

nn

n

n

Como o raio de convergência da série é 1, a série converge absolutamente para

111 x , ou seja, para 02 x .

Se x=0, temos

11

11101

n

n

n

nn

nn, que é uma série simplesmente convergente

(estudada na alínea anterior)

Se x=-2, temos

11

12

1

111121

nn

n

n

nn

nnn, que é uma série divergente (série

harmónica) .

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é 0,2 .

f)

0

54

3

n

n

n

x Estamos perante uma série de potências de 5x . Vamos

calcular o raio de convergência desta série:

3

4

3

4

4

3lim

4

3

4

3

lim

1

1

nn

nn

n

nr

EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIES NUMÉRICAS

Séries de Potências

[2011]

Como o raio de convergência da série é 3

4, a série converge absolutamente para

3

45

3

4 x , ou seja, para

3

11

3

19 x .

Se 3

11x , temos

000

13

4

4

35

3

11

4

3

n

n

n

nn

n

nn

, que é uma série

divergente, pela condição necessária de convergência.

Se 3

19x , temos

00

153

19

4

3

n

n

n

n

n

, que é uma série divergente, pela

condição necessária de convergência.

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é

3

11,

3

19.

g)

0

2n

nxn Estamos perante uma série de potências de 2x . Vamos calcular o raio de

convergência desta série: 11

lim

n

nr

n

Como o raio de convergência da série é 1, a série converge absolutamente para

121 x , ou seja, para 31 x .

Se 3x , temos

00

23nn

nnn , que é uma série divergente, pela condição necessária

de convergência.

Se 1x , temos

00

121n

n

n

nnn , que é uma série divergente, pela condição

necessária de convergência.

Concluímos então, que o intervalo de convergência da série é 3,1 .

h)

0

510

!1

n

n

nx

nEstamos perante uma série de potências de 5x . Vamos calcular o

raio de convergência desta série:

0

2

10lim

!2

10

10

!1lim

10

!210

!1

lim1

1

nn

n

n

n

rn

n

nn

n

n

n

Como o raio de convergência é zero, a série converge apenas para 5x .