1 MA91A – Cálculo Diferencial e Integral I Regra da cadeia: derivação de composições de...
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1
MA91A – Cálculo Diferencial e Integral I
Regra da cadeia: derivação de composições de funções
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2
Utilizando a regra do produto, podemos encontrar a derivada de
232 xy 3232 xxy
232232' xxy
2322' xy
324' xy
vuy ''' vuuvy
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3
E se fosse
332 xy 3232 2 xxy
2)32()32(432' 2 xxxy
22 )32(2324' xxy 2326' xy
vuy ''' vuuvy
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4
Percebe algum padrão?
332 xy
2326' xy
232 xy
324' xy
E se fosse
1732 xy 1632217' xy
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5
E se fosse?
nxy 32
1322' nxny
Calcule então a derivada de 52 32 xy
4242 32203254' xxxxy
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6
E se fosse?
nxuy )(
1)()('' nxunxuy
Calcule então a derivada de 5senxy
44 cos44cos' senxxsenxxy
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7
Note que nxuy )(
))(( xufy
ondenxxf )(
é uma composição do tipo
Então
)(
)(
1
)(
)()(''
xuem
aplicadaxfde
Derivada
n
xude
Derivada
xunxuy ))((')('' xufxuy
Regra da cadeia
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Aplique a regra da cadeia nos casos a seguir
xxseny 73 )7cos(73' 32 xxxy
22 tgxxtgy
xtgxtgxxy 212 sec22sec'
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A função a seguir descreve a corrente elétrica, em ampères, em função do tempo, em segundos
tsenty 434cos
Determine para quais valores de tempo a corrente assume valor máximo e valor mínimo.
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Encontre, se existirem, os pontos críticos da função
xsenxeyx
cos2
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Como xxf )(
xxf 2)(
Derivando ambos os lados, em relação a x, obtemos 1)(2)(' xfxf
é equivalente a
Então
xxf
21)('
)(21)('xf
xf
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Utilizaremos a regra da cadeia para derivar identidades e encontrar algumas fórmulas importantes
Derivando ambos os lados, em relação a x, obtemos 1)(' )( xfexf
Então
xxf 1)(' )(
1)(' xfexf
Seja xxxf elogln)( Então xe xf )(
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No caso de funções trigonométricas inversas:
Derivando ambos os lados, em relação a x, obtemos 1))(cos()(' xfxf
))(cos(1)('
xarcsenxf
Seja )()( xarcsenxf Então xxfsen ))((
21
1)('x
xf
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De modo similar obtemos:
21
1'arccosx
x
21
1'x
arctgx
Qual é então a derivada de )2()( 3 xarctgxf
232
)2(113)('
x
xxf
543)(' 36
2
xxxxf