1 Noções de cálculo vetorial

1.1 Campo vetorial

Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste planoassocia um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever ocomportamento de um �uido, um campo eletromagnético etc. Em coordenadascartesianas um campo F pode ser dado por suas componentes

F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x+ Fy (x; y; x) y + Fz (x; y; x) z :

Por exemplo, campoF = (3x� y) i+ (x+ 5y) j

que tem a forma

Figura 1

1.2 Fluxo

Um conceito importante no estudo da dinâmica de um �uido é o conceito de�uxo através de uma área.Imagine um pequeno quadrado inserido dentro de um �uido. Obviamente

o �uxo através deste quadrado depende da orientação do quadrado. Se ele forcolocado com a sua normal paralelo a velocidade o �uxo, i.e., a quantidade de�uído por unidade de tempo que atravessa este quadrado vale

� =1

dt(v:dt:a) = v:a

enquanto se ele for colocado perpendicular a velocidade do �uido não haverá�uxo. Este resultado pode ser resumido como

� = F:a: cos � = F:a

1

Obsreve que o �uxo através de uma área é um escalar.Imagine agora que você deseja calcular o �uxo através de uma superfície

fechada (um balão). Para fazer isso podemos primeiro dividir esta superfícieem vários quadradinhos e usar o conceito acima para calcular o �uxo atravésde cada um destes quadrados. Como queremos saber se há �uido entrando ousaindo do balão, damos um valor positivo para a normal de cada área que apontapara fora do balão e negativo para a que aponta pra dentro. Chamamos isso deorientar as áreas.

Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica

O �uxo total pelo balão será

� =Xi

F:�ai

No limite de ai ! 0, temos

� =

ZF:da

esta é uma integral de superfície de um campo vetorial F . Ou seja, a integral desuperfície de F sobre uma superfície S signi�ca apenas dividir S em pequenaspartes, cada uma representada por um vetor orientado para fora de S e tomaro produto escalar desta área com o valor de F no local.

1.3 Divergente

Nosso objetivo aqui é estudar características locais, ou pontuais, do nosso �uido.Em outras palavras, queremos de�nir quantidades como as densidades dos cor-pos extensos (densidade de carga, de massa etc). Para uma superfície qualquer�nita do nosso campo temos um �uxo, nosso objetivo aqui é obter um densi-dade de �uxo, ou seja, um �uxo por unidade de volume. A partir destaquantidade, como no caso da densidade de massa, podemos tanto obter o �uxode superfícies �nitas, quanto conhecer características locais do �uido. Isso nospermitirá também caracterizar o movimento do �uído.Imagine uma superfície qualquer S e o �uxo (Figura 3-a)

� =

ZS

F:da

Agora divida esta superfície em duas partes: S1 e S2 (Figura 3-b) teremos entãodois �uxos

�i =

ZSi

F:da

2

Figure 1: Figura 3 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley � Vol.2 �Eletromagnetismo

O ponto importante aqui é que o �uxo pela interface entre as superfícies tem omesmo valor e sinal contrário (pois é orientado para fora de cada uma delas) desorte que

� = �1 +�2

E isso é verdade para qualquer divisão que façamos da superfície. Vamosagora dividir esta superfície em N superfície bem pequenas Si (Figura 3-c), pelomotivo descrito acima temos

NXi=1

ZSi

F:da =

ZS

F:da = �

Ou seja, a soma do �uxo por cada superfície do balão é igual ao �uxo total pelobalão (Figura 3-d).Nosso interesse é identi�car alguma característica do �uido relacionado com

o limite quando N cresce enormemente. Observe que a integral

�i =

ZSi

F:da

não pode ser tomada como esta característica porque ela depende das divisõesdo volume, i.e., se dividirmos o volume no meio �i também cai pela metade e,

3

além disso, certamente �i ! 0 quando Si ! 0. Podemos entretanto obter umaquantidade �nita que não dependa do volume se tomarmosR

SiF:da

Vi

onde Vi é o volume dentro da área Si. Uma vez que Vi ! 0 quando Si !0 a quantidade acima pode tender a um valor �nito que, conseqüentemente,caracterizará o comportamento do �uido em torno de um ponto qualquer. Aquantidade acima, no limite de Vi ! 0 se chama o divergente do campo F

divF = limVi!0

1

Vi

ZSi

F:da

onde Si é uma superfície que envolve Vi.Assim, o divergente de F é o �uxo que sai de Vi, por unidade de volume,

para um volume in�nitesimal.´O divergente é uma grandeza escalar que pode variar de ponto a ponto e

seu valor num determinado ponto (x; y; z) é a integral acima com o ponto nointerior de Vi.O divergente está relacionado com quanto de �uido entra (ou sai) de um

volume, seja pela criação (ou absorção) deste �uido, seja pela sua compressão.

1.3.1 Teorema de Gauss

Uma vez conhecido o divergente de uma função, podemos refazer o processodescrito acima, no sentido inverso, e calcular o �uxo de F numa superfície �nitaS Z

S

F:da =

NXi=1

ZSi

F:da =

NXi=1

�1

Vi

ZSi

F:da

�Vi

No limite Vi ! 0 temos

limVi!0

NXi=1

�1

Vi

ZSi

F:da

�:Vi =

ZV

divF dV

Com isso temos ZS

F:da =

ZV

divF dV

Este é o teorema da divergência.Se o TD é válido para qualquer campo vetorial, certamente também é válido

para o campo elétrico. Da lei de Gauss (que é uma conseqüência da lei deCoulomb) temos Z

S

E:da =Q

"0=

ZV

�

"0dV

usando o TD temos ZS

E:da =

ZV

divE dV =ZV

�

"0dV

4

Figure 2: Figua 4 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley � Vol.2 �Eletromagnetismo

O resultado acima tem de ser válido para qualquer volume. Isso só é possível seos integrandos forem iguais em qualquer ponto

divE =�

"0

1.3.2 O divergente em coordenadas cartesianas

A de�nição acima independe de qualquer sistema de coordenadas. Entretanto,para efetivamente efetuamos alguma conta, precisamos ter uma forma práticapara determinar o divergente de algum campo F. Para isso fazemos F =F (x; y; x) o que signi�ca que introduzimos algum sistema de coordenadas noespaço. Se este sistema é cartesiano o campo vetorial F pode ser decompostoem 3 funções escalares:

F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x+ Fy (x; y; x) y + Fz (x; y; x) z

Vamos calcular o �uxo desta função por um cubinho de ladp�x;�y;�z (Figura4-a)Para a face superior e inferior (Figura 4-b) temos os vetores �x�yz e

�x�y (�z). Assim, quando �zemos o produto escalar de F com estas áreas,apenas a função Fz sobreviverá. Ou seja, o �uxo é a diferença entre o valormédio (no ponto médio das superfícies) de Fz nas faces interiores e superiores.Em primeira ordem de aproximação esta diferença vale

@Fz@z

�z :

O valor médio da função na face inferior vale (Figura 4-b)

Fz (x; y; x) +@Fz@x

�x

2+@Fz@y

�y

2:

5

Já o valor médio da função na face superior vale (Figura 4-b)

Fz (x; y; x) +@Fz@z

�z +@Fz@x

�x

2+@Fz@y

�y

2:

Assim, o �uxo na direção z vale�Fz (x; y; x) +

@Fz@z

�z +@Fz@x

�x

2+@Fz@y

�y

2

��x�y��

Fz (x; y; x) +@Fz@x

�x

2+@Fz@y

�y

2

��x�y

=@Fz@z

�z�x�y

Da mesma forma, os �uxos nas demais direções valem

@Fx@x

�z�x�y ;@Fy@y

�z�x�y

De sorte que o �uxo total vale

� =

�@Fx@x

+@Fy@y

+@Fz@z

��z�x�y

pela nossa de�nição de divergente temos

divF = limV!0

1

V� =

�@Fx@x

+@Fy@y

+@Fz@z

��z�x�y

V

=@Fx@x

+@Fy@y

+@Fz@z

Assim, em coordenadas cartesianas:

divF =@Fx@x

+@Fy@y

+@Fz@z

(1)

1.4 Integrais de linha

Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o tra-balho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremosmover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num campogravitacional, ou ainda um barco por um rio.Em todos estes casos, o trabalho realizado será:

W =

ZC

F:dr (2)

onde F (x; y) = U (x; y) { + V (x; y) | é o campo vetorial (neste caso a força) edr = {dx+ |dy um elemento de deslocamento na trajetória C. Em geral este

6

trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentidoque este caminho é seguido.Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo (cujo grá�co é

apresentado na Figura 1)

F = (3x� y) i+ (x+ 5y) j

sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como

x = cos!t ; y = sin!t ; t 2�0;2�

!

�onde ! está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim

W =

ZC

F:dr =

ZC

(U (x; y) dx+ V (x; y) dy)

x = x (t) ; y = y (t) =) dx =dx

dtdt ; dy =

dy

dtdt ;

W=

Z 2�!

0

�(3x� y) dx

dt+ (x+ 5y)

dy

dt

�dt

dx

dt= �! sin!t ; dy

dt= ! cos!t

W=

Z 2�!

0

((3 cos!t� sin!t) (�! sin!t) + (cos!t+ 5 sin!t) (! cos!t)) dt

= !

Z((�3 + 5) sin!t cos!t+ 1) dt = !

Z 2�!

0

(2 sin!t cos!t+ 1) dt

= !

2

Z 2�!

0

sin!t cos!tdt+2�

!

!= !

2

Z 2�!

0

1

2sin 2!t dt+

2�

!

!

= !

Z 2�!

0

sin 2!t dt+2�

!

!= !

� 1

2!cos 2!t

����2�=!0

+2�

!

!

= !

�2�

!

�= 2�:

Observe como o valor calculado não depende de !, a velocidade com quepercorremos a curva.�

1.5 O rotacional de uma função

O divergente nos fala sobre o �uxo em torno de um ponto do �uido, o que,obviamente, está relacionado com pontos onde surge ou desaparece �uido, i.e.,fontes ou sorvedouros. Ou ainda pontos onde o �uido possa ser comprimido. En-tretanto, é possível que haja movimento num �uido mesmo que nenhum destesefeitos ocorra. Por exemplo, você pode fazer circular um �uido num balde. Issocria rodamoinhos no �uído.

7

Figure 3: Figura 5 -Figura retirada do Curso de Física Berkeley � Vol.2 �Eletromagnetismo

Este tipo de movimento tem a característica de exigir que realizemos trabalhopara mover um corpo através de um circuito fechado do campo (ou do �uído).E pode ser medido através da integral

� =

ZC

F:ds

Esta quantidade é chamada circuitação (ou circulação) do campo.Precisamos orientar o caminho. Fazemos isso exigindo que a parte interna

�que sempre a nossa esquerda (Figura 5-a).Dado um circuito qualquer C (Figura 6-a) podemos dividi-lo em 2 partes C1

e C2 (Figura 6 -b). Uma vez que a interface entre os dois caminhos é percorridano sentido contrário (Figura 6-b) temos

�1 + �2 = �

O mesmo pode se obtido dividindo o circuito em N partes (Figura 6-c)

� =NXi=1

�i

Mais uma vez, estamos interessados numa quantidade característica do �uido,relacionado com seu comportamento em cada ponto. Novamente, esta quanti-dade não é a circuitação, pois, se ai é a área encerrada pelo caminho Ci, temosCi ! 0 quando ai ! 0. Mas, assim como no caso do divergente, podemosesperar uma quantidade �nita fazendo

�iai=

RCiF:ds

ai

8

Figure 4: Figura 6 -Figura retirada do Curso de Física Berkeley � Vol.2 �Eletromagnetismo

Figure 5: Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica

Diferente do divergente a circuitação acima depende da orientação da normalda superfície in�nitesimal Ci. Para uma circuitação in�nitesimal com área aina direção n temos

(rotF ) n = limai!0

RCiF:ds

ain

Ou seja, se o circuito Ci tem uma área ai na direção x então estamos calculandoa componente do rotacional na direção x. A quantidade acima é chamadarotacional do �uido e mede a circuitação, por unidade de área, em torno de umponto do campo. O divergente é um vetor.Fisicamente o rotacional de um �uido poderia ser medido com um dispositivo

como o da �gura abaixo:

9

1.5.1 Teorema de Stokes

Partindo do rotacional podemos obter a circuitação de um contorno �nito C

� =

ZC

F:ds =NXi

ZCi

F:ds =NXi

�1

ai

ZCi

F:ds

�ai

Usando a de�nição de rotacional

limai!0

�1

ai

ZCi

F:ds

�= (rotF ) n

e, neste limite ZC

F:ds =

ZS

[(rotF) n] da

Ou, como n está na direção de aZC

F:ds =

ZS

(rotF) da (3)

Este é o teorema de Stokes e relaciona a integral de linha do campo através deum circuito fechado com a integral de área do rotacional.Um ponto importante a se notas é que existem várias áreas diferentes que

possuem a mesma fronteira (como quando se esta sobrando uma bola de sabão).Então qual área selecionamos para aplicar o Teorema de Stokes? Note, entre-tanto, que o lado esquerdo de (3) não depende de qual área escolhemos. Issosigni�ca que o lado direito também não irá depender. Ou seja, para aplicar oTeorema de Stokes podemos usar qualquer área que tenha a curva comoborda. O que nos permite anunciar o seguinte:

Corollary 1RS(rotF) da depende apenas da fronteira da superfície S e não

da superfície em particular.

Do corolário acima, temos que se �zermos a borda da fronteira diminuir, deforma que C ! 0, o lado esquerdo de (3) vai à zero. Com o que temos

Corollary 2 para qualquer superfície fechadaIS

(rotF) da = 0 : (4)

1.5.2 Lei de Ampère

Uma corrente induz um campo magnético BIC

B:dl = �0I

10

Figure 6: Figura retirada do Curso de Física Berkeley �Vol.2 � Eletromag-netismo

onde I é toda a corrente que passa no interior do circuito C. Esta corrente podeser escrita como

I =

ZS

J da

onde J é a densidade de corrente e S qualquer superfície limitada pela curvafechada C. Com isso I

C

B:dl =

ZS

J da

Usando o teorema de StokesIC

B:dl =

ZS

(rotB) da = �0

ZS

J da

Para qualquer curva C, o que só pode ser verdade se

rotB =�0J

Que é a lei de Ampère.Um mecanismo para medir o rotacional de um campo eletromagnético pode-

ria ter a seguinte forma:

1.5.3 Rotacional em coordenadas cartesianas

Novamente a de�nição acima, apesar de geral, é pouco prática para o cálculo dorotacional conhecendo-se o campo. Vamos então obter uma expressão que per-mita determinar esta quantidade uma vez conhecida as componentes cartesianasdo campo.

11

Figure 7: Figura 7 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley � Vol.2 �Eletromagnetismo

Seja então F (x; y; z) = Fxx + Fyy + Fz z um campo de�nido num sistemacartesiano de unidades. Vamos calcular a circuitação do campo F por um ele-mento quadrado de lado �x e �y.Para isso, imaginando que os lados são in�nitesimais, podemos aproxima a

integral de linha simplesmente pelo produto (escalar) do valor do campo no meiodo percurso pelo comprimento do percurso. Assim, para os percursos horizontaistemos Z

�x

F:dl =Fx (xm; ym; zm)�x

Onde Fx (xm; ym; zm) é o valor do campo no meio do intervalo. Na parteinferior

Fax (xm; ym; zm) = Fx (x; y; z) +@Fx@x

�x

2Z�x

F:dl =

�Fx (x; y; z) +

@Fx@x

�x

2

��x

Enquanto na parte superior

Fbx (xm; ym; zm) = Fx (x; y; z) +@Fx@x

�x

2+@Fx@y

�y

2Z�x

F:dl = ��Fx (x; y; z) +

@Fx@x

�x

2+@Fx@y

�y

��x

onde o sinal de menos vem do fato do percurso ser feito na direção de �x(F:dl =Fx (�dx)).Para os lados verticais temosZ

�y

F:dl =Fy (xm; ym; zm)�y

12

Na parte esquerda

Fcy (xm; ym; zm) = Fy (x; y; z) +@Fy@y

�y

2Z�y

F:dl= ��Fy (x; y; z) +

@Fy@y

�y

2

��y

enquanto na direita

Fdy (xm; ym; zm) = Fy (x; y; z) +@Fy@y

�y

2+@Fx@x

�xZ�y

F:dl =

�Fy (x; y; z) +

@Fy@y

�y

2+@Fy@x

�x

2

��y

Com isso a nossa circuitação se tornaZC

F:dl=

�Fx (x; y; z) +

@Fx@x

�x

2

��x

��Fx (x; y; z) +

@Fx@x

�x

2+@Fx@y

�y

��x

��Fy (x; y; z) +

@Fy@y

�y

2

��y

+

�Fy (x; y; z) +

@Fy@y

�y

2+@Fy@x

�x

��y

=

�@Fy@x

� @Fx@y

��x�y

Tomando o limote

lima!0

RCF:ds

a= lim

�x;�y!0

h@Fy@x �

@Fx@y

i�x�y

�x�y=@Fy@x

� @Fx@y

Como obviamente a área �x�y aponta na direção z (Figura 7) esta é a com-ponente z do rotacional

(rotF) z =�@Fy@x

� @Fx@y

�z

Efetuando o mesmo procedimento para os contornos da Figura 8 temos

(rotF) x =�@Fz@y

� @Fy@z

�x

(rotF) y =�@Fx@z

� @Fz@x

�y

13

Figure 8: Figura 8 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley � Vol.2 �Eletromagnetismo

Ou, juntando todas as componentes

rotF =�@Fz@y

� @Fy@z

�x+

�@Fx@z

� @Fz@x

�y +

�@Fy@x

� @Fx@y

�z (5)

A expressão acima permite calcular o vetor rotacional conhecendo-se as compo-nentes cartesianas do campo.

1.6 O operador Nabla

Existe uma forma bastante conveniente de se expressar a equação (1) e (5). Paraisso introduzimos o operador vetorial

O = x @@x

+ y@

@y+ z

@

@z(6)

chamado de nabla. A quantidade acima é um operador diferencial, ou seja, elesó fornece um valor quando aplicado em alguma função. Por exemplo, quandoaplicado na função g (x; y; z) temos

Og = x@g@x

+ y@g

@y+ z

@g

@z

onde agora cada uma das componentes do vetor é um número que depende doponto (x; y; z), ou seja, o operador nabla permitiu contruir um vetor (Og) apartir de uma função escalar (g). Este vetor se chama o gradiente da função.O gradiente de uma função é um vetor que aponta sempre na direção em que afunção cresce mais rapidamente com a variação dos parâmetros.

14

O que acontece quando aplicamos o operador nabla num campo vetorial F?Neste caso, como ambos são vetores, podemos de�nir a palavra �aplicar�comoum produto escalar ou um produto vetorial.Se usarmos o produto escalar temos

O�F=�x@

@x+ y

@

@y+ z

@

@z

�(Fxx+ Fyy + Fz z)

=@Fx@x

+@Fy@y

+@Fz@z

Que podemos reconhecer como o divergente do campo (1). Se escolhermosde�nir a aplicação pelo produto vetorial temos

O� F=

������x y z@@x

@@y

@@z

Fx Fy Fz

������=

�@Fz@y

� @Fy@z

�x+

�@Fx@z

� @Fz@x

�y +

�@Fy@x

� @Fx@y

�z

Que podemos reconhecer como o rotacional do campo.É importante notar que apesar de sempre usarmos:

Og � gradiente de gO�F � divergente de F

O� F � rotacional de F

este operador só tem a forma (6) acima em coordenadas cartesianas.Além disso, em coordenadas cartesianas, podemos ainda de�nir:

x1 � x ; x2 � y ; x3 � z

com o que

@

@x=

@

@x1� @1 ;

@

@y=

@

@x2� @2 ;

@

@z=

@

@x3� @3

Usando estas de�nições temos

(Og) xi = @ig

O�F =3Xi=1

@iFi � @iFi

(O� F) xi = @jFk � @kFj com 1! 2! 3

onde no ultimo caso as componentes i; j; k (nesta ordem) devem seguir a ordemcíclica i = 1; j = 2; k = 3 ! i = 2; j = 3; k = 1 ! i = 3; j = 1; k = 2.Uma forma muito prática (e útil) de evitarmos ter de deixar sempre indicado

15

esta ordem cíclica é usarmos o chamado tensor completamente anti-simétrico deLevi-Civita, ou símbolo de Levi-Civita

"ijk

que é anti-simétrico nas três componentes

"ijk = �"jik = �"ikj

com"123 = 1

Como conseqüência esta quantidade vale zero se os índices se repetem (e.g,"112 = 0), muda de sinal para qualquer permutação de dois índices e mantémo sinal para permutações cíclicas. Estas propriedades podem ser expressas naigualdade

"ijk =(i� j) (j � k) (k � i)

2; i; j; k = 1; 2; 3 :

Usando esta quantidade, podemos de�nir a componente i do rotacional como

(O� F) xi =3X

j;k=1

"ijk@jFk � "ijk@jFk

Vamos calcular, por exemplo, o rotacional do gradiente de uma função

O� (Og) = "ijk@j (@kg) = "ijk@j@kg

=1

2("ijk + "ijk) @j@kg

=1

4("ijk � "ikj) @j@kg

=1

4("ijk@j@kg � "ikj@j@kg)

Lembrando agora que j e k são índices mudos

O� (Og) = 1

4("imn@m@ng � "imn@n@mg)

=1

4"imn (@m@n � @n@m) g

Usando agora@n@m = @m@n

temos1

O� (Og) = 1

4"imn (@m@n � @n@m) g

=1

4"imn (@m@n � @m@n) g

= 0

1O produto escalar de um tensor simétrico com um anti-simétrico é sempre nulo.

16

ou seja, o rotacional do gradiente é sempre igual a zero.O símbolo de Levi-Civita se relaciona com o delta de Kronecker através do

determinante2

"ijk"lmn =

�������il �im �in�jl �jm �jn�kl �km �kn

������ :Exercise 3 Usando o mesmo procedimento acima, mostre que o divergente dorotacional é sempre nulo.

Exercise 4 Mostre que

"ijk"mnk = �im�jn � �in�jm

Exercise 5 Usando a propriedade do exercício acima, mostre que

O� (O� F) = O (O � F )� O2FO2 � O � O = @i@i

1.7 Teoremas Fundamentais do Cálculo Vetorial

Voltando aos nossos teoremas (agora com o operador nabla) temosZV

r�F dV =IS

F� da (T. da divergência)ZS

r� F da =IC

F � ds (T. de Stokes)

O primeiro relaciona um volume com a sua fronteita, i.e., uma área. O segundorelaciona uma área com a sua fronteira, i.e., um caminho. Cada um deles diminuide 1 a dimensão do problema. Sabendo que a dimensão mínima que podemoschegar é o ponto, será que podemos diminuir ainda mais a dimensão do nossoproblema? Em outras palavras, existe alguma relação entre as extreminades deum camilho (uma linha) e a sua fronteira (dois pontos)? A resposta é sim.Relação entre as extremidades de uma linha

dT =@Tx@x

dx+@Ty@y

dy +@Tz@zdz

=

�@Tx@x

x+@Ty@y

y +@Tz@zz

�� (dx x+ dy y + dz z)

= (rT ) � ds

�T = T (P 0)� T (P ) =ZC

(rT ) � ds

2Veja o livro de Teoria do Campo do Landau.

17

onde C é um caminho que inicia em P e termina em P 0. AssimZC

(rT ) � ds =T (P 0)� T (P )

É importante notar que existem vários caminhos que permiter ligar estes doispontos. Entretanto, o lado direito da expressão assima não depende do caminho.Ou sejaSe F é o gradiente de alguma função (F =rT ) então a integral de caminho

de F só depende dois pontos iniciais e �nais. Chamamos um campo com estacaracterística de conservativo.Como consequencia do resultado acima temosI

C

(rT ) � ds =0 :

Mais ainda, comor� (rT ) = 0

Vemos que todo campo conservativo tem rotacional nulo. É possivem mostrarque o contrário também é verdade.I

C

(rT ) � ds =ZS

r� (rT ) da = 0

Como isso tem de ser válido para qualquer área

r� (rT ) = 0

Para uma área fechada (sem borda) temos (4)IS

r� F da =IC

F � ds = 0

Aplicando o teorema do divergenteIS

(r� F) � da =ZV

r� (r� F) dV = 0

Como isso é válido para qualquer volume

r� (r� F) = 0 :

18