2 - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL FEX 1001

1 Objetivo

Determinar a aceleração de queda livre de uma esferinha metálica. Veri�car que o movimento de queda de uma esferinha,quando presa a um disco, é afetado pela resistência do ar.

2 Teoria

Quando soltamos um corpo veri�camos que este corpo cai. No entanto, a maneira como ele cai depende, entre outrosfatores, da forma geométrica desse corpo. Por exemplo, pegue uma folha de papel A4 e deixe-a cair. Observe seumovimento de queda. Agora amasse totalmente esta folha de modo a formar uma bola. Solte-a novamente. De fato, seumovimento de queda é bastante diferente do anterior. Embora a massa da folha de papel tenha se mantido a mesma, suaforma geométrica foi alterada. Por outro lado, soltando esta mesma folha de papel amassada e uma esferinha de metal,ambas da mesma altura inicial em relação ao solo, e do repouso, veri�ca-se que ambas caem aproximadamente juntas.Poderíamos concluir que a aceleração de queda depende da massa do corpo em queda e ou de sua forma geométrica?Galileo Galilei propôs que, se toda a resistência do ar pudesse ser eliminada, os corpos cairiam da mesma maneira. Ouseja, se a di�culdade que o ar oferece ao movimento dos corpos fosse retirada, se �zéssemos um recinto com vácuo ese soltássemos diferentes corpos (com diferentes formas geométricas e diferentes massas), veri�caríamos que todos elescairiam com a mesma aceleração e mais, que esta aceleração é constante.

Ao soltarmos um corpo, por exemplo uma esferinha metálica, veri�camos que o mesmo encontra-se sujeito a ação deduas forças verticais (supondo que não tenha vento na direção transversal ao movimento) que são a força peso, produzidapela Terra, e a força de resistência do ar. Em geral, a força de resistência do ar é proporcional a alguma potência davelocidade do corpo, ou seja, quanto maior a velocidade, maior será a força de resistência do ar. Esta força tambémdepende de uma série de fatores, como a área efetiva do corpo, e a densidade do ar a sua volta. Resumidamente, podemosescrever que

Far = αvβ , (1)

em que α é uma constante que depende da área do corpo e da densidade do ar, entre outras, e β é uma constante positiva.Considere uma esferinha de massa m em queda. Adotando um sistema de referência orientado verticalmente para baixo,a 2ª Lei de Newton dá

mdv

dt= mg − αvβ . (2)

Podemos resolver esta equação para o caso particular de β = 1. Neste caso, a equação (2) �ca mdvdt = mg − αv cuja

solução é da forma

v = vT

(1 − e−t/τ

). (3)

Sabendo que v =dy

dt, pode-se chegar em

y = vT t+vTτ

(e−t/τ − 1

), (4)

que descreve a posição da esferinha, na vertical, em função do tempo. Nestas equações, vT é chamada de velocidadeterminal, ou seja, a velocidade da esferinha quando a força de resistência do ar se iguala a força peso. Então a partículaem queda, no caso a esferinha, passa a se movimentar com velocidade constante. τ é uma constante que possui dimensãode tempo e corresponde ao intervalo de tempo necessário para que a velocidade de queda cresça até 63, 2% da velocidadeterminal.

Para o caso em que β = 2 a solução para a equação (2) é da forma

v = vT tanh

(gt

vT

), (5)

que fornece para a altura y a função

y =v2Tg

ln

[cosh

(gt

vT

)]. (6)

Nas equações (5) e (6) vT também é a velocidade terminal da esferinha. Observe que valores diferentes de β levam asoluções diferentes. Observe também que são equações bastante diferentes daquelas características do MRUV1.

A queda livre é um caso particular em que não há resistência do ar ou o efeito desta é muito pequeno. Então a equação(2) torna-se, simplesmente, a = g e levando a um MRUV.

1Lembre-se de que as correspondentes equações do MRUV são v = gt e y =gt2

2. Todas as equações apresentadas valem para uma esfera

partindo do repouso, num referencial orientado positivamente para baixo com origem no ponto de partida da esfera.

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3 Descrição do Experimento

Neste experimento, uma esferinha de metal é solta de diferentes alturas e o tempo de queda é medido. São consideradasduas situações distintas: esferinha sozinha e esferinha com disco de papel. O disco de papel torna mais evidente o efeitoda força resistiva do ar, durante a queda da esferinha.

4 Equipamento/Material

1. Contador digital.

2. Suporte com lançador e detector de queda.

3. Régua centimetrada com lançador.

4. Esfera de metal.

5. Esfera de metal com disco de papel.

5 Procedimento Experimental

(a) Escolha dez alturas diferentes para o lançamento da esfera, sendo quatro delas menores do que 10, 0 cm, e completea Tabela na folha de questionário.

(b) Prenda a esfera na primeira altura escolhida. Zere o contador digital e prepare-o para o lançamento. Isto é feito,primeiramente, apertando o botão stop, seguido por reset e após, o botão start. Observe que uma luz verde acendeno contador digital. Não altere as escalas do contador! Veja a �gura abaixo.

(c) Solte a esfera sozinha medindo o tempo de queda diretamente no contador digital e anote o valor na tabela 1. Soltea esfera com o disco de papel da mesma altura e meça o correspondente tempo de queda.

(e) Repita os passos (b) e (c) anotando os tempos de queda até completar as tabelas.

(g) Responda às questões da folha de questionário.

Figura 1: Aparato experimental para estudo da queda livre e queda com resistência do ar.

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2 - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL FEX 1001

Tabela 1: esfera sem disco

h ( ) tq( )Tabela 2: esfera sem disco

h ( ) tq( )

1. Represente, num mesmo papel milimetrado, os dados das tabelas 1 e 2 e observe os tipos de curva para aesfera e para a esfera com o disco. As curvas são iguais? Os grá�cos obtidos eram esperados? Justi�que.

2. Considere que a relação matemática entre o tempo de queda e a altura de queda seja tq = Ahn, com A en constantes desconhecidas. Linearize esta equação mostrando claramente os coe�cientes linear e angular dareta.

3. A relação tq = Ahn pode ser aplicada ao caso da esfera sem disco? E para o caso da esfera com disco?Justi�que suas respostas.

4. Trace um grá�co linear em papel milimetrado para a esfera sem disco e esfera com disco, e determine asconstantes A e n para a esfera sem disco. Mostre os cálculos com clareza e indique os pontos lidos no grá�co.

5. Sabendo que o movimento de queda da esfera sem disco é do tipo MRUV, obtemos h =g

2t2q, nos dando a

previsão teórica das constantes A e n. Quais são estes valores? O movimento de queda da esfera com discopode ser considerado como MRUV? Justi�que.

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6. Calcule, com os dados das questões 4. e 5., o valor de g para o caso da esfera sem disco. Calcule tambémo erro percentual tomando como referência o valor 9, 81m/s2. Calcule ainda o erro percentual no valor de n,tomando como referência o valor teórico.

7. Escolha três alturas de lançamento e determine a velocidade da esfera sem disco no instante em que elatoca a base do sensor. Para isto, utilize o grá�co feito na questão 1. e lembre que a velocidade instantânea é

v =dy

dt, ou seja, é a inclinação da reta tangente.

8. Obtenha a equação do erro propagado no valor de g. Observe que ∆h = 0, 5 cm e que ∆tq = 0, 001 s.

Para resolver em casa:Construa, com os dados das Tabelas 1 e 2, um grá�co em papel di-log de h × tq. Comente a respeito dascurvas. Obtenha os valores de g e n para a esfera sem disco.

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