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Teoria da Computabilidade

Parte I - Teoria de Autômatos

FACIN-PPGCC

Ney Laert Vilar Calazans & Avelino Zorzo

{{calazanscalazans, , zorzozorzo}@}@inf.pucrs.brinf.pucrs.br

Última atualização – 03/09/2009

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Sumário1. PANO DE FUNDO

2. LINGUAGENS

3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS

4. EXPRESSÕES REGULARES

5. AUTÔMATOS FINITOS

6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO

7. TEOREMA DE KLEENE

8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS

9. LINGUAGENS REGULARES

10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES

11. DECIDIBILIDADE

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1. Pano de Fundo

• A teoria por trás de computadores– Modelos matemáticos para descrever:

• partes do computador• tipos de computadores• máquinas similares (e.g. sistemas embarcados)

• Modelos matemáticos:– Abstraem– Simplificam– Codificam– Assim, permitem racionalizar e descobrir sobre o que se modela

• antes não era claro!

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1. Pano de Fundo

• Matemático?– Modelos, por raciocínio dedutivo �� conclusões– Noção de prova - fundamental

• Conclusões em Teoria da Computabilidade– O que pode ou não pode ser feito!

• Computadores - não mencionados• Usa-se modelos matemáticos - Máquinas!• (Coleção de) Entradas de uma máquina

– Linguagem

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1. Pano de Fundo

• Fundamentos da Teoria da Computabilidade• Lógica matemática

– Teoria de conjuntos, Georg Cantor e conjuntos infinitos

– 1900 - Hilbert e seus problemas - 23 áreas– Um dos 23 problemas - teoria de conjuntos– Todo resultado comprovável é verdadeiro ou– Todo resultado verdadeiro é comprovável?– Hilbert desejava - método geral de prova!– Hilbert revisitado no século XXI:

• conjunto de programas de computador para resolver (quaisquer) problemas matemáticos

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1. Pano de Fundo

• Necessidade de Hilbert– Codificar linguagem universal na qual expressar

• algoritmos• procedimentos• programas

• 1931 - Kurt Gödel:– Não existe algoritmo para prover provas para todas as asserções verdadeiras em matemática!

• Conseqüência:– 1 - Que asserções têm provas? (Computabilidade)– 2 - Como se pode gerar estas provas? (Algoritmo)

Sinônimos

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1. Pano de Fundo

• Resultados (Church, Kleene, Post, Markov, von Neumann e Turing): – Blocos construtivos (poucos e simples) de modelo universal para algoritmos

– Máquina algorítmica universal

• Turing mostrou:– Certas questões sobre a máquina a máquina não é capaz de responder!

• Conseqüências:– Fim da esperança de Hilbert (definitivamente)– Modelo de Turing pode ser construído!

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1. Pano de Fundo

• Em paralelo:– Invenção da válvula eletrônica– Segunda Guerra Mundial

• Vastas somas em dinheiro• Problema prático - quebrar o código da Enigma (Turing)

• Começo– Um teorema sobre teoremas

• Hoje– A invenção mais usada desde a roda!

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1. Pano de Fundo

• Além da lógica matemática– Linguística formal

• O que é linguagem?• Como as pessoas as entendem?• Como as crianças as aprendem?• Chomsky - modelos matemáticos para a descrição de linguagens

– Pensamento e aprendizado - Psicologia e Neurologia

• McCulloch and Pitts - modelo de rede neural similar a Turing

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1. Pano de Fundo

• Áreas fundamentais de teoria da computabilidade– Teoria de Autômatos - ênfase aqui– Teoria de Linguagens Formais– Teoria de Máquinas de Turing - ênfase aqui

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2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

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2. Linguagens

• Elementos definitórios de linguagens formais– Alfabeto - conjunto finito de símbolos– Palavra - seqüência finita de elementos do alfabeto– Regras para a formação de palavras– Sentença - seqüência finita de palavras– Regras para a formação de sentenças– Linguagem - conjunto de sentenças (ou de palavras)

• Linguagens Formais– onde forma interessa, mais que o significado

• sintaxe interessa, não semântica– “Eu comi três terça-feiras” �� sentença correta!

– conceitos de palavra vazia (ΛΛΛΛ) e linguagem vazia (Ø)

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2. Linguagens

• Linguagens Formais– Conjunto de palavras �� linguagem sobre o alfabeto de letras (conjunto finito)

– Conjunto de sentenças �� linguagem sobre o alfabeto de palavras (conjunto infinito)

• eu comi uma maçã• eu comi duas maçãs• eu comi três maçãs• etc.

– associando gramática �� definição finita de linguagem infinita

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2. Linguagens

• Definindo Linguagens (Formais)– Regras de verificação– Regras construtivas

• Exemplo– alfabeto ΣΣΣΣ = {x}– Linguagem L1 = {x, xx, xxx, xxxx, ]} ou – Linguagem L1 = {xn para n=1, 2, 3, ]} – segunda forma �� conceito de concatenação– outro conceito �� comprimento de palavra, length(w)

• length(xxxx) = 4• length (ΛΛΛΛ) = 0.• Se length(w)=0, então w= ΛΛΛΛ

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2. Linguagens

• Exemplo: linguagem Inteiros (p. 11)• Função reverse

– reverse(xxx) = xxx– reverse(145) = 541

• Exemplo: linguagem PALINDROME– ΣΣΣΣ = {a, b}– PALINDROME = {ΛΛΛΛ, e todas as palavras sobre ΣΣΣΣ tal que reverse(x)=x}

• Fechamento de Kleene– Dado um alfabeto ΣΣΣΣ, a linguagem na qual qualquer palavra (ou cadeia) sobre símbolos do alfabeto pertence a esta. Simbologia: ΣΣΣΣ*

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2. Linguagens

• Fechamento de Kleene ou Kleene star– uma operação

• Ordem lexicográfica– ΣΣΣΣ* = {ΛΛΛΛ 0 1 00 01 10 11 000 001 ...}

• Kleene star de conjunto de palavras– S - conjunto de palavras– S* - conjunto de todas as cadeias finitas formadas pela concatenação de palavras de S

– ATENÇÃO - não confundir ENGLISH-WORDS* com ENGLISH-SENTENCES

• Exemplos - S={aa b} e T={a ab}. S*, T*?– Fatoração de palavras e fatoração única

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2. Linguagens

• Prova por algoritmo construtivo– Exemplo: S={xx xxx}. S* contém todas as cadeias de x exceto a cadeia x em si. Provar!

• x2 e x3 trivialmente existem em S*• concatenando sucessivos x2 pode-se formar todas as cadeias de comprimento par

• concatenando sucessivos x2 a x3 pode-se formar todas as cadeias de comprimento ímpar

• Método de prova mais importante aqui!• Se ΣΣΣΣ=Ø, então ΣΣΣΣ*={ΛΛΛΛ}• Se S={ΛΛΛΛ}, então S*={ΛΛΛΛ}, porque ΛΛΛΛΛΛΛΛ=ΛΛΛΛ

– Exceto nos dois casos acima, Kleene star é sempre conjunto infinito!

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2. Linguagens

• Exemplo:– S={a b ab} e T={a b bb}– S*=T*, porquê?

• Para excluir a palavra vazia do fechamento, tem-se:– se ΣΣΣΣ={x}, então ΣΣΣΣ+={x xx xxx ]} fechamento positivo

• Exemplo:– S={w1 w2 w3}– S+={w1 w2 w3 w1w1 w1w2 w1w3 w2w1 w2w2 ...}– Se w1=aa, w2=bbb, w3=ΛΛΛΛ, então S+={aa bbb ΛΛΛΛ aaaa aabbb ]}

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2. Linguagens

• Fechamento Kleene de um fechamento Kleene:– S** ou (S*)*– Teorema

• Para qualquer conjunto S de cadeias, S*=S**

– Prova• 1) Palavra em S**: formada por fatores de S* • 2) Fator de S*: formado por fatores de S• 3) Palavra em S** é formada por fatores de S• 4) palavra de S** é palavra de S*: S** ⊆⊆⊆⊆ S* (Parte 1)• 5) S ⊆⊆⊆⊆ S*, pois se pode escolher como palavra qualquer fator de S.

• 6) S*⊆⊆⊆⊆ S** por raciocínio análogo (Parte 2)• 7) juntando as duas relações, tem-se S*=S** Q.E.D.

• Problemas: 3/7/11/17/19

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2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

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3. Definições Recursivas

• Método para definir conjuntos• Formado por três passos:

– 1) Especificar alguns dos objetos básicos– 2) Fornecer regras para construir mais objetos a partir dos básicos

– 3) Estabelecer que nenhum objeto, exceto os assim formados fazem parte do conjunto

• Exemplo - conjunto dos pares - Definição 1– R1) 2 é elemento de PARES– R2) Se x é par, x+2 é elemento de PARES– R3) Todos e apenas aqueles elementos obtidos pela aplicação de R1 e R2 são elementos de PARES

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• Exemplo - conjunto dos pares - Definição 2– R1) 2 é elemento de PARES– R2) Se x e y são elementos de PARES, x+y é elemento de PARES

• Exemplo - conjunto dos inteiros positivos (N*N*)– R1) 1 é elemento de INTEIROS– R2) Se x é elemento de INTEIROS, x+1 é elemento de INTEIROS

• Exemplo - conjunto dos inteiros (Z)– R1) 1 é elemento de INTEIROS– R2) Se x e y são elementos de INTEIROS, x+y e x-y são elementos de INTEIROS

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• Exemplo - conjunto dos polinômios– R1) qualquer número real é elemento de POLINÔMIO– R2) A variável x é elemento de POLINÔMIO– R3) Se p e q são elementos de POLINÔMIO, p+q, p-q, (p) e pq são elementos de POLINÔMIO

• Mais exemplos - (p. 25)– x+

– x*– xodd

– INTEIROS– S*

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• Exemplo importante - expressões aritméticas– ΣΣΣΣ={0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - * / ( )}– R1) Qualquer número (positivo/negativo/zero) é elemento de EA

– R2) Se x é elemento de EA, também o são:• (x)• -x, se x não começa com sinal

– R3) Se x e y são elementos de EA, também o são:• x + y, dado que o primeiro símbolo em y é diferente de + e -• x - y, dado que o primeiro símbolo em y é diferente de + e -• x * y• x / y• x**y

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• Teoremas 2/3/4 (EA)• Fórmulas bem formadas (WFFs)

– ΣΣΣΣ={¬ →→→→ ( ) a b c ] y z}– R1) qualquer letra latina é WFF– R2) Se p é WFF, também o são (p) e ¬p– R3) Se p e q são WFFs, também o é p →→→→ q

• Problemas: 5/7/13/15/16/19

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2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

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4. Expressões Regulares

• Novo método para definir linguagens• Mais preciso que uso de elipses (...)• Baseado no conceito de fechamento Kleene• Exemplo:

– L4 = {ΛΛΛΛ x xx xxx ...}– O mesmo pode ser dito: dado S={x}, L4=S*– Outra forma L4={x}*– Notação reduzida xx* - seqüência de 0 ou mais letras x �� xx* = ΛΛΛΛ ou x ou xx ou xxx ou ]

– L4 = language(xx*)

• Outro exemplo:– L= {a ab abb abbb abbbb ...} �� L= language(abab*)

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• Outros Exemplos:– L1 = {x xx xxx ...} �� L1= language(xx+)– Language(aa*bb*) = {ΛΛΛΛ a b aa ab bb aaa aab abb bbb aaaa ...}

– Notar que aa*bb* ≠≠≠≠ (abab)*– L2={xodd} = language(xx(xxxx)*) = language ((xxxx)*xx)– Mas L2 ≠≠≠≠ language(xx*xxxx*)

• Nova notação: +– x + y - uma das cadeias x ou y

• Exemplo– ΣΣΣΣ={a b c}, T={a c ab cb abb cbb abbb cbbb ...}– T=language((aa + cc)bb*)

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• Para linguagens finitas:– L = {aaa aab aba abb baa bab bba bbb} �� L= language((a a + bb)3)

• A expressão (a a + bb)* representa todas as possíveis cadeias do alfabeto {a b}, incluindo a cadeia vazia

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• Definição de Expressão Regular (formal)– Símbolos de expressões regulares: letras do alfabeto ΣΣΣΣ, símbolo da palavra vazia ΛΛΛΛ, (, ), + e *;

– R1) Toda letra de ΣΣΣΣ pode ser uma expressão regular se escrita em negrito; ΛΛΛΛ é uma expressão regular;

– R2) Se r1 e r2 são expressões regulares, também o são:

• (r1r1)•• r1r2r1r2•• r1 r1 + r2r2•• r1r1*

– R3) Nada mais é expressão regular.

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• Detalhes derivados– a+ - descartado, pois equivalente a: aa*– se r1r1=aaaa+bb, r1* é (aaaa+bb)*, e não aaaa+bb*– linguagem vazia não incluída, formalmente, no conjunto de expressões regulares, mas aceita-se:

• para toda expressão regular rr, rr + φφφφφφφφ = rr e φφφφr = φφφφ

• Exemplos– (a+b)* a (a+b)*

• conjunto de todas as palavras com pelo menos 1 a

– donde, (a+b)* = (a+b)* a (a+b)* + b*– mas: a* = a* + a*, a* = a* + a* + a*, a* = a* + aaa– (a+b)* a (a+b)* a (a+b)* = b* ab* a (a+b)*

• conjunto de todas as palavras com pelo menos 2 as

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• Mais exemplos– b* a b* a b*

• conjunto de todas as palavras com exatamente 2 as

– (a+b)* a (a+b)* b (a+b)* + (a+b)* b (a+b)* a (a+b)*• conjunto de todas as palavras com pelo menos 1 a e pelo menos 1 b

• igual a: (a+b)* a (a+b)* b (a+b)* + bb* aa* (Prova na p. 39)

– (a+b)* a (a+b)* b (a+b)* + (a+b)* b (a+b)* a (a+b)* + a* + b* = (a+b)* Uma asserção pouco óbvia!!

– Nem toda ER pode ser facilmente expressa em palavras, e.g.:

• (ΛΛΛΛ + ba*) (ab*a + ba*)* b (a* + b*a) bab*• Não existe algoritmo para achar o significado de uma ER!

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• Mostrando a diferença entre ER e álgebra– (a + b)* = (a + b)* + (a + b)*– (a + b)* = (a + b)* + a*– (a + b)* = (a + b)* (a + b)*– (a + b)* = a (a + b)* + b (a + b)* + ΛΛΛΛ– (a + b)* = (a + b)* ab (a + b)* + b*a*

• Símbolo * denota (em geral) linguagem infinita– Se L é finita, ER em geral não possui *

• L = {abba baaa bbbb} �� L = language (abbaabba + baaabaaa + bbbbbbbb)

• Mais exemplos– Se V = {ΛΛΛΛ a b ab bb abb bbb abbb bbbb ...},

• V = b* + ab* ou V = (ΛΛΛΛ + a) b* �� similar à distributividade algébrica. CUIDADO!! (ab)* ≠ a*b* !!

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• Definição (multiplicação de conjuntos de palavras)– Se S e T são conjuntos de palavras, define-se o conjunto produto ST como sendo

• ST = {todas as combinações de uma palavra de S concatenada com uma palavra de T, nesta ordem}

– Exemplo: S = {a bb bab} e T = {a ab}• ST = {aa aab bba bbab baba babab}

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• Definição (linguagem associada a uma ER)– Toda ER define uma linguagem - regras de obtenção:

• R1) linguagem associada com ER que é letra simples é aquela letra e a linguagem associada a ΛΛΛΛ é {ΛΛΛΛ}

• R2) se r1r1 é ER associada à linguagem L1 e r2r2 é a ER associada com a linguagem L2, então:

– (i) a ER (r1r1) (r2r2), é associada ao produto de linguagens L1L2– (ii) a ER r1r1 + r2r2 é associada à união de L1 e L2– (iii) a linguagem associada à ER (r1r1)* é L1*

– Questões abertas:• quando ERs diferentes representam a mesma linguagem?

– Algoritmo construtivo do Capítulo 11

• toda ER �� linguagem. Toda linguagem �� uma ER? – Não. Discute-se no Capítulo 10

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• Teorema 5 (ERs e linguagens finitas)– Se L é linguagem finita, L pode ser definida por uma ER.

– Prova: basta transformar cada palavra em uma ER.

• Dificuldades para entender uma ER (1)– (a+b)* (aa+bb) (a+b)*

• conjunto de palavras com alguma letra dobrada

– (ΛΛΛΛ+b)(ab)* (ΛΛΛΛ+a)• conjunto de palavras sem nenhuma letra dobrada

– (a+b)* (aa+bb) (a+b)* + (ΛΛΛΛ+b)(ab)* (ΛΛΛΛ+a) = (a+b)* !!

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• Dificuldades para entender uma ER (2)– E = (a+b)* a (a+b)* (a+ΛΛΛΛ) (a+b)* a (a+b)*

• linguagem associada --> contém pelo menos 2 as

– aplicando distributividade• E = (a+b)* a (a+b)* a (a+b)* a (a+b)* +

(a+b)* a (a+b)* ΛΛΛΛ (a+b)* a (a+b)*• primeira parte --> qualquer palavra com pelo menos 3 as• segunda parte --> qualquer palavra com pelo menos 2 as• ou seja,

– E= (a+b)* a (a+b)* a (a+b)*

• Outras dificuldades– (a+b*)* = (a+b)*, mas– (aa+ab*)* ≠ (aa+ab)*– (a*b*)* = (a+b)*

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“Em resumo, não existe (ou não se conhece) um conjunto de regras algébricas para reduzir uma ER a outra equivalente.”

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• Mais um exemplo complicado– o que produz b*(abb*)* (ΛΛΛΛ + a) ??

• A linguagem de todas as palavras sem 2 as consecutivos!!

• A linguagem EVEN-EVEN– E = [aa + bb + (ab + ba)(aa + bb)* (ab + ba)]*

• A linguagem que contém todas as palavras com número par de as e de bs

– A ser usada com freqüência!

• Problemas - 5/7/14/17/18

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2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

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5. Autômatos Finitos

• Mais um método para definir linguagens!• Por quê finito?

– Porque o número de estados é finito!

• Por quê autômato?– Porque a transição entre estados é governada unicamente pela suas entradas (como autômato, não tem vontade própria!)

• Em inglês se usa o termo em grego:– um automaton– vários automata

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• Definição de Autômato Finito - um autômato finito é uma tripla assim definida:– 1. Um conjunto finito de estados; um estado é o estado inicial e um subconjunto dos estados (possivelmente vazio) representam estados finais;

– 2. Um alfabeto ΣΣΣΣ de possíveis letras de entrada;– 3. Um conjunto finito de transições, que designa qual o estado para onde ir a partir da recepção de uma letra de entrada, estando o autômato em um dado estado.

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• Definição descreve o que é autômato, não como ele funciona. Funcionamento:– a partir do estado inicial, dada um seqüência de letras de entrada, o autômato transiciona entre estados, uma para cada letra processada na seqüência dada.

• Exemplo de autômato finito (FA)– 1. S={x, y, z}; 2. ΣΣΣΣ={a,b}; 3. Transições:

• 3.1 - de x, com entrada a, vá para y.• 3.2 - de x, com entrada b, vá para z.• 3.3 - de y, com entrada a, vá para x.• 3.4 - de y, com entrada b, vá para z.• 3.5 - de z, com qualquer entrada, permaneça em z.


Estado inicial

Estados finais

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• Dada uma seqüência de letras (uma palavra)– autômato aceita palavra se, partindo do estado inicial, o processamento de toda a seqüência deixa o autômato em algum estado final.

• Conjunto de palavras aceitas definem a linguagem aceita pelo autômato

• Autômato aceita ou rejeita palavras• Autômatos podem ser vistos como reconhecedores de linguagens

• Exercício - definir uma ER para a linguagem aceita para o autômato exemplo! (aa+bb)*bb (aa+bb)*


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• Formatos de apresentação de autômatos– tabelas de transição - para o exemplo, tem-se:

– diagramas de transição - para o exemplo, tem-se:


a bx (Inicial) y zy x zz (Final) z z

x- y

z+

a

a

bb

ba

Testar funcionamento para as palavras:

- aaabba

- bbaabbbb

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• Exemplos– 1. Aceita (a+b)(a+b)* = (a+b)+

– 2. Aceita (a+b)*

– 3. Não aceita nada (nem ΛΛΛΛ), porquê?


- +

a

b

a, b

+/-

a, b

-

a

b

a, b

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• FAs e as linguagens definidas por eles– Quando se define linguagens com ER

• Fácil gerar palavras aceitas pela linguagem• Difícil avaliar se dada palavra é aceita

– Oposto ocorre com FAs• Fácil avaliar se palavra pertence à linguagem• Menos fácil definir subconjunto de palavras aceitas

– Assim questões importantes sobre máquinas (ER/FA):

• Dada uma linguagem, pode-se construir uma máquina?• Dada uma máquina, pode-se deduzir sua linguagem?

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• Exemplos– Linguagem sobre ΣΣΣΣ={a,b} que aceita palavras com número de letras par

– Linguagem dada por aa(aa+bb)*

1-+ 2

a,b

a,b

x- y

z+

b

a,b

a

a,b

x- y

z+

b

a,b

a

a,b

Ou

t+a,b

13

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• Exemplo: Construir linguagem sobre ΣΣΣΣ={a,b} que aceita palavras com triplos as ou triplos bs– 1.

– 2.

– 3.

- a +a a

-

a

+

aa

b b b

-

a

+

a

a

b b ba

bb a

a,b

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• Exemplo: Que linguagem é aceita pelo FA?

– A linguagem (a+b)*(aa+bb) (a+b)*

-

a

+

a

b b

b a a,b

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• Mais exemplos (páginas 64-71):– (a+b)(a+b)b(a+b)*– baa– baa + ab– linguagem que aceita qualquer cadeia de as e bsonde o número de bs é múltiplo de 3 (com e sem ΛΛΛΛ)

– linguagem {ΛΛΛΛ}– (a+b)*a– linguagem de todas as palavras que não terminam com b

– linguagem de todas as palavras que possuem número ímpar de as

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• Mais exemplos (páginas 68/69/70/71):– linguagem de todas as palavras que possuem dois as consecutivos

– linguagem de todas as palavras onde a primeira letra é diferente da última

– EVEN-EVEN– FA para detectar a subcadeia “cat” em um texto em inglês, composto de letras e espaços

• Problemas: 2/3/4/6/7/16/17/19

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2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

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6. Grafos de Transição

• Mais um método para definir linguagens!

• Muito parecido com FAs, mas mais flexível

• Mais propenso a confusões de interpretação

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• Relaxando as restrições sobre FAs:– 1. Múltiplas letras por transição

– 2. Transições implícitas

-

ba

+

a

aa,ab,bba,b

b

a,b-baa

+

Tudo maisa,b

a,b-

baa+

Eqüivale a:

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• Definição de aceitação de uma palavra por um grafo de transição– Em um grafo de transição, quando uma palavra que não foi completamente processada alcança um estado que ela não pode deixar porque não existe aresta de saída que possa ser seguida, diz-se que a máquina (ou a entrada) quebra (em inglês, “crashes”) naquele estado. Execução então termina e a entrada é rejeitada.

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• Problemas com grafos de transição (TG)– o TG abaixo aceita ou não a cadeia baa?

– Quantos caminhos distintos de aceitação de baab existem no TG abaixo?


- +aa,bb

a, ba,b

-

ba

+

ab

baa b

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• Definição de Grafo de Transição (TG)– Um grafo de transição é uma tripla assim definida:– 1. Um conjunto finito de estados; pelo menos um estado é o estado inicial (-) e um subconjunto dos estados (possivelmente vazio) representam estados finais (+);

– 2. Um alfabeto ΣΣΣΣ de possíveis letras de entrada, a partir do qual se formam seqüências (“cadeias”);

– 3. Um conjunto finito de transições (rótulos de arestas do grafo), que designa qual o estado para onde ir a partir da recepção de uma subseqüência de letras (inclusive a seqüência vazia ΛΛΛΛ), estando o autômato em um dado estado.

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• IMPORTANTE - o conceito de aceitação de palavras muda de FA para TG:– Em FAs toda palavra é aceita ou rejeitada de forma determinística (todos os caminhos são explicitamente definidos, toda transição depende de processar exatamente uma letra do alfabeto)

– Em TGs uma palavra é aceita se existe pelo menosuma maneira de processar toda a palavra de forma a chegar em algum estado final. Se a mesma palavra levar a quebras (crashes) ou estados não finais, estes caminhos são ignorados (dado que a primeira condição seja atendida).

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• Exemplos (páginas 80-85):– TGs com transições associadas à ΛΛΛΛ– baa– TGs com vários estados iniciais (simulados ou não)– exemplos de TGs com L={}, L={ΛΛΛΛ}– (aa+bb)*bb–– aa(aa+bb)*bb + bb(aa+bb)*aa– TG que aceita palavras terminadas por pelo menos 3 bs consecutivos e que tem as sempre aos pares

– TG para EVEN-EVEN– TG que aceita aa de infinitas maneiras

• Sempre há como eliminar arestas ΛΛΛΛ (Chap 7)

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• Definição - Grafo de Transição Generalizado (GTG)– Um grafo de transição é uma tripla assim definida:– 1. Um conjunto finito de estados; pelo menos um estado é estado inicial (-) e um subconjunto dos estados (possivelmente vazio) são estados finais (+);

– 2. Um alfabeto ΣΣΣΣ de possíveis letras de entrada;– 3. Um conjunto finito de arestas conecta alguns pares de estados, cada uma destas sendo rotulado com uma expressão regular.

- (ab+a)* (b+ΛΛΛΛ)

a* a*

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• Não-determinismo– a seguinte construção é possível (se não fosse, seria facilmente reproduzível de outras formas menos claras):

– o caminho para aceitar uma cadeia em um TG NÃO depende apenas das entradas, a máquina propicia algumas determinações por si!!

3 4

5

abb...

abb...

...

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• Problemas: 1/2/3/6/8/15/19

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2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

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7. Teorema de Kleene

• Teorema 6 (Teorema de Kleene - 1956)– Qualquer linguagem que pode ser definida por:

• uma expressão regular, ou • um autômato finito, ou• um grafo de transição

pode ser definida por qualquer dos três métodos.

• Resultado mais fundamental e mais importante da teoria de autômatos finitos

• Lógica da prova - razoavelmente complexa– para provar equivalência de três asserções ZAPS=ZEPS=ZIPS, prova-se que:

• ZAPS ⊂⊂⊂⊂ ZEPS ⊂⊂⊂⊂ ZIPS ⊂⊂⊂⊂ ZAPS

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• Estrutura da Prova:– Parte 1 - Toda linguagem que pode ser definida por um autômato finito também pode ser definida por um grafo de transição.

– Parte 2 - Toda linguagem que pode ser definida por um grafo de transição também pode ser definida por uma expressão regular.

– Parte 3 - Toda linguagem que pode ser definida por uma expressão regular também pode ser definida por um autômato finito.

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• Prova da Parte 1 (Toda linguagem que pode ser definida por um autômato finito também pode ser definida por um grafo de transição)– Parte mais fácil (decorre das definições de FA e TG)

• Todo FA é um TG. Logo, toda L definida por um FA já está automaticamente definida por um TG.

• Prova da Parte 2 (Toda linguagem que pode ser definida por um grafo de transição também pode ser definida por uma expressão regular)– Algoritmo construtivo para para transformar um TG em uma expressão regular

– Para ser válido como prova todo algoritmo deve:• valer para qualquer TG• terminar em tempo finito (executar em número finito de passos)

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• Primeiros passos do algoritmo (Parte 2). Sem alterar linguagem aceita:– Transformar TG para ter apenas 1 estado inicial– Fazer estado inicial não ter nenhuma aresta entrando nele

– Transformar TG para ter apenas 1 estado final– Fazer estado final não ter nenhuma aresta saindo dele

18

69


3- 45-

b ...ab

aa

21-

...

34

5

b ...ab

aa

21

...

Torna-se:

-

ΛΛΛΛ

ΛΛΛΛ

ΛΛΛΛ

12+

9+

...

b

aa

aba

Torna-se:

12

9

...

b

aa

aba

b

b

+

ΛΛΛΛ

ΛΛΛΛ

70


• Segundo passo do algoritmo (Parte 2). Itera com terceiro passo. Sem alterar linguagem aceita:– Eliminar arestas paralelas, ou seja, as que têm mesma origem e mesmo destino

x ...... x ......⇒⇒⇒⇒

3 7

r1

r2

...... ⇒⇒⇒⇒ 3 7r1+r2 ......

r1r2

r3

r1+r2+r3

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• Terceiro passo do algoritmo (Parte 2). Itera com segundo passo. Sem alterar linguagem aceita:– Eliminar todos os vértices diferentes de – e +

... ...1 r1 r32 3 ... ...1r1r3

3⇒⇒⇒⇒

... ...1 r1 r32 3

r2

⇒⇒⇒⇒ ... ...1r1r2*r3

3

72


• Terceiro passo (continuação)

⇒⇒⇒⇒... ...1 r1 r42 4

r2

3

5

r3

r5

...

...

... ...1r1r2*r4

4

3

5

r1r2*r3

r1r2*r5

...

...

⇓⇓⇓⇓

19

73


• Algoritmo construtivo (prova da Parte 2):– Passo 1 – Criar um único estado – inentrável, e um único + insaível

– Passo 2 – Um a um, elimine estados diferentes de –e + no TG, alterando o mesmo para manter a linguagem intacta, segundo as regras anteriores

– Passo 3 – Quando dois estados são unidos por mais de uma aresta na mesma direção, unifique-as, somando seus rótulos

– Passo 4 – Quando tudo que sobrar for – e + e uma aresta os unindo, a expressão regular sobre esta aresta gera a mesma linguagem que o TG de partida.

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• Prova da Parte 3 (Toda linguagem que pode ser definida por uma expressão regular também pode ser definida por um autômato finito)– A mais complicada– Série de algoritmos construtivos para converter ERs em FAs

– Um algoritmo para cada elemento definitório de ERs:

• letras e a palavra vazia (Regra 1)• alternativa (+) (Regra 2)• concatenação (Regra 3)• fechamento Kleene (*) (Regra 4)

– Cada Regra - prova correspondente

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• Regra 1 – Existe um FA que aceita qualquer letra do alfabeto e existe um FA que aceita somente a palavra vazia (ΛΛΛΛ).

• Prova: – 1) se x está em ΣΣΣΣ, então o FA abaixo aceita apenas a palavra x.

– 2) um FA que aceita apenas Λ Λ Λ Λ aparece abaixo.

...Qquer letra exceto x

- +x

Qquer letra

Qquer letra

-/+Qquer letra

Qquer letra

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• Regra 2 – Se existe FA1 que aceita L1=L(r1) e FA2 que aceita L2=L(r2), existe FA3 que aceita L3=L(r1+r2), onde r1 e r2 são ERs.

• Prova (algoritmo construtivo no livro)– Como construir FA3 de FA1 e FA2? Exemplos – Guia para a solução – estados de FA3 registram onde se encontram FA1 e FA2 a cada letra processada

– Se FA1 tem n estados e FA2 tem m estados FA3 terá no máximo n.m estados

– Cada estado de FA3 corresponde a um par de estados, um de FA1 e um de FA2.

20

77


• Regra 3 - Se existe FA1 que aceita L1=L(r1) e FA2 que aceita L2=L(r2), existe FA3 que aceita L3=L(r1r2), onde r1 e r2 são ERs.

• Prova – Algoritmo Construtivo• 1 – Criar um estado z para cada estado x não-final de FA1, alcançado antes de alcançar qualquer estado final de FA1.

• 2 – Para cada estado final de FA1, estabelecer um estado z que expressa as opções de continuar em FA1 ou ir para FA2.

• 3 – Após alcançar um estado salta-para-FA2 qualquer estado alcançado possui possibilidades x e y como na máquina união, com a opção adicional de que toda vez que se alcança um estado final de FA1 pode-se de novo exercitar a opção de ir para y1 (primeiro estado de FA2)

• 4 – Os estados finais são os estados z que “contêm” algum estado final de FA2.

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• Regra 4 - Se existe FA1 que aceita L1=L(r1), existe FA2 que aceita L2=L(r1*), onde r1 é ER.

• Prova – Dado um FA1 com estados x1,x2,...– 1) Criar um estado para cada subconjunto de “xizes”. Eliminar subconjuntos que contenham um estado final e não contenham o estado inicial.

– 2) Para todos os estados não-vazios, desenhar uma aresta ‘a’ e uma aresta ‘b’ para toda coleção de estados alcançável no FA original a partir dos “xizes” componentes do estado de partida, via uma única aresta ‘a’ ou ‘b’, respectivamente.

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• Prova – Continuação– 3) Nomear o estado vazio com -/+ e o conectar a quaisquer estados que o estado de partida esteja conectado por arestas ‘a’ ou ‘b’, mesmo o próprio estado inicial.

– 4) Colocar sinais + em todo estado contendo um componente x que é estado final no FA1

80


• Definição de Autômato Finito Não-determinístico:– É um TG com um único estado inicial e com a propriedade que cada um dos rótulos de suas arestas é uma única letra do alfabeto.

• Teorema 7– Para todo NFA, existe um FA que aceita a mesma linguagem.

• NFAs e o Teorema de Kleene– NFAs e o Teorema 7 fornecem outro meio de realizar a prova do Teorema de Kleene

• Problemas: 1/2/4/5/6/14

21

81


2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

82

8. Autômatos Finitos com Saída

• Em busca de um modelo (matemático) de um computador

• cadeia de Entrada – programa(s) e dados• Ler letras de um FA ≡ executar instruções, escrever na memória externa, etc.

• Parte do etc. são as saídas!• Saída pode ser vista como parte do estado• Ou não! Única tarefa que máquinas realizam até agora é reconhecer uma linguagem

• Se geração de saídas for explicitada, isto muda!

83


• Definição de Máquinas de Moore (1956) – É uma quíntupla formada por:– 1. Um conjunto finito de estados q0, q1, q2,..., onde q0 é o estado inicial;

– 2. Um alfabeto ΣΣΣΣ de possíveis letras de entrada;– 3. Um alfabeto ΓΓΓΓ de caracteres de saída;– 4. Uma tabela de transição, que designa para cada par (estado, letra de entrada) qual o estado para onde ir a seguir;

– 5. Uma tabela de saída, que designa para cada estado qual o caractere de saída a ser impresso.

84


• Definição de Máquinas de Mealy (1955) – É uma quádrupla formada por:– 1. Um conjunto finito de estados q0, q1, q2,..., onde q0 é o estado inicial;

– 2. Um alfabeto ΣΣΣΣ de possíveis letras de entrada;– 3. Um alfabeto ΓΓΓΓ de caracteres de saída;– 4. Uma representação pictórica, na forma de um grafo onde vértices representam estados e arestas representam transições entre estados. Arestas são dotadas de rótulos x/y, representando a letra de entrada que produz a transição (x) e a letra de saída gerada pela transição (y).

22

85


• Lembrando– Máquinas de Moore/Mealy não aceitam/rejeitam cadeias (ação não definida)

– Saída pode funcionar para identificar tal reconhecimento

– Por exemplo, uma máquina pode escrever 1 para indicar reconhecimento de palavra de uma linguagem e escrever 0 caso contrário.

86


• Moore = Mealy– Definição de equivalência – dada uma máquina de Mealy Me e uma máquina de Moore Mo, que imprime o caractere x no estado inicial, diz-se que Me e Mosão equivalentes se para qualquer cadeia de entrada a cadeia de saída de Mo é exatamente xconcatenado com a cadeia de saída de Me.

– Teorema 8• Se Mo é uma máquina de Moore, então existe uma máquina de Mealy Me que é equivalente a Mo.

– Teorema 9• Para toda máquina de Mealy Me, existe uma máquina de Moore Mo equivalente a Me.

87


• Prova do Teorema 8 (algoritmo construtivo)

• Prova do Teorema 9 (algoritmo construtivo)

a

bc

q4/t b/tc/t

a/t

q4⇒⇒⇒⇒

q4

a/0

b/1

b/0

a/1

b/1

⇒⇒⇒⇒

q1_4/0

ab

a/1

b/1

q2_4/1

b

a/1

b/1

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• Conceito de transdutores– Autômatos com saídas são ditos transdutores ��

clara conexão com circuitos eletrônicos– Em transdutores, o número total de estados limita a quantidade de “história passada” sobre a qual o circuito se baseia para gerar as suas saídas.

– Estados – vinculados a valores armazenados em bits de memória de um “registrador de estado”

– e. g. um microprocessador com 3000 bits em seu registrador de estados pode lembrar-se (no máximo) do que aconteceu há 23000 ciclos de relógio atrás!

• Problemas: 1/2/3/4/6

23

89


2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

90

9. Linguagens Regulares

• Definição de Linguagem Regular: toda linguagem que pode ser definida por uma expressão regular.

• Teorema 10– Se L1 e L2 são linguagens regulares, então L1+L2, L1L2 e L1* são linguagens regulares.

• Prova– Baseada na prova do teorema de Kleene, uma vez que L1 e L2, sendo regulares, têm expressões regulares que lhes geram.

91


• Definição de Complemento de Linguagem Regular: Se L é uma linguagem regular sobre o alfabeto ΣΣΣΣ, define-se seu complemento, L´ como sendo a linguagem de todas as cadeias de letras de ΣΣΣΣ que não são palavras de L.

• Teorema 11– Se L é uma linguagem regular, então L´ também é uma linguagem regular.

• Prova– Se L é regular, sabe-se que existe um FA que a aceita. Construir FA´, onde a única diferença é que o(s) estado(s) final(is) de FA não são finais em FA´ e vice-versa. Este FA aceita L´. Logo, L´ é regular.

92


• Teorema 12– Se L1 e L2 são linguagens regulares, então L1 ∩ L2 também é linguagem regular.

• Prova– Usando-se a Lei de de Morgan, que vale para quaisquer conjuntos, tem-se:

• L1 ∩ L2 = (L1´ + L2´)´• Como L1 e L2 são regulares, e seus complementos também, a interseção de L1 e L2 é uma linguagem regular.

• Problemas: 1/2/3/4/18

24

93


2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

94

10. Linguagens Não-Regulares

• Problemas: 1/2/5/15/16(ii)

95


2. LINGUAGENS









11. DECIDIBILIDADE

96

11. Decidibilidade

• Problemas: 1/2/3/4/5/9/10/11/12/13

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