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20 Lista de Exercıcio de Mat 2116- Algebra Linear para Quımica

Turma: 2019210 (20 semestre 2019)

Referencias principais (nas quais a lista foi baseada):

1. G. Strang, Algebra linear e aplicacoes, 4o Edicao, Cengage Learning.

2. S. Lipschutz and M. Lipson, Algebra linear, 3o Edicao, Colecao Schaum.

3. Reis e Silva: Geometria Analtica

4. H. Anton, and C. Rorres, Algebra Linear com aplicacoes, 10 Edicao,Bookman.

1 Parte 1

1.1 IV- Projecoes, base ortonormal, Gram-Schmidt,decomposicao QR, distancia mınima, outros pro-dutos internos

Problema 1.1. Seja T : R2 → R3 a transformacao linear T (~x) = A~x ondeA e a matriz definida como:

A =

1 12 23 1

.(a) Calcule um vetor normal ao plano que e a imagem de T , i.e., o espaco

coluna de A (sub espaco gerado pelas colunas de A).

(b) Calcule a area do paralelogramo contido na imagem de T que tenhacomo arestas as colunas da matriz A.

(c) Dado p = (2, 2, 0) determine a projecao ortogonal de p no plano que ea imagem de T .

1


A =

2 11 04 1




(c) Dado p = (4, 1, 3) determine a projecao ortogonal de p no plano que ea imagem de T .


A =

2 10 13 2




(c) Dado p = (1, 2,−1) determine a projecao ortogonal de p no plano quee a imagem de T .


A =

5 21 00 1

.2

(a) Calcule um vetor normal ao plano que e a imagem de T , i.e., o espacocoluna de A (sub espaco gerado pelas colunas de A).


(c) Dado p = (−2, 2, 1) determine a projecao ortogonal de p no plano quee a imagem de T .

Problema 1.5. Escreva uma equacao do plano definido pelos pontos:

(a) A = (2,−1, 3), B = (0, 2, 1) e C = (1, 3, 2)

(b) A = (0, 0, 0), B = (2, 1, 0) e C = (1, 0, 0)

(c) A = (0, 0, 2), B = (1, 2, 2) e C = (1, 0, 2)

Problema 1.6. Determine a distancia do ponto (2, 1, 3) a cada um dosplanos:

(a) x− 2y + z = 1

(b) x+ y − z = 0

(c) x− 5z = 8

Problema 1.7. Considere a = (1, 2, 3), b = (1, 3, 1) e c = (2, 6, 4).

(a) Determine a equacao cartesiana do plano contendo os pontos a, b, c.

(b) Distancia do ponto p = (1, 1, 1) ao plano contendo os pontos a, b e c.

Problema 1.8. Considere a = (0, 1, 5), b = (2, 2, 3) e c = (3, 3, 4).

((a) Determine a equacao cartesiana do plano contendo os pontos a, b, c.

(b) Distancia do ponto p = (1, 2, 1) ao plano contendo os pontos a, b e c.

3

Problema 1.9. Determine a projecao ortogonal de ~v = (1,−2, 3,−4) nosubespaco gerado por ~w = (1, 2, 1, 2).

Problema 1.10. Considere o subespaco vetorial W em R4 gerado pelosvetores:

~v1 = (1, 1, 1, 1), ~v2 = (1, 1, 2, 4), ~v3 = (1, 2,−4,−3).

Utilizando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt determine umabase ortonormal para W .

Problema 1.11. Considere o espaco vetorial P (t) com o produto interno

〈f, g〉 =∫ 1

0f(t)g(t)d t. Seja W o subespaco vetorial de P (t) gerado por

{1, t, t2}. Determine uma base ortogonal com coeficientes inteiros.

Problema 1.12. Determine a projecao ortogonal de ~v = (1, 3, 5, 7) no su-bespaco W gerado por {(1, 1, 1, 1), (1,−3, 4,−2)}

Problema 1.13. Determine se a matriz A e ou nao matriz ortogonal. Emcaso afirmativo determine a inversa da matriz A.

(a) A matriz de rotacao por um angulo θ: A =

[cos(θ) −sen (θ)sen (θ) cos(θ)

].

(b) A matriz de projecao no eixo x: A =

[1 00 0

].

(c) A matriz de reflexao em relacao ao eixo x: A =

[1 00 −1

].

(d) A =

1 1 −11 3 47 −5 2

.4

(e) A =

1√3

1√3

−1√3

1√26

3√26

4√26

7√78

−5√78

2√78

.(f) Sejam ~v1 = (v11, v21, v31), ~v2 = (v12, v22, v32) e ~v3 = (v13, v23, v33) veto-

res ortonormais em R3. Considere as bases α = {~v1, ~v2, ~v3} e a basecanonica e = {~e1, ~e2, ~e3}. A matriz A em questao e a mudanca de baseA = [Id]eα.

Problema 1.14. Por meio da ortogonalizacao de Gram-Schmidt obtenha adecomposicao QR da matriz A abaixo:

A =

1 1 20 0 11 0 0

.Em outras palavras sejam ~a1,~a2,~a3 as colunas de A. Aplicando o processode ortogonalizacao de Gram-Schmidt aos vetores ~a1,~a2,~a3, obtenha os ve-tores ortonormais ~q1, ~q2, ~q3. Estes serao as colunas da matriz ortogonal Q.Determine entao a matriz R tal que A = QR.


A =

√22

5√2

25√2

2

0 0 1√22−√22

√22

.Em outras palavras sejam ~a1,~a2,~a3 as colunas de A. Aplicando o processode ortogonalizacao de Gram-Schmidt aos vetores ~a1,~a2,~a3, obtenha os ve-tores ortonormais ~q1, ~q2, ~q3. Estes serao as colunas da matriz ortogonal Q.Determine entao a matriz R tal que A = QR.


A =

√33

√33

5√3

6√1414

√147−√1414

−5√42

422√42

21−√42

21

.5

Em outras palavras sejam ~a1,~a2,~a3 as colunas de A. Aplicando o processode ortogonalizacao de Gram-Schmidt aos vetores ~a1,~a2,~a3, obtenha os ve-tores ortonormais ~q1, ~q2, ~q3. Estes serao as colunas da matriz ortogonal Q.Determine entao a matriz R tal que A = QR.

Problema 1.17 (*). Demonstre que a projecao ortogonal de uma vetorb ∈ Rm no espaco coluna C(A) de uma matriz A m × n, cujas colunas saolinearmente indepententes, e dado por

P (b) = A(x) = A(AtA)−1Atb.

Problema 1.18. Sejam b = (4, 5, 6) e A =

1 21 30 0

. Determine a projecao

ortogonal de b em C(A).

Problema 1.19. Determine a projecao ortogonal de v = (1, 3, 5, 7) no su-bespaco W gerado por {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2)}

Problema 1.20. Verifique se g e produto interno do espaco vetorial V emquestao.

(a) g(x, y) = 〈x,Ay〉 = xtAy para A =

[cos(θ) −sen (θ)sen (θ) cos(θ)

]e V = R2

(b) g(x, y) = 〈x,Ay〉 = xtAy para A =

[4 00 7

]e V = R2.

(c) g(A,B) = trAtB onde A e B pertencem ao espaco V das matrizes reaisn× n.

(d) g(f, h) =∫ 1

0f(t)h(t)d t onde f, h pertencem ao espaco V das funcoes

contınuas com dominio [0, 1].

6

(e) g(x, y) = 〈x,Ay〉 = xtAy para A =

[4 83 6

]e V = R2

Problema 1.21. Seja B matriz m×n com nucleo trivial e A = BtB. Proveque

g(x, y) = 〈x,Ay〉 = xtAy

e um produto interno em Rn.

Problema 1.22. Prove que as afirmacoes abaixo sao equivalentes para umamatriz real A n× n.

(a) A e ortogonal, i.e., AAt = AtA = Id

(b) A preserva o produto escalar de Rn, i.e., 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉 para todosos vetores x, y em Rn.

(c) As colunas (respectivamente linhas) de A formam uma base ortonormalde Rn.

Problema 1.23. Seja 〈, 〉 um produto interno em um espaco vetorial U .Demonstre

(a) 〈w, v〉 = 14

(‖w + v‖2 − ‖w − v‖2

)(formula polar)

(b) ‖w + v‖2 + ‖w − v‖2 = 2‖w‖2 + 2‖v‖2 (lei do paralelogramo)

Problema 1.24. Seja V um espaco vetorial (dimensao finita) e α := {f1, . . . , fn}base de V . Seja g um produto interno em V e ai,j = g(fi, fj). Seja A a re-presentacao matricial do produto interno g na base α, i.e., A e matriz n× ndefinida como A = (ai,j). Demonstre que g(X, Y ) = X tAY .

Problema 1.25. Considere P2(t) o espaco dos polinomios de grau no maximo

2 e 〈f, g〉 =∫ 1

−1 f(t)g(t)d t.

(a) Calcule 〈f, g〉 onde f(t) = t+ 2 e g(t) = t2 − 3t+ 4

(b) Calcule a representacao matricial do produto interno em relacao a baseα = {1, t, t2}

7

1.2 Resposta Parte 1

Problema 1.1

(a) (−4, 2, 0)

(b) 2√

5

(c) (65, 12

5, 0)

Problema 1.2

(a) (1, 2,−1)

(b)√

6

(c) (72, 0, 7

2)

Problema 1.3

(a) (−3,−1, 2)

(b)√

14

(c) (−12, 32, 0)

Problema 1.4

(a) (1,−5,−2)

(b)√

30

(c) (−2315, 0, 1

15)

Problema 1.5:

(a) x− z + 1 = 0

(b) z = 0

(c) z = 2

8

Problema 1.6

(a)√63

(b) 0

(c) 21√26

Problema 1.7

(a) 9x− 2y − z = 2

(b) 2√86

43

Problema 1.8:

((a) 3x− 4y + z = 1

(b) 5√26

26

Problema 1.9: P (v) = (−45,−8

5,−4

5,−8

5)

Problema 1.10: u1 = 12(1, 1, 1, 1), u2 = 1√

6(−1,−1, 0, 2), u3 = 1

5√2(1, 3,−6, 2)

Problema 1.11: {1, 2t− 1, 6t2 − 6t+ 1}

Problema 1.12: P (v) = (5915, 63

5, 5615, 6215

)

Problema: 1.13:

(a) Sim. A−1 = At =

[cos(θ) sen (θ)−sen (θ) cos(θ)

].

(b) Nao.

(c) Sim. A−1 = At =

[1 00 −1

].

9

(d) Nao.

(e) Sim. A−1 = At =

1√3

1√26

7√78

1√3

3√26

−5√78

−1√3

4√26

2√78

.

(f) Sim. A−1 = At =

v11 v21 v31v12 v22 v32v13 v23 v33

.

Problema 1.14: Q =

1√2

1√2

0

0 0 11√2− 1√

20

, R =

√

2 1√2

√2

0 1√2

√2

0 0 1

.Problema1.15: Q =

1√2

1√2

0

0 0 11√2− 1√

20

, R =

1 2 30 3 20 0 1

.

Problema 1.16: Q =

√33

√33

√33√

1414

√147−3√14

14

−5√42

422√42

21

√4242

, R =

1 0 10 1 1

2

0 0 1

.Problema 1.17: vide Capıtulo III Strang.

Problema 1.18: P (b) = (4, 5, 0)

Problema 1.19: P (v) = (7, 4, 1, 4).Problema 1.20:

(a) nao, A nao e simetrica

(b) sim,

(c) sim,

(d) sim

(e) nao, A e singular.

10

Problema: 1.21: Observe primeiro que At = (BtB)t = Bt(Bt)t = BtB =A, ou seja A e simetrica.

Observe depois que

〈x,Ax〉 = xtBtBx

= (Bx)tBx

= 〈Bx,Bx〉= ‖Bx‖2

Como nucleo de B e trivial, concluimos que para qualquer x diferente dezero, ‖Bx‖2 > 0 e assim 〈x,Ax〉 > 0.

As duas observacoes implicam que A e simetrica positiva definida, logo ge produto interno.

Problema: 1.22: (a) equivale (b) segue direto de

〈Ax,Ay〉 = (Ax)tAy

= xtAtAy

(a) equivale (c) segue direto da definicao de produto de matrizes.

Problema 1.23: Observe primeiro que:

‖w + v‖2 = 〈w + v, w + v〉 = ‖w‖2 + 2〈w, v〉+ ‖v‖2

‖w − v‖2 = 〈w − v, w − v〉 = ‖w‖2 − 2〈w, v〉+ ‖v‖2

Para obter (a) some a primeira equacao com menos a segunda equacao. Paraobter (b) some as duas equacoes.

Problema 1.24:

g(X, Y ) =∑i

xig(fi, Y )

=∑i,j

xiyjg(fi, fj)

=∑i,j

xiyjai,j

= X tAY

11

Problema 1.25:

(a) 463

(b) A =

2 0 23

0 23

023

0 25

.

12

2 Parte 2

2.1 V-Determinantes

Problema 2.1. Enuncie as 3 propriedades que definem o determinante (de-notado aqui por det).

Problema 2.2. Seja A uma matriz n×n. Demonstre as afirmacoes abaixo:

(a) Se 2 linhas de A sao iguais entao detA = 0

(b) Sejam i0, j0 fixos e B a matriz definida como bi0,j = ai0,j − laj0,j ebi,j = ai,j para qualquer i 6= i0. Entao detB = detA. Em particularse B e obtida por escalonamento da matriz A (sem haver mudanca delinhas) entao detA = detB.

(c) Se A possui uma linha nula entao detA = 0

(d) Se A e triangular entao detA = a1,1 · a2,2 · · · an,n

(e) Se A e singular entao detA = 0

(f) det(AB) = detA · detB

(g) detA = detAt

(h) | detQ| = 1 se Q e matriz ortogonal.

Problema 2.3. Seja A uma matriz invertivel e considere a decomposicaoQR de A ou seja A = QR, onde Q e ortogonal e R triangular superior.Verifique que | detA| = | detR| = |r1,1 · · · rn,n|

Problema 2.4. Verifique

(a) det([ 3 0

0 5

]+

[−3 00 −5

])6= det

[3 00 5

]+ det

[−3 00 −5

]

13

(b) t det

[3 00 5

]6= det

[3t 00 5t

]

(c) t2 det

[a bc d

]= det

[at btct dt

]

Problema 2.5. Calcule o determinante da matriz A.

(a) A =

1 2 2 31 0 −2 03 −1 1 −24 −3 0 2

(b) A =

2 1 3 23 0 1 −21 −1 4 32 2 −1 1

(c) A =

2 −1 3 −42 1 −2 13 3 −5 45 2 −1 4

(d) A =

2 −1 4 −3−1 1 0 23 2 3 −11 −2 2 −3

(e) A =

1 −2 3 −11 1 −2 02 0 4 −51 4 4 −6

Problema 2.6. Sejam v1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 1, 1), u3 = (0, 2, 3). Calcule ovolume V (S) do paralelepıpedo S de R3 determinado por esses tres vetores.

Problema 2.7. Calcule area do triangulo cujos vertices sao:

14

(a) A = (0, 0, 0), B = (2, 3, 0), C = (0, 0, 5)

(b) A = (2,−1, 1), B = (2, 1,−1), C = (0, 3,−5)

Problema 2.8. Calcule o volume do paralelepıpedo definido pelos vetoresu = (2,−1, 1) v = (1, 3, 2) e w = (−1, 4,−3)

Problema 2.9. Sejam u = (2, 1,−3) e v = (1,−2, 1)

(a) Determine um vetor unitario simultaneamente perpendicular a u e v.

(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que ‖w‖ = 5

2.2 Respostas da Parte 2

Problema 2.1:

(1) O det da matriz identidade e 1,

(2) O det muda de sinal quando 2 linhas sao trocadas,

(3) O det depende linearmente da (primeira) linha.

Problema 2.2: Vide tambem Strang, Capıtulo IV.

Problema 2.5

(a) −131

(b) −55

(c) 33

(d) 0

(e) 45

Problema 2.6: V (S) = | detA| = 2

Problema 2.7:

15

(a)√3252

(b) 2√

3

Problema 2.8: 28

Problema 2.9:

(a) 1√3(−1,−1,−1)

(b) 5√3(−1,−1,−1)

16

3 Parte 3

3.1 VI Auto-vetores, auto-valores e aplicacoes

Problema 3.1. Seja A =

[64

2√3

42√3

4104

].

((a) Calcule os autovalores λ1 e λ2 de A.

(b) Calcule autovetores ortonormais ~q1 e ~q2 associados a λ1 e λ2 respecti-vamente.

(c) Esboce o grafico de f(x, y) = [x, y]A

[xy

]e destaque se (0, 0) e um

ponto de maximo local, mınimo local ou ponto de sela da funcao f .


[−6

42√3

42√3

4−10

4

].

(a) Calcule os autovalores λ1 e λ2 de A.



[xy




[−5

4

√34√

34−7

4

].



17


[xy




[54

√34√

34

74

].




[xy



Problema 3.5. Determine todas as solucoes da EDO α′(t) = Aα(t) para amatriz A abaixo.

(a) A =

[2 −32 −5

].

(b) A =

[1 −43 −7

].

(c) A =

[−2 11 −2

].

Problema 3.6. Determine a unica solucao para a EDO α′(t) = Aα(t) comcondicao inicial α(0) = d.

(a) A =

[4 −52 −3

], d = (1, 2)

(b) A =

[−2 11 −2

], d = (1, 2)

18

Problema 3.7 (Cadeia de Markov). Todo ano 1/10 de pessoas de fora deuma cidade C se mudam para a cidade C e 2/10 dos habitantes da cidade Cse mudam para outros lugares.

(a) Comecando com NC0 pessoas que nao moram na cidade C e C0 habi-tantes da cidade C, determine (em termos de NC0 e C0) o numero dehabitantes NCk que nao moram na cidade C e o numero de habitantesCk que moram na cidade C apos K anos.

(b) Com o passar dos anos, qual a tendencia de distribuicao da populacao?


[2 −2−2 5

].

(a) Calcule os autovalores de A e autovetores ortonormais associados aestes autovalores.

(b) Dado a curva 1 = 2x2 − 4xy + 5y2. Reescreva tal curva utilizandocoordenadas ortogonais, de forma que com tais coordenadas ela se torneuma conica padrao. Explicite tais coordenadas e esboce a curva.


[1 33 −7

].

(a) Calcule os autovalores de A e autovetores ortonormais associados aestes autovalores.

(b) Dado a curva 1 = x2 + 6xy − 7y2. Reescreva tal curva utilizandocoordenadas ortogonais, de forma que com tais coordenadas ela se torneuma conica padrao. Explicite tais coordenadas e esboce a curva.

Problema 3.10.

Determine uma substituicao ortogonal que diagonaliza cada uma das for-mas quadraticas abaixo, determine a quadrica escrita em tais coordenadas eesboce os graficos de f . Diga tambem se (0, 0) e ponto de maximo, mınimolocal ou sela.

19

(a) f(x, y) = 4x2 + 8xy − 11y2

(b) f(x, y) = 2x2 − 6xy + 10y2

Problema 3.11. Identifique e esboce as quadricas abaixo:

(a) 4x2 − y2 + 8z2 = 16

(b) 4x2 + y2 − 8z2 = 16

(c) x2 + 2y2 − z = 0

(d) x2 + y + z2 = 0

(e) x2 + 2y2 − z2 = 0

(f) x2

4− y2

8− z2

16= 1

(g) z = −x2

4+ y2

9

Problema 3.12. Calcule os autovalores e os autovetores associados e umadiagonalizacao para a matriz A.

(a) A =

[4 −52 −3

]

(b) A =

[−2 11 −2

]

Problema 3.13. Determine autovalores e autovetores de A =

[0 10 0

]e

conclua que A nao e diagonalizavel.

Problema 3.14. Determine os autovalores e autovetores de A =

[0 −11 0

](matriz de rotacao π/2)

20


[7 33 −1

]. Determine uma matriz ortogonal Q

tal que Λ = Q−1AQ seja diagonal.

Problema 3.16. Calcule os autovalores e autovetores correspondentes damatriz A.

(a) A =

[2 −32 −5

].

(b) A =

[2 4−1 6

].

(c) A =

[1 −43 −7

].

Problema 3.17. Considere o operador T : R2 → R2 definido como T (x, y) =(3x+ 3y, x+ 5y). Determine todos seus autovalores e autovetores correspon-dentes.


[2 −1−2 3

]. Determine:

(a) seus autovalores e autovetores associados,

(b) uma matriz B tal que B2 = A.

3.2 Respostas Parte 3

Problema: 3.1

(a) λ1 = 3, λ2 = 1

(b) ~q1 = (1/2,√

3/2) e ~q2 = (−√

3/2, 1/2)

(c) esboce um paraboloide elıptico com (0, 0) sendo ponto de mınimo def .

21

Problema 3.2

(a) λ1 = −1, λ2 = −3

(b) ~q1 = (√

3/2, 1/2) e ~q2 = (−1/2,√

3/2)

(c) esboce um paraboloide elıptico com (0, 0) sendo ponto de maximo def .

Problema 3.3

(a) λ1 = −1, λ2 = −2

(b) ~q1 = (√

3/2, 1/2) e ~q2 = (−1/2,√

3/2)

(c) esboce um paraboloide elıptico com (0, 0) sendo ponto de maximo def .

Problema 3.4

(a) λ1 = 2, λ2 = 1

(b) ~q1 = (1/2,√

3/2) e ~q2 = (−√

3/2, 1/2)

(c) esboce um paraboloide elıptico com (0, 0) sendo ponto de mınimo def .

Problema 3.5:

(a) α(t) = c1 exp(t)(3, 1) + c2 exp(−4t)(1, 2)

(b) α(t) = c1 exp(−t)(2, 1) + c2 exp(−5t)(2, 3)

(c) α(t) = c1 exp(−t)(1, 1) + c2 exp(−3t)(1,−1)

Problema 3.6:

(a) α(t) = 83

exp(−t)(1, 1)− 13

exp(2t)(5, 2)

22

(b) α(t) = 32

exp(−t)(1, 1)− 12

exp(−3t)(1,−1)

Problema 3.7:

(a) (NCk, Ck) = (NC0 − 2C0)(0, 7)k(1/3,−1/3)

(b) 2/3 da populacao nao ira morar na cidade C e 1/3 da populacao iramorar na cidade C.

Problema 3.8:

(a) λ1 = 6 e autovetor (normal) u1 = ( 1√5,− 2√

5). O outro autovalor e

λ2 = 1 e autovetor (normal) u2 = ( 2√5, 1√

5).

(b) Elipse e 1 = 6s2 + t2 e o sistema de coordenada e x = 1√5s + 2√

5t ,

y = − 2√5s+ 1√

5t.

Problema 3.9:

(a) λ1 = 2 e autovetor (normal) u1 = ( 3√10, 1√

10). O outro autovalor e

λ2 = −8 e autovetor (normal) u2 = (− 1√10, 3√

10).

(b) Hiperbole e 1 = 2s2− 8t2 e o sistema de coordenada e x = 3√10s− 1√

10t

, y = 1√10s+ 3√

10t.

Problema 3.10:

(a) x = 4s+t√17

, y = −s+4t√17

, hiperbole f(s, t) = 5s2 − 12t2. O ponto (0, 0) e

ponto de sela (um autovalor positivo outro negativo).

(b) x = 3s−t√10

, y = s+3t√10

paraboloide f(s, t) = s2 + 11t2 O ponto (0, 0) e

ponto de mınimo local (autovalores ambos positivos).

Problema 3.11:

(a) hiperboloide de 1 folha, intersecao com plano xz e elipse, intersecaocom os planos xy yz sao hiperboles.

23

(b) hiperboloide de 1 folha, intersecao com plano xy e uma elipse.

(c) paraboloide elıptico, intersecao com plano {z = 1} e uma elipse

(d) paraboloide elıptico, intersecao com plano {y = −1} e uma elipse.

(e) cone, intersecao com plano {z = 1} e uma elipse.

(f) hiperboloide de 2 folhas, intersecao com plano {y = 1} e uma elipse.

(g) paraboloide hiperbolico.

Problema 3.12

(a) O primeiro autovalor e λ1 = −1 e o autovetor associado e v1 = (1, 1).O segundo autovalor e λ2 = 2 e o seu autovetor associado e v2 = (5, 2).

Uma diagonalizacao paraA e

[−1 00 2

]=

[ −23

53

13−1

3

] [4 −52 −3

] [1 51 2

](b) O primeiro autovalor e λ1 = −1 e o autovetor associado e v1 = (1, 1). O

segundo autovalor e λ2 = −3 e o seu autovetor associado e v2 = (−1, 1).

Uma diagonalizacao paraA e

[−1 00 −3

]=

[12

12

−12

12

] [−2 11 −2

] [1 −11 1

]

Problema 3.13: Os autovalores sao λ1 = λ2 = 0 e o unico autovetor e(1, 0). Como A nao admite base de autovetores entao A nao e diagonalizavel.

Problema 3.14: Autovalor λ1 = −i e autovetor associado v1 = (−i, 1).Autovalor λ2 = i e autovetor associado v2 = (i, 1).

Problema 3.15: Q =

[3√10

1√10

1√10− 3√

10

]e Λ =

[8 00 −2

]Problema 3.16:

(a) λ1 = 1, v1 = (3, 1); λ2 = −4, v2 = (1, 2)

(b) λ1 = 4, v1 = (2, 1)

(c) λ1 = −1, v1 = (2, 1) λ2 = −5, v2 = (2, 3).

24

Problema 3.17: λ1 = 2, v1 = (3,−1); λ2 = 6, v2 = (1, 1).

Problema 3.18:

(a) λ1 = 1, v1 = (1, 1); λ2 = 4, v2 = (1,−2).

(b) B =

[43−1

3

−23

53

]

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