1

Procurando a Probabilidade de Dois ou mais Acontecimentos

Escolha Múltipla

Regra da Multiplicação

2

Definições Acontecimentos independentesDois acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade do outro ocorrer.

Acontecimentos dependentesSe dois acontecimentos A e B não são independentes dizem-se dependentes.

3

TaTbTcTdTeFaFbFcFdFe

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

T

F

Diagram em arvore para acontecimentos independentes

4

TaTbTcTdTeFaFbFcFdFe

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

T

F

P(T) = P(c) =

Diagrama em arvore das respostas a um exame

12

15

5

TaTbTcTdTeFaFbFcFdFe

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

T

F

P(T) = P(c) = P(T e c) =

Diagrama em arvore das respostas a um exame

12

15

110

6

P (duas correctas)

7

P (duas correctas) = P (T e c)

8

P (duas correctas) = P (T e c)

1 10

1 2

1 5

9

P (duas correctas) = P (T e c)

1 10

1 2

1 5

= •

Regra daMultiplicação

10

P (duas correctas) = P (T e c)

1 10

1 2

1 5

= •

Regra daMultiplicação

Acontecimentos Independentes

11

Procurando a probabilidade de retirar duas cartas de um baralho de cartas tal que a primeira é um A´s e a segunda é um Rei.

(As cartas são retiradas sem reposição.)

Acontecimentos Dependentes

12

• P(A´s na primeira carta) =

452

Procurando a probabilidade de retirar duas cartas de um baralho de cartas tal que a primeira é um A´s e a segunda é um Rei.

(As cartas são retiradas sem reposição.)

13

• P(A´s na primeira carta) =

• P(Rei A´s) =

4 51

452

Procurando a probabilidade de retirar duas cartas de um baralho de cartas tal que a primeira é um A´s e a segunda é um Rei.

(As cartas são retiradas sem reposição.)

14

• P(A´s na primeira carta) =

• P(Rei A´s) =

• P(retirar A´s, depois Rei) = • =

4 51

452

451

162652

452

Procurando a probabilidade de retirar duas cartas de um baralho de cartas tal que a primeira é um A´s e a segunda é um Rei.

(As cartas são retiradas sem reposição.)

Acontecimentos

Dependentes

15

FormalizandoRegra da Multiplicação

P(A e B) = P(A) • P(B) Se A e B são independentes

16

Formalizando aRegra da Multiplicação

P(A e B) = P(A) • P(B) Se A e B são independentes

P(A e B) = P(A) • P(B A) Se A e B são dependentes

P(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B“condicionado” por já ter ocorrido A.

17

Aplicando a regra da multiplicação

P(A ou B)

Regra da multiplicação

A e Bindependentes

?

P(A e B) = P(A) • P(B | A)

P(A e B) = P(A) • P(B)Sim

Não

18

Probabilidade de ‘pelo menosum’

19

Probabilidade de ‘pelo menosum’

‘pelo menos um’ é equivalente a um ou mais.

20

Probabilidade de ‘pelo menosum’

‘pelo menos um’ é equivalente a um ou mais.

O complementar de conseguir pelo menos um é não conseguir nada.

21

Probabilidade de ‘pelo menosum’

‘pelo menos um’ é equivalente a um ou mais.

O complementar de conseguir pelo menos um é não conseguir nada.

Se P(A) = P(conseguir pelo menos um),

então

22

Probabilidade de ‘pelo menosum’

‘pelo menos um’ é equivalente a um ou mais.

O complementar de conseguir pelo menos um é não conseguir nada.

Se P(A) = P(conseguir pelo menos um), então

P(A) = 1 – P(A)

23

Probabilidade de ‘pelo menosum’

‘pelo menos um’ é equivalente a um ou mais.

O complementar de conseguir pelo menos um é não conseguir nada.

Se P(A) = P(conseguir pelo menos um), então P(A) = 1 – P(A)

onde P(A) é P(não conseguir nada)

24

Probabilidade Condicionada

Definição

A probabilidade condicionada de B dado A ter já ocorrido

25

Probabilidade Condicionada Acontecimentos

dependentes P(A e B) = P(A) • P(B|A)

26

Probabilidade Condicionada Acontecimentos dependentes

P(A e B) = P(A) • P(B|A)

Formalizando

27

Probabilidade Condicionada Acontecimentos dependentes

P(A e B) = P(A) • P(B|A)

Formalizando

P(B|A) =P(A e B)

P(A)