1. PROGRAMA DA DISCIPLINA - samuca.com · Taxa de juros efetiva, nominal e proporcional e...

Matemática Financeira

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SUMÁRIO

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ................................................................................................ 2

1.1. Ementa: ................................................................................................................................................. 2

1.2. Carga horária total: ............................................................................................................................... 2

1.3. Objetivos: .............................................................................................................................................. 2

1.4. Conteúdo programático ........................................................................................................................ 2

1.5. Metodologia .......................................................................................................................................... 3

1.6. Critérios de avaliação ............................................................................................................................ 3

1.7. Bibliografia recomendada ..................................................................................................................... 3

Curriculum vitae do professor ..................................................................................................................... 3

2. TEXTO PARA ESTUDO ........................................................................................................... 5

2.1. Matemática Financeira .......................................................................................................................... 5

2.2. Regime de Juros simples ...................................................................................................................... 13

2.3. Juros Compostos ................................................................................................................................. 21

2.4. Séries uniformes .................................................................................................................................. 34

2.5. Sistemas de amortização de dívidas .................................................................................................... 46

2.6. Métodos de Análise de Fluxos de Caixa ............................................................................................... 51

2.7. Descontos ............................................................................................................................................ 58


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1. PROGRAMA DA DISCIPLINA

1.1. Ementa:

Relações fundamentais e taxa de juros. Regime de juros simples e de juros compostos. Séries

Uniformes de pagamento. Sistemas de amortização de dívidas. Desconto de títulos e duplicatas. VPL e

TIR

1.2. Carga horária total:

24 (Vinte e quatro) horas

1.3. Objetivos:

Prover o aluno de conhecimentos que o permitam realizar cálculos financeiros e análises de

investimentos para a tomada de decisão na gestão financeira das empresas e das pessoas.

1.4. Conteúdo programático

Parte 1 Relação fundamental e taxa de juros


Representação gráfica de um fluxo de caixa

Capital, juros e montante

Relação de equivalência de capitais para um período

Taxa de juros efetiva, nominal e proporcional e equivalente

Parte 2 Regime de juros simples

Expressão para cálculo juros, montante, capital e número de períodos

Taxas de juros equivalentes e equivalência de capitais

Cheque especial

Parte 3 Regime de juros compostos

Expressão para cálculo do montante, capital, juros e número de períodos

Taxa de juros equivalentes composta

Transformação de taxas nominais em taxas efetivas

Transformação de taxas efetivas em taxas nominais

Capitais equivalentes

Operações com taxas compostas pós-fixadas

Juros compostos na calculadora HP 12 C

Parte 4 Séries Uniformes

Expressão para cálculo do valor presente e valor futuro

Expressão para cálculo da prestação

Séries uniformes com pagamentos ou recebimentos adicionais

Compra à vista versus compra a prazo


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Parte 5 Sistemas de amortização de dívidas

Sistemas de amortização prefixados Price e SAC

Sistemas de amortização pós-fixados Price e SAC

Parte 6 Métodos de análise de fluxos de caixa

Valor presente de um fluxo de caixa

Método do valor presente líquido (VPL)

Método da taxa interna

Fluxos de caixa na HP 12C

Comparação método valor presente líquido e taxa interna

Análise de fluxos de caixa indexados

Parte 7 Descontos

Desconto simples

Desconto de vários títulos

Desconto composto

1.5. Metodologia

Aulas expositivas, estudo de caso e resolução de exercícios

1.6. Critérios de avaliação

70% dos pontos através de prova individual

30% dos pontos em atividades / exercícios em sala de aula, em grupo.

1.7. Bibliografia recomendada

BOGGISS, George Joseph [et al.]. Matemática financeira – 11. ed.- Rio de Janeiro: Editora FGV,

2012. 156 p. – (Gestão empresarial (FGV Management)

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. - 5ª. Edição – São Paulo: Pearson Prentice Hall,

2010.

Curriculum vitae do professor

José Antônio Rosa Machado é mestre em Administração de Empresas pela FEAD/MG e especialista

em gestão de empresas pela Una/BH. Atualmente é professor nos cursos de graduação e pós-

graduação em um Centro Universitário e Consultor de empresas. Sua experiência acadêmica inclui

docência nos cursos de Administração, Contábeis, Controladoria, Engenharias e Tecnólogos nas áreas

de Recursos Humanos, Logística, Adm. Estratégica e Finanças. Foi responsável pela elaboração e

aprovação do projeto pedagógico do Curso de Administração de uma Faculdade, onde atuou como

Coordenador de Curso durante cinco anos nos cursos de Administração e Turismo. Sua experiência

profissional inclui passagens por empresas de pequeno, médio e grande porte, nas áreas de comércio


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atacadista de cereais, alumínio, mineração, telefonia e construção civil. Também foi membro do

Conselho Municipal de Turismo de Sete Lagoas/MG.


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2. TEXTO PARA ESTUDO

2.1. Matemática Financeira

A matemática financeira é de extrema importância para a tomada de decisões financeiras, tanto de

caráter pessoal quanto empresarial, auxiliando no processo de maximização de resultados

empresariais. Conforme Samanez (2010), “o cálculo financeiro e a análise de investimentos são

ferramentas essenciais para a tomada de decisões e a gestão financeira das empresas e das pessoas”. A

utilização da calculadora HP 12C, é de suma importância no desenvolvimento dos cálculos, razão pela

qual, inicialmente, serão apresentadas suas principais funções.

A matemática financeira trata, essencialmente, do estudo do valor do dinheiro (caixa) no decorrer do

tempo. Assim, o objetivo da matemática financeira é analisar operações de caráter financeiro que

envolvam entradas e saídas de dinheiro ocorridas em momentos distintos

Figura 1

Relação fundamental entre capital, juros e montante, observada do ponto de vista do credor:

Figura 2


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Taxa de juros:

Onde:

i = taxa de juros

J = Valor dos juros

PV = Capital ou valor atual (present value)

Observação: a taxa de juros deve ser expressa em forma unitária, ou seja, dividindo-se por cem. Por

exemplo: 2% = 2 / 100 = 0,02

Exemplo:

Em uma operação de crédito pessoal de R$ 1.000,00, pagou-se o valor de R$ 180,00 a título de juros.

Qual foi a taxa de juros cobrada no período?

Solução:

Relação de equivalência de capitais para um período:

Cálculo do valor dos juros:

Ao substituirmos essa expressão na relação fundamental de equivalência de capitais, temos;

Logo, ou

Importante:

Denominamos fator de capitalização a expressão (1 + i)

Denominamos fator de descapitalização (ou fator de desconto) a expressão


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Exemplos:

Calcule o valor do montante a ser pago ao final de um determinado período, considerando a

contratação de um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 à taxa de 8% a.p.

Calcule o valor que deve ser investido hoje, à taxa de 6% ap., para que no futuro seja resgatado R$

12,720,00

Por outro lado, das relações de equivalências de capitais, decorre a seguinte relação alternativa para o

conceito de taxa de juros:

Exemplo:

Em uma determinada operação de empréstimo no valor de R$ 250,00, pagou-se ao final do período, o

montante de R$ 280,00. Qual é a taxa de variação percentual por unidae de tempo do capital

empregado?

12% ap.

Imediatamente após fazer um investimento no valor de R$ 1.250,00, para ser resgatado em uma data

futura, o investidor teve que desfazer do investimento ao valor de R$ 1.000,00. Qual foi a taxa de

variação do capital para o período?

-20%ap.


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Taxa de juros efetiva e nominal

Efetiva:

Unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo de ocorrência da capitalização.

Exemplo:

Taxa de juros ao ano: 12%

Capitalização: Anual

Nominal:

Unidade de tempo de referência é diferente da unidade de tempo relativa à ocorrência da capitalização.

Exemplo:

Taxa de juros ao ano: 12%

Capitalização: Semestral

Taxa de juros proporcional:

Duas taxas de juros efetivas são proporcionais quando vale a relação:

Exemplos:

Uma taxa de juros de 24% a.a. é equivalente à uma taxa de juros de 2% a.m.?

Conclui-se que as taxas são proporcionais

Qual é a taxa de juros anual, proporcional à 4% ao trimestre?


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Taxa de juros real

Obtida após o desconto de determinado índice de correção de preços (IGP-M, IPCA, INPC)

Taxa de juros reais

Valor dos juros reais

Exemplo:

Em determinado período, seu salário de R$ 5.000,00 foi reajustado em 4%. Sabendo-se que a inflação

no mesmo período foi de 5%, quanto aumentou ou diminuiu o poder de compra do salário em termos

de taxa e valor?

Perda Real de salário, tanto em percentual (0,9524%) quanto em valor (R$ 50,00)

Taxa de juros prefixada e pós fixada

As operações de mercado podem ser classificadas em operações de renda fixa e de renda variável.

Uma operação de renda fixa pode ser prefixada ou pós-fixada.

Nas operações prefixadas, investidor e devedor conhecem, no dia da transação, a taxa de retorno e

também o valor do resgate. Em operações de renda pós-fixada, investidor e tomador conhecem, na

data da transação, a taxa de rendimento e uma estimativa da atualização monetária. Neste caso, o valor

nominal só será conhecido posteriormente.

Exemplo:

Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação:

a) Taxa efetiva prefixada de 24% a.p.

b) Taxa real de 6,5% a.p.


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Qual a melhor taxa?

Considerando a fórmula de taxa real de juros, temos que:

Ou seja,

Dividindo-se a taxa prefixada pela taxa pós-fixada (6,5% de ganho real) têm o cálculo de uma

referência de inflação no período. Neste caso, se a expectativa do investidor é de que a inflação real

ficará abaixo desse índice, vale a pena investir em taxa prefixada .Entretanto, se o investidor acredita

que a taxa de inflação superará a taxa de 16,43%, é melhor investir em taxa pós-fixada.


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Exercícios:

1) Na aquisição de um determinado bem no valor de R$ 420,00, pagou-se a título de juros o valor

de R$ 33,60. Qual foi a taxa de juros cobrada?

Ou

Na HP: 420 enter 33,60 %T 8

2) Sabendo-se que uma determinada empresa cobra uma taxa de juros de 4,5% a título de juros

sobre o financiamento de um bem avaliado em R$ 33.800,00 à vista, calcule o valor dos juros

a serem pagos

Na HP: 33.800 CHS PV 54 i 30 n f INT = 1.521,00

54 = 4,5 x 12 = 54

Na capitalização simples, sempre entrar com taxa anual

3) Uma determinada empresa captou um empréstimo no valor de R$ 4.750,00, à uma taxa de

3,8% a.p.. Calcule o valor do montante a ser pago ao final do período.

Na HP: 4.750 CHS PV 45,60 i 30n fINT = 180,50 (juros), então montante

= 4.750,00 + 180,50 = 4.930,50

4) Considerando que um determinado investimento é remunerado à taxa de 1% a.p., determine o

valor que deve ser investido hoje, para que no futuro seja resgatado o valor de R$5.252,00


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5) Um investidor fez um investimento em ações no valor de R$ 2.500,00 para ser resgatado em

uma data futura. Infelizmente, imediatamente após o investimento teve que comercializar as

ações, pelo valor de R$ 1.875,00 Qual foi a taxa de variação do capital no período

-25% a.p.

6) Qual é a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 36% a.a.

7) Qual é a taxa de juros anual proporcional à taxa de 8% a.t.

8) Um investimento no valor de R$ 8.000,00 foi remunerado à taxa de 1,30%. Sabendo-se que a

taxa de inflação no mesmo período foi de 1,0%, identifique em quanto aumentou ou diminuiu

o valor real do capital investido, em termos de percentual e valor.

Conferindo:

e ainda:

= 24,00

8.000 + 1,3% = 8.104,00

8.000 + 1,0% = 8.080,00

= 24,00


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2.2. Regime de Juros simples

O termo juro refere-se à remuneração do capital empregado. A aplicação de um capital durante um

determinado prazo, pressupõe o resgate de um determinado montante, que corresponderá a soma do

capital investido inicialmente, acrescido de uma remuneração em função do período em que o capital

ficou aplicado.

Expressão para cálculo dos juros à partir do capital

Exemplo:

Qual será o juro proporcionado por um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 5% a.m., nos juros

simples, ao final de três meses?

Expressão para cálculo do montante:

Evolução do montante no regime de juros simples:

Figura 3


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Exemplo:

Um investidor aplicou R$ 12.000,00, à taxa de juros de 10% a.m., no regime de juros simples. Calcule

o montante ao final do terceiro mês.

Expressão para cálculo do capital:

Exemplo:

Calcule o capital que, aplicado à taxa de juros de 10% a.m., resulte, daqui a três meses, no montante

de R$ 15.600,00

Expressão para cálculo do número de períodos:

Exemplo:

Por quantos meses ficou aplicado um capital no valor de R$12.000,00, que aplicado à taxa de juros de

10% a.m. no regime de capitalização simples, gerou um montante de R$ 15.600,00?

Expressão para cálculo da taxa de juros:

Exemplo:

Calcule a taxa de juros mensal que, aplicada ao capital de R$ 12.000,00, gera um montante de R$

15.600,00 ao final do terceiro mês


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Taxa de juros equivalentes simples:

Duas taxas de juros efetivos são ditas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital

(PV), no mesmo prazo n, expresso na unidade de tempo da taxa i, for obtido o mesmo montante.

Exemplo:

Dada a taxa de juros simples de 18% ao trimestre, calcule a taxa de juros equivalente ao

a) Dia 0,18 / 90 = 0,002 0,20% a.d.

b) Mês 0,18 / 3 = 0,06 ou 0,002 x 30 = 0,006 6,0% a.m.

c) Ano 0,06 x 12 = 0,72 72% a.a

d) Semestre 0,06 x 6 = 0,36 36% a.s.

Equivalência de capitais em juros simples:

Tomando como ponto focal 0 (zero), trazer a valor presente

e

Exemplo:

Uma empresa deseja trocar dois compromissos no valor de R$ 100.000,00 e R$ 120.000,00, com

vencimento em dois e seis meses, respectivamente, por um único título vencível em quatro meses.

Qual deverá ser o valor do novo compromisso, se a taxa de juros efetiva linear cobrada for de 5%

a.m.?

Logo,

Exemplo:

0 1 2 3 4 5 6

100.000,

00

120.000,

00

x


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Uma empresa tem dois compromissos de R$ 2.000,00 e de R$ 2.500,00 com vencimentos para três e

oito meses, respectivamente. O gerente financeiro propôs à empresa a troca desses compromissos por

outros dois, que lhes sejam equivalentes, com vencimentos em 10 e 15 meses, respectivamente.

Considere uma taxa de juros linear de 10% a.m. e que as obrigações equivalentes devem ter valores

iguais. Calcule qual deve ser o valor único dessas obrigações:

)

Cheque especial:

Considere o seguinte extrato de conta corrente:

Data Histórico Débito Crédito Saldo

Dias

01/mar Saldo inicial

200,00

02/mar Cheque 100 500,00

-300,00

6 -5,40

08/mar Cheque 101 1.000,00

-1.300,00

7 -27,30

15/mar Depósito em dinheiro

2.000,00 700,00

0,00

20/mar Cheque 108 2.500,00

-1.800,00

5 -27,00

25/mar Cheque 110 500,00

-2.300,00

3 -20,70

28/mar Cheque 115 700,00

-3.000,00

4 -36,00

31/mar Saldo final

-3.000,00

-116,40

Calcule os juros do cheque especial, considerando uma taxa de 9% a.m.

Cálculo da taxa de juros diária:

Considerando

E assim sucessivamente.


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Exercícios:

9) Qual será o juro proporcionado por um capital de R$ 150.000,00, aplicado à taxa de 12% a.m.,

nos juros simples, ao final de três meses?

NA HP: 150.000 CHS PV 144 i 90 n fINT = 54.000

150.000 enter 0,12 x 3 x = 54.000

10) Um investidor aplicou R$ 40.000,00, à taxa de juros de 5% a.m. no regime de juros simples.

Calcule o montante ao final do quarto mês.

NA HP: 40.000 CHS PV 60 i 120 n fINT = 8.000 + = 48.000

40.000 enter 1 enter 0,05 enter 4 x x =

48.000

11) Calcule o valor do capital que, aplicado à uma taxa de juros simples de 3% a.m. resulte, daqui

a cinco meses, no montante de R$ 8.280,00

NA HP: 8.280 enter 1 enter 0,03 enter 5x + ÷ = 7.200

12) Por quantos bimestres deve-se manter uma aplicação no valor de R$ 2.962,96, à taxa de 2%

a.b., de forma a auferir um montante de R$ 3.200,00?

NA HP: 3.200 enter 2.962,96 ÷ 1- 0,02÷ = 4 bimestres

13) Calcule a taxa de juros ao trimestre que, aplicada ao capital de R$ 5.000,00 gera um montante

igual ao dobro desse capital, ao fim de quatro trimestres

NA HP: 5.000 (capital) enter 5.000 (juros) T% 4÷

NA HP: 10.000 enter 5.000 ÷ 1- 4÷ = 0,25


18

14) Uma pessoa aplicou o valor de R$460,00 a juros simples de 3% a.m., durante 3 anos, 4 meses

e 18 dias. Calcule o valor dos juros

Converter taxa de juros mensal em diária

3% / 30 = 0,10 a.d. 0,10 / 100 = 0,001

3 anos = 1.080

4 meses = 120

18 dias = 18

n= 1.218

NA HP:.460 enter 0,001 x 1.218 x = 560,28

15) Um valor aplicado a juros simples de 3% a.m. durante 4 meses e 5 dias, formou o montante de

R$ 437,56. Calcule o valor do capital aplicado

Tempo: 120 + 5 = 125 dias

Converter taxa mês em dia = 3 ÷ 30 = 0,10 = 0,001

NA HP:.437,56 enter 1 enter 0,001 enter 125 x + ÷ = 388,94

16) O valor de R 768,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 2,4% a.m., rendendo de juros R$

88,47. Calcule o tempo que o capital ficou aplicado.

Ou seja: 4 meses e 24 dias

NA HP: 768 enter 88,47 + 768 ÷ 1- 0,024 ÷ = 4,8

17) Uma pessoa aplicou o valor de R$ 640,00, a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 4 anos e

3 meses. Calcule o valor dos juros

N = 4 x 12 + 3 = 51 meses ou 51 x 30 = 1530 dias

NA HP:.640,00 enter 0,02 x 51 x = 652,80

NA HP:.640,00 CHS PV 24 i 1530 n fINT= 652,80

18) Você pode aplicar recursos, no regime de juros simples, pelas duas taxas de juros abaixo. Qual

deve ser a taxa escolhida?

a. 12% ao semestre

b. 2,5% ao mês


19

19) Um determinado bem pode ser adquirido para pagamento em 4 parcelas no valor de R$ 250,00

cada, com vencimentos daqui a 30, 60, 90 e 120 dias. Considerando que você dispõe dos

recursos e que poderia aplica-los à uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o preço justo

que deveria ser pago hoje para aquisição do bem.

+

+

+

+

+

+

+ + + = 952,81

245,10 x 2% = 4,90 x 4 meses = 19,60

240,38 x 2% = 4,80 x 3 mês = 14,40

235,85 x 2% = 4,72 x 2 mês = 9,44

231,48 x 2% = 4,63 x 1 mês = 4,63

Total 48,07 + 952,81 = 1.000,88

20) Uma determinada empresa pretende substituir dois compromissos financeiros, nos valores de

R$ 30.000,00 e 40.000,00, vencíveis em 60 e 90 dias, respectivamente, por dois outros

compromissos, vencíveis em 30 e 120 dias. Qual deverá ser o valor total do novo

compromisso, bem com de suas respectivas parcelas, considerando uma taxa de juros linear de

5% a.m.?

Então temos:

21) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante três meses, gerou um montante de

R$ 20.670,00. Esse montante foi reaplicado por mais quatro meses, à uma taxa 20% maior que

a taxa inicial, e gerou um valor final de R$ 22.654,32, ao final do sétimo mês. Calcule o valor

do capital e das taxas de juros aplicadas nas duas etapas da aplicação

Para a última fase temos:


20

Considerando que i esta acrescido de 20%, então

Para a primeira fase temos:

22) Suponha que você tenha feito em sua conta corrente a movimentação apresentada pelo extrato

abaixo. Considerando uma taxa de juros simples de 12% a.m., calcule o valor dos juros que

será debitado em sua conta corrente no próximo mês.

Data Histórico Débito Crédito Saldo

Dias

01/mar Saldo inicial

500,00 03/mar Cheque 100 650,00

-150,00

3 -1,80

06/mar Cheque 101 1.200,00

-1.350,00

2 -10,80

08/mar Depósito em dinheiro

2.200,00 850,00

0,00

13/mar Cheque 108 1.450,00

-600,00

4 -9,60

17/mar Cheque 110 400,00

-1.000,00

7 -28,00

24/mar Cheque 115 800,00

-1.800,00

7 -50,40

31/mar Saldo final

-1.800,00

-100,60


21

2.3. Juros Compostos

O regime de juros compostos é amplamente utilizado no sistema financeiro e consiste em incorporar

os juros do período ao capital principal, antes do cálculo dos juros do período seguinte. Para efetuar os

cálculos na capitalização composta, utilizaremos as seguintes fórmulas:

Revisão das propriedades de potenciação e radiciação

1,103 = 1,10 x 1,10 x 1,10

1,10-3

= 1 / 1,103

1,106 = 1,10

3 x 1,10

3 = 1,10

4 x 1,10

2

(1,106 / 1,10

3 ) = 1,10

6-3 1,10

3

1,102 x 1,10

3 = 1,10

2+3 = 1,10

5

√

=

Evolução do montante no regime de juros compostos

Figura 4

Expressão para cálculo do montante:

Expressão para cálculo do capital:

ou

Expressão para cálculo dos juros, à partir do capital:

Expressão para cálculo número de períodos de capitalização (n):


22

Expressão para cálculo da taxa de juros (i):

√

ou

Taxa de juros equivalentes compostas

De uma taxa menor para uma taxa maior:

{ }

0 1,0000 Taxa

1 1,00 x 1,02 1,0200 2,00%

2 1,00 x 1,02 x 1,02 1,0404 4,04%

3 1,00 x 1,02 x 1,02 x 1,02 1,0612 6,12%

4 1,00 x 1,02 x 1,02 x 1,02 1,0824 8,24%

Ou

0 1,0000 Taxa

1 1,021 1,0200 2,00%

2 1,022 1,0404 4,04%

3 1,023 1,0612 6,12%

4 1,024 1,0824 8,24%


23

Do contrário, na descapitalização, temos que:

De uma taxa maior para uma taxa menor:

{ (√

) } ou {[

] }

Para calcular o fator de descapitalização, basta elevar o índice ao número de períodos negativo. Desta

forma teríamos que:

0 Fator Descapitalização

1 1,02-1

0,9804 1,0824 x 0,9804 = 1,0612

2 1,02-2

0,9612 1,0824 x 0,9612 = 1,0404

3 1,02-3

0,9423 1,0824 x 0,9423 = 1,0200

4 1,02-4

0,9238 1,0824 x 0,9238 = 1,0000

Transformação de taxas nominais em taxas efetivas

- 1

Exemplo:

A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 12% a.a. Calcule a taxa efetiva

anual, considerando a capitalização dos juros para mês, trimestre e bimestre.

– 1

– 1 – 1

– 1

– 1 – 1

– 1

– 1 – 1


24

Transformação de taxas efetivas em taxas nominais

Z = período

Exemplo: Que taxa nominal anual equivale a uma taxa efetiva de 29% a.a., considerando capitalização

mensal?

Exemplo: Que taxa nominal anual equivale a uma taxa efetiva de 18% a.a., considerando capitalização

bimestral?

Capitais equivalentes:

Como visto anteriormente, a relação fundamental de equivalência de capitais para um período é

expressa pelas seguintes equações:

e

No regime de juros compostos, essas equações de equivalência de capitais, considerando n períodos,

são:

e

Portanto, o regime de juros compostos é separável (cindível) no prazo. Assim, nesse regime a

equivalência financeira entre conjuntos de capitais é independente da data focal, o que faz com que

conjuntos de capitais equivalentes em certa data focal também o sejam em data distinta.

Considere o seguinte fluxo de caixa:

Mês Fluxo de caixa

0 (11.000,00)

1 0,00

2 4.000,00

3 4.000,00

4 0,00

5 (2.144,00)

6 6.000,00

Esse fluxo de caixa pode ser representado pelo seguinte diagrama:


25

Trazendo o conjunto 1 ao ponto focal zero, considerando uma taxa de 2% a.m.:

Trazendo o conjunto 2 ao ponto focal zero, considerando uma taxa de 2% a.m.:

Conclui-se que os capitais são equivalentes no ponto focal 0 (zero). Mas será que serão equivalentes

no ponto focal quatro?

Cálculo do fluxo de caixa com data focal quatro, considerando taxa de juros igual a 2%:

Levando o conjunto 1 ao ponto focal quatro, considerando uma taxa de 2% a.m.:

5

5

0

0

(11.000)

0,00 4.000 4.000 6.000

(2,144)

0,00

Conjunto 2

Conjunto 1

1

0

2

0

3

0

4

0

6

0

(11.000)

0,00 4.000 4.000 6.000

(2,144)

0,00

Conjunto 2

Conjunto 1

Data focal

quatro

1 2 3 4 6


26

Levando o conjunto 2 ao ponto focal quatro, considerando uma taxa de 2% a.m.:


27

Juros compostos na HP

Os cálculos financeiros na HP 12C podem ser realizados de duas formas diferentes. Na primeira,

utilizam-se as teclas dos registradores financeiros. Na segunda utilizam-se as funções matemáticas da

calculadora, sendo necessário conhecer as expressões (apresentadas anteriormente) das fórmulas dos

regimes de capitalização.

Registradores financeiros da HP 12C:

Figura 5


28

Exercícios:

23) Uma empresa aplicou o valor de R$ 780,00 em uma conta que paga juros a uma taxa efetiva

de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias. Calcule o montante do

resgate.

Ou

Converter taxa = √ ou

i= 0,0575/dia

Na HP:

1,23

360

1

100

35

780

795,86

24) Calcule o valor atual do fluxo de caixa apresentado a seguir, para uma taxa efetiva de 4% a.m.


29

Ou

1,04 enter 30 1/x Yx 1- 100x i 145n 5.000 FV

PV = 4.136,58

25) O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses, e rendeu de

juros R$ 1.420,00. Calcule a taxa mensal de juros mensal

Ou

1.280 enter 1.420 + FV 1.280 CHS PV 38n i= 1,9836

26) O valor de R$ 1.000,00, foi aplicado à taxa de 10% a.m. (juros compostos) e produziu um

montante de R$ 1.331,00. Quanto tempo esse capital ficou aplicado?

(

)

(

)

ou

1.000 CHS PV 10 i 1.331 FV i = 3 meses

27) Calcule o valor presente de um título de valor de resgate de R$ 56.000,00, a vencer daqui a 91

dias, à taxa composta de 23% a.a.

Ou

1,23 enter 360 1x Yx 1- 100 x i 91n 56.000 FV

PV = 53.144,95

28) Uma determinada pessoa tomou um empréstimo no valor de R$ 2.800,00 e pagou, após 13

dias, o valor de R$ 2,831,26. Calcule taxa composta anual de juros na operação

36,12% a.a.

Ou


30

2.800 CHS PV 2.831,26 FV 13 n i=0,0854 a.d.

100 / 1+ 360 Yx 1- 100x = 36% a.a.

29) Calcule o valor do montante de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 pelo prazo de 31

dias, sabendo-se que o credor cobrou uma taxa de juros composta de 12% a.a. mais a correção

monetária, determinada por um indexador. Suponha que a correção monetária desse período

tenha sido de 1%

Correção 100.980,54 x 1,01 = 101.990,34

30) Um valor aplicado durante 5 meses formou um montante de R$ 700,00 e, quando estiver

aplicado durante 12 meses, o montante será de R$ 744,27. Calcule o valor aplicado

Ou

744,27 FV 700 CHS PV 7 n i = 0,8799

700,00 FV 5n PV = 670,00

31) O valor de R$ 230,00 foi aplicado a juros compostos durante 1 ano e 7 meses, formando um

montante de R$ 368,69. Calcule a taxa de juros mensal.

Ou

230,00 CHS PV 368,69 FV 19 n i = 2,51%

32) Calcule a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de juros efetiva de 2%

a.m.

{ } { }

{ }

Ou


31

1,02 enter 12Yx 1- 100x

33) Calcule a taxa mensal equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de juros efetiva de

69,59% a.a.

{[

] } {[

] }

{ }

ou

1,6959 enter 12 1/x Yx 1- 100x

34) Calcule a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de juros efetiva de 4%

a.t.

{ } { }

{ }

Ou

1,04 enter 4Yx 1- 100x

35) Calcule a taxa trimestral equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 42,58%

a.a.

9,27% a.t.

36) Calcule a taxa mensal equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 33,10% a.t.

10% ao mês

37) Calcule a taxa diária equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 6% a.m.

0,1944% ao dia

38) Calcule a taxa mensal equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 0,1628%

a.d.

5% a.m.


32

39) Calcule a taxa trimestral equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 34% a.s.

15,76% a.t.

40) Calcule a taxa semestral equivalente, no regime de juros compostos, à taxa efetiva de 25% a.a.

11,80% a.s.

41) A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 18% a.a. Calcule a taxa

efetiva anual, considerando uma capitalização mensal.

– 1

Ou

18 enter 12 / 100/ 1+ 12Yx 1- 100x = 19,56

42) A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 2% a.m. Calcule a taxa

efetiva anual, considerando uma capitalização mensal.

– 1

ou

1,02 enter 12 Yx = 26,82%

43) Que taxa nominal equivale a uma taxa efetiva de 18% a.a., considerando capitalização mensal.

Ou

1,18 enter 12 1/x Yx 1- 100x 12x = 16,67% a.a.

44) Que taxa nominal equivale a uma taxa efetiva de 12% a.t., considerando capitalização mensal.

Ou

1,12 enter 3 1/x Yx 1- 100x 3 = 11,55% a.a.


33

45) Uma determinada empresa aplicou R$ 80.000,00, em um título de renda fixa prefixada de 5%

a.m., durante dois meses, no regime de juros compostos. Considerando uma taxa de inflação

acumulada no mesmo período de 4%, identifique em quanto aumentou ou diminuiu o valor

efetivo do capital, em termos de taxa e valor.

Porque: 80.000 x 1,1025 = 88.200

80.000 x 1,04 = 83.200 (Diferença = 5.000)

88.200 / 83.200 = 6,01%

46) Uma determinada empresa tem dois compromissos nos valores de R$ 3.000,00 e de R$

4.000,00 a vencerem em três e cinco meses, respectivamente. A empresa deseja trocar esses

dois compromissos por um único compromisso com vencimento em quatro meses.

Considerando uma taxa de juros efetiva e 10% a.m., e que as obrigações equivalentes devem

ter valores iguais, qual deve ser o valor dessa obrigação?

47) Uma construtora tem dois compromissos nos valores de R$ 4.000,00 e de R$ 5.000,00 a

vencerem em dois e quatro meses, respectivamente. A empresa deseja trocar esses dois

compromissos por dois outros compromissos com vencimento em quatro meses e seis meses.

Considerando uma taxa de juros efetiva e 5% a.m., e que as obrigações equivalentes devem ter

valores iguais, qual deve ser o valor dessa obrigação?

Porque:

= 7.741,74


34

2.4. Séries uniformes

As séries uniformes ocorrem em circunstâncias (tais como as operações realizadas nos financiamentos

imobiliários ou de veículos) nas quais o valor a ser pago ou recebidonão é concretizado de uma única

vez na data de hoje. Ou seja, o imóvel ou o veículo não é pago à vista. Os pagamentos ou

recebimentos são, então, efetivados sob a forma de uma sequencia (sucessão ou série) de valores de

mesma periodicidade, todos eles iguais a um mesmo valor determinado. Esses pagamentos ou

recebimentos caracterizam o que denominamos pagamento ou recebimento parcelado ou a prazo. O

valor fixo é denominado de prestação e é representado, na calculadora HP 12C, pela tecla PMT,

Podem ser classificadas como:

a) Séries postecipadas: o primeiro termo ocorre no fim do primeiro período

Expressões para cálculos:

Da parcela:

Do valor presente:

Do valor futuro:


35

b) Séries antecipadas: o primeiro termo ocorre no início do primeiro período


Do valor presente

Do valor futuro:

c) Diferidas (postecipadas): primeiro termo ocorre no fim de d períodos, sendo d um número

inteiro positivo maior que 1, chamado de prazo de diferimento ou carência, que representa o

prazo durante o qual não ocorrerão nem pagamentos nem recebimentos, conforme ilustrado

abaixo:


Do valor presente


36

Série uniformes equivalentes (SUE):

Transformação de um valor em uma SUE

A série uniforme de pagamentos, na capitalização composta, pode ser obtida através da fórmula:

Transformação de desembolsos de diversas datas em uma SUE

Consideremos que a série de desembolsos abaixo deve ser transformada em uma SUE, em 4 períodos,

à partir do momento 1, com taxa de juros igual a 15%

Solução:

Trazer todos os valores a valor presente e montar uma SUE

Momento Valor nominal Valor presente

0 40.000,00 40.000,00

1 14.000,00 12.173,91

2 14.000,00 10.586,01

3 14.000,00 9.205,23

4 48.980,12 28.004,54

Total 99.969,69

Então:

Na HP

f CLX

99.969,69 CHS PV

4 n

15 i

PMT = 35.015,92

(40.000) (14.000) (14.000) (14.000) (48.980,12)

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4


37

Série não uniformes equivalentes (SNUE):

Para transformar uma serie uniforme equivalente (SUE) em uma serie não uniforme equivalente

(SNUE), tomando como base o exemplo anterior, alterando, entretanto o valor da terceira parcela (e

consequentemente da quarta) para R$ 20.000,00, teríamos que:

Trazendo a valor presente, teríamos a seguinte situação

Momento Valor nominal Valor presente

0

1 35.015,92 30.448,63

2 35.015,92 26.477,07

3 20.000,00 13.150,32

Somatório 70.076,02

Valor líquido inicial 99.969,69

Diferença 29.893,67

4 52.284,22 29.893,67

(35.015,92) (35.015,92) (35.015,92) (35.015,92)

(35.015,92) (35.015,92) (20.000,00) (?)

0 1 2 3 4


38

Exercícios:

48) Calcule o valor presente de uma serie uniforme postecipada (imediata), de 5 pagamentos

mensais, iguais e consecutivos de R$ 1.186,98, sabendo-se que a taxa de juros aplicada foi de

6% ao mês.

Solução:

49) João contratou um plano de aposentadoria complementar, em que ele deverá contribuir

durante de 20 anos, com o valor de R$ 100,00 por mês. O valor da primeira parcela foi paga

no ato da contratação. Considerando uma taxa de juros estimada de 1% ao mês, pergunta-se:

Quanto João poderá resgatar ao final da contratação?

Solução:

( )

50) Considerando que, imediatamente após cumprido o contrato, João pretende resgatar seus

investimentos em 20 anos, mantida a mesma taxa de juros, calcule o valor que ele poderá

resgatar mensalmente ao longo desses 20 anos

Solução:

99


39

51) Transforme os valores abaixo em uma serie uniforme de 4 pagamentos, considerando uma

taxa de juros e 5% por período e com pagamentos iniciando à partir do momento 2 (um

período de carência)

Solução:

Calcular o valor presente da série:

Momento Valor nominal Fator Valor

presente

0 4.000,00 1 4.000,00

1 6.000,00 0,952381 5.714,29

2 5.000,00 0,9070295 4.535,15

3 3.000,00 0,8638376 2.591,51

4 2.000,00 0,8227025 1.645,40

18.486,35

Corrigir (deslocar) o valor presente para o período seguinte:

18.486,35 x 1,05 = 19.410,67

Calcular o valor das parcelas

Na HP

Na HP

f CLX

19.410,67 CHS PV

4 n

5 i

PMT = 5.474,04

Ou:

NO EXCEL: Usar a função PAGTO.

(4.000) (6.000) (5.000) (3.000) (2.000)

0 1 2 3 4


40

Conferindo temos que:

Trazendo a valor presente (ponto focal zero)

Momento Valor nominal Fator Valor

presente

0

1 0,00

1

0,952381 0,00

2 5.474,04 0,9070295 4.965,11

3 5.474,04 0,8638376 4.728,68

4 5.474,04 0,8227025 4.503,50

5 5.474,04 0,7835262 4.289,05

18.486,35

52) Transforme os valores abaixo em uma serie uniforme de 3 pagamentos, considerando uma

taxa de juros e 5% por período e com pagamentos iniciando à partir do momento 1

(5.474,04)

0 1 2 3 4 5

(5.474,04) (5.474,04) (5.474,04)

(5.474,04)

0 1 2 3 4 5

(5.474,04) (5.474,04) (5.474,04)

(4.000) (6.000) (5.000) (3.000) (2.000)

0 1 2 3 4


41

Solução:

Calcular o valor presente da série:

Momento Valor

nominal Fator

Valor

presente

0 4.000,00 1 4.000,00

1 6.000,00 0,952381 5.714,29

2 5.000,00 0,9070295 4.535,15

3 3.000,00 0,8638376 2.591,51

4 2.000,00 0,8227025 1.645,40

18.486,35

Calcular o valor das parcelas

Na HP

Na HP

f CLX

18.486,35 CHS PV

3 n

5 i

PMT = 6.788,35

Conferindo:

Momento Valor

nominal Fator

Valor

presente

0

1 0,00

1 6.788,35 0,952381 6.465,09

2 6.788,35 0,9070295 6.157,23

3 6.788,35 0,8638376 5.864,03

18.486,35

(6.788,35)

0 1 2 3

(6.788,35) (6.788,35)


42

53) Transforme a SUE acima, em uma SNUE, considerando os dois primeiros pagamentos no

valor de R$ 6.788,35, um pagamento de R$ 2.000,00 e o restante para o período seguinte

Solução:

Momento Valor nominal Fator Valor presente

0

1 0,00

1 6.788,35 0,952381 6.465,09

2 6.788,35 0,9070295 6.157,23

3 2.000,00 0,8638376 1.727,68

14.350,00

Diferença

4.136,35

Capitalizando para o momento 4

4 4.136,35 1,2155063 5.027,76

Conferindo

Momento Valor nominal Fator Valor presente

0

1 0,00

1 6.788,35 0,952381 6.465,09

2 6.788,35 0,9070295 6.157,23

3 2.000,00 0,8638376 1.727,68

4 5.027,76 0,8227025 4.136,35

18.486,35

(6.788,35) (6.788,35) (2.000,00) (?)

0 1 2 3 4


43

54) Um capitalista comprou um prédio de apartamentos pagando R$ 825.000 de entrada e

prometendo pagar R$ 180.000,00 de três em três meses, durante 5 anos. Considerando uma

taxa de juros efetiva de 4,5% ao trimestre, pede-se:

a) Calcular o valor à vista do imóvel;

b) Determinar o valor do pagamento a ser feito no vencimento da 13ª. Prestação, para ficar

em dia, caso deixe de efetuar os 12 primeiros pagamentos;

c) Determinar quanto deverá pagar depois de realizar oito pagamentos, caso deseje liquidar

a dívida por meio de um único pagamento, por ocasião do vencimento normal da 9ª.

Prestação e quanto deverá pagar além da prestação então devida;

d) Determinar quanto deverá pagar no vencimento da 11ª de modo que liquide a dívida, caso

deixe de pagar as dez primeiras prestações

Solução:

a) Calcular o valor à vista do imóvel;

f CLX

180.000 PMT

20 n (5 anos = 5 x 4 trim = 20 trim)

4,5 i

PV 2.341.428,56 + 825.000 = 3.166.428,56

b) Determinar de quanto deverá ser o pagamento a ser feito no vencimento da 13ª.

Prestação, para ficar em dia, caso deixe de efetuar os 12 primeiros pagamentos;

f CLS

180.000 PMT

13 n

4,5 i

FV 3.088.784,39

c) Determinar quanto deverá pagar depois de realizar oito pagamentos, caso deseje liquidar

a dívida por meio de um único pagamento, por ocasião do vencimento normal da 9ª.

Prestação e quanto deverá pagar além da prestação então devida;

f CLX

180.000 PMT

11 n

4,5 i

PV 1.535.205,04 + 180.000

d) Determinar quanto deverá pagar no vencimento da 11ª de modo que liquide a dívida, caso

deixe de pagar as dez primeiras prestações

f CLX

180.000 PMT

11 n

4,5 i

FV 2.491.412,18

+

9 n


44

180.000 PMT

4,5 i

PV 1.308.382,29 TOTAL = 3.799.794,47

55) Determinado eletrodoméstico, anunciado por uma loja de departamentos, pode ser adquirido

por oito prestações mensais iguais de R$ 180,00 sem entrada. A taxa de juros composta

efetiva do financiamento cobrada é de 9% a.m. Calcule o valor à vista do eletrodoméstico

180,00 PMT 8n 9i PV = 996,27

56) Qual deverá ser o valor à vista, considerando que a primeira parcela será paga no ato da

compra?

G BEGIN 180,00 PMT 8n 9i PV = 1.085,93

57) Uma empresa contratou um empréstimo com taxa de juros efetiva composta de 3% a.m., para

ser pago através de seis prestações postecipadas no valor de R$ 5.537,93, com um prazo de

carência de quatro meses. Calcule o valor a vista do financiamento

58) Você e sua esposa resolveram adquirir um apartamento, a prazo, avaliado em R$ 300.000,00,

para ser liquidado em 24 parcelas mensais e iguais, e três parcelas intermediárias de R$

35.000,00 ao final do sexto, décimo segundo e decimo oitavo mês. A taxa de juros efetiva

composta cobrada foi de 5%. Calcule o valor dos pagamentos postecipados mensais de mesmo

valor a serem realizados que permitam quitar o valor do imóvel.


45

Solução: Trazer as parcelas intermediárias à valor presente e deduzir do valor à vista do

imóvel. Depois, distribuir o saldo em uma serie uniforme (24 parcelas)

59) Considerando que um certo terreno pode ser adquirido à vista pelo preço de R$ 183.300,00, ou

a prazo através de sete parcelas mensais postecipadas no valor de R$ 34.000,00, e que sua

empresa pratica uma taxa interna de 9%, qual deve ser a decisão de compra: à vista ou à

prazo?

Solução:

Trazer parcelas à valor presente, considerando a taxa de 9% e verificar se o valor presente é

maior ou menor que o valor do imóvel

Neste caso = 171.120,40, logo, deve ser comprado à prazo


46

2.5. Sistemas de amortização de dívidas

Sistema de Amortização Francês (tabela price)

Neste tipo de sistema de amortização, o financiamento é realizado por meio do pagamento ou

recebimento de uma prestação postecipada periódica constante (uniforme) em cada período. Em suma,

esse sistema utiliza a ideia de pagamentos ou recebimentos realizados segundo uma série uniforme

postecipada.

Exemplo:

Um empréstimo de R$ 60.000,00 deve ser liquidado em quatro parcelas mensais e iguais, à uma taxa

de juros de 12% a.a. capitalizada mensalmente. Elabore um quadro demonstrando o valor da

prestação, da amortização, dos juros e do saldo devedor a cada período:

Na HP

60.000 CHS PV 4 n 1i PMT = 15.376,87

Para montagem do quadro temos:

Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 (60.000,00)

1 15.376,87 600,00 14.776,87 (45.223,13)

2 15.376,87 452,23 14.924,63 (30.298,50)

3 15.376,87 302,98 15.073,88 (15.224,62

4 15.376,87 152,25 15.224,62 0,00

Soma 61.507,48 1.507,46 60.000,02

Procedimento:

F fin Limpa os registros

1 i Taxa

4 n Tempo

60.000 CHS PV Valor presente

PMT Valor da parcela

1f AMORT Juros mês 1

X>Y Amortização mês 1

RCL PV Saldo devedor mês 1

E assim sucessivamente...

Dados da 1ª. Prestação:

1 f AMORT Valor dos juros

R ou x<>Y Valor da amortização

RCL PV Saldo


47

Dados da 2ª. Prestação:

1 f AMORT Valor dos juros

R ou x<>Y Valor da amortização

RCL PV Saldo

E assim sucessivamente

Se quisermos saber as informações acumuladas para um dado momento m, digitamos, por exemplo, 3

f AMORT

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Neste sistema, o valor da amortização é uma constante calculada dividindo-se o principal da operação

pelo número de períodos acordados. OU seja, a amortização é igual a

. O valor da prestação é

obtido através da adição da parcela de juros à quota de amortização.

Considerando os dados do exercício anterior, no sistema de amortização constante (SAC), teríamos a

seguinte situação:

Amortização mensal =

R$ 15.000,00

Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor

0 (60.000,00)

1 15.000,00 600,00 15.600,00 45.000,00

2 15.000,00 450,00 15.450,00 30.000,00

3 15.000,00 300,00 15.300,00 15.000,00

4 15.000,00 150,00 15.150,00 0,00

Soma 60.000,00 1.500,00 61.500,00 ---

Comparação entre os sistemas:

Comparação entre os três sistemas:

PMT

Períodos

PRICE

SAC

SACRE


48

Exercícios:

60) Um pessoa adquiriu um produto no valor de R$ 5.000,00 para ser pago em 3 parcelas mensais,

à taxa de 5% a.m.. de acordo com a tabela Price. Calcule o valor da parcela e elabore a

planilha

Solução:

NA HP

f CLX

5000 CHS PV

3 n

5 i

PMT 1.836,04

Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 (5.000,00)

1 1.836,04 250,00 1.586,04 (3.413,96)

2 1.836,04 170,70 1.665,34 (1.748,62)

3 1.836,04 87,43 1.748,61 (0,01)

Soma 5.508,12 508,13 4.999,99 ---

Ou na HP

f CLX

5000 CHS PV

3 n

5 i

PMT 1.836,04

1 f AMORT 250,00 Valor juros 1

X<>Y 1.586,04 Amortização 1

RCL PV 3.413,96 Saldo devedor em 1

1f AMORT 170,70 valor juros em 2

X<>Y 1.665,34 Amortização 2

RCL PV 1.748,62 Saldo devedor em 2

1 f AMORT 87,43 Valor juros em 3

X<>Y 1.748,,61 Amortização 3

RCL PV 0,01 Saldo devedor em 3


49

61) Um pessoa adquiriu um produto no valor de R$ 5.000,00 para ser pago em 3 parcelas mensais,

à taxa de 5% a.m.. de acordo com a tabela SAC. Calcule o valor de cada parcela e elabore a

planilha

Amortização mensal =

R$ 1.666,67

Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor

0 (5.000,00)

1 1.666,67 250,00 1.916,67 (3.333,33)

2 1.666,67 166,67 1.833,34 (1.666,67)

3 1.666,67 83,33 1.750,00 0,01

Soma 5.000,01 500,00 5.500,01 ---

62) Um pessoa adquiriu um veículo no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 12 prestações

mensais, com a primeira paga 3 meses após a compra, capitalizando juros de 3% a.m. durante

a carência. Calcule, de acordo com a tabela price, o valor das prestações

Solução:

Ou n HP

f CLX

18000 CHS PV

3 i

2 n

FV 19.096,20

CHS

PV

0 fv

12 n

PMT 1.918,44

63) Uma pessoa comprou um carro no valor de R$ 23.000,00 para ser pago em 24 parcelas

mensais de R$ 1.170,60 cada. Logo após ter pago a 10 parcela, a pessoa propõe encurtar o

prazo do financiamento. Para tanto, deve pagar R$ 10.000,00 à vista e o saldo devedor em 4

prestações mensais e iguais, à mesma taxa de juros do financiamento inicial. Ela quer saber:

a) A taxa de juros do financiamento (i) 1,67

b) O valor dos juros pagos nas dez parcelas (10 f AMORT) 3.215,81

c) Total amortizado até o décimo mês. (X<>Y) 8.490,19

d) Quanto falta a pagar do principal, após o pagamento da 10ª. Parcela (saldo devedor) (RCL

PV) 14.509,81

e) Valor das quatro parcelas 1.174,82


50

f) Valor dos juros para as quatro parcelas (4f AMORT) 189,46

Solução:

f CLX

23000 CHS PV

24 n

1170,60 PMT

I 1,6667

10 f AMORT 3.215,81 (juros pagos)

X<>Y 8.490,19 (amortização)

RCL PV -14.509,81 (saldo devedor)

10000 + -4.509,81

PV

4 n

PMT 1.174,82

4 f AMORT 189,46 (juros das 4 parcelas)


51

2.6. Métodos de Análise de Fluxos de Caixa

Normalmente, os fluxos de caixa não uniformes caracterizam um dos seguintes tipos de situação:

a) Investimento ou aplicação de recursos na data de hoje para recebimento de entradas de caixa

futuras;

b) Recebimento de recursos na data de hoje (realizado através da tomada de um empréstimo de

um financiamento) para pagamento de saídas de caixa futuras

A avaliação destas situações pode ser realizada através dos métodos:

a) Do valor presente (atual) líquido ou VPL (net presente value ou NPV);

b) Da taxa interna de retorno (TIR ou IRR – internal rate of return) ou taxa interna de juros

(TIJ).

Estes métodos alicerçam-se no regime de juros compostos

Método do valor presente líquido:

O valor presente líquido (VPL) de um fluxo de caixa, independentemente da situação analisada,

representa o valor monetário na data de hoje, proporcionado pela realização do investimento ou do

recebimento em análise.

Exemplo:

Uma empresa deseja avaliar o fluxo de caixa de um investimento no valor de R$ 10.000,00 em um

terreno. Espera-se que após quatro anos, o terreno possa ser vendido por R$ 11.000,00. A taxa mínima

de atratividade estabelecida pela empresa é de 13% a.a.. A utilização do terreno gerará recursos

adicionais de R$ 500,00 no primeiro ano, R$ 450,00 no segundo ano e de R$ 550,00 no terceiro ano.

Calcule o VPL do fluxo de caixa e verifique se o investimento deve ser feito

-2.077,42

O valor negativo indica que o investimento não deve ser feito.


52

Método da taxa interna TIR (Internal Rate of Return-IRR)

De forma similar ao que foi apresentado no primeiro capítulo, quando temos mais de uma entrada de

fluxo de caixa de investimento ou mais de uma saída em um fluxo de caixa de recebimento, a taxa

interna do respectivo fluxo de caixa é calculada por meio da solução das seguintes equações:

Exemplo:

Considere o seguinte fluxo de caixa:

Se atualizássemos (trouxéssemos a valor presente) o fluxo acima a uma taxa de 10%, teríamos a

seguinte situação:

Momento Valor original Valor presente

Fluxo de caixa 1 0 (100.000,00) (100.000,00)

Fluxo de caixa 2 1 52.000,00 47.272,73

Fluxo de caixa 3 2 15.000,00 12.396,69

Fluxo de caixa 4 3 32.000,00 24.042,07

Fluxo de caixa 5 4 41.000,00 28.003,55

Valor final (VPL) 40.000,00 11.715,04

Isso significa que se a taxa mínima de atratividade da empresa fosse de 10%, o investimento se

mostraria viável, ou seja, a empresa investe R$ 100.000,00 para ter recebimentos futuros, e mesmo se

descontando (trazendo a valor presente) os recebíveis, ainda teria um resultado positivo de R$

11.715,04.

Entretanto, qual o limite, em termos de taxa, que a empresa poderia admitir para não ter prejuízo na

atualização (valor presente) dos valores acima?

Este é o papel da TIR, identificar a taxa que zera o fluxo de caixa.

Na HP 12 C, podemos calcular a TIR da seguinte forma:

52.000,00 0

1 2 3 4

15.000,00 32.000,00 41.000,00

(100.000,00)


53

100.000 CHS g CFo

52.000 g CFj

15.000 g CFj

32.000 g CFj

41.000 g CFj

f IRR 15,5379

Para efeito de comprovação, considerando a TIR acima (15,5379%),teríamos o seguinte fluxo:

Momento Valor original Valor presente

Investimento inicial 0 (100.000,00) (100.000,00)

Fluxo de caixa 1 1 52.000,00 45.006,88

Fluxo de caixa 2 2 15.000,00 11.236,78

Fluxo de caixa 3 3 32.000,00 20.748,02

Fluxo de caixa 4 4 41.000,00 23.008,37

Valor final 40.000,00 0,05

Esse resultado indica que a taxa média intrínseca deste fluxo é igual a 15,5379% ao período, e que

todos os valores (independentemente se positivos ou negativos) serão por ela remunerados.

Para exemplificar, vejamos:

Vamos trazer os valores negativos para o momento zero (ano inicial) e;

Vamos levar os valores positivos para o último ano.

Calculando, teríamos:

PV = (100.000,00) / (1,155379)0 = 100.000,00

FV = (52.000 x 1,155379)3 + (15.000 x 1,155379)

2 + (32.000 x 1,155379)

1 + (41.000 x 1,155379)

0

FV = 80.200,44 + 20.023,51 + 36.972,13 + 41.000,00 = 178.196,08

Desta forma, teríamos o seguinte fluxo:

Qual é a taxa intrínseca desse novo fluxo?

FV = PV x (1 + i)n 178.196,08 = 100.000 x (1 + i)4

178.196,08 / 100.000,00 = (1 + i) 4 1,7820 = (1 + i)4

i = 4√1,7820 – 1 i = 0,1554 i = 15,54%

Na HP:

f CLX

100.000 CHS PV

0

1 2 3 4

178.196,08

(100.000,00)


54

4 n

178.196,08 FV

i 15,5379

Fluxo de caixa na HP:

As implementações dos métodos do VPL (NPV) e da TIR (IRR) na calculadora HO-12C são

realizadas através da utilização das teclas NPV, IRR, CFo (primeiro fluxo de caixa), CFj (demais

fluxos) e Nj (número de fluxos de caixa iguais ao último cadastrado). O fluxo de caixa a ser avaliado

pode conter até 21 entradas ou saídas líquidas de caixa diferentes, incluindo a primeira.

Método da Taxa Interna de Retorno Modificada:- (TIRM ou MTIR)

O método TIR considera que o fluxo de caixa será reinvestido na empresa pela própria TIR do projeto,

e não pelo custo de capital da empresa. A TIRM (Taxa interna de retorno modificada), também

conhecida como MTIR, procura corrigir esse problema (MEGLIORINI e VALLIM, 2009).

De acordo com Samanez (2006, p.202) a TIRM (ou MTIR) pode ser calculada trazendo para o valor

presente os fluxos negativos, e para o futuro os positivos. Para atualizar os fluxos por este critério, é

necessário que sejam estipuladas as taxas de financiamento (captação) e de investimento (aplicação), o

que, segundo o autor, acrescenta subjetividades à análise.

Considerando uma taxa de captação de 15% e de aplicação a 10%, teríamos a seguinte situação:

PV = (100.000,00) / (1,15)0 PV = (100.000,00)

FV = (52.000 x 1,103) + (15.000 x 1,102) + (32.000 x 1,101) + (41.000 x 1,100)

FV = 69.212,00 + 18.150,00 + 35.200,00 + 41.000,00 = 163.562,00

Simplificando, teríamos então o seguinte fluxo:

52.000,00 0

1 2 3 4

15.000,00 32.000,00 41.000,00

(100.000,00)

0

1 2 3 4

163.562,00


55

Nesse cenário, considerando uma taxa de captação a 15% e uma taxa de aplicação a 10%, teríamos a

seguinte TIRM (ou MTIR):

f CLX

100.000,00 CHS PV

163.562,00 FV

4 n

I 13,0891%

Diferente da TIR original, que foi de 15,5379.

(100.000,00)


56

Exercícios:

64) Considerando que uma alternativa de investimento requeira um desembolso inicial de R$

200.000,00, que propiciaria a geração de fluxos de caixa de R$ 75.000,00 por ano, durante

cinco anos, calcule o Valor Presente Líquido (VPL) do investimento a uma taxa mínima de

atratividade de 15% a.a.

Na HP

f CLX

200.000,00 CHS g CFo

75.000,00 g CFJ

5 g nj

15 i

f NPV 51.411,63

65) Ainda de acordo com os dados anteriores, calcule a Taxa Interna de Retorno do investimento

Na HP

f CLX

200.000,00 CHS g CFo

75.000,00 g CFJ

5 g nj

15 i

f IRR 25,41%

66) Ainda de acordo com os dados anteriores, considerando uma taxa de captação de 20% e de

aplicação a 15%, calcule a TIRM (ou MTIR)

PV = (200.000,00) / (1,20)0 PV = (200.000,00)

FV = (75.000 x 1,15)4 + (75.000 x 1,15)

3 + (75.000 x 1,15)

2 +(75.000 x 1,15)

1 (41.000 x

1,10)0

FV = 131.175,47 + 114.065,63 + 99.187,50+ 86.250,00 + 75.000,00= 505.678,60

Simplificando, teríamos então o seguinte fluxo:

Na HP

f CLX

200.000,00 CHS f PV

505.678,60 FV

0

1 2 3 5

505.678,60

(200.000,00)

4


57

5 n

I = 20,384%

67) A aquisição de uma máquina de serrar elétrica, avaliada em R$ 3.600,00 poderá gerar receitas

adicionais à serraria, de R$ 340,00 nos seis primeiros meses, R$ 300,00 nos seis meses

seguintes e R$ 280,00 nos últimos seis meses. Considerando uma taxa mínima de atratividade

de 5%, e ainda, que ao final do período a referida maquina poderá ser vendida por R$ 600,00,

calcule, através do método VPL e TIR, a viabilidade da aquisição da maquina.

NPV = R$ 302,69

IRR = 6,02

Viável, investimento dará retorno maior do que o mínimo desejado

68) Uma motocicleta, avaliada em R$ 12.000,00, pode ser adquirida em duas diferentes agências

em Belo Horizonte, e nas seguintes condições:

Agência A: Entrada de R$ 2.000,00 e mais 48 parcelas mensais e iguais no valor de R$

336,00 cada

Agência B: Sem entrada e mais 60 parcelas mensais e iguais no valor de R$ 348,00 cada.

Calcule o VPL e a TIR das opções acima e indique a melhor opção de compra para o

consumidor, considerando uma taxa de juros de mercado de 2% ao mês.

Agência A: VPL = R$ 306,17 TIR = 2,1493%,

Agência B: VPL = R$ 96,79 TIR = 2,0332%,

69) Calcule, de acordo com o fluxo de caixa abaixo, a TIR e a TIRM, considerando uma taxa de

captação de 10% e de aplicação de 5% a.a.

TIR = 24,66%

TIRM = 19,08%

1 2 3 4

2.000,00 3.000,00

2.800,00 2.800,00 2.800,00


58

2.7. Descontos

A operação de desconto propriamente dita, consiste em receber na data de hoje um ou mais valões a

que se tem direito de receber somente no futuro. A abordagem adotada aqui, é a de analisar o

problema do ponto de vista das pessoas físicas ou jurídicas que têm necessidade de caia, e não a da

instituição ou pessoa física que vai cobrar uma recompensa por adiantar o dinheiro. Ou seja, a ótica

utilizada é a de quem está precisando do dinheiro hoje. As empresa de fomento mercantil (factorings)

e os bancos comerciais representam as instituições que mais realizam esse tipo de operação.

No mercado existem tanto as operações de desconto simples quanto as de desconto composto de

títulos de crédito.

Podemos definir dois tipos de desconto:

a) Desconto simples por dentro (ou racional)

b) Desconto simples por fora (comercial)

Desconto simples por dentro (racional)

Valor descontado:

Taxa de Desconto:

Desconto simples por fora (comercial):

Valor descontado:

Taxa de Desconto:

Desconto composto:

O desconto de títulos utilizando o regime de juros compostos, de forma similar ao desconto de título

empregando o regime de juros simples, também pode ser realizado nas modalidades por dentro e por

fora. Entretanto, apresentamos aqui apenas o desconto composto por dentro, por ser aquele mais

utilizado quando o prazo de cada título é considerado longo.


59


60

Exercícios:

70) Um título com valor nominal de R$ 10.000,00, é descontado com desconto simples por fora, à

taxa de 5% ao mês, 15 dias antes de seu vencimento. Calcule:

a) O valor do desconto

250,00

b) O valor líquido:

c) A taxa de desconto

71) Um determinado título, descontado à taxa de 8% ao mês, 45 dias antes de seu vencimento,

gerou um valor líquido de R$ 10.560,00. Qual o valor nominal do título?

72) Um título com valor nominal de R$ 10.000,00, é descontado com desconto simples por dentro,

à taxa de 5% ao mês, 15 dias antes de seu vencimento. Calcule:





61

73) A sua empresa pretende descontar um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00. O título

vence daqui a dois meses e meio A taxa de desconto simples por dentro mensal cobrada é de

4%. Calcule:




74) Uma distribuidora de títulos e valores esta oferecendo títulos com valor de face igual a R$

1.000,00. A taxa de juros efetiva composta oferecida aos investidores interessados é de 23%

a.a. Você tem interesse em adquirir tais títulos, cujo vencimento ocorrerá daqui a três anos.

Calcule o valor do investimento que você deverá realizar hoje por título adquirido.

Ou

1.000 FV

23 i

3 n

PV =

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