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Restrições IndexicaisEm sistemas de programação por restrições, há que definir uma metodologia de implementação dos resolvedores de restrições que estão na sua base. Em particular, há que ter em conta aspectos tais como:

• A facilidade de representação de domínios e restrições de uso geral;

• A possibilidade de controlar a propagação de restrições nos modos mais adequados;

• A possibilidade de combinar essas primitivas em restrições mais complexas;

• A transparência (glass-box) da implementação, permitindo ao utilizador acesso às “primitivas” para implementação de restrições complexas e heurísticas de enumeração.

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Restrições IndexicaisUma das formas mais adequadas de satisfazer os requisitos enunciados é a consideração de resolvedores de resrições baseados em restrições indexicais.

Esta é, por exemplo, a metodologia utilizada na implementação do sistema SICStus, especificamente no seu módulo de restrições em domínios finitos.

Estas restrições indexicais pressupõem que os domínios das variáveis sejam ordenados. Na realidade, o SICStus impõe que o domínio das variáveis tenha de ser um subconjunto dos números inteiros.

As restrições indexicais permitem de uma forma sintética resolver os problemas de representação e de propagação de restrições nesses domínios.

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Restrições IndexicaisExemplo de Introdução:

Consideremos a restrição de desigualdade não estrita , , aplicada às variáveis A e B com os domínios iniciais de 2000 a 5000 e de 1000 a 4000, respectivamente. Na sintaxe adoptada pelo SICStus

A in 2000..5000, B in 1000..4000, A #=< B

Este exemplo vai permitir analisar as vantagens e desvantagens das várias hipóteses de implementação possíveis, nomeadamente para aspectos tais como:

• A manutenção dos domínios das variáveis;

• A representação das restrições,

• A propagação adequada dessas restrições.

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Restrições IndexicaisA in 2000..5000, B in 1000..4000, A #=< B

Quanto aos domínios, há que optar por uma representação por intensão ou por extensão. Note-se que a propagação de restrições só pode reduzir os domínios das variáveis.

A representação por extensão mantem explicitamente, numa estrutura de dados, todos os valores correntes no domínio. Como os domínios só podem ser reduzidos, essa estrutura de dados pode ser feita através de uma estrutura estática, tipo vector de booleanos (bit array).

Tal opção apresenta várias desvantagens. Por exemplo, a detecção de falhas (i.e. um domínio vazio) implica, ou um percurso do domínio da variável (no caso, 3000 posições de memória !), ou a manutenção de contadores de bits.

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Dada a importância da detecção eficiente de falhas e o desperdício de memória (os valores presentes no domínio podem normalmente ser descritos de uma forma sintética) é preferível, para um resolvedor de uso geral uma representação por intensão.

De início, podem ser explicitados os valores limites dos domínios, única informação significativa na sua declaração.

A detecção de falhas é muito simples: o limite superior de um domínio não pode ser inferior ao seu limite inferior.

Esta representação é particularmente eficiente enquanto os domínios se mantiverem convexos (isto é, sem “buracos” no seu interior).

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Muitas das restrições mais habituais mantêm essa convexidade, como é o caso da restrição de desigualdade.

A satisfação da restrição é possível se se verificar que o limite superior da variável A não é inferior ao limite inferior da variável B.

Por outro lado, nenhum valor no domínio da variável A pode ser superior ao limite superior da variável B, ou seja, o limite superior da variável A não pode ser superior ao da B ( e o limite inferior de B não pode ser inferior ao de A). A #=< BAB1000 5000

AB1000 5000

2000 4000

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Como estas operações nos limites são muito frequentes, é necessário fazer uma ligação à representação das restrições e aos limites dos domínios das variáveis, de forma a garantir a propagação adequada.

Nas restrições indexicais, esta ligação é feita através da especificação dos limites de variáveis em função dos limites de outras variáveis.

As restrições ficam assim representadas por expressões que definem os limites das variáveis. Como os limites só podem ser reduzidos, a introdução de restrições é feita por operações de máximo/mínimo nos limites inferior/superior, implementando a intersecção dos domínios

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A introdução da restrição A #=< B altera os domínios originais das variáveis A e B

Domínio de A 2000 .. 5000 inf .. max(B) ... ou seja max(A) = min(5000, max(B)) = max(B)

Domínio de B 1000 .. 4000 min(A) .. sup ... ou seja min(B) = max(1000, min(A)) = min(A)

A #< BAB1000 5000

AB1000 5000

2000 4000

Internamente a restrição fica representada porA in 2000 .. 4000 inf ..max(B) B in 2000 .. 4000 min(A) ..sup

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A representação da restrição da forma que é feita, isto é

A in 2000 .. 4000 inf ..max(B) B in 2000 .. 4000 min(A) ..sup

permite a propagação adequada. Logo que o limite superior de B diminuir, essa diminuição é propagada para a variável A, cujo limite superior baixa do valor corrente (4000). A comparação com o limite inferior de A (2000) permite imediatamente verificar se A ficou com o domínio vazio!

A propagação de A para B é feita da mesma forma. A alteração do limite superior de A não tem efeito no domínio de B, ao contrário da modificação do limite inferior, que é propagada.

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Restrições IndexicaisOs efeitos da propagação podem ser vistos na introdução da nova variável C e da restrição C in 3000..3500,B #= C

0 A in 2000 .. 4000 inf ..max(B)

B in 2000 .. 4000 min(A) ..sup

Após C in 3000..35001 C in 3000 .. 3500

Após C #=< B2a C in 3000 .. 3500 min(B) .. max(B) 2b B in 2000 .. 4000 [min(C).. max(C) min(A)..sup)]

2000 .. 4000 max(min(C),min(A)) .. min(max(C),sup) 3000 .. 3500 max(min(C),min(A)) .. max(C)

2c A in 2000 .. 3500 inf ..max(B)

Se possível são feitas simplificações. O limite superior de B é simplificado, mas não o seu limite inferior (o maior dos limites inferiores de A e C não é ainda determinado.

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Restrições IndexicaisNaturalmente, o utilizador da linguagem não tem, em geral, que lidar com as restrições a tão baixo nível.

As restrições mais habituais, nomeadamente as operações aritméticas e os operadores relacionais, são directamente compiladas nas restrições indexicais.

Por exemplo a restrição A + B #= C é compilada nas restrições indexicais

C in min(A)+min(B) .. max(A)+max(B)

A in min(C)-max(B) .. max(C)-min(B)

B in min(C)-max(A) .. max(C)-min(A)

De notar a monotonia das operações de domínio. O limite inferior de A aumenta com o aumento do limite inferior de C e com a diminuição do limite superior de B.

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Restrições IndexicaisOs exemplos anteriores permitem perceber que o tipo de coerência mantido pelas restrições indexicais nas restrições de igualdade (#=) e desigualdade estrita ou não estrita (#<, #=<, #> e #>=) é, geralmente, a coerência de intervalo.

Com efeito a implementação das restrições indicada apenas altera os limites dos domínios das variáveis.

Existe no entanto a possibilidade de impôr outros tipos de coerência nas restrições que o justificarem, nomeadamente a coerência de nó e a coerência de domínio.

Este tipo de coerências só tem interesse quando se consideram domínios côncavos, isto é “com buracos”.

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Restrições IndexicaisAs concavidades podem ser introduzidas, por exemplo, por uma restrição de diferença (#\=). Consideremos, por exemplo, a situação

A in 1..9, B in 3..5, A #\= B

Esta restrição de diferença tem de ser representada através da complementação dos domínios e não da sua intersecção, ou seja (usando a sintaxe do SICStus)

A in \dom(B) e B in \dom(A)

Esta operação levanta no entanto problemas quanto à monotonia, no sentido em que quanto mais se reduz o domínio de uma variável, mais aumenta o domínio da outra !

A in 1 .. 9 \dom(B)B in 3 .. 5 \dom(A)

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Restrições IndexicaisA in 1..10, B in 3..5, A #\= B

A in 1 .. 9 \dom(B)B in 3 .. 5 \dom(A)

Por esse motivo estas restrição indexicais de complemento são “congeladas” até o domínio da variável se reduzir ao máximo, isto é a um só elemento. A coerência de nó é assim implementada, e as restrições de diferença não são sujeitas a outro tipo, inútil, de coerência.

Se um domínio se reduzir a um só elemento, por exemplo se se instanciar B a 3, o domínio de A torna-se côncavo, sendo representado por união de domínios. Na sintaxe SICStus?- A in 1..9, B in 3..5, A #\= B, B #=3,fd_dom(B,S).

B = 3,S = {3},A in(1..2)\/(4..9) ?

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Restrições IndexicaisA coerência de arco, requer que numa restrição, sempre que o domínio de uma variável seja reduzido, seja verificado se as outras variáveis continuam a ser suportadas.

A consistência de arco pode ser mantida especificando-se nas restrições indexicais o domínio de outras variáveis. Por exemplo, na sintaxe usada pelo SICSTus, se se pretender que a soma mantenha a coerência de arco, essa restrição pode ser especificada directamente pelo utilizador através da definição da soma como um predicado FD

soma(A,B,C)+: A in dom(C) - dom(B), B in dom(C) - dom(A), C in dom(A) + dom(B).

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Restrições IndexicaisA definição de uma restrição (predicado FD) pelo utilizador no SICStus é assim semelhante à definição de um predicado, tendo no entanto algumas limitações, nomeadamente não há “cláusulas” alternativas (pelo que não há retrocesso!).

Por exemplo, usando a definição anterior, obtemos o seguinte comportamento?- A in 1..6, A#\=3,A#\=4,A#\=5, B in 1..2, soma(A,B,C). A in(1..2)\/{6}, B in 1..2, C in(2..4)\/(7..8) ? % A+B#= C C in 1..8

?- C in 1..9, C#\=5,C#\=6,C#\=7, B in 0..2, soma(A,B,C). C in(1..4)\/(8..9), B in 0..2, A in(-1..4)\/(6..9) ? % A+B#= C A in -1..9

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Restrições IndexicaisAs expressões indexicais só podem aparecer na definição de predicados FD. Essa limitação é devida aos diferentes mecanismos de execução da linguagem de base(Prolog) e do módulo FD no sistema SICStus. Com efeito, dada a definição

soma(A,B,C)+: A in dom(C) - dom(B), B in dom(C) - dom(A), C in dom(A) + dom(B).

pretende-se que no módulo FD, os domínios de A/B/C sejam reavaliados por alterações dos domínios de C,B / C,A / A,B.

Ao contrário da execução do Prolog, as primitivas que aparecem nas expressões indexicais (dom, max, min, etc) devem assim ser vistas como agentes reactivos a mudança.

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Restrições IndexicaisPara além das primitivas já exemplificadas, as expressões indexicais podem ser obtidas através de termos FD. Sendo X uma variável de domínio, e D(X) o domínio corrente de X os termos FD básicos são os seguintes

min(X) mínimo de D(X)

max(X) máximo de D(X)

card(X) cardinalidade de D(X)

X valor (inteiro) de X. A expressão só é avaliada quando X é instanciado

I um valor inteiro

inf mais infinito

sup menos infinito

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Restrições IndexicaisOs termos FD, básicos ou não, podem ser combinados em termos complexos através dos operadores aritméticos. Sendo T1/T2 termos FD arbitrários, e representando por D(T1)/D(T2) os seus “domínios” correntes, os seguintes termos compostos podem ser considerados , sendo avaliados pelas operações correspondentes na aritmética de intervalos

-T1 negação-I de D(T1)

T1+T2 soma-I de D(T1) e D(T2)

T1-T2 diferença-I de D(T1) e D(T2)

T1*T2 produto-I de D(T1) e D(T2) com D(T2) >= 0

T1/>T2 D(T1) div D(T2), com arredondamento para T1/<T2 cima/baixo, sendo D(T2) >= 0

T1 mod T2 D(T1) mod D(T2)

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Restrições IndexicaisOs termos FD são usados nas restrições indexicais, que definem “domínios” (ranges) para as variáveis de domínio, a ser “intersectados” com os domínios correntes das variáveis. As restrições indexicais têm a forma

X in R

em que R é um range definido pela seguinte gramática. Os ranges básicos são os seguintes (X denota uma variável de domínio e Ti um termo FD)

dom(X) D(X)

{T1,...,Tn} conjunto de termos Ti

T1..T2 intervalo entre os termos Ti

Para além dos ranges básicos, outros mais complexos podem ser obtidos por composição.

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Restrições IndexicaisDenotando Ri um range, e D(Ri) o seu “domínio”, a combinação de ranges é expressa pela seguinte gramática

R1/\R2 interseção de D(R1) e D(R2)

R1\/R2 união de D(R1) e D(R2)

\R1 complemento de D(R1)

R1+R2 (T2) soma-I de D(R1) e D(R2) ou D(T2)

-R1 negação-I de D(R1)

R1-R2 e R1-T2 diferença-I de D(R1) e D(R2) ou D(T2)

R1 mod R2 (T2) mod-I de D(R1) e D(R2) ou D(T2)

R1 ? R2 se R1 \= então D(R2) senão unionof(X,R1,R2) união dos D(Sk): cada Sk é obtido de R2 substituindo X pelo k-ésimo elemento de R1.

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Restrições Indexicais

Exemplo 1: ajuste(X,Z,K,N)

Para variáveis Z e N, com domínio 1 a N, garantir que X fique desviada de um valor K (0=<K<N) de Z, com retorno ao início.

O interesse deste tipo de ajuste é abrir a possibilidade de usando uma enumeração up/down numa variável “espelho” obter uma enumeração não standard na variável “real”.

Por exemplo, no problema das 25 rainhas, para enumerar uma rainha X a partir de 16, isto é, na ordem

11, 12, ..., 24, 25, 1, 2, ...10

basta usar N= 25 e K = 10, com as correspondências

Z=1X=11 Z=15 X=25 Z=16 X=1 Z=25 X=10

Algebricamente, X = (Z+K+N-1) mod N + 1.

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Exemplo 1: ajuste(X,Z,K,N)

Usando directamente a igualdade X = (Z+K+N-1) mod N + 1, e a correspondente Z = (X-K+N-1) mod N + 1, obtemos

Solução 1: ajuste(X,Z,K,N)+: X in ((dom(Z)+K+N-1) mod N)+1, Z in ((dom(X)-K+N-1) mod N)+1.

Na realidade a operação mod é desnecessária, se X e Z estão definidas no intervalo 1..N, usando-se em alternativa, sendo um dos disjuntos “filtrados”.

Solução 2: ajuste(X,Z,K,N)+: X in (dom(Z)+ K) \/(dom(Z)+ K - N),

Z in (dom(X)- K) \/(dom(X)- K + N).

Desafio: Enumerar com valores de N/2 para as pontas.

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Exemplo 2: nao_ataca(L1,C1,L2,C2)

Pretende-se que duas rainhas, colocadas nas linhas L1 e L2 (constantes) e colunas C1 e C2 (variáveis de domínio) não se ataquem, isto é

C1 \= C2, L1+C1 \= L2+C2 e L1+C1 \= L2+C2.

Solução 1: nao_ataca(L1,C1,L2,C2)+: C1 in \({C2}\/{C2+L2-L1}\/{C2+L1-L2}),

C2 in \({C1}\/{C1+L1-L2}\/{C1+L2-L1}).

Nesta abordagem, como as variáveis de domínio aparecem num contexto “negativo” (in \ {C}) a restrição é suspensa até a variável C ser instanciada. A propagação que se obtem é pois a que garante a manutenção da consistência de nó. Em alternativa, pode manter-se a consistência de arco.

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Solução 2: nao_ataca(L1,C1,L2,C2)+: C1 in unionof(Y,dom(C2),\({Y}\/{Y+L2-L1}\/{Y+L1-L2})), C2 in unionof(X,dom(C1),\({X}\/{X+L1-L2}\/{X+L2-L1})).

Nesta abordagem, obtem-se a consistência de arco, por união de todos os valores de uma variável na outra.

Por exemplo, na primeira restrição indexical, o domínio de C1 é obtido por união de todos os valores compatíveis com os valores actuais de C2.

Assim estes valores, referidos como Y, já aparecem instanciados em expressões idênticas às anteriores. O tratamento é naturalmente simétrico na outra restrição indexical.

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Solução 3: nao_ataca(L1,C1,L2,C2)+:

C1 in (4..card(C2)) ? (inf..sup) \/ unionof(Y,dom(C2),\({Y} \/ {Y+L2-L1} \/ {Y+L1-L2})),

C2 in (4..card(C1)) ? (inf..sup) \/ unionof(X,dom(C1),\({X} \/ {X+L1-L2} \/ {X+L2-L1})).

A terceira abordagem é semelhante à anterior mas só executa a propagação quando o domínio da variável tem cardinalidade menor que 4.

Com efeito a restrição indexical C1 é avalidada como a união (V) da restrição unionof(Y,... )com

se a cardinalidade de C2 for =< 4 (i.e. 4..card(C2)= )

• inf..sup no caso contrário

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Restrições Disjuntivas e Indexicais

Restrições Disjuntivas e Retrocesso

Em geral um problema de restrições inclui uma fase de pesquisa com retrocesso, nomeadamente quando as restrições e a sua propagação não são suficientes para eliminar valores redundantes do valor dos domínios.

Esse retrocesso ocorre na fase de enumeração, quando todas as restrições já estão impostas.

No entanto quando as restrições são definidas por intensão, a forma mais “natural” de as definir é através da disjunção de várias alternativas.

Neste caso há que identificar a melhor forma de impôr essas disjunções.

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Exemplo: Dadas duas tarefas T1 e T2, com início nos tempos S1 e S2 e durações D1 e D2, garantir que elas não se sobrepõem.

Uma modelação natural desta restrição é a implementação da disjunção equivalente

•T1 termina antes de T2 começar; ou

•T2 termina antes da T1 começar

A definição desta restrição, nomeadamente a disjunção destas alternativas, pode usar o mecanismo de retrocesso do Prolog

disjuntas(S1, S2, D1, D2) :- S1 + D1 #=< S2.

disjuntas(S1, S2, D1, D2) :- S2 + D2 #=< S2.

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Problema ( Vars):-

Declaração de Variáveis e Domínios,

Lançamento das Restrições,

Enumeração das Variáveis.

Esta formulação levanta o problema da interacção dos retrocessos feitos durante

1.a definição e lançamento das restrições

2.a enumeração (exploração do espaço de pesquisa).

Com efeito, havendo k tarefas de que se pretende garantir a não sobreposição, há que definir k*(k-1)/2 restrições de não sobreposição entre pares das k tarefas.

Para 50 tarefas, K = 50, temos 50*49/2 = 1225 restrições.

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Problema ( Vars):- Declaração de Variáveis e Domínios, Lançamento das Restrições, Enumeração das Variáveis.

A questão que se coloca é que, em vez de se resolver

•1 só problema com 2K variáveis

uma formulação como a anterior vai conduzir à resolução de

•2k*(k-1)/2 problemas com as mesmas 2K variáveis.

Cada problema corresponde à escolha feita na fase de lançamento das restrições de umas das alternativas para a não sobreposição. Com os valores anteriores o número de problemas a resolver é astronómico 21225, mesmo que a maioria destes problemas seja trivialmente “eliminado”.

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Reificação de Restrições

Uma melhor formulação corresponde a garantir a formulação de todas as alternativas das restrições numa só definição, em vez do número exponencial de definições.

Esta formulação pode ser obtida através da reificação de restrições.

A ideia de base da reificação de restrições é fazer corresponder a cada restrição o seu valor booleano 0/1, e tornar acessível ao nível do programa esse valor de verdade.

Por exemplo se associarmos as restrições R1 e R2 os booleanos B1 e B2, a disjunção destas restrições pode impôr-se pela simples imposição da restrição

B1 + B2 #>= 1.

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Uma vez definido o mecanismo de reificação de restrições pode-se alargar o seu âmbito para outras combinações de restrições, nomeadamente as que envolvem contagens.

Por exemplo se pretendermos que de 20 retrições R1,..., R20 pelo menos 10 sejam satisfeitas, em vez de se definirem

•as 20 restrições, R1 a R20

•C1020 = 184 756 conjuntos alternativos das 20

restrições

definem-se simplesmente

•as 20 restrições, R1 a R20

•a sua correspondência com variáveis booleanas B1 a B20

•a restrição B1 +B2 + B20 #>= 10

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Para que a correspondência entre uma variável B e uma restrição R seja explorada eficientemente e propagada, há que definir mecanismos de Ask & Tell, que permitam

Mecanismos Tell

•Tell(R) - Impôr a satisfação da restrição

•Tell(~R) - Impôr a insatisfação da restrição

Mecanismos Ask

•Ask(R) - Verificar a satisfação da restrição

•Ask(~R) - Verificar a insatisfação da restrição

Com efeito se se pretender satisfazer uma e uma só das restrições R1 e R2, várias situações podem ocorrer que requerem todos os mecanismos acima.

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•Ask(R1) / Ask(R2) sucede

Uma vez detectada uma situação que garanta a satisfação de R1/R2, deve ser imposta a restrição de que R2/R1 não seja satisfeita - tell(~R2)/tell(~R1).

•Ask(~R1) / Ask(~R2) sucede

Uma vez detectada uma situação que garante a não satisfação de R1/R2, deve ser imposta a restrição de que R2/R1 seja satisfeita (tell(R2)/tell(R1).

Desta forma, há que definir como é que estes 4 mecanismos de Ask&Tell podem ser disponibilizados ao utilizador, quer para restrições pré-definidas de uso geral, quer para restrições definidas pelo utilizador.

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No SICStus a correspondência entre restrições e variáveis booleanas é feita através do operador pré-definido

R #<=> B.

sendo B é a variável booleana 0/1 e R a restrição.

Várias restrições pré-definidas são reificáveis. Tal é o caso das restrições lineares (comparação de expressões lineares).

Desta forma a não sobreposição de tarefas atrás descrita pode ser feitas através das restrições

disjuntas(S1, S2, D1, D2) :- S1 + D1 #=< S2 #<=> B1, % T1 antes de T2 S1 + D1 #=< S2 #<=> B2, % T2 antes de T1 B1 + B2 #>= 1.

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Quando se definem restrições específicas, há que definir para elas os mecanismos de Ask e Tell adequados.

Por exemplo, consideremos o exemplo da restrição de diferença ‘\\=’ entre duas variáveis de domínio.

Os mecanismos de Ask são impostos por restrições indexicais de propagação (propagating indexicals), que incluem as definições positivas (‘+:’), já conhecidas

’x\\=y’(X,Y) +: X in \{Y}, Y in \{X}.

e as definições negativas (‘-:’)’x\\=y’(X,Y) -: X in dom(Y), Y in dom(X.

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Os mecanismos de Tell são impostos por restrições indexicais de verificação (checking indexicals), quer positivas (‘+?’)

’x\\=y’(X,Y)+? X in \dom(Y).

quer negativas (‘-:’)’x\\=y’(X,Y) +: X in {Y}.

O comportamento pretendido das restrições indexicais de propagação e de verificação impõe regras de execução e limitações às expressões utilizadas nas definições.

Algumas dessas limitações são apresentadas de seguida.

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Restrições Indexicais de Propagação (“Disparo”)

Uma restrição indexical de propagação X in R é escalonada para execução nas seguintes condições

•É avaliada inicialmente logo que se torne monótona

•É reavalidada sempre que, para outra variável Y que aparece em R

• o domínio de Y fôr alterado e Y aparece em R na forma card(Y) ou dom(Y);

• O limite superior/inferior do domínio de Y fôr alterado e Y aparece como max(Y)/min(Y) em R.

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Restrições Indexicais de Propagação (Resultado)

Dada uma variável X referida numa restrição indexical, e denominando por M(X) o valor da restrição indexical no estado corrente da memória, e I(X) o intervalo entre os limites inferior e superior do domínio de X, então

•Se M(X) é disjunto de I(X), existe contradição.

•Se I(X) está contido em M(X), então não há ainda valores no domínio corrente de X incompatíveis com a restrição indexical, cuja execução suspensa, até a situação se tornar “ground” .

•Caso contrário, a restrição indexical é acrescentada às restrições sobre X, cujo domínio vai sofrer cortes.

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Exemplo: Restrições Indexicais de Propagação

A restrição X in \{Y} na propagação positiva é suspensa até se tornar monótona, isto é até Y estar instanciada. Neste caso a restrição ou é contraditória, ou é propagada, sendo retirado o valor de Y do domínio de X.

A restrição X in dom(Y), na propagação negativa, é inerentemente monótona. Enquanto Y tiver vários valores no seu domínio, X vai sendo cortado. Se os domínios de X e Y se tornarem disjuntos, então a negação da restrição de diferença falha! Quando o domínio de Y ficar ground então o de X tambem fica e a restrição (isto é, a negação de que X e Y são diferentes) sucede.

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Restrições Indexicais de Verificação (“Disparo”)

Uma restrição indexical de propagação X in R é escalonada para execução nas seguintes condições

•É avaliada inicialmente logo que se torne anti-monótona

•É reavalidada sempre que

• O domínio de X tenha sido cortado ou atribuído um valor a X;

• o domínio de uma variável Y, que apareça em R na forma card(Y) ou dom(Y), seja cortado;

• O limite superior/inferior do domínio de Y fôr alterado e Y aparece como max(Y)/min(Y) em R.

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Restrições Indexicais de Verificação (Execução)

Dada uma variável X referida numa restrição indexical, e denominando por M(X) o valor da restrição indexical no estado corrente da memória, e I(X) o intervalo entre os limites inferior e superior do domínio de X, então

•Se I(X) está contido em M(X), então nenhum valor de X pode tornar a restrição falsa, pois M(X) só pode crescer (anti-monotonia). Assim a restrição é verificada positivamente (entailed)

•Se I(X) é disjunto de M(X) e M(X) está “definido” (ground) então a .restrição já não pode ser satisfeita e é verificada negativamente (disentailed).

•Nos outros casos a restrição de verificação é suspensa.

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Exemplo: Restrições Indexicais de Verificação

A restrição X in \dom(Y) na verificação positiva é inerentemente anti-monótona (os valores de \dom(Y)só podem aumentar pois dom(Y) só pode ser reduzido). Assim a verificação positiva sucede logo que Y ficar grounded e X não tiver elementos em comum com o domínio de Y.

A restrição X in {Y}, só se torna anti-monótona quando Y ficar instanciada a um qualquer valor. Enquanto X tiver esse valor no domínio a restrição suspende. Se X só tiver esse valor no domínio a verificação negativa sucede, ou seja o único valor de X é o mesmo do único valor de Y, caso em que a restrição de diferença falha.

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’x\\<y’(X,Y)+: X in inf .. max(Y)-1, Y in min(X)+1 .. sup.

’x\\<y’(X,Y)-: X in min(Y)+1 .. sup, Y in inf .. aax(X)+1.

’x\\<y’(X,Y)+? X in inf .. min(Y)-1, Y in max(X)+1 .. sup.

’x\\<y’(X,Y)-? X in max(Y).. sup, Y in inf .. min(X).

Exemplo 2: Restrição de Desigualdade Estrita

Como se poderá verificar facilmente as seguintes definições de indexicais de propagação e verificação são os adequados para reificar uma restrição de desigualdade estrita na forma

’x\\<y’(X,Y) #<=> B

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Meta-Restrição de Cardinalidade

Vários tipos de problemas, nomeadamente de escalonamento de tarefas com várias precedências requerem a especificação de que de entre uma lista de restrições

Lr = [R1, R2, ... , Rn]

o número de restrições a satisfazer deve estar entre um limite inferior I e superior S, inclusivé. Sintaticamente, a meta-restrição pode ser especificada como

#(I,S, [R1, R2, ... , Rn])

Este tipo de restrições são usuais em problemas de gestão de recursos, em que se pretendem alocar pessoas/recursos de uma forma “flexível”.

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Exemplo (Escalas de Pessoal): De entre as 7 enfermeiras de um Serviço Hospitalar, pelo menos 4 devem estar de serviço no 1º turno.

A modelação desta restrição pode ser feita considerando-se uma variável booleana Xij para modelar o turno j feito pela enfermeira i. A modelação pode usar, para cada turno, a meta-restrição de cardinalidade

#(4,7, [X1i=1, X2i=1, ... , X7i=1, ])

Noutra alternativa de modelação, consideram-se 7 variáveis Xij para cada turno i, cujo domínio são as enfermeiras, reservando-se o valor 0 para o caso de a variável não ser instanciada a nenhuma enfermeira, o que conduz à restrição

#(4,7, [Xi10, Xi20, ... , Xi70, ])

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A semântica operacional desta meta-restrição pode ser especificada por um conjunto de regras de reescrita, que utilizam os mecanismos de Ask & Tell apresentados. As primeiras duas regras reescrevem a restrição inicial numa forma simplificada.

Regra 1: Se uma das restrições fôr satisfeita então o número de restrições a satisfazer é reduzido até 1.

#(I,S, [R1, R2, ... , Ri, ... , Rn]), ask(Ri)#(I-1,S-1, [R1, R2,...,Ri-1,Ri+1,..., Rn])

Regra 2: Se uma das restrições fôr satisfeita então o número de restrições a satisfazer é reduzido até 1.

#(I,S, [R1, R2, ... , Ri, ... , Rn]), ask(~Ri)#(I,S, [R1, R2,...,Ri-1,Ri+1,..., Rn])

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As duas regras seguintes referem-se a situações em que a satisfação ou não das restrições restantes tem de se imposta. Regra 3: Se o número de restrições a satisfazer é igual ao limite superior, todas as restrições têm de ser satisfeitas.

#(I,S, [R1, R2, ... , Ri, ... , Rn]), S = ntell(R1), tell(R2), ..., tell(Rn)

Regra 4: Se o limite superior de restrições a satisfazer é igual a 0, nenhuma das restrições pode ser satisfeitas.

#(I,S, [R1, R2, ... , Ri, ... , Rn]), I = 0tell(~R1), tell(~R2), ..., tell(~Rn)

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Finalmente, a meta-restrição pode ser trivialmente verificada por redução dos limites superiores e inferiores e do número de restrições a satisfazer por via das regras 1 e 2.

Regra 5: Se já não há restrições a satisfazer e o seu número não é superior ao limite superior, a meta-restrição sucede.

#(I,S, [R1, R2, ... , Rn]), I = 0, S >= ntrue

Regra 6: Se o número de restrições a satisfazer é inferior ao limite superior, então a meta-restrição falha.

#(I,S, [R1, R2, ... , Rn]), S > nfalse

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Embora se possa implementar esta meta-restrição a partir da especificação, os mecanismos de Ask&Tell do SICStus baseados na reificação das restrições permitem-no fazer de forma mais eficiente por meio da contagem das restrições satisfeitas (por soma das correspondentes variáveis booleanas) .

cardinal(I,S,L):- sats(L,C), I #=< C, C #=< S.

sats([],0).sats([R1|Resto],C):- H #<=> B, C #= D+B, sats(Resto,D).

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Restrições Condicionais

A meta-restrição de cardinalidade pode ser aplicada genericamente a combinações de restrições que envolvam contagem de restrições. Existem outras situações bem modeladas através das variáveis booleanas associadas às restrições reificadas.

Entre outras situações, refiram-se as restrições condicionais, que só fazem sentido caso outras se verifiquem. Por exemplo, no contexto do escalonamento de tarefas, pode acontecer que apenas umas das tarefas T1 e T2 se deva realizar antes do limite Z. Se fôr a tarefa T2, então a tarefa T3 deverá começar com um intervalo de I após o fim da tarefa T2.

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A garantia de que uma só das tarefas T1 e T2 termina antes de Z pode ser especificada pela meta-restrição de cardinalidade

Card(1,1, [S1+D1 #<= Z, S1+D1 #<= Z])

No entanto a restrição condicional entre T2 e T3 não envolve contagens, pois o número de restrições satisfeitas nas tarefas T2 e T3 pode ser 0, 1 ou 2).

Estas condições podem ser modeladas através das variáveis booleanas associadas às restrições reificadas. Assim, e considerando as reificações

S1+D1 #<= Z #<=> B1

S2+D2 #<= Z #<=> B2S3 #> S2+D2+I #<=> S

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Assim, e considerando as reificações anteriores, podemos exprimir quer a restrição de cardinalidade

B1 + B2 #= 1

quer a restrição de condicionalidade, através de

B3 #>= B2

Desta forma logo que se verificar que a restrição R2 não é satisfeita (B2 = 0) a restrição acima é trivialmente satisfeita e a restrição R3 não é imposta.

No caso de a restrição R2 fôr satisfeita, então B3 fica restringido ao valor 1 e a restrição R3 é imposta.

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Outras Combinações de Restrições

Em vez de trabalhar com os valores booleanos associados às restrições reificadas, o SICStus permite a sua utilização directa em restrições proposicionais.

Por exemplo, as restrição tarefas T1, T2 e T3 podiam ser direcatmente especificadas com as restrições proposicionais seguintes Cardinalidade (apenas 1 das tarefas T1 e T2)

S1+D1 #<= Z #\ S2+D2 #<= Z

Condição ( se T2 então T3)

S3 #> S2+D2+I #<= S2+D2 #<= Z

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Outras Combinações de RestriçõesAs restrições proposicionais permitidas são as seguintes

#\ R1 B1 #= 0 R1 deve ser falsa

R1 #/\ R2 B1+B2 #= 2 R1 e R2 devem ser ambasverdadeiras

R1 #\ R2 B1+B2 #= 1 Uma e uma só de das R1 e R2 deve ser verdadeiraR1 #\/ R2 B1+B2 #>=1 Pelo menos uma de R1 e

R2 deve ser verdadeiraR1 #=> R2 B2 #>= B1 Se R1 fôr verdadeira, então

R2 #<= R1 R2 também o deve ser. R1 #<=>R2 B1 #= B2 As

restrições R1 e R2 são ambas verdadeiras ou

falsas.

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Disjunção Construtiva

As combinações de restrições através das restrições proposicionais seguem uma filosofia de menor compromisso

No entanto esta estratégia ao “suspender” a imposição de restrições pode não auxiliar a tarefa de enumeração das variáveis, já que não lhes limita os domínios.Em certas circunstâncias, podem ser retiradas ilações sobre os domínios das variáveis envolvidas em restrições, mesmo sem se saber com exactidão quais. Tal é o caso da

disjunção construtiva.

Não se comprometer com uma restrição até que, durante a enumeração os domínios das variáveis sejam reduzidos de tal forma que se possa garantir a imposição da restrição.

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Exemplo:

Consideremos as duas restrições R1 e R2 sobre a variável X, com domínio 1 a 100, das quais queremos que uma delas pelo menos se verifique (disjunção)

R1 : X #>= 50 R2 : X #=< 20

As restrições proposicionais anteriores esperariam até o domínio de X se reduzir abaixo de 50 ou acima de 20 para desistir da restrição que assim se tornaria impossível, e comprometer-se com a outra.

Por exemplo, logo que X se reduzisse para 3..40, R2 poderia ser imposta, reduzindo-se o domínio para 3..20.

No entanto, o intervalo 21..49 poderia ter sido retirado, desde o início, do domínio de X.

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Tal antecipação da redução dos domínios é o objectivo da disjunção construtiva. A sua implementação pode ser feita através da especificação dos indexicais adequados.

disjunção1(X, S1, S2) :- X in S2 .. Sup \/ inf .. S1.

?- X in 1..100, disjunção1(X,20,50). X in(1..20)\/(50..100)

e comparada com a implementação de menor compromisso

disjunção2(X, S1, S2) +: X #>= S2 #\/ X #=< S1.

?- X in 1..100, disjunção2(X,20,50). X in 1..100

1 Restrições Indexicais Em sistemas de programação por restrições, há que definir uma...

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