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Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 1

1. SINAIS E SISTEMAS

1.1. SINAL

Um sinal é uma abstração de qualquer quantidade mensurável que é função de

uma ou mais variáveis independentes como tempo ou espaço.

Exemplos: tensão som lousa

1.2. “TAMANHO” DE UM SINAL

Queremos um valor para quantificar o “tamanho” de um sinal.

Como medir o “tamanho” de uma pessoa?

Não é só a altura que caracteriza o tamanho de uma pessoa, precisamos

também da largura. Com a altura e a largura podemos calcular o volume de

uma pessoa e aí podemos ter uma idéia do “tamanho” dela por um único valor.

Como medir o tamanho de um sinal?

Não basta a amplitude, precisamos também da duração dele.

1.2.1. ENERGIA DE UM SINAL

Podemos considerar a área abaixo de um sinal )(tf como sendo uma medida

do seu tamanho.


Qual é o problema com esta solução? As áreas positivas podem ser canceladas

pelas áreas negativas.

Solução: utilizar a área sob o sinal de )(tf ao quadrado.

fE → ENERGIA DO SINAL )(tf

Para um sinal real:

∫+∞

∞−= dttfE f )(2

Para um sinal complexo:

∫+∞

∞−= dttfE f

2|)(|

1.2.2. POTÊNCIA DE UM SINAL

Qual é o problema com a medida de energia de um sinal?

Esta medida pode ser infinita se a amplitude do sinal NÃO tender a zero

quando o tempo tende a mais ou menos infinito.

Nestes casos, uma medida mais significativa é a média temporal da energia, se

esta existir.


fP → POTÊNCIA DO SINAL )(tf

Para um sinal real:

∫+

−∞→= 2

2

2 )(1limT

TTf dttfT

P

Para um sinal complexo:

∫+

−∞→= 2

2

2|)(|1limT

TTf dttfT

P

O que é fP ?

É a média temporal do quadrado da amplitude do sinal.

O que é RMS?

ROOT MEAN SQUARE

Ou seja, a raiz de fP é o valor RMS de )(tf .

1.2.3. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

Existem casos que nem a energia do sinal e nem a potência do sinal são

aplicáveis.


Exemplo: um sinal tipo rampa.

A energia do sinal ( fE ) não indica a verdadeira energia do sinal, pois esta

depende não somente do sinal, mas também da carga a qual o sinal está sendo

aplicado.

Por isso, cuidado com as unidades de fE e fP . Elas NÃO são J (joule) e W

(watt).

1.3. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS

Os sinais podem ser classificados de diversas formas, iremos considerar a

seguinte classificação:

A. Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto;

B. Sinais Analógicos e Digitais;

C. Sinais Reais e Complexos;

D. Sinais Determinísticos e Probabilísticos;

E. Sinais Pares e Ímpares;

F. Sinais Periódicos e Não-Periódicos;

G. Sinais de Energia e de Potência.

1.3.1. SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DE TEMPO DISCRETO

Um sinal )(tx é um sinal de tempo contínuo se t é uma variável contínua.


Se t é uma variável discreta, ou seja, )(tx é definido em pontos discretos,

então )(tx é um sinal de tempo discreto.

Como um sinal de tempo discreto é definido em instantes discretos, um sinal

de tempo discreto é geralmente identificado por uma seqüência de números,

denotado por ][nx onde n é um inteiro.

Notação: não existe um padrão. Oppenheim et al. (1997) utilizam )(tx para

um sinal de tempo contínuo e ][nx para um sinal de tempo discreto.

Vamos trabalhar, na maior parte deste curso, com sinais de tempo contínuo.

Sinais de tempo discreto serão abordados quando falarmos em amostragem.

1.3.2. SINAIS ANALÓGICOS E DIGITAIS

Se um sinal de tempo contínuo )(tx pode assumir qualquer valor em um

intervalo contínuo ]b,a[ , então o sinal de tempo contínuo )(tx é chamado

de sinal analógico.

Se um sinal de tempo discreto ][nx pode assumir somente um número finito

de valores distintos, então esse sinal é chamado de sinal digital.


1.3.3. SINAIS REAIS E COMPLEXOS

Um sinal complexo geral )(tx é uma função da forma:

)()()( 21 txjtxtx ⋅+=

onde )(1 tx e )(2 tx são sinais reais.

1.3.4. SINAIS DETERMINÍSTICOS E PROBABILÍSTICOS

Sinais determinísticos são aqueles cujos valores são completamente

especificados em um dado instante.

Então, um sinal determinístico pode ser modelado por uma função conhecida

no tempo t .

Sinais probabilísticos ou estocásticos são aqueles que assumem valores

aleatórios em um dados instante e devem ser caracterizados estatisticamente.

1.3.5. SINAIS PARES E ÍMPARES

Um sinal é chamado PAR (ou apresenta simetria par) se:

)()( txtx parpar −=

Um sinal é chamado ÍMPAR (ou apresenta simetria ímpar) se:

)()( txtx ímparímpar −−=


1.3.6. SINAIS PERIÓDICOS E NÃO-PERIÓDICOS

Um sinal de tempo contínuo )(tx é dito periódico com período T se existe

um valor positivo não-nulo de T tal que:

)()( Ttxtx += para todo t

O período fundamental 0T de )(tx é o menor valor positivo de T para qual

a equação acima continua valendo.

Para um sinal constante )(tx , o período fundamental é indefinido, já que

)(tx é periódico para qualquer escolha de T (e por isso não há um menor

valor positivo).

Qualquer sinal de tempo contínuo que não é periódico é chamado de sinal

não-periódico.

Observação: na literatura estrangeira existe o termo “quasi-periodic” usado

para sinais não-periódicos que podem ser aproximados por periódicos.


1.3.7. SINAIS DE ENERGIA E DE POTÊNCIA

)(tx é considerado um SINAL DE ENERGIA se e somente se:

∞<< xE0

e logo 0=xP .

)(tx é considerado um sinal de POTÊNCIA se e somente se:

∞<< xP0

implicando em ∞=xE .

1.4. OPERAÇÕES BÁSICAS COM SINAIS

1.4.1. ESCALONAMENTO EM AMPLITUDE

O escalonamento em amplitude de )(tx por C ocorre quando todos os

valores do sinal )(tx são multiplicados por C para gerar:

)(txC ⋅

1.4.2. DESLOCAMENTO EM AMPLITUDE

Um deslocamento em amplitude adiciona uma constante K a )(tx em todos

os lugares (mesmo onde o sinal é nulo) para formar:

)(txK +


1.4.3. DESLOCAMENTO NO TEMPO

Um deslocamento no tempo move um sinal )(tx no tempo sem mudar seu

formato.

Considere o sinal )()( α−= txty .

O valor de )(ty em α=t corresponde ao valor de )(tx em 0=t .

Em outras palavras, se 0>α , o sinal )(ty é uma réplica atrasada

(deslocada à direita por α ) de )(tx .

De forma similar, se 0>α , o sinal )()( α+= txtf é uma réplica

avançada (deslocada à esquerda por α ) de )(tx .


1.4.4. ESCALONAMENTO NO TEMPO

Um escalonamento no tempo aumenta ou diminui a velocidade do sinal,

resultando em compressão ou expansão do sinal.

O sinal

=

2)( txtg descreve uma expansão de 2 vezes do sinal )(tx , já

que t é diminuído para 2t

.

De forma similar, o sinal ( )txtg ⋅= 3)( descreve uma compressão de 3

vezes do sinal )(tx , já que t é aumentado para t⋅3 .

Para esboçar ( )txty ⋅= α)( , comprime-se ( 1>α ) ou expande-se

( 10 <<α ) o sinal ( )tx por α .

Isto é equivalente a esboçar o sinal ( )tx em uma nova base de tempo nt em

posições dadas por ntt ⋅= α ou αttn = .


1.4.5. INVERSÃO TEMPORAL OU REFLEXÃO

Inversão temporal, reflexão ou “dobramento” é apenas uma operação de

escalonamento no tempo com 1−=α .

Esta operação cria um sinal )( tx − como uma imagem refletida de )(tx em

relação ao eixo vertical que passa pela origem 0=t .


1.4.6. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Note que o deslocamento no tempo ou a inversão temporal de um sinal )(tx

não irá modificar sua área ou energia, mas a operação de escalonamento

temporal de )(tx para )( tx ⋅α irá reduzir tanto a sua área como a sua

energia por ||α .

1.4.7. COMBINAÇÃO DE OPERAÇÕES

O sinal )()( βα −⋅= txty pode ser gerado a partir de )(tx esboçando

)(tx em uma nova base de tempo nt onde βα −⋅= ntt .

Pode-se, também, utilizar as operações de deslocamento e escalonamento

sucessivamente.

Por exemplo, pode-se gerar o sinal )62( −⋅ tx a partir de )(tx de duas

formas:

• )(tx → atraso de 6 (deslocamento à direita) → )6( −tx →

compressão por 2 → )62( −⋅ tx

• )(tx → compressão por 2 → )2( tx ⋅ → atraso de 3 (deslocamento

à direita) → )62( −⋅ tx

Na segunda maneira, note que após a compressão a transformação


))3(2()62()2( −⋅=−⋅⇒⋅ txtxtx

implica em um atraso de somente 3 (e não 6) unidade (porque o sinal )2( tx ⋅

já está comprimido).

Em ambos os casos, utilize, como um teste de consistência para o esboço, o

fato de que posições na nova base tempo nt são obtidas a partir de

62 −⋅= ntt .

1.5. SIMETRIA DE SINAIS

Se um sinal é idêntico a sua versão invertida no tempo, com

)()( txtx parpar −= ,

ele apresenta simetria par.

Se um sinal e sua versão invertida no tempo diferem somente no sinal, com

)()( txtx ímparímpar −−=

ele apresenta simetria ímpar.

Qualquer sinal )(tx pode ser expresso como uma soma de dois sinais, um

par e outro ímpar. Ou seja:

)()()( txtxtx ímparpar +=

onde:


)()(21)( txtxtxpar −+⋅=

)()(21)( txtxtxímpar −−⋅=

1.5.1. SIMETRIA DE MEIA-ONDA

Simetria de meia-onda é definida somente para sinais periódicos.

Se o valor de um sinal periódico )(tx p (com período T) em α=t e em

Tt ⋅±= 5,0α , meio período distante, difere apenas no sinal, )(tx p é

chamado de um sinal simétrico de meia-onda (ou apresenta simetria de meia-

onda).

Sinais simétricos de meia-onda sempre apresentam dois meio-ciclos em um

período, sendo cada meio-ciclo uma réplica invertida do outro e com a área do

período sendo igual a zero.

1.6. FUNÇÃO COSSENOIDAL (SENOIDAL)

Um sinal senoidal contínuo pode ser expresso como:

)cos()( 0 θω +⋅⋅= tAtx

onde:


A → amplitude (real)

0ω → freqüência angular em radianos por segundo

θ → fase em radianos

Período fundamental 0T :

0

02ωπ⋅

=T (s)

Freqüência fundamental 0f :

0

01T

f = (Hz)

Freqüência angular fundamental 0ω :

00 2 f⋅⋅= πω (rad/s)

Utilizando a fórmula de Euler, temos:

( )[ ]θωθω +⋅⋅⋅=+⋅⋅ tjeAtA 0Re)cos( 0

( )[ ]θωθω +⋅⋅⋅=+⋅⋅ tjeAtsenA 0Im)( 0

1.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA

A função exponencial complexa:


tjeAtx ⋅⋅⋅= 0)( ω

é um importante exemplo de sinal complexo.

Utilizando a fórmula de Euler, este sinal pode ser definido como:

)()cos()( 000 tsenAjtAeAtx tj ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅= ⋅⋅ ωωω

Então, )(tx é um sinal complexo cuja parte real é )cos( 0 tA ⋅⋅ ω e a parte

imaginária é )( 0 tsenA ⋅⋅ ω .

Uma importante propriedade do sinal exponencial complexo contínuo )(tx é

que ele é sempre periódico e único para qualquer escolha de período ou

freqüência (em contraste com sinais exponenciais complexos digitais).

O período fundamental 0T é dado por:

00

2ωπ⋅

=T (s)

1.7.1. FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA GERAL

Seja ωσ ⋅+= js um número complexo.

Define-se )(tx como:

( ) [ ])()cos()( tsenjteeetx ttjts ⋅⋅+⋅⋅=== ⋅⋅⋅+⋅ ωωσωσ


O sinal )(tx é conhecido como sinal exponencial complexo geral cuja parte

real )cos( te t ⋅⋅⋅ ωσ e a parte imaginária é )( tsene t ⋅⋅⋅ ωσ

são sinais

senoidais exponencialmente crescentes ( 0>σ ) ou decrescentes ( 0<σ ).

1.8. SINAL DEGRAU UNITÁRIO

A função degrau unitário )(tu é definida como:

><

=0100

)(tt

tu

Note que esta função é descontínua em 0=t e que o valor em 0=t é

indefinido.

O sinal )( tu −α descreve um degrau à esquerda que é zero após α=t .

1.9. SINAL RAMPA UNITÁRIA

A função rampa unitária )(tr é definida como:


><

=⋅=000

)()(ttt

tuttr

1.10. FUNÇÃO SINAL

A função sinal )sgn(t é definida como:

><−

=0101

)sgn(tt

t

1.11. FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO

A função impulso unitário )(tδ , também conhecida como função delta de

Dirac, exerce um papel central na análise de sistemas.

Tradicionalmente, )(tδ é geralmente definido como o limite de uma função

devidamente escolhida que apresenta área unitária sobre um intervalo

infinitesimal de tempo.

00)( ≠= ttδ 1)( =∫∞

∞−

ττδ d


1.11.1. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO POR UM IMPULSO

Considere agora o que acontece quando multiplica-se o impulso unitário

)(tδ por uma função )(tf que seja contínua em 0=t .

Como o impulso existe somente em 0=t e o valor de )(tf em 0=t é

)0(f , obtém-se:

)()0()()( tfttf δδ ⋅=⋅

De forma similar, se )(tf é multiplicado por um impulso deslocado

)( Tt −δ (impulso localizado em Tt = ), então:

)()()()( TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ

desde que )(tf seja contínuo em Tt = .

1.11.2. PROPRIEDADE DA AMOSTRAGEM DA FUNÇÃO IMPULSO

UNITÁRIO

Como:

)()0()()( tfttf δδ ⋅=⋅

segue que:

)0()()0()()( fdttfdtttf =⋅=⋅ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

δδ


desde que )(tf seja contínuo em 0=t .

Este resultado significa que a área sob o produto de uma função )(tf por um

impulso )(tδ é igual ao valor da função no instante em que o impulso

unitário se localiza.

Esta propriedade é muito importante e útil, sendo conhecida como propriedade

da amostragem do impulso unitário.

Assim, como:

)()()()( TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ

segue que:

)()()()()( TfdtTtTfdtTttf =−⋅=−⋅ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

δδ

desde que )(tf seja contínuo em Tt = .

1.11.3. DEFINIÇÃO GENERALIZADA DE )(tδ

A função impulso unitário )(tδ é a derivada da função degrau

dttdut )()( =δ


dtttut

∫∞−

= )()( δ

1.11.4. DERIVADAS DE SINAIS COM MUDANÇAS ABRUPTAS

Como um sinal com mudanças abruptas pode ser descrito por funções degrau,

a derivada de tais sinais deve conter impulsos.

Por exemplo, a derivada de:

)()()( α−⋅−⋅= tuBtuAtx

é dada por:

)()()(' αδδ −⋅−⋅= tBtAtx

Isto descreve dois impulsos cujas amplitudes A e B− correspondem às

mudanças abruptas (para cima e para baixo) em 0=t e α=t .

De forma geral, a derivada em uma descontinuidade resulta em um impulso

cuja amplitude é igual ao tamanho da descontinuidade.

1.12. SISTEMAS

Em geral, um sistema é uma abstração de algo que recolhe um sinal de

entrada, opera sobre ele e produz um sinal de saída.

Em outras palavras, um sistema estabelece uma relação entre suas entradas e

suas saídas.


Um sistema pode consistir de componentes físicos (realização por hardware)

ou pode consistir de um algoritmo que irá operar computacionalmente o sinal

de entrada dando origem ao sinal de saída (realização por software).

1.12.1. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS

A. Lineares e não-lineares;

B. Parâmetros constantes e parâmetros variantes no tempo;

C. Com e sem memória;

D. Causais e não-causais;

E. Parâmetros concentrados e parâmetros distribuídos;

F. Tempo contínuo e tempo discreto;

G. Analógicos e digitais.

23

2. SÉRIE DE FOURIER

2.1. ANALOGIA ENTRE SINAIS E VETORES

Um vetor pode ser representado como a soma de seus componentes de

diversas formas (dependendo da escolha do sistema de coordenadas).

Um sinal também pode ser representado como a soma de seus componentes.

Logo, há uma perfeita analogia:

VETOR ↔ SINAL

2.1.1. VETORES

Magnitude: || fr

e || xr

Direção

Sentido

24

2.1.1.1. PRODUTO ESCALAR

θcos|||| ⋅⋅=⋅ xfxf rrrr

onde

2||0cos|||| xxxxx o rrrrr=⋅⋅=⋅

2.1.1.2. COMPONENTES DE UM VETOR

11 excf rrr+⋅=

25

22 excf rrr+⋅=

A componente do vetor fr

em relação ao vetor xr será a projeção do vetor

fr

em xr .

excf rrr+⋅=

Esta escolha minimiza o vetor de erro er

.

Como calcular c ?

θcos|||| ⋅=⋅ fxcrr

xfxfxxc rrrrrr⋅=⋅⋅=⋅⋅ θcos||||||||

26

xxxf

xxfc rr

rr

r

rr

⋅⋅

=⋅

= 2||

Se fr

e xr forem perpendiculares (ou ortogonais), fr

não apresentará

componente em relação ao vetor xr .

Dois vetores serão ortogonais se o produto escalar entre eles for nulo.

2.1.2. COMPONENTE DE UM SINAL REAL

Sejam dois sinais reais )(tf e )(tx .

Vamos aproximar )(tf em termos de )(tx em um certo intervalo

( 21 ttt ≤≤ ):

)()( txctf ⋅≅ )( 21 ttt ≤≤

≤≤⋅−

=...0

)()()( 21

vdpttttxctf

te

Qual é o valor de c para a melhor aproximação?

Critério para melhor aproximação: minimizar a energia do sinal )(te .

dtteEt

te ∫=

2

1

)(2

27

[ ] dttxctfEt

te ∫ ⋅−=

2

1

2)()(

Para calcular c que irá minimizar eE :

0=dc

dEe

ou seja:

[ ] 0)()(2

1

2 =

⋅−∫ dttxctfdcd t

t

[ ] 0)()()(2)(2

1

222 =

⋅+⋅⋅⋅−∫ dttxctxctftfdcd t

t

0)()()(2)(2

1

2

1

2

1

222 =⋅+⋅⋅⋅− ∫∫∫ dttxcdcddttxctf

dcddttf

dcd t

t

t

t

t

t

0)(2)()(22

1

2

1

2 =⋅⋅+⋅⋅− ∫∫ dttxcdttxtft

t

t

t

dttxtfdttxct

t

t

t∫∫ ⋅⋅=⋅⋅2

1

2

1

)()(2)(2 2

28

dttx

dttxtfc t

t

t

t

∫

∫ ⋅

=2

1

2

1

)(

)()(

2

x

t

t

E

dttxtfc∫ ⋅

=

2

1

)()(

Por analogia com vetores, dizemos que )(tf tem uma componente )(txc ⋅ .

Se 0=c , então )(tf não contém nenhuma componente do sinal )(tx e

dizemos que os dois sinais são ortogonais no intervalo ),( 21 tt .

Duas funções, )(1 tf e )(2 tf , são ortogonais no intervalo ),( 21 tt , se:

0)()(2

1

=⋅∫ dttxtft

t

29

2.1.3. COMPONENTE DE UM SINAL COMPLEXO

Sejam )(tf e )(tx funções complexas da variável t :

)()( txctf ⋅≅ )( 21 ttt ≤≤

≤≤⋅−

=...0

)()()( 21

vdpttttxctf

te

O valor de c para minimizar a energia do sinal )(te é:

x

t

t

E

dttxtfc∫ ⋅

=

2

1

)()( *

)(* tx : complexo conjugado de )(tx .

)(tf e )(tx são ortogonais em )( 21 ttt ≤≤ se:

0)()()()(2

1

2

1

** =⋅=⋅ ∫∫ dttxtfdttxtft

t

t

t

2.1.4. ENERGIA DA SOMA DE SINAIS ORTOGONAIS

Se os vetores xr e yr forem ortogonais e se: yxz rrr+= , então:

222 yxz rrr+=

Temos um resultado similar para sinais:

30

A energia da soma de dois sinais ortogonais é igual à soma das energias dos

dois sinais.

Então, se os sinais )(tx e )(ty são ortogonais sob um intervalo [ ]21,tt e

se )()()( tytxtz += , então:

yxz EEE +=

2.2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

2.2.1. VETORES

Como sabemos se um vetor é similar ao outro?

Suponha dois vetores fr

e xr .

Poderíamos utilizar o parâmetro c calculado nos itens anteriores para

verificar a similaridade entre dois vetores.

Ou seja, supondo:

xcf rr⋅≅ (ou fcx

rr⋅≅ )

xxxfc rr

rr

⋅⋅

= (ou fffxc rr

rr

⋅⋅

= )

31

c poderia ser um parâmetro utilizado para verificar qual é o grau de

similaridade entre os vetores fr

e xr .

Entretanto, a similaridade não pode ser afetada pelo aumento da magnitude de

um dos vetores.

Como c é um parâmetro dependente da magnitude dos vetores, c não é um

bom parâmetro para medir a similaridade.

A similaridade entre dois vetores é indicada pelo ângulo θ entre eles. Quanto

menor o valor de θ , maior é a similaridade (e vice-versa).

O grau de similaridade entre dois vetores pode ser convenientemente medido

por θcos .

||||cos

xfxfcn rrrr

⋅⋅

== θ

correlação de ecoeficient⇒nc

11 ≤≤− nc

sentido mesmo no alinhados estão vetoresos1⇒=nc

32

opostos sentidos com mas alinhados, estão vetoresos1⇒−=ncnula é desimilarida a ,ortogonais são vetores0⇒=nc

2.2.2. SINAIS REAIS

Utilizamos os mesmos argumentos utilizados para os vetores para definir um

índice de similaridade (coeficiente de correlação).

Supondo dois sinais )(tf e )(tx .

)()( txctf ⋅≅ (ou )()( tfctx ⋅≅ )

Não utilizamos o parâmetro c para verificar a similaridade entre os sinais

porque a similaridade não pode ser afetada pelo aumento da energia de um dos

sinais.

O grau de similaridade entre dois sinais pode ser convenientemente medido se

normalizássemos c em relação às energias dos sinais.

Logo:

dttxtfEE

cxf

n ∫∞

∞−

⋅⋅⋅

= )()(1

correlação de ecoeficient⇒nc

11 ≤≤− nc

Suponha que:

33

)()( txktf ⋅= onde k é uma constante.

positivo é 1 kcn ⇒=

negativo é 1 kcn ⇒−=

Se os sinais forem ortogonais: 0=nc

2.2.3. SINAIS COMPLEXOS

Se )(tf e )(tx forem sinais complexos, o coeficiente de correlação é

calculado da seguinte maneira:

dttxtfEE

cxf

n ∫∞

∞−

⋅⋅⋅

= )()(1 *

onde )(* tx é o conjugado de )(tx .

2.3. FUNÇÕES DE CORRELAÇÃO

34

2.3.1. FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO CRUZADA ENTRE DOIS SINAIS

REAIS

RADAR

• Um sinal é transmitido com o intuito de detectar um alvo suspeito;

• Se o alvo está presente, o sinal será refletido por ele;

• Se o alvo não estiver presente, não haverá sinal refletido, somente

ruído;

• Detectando ou não a presença do sinal refletido, confirma-se a presença

ou ausência do alvo;

• Medindo-se o atraso entre o sinal transmitido e o recebido (refletido),

determina-se a distância do alvo.

• do transmitisinal )( →tg

• refletido sinal )( →tf

Se utilizarmos o coeficiente de correlação nc :

dttgtfEE

cgf

n ∫∞

∞−

⋅⋅⋅

= )()(1

iremos obter .0=nc

35

Isto acontece porque, apesar dos sinais serem similares, há um deslocamento

no tempo entre eles.

Para superar esta dificuldade, compara-se o sinal recebido )(tf com o sinal

atrasado )(tg para vários valores de atraso.

Se para algum valor de atraso houver uma correlação forte, detecta-se não

somente a presença do pulso, mas detecta-se, também, o deslocamento

temporal relativo de )(tf em relação a )(tg .

Portanto, ao invés de utilizar-se o coeficiente de correlação ( nc ), utiliza-se a

função de correlação cruzada dos sinais reais )(tf e )(tg :

τττψ dtgftfg ∫+∞

∞−

−⋅= )()()(

)( e )( entre cruzada correlação de função)( tgtftfg →ψ

O sinal )( tg −τ é o sinal )(τg atrasado de t segundos em relação ao

sinal )(τf .

Logo, )(tfgψ é uma indicação de similaridade (correlação) do sinal f com

o sinal g com atraso de t segundos.

36

2.3.2. FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO CRUZADA ENTRE DOIS SINAIS

COMPLEXOS

τττψ dtgftfg ∫+∞

∞−

−⋅= )()()( *

onde:

)(* tf e )(tg são sinais complexos;

)(* tf é o conjugado de )(tf .

2.3.2. FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO

A correlação de um sinal com ele mesmo é chamada de autocorrelação:

τττψ dtfftf ∫+∞

∞−

−⋅= )()()(

)( de açãoautocorrel de função)( tftf →ψ

2.4. ESPAÇO VETORIAL ORTOGONAL

Suponha que queremos aproximar um vetor tridimensional fr

em termos de

dois vetores mutuamente ortogonais 1xr e 2xr .

37

2211 xcxcf rrr⋅+⋅≅

O erro na aproximação é:

( )2211 xcxcfe rrrr⋅+⋅−=

11

11 xx

xfc rr

rr

⋅⋅

= 22

22 xx

xfc rr

rr

⋅⋅

=

Vamos agora aproximar o vetor fr

em termos de três vetores mutuamente

ortogonais 1xr , 2xr e 3xr .

332211 xcxcxcf rrrr⋅+⋅+⋅≅

38

Observando a figura, tem-se que não existe um vetor er , ou seja, o vetor fr

pode ser totalmente decomposto nos vetores 1xr , 2xr e 3xr .

Assim:

332211 xcxcxcf rrrr⋅+⋅+⋅=

A razão para que não haja er

é que fr

é um vetor tridimensional e 1xr , 2xr e

3xr representam um CONJUNTO COMPLETO de vetores ortogonais no

espaço tridimensional.

O fato de o conjunto ser completo significa que é impossível achar outro vetor

4xr neste espaço que seja ortogonal em relação a todos os outros três vetores

1xr , 2xr e 3xr .

39

Qualquer vetor neste espaço pode ser representado (com erro nulo) em termos

dos três vetores 1xr , 2xr e 3xr .

Tais vetores são conhecidos como VETORES DE BASE.

Se o conjunto de vetores ixr não for completo, o erro na aproximação será,

geralmente, diferente de zero.

A escolha dos vetores de base não é única. Um conjunto de vetores de base

corresponde a uma escolha particular de sistema de coordenadas.

2.5. ESPAÇO DE SINAIS ORTOGONAIS

2.5.1. SINAIS REAIS

Utilizando, mais uma vez, uma analogia com vetores (produto escalar),

definimos que um conjunto de sinais )(1 tx , )(2 tx , ..., )(txN será

ortogonal sob um intervalo ],[ 21 tt se:

=≠

=⋅∫ nmEnm

dttxtxn

t

tnm

0)()(

2

1

Se as energias nE forem iguais a 1 para todo n , então o conjunto de sinais é

normalizado e é chamado de CONJUNTO ORTONORMAL.

40

Um conjunto ortogonal pode sempre ser normalizado dividindo-se )(txn por

nE para todo n .

Considerando a aproximação de um sinal )(tf sob o intervalo ],[ 21 tt por

um conjunto de N sinais reais mutuamente ortogonais )(1 tx , )(2 tx , ...,

)(txN

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅≅N

nnnNN txctxctxctxctf

12211 )()(...)()()(

O erro )(te na aproximação é:

∑=

⋅−=N

nnn txctfte

1)()()(

Utilizando o critério de minimizar eE , obtemos:

N ..., 2, 1, n )(

)()(

2

1

2

1

2

=

⋅

=

∫

∫

dttx

dttxtfc t

tn

t

tn

n

N ..., 2, 1, n )()(1 2

1

=⋅⋅= ∫ dttxtfE

ct

tn

nn

41

Desta forma, a energia eE pode ser assim calculada:

n

N

nn

t

te EcdttfE ∑∫

=

⋅−=1

222

1

)(

Observe que a energia do erro eE geralmente diminui com o aumento de N

(número de termos). Isto acontece porque o termo kk Ec ⋅2 é não negativo.

Logo, é possível que 0→eE quando ∞→N . Quando isto ocorre, o

conjunto de sinais ortogonais é dito COMPLETO.

Neste caso, )(tf não é mais aproximado pelos sinais, temos, então, uma

igualdade:

212211 ...)(...)()()( ttttxctxctxctf nn ≤≤+⋅++⋅+⋅=

211

)()( ttttxctfn

nn ≤≤⋅= ∑∞

=

∑∞

=

⋅1

)(n

nn txc é conhecida como SÉRIE GERAL DE FOURIER de )(tf

em relação ao conjunto )(txn .

Quando o conjunto )(txn é tal que a energia 0→eE quando ∞→N

para todos os membros de uma classe particular, dizemos que o conjunto

42

)(txn é COMPLETO em ],[ 21 tt para aquela classe de )(tf e o conjunto

)(txn é dito um conjunto de FUNÇÕES DE BASE ou SINAIS de BASE.

Pensando em termos de energia, tem-se:

...)( 2221

21

22

1

+⋅+⋅=∫ EcEcdttft

t

nn

n

t

t

Ecdttf ∑∫∞

=

⋅=1

222

1

)( TEOREMA DE PARSEVAL

2.5.2. SINAIS COMPLEXOS

Um conjunto de funções )(1 tx , )(2 tx , ..., )(txN é mutuamente ortogonal

sob o intervalo ],[ 21 tt se:

=≠

=⋅∫ nmEnm

dttxtxn

t

tnm

0)()(

2

1

*

Se este conjunto for completo para uma certa classe de funções, então a

função )(tf nesta classe pode ser expressa como:

212211 ...)(...)()()( ttttxctxctxctf nn ≤≤+⋅++⋅+⋅=

43

211

)()( ttttxctfn

nn ≤≤⋅= ∑∞

=

onde:

dttxtfE

ct

tn

nn ∫ ⋅⋅=

2

1

)()(1 *

2.5.3. ALGUNS EXEMPLOS DE SÉRIES GERAIS DE FOURIER

Existe um grande número de conjuntos de sinais ortogonais que podem ser

usados como sinais de base para séries gerais de Fourier.

Alguns exemplos:

• funções trigonométricas;

• funções exponenciais;

• funções de Walsh;

• funções de Bessel;

• funções de Laguerre;

• polinômios de Legendre;

• polinômios de Jacobi;

• polinômios de Hermite;

• polinômios de Chebyshev.


2.6. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER

O conjunto de sinais:

1, ( )t⋅0cos ω , ( )t⋅⋅ 02cos ω , ..., ( )tn ⋅⋅ 0cos ω , …;

( )tsen ⋅0ω , ( )tsen ⋅⋅ 02 ω , …, ( )tnsen ⋅⋅ 0ω , …

é chamado de conjunto trigonométrico.

Neste conjunto, usamos a seguinte terminologia:

→0ω freqüência fundamental

Uma senóide de freqüência 0ω⋅n é chamada de n-ésima harmônica da

senóide de freqüência 0ω )( Zn∈ .

O termo constante 1 é a 0-ésima harmônica:

( ) →=⋅⋅ 10cos 0 tω componente D.C.

O conjunto trigonométrico é completo em qualquer intervalo de duração

00

2ωπ⋅

=T .

Logo, pode-se expressar um sinal )(tf por uma série trigonométrica de

Fourier sob qualquer intervalo de duração 0T segundos.


...)2()(...)2cos()cos()(

0201

02010

+⋅⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+=

tsenbtsenbtataatf

ωωωω

011 Tttt +≤≤

ou

)()cos()( 01

00 tnsenbtnaatf nn

n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+= ∑∞

=

ωω

011 Tttt +≤≤

onde: 0

02Tπω ⋅

=

A expressão acima é denominada SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE

FOURIER.

Os coeficientes de Fourier 0a , na e nb são calculados da mesma maneira

apresentada para a série geral de Fourier, ou seja:

... 1, 0, n )(cos

)cos()(

01

1

01

1

02

0

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

=

∫

∫+

+

dttn

dttntfa Tt

t

Tt

tn

ω

ω


2,... 1, n )(

)()(

01

1

01

1

02

0

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

=

∫

∫+

+

dttnsen

dttnsentfb Tt

t

Tt

tn

ω

ω

Como:

2)()(cos 0

02

02

01

1

01

1

TdttnsendttnTt

t

Tt

t

=⋅⋅=⋅⋅ ∫∫++

ωω

tem-se:

dttfT

aTt

t∫+

⋅=01

1

)(1

00

3,... 2, 1, n )cos()(2 01

1

00

=⋅⋅⋅⋅= ∫+

dttntfT

aTt

tn ω

3,... 2, 1, n )()(2 01

1

00

=⋅⋅⋅⋅= ∫+

dttnsentfT

bTt

tn ω

2.6.1. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA COMPACTA DE FOURIER

Pode-se obter uma Série Trigonométrica Compacta de Fourier

utilizando a seguinte identidade trigonométrica:


)cos()()cos( 000 nnnn tnCtnsenbtna θωωω +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅onde:

3,... 2, 1, n 22 =+= nnn baC

3,... 2, 1, n ab-

n

n1 =

= −tgnθ

Desta forma, a Série Trigonométrica Compacta de Fourier é a

seguinte:

∑∞

=

+⋅⋅⋅+=1

00 )cos()(n

nn tnCCtf θω

011 Tttt +≤≤

onde:

00 a=C

3,... 2, 1, n 22 =+= nnn baC

3,... 2, 1, n ab-

n

n1 =

= −tgnθ

A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA COMPACTA DE FOURIER é também

denominada SÉRIE POLAR DE FOURIER.


2.6.2. PERIODICIDADE DA SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE

FOURIER

Demonstrou-se que um sinal arbitrário )(tf pode ser expresso como

uma série trigonométrica de Fourier em qualquer intervalo de 0T segundos.

Ou seja, um sinal )(tf arbitrário pode ser descrito por uma série

trigonométrica de Fourier em um intervalo qualquer 011 Tttt +≤≤ .

Como se comporta a série trigonométrica de Fourier fora deste intervalo

011 Tttt +≤≤ ?

A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER, )(tϕ , é uma função

periódica de período 0T , pois:

∑∞

=

+⋅⋅⋅+=1

00 )cos()(n

nn tnCCt θωϕ para todo t

e

( )[ ]∑∞

=

++⋅⋅⋅+=+1

0000 cos)(n

nn TtnCCTt θωϕ

00

2ωπ⋅

=T


( )[ ]∑∞

=

+⋅⋅+⋅⋅⋅+=+1

000 2cos)(n

nn ntnCCTt θπωϕ

[ ]∑∞

=

+⋅⋅⋅+=+1

000 cos)(n

nn tnCCTt θωϕ

)()( 0 tTt ϕϕ =+ para todo t

Assim, se a função )(tf periódica for periódica de período 0T , então a

série de Fourier representando )(tf periódica sob um intervalo 0T irá também

representar )(tf periódica para todo t (não somente para o intervalo 0T ).

)()cos()( 01

00 tnsenbtnaatf nn

nperiódica ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+= ∑∞

=

ωω

para todo t desde que )(tf periódica seja periódica com período igual a

0Tk ⋅ onde *+∈Zk .

2.6.3. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER

Para que a série de Fourier para um sinal )(tf exista, o sinal )(tf

deve respeitar as seguintes condições:


1. ∞<∫+

dttfTt

t

01

1

)(

2. O sinal )(tf deve ter um número finito de máximos e mínimos

em um intervalo 0T qualquer.

3. O sinal )(tf deve ter somente um número finito de

descontinuidades em um intervalo 0T qualquer.

Estas condições são chamadas de condições de Dirichlet e são suficientes, mas

não necessárias para a existência da série de Fourier do sinal )(tf .

2.6.4. SIMPLIFICAÇÕES ATRAVÉS DA SIMETRIA DO SINAL

A série de Fourier de um sinal periódico )(tf periodica , que não apresenta

simetria, contém tanto componentes ímpares (senos) como componentes pares

(dc e cossenos).

)()cos()( 01

00 tnsenbtnaatf nn

nperiódica ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+= ∑∞

=

ωω

para todo t

Se )(tf periodica apresenta simetria PAR, este sinal deve ser composto apenas

pelos termos simétricos PARES (dc e cossenos). Então, 0=kb


∑∞

=

⋅⋅⋅+=1

00 )cos()(n

npar tnaatf ω 0

02Tπω ⋅

=

Se )(tf periodica apresenta simetria ÍMPAR, este sinal deve ser composto

apenas pelos termos simétricos ÍMPARES (senos). Então, 00 == kaa

∑∞

=

⋅⋅⋅=1

0 )()(n

nímpar tnsenbtf ω 0

02Tπω ⋅

=

Se )(tf periodica apresenta simetria de MEIA-ONDA, este sinal deve ser

composto apenas pelos termos simétricos de MEIA-ONDA. Somente

harmônicas ímpares ( ,...5,3, 000 ωωω ⋅⋅ ) apresentam simetria de MEIA

ONDA. Então, 00 === kk baa para k PAR.

O cálculo dos coeficientes não-nulos para um sinal simétrico pode ser bastante

simplificado se forem utilizados os limites simétricos

−

2,

200 TT

no

cálculo das integrais e se forem levados em consideração os efeitos da

simetria.

Se )(tf par apresenta simetria PAR, )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω também irá

apresentar simetria PAR. Para calcular ka para um sinal de simetria PAR,


pode-se integrar )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω somente sobre

2,0 0T

e

multiplicar o resultado por 0

4T . Assim:

3,... 2, 1, n )cos()(4 2

00

0

0

=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttntfT

a

T

parn ω

e

dttfT

a

T

par∫⋅=2

000

0

)(2

Se )(tfímpar apresenta simetria ÍMPAR, )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω

também irá apresentar simetria ÍMPAR. Para calcular kb para um sinal de

simetria ÍMPAR, pode-se integrar )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω somente sobre

2,0 0T

e multiplicar o resultado por 0

4T . Assim:

3,... 2, 1, n )()(4 2

00

0

0

=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttnsentfT

b

T

ímparn ω


2.6.4.1. REMOÇÃO DE COMPONENTE DC PODE REVELAR

SIMETRIA “ESCONDIDA”

A adição de um nível dc a um sinal periódico irá modificar somente seu

coeficiente dc ( 0a e 0C ) e todos os outros coeficientes da série de Fourier

irão permanecer os mesmos.

Deve-se, portanto, sempre verificar a possível existência de simetria

“escondida” em um sinal periódico retirando seu nível dc. Esta verificação se

faz importante, pois, como já foi visto, a simetria simplifica os cálculos dos

coeficientes.

Caso a simetria “escondida” seja verificada, deve-se calcular o coeficiente dc

utilizando o sinal original. Os demais coeficientes podem ser calculados

utilizando o sinal simétrico obtido (usando as simplificações devido à

simetria) ou o sinal original (sem usar as simplificações devido à simetria).


2.6.5. COMO DETERMINAR A FREQÜÊNCIA FUNDAMENTAL E O

PERÍODO

Uma soma de senóides constitui um sinal periódico?

Não necessariamente.

Uma soma de senóides constitui um sinal periódico quando a razão entre cada

par de freqüências individuais for uma fração racional.

Exemplos:

+⋅⋅+

+⋅⋅+

+⋅⋅+= 3211 6

7cos532cos3

21cos72)( θθθ ttttf

Como as razões entre as freqüências de )(1 tf são 43

e 74

(o nível dc não é

considerado), o sinal )(1 tf é periódico e suas senóides são

HARMONICAMENTE relacionadas.

( ) ( )212 52cos2)( θπθ +⋅⋅++⋅⋅= tsenttf

Como a razão entre as freqüências de )(2 tf é π2

, o sinal )(2 tf não é

periódico.

O Período Comum ou Período Fundamental 0T de uma soma periódica de

senóides é o menor intervalo de tempo no qual cada senóide completa um


número inteiro de ciclos. 0T é dado pelo mínimo múltiplo comum (MMC)

dos períodos individuais.

A FREQÜÊNCIA FUNDAMENTAL 0f é o recíproco de 0T e é dada pelo

maior divisor comum (MDC) das freqüências individuais.

As freqüências presentes em uma soma periódica de senóides são

HARMÔNICAS da freqüência fundamental 0f .

2.7. SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER

O conjunto de sinais

... 2, 1, 0, n 0 ±±=⋅⋅⋅ tnje ω

é completo em qualquer intervalo de duração 0

02ωπ⋅

=T .

Logo, pode-se expressar um sinal )(tf por uma SÉRIE EXPONENCIAL

DE FOURIER sob qualquer intervalo de duração 0T segundos.

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅⋅=n

tnjn eDtf 0)( ω

011 Tttt +≤≤

onde:


dtetfT

DTt

t

tnjn ∫

+⋅⋅⋅−⋅⋅=

01

1

0)(1

0

ω

A SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER é basicamente outra forma da

SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER

Cada senóide de freqüência ω pode ser expressa como uma soma de duas

exponenciais tje ⋅⋅ω

e tje ⋅⋅− ω. Isto faz com que a SÉRIE EXPONENCIAL

DE FOURIER consista de componentes da forma tnje ⋅⋅⋅ 0ω com n variando

de ∞− a ∞+ .

A SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER é periódica com período 0T .

Vantagens da SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER em relação à SÉRIE

TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER:

1. A forma da série é mais compacta;

2. A expressão matemática dos coeficientes da série é mais compacta;

3. Na análise de sistemas, a forma exponencial é mais conveniente de ser

empregada.


2.7.1. RELAÇÕES DOS COEFICIENTES DAS SÉRIES DE FOURIER

nj

nn eCD θ⋅⋅⋅=21

nj

nn eCD θ⋅−− ⋅⋅=

21

)(21

nnn bjaD ⋅−⋅=

2.7.2. EFEITO DA SIMETRIA NA SÉRIE EXPONENCIAL DE

FOURIER

Não há uma simplificação direta nos cálculos de nD devido a existência de

simetria. Entretanto, usando as relações da Série Trigonométrica de Fourier, é

possível otimizar o cálculo dos coeficientes nD .

Se )(tf é par:

• 0=nb

• 2n

naD =

• π±=∠ ouDn 0

Se )(tf é ímpar:


• 0=na

• 2n

nbjD ⋅−

=

• 20 π

±=∠ ouDn

2.7.3. UTILIZANDO A FÓRMULA DE EULER PARA FACILITAR O

CÁLCULO DA SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER

Suponha que:

)cos()( 0 ttx ⋅= ω

Utilizando a fórmula de Euler, pode-se calcular nD sem a utilização da

integral.

Dessa forma:

( ) tjtjtjtj eeeet ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=+⋅=⋅ 0000

21

21

21)cos( 0

ωωωωω

tnj

nn eDt ⋅⋅⋅

+∞

−∞=

⋅=⋅ ∑ 0)cos( 0ωω

Logo, os coeficientes nD para )cos()( 0 ttx ⋅= ω são:


21

1 =−D 21

1 =D 0=nD para 1|| ≠n

Se )(tf par apresenta simetria PAR, )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω também irá

apresentar simetria PAR. Para calcular ka para um sinal de simetria PAR,

pode-se integrar )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω somente sobre

2,0 0T

e

multiplicar o resultado por 0

4T . Assim:

3,... 2, 1, n )cos()(4 2

00

0

0

=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttntfT

a

T

parn ω

e

dttfT

a

T

par∫⋅=2

000

0

)(2

Se )(tfímpar apresenta simetria ÍMPAR, )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω

também irá apresentar simetria ÍMPAR. Para calcular kb para um sinal de


simetria ÍMPAR, pode-se integrar )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω somente sobre

2,0 0T

e multiplicar o resultado por 0

4T . Assim:

3,... 2, 1, n )()(4 2

00

0

0

=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttnsentfT

b

T

ímparn ω

2.8. O ESPECTRO DE SINAIS PERIÓDICOS

Os termos ANÁLISE ESPECTRAL ou ANÁLISE HARMÔNICA são

geralmente utilizados para descrever a análise de um sinal periódico

)(tf periodica através de suas Séries de Fourier.

As quantidades na , nb , nC , nθ ou nD descrevem os COEFICIENTES

ESPECTRAIS de )(tf periodica .

Eles podem ser “plotados” em relação ao índice n , à freqüência 0fn ⋅ (Hz)

ou à 0ω⋅n (rad/s) como mostrado a seguir:


O espectro de magnitude e o espectro de fase descrevem graficamente a

magnitude e a fase de cada harmônica. São exemplos de sinais discretos.

Existem três representações possíveis para o espectro de sinais periódicos

1. Utilizando a Série Compacta Trigonométrica de Fourier:

a. Espectros de magnitude (amplitude) e fase

i. Magnitudes ( nC ) x Freqüências

ii. Fases ( nθ ) x Freqüências

2. Utilizando a Série Exponencial de Fourier:

a. Parte real e parte imaginária

i. Parte real de nD x Freqüências

ii. Parte imaginária de nD x Freqüências

b. Espectros de magnitude e fase


i. Magnitude de nD x Freqüências

ii. Fase de nD x Freqüências

Relações:

000 CaD ==

nnn CDD ⋅== − 21

0≠n

nn

nn

DD

θθ−=−∠

=∠

Algumas características interessantes do Espectro Exponencial de Fourier:

• O Espectro existe para valores positivos e negativos de freqüência;

• O Espectro de magnitudes é uma função par de ω ;

• O Espectro de fases é uma função ímpar de ω .

2.8.1. POR QUE HÁ FREQÜÊNCIAS NEGATIVAS?

Como interpretar uma freqüência negativa?

Usando uma identidade trigonométrica pode-se expressar uma senóide de uma

freqüência negativa 0ω− como:

)cos()cos( 00 θωθω −⋅=+⋅− tt


Esta equação mostra claramente que a freqüência de uma senóide

)cos( 0 θω +⋅ t é 0ω , que é uma quantidade positiva.

A mesma conclusão pode ser alcançada observando-se que:

)()cos( 000 tsenjte tj ⋅⋅±⋅=⋅⋅± ωωω

A freqüência das exponenciais tje ⋅⋅± 0ω é na verdade 0ω .

Como, então, interpretar os gráficos do espectro com valores negativos de

ω ?

Uma boa forma de encarar a situação é pensar que o espectro exponencial é

uma representação gráfica dos coeficientes nD como uma função de ω .

A existência do espectro em 0ωω ⋅−= n é meramente uma indicação do

fato que uma componente tnje ⋅⋅⋅− 0ω existe na série.

2.8.2. LARGURA DE BANDA DE UM SINAL

A diferença entre a maior e a menor freqüência das componentes espectrais de

um sinal é a largura de banda do sinal.

2.9. TEOREMA DE PARSEVAL

Suponha um sinal periódico )(tf :


∑∞

=

+⋅⋅⋅+=1

00 )cos()(n

nn tnCCtf θω

O Teorema de Parseval diz que a potência do sinal )(tf pode ser calculada

da seguinte forma:

∑∞

=

⋅+=1

220 2

1n

nf CCP

ou

∑∞

−∞=

=n

nf DP 2

Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 65

3. TRANSFORMADA DE FOURIER

3.1. REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO NÃO-PERIÓDICA

PELA INTEGRAL DE FOURIER

Um sinal não-periódico pode ser representado em um determinado intervalo

pela série exponencial de Fourier.

Já os sinais periódicos podem ser representados em todo intervalo (-∞, +∞)

pela série exponencial de Fourier.

Entretanto, convém representar qualquer função geral (periódica ou não) em

todo o intervalo (-∞, +∞) em termos de sinais exponenciais.

Veremos que pode ser mostrado que um sinal não-periódico pode ser

geralmente expresso como uma soma contínua (integral) de sinais

exponenciais, em contraste com sinais periódicos que podem ser

representados por uma soma discreta de sinais exponenciais.

Suponha um sinal não-periódico )(tf


A partir de )(tf , construiremos uma nova função periódica )(0

tfT com

período 0T de forma a não haver sobreposição dos pulsos.

Quando ∞→0T , os pulsos de )(0

tfT se repetem em intervalos infinitos,

logo:

)()(lim0

0

tftfTT=

∞→

Assim, a série de Fourier de )(0

tfT irá também representar )(tf no limite

∞→0T .

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅⋅=n

tnjnT eDtf 0

0)( ω

dtetfT

DTt

t

tnjTn ∫

+⋅⋅⋅−⋅⋅=

01

1

0

0)(1

0

ω

00

2Tπω ⋅

=


ou

dtetfT

DTt

t

tnjn ∫

+⋅⋅⋅−⋅⋅=

01

1

0)(1

0

ω

)t(f)t(flim0

0TT

=∞→

Definindo uma função contínua em ω :

dtetfF tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω )()(

tem-se

)n(FT1D 00

n ω⋅⋅=


como:

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅⋅=n

tnjnT eDtf 0

0)( ω

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅⋅⋅

=n

tnjT e

TnFtf 0

00

0 )()( ωω

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

=n

tnjT enFtf 0

0 0

0 2)()( ω

πω ω

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅

=n

tnjT enFtf 00

0

0)(

21)( ωωπ

ω

)(lim)(0

0

tftf TT ∞→=

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅

∞→⋅⋅⋅⋅

⋅=

n

tnj

TenFtf 00

0

0

)(2

1lim)( ωωπ

ω

quando ∞→0T → 00 →ω )( 0 ωω d→

ωω =⋅ 0n

∫∑ ⇒

ou seja,

ωωπ

ω deFtf tj∫+∞

∞−

⋅⋅⋅⋅⋅

= )(2

1)(


ωω ω deF tj∫+∞

∞−

⋅⋅⋅)( → Integral de Fourier

Assim, temos a representação de um sinal não periódico )(tf por uma

integral de Fourier.

Esta integral é basicamente uma série de Fourier (no limite) com a

freqüência fundamental 00 →ω .

Logo, )(ωF funciona como uma função espectral.

)(ωF → Transformada Direta de Fourier de )(tf

)(tf → Transformada Inversa de Fourier de )(ωF

Fourier de adas transformdepar

ℑ=ℑ=− )](F[)t(f

)]t(f[)(F1 ω

ω

)()( ωFtf →←ℑ

dtetfF tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω )()(


ωωπ

ω deFtf tj∫+∞

∞−

⋅⋅⋅⋅⋅

= )(2

1)(

Vale lembrar que a integral de Fourier é basicamente uma série de Fourier

com 00 →ω . Com isso, a maioria das propriedades da série de Fourier é

aplicada também para a transformada.

)(ωF → número complexo.

)(|)(|)( ωωω FeFF ∠=

Gráficos:

Amplitude x Freqüência

ωω ×|)(| F

Fase x Freqüência

ωω ×∠ )(F


3.1.1. EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Se dtetf tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅ ω)( é finita, então a transformada existe.

Portanto:

∞<∫+∞

∞−

dt|)t(f|

Esta condição é suficiente, mas não necessária, para a existência da

Transformada de Fourier de )(tf .

Funções como )( tsen ⋅ω , )cos( t⋅ω , )(tu , etc. não satisfazem a

condição de integrabilidade absoluta e rigorosamente não possuiriam

transformada de Fourier. Entretanto, elas APRESENTAM transformada de

Fourier.

3.1.2. LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE FOURIER

A Transformada de Fourier é linear.

)()( 11 ωFtf →←ℑ e )()( 22 ωFtf →←ℑ

)()()()( 22112211 ωω FaFatfatfa ⋅+⋅→←⋅+⋅ ℑ


constantes 21 →aea

3.2. ALGUMAS TRANSFORMADAS DE FOURIER

3.2.1. ALGUMAS FUNÇÕES ÚTEIS

3.2.1.1. FUNÇÃO PORTA UNITÁRIA

Define-se a função porta unitária )x(rect como um pulso de amplitude

unitária centrado na origem e de duração unitária.

<

=

>

=

21|x|121|x|

21

21|x|0

)x(rect

Observe, agora, a função

τxrect


<

=

>

=

2|x|1

2|x|

21

2|x|0

xrect

τ

τ

τ

τ

Outra notação possível: )x(Gxrect ττ=

.

Assim: ( ) )x(Gxrect 1=

3.2.1.2. FUNÇÃO TRIÂNGULO UNITÁRIO

Define-se a função triângulo unitário )x(∆ como um pulso triangular de

amplitude máxima unitária centrado na origem e de duração unitária.


<⋅−

≥=

21|x||x|2121|x|0

)x(∆

Observe, agora, a função

τ

∆ x:

<⋅−

≥=

2|x||x|21

2|x|0xτ

τ

τ

τ∆

3.2.1.3. FUNÇÃO SINC(x)

Esta função desempenha um importante papel no processamento de sinais e

é comumente denominada de função de interpolação ou função “chapéu

mexicano”.

x)x(sen)x(csin =


Algumas observações:

1. )x(csin é uma função par de x .

2. 0)x(csin = quando 0)x(sen = exceto em 0x = . Isto

significa que 0)x(csin = para ,...3,2,x πππ ±±±=

3. Usando a regra de L’Hôpital

x)x(senlim)x(csinlim

0x0x →→=


tem-se que 1)0(csin = .

4. )x(csin é o produto de um sinal oscilante )x(sen (de período

π⋅2 ) e uma função monotonicamente decrescente x1

. Logo,

)x(csin apresenta oscilações senoidais de período π⋅2 com

amplitudes decrescendo continuamente de x1

.

5. Outra notação utilizada para )x(csin é )x(Sa .

6. Alguns autores definem )x(csin de forma diferente:

x)x(sen)x(csin

⋅⋅

=ππ

3.2.2. SINAL EXPONENCIAL UNILATERAL

)t(ue)t(f ta ⋅= ⋅−

dte)t(f)(F tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω

dte)t(ue)(F tjta∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅− ⋅⋅= ωω


dte)(F0

t)ja(∫+∞

⋅⋅+−= ωω

ωωω

ω

⋅+=

⋅+

−=

+∞⋅⋅+−

ja1

jae)(F

0

t)ja(

⋅− −

⋅+

=⋅+

= atgj

22

1

ea

1ja

1)(Fω

ωωω

Observação: )(F ω converge somente para 0a > .

3.2.3. SINAL EXPONENCIAL BILATERAL

tae)t(f ⋅−=

dtee)(F tjta∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅− ⋅= ωω

dtedte)(F0

t)ja(0

t)ja( ∫∫+∞

⋅⋅+−

∞−

⋅⋅− += ωωω

22aa2)(Fω

ω+⋅

=


3.2.4. FUNÇÃO PORTA

⋅=τ

α trect)t(f

onde α e τ são constantes.

dte)(F2

2

tj∫+

−

⋅⋅−⋅=

τ

τ

ωαω

ω

τωα

ωαω

τωτω

⋅⋅⋅

=

−⋅

⋅=

⋅⋅−⋅⋅ 2sen2

eej

)(F 2j

2j

⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅

=2

csin

2

2sen

)(F τωτατω

τωταω

A transformada de Fourier de )(F ω apresenta valores positivos e

negativos.


Uma amplitude negativa pode ser considerada como uma amplitude positiva

com fase de π− ou π+ . Assim:

O espectro de fase, que é uma função ímpar de ω para )t(f real, pode

ser esquematizada de diversas outras formas, já que um sinal negativo pode

ser representado por uma fase de π⋅± n , onde Zn∈ e n é ímpar.

3.2.5. FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO

)t()t(f δ=

dte)t()(F tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωδω

1)(F =ω

3.2.6. FUNÇÃO CONSTANTE

α=)t(f


Observação: esta função não satisfaz as condições de integrabilidade

absoluta, mas a transformada de Fourier existe no limite.

⋅==

∞→ ταα

τ

trectlim)t(f

Como:

⋅⋅⋅→←

⋅ ℑ

2csintrect τωτα

τα

⋅⋅⋅=

∞→ 2csinlim)(F τωταω

τ

444 3444 21)(

2csin

2lim2)(F

ωδ

τ

τωπταπω

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

∞→

)(2)(F ωδαπω ⋅⋅⋅=

3.2.7. FUNÇÃO sgn(t)

)tsgn()t(f =

1)t(u2)tsgn( −⋅=

[ ])t(ue)t(uelim)tsgn( tata

0a⋅−⋅= ⋅⋅−

→

dte)tsgn()(F tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω


[ ] dte)t(ue)t(uelim)(F tjtata

0a

⋅⋅−∞

∞−

⋅⋅−

→∫ ⋅⋅−⋅= ωω

⋅−⋅= ∫∫

∞−

⋅⋅−⋅+∞

⋅⋅−⋅−

→dteedteelim)(F

0tjta

0

tjta

0a

ωωω

−= ∫∫

∞−

⋅⋅−∞

⋅⋅+−

→dtedtelim)(F

0t)ja(

0

t)ja(

0a

ωωω

⋅−−

⋅+−=

∞−

⋅⋅−∞⋅⋅+−

→

0t)ja(

0

t)ja(

0a )ja(e

)ja(elim)(F

ωωω

ωω

⋅−

−⋅+

=→ )ja(

1)ja(

1lim)(F0a ωω

ω

+⋅−−⋅−

=→ 220a a

jajalim)(Fω

ωωω

+⋅⋅−

=→ 220a a

j2lim)(Fωωω

ωωω 2j

j2)(F ⋅−=⋅

=


3.2.8. FUNÇÃO DEGRAU)

)t(u)t(f =

)]tsgn(1[21)t(u +⋅=

)]t[sgn(21]1[

21)t(u ℑ⋅+ℑ⋅=ℑ

ωωδπω

⋅⋅+

⋅⋅=

j2

21

2)(2)(F

ωωδπω

⋅+⋅=

j1)()(F

3.2.9. FUNÇÃO SEN(ω0.t)

)t(sen)t(f 0 ⋅= ω

Este sinal não satisfaz a condição de integrabilidade absoluta, mas sua

transformada existe e pode ser encontrada por um processo de limite.

Supondo que a função )t(sen 0 ⋅ω exista no intervalo

−

2,

2ττ

e seja

nula fora desse intervalo. No limite, τ será infinito.


dte)t(senlim)t(sen2

2

tj00 ∫

−

⋅⋅−

∞→⋅⋅=⋅ℑ

τ

τ

ω

τωω

dte)t(senlim)(F2

2

tj0∫

−

⋅⋅−

∞→⋅⋅=

τ

τ

ω

τωω

( ) dtej2eelim)(F

2

2

tjtjtj 00

∫−

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

∞→⋅

⋅−

=

τ

τ

ωωω

τω

( ) ( )dt

j2eelim)(F

2

2

tjtj 00

∫−

⋅+⋅−⋅−⋅−

∞→

⋅−

=

τ

τ

ωωωω

τω

( )

( )( )

( )2

20

tj

0

tj

je

jelim

j21)(F

00

τ

τ

ωωωω

τ ωωωωω

−

⋅+⋅−⋅−⋅−

∞→

+⋅

+−⋅

−⋅⋅

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

+⋅−

+−⋅+

−⋅⋅

=⋅+⋅⋅+⋅−⋅−⋅⋅−⋅−

∞→0

2j

2j

0

2j

2j

jee

jeelim

j21)(F

0000

ωωωωω

τωωτωωτωωτωω

τ


( )

( )

( )

( )

+

⋅+

−−

⋅−

⋅−=∞→

0

0

0

0 2sen

2sen

limj)(Fωω

τωω

ωω

τωωω

τ

( ) ( )

⋅+−

⋅−⋅⋅−=

∞→ 2csin

2csin

2limj)(F 00

τωωτωωτωτ

como

⋅⋅

⋅=

∞→ 2kcsin

2klim)(

kω

πωδ , então:

( ) ( )[ ]00j)(F ωωδωωδπω −−+⋅⋅=

3.2.10. FUNÇÃO COS(ω0.t)

)tcos()t(f 0 ⋅= ω

De forma análoga ao desenvolvimento de )t(sen 0 ⋅ℑ ω , tem-se:

dte)tcos(lim)(F2

2

tj0∫

−

⋅⋅−

∞→⋅⋅=

τ

τ

ω

τωω


( )

( )

( )

( )

⋅+

⋅+

+⋅−

⋅−

⋅=∞→

2

2sen

2

2sen

2lim)(F

0

0

0

0

τωω

τωω

τωω

τωωτω

τ

( ) ( )[ ]00)(F ωωδωωδπω ++−⋅=

3.2.11. FUNÇÃO ej.ω0.t

tj 0e)t(f ⋅⋅= ω

como:

)t(senj)tcos(e 00tj 0 ⋅⋅+⋅=⋅⋅ ωωω

)t(senj)tcos()(F 00 ⋅⋅+⋅ℑ= ωωω

)t(senj)tcos()(F 00 ⋅ℑ⋅+⋅ℑ= ωωω

portanto:

( )02)(F ωωδπω −⋅⋅=

3.2.12. FUNÇÃO PERIÓDICA

A rigor não existe a transformada de Fourier para uma função )t(f

periódica, já que:


∞=∫∞

∞−

dt)t(f , se )Tnt(f)t(f ⋅+=

Entretanto, a transformada de Fourier de uma função periódica )t(f

existe no limite (como foi feito para )t(sen 0 ⋅ω e )tcos( 0 ⋅ω ).

Para o caso de uma função periódica )t(f , podemos representá-la pela

série exponencial de Fourier da seguinte maneira:

∑∞

−∞=

⋅⋅⋅⋅=n

tnjn

oeD)t(f ω (I)

onde:

dte)t(f

T1D

2T

2T

tnjn

o∫−

⋅⋅⋅−⋅⋅= ω

T2

oπω ⋅

=

Aplicando as transformadas de Fourier nos dois membros da Equação (I),

tem-se:

⋅ℑ=ℑ ∑∞

−∞=

⋅⋅⋅

n

tnjn

oeD)t(f ω


∑∞

−∞=

⋅⋅⋅ℑ⋅=n

tnjn

oeD)(F ωω

∑∞

−∞=

⋅−⋅⋅⋅=n

on )n(2D)(F ωωδπω

∑∞

−∞=

⋅−⋅⋅⋅=n

on )n(D2)(F ωωδπω

A equação acima estabelece que a função de densidade espectral ou a

transformada de Fourier de um sinal periódico é formada por impulsos

localizados nas freqüências harmônicas do sinal e que o peso de cada

impulso é igual a π⋅2 vezes o valor do coeficiente correspondente na série

exponencial de Fourier.


3.2.13. TABELA DE PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER

TABLE 4.1 – PÁGINA 252 – LATHI


4. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

ωωπ

ω deFtf tj∫+∞

∞−

⋅⋅⋅⋅⋅

= )(2

1)(

dtetfF tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω )()(

)()( ωFtf →←ℑ

As equações de )t(f e )(F ω guardam grande similaridade, daí tem-se

a dualidade tempo-freqüência.

Para qualquer resultado ou relação entre )t(f e )(F ω , existe um

resultado ou relação dual obtida trocando-se os papéis de )t(f e )(F ω

no resultado original (algumas pequenas modificações se fazem necessárias

devido ao fator π⋅2 e à troca de sinal)

4.1. SIMETRIA

Se )()( ωFtf →←ℑ

Então )(f2)t(F ωπ −⋅⋅→←ℑ


4.1.1. DEMONSTRAÇÃO

ωωπ

ω deFtf tj∫+∞

∞−

⋅⋅⋅⋅⋅

= )(2

1)(

ωωπ ω de)(F)t(f2 tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅=−⋅⋅

x=ω e dxd =ω

dxe)x(F)t(f2 txj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅=−⋅⋅π

ω=t

dxe)x(F)(f2 xj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅=−⋅⋅ ωωπ

tx = e dtdx =

dte)t(F)(f2 tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅=−⋅⋅ ωωπ

logo:

)(f2)t(F ωπ −⋅⋅→←ℑ


4.1.2. EXEMPLO

?)tk(csin =⋅ℑ

solução:

⋅

⋅↔

2csintrect τωτ

τ

−⋅⋅↔

⋅

⋅τωπττ rect2

2tcsin

⋅

⋅↔

⋅

τω

τπτ rect2

2tcsin

mas: k2k2

⋅=→= ττ

( )

⋅⋅

⋅⋅

↔⋅k2

rectk2

2tkcsin ωπ

Portanto:

( )

⋅⋅↔⋅

k2rect

ktkcsin ωπ

4.2. ESCALONAMENTO



Então, para qualquer constante real a:

⋅→←⋅ ℑ

aF

|a|1)ta(f ω


Para a constante positiva real:

dte)ta(f)ta(f tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅=⋅ℑ ω

fazendo dtadxtax ⋅=→⋅=

dxe)x(fa1)ta(f a

xj

∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅=⋅ℑ

ω

⋅=⋅ℑ

aF

a1)ta(f ω

Da mesma forma, para a < 0:

⋅

−→←⋅ ℑ

aF

a1)ta(f ω

Portanto:

⋅→←⋅ ℑ

aF

|a|1)ta(f ω


4.2.2. SIGNIFICADO DO ESCALONAMENTO

⋅→←⋅ ℑ

aF

|a|1)ta(f ω

A propriedade do escalonamento diz que a compressão no tempo de um

sinal resulta na sua expansão espectral; a expansão no tempo de um sinal

resulta na sua compressão espectral.

4.3. DESLOCAMENTO NO TEMPO


Então:

0tj0 e)(F)tt(f ⋅⋅−ℑ ⋅→←− ωω


dte)tt(f)tt(f tj00 ∫

+∞

∞−

⋅⋅−⋅−=−ℑ ω

dtdxttx 0 =→−=

dxe)x(f)tt(f )tx(j0

0∫+∞

∞−

+⋅⋅−⋅=−ℑ ω


dxee)x(f)tt(f 0tjxj0 ∫

+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅− ⋅⋅=−ℑ ωω

dxe)x(fe)tt(f xjtj0

0 ∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅− ⋅⋅=−ℑ ωω

)(Fe)tt(f 0tj0 ωω ⋅=−ℑ ⋅⋅−

4.3.2. EXEMPLO

?2

trect =

−ℑ

ττ

⋅

⋅↔

2csintrect τωτ

τ

Portanto:

2j

e2

csin2

trectτωτωττ

τ⋅⋅−

⋅

⋅

⋅↔

−

4.3.3. FASE LINEAR

0tj0 e)(F)tt(f ⋅⋅−ℑ ⋅→←− ωω

Atrasar um sinal de 0t segundos não modifica sua amplitude espectral.


Um sinal atrasado de 0t segundos tem sua fase espectral original (sinal não

atrasado) deslocada de 0t⋅−ω .

Este deslocamento de 0t⋅−ω representa um deslocamento linear na fase

com coeficiente angular de 0t−

4.4. DESLOCAMENTO EM FREQÜÊNCIA


Então:

)(Fe)t(f 0tj 0 ωωω −→←⋅ ℑ⋅⋅


dtee)t(fe)t(f tjtjtj 00 ∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅=⋅ℑ ωωω

dte)t(fe)t(f t)(jtj 00 ∫+∞

∞−

⋅−⋅−⋅⋅ ⋅=⋅ℑ ωωω

)(Fe)t(f 0tj 0 ωωω −=⋅ℑ ⋅⋅


4.4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE

Como tj 0e ⋅⋅ω não é uma função real que possa ser gerada, o deslocamento

em freqüência é conseguido na prática multiplicando-se )t(f por uma

cossenóide.

[ ]tjtj0

00 e)t(fe)t(f21)tcos()t(f ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅⋅=⋅⋅ ωωω

e

[ ])(F)(F21)tcos()t(f 000 ωωωωω ++−⋅↔⋅⋅

Isto mostra que a multiplicação de um sinal )t(f por uma senóide de

freqüência 0ω desloca o espectro de )(F ω de 0ω± .


A multiplicação de )tcos( 0 ⋅ω por )t(f modula a amplitude da

senóide.

Este tipo de modulação é conhecida como MODULAÇÃO EM

AMPLITUDE (AM).

)tcos( 0 ⋅ω é chamada de PORTADORA.

)t(f é chamado de SINAL MODULANTE.

)tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω é chamado de SINAL MODULADO.

Fazendo um esboço de um sinal )tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω :

Observa-se que:


−=⋅−=⋅

=⋅⋅1)tcos(quando)t(f

1)tcos(quando)t(f)tcos()t(f

0

00 ω

ωω

Logo, )tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω toca )t(f quando )tcos( 0 ⋅ω está em

seus picos positivos e toca )t(f− quando )tcos( 0 ⋅ω está em seus

picos negativos.

Isto significa que )t(f e )t(f− agem como envelopes para o sinal

)tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω .

O sinal )t(f− é a imagem refletida de )t(f em relação ao eixo

horizontal.

4.5. DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO


Então:

)(F)j(dt

)t(fd nn

n

ωω ⋅⋅→←ℑ



ωωπ

ω deFtf tj∫+∞

∞−

⋅⋅⋅⋅⋅

= )(2

1)(

ωωωπ

ω de)(Fj2

1dtdf tj∫

+∞

∞−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

assim:

)(Fjdt

)t(df ωω ⋅⋅→←ℑ

e

)(F)j(dt

)t(fd nn

n

ωω ⋅⋅→←ℑ

4.6. INTEGRAÇÃO NO TEMPO


Então:

)()0(Fj

)(Fd)(ft

ωδπωωττ ⋅⋅+⋅

→←ℑ

∞−∫


4.7. CONVOLUÇÃO

Sejam duas funções:

)t(f1 e )t(f2

A integral

τττ d)t(f)(f)t(f)t(f 2121 ∫+∞

∞−

−⋅=∗

ocorre freqüentemente em engenharia e recebe um nome especial de

INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO.

A integral de convolução é expressa simbolicamente por: )t(f)t(f 21 ∗ .

4.7.1. PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO

4.7.1.1. COMUTATIVA

)t(f)t(f)t(f)t(f 1221 ∗=∗

4.7.1.2. DISTRIBUTIVA

)t(f)t(f)t(f)t(f)]t(f)t(f[)t(f 3121321 ∗+∗=+∗


4.7.1.3. ASSOCIATIVA

)t(f)]t(f)t(f[)]t(f)t(f[)t(f 321321 ∗∗=∗∗

4.7.1.4. DESLOCAMENTO

Se

)t(c)t(f)t(f 21 =∗

então

)Tt(c)Tt(f)t(f 21 −=−∗

)Tt(c)t(f)Tt(f 21 −=∗−

e

)TTt(c)Tt(f)Tt(f 212211 −−=−∗−

4.7.1.5. CONVOLUÇÃO COM UM IMPULSO

A convolução de uma função )t(f com um impulso unitário )t(δ

resulta na própria função )t(f .

ττδτδ d)t()(f)t()t(f ∫+∞

∞−

−⋅=∗


como )t( τδ − é um impulso localizado em t=τ .

)t(f)t()t(f =∗δ

4.7.1.6. PROPRIEDADE DA LARGURA

Se as durações (larguras) de )t(f1 e )t(f2 forem 1T e 2T

respectivamente.

Então, a duração (largura) de )t(f)t(f 21 ∗ é 21 TT + .

4.7.2. PROCEDIMENTO GRÁFICO PARA OBTENÇÃO DA

CONVOLUÇÃO

Seja

τττ d)t(g)(f)t(g)t(f)t(c ∫+∞

∞−

−⋅=∗=

Para obter )t(c graficamente siga os seguintes passos:

1. Mantenha a função )(f τ fixa;

2. Visualize a função )(g τ como uma armação rígida de arame e

rotacione (ou inverta) esta armação em relação ao eixo vertical

( 0=τ ) para obter )(g τ− ;


3. Desloque a armação invertida sobre o eixo τ por 0t segundos. A

armação deslocada representa )t(g 0 τ− ;

4. A área sob o PRODUTO de )(f τ e )t(g 0 τ− (a armação

deslocada) é )t(c 0 , o valor da convolução em 0tt = .

τττ d)t(g)(f)t(c 00 ∫+∞

∞−

−⋅=

5. Repita esse procedimento, deslocando a armação para diferentes

valores de 0t para obter )t(c para todos os valores de t .


4.7.3. CONVOLUÇÃO NO TEMPO

Se )(F)t(f 11 ω→←ℑ e )(F)t(f 22 ω→←ℑ

Então:

)(F)(F)t(f*)t(f 2121 ωω ⋅→←ℑ

4.7.3.1. DEMONSTRAÇÃO

dted)t(f)(f)t(f*)t(f tj2121 ∫ ∫

+∞

∞−

⋅⋅−+∞

∞−

⋅

−⋅=ℑ ωτττ

τττ

τωω

ω ddte)t(f)(f)t(f)*t(f

j2 e)(F

tj2121 ∫ ∫

+∞

∞−

⋅

+∞

∞−

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅−⋅=ℑ

444 3444 21

τωτ τω de)(F)(f)t(f*)t(f j2121 ∫

+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅=ℑ

ττω τω de)(f)(F)t(f)*t(f j1221 ∫

+∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅=ℑ

)(F)(F)t(f*)t(f 2121 ωω ⋅=ℑ


4.7.4. CONVOLUÇÃO NA FREQÜÊNCIA

Se )(F)t(f 11 ω→←ℑ e )(F)t(f 22 ω→←ℑ

Então:

[ ])(F)*(F2

1)t(f)t(f 2121 ωωπ⋅

⋅→←⋅ ℑ

4.7.4.1. DEMONSTRAÇÃO

ωττωτπ

ωω ω ded)(F)(F2

1)(F)*(F tj2121

1 ∫ ∫+∞

∞−

⋅⋅+∞

∞−

− ⋅

−⋅⋅

⋅=ℑ

∫ ∫+∞

∞−

⋅⋅+∞

∞−

− ⋅−⋅⋅

⋅=ℑ ωτωπ

ττωω ω de)(F2

1d)(F)(F*)(F tj2121

1

[ ]∫+∞

∞−

⋅⋅− ⋅⋅=ℑ τωττωω j2121

1 e)t(fd)(F)(F)*(F

∫+∞

∞−

⋅⋅− ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=ℑ ττπ

πωω τω de)(F2

1)t(f2)(F*)(F j1221

1

)t(f)t(f2)(F)*(F 21211 ⋅⋅⋅=ℑ− πωω


[ ])(F)*(F2

1)t(f)t(f 2121 ωωπ⋅

⋅→←⋅ ℑ


5. TRANSMISSÃO DE SINAIS ATRAVÉS DE SLIT DE TEMPO

CONTÍNUO

5.1. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO POR UM IMPULSO

=

≠=

∫∞+

∞−

1dt)t(

0tpara0)t(

δ

δ

Suponha que multipliquemos um impulso unitário )t(δ por uma função

)t(f que seja contínua em 0t = .

)t()0(f)t()t(f δδ ⋅=⋅

De forma similar, se )t(f é multiplicada por um impulso deslocado

)Tt( −δ

)Tt()T(f)Tt()t(f −⋅=−⋅ δδ

desde que )t(f seja contínua em Tt = .

5.1.1. PROPRIEDADE DA AMOSTRAGEM DA FUNÇÃO IMPULSO

UNITÁRIO

Do item anterior, tem-se

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=⋅=⋅ )0(fdt)t()0(fdt)t()t(f δδ


desde que )t(f seja contínua em 0t = .

Este resultado significa que a área sob o produto de uma função )t(f com

um impulso )t(δ é igual ao valor da função )t(f no instante onde o

impulso unitário é diferente de zero.

Esta propriedade é muito útil e importante e é conhecida como propriedade da

amostragem do impulso unitário.

A propriedade da amostragem do impulso unitário é descrita da seguinte

forma:

∫+∞

∞−

=−⋅ )T(fdt)Tt()t(f δ

como )t()t( −= δδ

Podemos expressar qualquer sinal de tempo contínuo como:

∫+∞

∞−

−⋅= ττδτ d)t()(f)t(f

5.2. RESPOSTA DE UM SISTEMA LINEAR INVARIANTE NO

TEMPO E A INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO

Suponha um SLIT

→)t(f SLIT )t(y→


)t(fT)t(y =

como:

∫+∞

∞−

−⋅= ττδτ d)t()(f)t(f

tem-se:

−⋅= ∫+∞

∞−

ττδτ d)t()(fT)t(y

como o sistema é linear, tem-se:

∫+∞

∞−

−⋅= ττδτ d)t(T)(f)t(y

como o sistema é invariante no tempo, tem-se:

)t(T)t(h δ= - resposta ao impulso unitário

)t(h)t(T ττδ −=−

assim:

∫+∞

∞−

−⋅= τττ d)t(h)(f)t(y

ou seja,

)t(h)t(f)t(y ∗=


A saída de qualquer sistema linear invariante no tempo (SLIT) de tempo

contínuo é igual à convolução da entrada )t(f com a resposta ao impulso

unitário do sistema )t(h .

5.3. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE UM SLIT

Para um SLIT, tem-se:

)t(h)t(f)t(y ∗=

Aplicando a propriedade da convolução no tempo da Transformada de

Fourier, tem-se:

)(H)(F)(Y ωωω ⋅=

A transmissão de um sinal de entrada )t(f através de um SLIT modifica

este sinal e dá origem ao sinal )t(y .

)(F ω é o espectro de )t(f .

)(Y ω é o espectro de )t(y .

)(H ω é a resposta em freqüência do sistema.

Observação: dá-se o nome de Função de Transferência à Transformada de

Laplace da resposta ao pulso unitário, )s(H .

[ ])(H)(Fj)(Yj e)(H)(Fe)(Y ωωω ωωω ∠+∠⋅∠⋅ ⋅⋅=⋅


logo:

)(H)(F)(Y ωωω ⋅=

)(H)(F)(Y ωωω ∠+∠=∠

Durante a transmissão, a amplitude do espectro do sinal de entrada )(F ω é

modificado para )(H)(F ωω ⋅ .

De forma similar, a fase do espectro do sinal de entrada )(F ω∠ é

modificada para )(H)(F ωω ∠+∠ .

5.4. CAUSALIDADE PARA SLITs

Um sistema é “causal” se a saída em um instante de tempo depende somente

da entrada no mesmo instante de tempo e das entradas anteriores.

Tais sistemas são chamados também de “não-antecipativos”.

Matematicamente, o sistema causal é representado:

0tpara0)t(h <=

Então, se 0)t(h = para 0t < ,

tou0tpara0)t(h ><−=− τττ

Assim, o limite inferior de )t(h)t(f)t(y ∗= será 0 .


5.5. ESTABILIDADE DE SLITs

Um sistema é estável se sua resposta ao impulso é absolutamente integrável,

isto é:

∞<∫+∞

∞−

dt)t(h

5.6. SISTEMAS FISICAMENTE REALIZÁVEIS

Um sistema é fisicamente realizável se for causal.

No domínio da freqüência, a condição necessária para que o sistema seja

fisicamente realizável é:

∞<+∫

+∞

∞−

ωωω

d1

)(Hln2

Esta inequação é conhecida como “Critério de Paley-Wiener”.

Um sistema onde )(H ω não satisfaça a inequação acima, tem resposta

não-causal.

5.7. TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO

Uma transmissão é dita sem distorção se a forma de onda do sinal de entrada

for a mesma forma de onda do sinal de saída a menos de uma multiplicação

por uma constante.


Um sinal de saída atrasado que tenha a mesma forma de onda do sinal de

entrada a menos de uma multiplicação por uma constante também pode ser

obtido de uma transmissão sem distorção.

Então, em uma transmissão sem distorção, a entrada )t(f e a saída )t(y

satisfazem a condição:

)tt(fk)t(y d−⋅=

Realizando a Transformada de Fourier, tem-se:

( ) ( ) dtjeFkY ⋅⋅−⋅⋅= ωωω

como:

)(H)(F)(Y ωωω ⋅=

logo:

( ) dtjekH ⋅⋅−⋅= ωω

onde ( )ωH é a resposta em freqüência do SLIT necessário para realizar uma

transmissão sem distorção.

Analisando-se ( )ωH , tem-se:


( ) kH =ω

( ) dtH ⋅−=∠ ωω

Isto mostra que, para uma transmissão sem distorção, a resposta em amplitude

do sistema deve ser ( )ωH e a resposta em fase ( )ωH∠ deve ser uma

função linear de ω com coeficiente angular dt− , onde dt é o atraso da

saída em relação à entrada.

5.8. O QUE É FILTRAGEM?

Lembrando que a Transformada de Fourier mostra o conteúdo em freqüência

de um sinal.

A filtragem é o processo de remoção seletiva ou alteração parcial deste

conteúdo em freqüência para criação de um novo sinal.

Um tipo comum de filtro que deve ser familiar para você são os botões de

controle de graves e agudos de aparelhos de som.


Ao girar os botões, você está alterando o conteúdo em freqüência do sinal de

áudio, aumentando ou reduzindo as componentes em altas ou baixas

freqüências.

FILTRAGEM

→)t(x )(H ω modificado)t(x)t(y =→

)(X)(H)(Y ωωω ⋅=

)(H ω é escolhido arbitrariamente para alterar )(X ω de maneira

desejada.

O bloco contendo )(H ω é conhecido como filtro.


5.8.1. TIPOS DE FILTROS

TIPO |)(H| ω IDEAL DESCRIÇÃO

FILTRO IDEAL

EXEMPLOS

Passa-baixas Desenhar um filtro

com simetria (lado

positivo e lado

negativo)

Remove toda

informação em

freqüências acima

de cω

Remoção de

ruído,

interpolação,

“alisar” sinais

Passa-altas Desenhar um filtro

com simetria (lado

positivo e lado

negativo)

Remove toda

informação em

freqüências abaixo

de cω

Remoção de DC

e deriva de baixa

freqüência,

detecção de

borda.

Passa-banda Desenhar um filtro

com simetria (lado

positivo e lado

negativo)

Remove toda

informação fora de

21 ωω a

Sintonizar em

uma estação de

rádio,

equalizadores

gráficos de

áudio.

Rejeita-faixa Desenhar um filtro

com simetria (lado

positivo e lado

negativo)

Remove toda

informação entre

21 ωω a

Remoção de

ruído em uma

freqüência

particular, e.g.

60 Hz


5.8.2. FILTROS IDEAIS/FILTROS REALIZÁVEIS

Filtros ideais permitem a transmissão sem distorção de uma certa banda de

freqüências e suprimem as componentes de todas as freqüências

remanescentes.

O filtro passa-baixas ideal permite a passagem sem distorção de todas as

componentes abaixo de W=ω rad/s e suprime todas as componentes acima

de W=ω rad/s.

O filtro passa-baixas ideal acima apresenta uma fase linear com coeficiente

angular dt− que resulta em um atraso temporal de dt segundos para todas as

componentes de entrada com freqüências abaixo de W rad/s.

Logo, se a entrada é um sinal )t(f limitado em banda com freqüência

máxima W rad/s, a saída )t(y é )t(f atrasado de dt segundos, ou seja:

)tt(f)t(y d−=


O sinal )t(f é transmitido por este sistema sem distorção, mas com um

atraso temporal de dt segundos.

Para este filtro:

⋅=

W2rect)(H ωω e dt)(H ⋅−=∠ ωω

Assim:

dtjeW2

rect)(H ⋅⋅−⋅

⋅= ωωω

A resposta ao impulso unitário, )t(h , para este filtro é obtido a partir do par:

( )tWcsinWW2

rect ⋅⋅→←

⋅ℑ

πω

e da propriedade de deslocamento no tempo.

⋅

⋅ℑ= ⋅⋅−− dtj1 e

W2rect)t(h ωω

( )[ ]dttWcsinW)t(h −⋅⋅=π

)t(h é claramente não-causal. Logo, o filtro passa-baixas ideal não é

fisicamente realizável.


De forma similar, pode-se demonstrar que outros filtros ideais (passa-altas,

passa-banda, rejeita-faixa) também não são fisicamente realizáveis.

Conforme já visto, para que um sistema seja fisicamente realizável, )t(h

deve ser causal, ou seja:

0)t(h = para 0t <

No domínio da freqüência, esta condição é equivalente ao critério de Paley-

Wiener, que diz que a condição necessária e suficiente para que a resposta em

amplitude )(H ω seja realizável é:

∞<+∫

+∞

∞−

ωωω

d1

)(Hln2

Se )(H ω não satisfaz esta condição, ele não é fisicamente realizável.

Note que se 0)(H =ω para qualquer intervalo, ∞=)(Hln ω

naquele intervalo, logo o critério de Paley-Wiener é violado.

Entretanto, se 0)(H =ω para uma única freqüência (ou um conjunto de

freqüências discretas), a integral do critério de Paley-Wiener pode continuar a

ser finita embora o integrando seja infinito.


Logo para um sistema fisicamente realizável, )(H ω pode ser zero para

algumas freqüências discretas, mas não pode ser nulo durante um intervalo

finito.

De acordo com este critério, filtros ideais são claramente não realizáveis.

Uma forma prática para se projetar filtros é cortar a parte de )t(h para

0t < .

A resposta ao impulso resultante )t(h é causal:

)t(u)t(h)t(h ⋅=

e é fisicamente realizável.

Se dt é suficientemente grande, )t(h será uma aproximação razoável de

)t(h e o filtro resultante )(H ω será uma aproximação razoável de um

filtro ideal.

A aproximação será tanto melhor quanto maior for o valor do atraso dt .

Esta observação significa que o preço de uma melhor realização é um maior

atraso na saída.

Teoricamente um atraso de ∞=dt é necessário para se obter um filtro ideal.


Na prática, uma atraso dt de 3 ou 4 vezes Wπ

irá fazer com que )t(h seja

uma versão bastante razoável de )tt(h d− .

5.8.3. ENERGIA DO SINAL

Anteriormente, a energia ( fE ) de um sinal )t(f foi definida como:

dt)t(fE 2f ∫

∞

∞−

=

lembrando que )t(f)t(f)t(f *2 ⋅=

dt)t(f)t(fE *f ∫

∞

∞−

⋅=

já que

ωωπ

ω de)(F2

1)t(f tj** ∫∞

∞−

⋅⋅−⋅⋅⋅

=

assim

dtde)(F2

1)t(fE tj*f ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅−

⋅⋅

⋅⋅= ωω

πω

trocando a ordem da integração:


ωωπ

ω ddte)t(f)(F2

1E tj*f ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅−

⋅⋅⋅

⋅=

ωωωπ

d)(F)(F2

1E *f ∫

∞

∞−

⋅⋅⋅

=

ωωπ

d)(F2

1E 2f ∫

∞

∞−

⋅⋅

=

logo,

ωωπ

d)(F2

1dt)t(fE 22f ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅

==

Esta relação é conhecida como Teorema de Parseval (para a Transformada de

Fourier).

Um resultado similar foi obtido anteriormente para um sinal periódico e sua

série de Fourier.

O Teorema de Parseval nos permite obter a energia do sinal também pela

representação do sinal no domínio da freqüência, )(F ω .

O Teorema de Parseval pode ser interpretado da seguinte maneira: a energia

de um sinal )t(f é o resultado das contribuições de energias de todos os

componentes espectrais do sinal )t(f .


A energia total do sinal é a área sob 2)(F ω (dividida por π⋅2 ).

Se considerarmos uma pequena banda ω∆ ( 0→ω∆ ).

a energia fE∆ das componentes espectrais nesta banda é a área de 2)(F ω

no intervalo dessa banda (dividida por π⋅2 ).

ℑ⋅=⋅⋅⋅

= ∆ωω∆ωπ

∆ 22f )(F)(F

21E

ℑ=⋅

∆πω∆

2 Hz.

Logo, a energia devido às componentes nesta banda de ℑ∆ (Hz) é

ℑ⋅∆ω 2)(F .

A energia total do sinal é a soma das energias em pequenas bandas (como

ℑ∆ ) e é indicada pela área sob 2)(F ω .


Logo, 2)(F ω é a DENSIDADE ESPECTRAL DE ENERGIA (por Hz).

Para sinais reais, )(F ω e )(F ω− são conjugados e 2)(F ω é uma

função par de ω , já que:

)(F)(F)(F)(F)(F *2 ωωωωω −⋅=⋅=

Logo, para sinais reais, o Teorema de Parseval pode ser reescrito como:

ωωπ

d)(F1E0

2f ∫

∞

⋅=

Para a equação acima assume-se que )(F ω não contém um impulso em

0=ω . Se existir um impulso em 0=ω , ele deve ser integrado

separadamente com um fator multiplicativo de π⋅21

ao invés de π1

.

A contribuição das componentes espectrais entre as freqüências 1ω e 2ω

para a energia de um sinal real é dada por:

ωωπ

ω

ω

d)(F1E2

1

2f ∫⋅=

5.8.4. LARGURA DE BANDA ESSENCIAL DE UM SINAL

O espectro da maioria dos sinais se estende ao infinito.


Entretanto, como a energia de qualquer sinal “prático” é finita, o espectro do

sinal deve se aproximar de zero quando ∞→ω .

A maior parte da energia de um sinal está contida dentro de uma certa banda

de B Hz e a contribuição para a energia do sinal dos componentes fora dessa

banda é negligenciável.

Logo, podemos suprimir o espectro do sinal fora da banda de B Hz com

poucos efeitos na forma do sinal e na sua energia.

A largura de banda B é chamada de LARGURA DE BANDA ESSENCIAL

de um sinal.

O critério para seleção de B depende da tolerância ao erro da aplicação

desejada.

A supressão de todas as componentes espectrais de )t(f que estão além da

largura de banda essencial resulta em um sinal )t(f que é uma aproximação

de )t(f .

5.8.5. DENSIDADE ESPECTRAL DE ENERGIA ATRAVÉS DA

FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO

A correlação de uma função )t(f com ela mesma é chamada de FUNÇÃO

DE AUTOCORRELAÇÃO.


A função de autocorrelação é denotada por )t(fψ .

Para uma função real )t(f , tem-se:

dx)tx(f)x(f)t(f ∫+∞

∞−

−⋅=ψ

ou

)t(f)t(f)t(f −∗=ψ

assim

)t()t(f)t(f)t( ff ψψ =∗−=−

Logo, para )t(f real, a função de autocorrelação )t(fψ é uma função par

de t.

Como a convolução no tempo é igual à multiplicação em freqüência, tem-se:

2f )(F)t( ωψ →←ℑ

Logo, a Transformada de Fourier da função de autocorrelação é sua

DENSIDADE ESPECTRAL DE ENERGIA 2)(F ω .

Fica claro, então, que )t(fψ fornece diretamente informação espectral de

)t(f .


A conexão direta entre a função de autocorrelação e a informação espectral

pode ser explicada intuitivamente da seguinte maneira:

A função de autocorrelação )t(fψ é a correlação de um sinal com ele

mesmo atrasado de t segundos:

dx)tx(f)x(f)t(f ∫+∞

∞−

−⋅=ψ

Um sinal )t(f correlaciona-se perfeitamente com ele mesmo se o atraso for

nulo.

Entretanto, à medida que o atraso aumenta, a similaridade diminui.

Então, a função de autocorrelação )t(fψ é uma função que não aumenta

com t .

Se )t(f é um sinal com variação lenta (sinal de baixa freqüência) ele varia

lentamente com t . Conseqüentemente tal sinal irá apresentar considerável

similaridade ou correlação com ele mesmo até para atrasos temporais

relativamente grandes. A função autocorrelação )t(fψ decai lentamente

com t e tem uma largura grande.

Para um sinal que varia rapidamente, a similaridade do sinal irá decrescer

rapidamente com um atraso t e )t(fψ tem uma largura menor.


Logo, a forma de )t(fψ tem uma conexão direta com a informação

espectral de )t(f .

5.8.6. TRUNCAMENTO

Muitas vezes é necessário realizar o truncamento de dados em situações que

vão da computação numérica até o projeto de filtros.

Por exemplo, se for necessário computar numericamente a Transformada de

Fourier de algum sinal como )t(ue t ⋅−, teremos que truncar o sinal de

)t(ue t ⋅− em um valor suficientemente alto de t (tipicamente 5 vezes a

constante de tempo ou mais).

A razão para isso é que em computação numérica temos que lidar com dados

de duração finita.

De forma similar, a resposta ao impulso )t(h de um filtro ideal passa-baixas

é não-causal e se aproxima de zero assintóticamente quando ∞→|t| .

Para um projeto de implementação prática, podemos querer truncar )t(h em

um valor suficientemente alto de t para fazer )t(h ser causal (com

conseqüente deslocamento temporal).


Na amostragem de sinais, para eliminar o efeito de recobrimento, é necessário

truncar o espectro do sinal em, no caso ideal, em metade da freqüência de

amostragem 2sω

usando um filtro anti-recobrimento (anti-aliasing).

Podemos, ainda, querer sintetizar um sinal periódio utilizando as n primeiras

harmônicas e truncando todas as harmônicas maiores.

Estes exemplos mostram que o truncamento dos dados pode ocorrer tanto no

domínio do tempo como no da freqüência.

Aparentemente, o trucamento parece ser um simples problema de desprezar os

dados a partir de um ponto onde os dados sejam considerados não tão

significativos.

Entretanto, o truncamento simples causa efeitos colaterais que serão estudados

a seguir.

5.8.6.1. FUNÇÕES DE JANELAS

A operação de truncamento pode ser vista como a multiplicação de um sinal

de maior largura por uma função de janela com largura menor (finita).

O truncamento simples é realizado utilizando-se a janela retangular )t(wR .


Utilizando esta janela, assume-se um peso unitário para todos os dados

contidos na largura da janela

<

2Tt e um peso nulo para todos os dados

que não estiverem contidos na janela

>

2Tt .

Também é possível utilizar uma janela na qual o peso para os dados dentro da

janela não seja constante.

Em uma janela triangular, )t(wT , por exemplo, o peso assumido para os

dados decresce linearmente durante a largura temporal da janela.

Considere um sinal )t(f e uma função de janela )t(w .

Se )(F)t(f ω↔ e )(W)t(w ω↔

e se a função janelada )(F)t(f ww ω↔


então )t(w)t(f)t(fw ⋅=

e )(W)(F2

1)(Fw ωωπ

ω ∗⋅⋅

=

De acordo com a propriedade da largura da convolução, segue que a largura

de )(Fw ω é igual à soma das larguras de )(F ω e )(W ω .

Então, o truncamento de um sinal irá aumentar sua largura de banda em uma

quantidade igual à largura de banda de )(W ω .

Ou seja, o truncamento de um sinal faz com que seu espectro se espalhe por

uma largura de banda maior (a largura de banda do sinal não-truncado mais a

largura de banda de )(W ω ).

A largura de banda de um sinal é inversamente proporcional à sua duração

temporal.

Então, quanto maior a duração da janela no tempo, menor será sua largura de

banda na freqüência e menor será o espalhamento espectral ocasionado por

esta janela.

Este resultado é previsível, pois uma janela de duração maior significa que

estamos considerando mais dados (uma melhor aproximação) e isto deve

causar uma menor distorção (menor espalhamento espectral).

Janelas com menores durações no tempo (piores aproximações) causam

maiores espalhamentos espectrais (maiores distorções).


Assim, um dos efeitos do truncamento é o espalhamento espectral.

Existe um outro efeito do truncamento, produzido pelo fato de )(W ω não

ser realmente restrito à uma banda de freqüência e seu espectro tender a zero

somente assintóticamente.

Isto faz com que o espectro de 0)(Fw →ω assintóticamente a uma mesma

taxa de )(W ω , embora )(F ω possa ser limitado em banda.

Então, o truncamento/janelamento faz com que o espectro de )(F ω vaze

para uma banda aonde ele seria supostamente nulo.

Este efeito é chamado de VAZAMENTO ou LEAKAGE.

EXEMPLO:

Suponha que )tcos()t(f 0 ⋅= ω e

=

Ttrect)t(wR


O espectro do sinal truncado )t(w)t(f)t(f Rw ⋅=

é a convolução dos dois impulsos de )(F ω com o espectro em forma de

sinc da janela )t(wR .

Como a convolução de qualquer função com um impulso é a própria função

(deslocada para a posição do impulso), o espectro resultante )(Fw ω do sinal

truncado )t(fw são dois sincs, multiplicados por 2T

, um localizado em

0ω− e um em 0ω+ .

Comparando os espectros de )(F ω e )(Fw ω , pode-se notar os seguintes

efeitos do truncamento:

1. Os impulsos em )(F ω tem largura nula, mas o sinal truncado é

espalhado por T4 π⋅

em relação ao impulso. A quantidade de

espalhamento é igual à largura do lobo principal do espectro da janela.

Um efeito deste espalhamento espectral é que se )t(f tivesse dois

componentes espectrais com freqüências separadas por menos que


T4 π⋅

rad/s

Hz

T2

, esses componentes não seriam distinguíveis no

sinal truncado. O resultado é a perda de resolução espectral. Busca-se

sempre que o espalhamento espectral (largura da banda principal) seja o

menor possível.

2. O espectro de )t(f é zero exceto em 0ω± . Já o espectro do sinal

truncado )(Fw ω é não nulo sempre devido aos lóbulos secundários.

Estes lóbulos secundário decaem assintóticamente com ω1

. Logo, o

truncamento causa vazamento (leakage) espectral na banda onde o

espectro do sinal )t(f é zero.

Para a janela retangular )t(wR , a magnitude do pico do primeiro lóbulo

secundário é 217,0 vezes a magnitude do pico do lóbulo principal

( 3,13 dB abaixo da magnitude do pico do lóbulo principal).


Na janela retangular, os lóbulos secundários decaem a uma taxa de ω1

ou

6− dB/oitava (ou 20− dB/década). Esta taxa é chamada de taxa de

ROLLOFF dos lóbulos secundários.

Quanto menores os lobos secundários e maior a taxa de ROLL-OFF, menor

será o efeito de vazamento.

Devido à dualidade tempo-freqüência, o efeito do truncamento no domínio

da freqüência nas formas dos sinais é similar ao efeito do truncamento no

domínio do tempo (estudado até agora).

5.8.6.2. MINIMIZANDO OS EFEITOS DO TRUNCAMENTO

Para obtenção de melhores resultados, deve-se tentar minimizar os efeitos

do truncamento: espalhamento espectral (largura do lóbulo principal) e

vazamento (lóbulos secundários).

O espalhamento espectral (largura do lobo principal) de um sinal truncado

é igual à largura de banda da janela )t(w .

A largura de banda de um sinal é inversamente proporcional à duração

temporal do sinal.

Então, para reduzir o espalhamento espectral (largura do lóbulo principal) é

necessário aumentar a duração no tempo da janela.


Para melhorar os efeitos do vazamento, deve-se procurar pela causa do

lento decaimento dos lóbulos secundários.

Quanto mais suave for a variação de um sinal, mais rápido é o decaimento

do seu espectro.

Para uma dada duração de janela, é impossível querer minimizar os dois

efeitos (espalhamento e vazamento espectral) simultaneamente.

Para tentar minimizar os efeitos do truncamento é necessário escolher a

forma e a duração da janela, sempre lembrando que os dois efeitos não

podem ser minimizados simultaneamente.

Existem diversas funções de janela criadas para minimizar os efeitos do

truncamento

A Tabela 4.13 mostra os dados de algumas delas.


A escolha da janela adequada depende da aplicação.


6. AMOSTRAGEM

6.1. TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Pode-se mostrar que um sinal real cujo espectro é limitado em banda de 0

Hz até B Hz.

0)(F =ω para B2 ⋅⋅> πω rad/s

pode ser reconstruído exatamente (sem nenhum erro) a partir de suas

amostras se estas forem tomadas uniformemente a uma taxa B2s ⋅>ℑ

amostras por segundo.

Em outras palavras, teoricamente a menor freqüência de amostragem para

possibilitar a reconstrução do sinal é B2s ⋅=ℑ Hz.

Para provar o Teorema da Amostragem, considere um sinal )t(f cujo

espectro é limitado em banda em B Hz.

A amostragem de )t(f a uma taxa de sℑ Hz ( sℑ amostras por


segundo) pode ser obtida multiplicando-se )t(f por um trem de

impulsos )t(Tδ .

∑+∞

−∞=

⋅−=n

T )Tnt()t( δδ Ζ∈n

∑ ⋅−=n

T )Tnt()t( δδ

)t(Tδ consiste em impulsos unitários repetidos periodicamente a cada

T segundos, onde s

1Tℑ

= s.

Ou seja, a amostragem pode ser assim considerada:

x


=

O resultado da amostragem é o sinal amostrado )t(f .

∑ ⋅−⋅=⋅=n

T )Tnt()t(f)t()t(f)t(f δδ

∑ ⋅−⋅⋅=n

)Tnt()Tn(f)t(f δ

O sinal amostrado consiste de impulsos espaçados a cada T segundos

(intervalo de amostragem).

O n-ésimo impulso, localizado em Tnt ⋅= , apresenta uma amplitude de

)Tn(f ⋅ , ou seja, o valor de )t(f em Tnt ⋅= .

O trem de impulsos )t(Tδ é um sinal periódico de período T ,

expressando )t(Tδ como uma Série Trigonométrica de Fourier, tem-se:

( ) ( ) ( )[ ]...t3cos2t2cos2tcos21T1)t( sssT +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅= ωωωδ

ss 2T

2ℑ⋅⋅=

⋅= ππω

como:


)t()t(f)t(f Tδ⋅=

Logo

( ) ( ) ( )[ ]...t3cos)t(f2t2cos)t(f2tcos)t(f2)t(fT1)t(f sss +⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅= ωωω

Para calcular )(F ω , a Transformada de Fourier de )t(f , calcula-se a

Transformada de Fourier de cada parcela da soma que constitui )t(f .

A Transformada do primeiro termo dentro dos colchetes é )(F ω .

A Transformada do segundo termo ( )tcos)t(f2 s ⋅⋅⋅ ω é

)(F)(F ss ωωωω ++− . Isto representa o espectro )(F ω

deslocado para sω e sω− .

De forma similar, tem-se:

( ) )2(F)2(Ft2cos)t(f2 sss ωωωωω ⋅++⋅−↔⋅⋅⋅⋅



e assim por diante.


Este resultado significa que o espectro )(F ω consiste de )(F ω

repetido periodicamente com período T2

sπω ⋅

= rad/s ou T1

s =ℑ Hz.

Existe, também, um fator multiplicativo T1

em )t(f , logo:

∑∞

−∞=

⋅−⋅=n

s )n(FT1)(F ωωω

Para poder-se reconstruir )t(f a partir de )t(f , deve-se ser capaz de

recuperar )(F ω a partir de )(F ω .

Para que não haja encavalamento, devemos ter:

( )B22s ⋅⋅⋅≥ πω rad/s ou B2s ⋅≥ℑ Hz.

Como o intervalo de amostragem é s

1Tℑ

= , para que seja possível

reconstruir o sinal )t(f a partir de )t(f deve-se ter:


B21T⋅

≤

Assim, desde que a freqüência de amostragem sℑ seja maior que duas

vezes a largura de banda B Hz do sinal, )(F ω irá consistir de

repetições não-encavaladas (não-sobrepostas) de )(F ω .

Se não houver encavalamento dos espectros, )t(f pode ser recuperado

das amostras )t(f fazendo com que o sinal amostrado )t(f passe por

um filtro passa-baixas ideal com freqüência de corte de B Hz ou

B2 ⋅⋅π rad/s e ganho T .

⋅⋅⋅=

B4rectT)(H

πωω


A menor freqüência de amostragem B2s ⋅=ℑ Hz necessária para

recuperar )t(f a partir de suas amostras )t(f é chamada de TAXA

DE NYQUIST para )t(f .

O termo FREQÜÊNCIA DE NYQUIST é utilizado para o valor de B em

Hz ou B2 ⋅⋅π rad/s.

O intervalo de amostragem B21T⋅

= é chamado de INTERVALO DE

NYQUIST para )t(f .

6.1.1. AMOSTRAGEM PRÁTICA

Ao provar o Teorema da Amostragem foi assumida a obtenção de amostras

ideais realizando-se a multiplicação de um sinal )t(f por um trem de

impulsos que fisicamente não é realizável.

Na prática, multiplica-se um sinal )t(f por um trem de pulsos de duração

finita.


Desde que a amostragem seja feita com uma taxa maior que a taxa de Nyquist,

é possível reconstruir )t(f a partir de )t(f .

Para provar este fato analiticamente, observe que o trem de pulsos de )t(pT

pode ser expresso como uma Série Trigonométrica de Fourier:

∑∞

=

+⋅⋅⋅+=1n

nsn0T )tncos(CC)t(p θω T2

sπω ⋅

=

assim


+⋅⋅⋅+⋅=⋅= ∑

∞

=1nnsn0T )tncos(CC)t(f)t(p)t(f)t(f θω

∑∞

=

+⋅⋅⋅⋅+⋅=1n

nsn0 )tncos()t(fC)t(fC)t(f θω

O sinal amostrado )t(f consiste de )t(fC0 ⋅ ,

)tcos()t(fC 1s1 θω +⋅⋅⋅ , )t2cos()t(fC 2s2 θω +⋅⋅⋅⋅ , …

Note que o primeiro termo )t(fC0 ⋅ é o sinal desejado e todos os outros

termos são sinais modulados com espectros centrados em sω± , s2 ω⋅± ,

s3 ω⋅± , …

O sinal )t(f pode ser recuperado a partir de )t(f passando )t(f por

um filtro passa-baixas ideal com ganho 0C

1 e freqüência de corte B Hz

desde que B4s ⋅⋅> πω ou B2s ⋅>ℑ .

6.2. RECONSTRUÇÃO DO SINAL: FÓRMULA DA INTERPOLAÇÃO

O processo de reconstrução de um sinal de tempo contínuo )t(f a partir de

suas amostras é também conhecido como interpolação.


Vimos que um sinal )t(f com banda limitada em B Hz pode ser

reconstruído (interpolado) exatamente a partir de suas amostras.

Esta reconstrução é obtida passando o sinal amostrado por um filtro passa-

baixas ideal com freqüência de corte em B Hz.

O sinal amostrado contém um componente )t(fT1⋅ , logo para recuperar

)t(f (ou )(F ω ), o sinal amostrado deve ser passado por um filtro passa-

baixas ideal com freqüência de corte de B Hz e ganhoT .

Logo, o filtro de reconstrução (ou interpolação) apresenta a seguinte resposta

em freqüência:

⋅⋅⋅=

B4rectT)(H

πωω

O processo de interpolação foi expresso, até agora, no domínio da freqüência

como sendo uma operação de filtragem.

A partir de agora, vamos examinar o processo de interpolação no domínio do

tempo.

Considere um filtro de interpolação muito simples cuja resposta impulsiva

seja:

=

Ttrect)t(h


Trata-se de uma porta centrada na origem com amplitude unitária e duração

T (o intervalo de amostragem).

Como cada amostra de )t(f é um impulso, a saída do filtro para entrada

)t(f será uma seqüência de portas com amplitudes iguais às intensidades

das amostras de )t(f .

)t(f)t(h)t(y ∗=

Logo, a saída do filtro )t(h para entrada )t(f será uma aproximação em

degraus de )t(f .

Assim, o filtro )t(h realiza uma interpolação grosseira.


A resposta em freqüência deste filtro )(H ω é a Transformada de Fourier da

resposta impulsiva

=

Ttrect)t(h .

Assumindo que seja utilizado a taxa de Nyquist, ou seja, B21T⋅

= .

)tB2(rectTtrect)t(h ⋅⋅=

=

e

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅=B4

csinB2

12

TcsinT)(H ωωω

A resposta em amplitude )(H ω para este filtro explica a razão da

interpolação grosseira.

Este filtro, também conhecido como filtro “zero-order hold”, é uma má

aproximação para o filtro passa-baixas ideal necessário para a realização da

interpolação de forma exata


Pode-se melhorar a interpolação utilizando-se um filtro “first-order hold” que

resulta em uma interpolação linear ao invés da interpolação por degraus obtida

com o filtro “zero-order hold”.

O interpolador linear, cuja resposta impulsiva é um pulso triangular

⋅T2t∆ , resulta em uma interpolação na qual as amostras sucessivas são

conectadas por segmentos de reta.

Voltemos para o filtro de interpolação ideal

⋅⋅⋅=

B4rectT)(H

πωω

A resposta impulsiva deste filtro é a Transformada de Fourier inversa de

)(H ω .

( )tB2csinTB2)t(h ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= π


Assumindo que esteja sendo utilizado a taxa de Nyquist, tem-se que

1TB2 =⋅⋅ , logo

)tB2(csin)t(h ⋅⋅⋅= π

É interessante observar que 0)t(h = para todos os valores múltiplos do

intervalo de Nyquist

⋅±=

B2nt exceto em 0t = .

Quando o sinal amostrado )t(f é aplicado na entrada deste filtro, a saída é

)t(f .

Como cada amostra de )t(f é um impulso tem-se que cada amostra gera

um csin com amplitude igual à da amostra.


A adição dos cssin gerados por todas amostras resulta em )t(f .

Assim, a saída do filtro para entrada )t(f é )t(f e pode ser expressa

como a seguinte soma:

∑ ⋅−⋅⋅=k

)Tkt(h)Tk(f)t(f

[ ]∑ ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=k

)Tkt(B2csin)Tk(f)t(f π

∑ ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=k

)ktB2(csin)Tk(f)t(f ππ

Esta equação é chamada de fórmula de interpolação e produz valores de

)t(f entre as amostras como sendo uma soma devido a todas as amostras.


DIFICULDADES PRÁTICAS NA RECONSTRUÇÃO DE SINAL

Se um sinal é amostrado com a taxa de Nyquist, B2s ⋅=ℑ Hz, o espectro

)(F ω consiste de repetições de )(F ω sem nenhum espaço entre os

ciclos sucessivos.

Para recuperar )t(f a partir de )t(f , deve-se passar o sinal amostrado

)t(f através de um filtro passa-baixas ideal com freqüência de corte de B

Hz e ganho T .

Entretanto, um filtro passa-baixas ideal não é realizável fisicamente, ele só

pode ser bem aproximado com um atraso infinito em sua resposta.

Em outras palavras, pode-se recuperar o sinal )t(f a partir de suas amostras

com um atraso infinito.

Uma solução prática para este problema é amostrar o sinal com uma taxa

maior do que a taxa de Nyquist ( B2s ⋅>ℑ Hz ou B4s ⋅⋅> πω rad/s).


O resultado é )(F ω consistindo de repetições de )(F ω com um espaço

finito entre ciclos sucessivos.

Pode-se assim, recuperar )(F ω a partir de )(F ω usando um filtro passa-

baixas com característica de corte mais gradual.

Entretanto, mesmo neste caso, o ganho do filtro deve ser zero após o primeiro

ciclo de )(F ω .

De acordo com o critério de Paley-Wiener, é impossível realizar fisicamente

este filtro também.

A única vantagem neste caso é que o filtro necessário pode ser bem

aproximado com um menor atraso temporal.

Este fato indica que é impossível na prática recuperar um sinal de banda

limitada )t(f de forma exata a partir de suas amostras, mesmo se a taxa de

amostragem for maior do que a taxa de Nyquist.

Entretanto, quanto maior a taxa de amostragem, mais o sinal recuperado pode

se aproximar do sinal desejado.


A ARMADILHA DO RECOBRIMENTO

Existe outra dificuldade prática fundamental na reconstrução de um sinal a

partir de suas amostras.

O Teorema da Amostragem foi provado assumindo-se que o sinal )t(f era

limitado em banda (freqüência).

Entretanto, todos os sinais práticos são limitados no tempo, ou seja, eles

apresentam duração finita ou largura temporal finita.

Pode-se demonstrar que um sinal não pode ser limitado no tempo e apresentar

banda limitada em freqüência ao mesmo tempo.

Se um sinal é limitado no tempo, ele não pode ser limitado em banda e vice-

versa (mas ele pode ser simultaneamente ilimitado no tempo e ilimitado em

banda).

Desta forma, como todos os sinais práticos são limitados no tempo, eles,

necessariamente, não são limitados em banda.

Os sinais práticos apresentam largura de banda infinita, logo o espectro

)(F ω irá consistir de ciclos sobrepostos de )(F ω repetidos a cada sℑ

Hz (a freqüência de amostragem).


Devido ao fato da banda ilimitada do sinal, a sobreposição espectral vai

sempre acontecer independentemente da escolha da taxa de amostragem.

Devido à sobreposição espectral, )(F ω não tem a informação completa

sobre )(F ω e não é mais possível, mesmo teoricamente, recuperar )t(f a

partir do sinal amostrado )t(f .

Se o sinal amostrado for passado por um filtro passa-baixas ideal, a saída não

será )(F ω e sim uma versão distorcida de )(F ω devido a duas causas

distintas:

1. A perda de informação espectral de )(F ω após 2|| sℑ>ℑ Hz ou

2|| sωω > rad/s;


2. O reaparecimento desta informação espectral de forma invertida ou

“dobrada” no espectro. Este fenômeno é conhecido como aliasing ou

recobrimento.

2sℑ

ou 2sω

é conhecida como folding frequency.

UMA SOLUÇÃO: O FILTRO ANTI-ALIASING OU FILTRO ANTI-

RECOBRIMENTO

Deve-se suprimir os componentes de )t(f que estão após 2sℑ

Hz ou

2sω

rad/s antes do processo de amostragem.

Com isso, continua ocorrendo a perda de informação espectral de )(F ω

após 2|| sℑ>ℑ Hz ou 2

|| sωω > rad/s, mas não haverá mais o

fenômeno do recobrimento.

Além disso, sℑ Hz ou sω rad/s pode ser escolhido alta o bastante para

que a informação espectral após 2sℑ

Hz ou 2sω

rad/s seja pouco

relevante.


A supressão dos componentes espectrais após 2sℑ

Hz é realizada

passando o sinal )t(f por um filtro passa-baixas ideal com freqüência de

corte de 2sℑ

Hz ANTES DA AMOSTRAGEM.

Este filtro é denominado filtro anti-aliasing ou filtro anti-recobrimento.

Como um filtro passa-baixas não é realizável fisicamente, utiliza-se filtros

passa-baixas que atenuem bem as componentes espectrais após 2sℑ

Hz.

6.3. TEOREMA DA AMOSTRAGEM ESPECTRAL: DUAL DO

TEOREMA DA AMOSTRAGEM NO TEMPO

Como em outros casos, o Teorema da Amostragem tem seu dual.

Até agora foi discutido o Teorema da Amostragem no domínio do

tempo, onde mostrou-se que um sinal com banda limitada de B Hz pode ser

quase que perfeitamente reconstruído a partir de suas amostras obtidas a uma

taxa de Bs ⋅>ℑ 2 amostras/s.

Note que o espectro do sinal existe sob o intervalo de freqüências de

B− a B Hz.


Logo, B⋅2 é a largura espectral (não a largura de banda, que é B )

do sinal.

Este fato significa que um sinal )(tf pode ser reconstruído a partir de

suas amostras obtidas a uma taxa sℑ maior que a largura espectral (em Hz)

do sinal.

O dual do Teorema da Amostragem no domínio do tempo é o Teorema

da Amostragem no domínio da freqüência (Teorema da Amostragem

Espectral).

Este teorema se aplica aos sinais limitados no tempo que são duais aos

sinais com banda limitada (em freqüência).

Prova-se que o espectro )(ωF de um sinal )(tf limitado no tempo

em τ segundos pode ser reconstruído a partir das amostras de )(ωF

obtidas a uma taxa τ>R amostras por hertz.


dtetfF tj∫+∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω )()(

dtetfF tj∫ ⋅⋅−⋅=τ

ωω0

)()(

Construindo )(0

tfT , um sinal periódico formado pela repetição de

)(tf a cada 0T segundos ( τ>0T ).

Este sinal periódico pode ser expresso pela Série Exponencial de

Fourier:

∑+∞

−∞=

⋅⋅⋅⋅=n

tnjnT eDtf 0

0)( ω

0

02Tπω ⋅

=

onde (assumindo 0T<τ )

dtetfT

dtetfT

D tnjT

tnjn ∫∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅⋅=⋅⋅=

τωω

0000

0

0

0 )(1)(1

ou seja:


( )00

1 ω⋅⋅= nFT

Dn

Este resultado indica que os coeficientes da Série de Fourier para

)(0

tfT são 0

1T vezes os valores das amostras do espectro de )(ωF obtidas

em intervalos de 0ω .

Isto significa que o espectro de um sinal periódico )(0

tfT é o espectro

amostrado de )(ωF .

Desde que 0T<τ , os ciclos sucessivos de )(tf que ocorrem em

)(0

tfT não irão se sobrepor, logo )(tf poderá ser recuperado a partir de

)(0

tfT .

Tal recuperação implica indiretamente que )(ωF possa ser

reconstruído a partir de suas amostras.

As amostras de )(ωF estão separadas pela freqüência fundamental

HzT

f0

01

= ou sradT

/20

0πω ⋅

= do sinal periódico )(0

tfT .

A condição para que a recuperação seja possível é que τ≥0T , ou seja


Hzfτ1

0 = ou srad /20 τ

πω ⋅=

Logo, para ser possível a reconstrução do espectro )(ωF a partir das

amostras de )(ωF , as amostras devem ser obtidas em intervalos de

freqüência não maiores que Hzfτ1

0 = .

Se R é a taxa de amostragem (amostras/Hz), então:

Hzamostrasf

R /10

τ≥=

6.3.1. INTERPOLAÇÃO ESPECTRAL

O espectro )(ωF de um sinal )(tf limitado no tempo em τ

segundos pode ser reconstruído a partir das amostras de )(ωF .

Para este caso, utilizando o dual do procedimento utilizado para derivar

a fórmula de interpolação de sinal

∑ ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=k

)ktB2(csin)Tk(f)t(f ππ

obtém-se a fórmula de interpolação espectral


∑

⋅−

⋅⋅⋅=

kncnFF πτωωω

2sin)()( 0 τ

πω ⋅=

20

EXEMPLO 5.4

O espectro )(ωF de um sinal de duração unitária )(tf é amostrado

em intervalos de Hz1 ou srad /2 π⋅ (a taxa de Nyquist).

As amostras são:

1)0( =F e 0)2( =⋅⋅± nF π ...),3,2,1( =n

Determine )(ωF .

RESOLUÇÃO:

Usando a fórmula de interpolação espectral para construir )(ωF a

partir de suas amostras:

∑

⋅−

⋅⋅⋅=

kncnFF πτωωω

2sin)()( 0 τ

πω ⋅=

20

como srads /21 0 πωτ ⋅=⇒=

∑

⋅−

⋅⋅⋅⋅=

nncnFF πτωπω

2sin)2()(

como 1)0( =F


e

0)2( =⋅⋅± nF π ...),3,2,1( =n

tem-se que:

⋅−

⋅⋅= πωω 0

21sin1)( cF

=

2sin)( ωω cF


6.4. COMPUTAÇÃO NUMÉRICA DA TRANSFORMADA DE

FOURIER: A TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (TDF)

A computação numérica da Transformada de Fourier de )t(f

necessita de valores de amostras de )t(f , pois um computador digital pode

trabalhar somente com dados discretos (seqüência de números).

Mais ainda, um computador pode calcular )(F ω somente em alguns

valores discretos de ω [amostras de )(F ω ].

Logo, precisamos relacionar as amostras de )(F ω com as amostras

de )t(f .

Esta tarefa pode ser realizada utilizando-se os resultados dos dois

teoremas de amostragem desenvolvidos anteriormente.

Comecemos com um sinal limitado no tempo )t(f :

e seu espectro )(F ω :


Como )t(f é limitado no tempo, )(F ω não apresenta banda

limitada.

Por conveniência, o eixo das freqüências será apresentado com a

variável f (em hertz) ao invés de ω .

De acordo com o teorema da amostragem, o espectro )(F ω de um

sinal amostrado )t(f consiste de )(X ω repetido a cada Hzfs , onde

T1fs = .

No próximo passo, o sinal amostrado )t(f é repetido periodicamente

a cada 0T segundos.


De acordo com o teorema da amostragem espectral, tal operação resulta

na amostragem do espectro a uma taxa de 0T amostras/Hz. Esta taxa de

amostragem significa que as amostras estão espaçadas de 0

0 T1f = Hz.

A discussão realizada até agora mostra que quando um sinal )t(f é

amostrado e então periodicamente repetido, o espectro correspondente é

também amostrado e periodicamente repetido. Nosso objetivo é relacionar as

amostras de )t(f com as amostras de )(F ω .

NÚMERO DE AMOSTRAS

Uma observação interessante analisando as figuras


é que 0N , o número de amostras do sinal amostrado e periódico no tempo em

um período 0T é idêntico a 0'N , o número de amostras do espectro

amostrado e periódico em um período sf .

A razão para este fato é que:

TTN 0

0 = e 0

s0 f

f'N =

mas, como:

T1fs = e

00 T

1f =

tem-se que:

00

s00 'N

ff

TTN ===

RECOBRIMENTO E VAZAMENTO NA COMPUTAÇÃO NUMÉRICA

A figura a seguir


mostra a presença de recobrimento nas amostras do espectro )(F ω .

Este erro devido ao recobrimento pode ser reduzido incrementando-se a

freqüência de amostragem sf (diminuindo o intervalo de amostragem

sf1T = ).

O recobrimento não poderá nunca ser totalmente eliminado quando

utiliza-se um sinal limitado no tempo )t(f , pois seu espectro )(F ω não é

limitado em banda.

Se tivéssemos iniciado com um sinal que apresentasse um espectro

)(ωG limitado em banda, não haveria recobrimento no espectro da figura a

seguir

Infelizmente, o sinal )(tg que apresentasse espectro )(ωG não seria

limitado no tempo e sua repetição iria resultar em um sinal com sobreposições


(recobrimento no domínio do tempo). Neste caso (utilizando )(tg e

)(ωG ), deveríamos encarar erros nas amostras temporais do sinal

Em outras palavras, ao realizarmos a computação numérica para o

cálculo da Transformada de Fourier direta ou sua inversa, pode-se reduzir os

efeitos dos erros, mas estes erros não podem nunca ser totalmente eliminados.

Este fato é verdadeiro para a computação numérica da Transformada de

Fourier direta ou sua inversa, independentemente do método utilizado.

Por exemplo, se calcularmos a Transformada de Fourier:

dtetfF tj∫∞

∞−

⋅⋅−⋅= ωω )()(

por integração numérica direta, existirá um erro, pois o intervalo de integração

t∆ nunca pode ser igualado a zero. Limitações similares aplicam-se à

computação numérica da transformada inversa.

Logo, deve-se sempre ter em mente a natureza deste erra em nossos

resultados.

Na discussão passada sobre )(tf , assume-se que )(tf é um sinal

limitado no tempo. Se )(tf não fosse limitado no tempo, seria necessário

limitarmos o sinal, pois as computações numéricas podem trabalhar somente

sobre dados finitos.


Deve-se lembrar, que este truncamento de dados ocasiona erros devido

ao espalhamento espectral e vazamento, como discutido anteriormente. O

vazamento também vai causar recobrimento. O vazamento pode ser reduzido

utilizando-se uma janela trabalhada matematicamente para realizar o

truncamento do sinal. Entretanto, esta escolha aumenta o espalhamento

espectral. O espalhamento espectral pode ser reduzido aumentando-se a

largura da janela (i.e., mais dados), que aumenta 0T e reduz 0f (aumenta a

resolução espectral ou resolução em freqüência).

EFEITO CERCA

O método de computação numérica irá produzir somente valores de

amostras de )(ωF [ou )(tf ] espaçadas uniformemente. A utilização deste

método se assemelha a observar um sinal e seu espectro através de uma cerca

de ripas de madeira.

Os maiores picos de )(ωF [ou )(tf ] podem estar localizados entre

duas amostras consecutivas e podem permanecer escondidos, uma situação

que irá dar uma falsa impressão da realidade.


Estes resultados “falsos” podem ser evitados utilizando-se um valor

suficientemente alto de 0N , o número de amostras, que aumentará a

resolução.

Pode-se também utilizar a fórmula de interpolação espectral

∑

⋅−

⋅⋅⋅=

nncnFF πτωωω

2sin)()( 0 τ

πω ⋅=

20

para determinar os valores de )(F ω entre as amostras.

DERIVAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Se )( Tkf ⋅ e )( 0ω⋅rF são as k-ésima e r-ésima amostras de

)(tf e )(ωF , respectivamente, então define-se as novas variáveis kf e

rF como:

)()(0

0 TkfNTTkfTfk ⋅⋅=⋅⋅=

e

)( 0ω⋅= rFFr

onde 0

0022T

f ππω ⋅=⋅⋅=


Iremos demonstrar agora que kf e rF são relacionados com as

seguintes equações:

∑−

=

⋅Ω⋅⋅−⋅=1

0

00

N

k

krjkr efF

∑−

=

⋅Ω⋅⋅⋅⋅=1

00

00

1 N

r

krjrk eF

Nf N

T πω ⋅=⋅=Ω

200

Estas equações definem as TRANSFORMADAS DISCRETAS DE

FOURIER direta e inversa, com rF sendo a Transformada Discreta de

Fourier direta (DFT) de kf , e kf sendo a Transformada Discreta de Fourier

inversa (IDFT) de rF .

A notação

rk Ff ⇔

é também utilizada para indicar que kf e rF são um par de Transformadas

Discretas de Fourier.

Lembre-se que kf é 0

0

NT

vezes a k-ésima amostra de )(tf e rF é a

r-ésima amostra de )(ωF .


Sabendo os valores das amostras de )(tf , pode-se calcular

computacionalmente os valores das amostras de )(ωF – e vice-versa –

usando a DFT.

Note, entretanto, que kf é uma função de k

( 1...,,2,1,0 0 −= Nk ) ao invés de t e que rF é uma função de r

( 1...,,2,1,0 0 −= Nr ) ao invés de ω .

Note ainda que tanto kf como rF são seqüências periódicas de

período 0N .

A prova das relações da DFT segue diretamente dos resultados dos

teoremas da amostragem.

Como rF é periódico em 0N , é necessário determinar-se os valores

de rF sobre um período qualquer. É costume determinar-se rF sobre um

intervalo )1,0( 0 −N ao invés do que um intervalo

−− 1

2,

200 NN

.


ESCOLHA DE T , 0T e 0N

No cálculo computacional da DFT, é necessário primeiro selecionar

valores adequados para 0N , T e 0T .

Para este propósito, deve-se inicialmente decidir qual é a banda

essencial do sinal, B (em Hz).

A freqüência de amostragem , sf , deve ser de pelo menos B⋅2 , ou

seja:

Bfs ⋅≥ 2

como o intervalo de amostragem é sf

T 1= , tem-se que

BT

⋅≤

21

Uma vez escolhido B , escolhe-se T .

Tem-se, ainda, que:

00

1T

f =

onde 0f é a resolução em freqüência [separação entre amostras de )(ωF ].

Então, se 0f for dado, escolhe-se 0T .


Conhecendo 0T e T , determina-se 0N :

TTN 0

0 =

PONTOS DE DESCONTINUIDADE

Se )(tf apresenta uma descontinuidade em um ponto de amostragem,

o valor da amostra deve ser tomado como sendo a média dos valores dos dois

lados da descontinuidade, pois a representação de Fourier no ponto da

descontinuidade converge para o valor médio.

INSERÇÃO DE ZEROS (ZERO PADDING)

Lembrando que observar rF é como observar o espectro )(ωF

através de uma cerca de madeira com ripas verticais.

Se o intervalo de amostragem em freqüência 0f não for

suficientemente pequeno, pode-se perder algum detalhe significativo e obter

uma imagem diferente da real.

Para obter um maior número de amostras, deve-se reduzir 0f .


Como 0

01T

f = , um maior número de amostras irá fazer com que seja

necessário aumentar o valor de 0T , o período de repetição de )(tf .

Esta opção aumenta 0N , o número de amostras de )(tf , adicionando

amostras com valores 0 à esquerda de )(tf .

A adição destas amostras nulas à esquerda de )(tf é conhecida como

zero padding.

Então, a realização de zero padding aumenta o número de amostras e

pode ajudar a dar uma melhor idéia sobre o espectro )(ωF a partir de suas

amostras rF .

A INSERÇÃO DE ZEROS NÃO AUMENTA A EXATIDÃO OU

RESOLUÇÃO

Um ponto deve ser claramente entendido: a inserção de zeros (zero

padding) meramente fornece mais amostras sem aumentar a exatidão das

amostras anteriormente obtidas.

A inserção de zeros (zero padding) irá ser útil somente se o intervalo de

amostragem T é suficientemente pequeno para que o erro de recobrimento

seja desprezível. Se existe uma grande influência do recobrimento, a inserção


de zeros irá somente fornecer mais amostras da corrupção gerada pelo

recobrimento.

A inserção de zeros (zero padding) não irá nunca melhorar a exatidão

ou a resolução em freqüência.

A exatidão pode ser aumentada somente pela redução do recobrimento,

que requer a redução do intervalo de amostragem T do sinal ( BT

⋅<

21

,

onde B é a largura de banda efetiva do sinal).

EXEMPLO 5.5.

Um sinal )(tf apresenta duração de ms2 e uma largura de banda

essencial de kHz10 . É desejável que se tenha uma resolução em freqüência

de Hz100 na DFT ( 1000 =f ). Determine 0N .

RESOLUÇÃO:

A duração efetiva 0T do sinal é dada por:

msf

T 10100

110

0 ===

Como a duração do sinal é de somente ms2 , necessita-se inserir

zeros sobre ms8 .


Como HzkHzB 000.1010 == , então:

000.202 =⋅= Bfs

e

sf

Ts

µ501==

Logo:

200100

000.200

0 ===ffN s


Um sinal amostrado )(tf pode ser expresso como:

∑−

=

⋅−⋅⋅=1

0

0

)()()(N

kTktTkftf δ

como TkjeTkt ⋅⋅⋅−⇔⋅− ωδ )( , a transformada de Fourier de )(tf é:

∑−

=

⋅⋅⋅−⋅⋅=1

0

0

)()(N

k

TkjeTkfF ωω

Assumindo que o recobrimento pode ser negligenciado, tem-se que no

intervalo 2sωω ≤ vale T

FF )()( ωω = .

Assim:

∑−

=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅=1

0

0

)()()(N

k

TkjeTkfTFTF ωωω 2sωω ≤

Convencionando-se:

∑−

=

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅=1

00

00)()(

N

k

Trkjr eTkfTrFF ωω

1. SINAIS E SISTEMAS 1.1. SINAL - joinville.udesc.br · Análise de Fourier - Henrique T. Moriya -...

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