10 Cisalhamento em vigas

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Resistência do concreto armado – 10 Cisalhamento em vigas 1 Analogia de treliça (Ritter-Mörsch) s = espaçamento entre estribos z = braço de alavanca entre as resultantes de tensão no concreto e no aço Resistência do concreto armado – 10 Cisalhamento em vigas 2 Analogia de treliça (Ritter-Mörsch) Treliça equivalente: banzo comprimido concreto acima da Linha Neutra banzo tracionado armadura inferior A S montante tracionado estribos no comprimento z diagonal comprimida bielas de compressão no comprimento z Hipóteses: treliça isostática fissuras com inclinação de 45º (direção das tensões principais na Linha Neutra) banzos paralelos R cc = R st

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Analogia de treliça (Ritter-Mörsch)

s = espaçamento entre estribos

z = braço de alavanca entre as resultantes de tensão no concreto e no aço

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Analogia de treliça (Ritter-Mörsch)

Treliça equivalente:

banzo comprimido → concreto acima da Linha Neutrabanzo tracionado → armadura inferior AS

montante tracionado → estribos no comprimento zdiagonal comprimida → bielas de compressão no

comprimento z

Hipóteses:

treliça isostáticafissuras com inclinação de 45º (direção das tensões

principais na Linha Neutra)banzos paralelosRcc = Rst

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Equilíbrio no Corte aa

forças horizontais: forças verticais:

dcc st

MR = R =

zb dN cos 45º = V⋅

b dN = V 2⋅

b d dc 0

b ww

N V 2 V 2 2

A b zb z 22

⋅σ = = = ⋅ = ⋅ τ

⋅⋅ ⋅Tensão na biela:

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forças verticais: Nm = Vd

Equilíbrio no Corte bb

Tensão no estribo:

onde Asw = área dos fios de todos os n ramos de um estribo

0dm

s,90m

sw

VN

zA As

σ = =⋅

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Arranjo típico de estribos

Usual para bw < 40cm

Usual para bw ≥ 40cm

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Taxa de armadura

sww

w

Ab s sen

ρ =⋅ ⋅ α

Definindo a taxa geométrica da armadura de estribos como:

pode ser determinada a tensão na armadura como função da taxa de armadura:

Obs.: Para o caso de estribos com inclinação de α < 900 em relação ao eixo longitudinal da viga:

sww

w

Ab s

ρ =⋅

0d 0

s,90w w w

Vb z

τσ = =

ρ ⋅ ⋅ ρ 0

0w

s,90

τρ =

σ

ds,

w w

Vb z senασ =

ρ ⋅ ⋅ ⋅ α

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Utilização

Na realidade, constata-se que:

� as fissuras possuem inclinação menor do que 45o

� a treliça não é isostática

� os banzos não são paralelos

Como conseqüência, verifica-se que o modelo clássico de treliça conduz a resultados onde:

σs é maior do que o real e

σc é menor do que o real

↑(a favor da segurança)

↓ (contra a segurança)

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A NBR-6118:2003 (17.4.2.2.) permite calcular a armadura contra o cisalhamento simplesmente corrigindo o modelo da Analogia de Treliça.

Para tanto, é admiida uma certa tensão convencional de cisalha-mento τwd dada por:

a qual não pode ultrapassar a tensão de cisalhamento última τu

(para vigas com bw

< 5h e estribos verticais) de modo a garantir que não corre o esmagamento da biela de compressão:

Processo da NBR-6118

dwd

w

V

b dτ =

u

ckwd cd

f 0,27 1- f (MPa)

250

τ ≤ τ =

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A tensão no estribo pode ser reduzida de uma tensão devido a mecanismos complementares do concreto dada por:

Processo da NBR-6118

2/3c ck0,09 f (MPa)τ =

d o cs

w w

τ τ − τσ = =

ρ ρ

do

w

Vb z

τ =⋅

sendo:

a tensão no estribo fica reduzida para:

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Admitindo bielas de compressão com ângulo de 45o, o braço de alavanca entre as resultantes de tensão pode ser tomado como sendo z ~0,9d . Definindo agora:

é determinada a tensão de cisalhamento de cálculo no estribo:

Modelo de cálculo I

sw d c c c wV V V com: V b d = − = τ ×

d cd

w

V V0

0,9 b d−

τ = ≥⋅

dw

s

τ

ρ =σ

e, finalmente, a taxa geométrica de armadura por:

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Cálculo prático

a) Força Cortante Última: Vu = VRd2 = τu bwd

Vd ≤ Vu

(caso Vd > Vu ⇒ aumentar a seção, pois há esmagamento do concreto na biela comprimida)

2u

w

u

kN/ cm

b , d cm

V kN

τ →

→ →

d wd cw

ywd ywdf 0,9 fτ τ − τ

ρ = =

ydywd 2

f estribos verticaisf

43,5 kN/ cm

→≤

b) Determinação de estribos (aços CA-50 e CA-60) para Vd > Vc

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Cálculo da armadura transversal

Sendo n = número de ramos, por definição têm-se:

(área de 1 ramo de estribo por unidade de comprimento) (ver Tabela 1.4 a – Pinheiro)

sw sw ww

a A b

n n s n= = ρ

22sw d w

yd w

tensões kN/ cma b100 (cm /m)

n f n b cm

→τ= ⋅

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Taxa geométrica mínima de estribos (14.1.1.1.):

definindo:

pode-se escrever: Vmin = τmin bw d (kN)

Caso Vd ≤ Vmin ⇒ (ρ → %)

(ver tabela 3.4 – Pinheiro)

Armadura transversal mínima

min

2/3ck

ywk

f 6 (%)

fρ =

2/3min min ywk c ck 0,9 f = 0,137 f (MPa)τ = ρ + τ

sw min wmin

a bn n

= ρ ⋅

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Disposições construtivas (18.3.3.2)

a) Espaçamento máximo de estribos

,

,

' ' )

d u

max d u

0,6 d 30cm para V 0 67 V

s 0,3 d 20cm para V 0 67 V

12 ( barra comprimida

≤ ≤

≤ ≤ > φ φ =

b) Diâmetro de estribos

5 mm ≤ φt ≤ (vergalhões)

φt mín ≥ 4,2 mm (telas soldadas)

wb10

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Seções próximas do apoio (17.4.1.2.1)

Para o caso de apoio direto (pilar) pode ser reduzida a cortante máxima para efeito do cálculo da armadura de cisalhamento devido ao efeito de arco.

Esta redução não se aplica para verificar Vd ≤ Vu

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Deslocamento do diagrama de flexão (17.4.2.c)

Para garantir a hipótese da Analogia de Treliça de banzo tracionado com força constante no trecho entre cada 2 montantes (estribos), o diagrama de M deve ser deslocado por um comprimento de decalagem a

ldado por:

al= 0,75 d (para o caso mais usual com estribos verticais)

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Apoio indireto

No caso de apoio indireto (viga apoiada sobre outra viga), a aplicação da reação da viga suportada sobre a viga de apoio érealizada pela face inferior da viga apoiada.

Nesta situação, deve ser adicionada uma armadura no trecho de comprimento h com a finalidade de transferir as tensões da face inferior da viga de apoio para o seu topo (armadura de suspensão).

h/2h/2

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Apoio indireto

RR

Idealização de apoio entre vigas

discretizadas como treliças

Ação e reação em apoio indireto

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Efeito da posição da carga aplicada

Carregamento aplicado na face inferior da viga ocasiona acréscimo de esforços nos estribos verticais. É necessário “levantar” ou “suspender” a carga inferior para obter os mesmos efeitos.

Mesma ação aplicada em faces diferentes da treliçaface superior face inferior

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Geometria

contando a a partir do topo da viga de apoio e fazendo a = hquando o fundo da viga apoiada é mais baixo do que o fundo da

viga de apoio

dsusp

ywd

R aA

f h=

2s

d2

ywd

A cm

R kN

f 43,5 kN/ cm

→ =

V2 (viga apoiada)

V2 (viga apoiada)

V1 (viga de apoio)

V1 (viga de apoio)h/2 h/2

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Armadura de suspensão

A armadura Asusp deve ser colocada na interseção da viga apoiada com a viga de apoio, podendo utilizar também estribos para esta finalidade, desde que colocados próximos da interseção das vigas.

Distribuindo Asusp no comprimento igual à altura h da viga de apoio, resulta a armadura por metro de viga como:

tomando, como usualmente, n = 2, fica:

susp suspa A

n n h=

susp suspa A

n 2 h=

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Situação especial

Quando a viga apoiada possuir altura superior à da viga de apoio, deve também ser previsto um tirante na ligação entre as duas vigas com área total igual a Asusp.

tirante Asusp

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Ler a respeito destes assuntos

GIONGO, J.S.; TOTTI JR., F. (1994) – Concreto armado. Resistência de elementos fletidos submetidos à força cortante. São Carlos, EESC-USP.

VASCONCELOS, A.C. (org.) (2002) – Prática recomendada IBRACON para estruturas de edifícios de nível 1 – Estruturas de pequeno porte. São Paulo, IBRACON.

SÜSSEKIND, J.C. (1983) – Curso de concreto. Rio de Janeiro, Globo. Vols. 1 e 2