89Capítulo 7

GRAVITAÇÃO

E MOVIMENTO DOS ASTROS

1. Introdução

A observação do céu, a movimentação dos astros e a dura-ção dos dias desde há muito tem sido uma preocupação dahumanidade por motivos bastante práticos, como as épocasde plantio e colheita entre outras.

Os astrônomos da Anti-güidade perceberam que asestrelas mantinham-se fixasno céu enquanto sete astrosmovimentavam-se. Existemvários modelos que tratamdo movimento dos astros.Dois deles julgavam que oscorpos celestes giravam emtorno da Terra em órbitascirculares: o de Ptolomeu(século II d.C.) e o dos gre-gos (Aristóteles – século IVa.C.). Sistema geocêntrico

(Aristóteles e Ptolomeu)

90Capítulo 7

Mas esse modelo era insuficiente para descrever de manei-ra satisfatória o movimento dos planetas, uma vez que verifi-cou-se que a velocidade dos mesmos não era constante.

Então, por volta de 1500 d.C., Nicolau Copérnico (1473-1543) idealizou o modelo heliocêntrico explicando de manei-ra satisfatória os fenômenos celestes.

Anos após a morte de Copérnico, Tycho Brahe observou porcerca de 20 anos o movimento dos astros. Os dados obtidos des-sas observações foram tabelados e formaram a base para o traba-lho de Johannes Kepler (século XVII) que era seu discípulo.

Leia sobre a Exploração Espacial no Encarte Colorido.

2. Lei da Gravitação Universal

Isaac Newton demonstrou que as três leis de Kepler (quese baseavam em observações) poderiam ser deduzidas a par-tir de sua lei de gravitação:

F � G

m m

d�

�1 22

* Johannes Kepler (1571-1630)Astrônomo alemão que analisou e pesquisou por 17 anos os dados observacionais de TychoBrahe, e formulou a partir deles três leis do movimento dos planetas, dando origem à mecâ-nica celeste.

91Capítulo 7

em que d é a distância entre as partículas e G é a constante dagravitação universal que vale para o SI:

G � 6,67 � 10�11

N mkg� 2

2

Isaac Newton concluiu que as forças gravitacionais eram res-ponsáveis por manter os planetas em órbitas em torno do Sol.

3. Leis de Kepler

3.1. Primeira Lei de Kepler

Em seu movimento em torno do Sol,os planetas descrevem órbitas elípticas,sendo um dos focos ocupado pelo Sol.

De acordo com esta lei, a distância entre os planetas até oSol é variável. O ponto da trajetória mais próximo do Sol cha-ma-se periélio; o ponto mais distante, afélio.

planeta

SolF1

afélio periélioF1

3.2. Segunda Lei de Kepler

A reta que une os centros deum planeta e o Sol percorre

áreas iguais em tempos iguais.

92Capítulo 7

P1 (t1)P2 (t2)

periélio

Sol

afélio

A

A velocidade de translação de um planeta ao redor do Solnão é constante, sendo máxima próxima ao periélio e mínimapróxima ao afélio.

3.3. Terceira Lei de Kepler

O quadrado do período de revolução dequalquer planeta é proporcional ao cubo da

distância média desse planeta ao Sol.

O que pode ser traduzido na fórmula

TR

2

3� k

onde T é o período do planeta, R é a distância média do pla-neta ao Sol e k é uma constante válida para todos os planetasque giram em torno do Sol.

No estudo elementar de gravitação, as órbitas são conside-radas circulares.

Na figura acima, vemos que um planeta desloca-se da posiçãoP1 até P2 em um intervalo de tempo �t � t2 � t1. Considere A a áreapercorrida nesse intervalo de tempo. Essa lei é dada pela fórmula:

A � K � �t

A constante K (depende do planeta) é denominada veloci-dade areolar do planeta.

93Capítulo 7

Exemplos

a) Determine o período, em anos terrestres, de um planeta hipotético quegravita em torno do Sol a uma distância 5 vezes maior que a da Terra.

Solução

Terra → R1, T1

planeta → R2, 5R1

T

R

T

SR12

13

22

13

�( ) ⇒ T2 � 11,2T1

Ou seja, 11,2 anos terrestres.

b) Um corpo de massa 8.000 kg está a 3.000 km da superfície da Ter-ra. Determine a força de atração entre ambos, considerando a mas-sa 6,0 � 1029 kg e o raio da Terra 6,4 � 106 m.

As leis de Kepler valem, de modo geral, para quaisquercorpos que gravitem em torno de outro de massa bem maior,como satélites artificiais que se movimentam em torno da Ter-ra, por exemplo.

Planeta Distância Período de Período de Diâmetro Massa emmédia do rotação em translação em (quilomêtro) relação àplaneta torno do torno do Sol ou da Terraao Sol próprio eixo duração do

(unidades ano (unidadesterrestres) terrestres)

Mercúrio 58.000.000 59,0 dias 88,0 dias 4.800 0,05Vênus 108.000.000 249,0 dias 224,7 dias 12.200 0,81Terra 150.000.000 23,9 horas 365,3 dias 12.700 1,00Marte 230.000.000 24,6 horas 687,0 dias 6.700 0,11Júpiter 780.000.000 19,8 horas 11,9 anos 143.000 317,80Saturno 1.440.000.000 10,2 horas 29,5 anos 120.000 95,20Urano 2.900.000.000 10,8 horas 84,0 anos 48.000 14,50Netuno 4.500.000.000 15 horas 164,8 anos 45.000 17,20Plutão 6.000.000.000 6,4 dias 248,4 anos 3.500 0,08

Considerações sobre o sistema solarApresentamos a seguir, uma tabela de dados sobre o

sistema solar:

94Capítulo 7

Terra (MT)

Lua (ML)

d

x

FT→

FL→

nave (m)

FT � FL

G

M m

xG

M m

d x

M

x

M

d xT L T L �

�� �

�

��

�2 2 2 2( ) ( )⇒

Como MT � 81 ML, temos:

81 81 1 9

102 2 2 2

M

x

M

d x x d xx dL L�

��

��

( ) ( )⇒ ⇒

1. (UFPI) Suponha que tenha sido descoberto um novo planeta no siste-

ma solar com raio orbital 5 � 1011 m. Sendo K � 3,2 � 10�19 sm

2

3 o

valor da constante de Kepler, pode-se afirmar que o período de revo-lução do novo planeta é:a) 2 � 108 s c) 1,75 � 109 s e) 4 � 109 sb) 2,6 � 108 s d) 2,8 � 109 s

Solução

F � G �

m m

d1 2

2

�

F � 6,7 � 10�11 �

6 10 8 10

3 10 6 4 10

29 3

3 6 2

� � �

� � �( , )⇒ F � 7,8 � 104 N

c) Uma espaçonave trafega numa trajetória retilínea que une os cen-tros da Terra e da Lua. Calcule a que distância do centro da Terraestará a nave quando a força exercida pela Terra sobre ela for amesma que a da Lua. Dê a resposta em função da distância d, queé a distância entre os centros da Terra e da Lua.Dados: massa da Terra 81 vezes maior que a da Lua.

Solução

95Capítulo 7

Sol

QP

Com relação aos módulos das velocidades desse cometa nos pon-tos P e Q, vp e vq, e aos módulos das acelerações nesses mesmospontos, ap e aq, pode-se afirmar que:

a) vp vq e ap aq d) vp � vq e ap aq

b) vp vq e ap � aq e) vp � vq e ap � aq

c) vp � vq e ap � aq

4. (UFSE) Considere a massa de um corpo T � 900 vezes a de outroR. A distância entre os dois centros de massa destes corpos é d.Num ponto P, na reta definida por estes centros, a ação gravita-cional resultante, devido a estes corpos, é nula. As dimensões deT e de R são extremamente menores do que d. A distância entre Pe T vale:

a) 3334

� d c) 3132

� d e) 2930

� d

b) 3233

� d d) 3031

� d

2. (Fuvest-SP) A melhor explicação para o fato de a Lua não cair so-bre a Terra é que:

a) a gravidade terrestre não chega até a Lua.

b) a Lua gira em torno da Terra.

c) a Terra gira em torno de seu eixo.

d) a Lua também é atraída pelo Sol.

e) a gravidade da Lua é menor que a da Terra.

3. (UFMG) A figura abaixo representa a órbita elíptica de um come-ta em torno do Sol.

96Capítulo 7

R

S

5. (UFMG) A figura ao lado mostra doissatélites artificiais, R e S, que estão emórbitas circulares de mesmo raio, emtorno da Terra. A massa do satélite R émaior do que a do satélite S.

Com relação ao módulo das velocida-des, vr e vs, e os períodos de rotação,Tr e Ts, pode-se afirmar que:

a) vr vs e Tr � Ts d) vr � vs e Tr � Ts

b) vr vs e Tr � Ts e) vr � vs e Tr � Ts

c) vr � vs e Tr � Ts

6. Um satélite artificial terrestre, cuja massa é de 250 kg, descreveuma trajetória circular com velocidade constante em módulo. A

aceleração centrípeta sobre o satélite é de 6ms2 . Qual é, em N,

o módulo da força da atração gravitacional da Terra sobre o sa-télite?

a) zero c) 1.500 e) 15.000

b) 0,024 d) 3.000

7. (Uneb-BA) Considere um planeta com massa igual ao dobro damassa da Terra e raio três vezes menor que o raio da Terra. Se aaceleração da gravidade na superfície da Terra é g, na superfíciedo planeta em questão, a aceleração da gravidade é:

a) 9g b) 18g c) 1,5g d) 6g e) 0,6g

8.(UFMG) A velocidade de um satélite artificial, numa órbita circular

de raio 1,0 � 107 m, é de 6,3 � 103 ms

. A aceleração da gravidade,

em qualquer ponto dessa órbita, é igual a:

a) zero c) 0,25 ms2 e) 6,3

ms2

b) 0,16 ms2 d) 4,0

ms2