10 ivros 10 regiões 10 jogos

7/25/2019 10 ivros 10 regies 10 jogos

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Do misterioso Egipto Antigo herdmos obras de

arte maravilhosas nomeadamente de escultura e

pintura. O sistema de escrita hierogliica esconde

na esttica dos simbolos muitas estrias deencantar e uma matemtica muito especial.

Da antiguidade egipcia cheganos tambm um jogo

mgico, utilizado para regatear com os deuses a

fortuna no Alm...


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FICHA EDITORIAL

TtuloEgipto - Senet

AutorCarlos Pereira dos Santos, Joo Pedro Neto, Jorge Nuno Silva

RevisoEdimpresa

Impresso e acabamentoNorprint

Data de impressoJunho 2008

Depsito Legal278363/08

10 Livros, 10 Regies, 10 Jogospara aprender e divertir-se

Grcia Petteia 10/07/08

China Xiang-Qi 17/07/08Babilnia Ur 24/07/08Egipto Senet 31/07/08ndia Shaturanga 07/08/08Japo Shogi 14/08/08frica Bao 21/08/08Indonsia Surakarta 28/08/08Amrica pr-colombiana Awithlaknannai 04/09/08Europa Hex 11/09/08


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Acivilizao egpcia desenvolveu-se ao longo de uns quatromil anos e deixou-nos marcas maravilhosas. As mais co-nhecidas so, claro, as pirmides de Gis e a Esfinge..

A Matemtica

Egpcia

O Egipto

AYBIL

JORDAN


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O Papiro de Rhind, que se encontra no Museu Britnico,era um texto pedaggico de nvel avanado. Os egpcios destetempo j sabiam que ensinar no tarefa fcil. No admira queo hierglifo usado para a palavra professorapresentasse umapessoa em atitude ameaadora:

@Apesar disso, eles preocupavam-se em tornar a aprendi-zagem da matemtica mais agradvel, usando problemas diver-sificados. Alguns deles no tm qualquer aplicao prtica, des-tinando-se somente a ensinar de forma divertida. Um exemplo:Pensa num nmero, soma-lhe dois teros, retira um tero doque obtiveste e diz a resposta. O escriba supe que a respostaque lhe disseram foi 10 e conclui que o nmero original era 9.

Para ns, hoje, este truquepode no impressionar muito,mas passa por compreender que, se o nmero pensado for desig-nado por N, o processo p roposto equivale a calcular:

2 1 2 10N + N - (N + N) = N

3 3 3 9

Vamos abordar um pouco a herana matemtica destesilustres antepassados. A nossa fonte principal um papiro, con-tendo problemas de matemtica, escrito por volta de 1650 a.C.Este documento, cujo autor foi Ahmes, ficou conhecido pelonome do historiador escocs que o comprou no sculo XIX,

Alexander Henry Rhind.

Pormenor do Papiro de Rhind


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Os egpcios tinham smbolos especiais para os nmeros1, 10, 100, 1000, 10000 e outras potncias de dez, como ilustradona tabela:

1

|10

100

1000

10000

com estes smbolos utilizavam um sistema de numerao de basedecimal no posicional, isto , agrupavam unidades, dezenas,centenas, etc. de forma semelhante ao que ns fazemos. Porexemplo, para escrever 1234, eles juntariam quatro smbolos deunidades, trs de dezenas, dois de centenas e um de milhar:

||||

Mas a ordem poderia ser outra. O mesmo nmero poderiaser representado por:

||||

por isso que dizemos que o sistema em questo no eraposicional.

As contas eram feitas com estes smbolos. Um exemplo:213+41. Comeamos por escrever os nmeros na simbologia dapoca:

||| |e agora juntamos smbolos semelhantes:

||||

que representa 254.s vezes, necessrio reagrupar, um processo semelhante

ao nosso e vai um. Se quisermos somar 92 com 44, temos:

|| ||||


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Juntando os smbolos, de acordo com a categoria de cadaum, obtemos

||||||

Como h mais de nove smbolos iguais p assamos casa de-cimal seguinte. Este nmero escreve-se correctamente assim:

||||||Nas subtraces passa-se um fenmeno semelhante. Para

efectuar 32-13 temos de escrever 32 com doze unidades, porquede 2 no se pode retirar 3:

|||||||||||| |||

o resultado portanto|||||||||, isto , 19.

Como estamos mais habituados aos nossos numerais, va-mos descrever as seguintes tcnicas do Egipto antigo usando anossa notao.

A multiplicao era efectuada de tal forma que bastavasaber duplicar nmeros para efectuar qualquer multiplicao.Isto , toda a tabuada necessria era do 2!

Vamos exemplificar. Calculemos 914. Vamos organizar onosso algoritmo em duas colunas, uma encabeada por 1 a outrapor 14:

1 14

Agora dupliquemos ambos os elementos desta linha:1 14

2 28

E assim sucessivamente:

1 14

2 28

4 56

8 102

Terminamos aqui porque o dobro de 8 j maior que 9.Na coluna da esquerda marcamos com um * os nmeros que,quando somados, do 9:

*1 14

2 28

4 56

*8 112


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12 13

E somamos os nmeros da coluna da direita corresponden-tes: 14+112=126, que nos d o valor correcto de 9x14.

Este processo, ainda hoje em uso em algumas regies asi-ticas, baseia-se no facto de qualquer nmero natural se poderescrever como soma de potncias de 2. Na multiplicao acima,o processo foi equivalente a escrever:

9 14 = (1 + 8) 14 = 14 + 8 14 = 14 + 2 2 2 14 = 14 + 112 = 126

Curiosamente, se considerarmos a multiplicao 14x9, quetem o mesmo valor, o aspecto do algoritmo muda um pouco:

1 9

*2 18

*4 36

*8 72

14 9 = (2 + 4 + 8) 9 = 2 9 + 4 9 + 8 9 = 18 + 36 + 72 = 126

A diviso no tinha um algoritmo prprio. O da multi-plicao serve tambm para a diviso (genial!). Calculemos15612. Para isso, vamos proceder como se estivssemos a cal-cular o produto de qualquer coisa ainda desconhecida por 12 qued resultado 156. O algoritmo ter o seguinte aspecto:

1 12*

2 24

4 48*

8 96*

Assinalmos com um * os nmeros que somam 156 na co-luna da direita (12 + 48 + 96 = 156). Se somarmos os nmeroscorrespondentes da coluna da esquerda obtemos o resultadopretendido: 1 + 4 + 8 = 13 (12 13 = 156).

Estes processos so muito mais simples que os nossos, no-meadamente quando se opera com nmeros pequenos, e aindausados por alguns povos do Oriente.

Quando todos os nmeros envolvidos so inteiros, estesmtodos de clculo tm um desempenho fantstico. As coisasficam um pouco mais complicadas quando surgem as fraces.

Os egpcios utilizavam, salvo uma excepo, somente frac-es do tipo 1/n, com numerador 1, como 1/2, 1/5, 1/37 (a excep-o era o 2/3). Representavam uma tal fraco colocando sobreos smbolos utilizados na expresso de num hierglifo que era aimagem de uma boca semiaberta, assim 1/17 escrevia-se:

|||||||


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14 15

Modernamente, costume representar-se estes nmeroscom uma barra em cima de n, por exemplo 1/17 escreve-se:

17

Ningum sabe ao certo a razo que levou os egpcios a us arsomente este tipo de fraces, mas esta prtica perdurou nabacia mediterrnica por dois milnios.

Talvez fossem alguns problemas de ordem prtica a motivareste sistema. O terceiro problema do Papiro de Rhindpede paradividir 6 pes por 10 homens. A resposta dos nossos dias a estaquesto seria 3/5, aps s implificar a fraco 6/10. Mas o escribad a resposta 1/2 1/10 (isto , 1/2+1/10). Em termos prticos,esta soluo melhor: basta partir cada um de cinco pes ao meioe outro em dez partes iguais e distribuir pelos dez homens.

O escriba confirma, multiplicando 1/2 1/10 por 10 (noteque todas as fraces que ocorrem esto no formato permitido):

1 1/2 1/10

*2 1 1/5

4 2 1/3 1/15

*8 4 2/3 1/10 1/30

10 6

Muitas vezes, ao lidar com fraces, Ahmes recorre a me-tades em vez de dobros. Por exemplo, para calcular 2/7, o escribaescreve:

1 7

1/2 3 1/2

1/4 1 1/2 1/4

Para obter 2 na coluna da direita necessrio somar 1/4 aonmero 1 1/2 1/4. Para obter 1/4 como resultado da multipli-cao de algo por 7, o escriba recorre ao facto conhecido 7 4=28para concluir que 7 1/28=1/4, o que lhe permite concluir:

1 7

1 /2 3 1 /2

1/4 1 1/2 1/4*

1/28 1/4*

1/4 1/28 2

Portanto 2/7=1/4 1/28.

As fraces com denominador par so fceis de duplicar,basta passar o denominador sua metade, por exemplo, o dobrode 1/10 1/5. Mas quando o denominador mpar, as coisas no


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assim to simples. O Papiro de Rhindcontm uma lista de frac-es do tipo 2/n, com nmpar de 5 a 101, expressas como somade fraces unitrias diferentes. Alguns exemplos:

2 1 1= + 5 3 15

2 1 1= + 77 44 308

2 1 1 1= + + 97 56 679 776

Os egpcios antigos no necessitavam de tabuada, mas nodispensavam algumas tabelas...

Essa lista do Papiro de Rhindtem sido estudada, tendo-sechegado concluso que Ahmes seguiu alguns critrios na de-terminao da expresso correspondente a cada 2/nem soma defraces unitrias distintas. Ele no queria obter uma expressocom muitas fraces, nem com denominadores muito grandes.Os egpcios preservavam muito a harmonia e o equilbrio

Por exemplo, aps ter obtido:

2 1 1= + 5 3 15

Utilizou este desenvolvimento em vrios outros casos emque o denominador mltiplo de 5, nomeadamente no desen-volvimento de 2/45:

2 2 1 1 1 1 1 1 1= = ( + ) = + = + 45 59 9 3 15 39 15 9 27 135

Uma maneira para obter uma fraco como soma de frac-es unitrias, ainda utilizada por Fibonacci no sculo XIII, con-siste em ir retirando a maior fraco unitria possvel da fracodada. Exemplifiquemos com 3/5.

O primeiro passo consiste em determinar qual a fracounitria maior que no excede 3/5. Ora 3/5 maior do que 1/2,o que nos leva a calcular:

3 1 1- = 5 2 10

Portanto:3 1 1

= + 5 2 10

Nem sempre o processo to eficiente, podem ser neces-srios mais passos. Vejamos o exemplo 4/5.

Tem-se:4 1 3

- = 5 2 10


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Vamos ento tratar de 3/10 da mesma forma:

3 1 1- = 10 4 20

Assim: 4 1 3 1 1 1

= + = + + 5 2 10 2 4 20

S no final do sculo XIX, o matemtico ingls J.J. Sylvesterprovou que este mtodo funciona sempre!

A ltima entrada na lista de Ahmes :

2 1 1 1 1= + = + 101 101 202 303 606

H uma razo muito forte para Ahmes no necessitar demais resultados tabelados. que esta expresso corresponde aum caso geral. Se em vez de 101 tivessemos um nmero genricoN, reduzindo ao mesmo denominador e somando, obtemos:

1 1 1 1 6 3 2 1 12 2+ + + = + + + = = N 2N 3N 6N 6N 6N 6N 6N 6N N

A razo que est por trs deste processo o facto deo nmero 6 ser igual soma dos seus divisores prprios(6 = 1+2+3), os nmeros com esta propriedade dizem-seper-

feitos , e, como se v, tm aplicao antiga. Na antiguidade

conheciam-se mais alguns nmeros perfeitos (o seguinte o 28).

Todos os nmeros perfeitos que se conhecem hoje so pa-res, isto , so divisveis por 2. No se sabe se h, ou no, algumnmero perfeito mpar!

O Papiro de Rhindtambm contm problemas de geome-tria. Alguns esto relacionados com o clculo da rea de crculos.


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Usando uma aproximao por um octgono, os egpcioschegaram concluso que a rea de um crculo de dimetro d aproximadamente a mesma que a de um quadrado de lado8d/9, o que um resultado fantstico, j que corresponde a umaaproximao de de 256/81 = 3,1604... Recorde-se que o valordesta constante comea com os dgitos 3,14159

A ideia parece ter surgido pela anlise de uma figura comoa seguinte. Divida-se o dimetro de um crculo em nove partesiguais e construa-se um papel quadriculado.

Justiicao para a frmula da rea do crculo

O octgono, que aproxima o crculo, ocupa 63 quadradi-nhos. Como 63 quase 64 e 64=82 a rea do octgono quase area de um quadrado de lado 8.

O problema 79 do Papiro de Rhindcontm uma multipli-cao (7x2801) e a tabela seguinte:

Casas 7

Gatos 49

Ratos 343

Espigas 2401

Medidas 16807

Total 19607

Os nmeros que ocorrem nesta soma so as potncias de 7:7+72+73+74+75

Este problema parece corresponder a um enunciado dotipo: H sete casas, cada casa tem sete gatos, cada gato caasete ratos, etc. Pedindo-se o nmero total de objectos.


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A multiplicao, usando o sistema egpcio, do mesmo pa-piro:

1 2801

2 5602

4 11204

Total 19607

Os totais so iguais. Na nossa notao actual este factoescreve-se

75- 17+72+73+74+75 = 7 = 7 x 2801 7 - 1

surpreendente como, com mtodos to primitivos, oescriba sabia calcular esta soma de duas formas diferentes.

Este problema aparece, em contexto diferente, numa obrado sculo XIII, de Fibonacci.

Uma cantilena popular inglesa tem contedo semelhante:

As I was going to St IvesI met a man with seven wivesAnd every wife had seven sacksAnd every sack had seven catsAnd every cat had seven kitsKits, cats, sacks, wivesHow many were going to St Ives?

Uma possvel verso em portugus ser

A caminho de St. Ives,Encontrei um homem com sete esposas.Cada esposa tinha sete sacos,Cada saco tinha sete gatos,Cada gato tinha sete gatinhos,Gatinhos, gatos, sacos e esposas,Quantos iam a caminho de St. Ives?


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Claro que os egpcios sabiam muito sobre pirmides. Umoutro papiro, que se encontra em Moscovo, ilustra o clculo dovolume de um tronco de pirmide:

Pormenor do Papiro de Moscovo(sculo XVIII a.C.)

Na realidade, os clculos referem-se a um tronco de pir-mide quadrangular, de bases 4 e 8 e altura 6. No diagrama abaixoas bases so b=4, t=8 e altura h=6. Os clculos correspondem aplicao da frmula em baixo (bases be t, altura h).


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Senet

.

Pormenor de um papiro satrico (1100 a.C.) com um

leo e um antlope a jogar Senet

Os egpcios tinham um conceito s vezes traduzido poralma: o ba. Contudo, a traduo no feliz, j que o ba um dosprincpios espirituais ligados ao homem, que constituem a suatotalidade harmoniosa. Os deuses tambm tinham ba, que erausualmente representado por um jabiru de cabea humana.

Representao doba


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A palavra Senetsignificapassagem, e este jogo simboliza aviagem para o mundo dos mortos.

Assim, encontram-se representaes de pessoas a jogar aoSenetcontra um adversrio ausente nos monumentos fnebres.A ausncia de adversrio humano indicia a presena de Osris,deus do Alm.

O marido joga aoSenetcontra os deuses,

enquanto osbau(plural deba) do casal

esto j no mundo dos mortos (sc. XIV a.C.)

A antiguidade deste jogo, que o antepassado egpcio doGamo, tambm atestada pela existncia de um hierglifo,com o som mn(trata-se de um biltero, isto , um smbolo querepresenta duas consoantes), representado por um tabuleiro deSenet. H registos deste hierglifo datados de 3000 anos a.C.

Exemplos de utilizao do hierglifomn


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30 31

O hierglifomn bem visvel nesta cartela

com o nome do fara Tutankhamon

Os tabuleiros de Senetmais antigos que chegaram at nstm talvez 5000 anos. A respectiva preservao nos monumen-tos fnebres foi impressionante.

Tabuleiro e peas deSenet(sc. XIV a.C.) apresenta o nome

do fara Amen-hotep III gravado

Este jogo foi muito popular durante vrios milhares deanos, como os registos murais atestam, e h ainda algumas suasverses em prtica hoje.


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Sobreviveram tabuleiros modestos e outros muito luxu-osos.

Tabuleiro deSenetdo sc. XIII a.C.

Tabuleiro duplo (Senete Ur) encontrado no tmulo

do fara Tutankhamon, que morreu em 1352 a.C.

Num fresco do sc. XII a.C. vemos a panormica superior do tabuleiro de

Senetcomo se estivesse de lado, na boa tradio representacional egpcia


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A rainha Nefertari jogaSenetcom Osris (sc. XIII a.C.)

Trata-se de um jogo de corrida entre dois jogadores ao lon-go de um percurso de 30 casas. O tabuleiro rectangular cons-titudo por trs filas de dez casas cada, e os jogadores posiciona-vam-se frente a frente, perto dos lados maiores do tabuleiro.

Na sua verso mais antiga, cada jogador dispunha de sete pe-

as, contudo o jogo evoluiu para cinco peas para cada jogador.

Esquema de tabuleiro deSenet

O facto de este jogo utilizar um tabuleiro com trinta casastem sido associado ao facto de os egpcios terem um calendrio

organizado em doze meses de trinta dias. Alm disso, a soma:

1 + 2 + 3 + + 30 = 360

Resultava no nmero total de dias do ano egpcio.


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O percurso que os jogadores devem cumprir est indicadopela numerao. Tem a forma de um Sinvertido e est ilustradoabaixo.

O percurso

As casas 15, 26, 27, 28 e 29 encontram-se consistentementemarcadas com os mesmos smbolos na grande maioria dos tabu-leiros sobreviventes. Contudo, alguns deles mostram smbolosem todas as casas.

Se bem que as regras precisas do Senetsejam desconhe-

cidas, no parece haver dvida de que se trata de um jogo decorrida entre dois adversrios e que o vencedor o primeiro aretirar todas as suas peas do tabuleiro.

As casas marcadas tm um significado especial, sendo amarcada com o smbolo da gua (a casa 27) invariavelmentenefasta. As duas casas seguintes, uma com trs pssaros, outracom dois homens, parecem indicar ao jogador que as ocuparos nmeros que devem ser obtidos nos dados para retirar as

respectivas peas do tabuleiro. A ltima casa usualmente noest marcada.

A casa 26 possui um outro hierglifo, o nfr(smbolo tri-ltero) cujo significado belo, sendo uma casa benfazeja paraquem a ocupar.

Exemplos de utilizao do hierglifonfrEm baixo pode ver-se, numa cartela, o nome de Nefertiti


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Nefertiti (sc. XIV a.C.),

a clebre mulher de Amen-hotep IV

As peas tinham diversas formas, podiam representar ani-mais ou ser abstractas.

Peas deSenetem forma de cabea de leo

Peas deSenetem forma de cabea de chacal


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Jogo deSenetcom peas abstractas

Os dados utilizados neste jogo eram astrgalos (ossos dotarso de alguns animais) ou estiletes de duas faces (uma curva,outra plana). A imagem satrica com que abrimos este textomostra um leo pronto para l anar um astrgalo.

Imagem de um tmulo. O jogador vai lanar um astrgalo


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A rplica que acompanha este texto utiliza estiletes de duasfaces, por razes histricas. Um dado cbico normal pode seradaptado a este jogo.

Tabuleiro deSenetcom estiletes e dado cbico

As regras que apresentaremos renem consenso geral entreos especialistas, salvo em alguns pormenores.

Como referimos, o objectivo do jogo retirar todas as peasdo tabuleiro.

O jogo inicia-se com as dez peas (cinco de cada jogador) nascasas numeradas de 1 a 10. Um jogador coloca as suas peas nascasas de numerao par, o outro coloca as suas nas mpares.

A posio inicial

Cada jogada consiste em lanar os quatro estiletes e movi-mentar uma pea de acordo com o resultado obtido no lana-mento. S se pode mover uma pea, excepto se sobrarem pontosao retirar peas do tabuleiro (ver mais frente).

A pontuao dos estiletes a seguinte:

Uma face plana para cima 1

Duas faces planas para cima 2

Trs faces planas para cima 3

Quatro faces planas para cima 4

Nenhuma face plana para cima 6


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(Pode usar-se um dado vulgar e acordar que quem tirar 5 lanade novo.)

1.Os jogadores lanam alternadamente os estiletes atque um deles obtenha 1. Esse jogador fica com as peas posi-cionadas nas casas de numerao par e move a pea da casa10 para a casa 11. O mesmo jogador lana os estiletes e joga

de novo.Se o lanamento for de 1, 4 ou 6, o jogador move uma das

suas peas o correspondente nmero de casas e lana de novoos estiletes.

Se o lanamento for de 2 ou 3, o jogador move uma dassuas peas o correspondente nmero de casas e passa a vezao adversrio.

O segundo jogador lana os quatro estiletes e comea pormover a pea posicionada na casa 9. Depois disso qualquer

pea pode ser movimentada.2.O jogo continua com o primeiro jogador. Sempre que

se tirar 1, 4 ou 6 a vez mantm-se, quando sair 2 ou 3, a vezmuda.

3.Quando uma pea cai numa casa ocupada por uma

pea adversria, esta diz-seatacadae trocam de posio, indoa pea atacada para a acasa de provenincia da pea atacan-te.

4.Cada casa s pode conter uma pea.5.Duas peas do mesmo jogador em casas consecutivas,

protegem-se mutuamente, no podendo ser ataca das, o ad-versrio no pode ocupar nenhuma delas.

6.Trs peas do mesmo jogador em casas consecutivas

formam um bloc o que, para alm de no poder ser atacado,no permite que nenhuma pea adversria ultrapasse o grupo.Peas do jogador detentor do bloco podem passar.

7.Se a pontuao indicada pelos dados no puder serutilizada para mover nenhuma pea para a frente, ter de serutilizada para mover alguma pea para trs. Se, neste caso,

uma pea calhar numa casa ocupada pelo adversrio, as res-pectivas peas trocam de posio.

8. Se um jogador no tiver nenhum lance legal, a vezpassa para o adversrio.

9.Se uma pea calhar sobre a casa 27 vai imediatamentepara a casa 15. Se esta casa estiver ocupada, ento a pea quecalhou na casa 27 deve ser retirada do tabuleiro, devendo re-entrar a partir do incio do percurso. Isto , a pea reentra nacasa indicada pelos nmeros dos dados.

10.As casas 26, 28 e 29 so seguras, no podendo ser ata-cadas.

11.Para comear a retirar peas no fim do percurso necessrio que o jogador no tenha nenhuma das suas peasnas casas numeradas de 1 a 10 (primeira fila). No necessrio

obter a pontuao exacta para retirar uma pea, se sobrarempontos podem ser usados para mover qualquer outra pea domesmo jogador. Se um jogador comear a retirar peas e seuma sua pea for obrigada a recomear do incio, necessrioque abandone a primeira fila para recomear o processo deretirar peas.


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Uma variantedo Senet

Uma variante, que utiliza as sete peas originais para cadajogador, que iniciam o jogo colocadas alternadamente nas casas1 a 14, estabelece as seguintes diferenas relativamente s regrasanteriores:

a) Os dados, quando mostrarem quatro faces curvas paracima, correspondem a 5 (em lugar de 6).

b) O comeo do jogo era como descrito na regra 2 anterior,no havendo caracter especial no primeiro lance.

c) A casa 26 (casa da Felicidade) era paragem obrigatriapara todas as peas. Nenhuma podia passar sobre ela sem aparar.

d) Uma pea na casa 28 (casa das Trs Verdades) s podiasair do tabuleiro se os dados marcassem 3.

e) Uma pea na casa 29 (casa de Aton1

) s podia sair dotabuleiro se os dados marcassem 2.f) Uma pea na casa 30 (casa de Osris) s podia sair do

tabuleiro se os dados marcassem 1.

g) Uma pea colocada numa das casas 28, 29 e 30 que noobtivesse a pontuao apropriada para abandonar o tabuleiro etivesse de se movimentar, ia para a casa 27 (casa da gua), ondea passagem para a casa 15 (casa do Renascimento) era autom-tica.

h) Uma pea na casa 26 que tivesse de mover-se e obtivesse

1 nos dados podia lanar de novo.

1Deus-Sol.


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