100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 5

MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Libro 5

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En un sistema cartesiano se tiene, centrada, una circunferencia de radio unidad y un trapecio rectángulo cuyas bases son paralelas al eje horizontal, un lado es tangente a la circunferencia y el otro es un diámetro de la misma.

Si el ángulo que forma este lado con la base mayor es a, ¿cuánto vale el área del trapecio?

SOLUCIÓN

Nombramos los vértices y otros puntos como se ve en la figura, siendo el

segmento DH paralelo a CB

El área del trapecio es CBDCAB

T ×+=Α2

El diámetro, lado del trapecio, es 2=AD según el enunciado.

Entonces, en el triángulo rectángulo AHD , ⇒=AD

DHasen

asenCBCB

asen ×=⇒= 22

En el mismo triángulo, aAHAH

AD

AHa cos2

2cos ×=⇒==

Ahora bien, en el triángulo rectángulo OFD , aOFOF

OD

OFa cos

1cos =⇒== luego ⇒−= OFHB 1

aHB cos1−=⇒

De los dos últimos resultados obtenemos que aaaHBAHAB cos1cos1cos2 +=−+×=+= y que

aHBDC cos1−==

Tenemos ya todos los elementos para calcular el área del trapecio: =×+=Α CBDCAB

T 2

asenasenaa ×=××−++= 22

2

cos1cos1

El área del trapecio es 2 x sen a

Un paralelepípdo está formado por cuatro piezas, cada una de las cuales consta de cuatro cubos y es de un solo color.

¿Qué forma tiene la pieza blanca?

SOLUCIÓN

Los números log(a3b

7), log(a5b

12), log(a8b

15) son los tres primeros términos de una progresión aritmética de la que el número log(bn) es el 12º término.

¿Cuánto vale n?

SOLUCIÓN

Sea d la diferencia de la progresión aritmética. Se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒+=×⇒−=−= 1587312512515873125 logloglog2loglogloglog bababababababad

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒=⇒=⇒+=×⇒2211241015873212515873125 logloglogloglogloglog2 babababababababa

( ) ( ) abbabababa =⇒=⇒=⇒22211241022112410 loglog

En realidad, la progresión tiene de diferencia

( ) ( ) bbb

bbbbabad log9loglogloglogloglog 9

13

22132273125 ×===−=−= , y sus tres primeros términos

( ) ( ) ( ) bbbabbbabbba log31loglog,log22loglog,log13loglog 31158221251373 ×==×==×==

Entonces, para el término º12 : ( ) 112loglog112log911log1311log13log bbbbdbbn =×=××+×=+×=

Es decir,

n = 112

Tres corredores, Ángel, Benito y Colás, participan en una carrera y cuatro espectadores pronostican sobre el resultado final:

1. Ganará Ángel o Benito

2. Si Benito es el segundo, entonces ganará Colás

3. Si Benito es el tercero, entonces Ángel no ganará

4. El segundo será Benito o Colás

Se observa, al finalizar la carrera, que las cuatro predicciones son ciertas y los tres copan las tres primeras posiciones.

¿En qué orden lo hacen?

SOLUCIÓN

Suponemos que gana Ángel, una de las posibilidades de la proposición 1 (= 1P )

De ahí, Benito no puede ser el tercero, por la 3P , luego es el segundo y, para que se cumpla 2P , habrá ganado Colás: ¡contradicción!

De lo anterior se deduce que, verificándose 1P , ha ganado Benito. Por tanto, según 4P , Colás es el segundo y, de ahí, Ángel es el tercero.

Además, está claro que 2P y 3P son ciertas porque Benito no es segundo ni tercero y no se cumplen las premisas iniciales.

En conclusión, el orden de llegada es

1º. Benito; 2º. Colás; 3º. Ángel

Sea la sucesión 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, … tal que, a partir del tercero, cada uno de los términos es la cifra de las unidades de la suma de los dos términos anteriores.

Si Sn representa la suma de los n primeros términos de la sucesión, ¿cuál es el menor valor de n para el que Sn > 10000 ?

SOLUCIÓN

Escribimos más términos de la sucesión: ...,7,4,3,1,2,9,3,6,7,9,8,1,7,4 y vemos que la sucesión repite

el valor de sus términos cada 12 de ellos: 41121 == +maa , 72122 == +maa , …

La suma de los doce términos de cada grupo es 60312936798174 =+++++++++++

Como 401666010000 +×= , los primeros 166 grupos de 12 términos, es decir, los 199212166 =×

primeros términos de la sucesión suman 9960166601992 =×=S

Puede observarse que, en el siguiente grupo 36798174 =+++++ : 9996369960199861992 =+==+ SS y

426798174 =++++++ : 1000010002429960199971992 >=+==+ SS

La conclusión es que

n = 1999

siendo m y k dos números naturales.

Halla el valor de k.

SOLUCIÓN

Como 50322012 2 ×= , siendo 503 primo. Entonces, 2=m

Tenemos que ( )kk −×= 222012 2

La potencia de 2 más próxima a 503 es 92512 = y verifica ( )9222012929512503 929 −×=⇒−=−=

En consecuencia,

k = 9

En el cuadrado adjunto cada fila, cada columna y cada diagonal forman una progresión aritmética.

¿Qué valor tiene x?

SOLUCIÓN

Tomando la progresión aritmética de la diagonal izquierda-derecha vemos que 162 =a y

273 =a , por lo que la diferencia es 11162723 =−=−= aada y el quinto término es

4911227235 =×+=+= adaa que corresponde la casilla inferior derecha.

Ese es, también, el quinto término de la progresión aritmética de la última columna,

donde 211 =b , xb =4 y 495 =b

En esa progresión, la diferencia es 74

2149

415 =−=−= bb

db , por lo que 4274954 =−=−= bdbb

Es decir,

x = 42

Y por curiosidad, el cuadro completo sería

Una tira rectangular ABCD, de 4 x 16 cm, se dobla a lo largo del segmento MN de manera que el vértice C coincida con el vértice A.

¿Cuánto vale el área del pentágono ABNMD’ ?

SOLUCIÓN

El área del pentágono será la suma de las áreas del triángulo

rectángulo MAD' y del trapecio, también rectángulo, ABNM

4'=AD cm. Hacemos xMDMDxAM −==⇒= 16' cm

De ahí, por el teorema de Pitágoras,

( )2

1727232164'' 222222 =⇒=⇒−+=⇒+= xxxxMDADAM cm

Por otro lado, 4=AB cm y hacemos yNCANyBN −==⇒= 16 cm

Por el teorema de Pitágoras, ( )2

1524032416 222222 =⇒=⇒+=−⇒+= yyyyBNABAN cm

Obtenemos entonces que ( )

152

217

164

216

2''

' =

−×=−×=×= xxMDAD

Área MAD cm2 y que

( ) ( )32

2

42

152

17

24

2=

×

+=×+=×+= yxABBNAM

ÁreaABNM cm2 luego

=+=+= 3215' ABNMMADpentágono ÁreaÁreaÁrea

47 cm2

¿Cuál es la suma de los diez ángulos marcados en la figura adjunta en la que los cinco triángulos están construidos a partir de cinco rectas que se cortan en un mismo punto?

SOLUCIÓN

Si sumamos los diez ángulos, se cumple que dicha suma es

( )edcbaedcba ++++−=−+−+−+−+− º900º180º180º180º180º180, siendo edcba ,,,, los cinco ángulo respectivos de los triángulos

situados en el punto común de las rectas.

Ahora bien, si nos damos cuenta, vemos que

( ) º180º3602 =++++⇒=++++× edcbaedcba , luego la

suma pedida es ( ) =−=++++− º180º900º900 edcba

720o

Se escriben todos los números de tres dígitos y, al lado de cada uno de ellos, el producto de sus cifras.

Posteriormente se suman todos esos productos.

¿Cuál es el resultado?

SOLUCIÓN

Analizamos paso a paso:

• De 100 a 109 el producto de las cifras de cada uno es 0 , por lo que la suma es 0

• De 110 a 119 la suma de los productos de las cifras de cada uno es

459876543210 =+++++++++


( ) 45298765432102181614121086420 ×=+++++++++×=+++++++++


( ) 453987654321032724211815129630 ×=+++++++++×=+++++++++

• …

Notemos que la suma de todos los productos de las cifras de los números xx1 (100 a 199 ) es

( ) 2454545459876543210 =×=×+++++++++

Evidentemente, la suma de todos los productos de las cifras de los números xx2 ( 200 a 299 ) es

( ) 2452454524598765432102 ×=××=×+++++++++× , pues los números solo se diferencian en la

cifra de las centenas, que es el doble.

De la misma manera, la suma de todos los productos de las cifras de los números xx3 (300 a 399 ) es

( ) 2453454534598765432103 ×=××=×+++++++++×

En conclusión, la suma de todos los productos de las cifras de los números de tres cifras es

( ) 322 45454545987654321 =×=×++++++++

453 = 91125

Los lados de un triángulo rectángulo son valores enteros menores de 100.

Si la hipotenusa es una unidad superior al cateto mayor, ¿en cuántos triángulos rectángulos se verifica que el cateto mayor y la hipotenusa son números consecutivos?

SOLUCIÓN

Sean los lados m , n y 1+n , siendo nm ≤

En estas condiciones, por el Teorema de Pitágoras debe verificarse que ( ) ⇒+=+ 2221 mnn

2

11212

22222 −=⇒−=⇒+=++⇒

mnmnmnnn

Como los tres lados deben ser valores enteros menores de 100 y positivos, m debe ser un valor impar. Las

posibilidades son, entonces:

• 3=m , 4=n , 51 =+n

• 5=m , 12=n , 131 =+n

• 7=m , 24=n , 251 =+n

• 9=m , 40=n , 411 =+n

• 11=m , 60=n , 611 =+n

• 13=m , 84=n , 851 =+n

llamadas ternas pitagóricas.

Hay 6 triángulos rectángulos del tipo descrito

La suma de las cifras de un número de 15 cifras es 14.

¿Qué valor tiene el producto de sus cifras?

SOLUCIÓN

Si la suma de las cifras (14 ) es menor que su número (15 ) se deduce que existe alguna cifra 0 , por lo que el

producto de sus cifras es

0

La ecuación de segundo grado

tiene dos soluciones reales.

Halla la media aritmética de dichas soluciones.

SOLUCIÓN

Las soluciones de la ecuación son a

aba

a

abaax

−±=−±=22

1 , luego la media aritmética de ambas es

12

112

1122

=+=

−−+−+a

aba

a

aba

Se puede calcular también usando la propiedad de que la suma de las raíces es igual al opuesto de la razón

entre el coeficiente de primer grado y el coeficiente de segundo grado.

La media sería, así, 122

2

2

==

−−

a

aa

a

En conclusión, la media aritmética vale

1

Un jardín cuadrado, de 16 metros de lado, contiene plantaciones de rosas: blancas en los dos cuadrados iguales y rojas en el otro cuadrado. Las amarillas rellenan el triángulo.

¿Cuál es la superficie total cubierta por las rosas?

SOLUCIÓN

Según la figura, y llamando d a la diagonal de los cuadrados pequeños y L al lado del cuadrado mayor, se

tiene que

8816

162==⇒

=+=

LydLd

d metros

La superficie blanca es 642

882 =××=bS m

2; la superficie amarilla es la mitad de uno de los cuadrados

blancos: 1622

88

=

×

=aS m2, y la superficie roja es 6488 =×=rS m

2

Entonces, la superficie cubierta por todas las rosas es =++ 641664

144 m2

Rellena el cuadrado mágico adjunto sabiendo que, en un cuadrado mágico, los tres números de cualquier fila, columna o diagonal, suman lo mismo.

SOLUCIÓN

Como filas, columnas y diagonales deben sumar lo mismo, imponemos que sumen a+12 , tomando a como

valor del cuadro central de la primera fila.

De manera lógica, el relleno del cuadro será como indica la imagen de la derecha.

Teniendo en cuenta lo que deben sumar las filas, columnas y diagonales ( a+12 ) vemos

que la casilla primera de la segunda fila debe valer ( ) ( ) aaaa −=−−−−+ 202612 y la

tercera casilla de la segunda columna debe valer ( ) aaaa −=−−−+ 18612 como se

indica en la imagen de la izquierda.

Calculamos ahora la primera casilla de la tercera fila de dos maneras diferentes

• por dicha fila: ( ) 162101812 −=−−−+ aaa

• por la diagonal en la que se encuentra: ( ) 144612 =−−−+ aa

En ambos casos el valor debe ser el mismo por lo que 1530214162 =⇒=⇒=− aaa , lo cual permite

completar todo el cuadro mágico (cuya suma común de números de filas, columnas y diagonales es 27 ):

Se han vendido todas las entradas de la fila 17 de un cine para una sesión y los asientos del cine, en todas las filas, están numerados consecutivamente a partir del 1.

Por error, se vende una entrada duplicada de esa fila. Si la suma de las numeraciones de los asientos en todas las entradas vendidas de dicha fila es 857, ¿cuál es el número del asiento del que se han vendido las dos entradas?

SOLUCIÓN

Si el número de butacas de la fila es n , la suma de todos los números de los asientos es ( )2

1+× nn (suma de

los términos de la progresión aritmética n...,,2,1 ) y, si el número de la entrada duplicada es k , la suma

que se indica es ( )

8572

1 =++×k

nn siendo nk ≤≤1

Ahora bien, ( ) ( ) knnknn

2171418572

1 −=+×⇒=++×.

Como ...4,411714 = , tomamos 37742217141640414040 =⇒=⇒−==×⇒= kkkn , número que

cumple las condiciones del problema.

Tomando valores distintos de n se obtienen valores no admisibles de k .

Por lo tanto, el número del asiento de venta duplicada es

37

En la pirámide invertida de la derecha se colocan en las casillas números enteros mayores que cero de forma que el número de una casilla inferior sea suma de los dos números de las casillas superiores que la tocan.

Si con este criterio rellenamos el resto de casillas, ¿cuál es el mayor número que puede aparecer en la casilla inferior?

SOLUCIÓN

Nombramos las casillas que se indican con las letras que se muestran.

Es evidente que la casilla inferior tendrá el máximo valor posible cuando lo tenga la

casilla z y, por tanto, la casilla x , y ésta coincidirá con el menor valor de la casilla

y tal que 30=+ yx

Como y se obtiene al sumar 6 con un entero positivo, el menor valor de y es 7 ,

por lo que el mayor valor de x es 23 ( 30723 =+=+ yx ).

Por ello, 432320 =+=z es su mayor valor y el mayor posible de la casilla inferior es =+=+ 304330z

73

Se consideran dos operaciones para realizar en una fracción:

• sumar 7 al denominador

• sumar 8 al numerador.

Si se realizan n de esas operaciones (en cualquier orden) tomando 7/8 como fracción inicial, ¿cuál es el menor valor posible de n para que la fracción resultante valga también 7/8 ?

SOLUCIÓN

Supongamos que se ha realizado m veces la primera operación. Entonces se ha realizado mn − veces la

segunda operación, siendo la fracción resultante ( )

m

mn

×+−×+

78

87

Entonces, si ( ) ( ) ⇒×=×−×⇒×+=−×+⇒=×+

−×+mmnmmn

m

mn49646449566456

8

7

78

87

64

11311364

mnmn

×=⇒×=×⇒

Como 64 y 113 son primos entre sí, el menor valor entero positivo de m para que n sea también entero

positivo es 64=m , luego el menor valor pedido será =×=64

64113n

113

Don Retorcido dice que 2010 es un número dobledé porque el número formado por sus dos primeras cifras es el doble del número formado por sus dos últimas cifras. ¿Cuántos números dobledés hay de cuatro cifras?

SOLUCIÓN

Basta considerar que, según el enunciado, las dos primeras cifras deben formar un número par.

Y como hay 45 números pares entre los 90 de dos cifras,

hay 45 números dobledés de cuatro cifras

Veo algunos jerseys que me gustan al precio de 6,99 euros cada uno y quiero comprar tres.

Varias tiendas los tienen en oferta:

TIENDA 1: Compro 3 y pago 2

TIENDA 2: Pago el 30% menos en cada uno

TIENDA 3: Pago 1/3 menos en cada uno

TIENDA 4: Pago 1/3 menos por el segundo jersey y 2/3 menos por el tercero

TIENDA 5: Me rebajan el precio hasta 2,35 euros cada uno

¿Cuál de ellas me hace la oferta más ventajosa?

SOLUCIÓN

Es cuestión de hacer los cálculos pertinentes:

TIENDA 1: Por los tres jerseys pago 98,1399,62 =× euros

TIENDA 2: Por los tres jerseys pago 679,1499,61,299,6100

70399,6%703 =×=××=×× euros

TIENDA 3: Por los tres jerseys pago 98,1399,6299,63

2399,6

3

113 =×=××=×

−× euros

TIENDA 4: Por los tres jerseys pago 98,1399,6299,63

2199,6

3

1199,6 =×=×

−+×

−+ euros

TIENDA 5: Por los tres jerseys pago ( ) 92,1364,4335,299,63 =×=−× euros

De lo anterior,

la tienda 5 hace la oferta más ventajosa

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados aparezcan en la cara superior números consecutivos?

SOLUCIÓN

Los casos posibles son los pares de números, repetidos o no, de 1 a 6 : permutaciones con repetición de 6

números tomados dos a dos: 3662 =

Los casos favorables son diez: 56,65,45,54,34,43,23,32,12,21 −−−−−−−−−−

Por lo tanto, la probabilidad pedida es =36

10

5/18 = 0,2777….

Los círculos de la figura adjunta tienen radios de 3 cm y de 2 cm y el área de la región P es tres veces el área de la región R.

Si el área de la región P es kππππ cm2, ¿cuál es el valor de k ?

SOLUCIÓN

Llamando a las áreas respectivas PA , QA y RA tenemos que ππ3

3k

AkAA RRP =⇒==

De lo anterior, ⇒=+=×+×=+++=++ πππππ 1349232 22QRQPQRP AAAAAAA

6439

23

413

2413

13241323πππππππ k

kA

AAAAAA RQQRQRR

−=−

=−=⇒=+⇒=++⇒

Por otro lado, ( ) ππππππ ×−=−=−=⇒=×=+ kkAAAA PQQP 999932

Igualando las dos expresiones, ( ) ⇒=⇒−=−⇒×−=− πππππππππ1526544399

6439

kkkkk

k = 15/2

Si el radio de una circunferencia de longitud log b4 es log a

2, ¿cuál es el valor de logab ?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, ππππ =×=⇒×××=×⇒××=4

4

log

loglog22log4log2log 24

a

babab

Es decir,

logab = π

Si axx

x =++ 12

, ¿qué valor tiene 124

2

++ xx

x en función de a ?

SOLUCIÓN

Calculamos ( ) ( )12122211 224232422 ++×+++=+++++=++ xxxxxxxxxxxx

Por otra parte, a

xxxa

xx

x =++⇒=++

11

22

; y si hacemos P

xxxP

xx

x 224

24

2

11

=++⇒=++

Entonces, ( ) ( )a

x

P

x

a

x

a

xx

P

x

a

xxxxxxxx

22

2

22222422 2

21211 +=⇒×+=

⇒++×+++=++ , si ⇒≠ 0x

a

aP

a

a

aaPaPa 2121211211 2

222 −=⇒

−=−=⇒+=⇒

Para 0=x se verifica también la condición. La solución es, por lo tanto,

aa

xx

x21

2

124

2

−=

++

Una montaña con forma de cono y altura de 2000 metros tiene su base sobre el suelo del océano. La parte de la montaña que se ve sobre el agua constituye un octavo del volumen de la montaña entera.

¿Cuál es, en metros, la profundidad del océano en ese punto?

SOLUCIÓN

El volumen de la montaña completa es , 20003

1 2 ×××= RVT π , y el

volumen de la parte que sobresale del agua es, según los datos de la

imagen, hrVM ×××= 2

3

1 π

Por semejanza de triángulos tenemos que 20002000

Rhr

h

R

r ×=⇒=

Entonces, según el enunciado, ⇒××××=×

×××⇒×= 200031

81

200031

81 2

2

RhRh

VV TM ππ

10002

2000

8

20002000

8

1

2000

332

2

22

==⇒=⇒××=××⇒ hhRh

Rh metros

Por lo tanto, la profundidad del océano en ese punto es =− h2000

1000 metros

Cuando un barril está vacío en un 30% contiene 30 litros más que cuando está lleno en un 30% .

¿Cuántos litros caben en el barril?

SOLUCIÓN

Si llamamos x a los litros correspondientes a la capacidad total del barril, tendremos que

754,0

30304,0303,07,030%30%70 ==⇒=⇒+=⇒+×=× xxxxxx litros

La capacidad del barril es de

75 litros

¿Cuál es el menor entero positivo x que verifica que 5 es un divisor de x + 7 y 7 un divisor de x + 5?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, 27575

57=−⇒

=+=+

nmnx

mx, siendo nm, enteros positivos.

Entonces, 5

22275275

++=⇒+=⇒=− nnmnmnm

El menor entero positivo n para el que m también lo es, es 65

24244 =+×+=⇒= mn

De ahí, 235475775 =−×=−=⇒=+ nxnx

x = 23

En la figura hay cuatro cuadrados superpuestos de lados 11, 9, 7 y 5 cm

¿Qué diferencia hay entre la suma de las áreas azules y la suma de las áreas rojas?

SOLUCIÓN

Nombramos todas las partes (rojas, azules y blancas) y vemos que

⇒

−=−−=−−=

−=

⇒

=+=++=++

=+

cD

cbC

baB

aA

cD

cbC

baB

aA

2

2

2

2

2

2

2

2

5

7

9

11

5

7

9

11

( ) ( ) ( ) ( )⇒−+−−−−−+−==+−+⇒ cbacbaDBCA 2222 59711

( ) ( ) 64106170258149121 =−=+++−−−−−+==+−+⇒ cbacbaDBCA cm2

La diferencia pedida es de

64 cm2

En un mes hay tres domingos que caen en día par.

¿En qué día de la semana cae el 20 de ese mes?

SOLUCIÓN

La única posibilidad del enunciado es que los domingos pares sean los días 2 , 16 y 30 , por lo que, ese mes,

el día 20 será

jueves

Halla el valor de

SOLUCIÓN

Calculamos ( ) ( ) mmmmm ==−+=+×−+ 22 11111

A partir de aquí, dando valores sucesivos a m ,

)2015(

2016201412013120121201112015==×+×+×+×++

m

)2013()2014()2015(

20142012120111201520152013120121201112015====×+×++=×+×+×++=

mmm

=+=×++===

201220152013201112015)2012()2013( mm

4027

Simplifica al máximo la expresión

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( ) ( ) =−++++=−++++ babababaabbaabba 22222222

( ) ( ) =+++=−++== babababa22

a2

Un ordenador está imprimiendo la lista de las séptimas potencias de todos los números naturales, es decir, la sucesión 17, 27, 37, ...

¿Cuántos términos de esta sucesión están comprendidos entre 521 y 249 ?

SOLUCIÓN

El problema plantea qué valores naturales de x cumplen que 49721 25 ≤≤ x .

La primera condición plantea que ⇒×≤×⇒≤⇒≤ xxx log75log21log5log5 721721

xxxx ≤⇒≤⇒≤⇒≤×⇒ 1255log5loglog5log3 33

La segunda plantea que ⇒×≤⇒×≤×⇒≤⇒≤ 2log7log2log49log72loglog2 497497 xxxx

12822loglog 77 ≤⇒≤⇒≤⇒ xxx

En conclusión, 128,127,126,125128125 ⇒≤≤ x , luego la cantidad de términos es

4

Otra manera más particular, y rápida, de resolverlo es considerar que ( ) ( ) ⇒=≤≤= 774977321 2255 x

128125128125 777 ≤≤⇒≤≤⇒ xx

Si se aumenta la velocidad de un tren de mercancías en 10 km/h se ganan 40 minutos de tiempo, pero si se disminuye en 10 km/h se pierde una hora.

¿Cuál es la longitud del recorrido?

SOLUCIÓN

Llamamos x a la longitud, en kilómetros, del recorrido y t el tiempo, en horas, estándar del problema que

tarda el tren en recorrerlo.

La velocidad es t

x y, entonces, el enunciado dice:

( )⇒

−−+=

−+−=⇒

+×

−=

−×

+=

1010

3

2010

3

2

110

60

4010

tt

xxx

tt

xxx

tt

xx

tt

xx

( )⇒

+==

⇒

+==

⇒

+=−=+

⇒

+=

−=+×⇒

+=

−=⇒

ttx

t

ttx

t

ttx

tt

ttx

tt

tt

x

tt

x

1010

4

1010

4010

1010

20302020

10103

20101010

32

1010

320

1032

2222

=×+×=⇒ 410410 2x

200 kilómetros

Halla la suma 1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 + … + 2

2 – 1

2

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+×−+++×−++×−=−++−+− 1212...97989798991009910012...979899100 222222

3...195199 +++= , suma de una progresión aritmética de 50 términos cuyos primer y último términos

están a la vista.

Por lo tanto, ( ) =×=×+=+++ 50101

2

5019933...195199

5050

Si aumentamos en 1 cm una arista de un cubo, disminuimos otra en 1 cm y dejamos la tercera como está, obtenemos un paralelepípedo cuyo volumen es 5 cm3 menos que el del cubo original.

¿Cuál era el volumen, en cm3, del cubo?

SOLUCIÓN

Sea x la longitud de la arista del cubo original. Su volumen es 3x

El paralelepípedo tiene de volumen ( ) ( ) xxxxx −=×−×+ 311

Si es 5 cm3 menor que el cubo original se cumple que 5533 =⇒−=− xxxx , luego el volumen del cubo

inicial es == 33 5x

125 cm3

El gerente de un almacén tiene que calcular el precio de un jersey. Los estudios de mercado le dan las siguientes informaciones:

• Si el precio es 75 euros, entonces 100 jóvenes comprarán el jersey.

• Cada vez que el precio aumenta 5 euros, 20 jóvenes menos comprarán el jersey.

• En cambio, cada vez que el precio baje 5 euros, se venderán 20 jerseys más.

• Cada jersey le cuesta al almacén 30 euros.

¿Cuál es el precio de venta que hace máximo el beneficio del almacén?

SOLUCIÓN

Llamamos x al precio de venta que da máximo beneficio al almacén.

El beneficio, con las previsiones iniciales, es de ( ) 45001003075 =×− euros, según dice la primera y cuarta

información.

Según la segunda y cuarta información, la ganancia es de ( ) ( ) 210040045002010030575 nnnn −−=−×−+ ,

siendo n las veces en las que aumenta el precio en 5 euros. Es evidente que siempre será menor el

beneficio que en el primer caso.

Por la tercera y cuarta información, la ganancia es de ( ) ( ) 210040045002010030575 nnnn −+=+×−− ,

siendo n las veces en las que disminuye el precio en 5 euros:

• Si 480010040045001 =−+⇒==n euros de beneficio




• Y, sucesivamente, el beneficio será menor…

Se concluye que el mejor precio de venta es en el tercer caso de éstos últimos, si 2=n , en el que se baja el

precio inicial 1025 =× euros y lo compran 140220100 =×+ personas resultando un beneficio máximo de

( ) ( ) 49004008004500210024004500220100302575 2 =−+=×−×+=×+×−×− euros.

Se vende a =×− 2575

65 euros

En el cuadrilátero de la figura, AB = 5 cm, BC = 17 cm, CD = 5 cm, DA = 9 cm y BD una longitud entera mayor de 10 cm y menor de 16 cm.

¿Qué valor es éste?

SOLUCIÓN

Evidentemente, 141495 <⇒=+=+< BDDAABBD cm por lo que, según las restricciones del

problema, BD podría ser de 1312,11 o cm

Ahora bien, DBDBDBCDBC <⇒+<⇒+< 12517

Por tanto,

BD = 13 cm

ABCD es un rectángulo con AB = 16 y BC = 12.

ACE es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es AE y tal que CE = 15.

Si F es el punto de intersección de los segmentos AE y CD, ¿cuál es el área del triángulo ACF ?

SOLUCIÓN

Consideramos los ángulos marcados a y b en la figura de la derecha.

Teniendo en cuenta que los triángulos ABC , ACE Y ADF son

rectángulos se pueden señalar algunos otros ángulos que dependen de los

anteriores en la propia figura.

El valor se pide es ⇒×−×=−=2

12

2

1216 DFÁreaÁreaÁrea ADFADCACF

DFÁreaACF ×−=⇒ 696 .

Se trata, por lo tanto, de calcular DF .

Por el teorema de Pitágoras, en ABC , 204001442561216 22222 =⇒=+=+=+= ACBCABAC

De lo anterior, en el mismo triángulo y en el triángulo rectángulo ACE, se verifican estas dos afirmaciones:

4

3

16

12tan ===

AB

BCa y ba

AC

CEb =⇒===

4

3

20

15tan

Si consideramos ahora el triángulo rectángulo ADF , ( ) ⇒−×=⇒==+

a

a

DF

AD

DF

ADaba 2tan1

tan22tantan

2

7

16

78

2

316

91

12

4

32

4

31

12tan2

tan1

2

2

=×=−

×=⇒×

−=⇒

×−=⇒ DF

DF

a

a

AD

DF

Entonces, =−=×−=×−= 21962

7696696 DFÁreaACF

75

Un número de 3 cifras es un número geométrico si sus cifras, leídas de izquierda a derecha, están en progresión geométrica.

¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los números geométricos?

SOLUCIÓN

Evidentemente el menor número geométrico de tres cifras es 111 y el mayor, 999 . La razón, en ambos

casos, de las progresiones de las cifras es 1.

De ahí, =−111999

888

Sea f un polinomio tal que f(x2 + 1) = x4 + 4x2

Determina f(x2 – 1)

SOLUCIÓN

242 4)1( xxxf +=+ , por lo que es un polinomio de segundo grado: cbxaxxf ++= 2)(

Entonces, ( ) ( ) ⇒+=+++++⇒+=++++=+ 24224242222 42411)1( xxcbbxaaxaxxxcxbxaxf

( ) 32)(

3

2

1

0

42

1

42 22424 −+=⇒

−===

⇒

=++=+

=⇒+=+++++⇒ xxxf

c

b

a

cba

ba

a

xxcbaxbaax

De lo anterior, ( ) ( ) 4322123121)1( 42242222 −=−−++−=−−+−=− xxxxxxxf

En resumen,

f(x2 – 1) = x4 – 4

La probabilidad de que en una moneda trucada obtengamos cara es p ≠ 0

Tiramos la moneda 8 veces, siendo la probabilidad de obtener 3 caras y 5 cruces un cuarto de la probabilidad de obtener 5 caras y 3 cruces.

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?

SOLUCIÓN

Sea ‘Salir cara’ = C y ‘Salir cruz’ = X. Si pXPpCP −=⇒= 1)()(

Además, el enunciado indica que )35(4

1)53( XyCPXyCP =

El número de veces que salen tres caras y cinco cruces es el número de permutaciones con repetición de

ocho elementos, en los que hay tres iguales y otros cinco iguales: !5!3

!85,38 ×

=PR . Es el mismo valor para el

número de veces que salen tres cruces y cinco caras.

Por tanto, ⇒×××=××⇒= 355,38

535,38 )()(

4

1)()()35(

4

1)53( XPCPPRXPCPPRXyCPXyCP

3

222

21)(

2

1)()(

4

1)( 22 =⇒=−⇒=−⇒=⇒=⇒ ppp

ppCPXPCPXP

positivosvaloresson

La probabilidad de obtener cara es 2/3

En un rectángulo trazamos las diagonales y el segmento que une un vértice con el punto medio de uno de los lados, como se muestra en la figura.

¿Cuál la razón entre la longitud de la diagonal y la del segmento PQ?

SOLUCIÓN

Señalamos los puntos con las letras indicadas y añadimos el segmento EQ

Observamos que los triángulos ABP y QEP son semejantes por tener los

tres ángulos iguales, por lo que podemos establecer la proporción

PQAPEQ

AB

PQ

AP ×=⇒== 22

Y como ( ) 663222 =⇒×=××=+×=×=PQ

ACPQPQPQAPAQAC

Es decir,

La razón entre las longitudes es 6

Se dibujan cinco cuadrados de lado 1 en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas como se muestra en la figura.

Si el área de la región sombreada es 5/2, ¿cuál es el valor de a ?

SOLUCIÓN

El área sombreada es el área de un triángulo rectángulo quitándole un cuadrado de lado unidad situado en la

esquina inferior derecha.

Por tanto, como la altura de ese triángulo es 3 y la base es a−3 , se cumple que ( )

⇒=−×−2

51

2

33 2a

3

223739

2

71

2

5

2

39 =⇒=⇒=−⇒=+=−⇒ aaa

a

a = 2/3

¿Cuántos números n, de tres cifras y menores o iguales que 200, verifican que (n + 1)(n + 2)(n + 3) es divisible por 7?

SOLUCIÓN

Consideramos cbaabcn ++== 10100 , donde 1=a o 02 === cbya , tales que

( )( )( ) knnn 7321 =+++ , siendo Ν∈k

Si 1=a , el menor número mayor de 100 divisible por 7 es 157105 ×= y el mayor menor de 200 divisible

por 7 es 287196 ×= , luego hay 1411528 =+− números de tres cifras cuya centena es 1 y divisibles por 7

Cada uno de ellos se usa en las condiciones del problema, que así permite que se cumpla, para tres números

consecutivos.

Por ejemplo, 105 se usa para los números

• ( )( )( ) ( )( )( ) 151041037105104103310221021102321102 ×××=××=+++=+++⇒= nnnn

• ( )( )( ) ( )( )( ) 106151047106105104310321031103321103 ×××=××=+++=+++⇒= nnnn

• ( )( )( ) ( )( )( ) 107106157107106105310421041104321104 ×××=××=+++=+++⇒= nnnn

Por lo tanto, hay 42314 =× números de tres cifras cuya centena es 1 que cumplen las condiciones del

problema.

Además, si ( )( )( ) 29202201720320220132120002 ×××=××=+++⇒=⇒=== nnnncbya

Resumiendo,

hay 43 números que cumplen las condiciones indicadas

¿Cuántos enteros positivos menores que 1000 son seis veces la suma de sus dígitos?

SOLUCIÓN

Sea el número abcn = tal que ( ) ⇒+=⇒++×=++== baccbacbaabcn 4945610100

5

4418

5

494 baac

bac

++=⇒+=⇒

Como todos son dígitos, debe cumplirse que 5

40

bca =⇒= y, como el número debe ser positivo, los

únicos valores admisibles son 5=b y 4=c

El único número posible que cumple las condiciones del problema es 54=n

Sólo hay un número que cumpla las condiciones: 54

Una alfombra de 1 cm de espesor se enrolla hasta formar un cilindro de 1m de diámetro

¿Cuál es la mejor estimación de la longitud de la alfombra en metros?

SOLUCIÓN

Si se enrolla como indica la imagen y según una espiral de Arquímedes

tenemos que su longitud, en centímetros, debe ser la suma de las longitudes

de medias circunferencias: ( ) ( )2

2

3...543 −×+=++++= n

nnL

ππππππ

según la fórmula para la suma de términos de una progresión aritmérica.

Teniendo en cuenta que el diámetro del cilindro es cmmnd 1001 === se

deduce que ( ) ( ) cmn

nL 1585698

2

1032

2

3 =×=−×+= πππ

Por lo tanto la alfombra mide, aproximadamente,

159 metros

Para cada entero positivo n, sea f(n) = n4 – 360n2 + 400.

¿Cuál es la suma de todos los valores f(n) que son números primos?

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( )22222424 202040040040400360 nnnnnnnnf −+=−++=+−= . Es decir,

( ) ( ) ( )20202020 22 +−×++= nnnnnf

( )nf es primo cuando uno de los dos factores es 1 y el otro es primo, para n entero positivo.

Posibilidades:

•

−=−=

⇒=++⇒=++19

10192012020 22

n

nnnnn , sin sentido según el enunciado.

• ( )

( )

=×+×+=⇒==×+×+=⇒=

⇒=+−⇒=+−primofn

primofnnnnn

,761120192019)19(19

,411201201)1(10192012020

2

222

En resumen la suma pedida es =+ 76141

802

El área de la parte roja es 2ππππ cm2. ¿Cuánto mide el segmento AB ?

SOLUCIÓN

Designamos r y R a los radios de los dos círculos interiores. Evidentemente, rR +

será el radio del círculo exterior.

Entonces, ( ) ( ) ⇒==−−++=+−+ ππππππππππ 222 2222222 RrrRRrrRrRrR

1=⇒ Rr cm2

Por otro lado, y según el teorema de la altura aplicado al triángulo rectángulo de

ángulo recto B , obtenemos que RrrRx 4222 =×=

Entonces 242 =⇒= xx cm y, como xAB 2= ,

AB = 4 cm

Un saco contiene 3 bolas rojas y 2 blancas. Sacamos las bolas sin mirar una a una. ¿Cuál es la probabilidad de que, en algún momento, sólo queden bolas blancas?

SOLUCIÓN

La probabilidad será la misma que la de sacar tres bolas rojas seguidas:

( ) ( ) ( ) ( )RRRPRRPRPRRRP III || ××=

Calculamos

• ( )5

3=RP (probabilidad de sacar una bola roja)

• ( )4

2| =RRP (probabilidad de sacar una bola roja habiendo salido antes una bola roja)

• ( )3

1| =RRRP I (probabilidad de sacar una bola roja habiendo salido antes dos bolas rojas)

Entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) 1,010

1

3

1

4

2

5

3|| ==××=××= RRRPRRPRPRRRP III

La probabilidad de que queden únicamente, en el saco, bolas blancas es 0,1

Una persona le pregunta a una dama cuántos años tiene.

La dama le contesta: “Si viviera 100 años, mi edad ahora sería los cuatro tercios de la mitad de los años que me quedarían por vivir”.

¿Cuál es la edad de la dama?

SOLUCIÓN

Sea x la edad actual de la dama. Los años que le quedan por vivir hasta los 100 son x−100

Por tanto, el enunciado dice que ( ) 402005220031003

2

2

100

3

4 =⇒=⇒−=⇒−×=⇒−×= xxxxxx

xx

La dama tiene 40 años

Si sen a + sen b = 4/3 y cos a + cos b = 1, ¿cuál es el valor de cos (a – b)?

SOLUCIÓN

Recordemos que ( ) bsenasenbaba ×+×=− coscoscos

Hacemos ( )

( )⇒

=+××+=+

=+××+=+

2222

2222

1coscoscos2coscoscos34

2

bbaaba

bsenbsenasenasenbsenasen

⇒+

=+××+++××+⇒ 22

2222 134

coscoscos2cos2 bbaabsenbsenasenasen

⇒+=++××+××++⇒ 19

16coscoscos22cos 2222 bbsenbabsenasenaasen

( ) ( ) ⇒=−=−×⇒=+×+××+⇒9

72

9

25cos2

9

251coscos21 bababsenasen

cos (a – b) = 7/18

¿Cuál de los siguientes cubos se puede formar con el desarrollo de la figura adjunta?

SOLUCIÓN

El cubo E

Halla el área de la región encerrada por la curva formada por los puntos (x , y) tales que |x – 1| + |y – 1| = 1

SOLUCIÓN

La ecuación anterior se descompone en cuatro,

dependiendo de los valores de las incógnitas:

• Si 1≥x , 1≥y entonces

3111111 =+⇒=−+−⇒=−+− yxyxyx

• Si 1≥x , 1<y entonces

1111111 =−⇒=−+−⇒=−+− yxyxyx

• Si 1<x , 1≥y entonces

1111111 =−⇒=−+−⇒=−+− xyyxyx

• Si 1<x , 1<y entonces

1111111 =+⇒=−+−⇒=−+− yxyxyx

Las cuatro ecuaciones respectivas corresponden a 4 rectas y las condiciones mostradas para cada una

determinan la curva cuyo perímetro limita la región del plano coloreada en naranja.

Está claro que esa región es un cuadrado (y, también, un rombo) cuyas diagonales miden, ambas, 2

unidades.

El área es, por tanto, =×2

22

2 unidades cuadradas

En una bolsa tenemos 17 bolas numeradas de 1 al 17.

Si elegimos algunas de ellas al azar, ¿cuál es el menor número de bolas que debemos elegir para garantizar que la selección contiene al menos un par de bolas cuyos números sumen 18?

SOLUCIÓN

En las 17 bolas hay 8 parejas que suman 18 ( 171− , 162 − , 153 − , 144 − , 135 − , 126 − , 117 − , 108 − ) y

una bola más: la 9 que no puede combinar con otra.

Por tanto, en el peor de los casos, se pueden sacar 9 bolas desparejadas con la seguridad de que, al sacar la

siguiente, se emparejará con alguna de las anteriores.

Por tanto, el mínimo número de bolas que hay que sacar para que se cumplan las condiciones del problema

es

10 bolas

Andrés se dedica a la compraventa de coches de segunda mano.

En una operación compra dos coches y los vende, ambos, por 9999 € cada uno.

En uno de ellos ha ganado el 10% y en el otro ha perdido el 10%.

¿Cómo le ha ido la operación?

SOLUCIÓN

En total ha ingresado 1999899992 =× €

Si el primer coche lo compró a x €, 9090110

10099999999%110 =×=⇒= xx €

Si el segundo coche lo compró a y €, 1111090

10099999999%90 =×=⇒= yy €

Por lo tanto gastó, en la compra de los coches, 20200111109090 =+=+ yx €

Como 2022020019998 −=− €

perdió 202 € en la operación (el 1 % de lo que gastó)

Sean a y b los catetos de un triángulo rectángulo.

¿Cuál es el valor de la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo en función de los catetos?

SOLUCIÓN

Dibujamos la estructura y nombramos los catetos a , b y la

hipotenusa c del triángulo rectángulo ABC cuya

circunferencia circunscrita tiene de diámetro, evidentemente,

c , y cuya circunferencia inscrita es de centro O y radio r y

determina seis triángulos rectángulos (iguales dos a dos) con

vértice común O y sucesivos vértices del triángulo original y

las intersecciones de la circunferencia con el triángulo: E , F

y G

Observamos que el cuadrilátero OFCG tiene todos los

ángulos rectos y dos lados adyacentes son iguales:

rOGOF == , por lo que es un cuadrado de lado r

De ahí,

• rbcrbcAGcAEcEB +−=−−=−=−= )(

• raFB −=

Como son iguales, barcrarbcFBEB +=+⇒−=+−⇒= 2 , por lo que la suma de los diámetros de las

dos circunferencias es la suma de los catetos:

a + b

Cada mochuelo en su olivo, pero hay un mochuelo que no tiene olivo.

Sin embargo, si se colocan dos mochuelos en cada olivo queda un olivo sin mochuelo.

¿Cuántos mochuelos hay?

SOLUCIÓN

Hay x mochuelos y 1−x olivos.

Si colocamos dos mochuelos en cada olivo necesitamos 2

x olivos, y aún sobra uno.

Por tanto, 4222112

=⇒−=+⇒−=+ xxxxx

Hay 4 mochuelos (y 3 olivos)

Joaquín dice la verdad tres días a la semana y los cuatro restantes miente siempre.

Hoy ha dicho exactamente cuatro de las siguientes frases:

1. Entre chicos y chicas tengo un número primo de amigos.

2. Tengo tantos amigos chicos como amigas chicas.

3. 288 es divisible por 4.

4. Siempre digo la verdad.

5. Tres de mis amigos son mayores que yo.

¿Cuál de ellas no ha dicho hoy?

SOLUCIÓN

Puede decir exactamente 4 frases ciertas (un día que dice la verdad) o exactamente 4 frases falsas (un día

que miente).

La frase 4 es siempre falsa (miente cuatro días a la semana) y la frase 3 es siempre cierta ( )724288 ×= .

Las frases 1 y 2 son ambas ciertas sólo si tiene, exclusivamente, un amigo y una amiga: 2 amigos, pues es el

único número primo par. Entonces, la frase 5 sería falsa. Esto es imposible porque habría, en total, más de

una frase cierta y más de una falsa.

Por lo tanto hay alguna falsa entre las 1 y 2 : las frases 1 y 2 son falsas ambas… y también la 5 . Si no habría,

en total, más de una frase cierta y más de una falsa.

En conclusión, la única cierta debe ser la 3 .

Habla un día que miente, por lo que

ese día no dice la frase 3: “288 es divisible por 4”

Si ordenamos de menor a mayor todos los números de cuatro cifras, todas impares, ¿qué lugar ocupa el número 5111?

SOLUCIÓN

Se trata de construir la sucesión ordenada de números de cuatro cifras usando, exclusivamente, las cifras

9,7,5,3,1

Empezando por 1 habrá el número de variaciones (importa el orden) con repetición (se repiten las cifras) de

esas cinco cifras tomadas de tres en tres (el primer lugar está ocupado por la cifra 1).

Empezando por 3 habrá la misma cantidad anterior y el número 5111 es el primero que empieza por 5 .

Por tanto ocupará el lugar =+×=+×=+×=++ 11252152121 335

35

35 VRVRVR

251

Las caras opuestas de un dado siempre suman 7.

El dado rueda en un circuito como se presenta en la figura e, inicialmente, la cara superior es un 3.

¿Cuál será la cara superior al final del recorrido?

SOLUCIÓN

Vemos el proceso teniendo en cuenta la primera afirmación del enunciado, que es la que nos permite

descubrir las nuevas caras que se asoman a la vista:

Por tanto, la cara superior, al final, es

la cara 6

Obtén los valores reales de x para los que se verifica que

SOLUCIÓN

( ) ( ) 112222224222122212222222224 2

<⇒+<⇒<⇒===<==++× xxx

xxxxxx xxx

x < 1: todos los números reales menores que la unidad

Se unen tres cuadrados iguales como se indica en la figura.

¿Cuánto mide el ángulo ß?

SOLUCIÓN

Sea m la longitud del lado del cuadrado generador de la figura.

En el triángulo FAB , el ángulo FABF es un ángulo que verifica

que 3

1

3tan ===

m

m

AF

ABFFAB

Por tanto su complementario FGII , del triángulo FGI y que es el mismo que el del triángulo IJD , verifica

que ( ) 3tan

1cotº90tantan ===−=

FABFABFAB F

FFI

Por otro lado, en el triángulo ABD , el ángulo ABDD cumple 2

1

2tan ===

m

m

BD

ABDABD . Su complementario,

del mismo nombre, en el triángulo IJD será tal que ( ) 2tan

1cotº90tantan ===−=

ABDABDABD D

DDD

Como, en el triángulo IJD , ( ) ( )⇒+−=⇒+−=⇒=++ DIDIDI tantanº180º180 βββ

⇒=×−

+−=×−

+−=⇒ 1231

23

tantan1

tantantan

DI

DIβ

ß = 45o

Empezamos por un número entero positivo, lo duplicamos y, luego, le restamos una unidad.

Después de aplicar 99 veces este algoritmo llegamos al número 2100 + 1

¿Cuál es el número original?

SOLUCIÓN

Realizando repetidamente el proceso con un número inicial x obtenemos:

• 12 −x

• ( ) 341122 −=−−× xx

• ( ) 781342 −=−−× xx

• ( ) 15161782 −=−−× xx

y, escribiendo los resultados en función del número iteración del proceso, se tiene que:

• 1ª iteración. Resultado: ( )12212 11 −−×=− xx




• …

• nª iteración. Resultado: ( )122 −−× nn x

De ahí, si 99=n , ( ) ( ) ( ) ⇒=−×⇒+=+−×=+−×=−−× 100991009999999999 21212112122122 xxxx

⇒=−⇒ 21x

x = 3

f(x) es una función tal que

=Ζ∈∀−=+

2008)2015(

2002)(2)1(

f

xxfxf

¿Cuánto vale f(2014)?

SOLUCIÓN

Si ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+=⇒=−=+=⇒= 4010200820022014220082002201421201420152014 ffffx

( ) ==⇒2

40102014f

f (2014) = 2005

¿En cuántos ceros termina el producto de los 2015 primeros números primos?

SOLUCIÓN

En esos números primos existe únicamente un número par, el 2 , y un solo número acabado en 5 (el 5 ), por

lo que el producto que se propone acaba en

un cero

Una caja contiene 60 bolas. Unas son verdes, otras azules y el resto amarillas.

Si todas las bolas verdes se sustituyeran por azules, entonces habría el doble de bolas azules que amarillas; pero si todas las bolas amarillas se sustituyeran por azules, entonces habría el triple de bolas azules que verdes.

¿Cuántas bolas azules hay?

SOLUCIÓN

Llamando mav ,, a las cantidades respectivas de bolas verdes, azules y amarillas que hay en la caja, el

enunciado dice que 25

15

20

60

603

602

60

3

2

60

=⇒

==

=++⇒

=+=+=++

⇒

=+=+

=++a

v

m

mav

vv

mm

mav

vam

mav

mav

Hay 25 bolas azules

Tres números primos a, b, c (siendo a < b < c) suman 78 unidades.

Si c – a – b = 40, ¿cuánto vale c + 3b ?

SOLUCIÓN

Si 59118240

78=⇒=⇒

=−−=++

ccbac

cba. De ahí, 2197859 =⇒=+⇒=++ ababa y 17=b , única

posibilidad siendo todos los números primos.

Por lo tanto, =×+=+ 173593bc

110

Los perímetros de un triángulo equilátero y de un hexágono regular son iguales. ¿Cuál es la razón del área del triángulo a la del hexágono?

SOLUCIÓN

Si hexágono y triángulo poseen el mismo perímetro y el número de

lados del hexágono es el doble del de lados del triángulo, es evidente

que el lado del triángulo mide el doble del lado del hexágono.

Tomando la medida del lado del hexágono, dividimos ambas figuras en

triángulos equiláteros y obtenemos que el hexágono se descompone en

6 de esos triángulos y el triángulo equilátero en 4 por lo que la razón

entre las áreas es 6:4 , es decir,

2 : 3

El curso pasado, en Bachillerato, había en un centro 30 chicos más que chicas.

Este curso el alumnado de Bachillerato ha aumentado un 10%: un 20% el número de chicas y un 5% el número de chicos.

¿Cuántos estudiantes hay, este curso, en el centro?

SOLUCIÓN

Sea x el número de chicas que había el curso pasado en Bachillerato en el centro.

El número de chicos que había es 30+x , por lo que el número total de alumnos era 302 +x

Por otro lado, este curso hay xxxx 2,12,01%20 =+=×+ chicas y ( ) =+×++ 30%530 xx

5,3105,13005,005,030 +=×+++= xxx chicos; y los estudiantes, este curso, son

( ) 332,2301,021,0302302%10302 +=×+×++=+×++ xxxxx

En resumen, 305,105,05,31332,225,2332,25,3105,12,1 =⇒=⇒−=−⇒+=++ xxxxxxx

Recapitulamos:

• El curso pasado había 30 chicas y 60 chicos. 90 estudiantes en total.

• Este curso hay 36 chicas (un %20 más) y 63 chicos (un %5 más). 99 estudiantes en total, que

supone un %10 más.

Este curso hay 99 estudiantes de Bachillerato

¿Cuántos enteros entre 1 y 1000 pueden obtenerse como suma de 40 enteros positivos consecutivos?

SOLUCIÓN

Si n es el menor entero positivo de la suma se debe cumplir que ( ) ( ) ( ) 100039...21 <+++++++ nnnn

Es decir, según la suma de los 40 términos de la progresión aritmética, ( )

⇒<×++1000

2

4039nn

611395025040

2000392 <⇒=−<⇒=<+⇒ nnn

Es claro que 1=n es el primer valor para el que se verifica, por lo que los números que cumplan estas

condiciones serán:

• 82040...321 =++++

• 86041...432 =++++

• 90042...543 =++++

• 94043...654 =++++

• 98044...765 =++++

El siguiente entero rebasaría el valor límite: 1000102045...876 >=++++

5 enteros cumplen la condición

¿A qué número debemos elevar 44 para obtener 88 ?

SOLUCIÓN

( ) ( )( ) ( ) ( ) 32482222284 2488834284 =⇒=⇒====⇒= xxxxxx

Hay que elevar a 3

Un tren atraviesa un túnel de 1320 m de largo.

El maquinista comprueba que él ha estado en el túnel 45 segundos exactamente.

Después de que él sale del túnel, hasta que el último vagón sale de él han pasado 15 segundos más. ¿Cuál es la longitud del tren?

SOLUCIÓN

Sea L la longitud del tren en metros. La máquina

del tren recorre 1320 metros en 45 segundos,

luego su velocidad es de 45

1320 m/seg.

El último vagón recorre, en 15 segundos, una

distancia igual a la longitud del tren y a la misma

velocidad, por lo que =×=⇒=45

151320

45

1320

15L

L

440 metros

Si ( )43

2

+=

x

xxf y ( )( ) xxgf = , ¿cuál es la función ( )xg ?

SOLUCIÓN

Sea ( ) yxg =

Entonces, ( ) ( ) ⇒−

=⇒=−⇒=−⇒+=⇒=+

⇒=x

xyxyxxxyyxxyyx

y

yxyf

324

43243243243

2

xx

xg32

4)(

−=

El rectángulo de la figura está dividido en seis cuadrados.

Los lados del cuadrado más pequeño miden 1 cm

¿Cuál es la longitud de los lados del cuadrado mayor?

SOLUCIÓN

Llamamos x a la longitud, en centímetros, del lado de los cuadrados A y B

El lado del cuadrado C es, entonces, 1+x , por lo que el lado del cuadrado D

es 2+x y el del cuadrado E , 3+x

Ahora bien, observamos que la suma de las longitudes de los lados de los

cuadrados A , B , C es igual a la suma de los lados de los cuadrados D , E :

45213321 =⇒+=+⇒+++=+++ xxxxxxxx

Por lo tanto, la longitud de los lados del cuadrado mayor ( E ) es, =+ 3x

7 centímetros

Sean tres números no nulos tales que su suma es igual a la unidad y la suma de sus inversos es igual a cero.

¿Cuánto vale la suma de sus cuadrados?

SOLUCIÓN

Sean 0,, ≠cba tales que, como dice el enunciado, 1=++ cba y 0111 =++cba

Entonces, 00111 =++⇒=++=++ bcacab

abc

abacbc

cba

De ahí, ( ) ( ) ⇒×+++=++×+++=+++++=++ 022222 2222222222 cbabcacabcbabcacabcbacba

( ) 1122222 ==++=++⇒ cbacba

a2 + b2 + c2 = 1

¿Cuál es el máximo número de cifras que puede tener un número si toda pareja de cifras consecutivas es un cuadrado perfecto?

SOLUCIÓN

Tenemos en cuenta los cuadrados perfectos de dos cifras, incluso empiezando por cero:

81,64,49,36,25,16,09,04,01

Vamos a intentar generar números que cumplan las condiciones del enunciado y tengan, al menos, tres

cifras.

Eliminando los tres primeros como comienzo del número por empezar por cero, debe tenerse en cuenta que

la segunda cifra con la tercera del número debe ser, también, un cuadrado perfecto.

Revisando las posibilidades, la segunda cifra debe ser un 1, un 4 o un 6 , pues son las únicas cifras que

también aparecen en primer lugar en los cuadrados. Las únicas posibilidades de construcción serían:

164916416 →→

364936436 →→

64964 →

81649816481681 →→→

Por tanto, el número 81649 es el que tiene mayor cantidad de cifras:

5

Los números naturales x e y son los más pequeños que verifican que 360x es un cuadrado perfecto y que 360y es un cubo perfecto.

¿Cuál es su suma?

SOLUCIÓN

Como 532360 23 ××= , el menor valor x para el que xx ×××= 532360 23 sea un cuadrado perfecto es

1052 =×=x , pues ( ) 2222242323 6053253252532532360 =××=××=××××=×××= xx

De la misma manera, el menor valor y para el que yy ×××= 532360 23 sea un cubo perfecto es

7553 2 =×=y , pues ( ) 3333322323 3053253253532532360 =××=××=××××=×××= yy

Entonces, la suma es =+=+ 7510yx

85

Dos cuadrados de lado 1 cm tienen un vértice común, y el lado de uno de ellos está sobre la diagonal del otro, como se muestra en la figura.

¿Cuál es el valor del área coloreada?

SOLUCIÓN

Si observamos la figura, el triángulo rectángulo que ocupa medio cuadrado verifica, por

el teorema de Pitágoras, que ( ) 12212111 222 −=⇒=+⇒=+=+ aaa cm

Entonces, la superficie coloreada será igual a la superficie de medio cuadrado menos la

superficie del triángulo rectángulo isósceles de lado a :

( ) ( ) ( )12

2222

2121

21212

211

2

−=−=−−=−×−−×=S

√2 – 1 cm 2

Las letras A, B, C y D representan cifras distintas.

Si se verifica que AB + CA = DA y que AB – CA = A, ¿Qué cifra representa la letra D ?

SOLUCIÓN

( ) 0010101010 =⇒=+−+×⇒+=+++⇒=+ BBDCAADACBADACAAB , por ser todas cifras.

De lo anterior se sigue que CADDCA +=⇒=−+ 0

Por otro lado, 55410810100 =⇒=⇒=⇒=−−⇒=−⇒=− ACACAAACAACAAACAAB y

4=C , por ser todas cifras.

En conclusión, como 45 +=+= CAD ,

D = 9

Una familia consta del padre, la madre y varios niños.

La media de las edades de los miembros de la familia es 18 años.

Sin el padre, que tiene 38 años, la media de las edades de los demás miembros de la familia es 14 años. ¿Cuántos niños hay en la familia?

SOLUCIÓN

Sean las edades respectivas nhhmp ,...,,, 1 de padre, madre y los n niños y nhhmpS ++++= ...1 la

suma de todas las edades, siendo 38=p

Las condiciones son ( )

( ) ( ) ( )⇒+×=−+×⇒

+×=−=−+×=

⇒

=+−

=+ =

1143821811438

218

141

182 38

nnnSpS

nS

n

pSn

Sp

( ) ( ) 4827719189171929 =⇒=⇒+=−+⇒+×=−+×⇒ nnnnnn

En resumen,

la familia tiene 4 niños

Si los números x y x + 32 son capicúas, de tres y cuatro cifras respectivamente, ¿cuál es la suma de las cifras de x ?

SOLUCIÓN

En las condiciones indicadas el número capicúa de cuatro cifras debe ser necesariamente el número 1001,

pues x es de tres cifras.

Por tanto, 969100132 =⇒=+ xx

La suma de las cifras de x es =++ 969

24

Los números 1, 2, 3 se escriben en la circunferencia de un círculo. Después se escribe entre ellos la suma de cada par de números consecutivos, obteniéndose así 6 números (1, 3, 2, 5, 3 y 4).

Esta operación se repite 10 veces desde la situación original, resultando una serie de números escritos en la circunferencia.

¿Cuántos números habrá?, ¿cuánto vale la suma de todos ellos?

SOLUCIÓN

Supongamos que haya n iteraciones del proceso.

En primer lugar observemos que, a partir de los 3 números iniciales se generan luego el doble de números

en cada iteración: 236 ×= , 2232232612 ×=××=×= , … por lo que finalmente habrá

n23× números.

Además, fijémonos que, a partir de una situación anterior, la nueva tiene, como números, los originales y los

que aparecen al sumar los originales por dos veces: una con su número a la derecha y otra con su número a

la izquierda. Por lo tanto, la suma de los números de la nueva situación será el triple de la suma de los de la

situación anterior:

• En la situación inicial, 6321 =++

• En la primera iteración, ( ) ( ) ( ) ( ) 363321133322211 ×=×++=++++++++

• …

En la n-sima iteración la suma será n36×

Si 10=n , 30721024323 10 =×=× y 35429436 10 =×

Habrá 3072 números que suman, en total, 354294

En el triángulo ABC, la longitud del lado AB es doble que la del lado AC

Sean D y E puntos de los lados AB y BC respectivamente para los que los ángulos BAE y ACD son iguales, y sea F el punto de corte de los segmentos AE y CD

Si el triángulo CFE es equilátero, ¿cuánto mide el ángulo ACB?

(El dibujo es orientativo)

SOLUCIÓN

Llamamos a los ángulos aACDBAE ==^^

, bEBA =^

, cEAC =^

Además, los ángulos del triángulo equilátero CFE , de lado y ,

valen todos º60

Finalmente, llamamos xABxAC 2=⇒=

En el triángulo AFC , el ángulo º120^

=AFC , al ser

suplementario de uno del triángulo equilátero.

Por tanto, en ese triángulo, º60º180º120 =+⇒=++ caca

En el triángulo ABE , el ángulo º120^

=BEA , al ser suplementario de uno del triángulo equilátero, por lo que

º60º180º120 =+⇒=++ baba

En conclusión, cb = y los triángulos ABE y AFC son semejantes al tener los tres ángulos iguales.

Se verifica, entonces, la proporción ⇒

==

⇒===⇒==AFEB

yAE

x

x

AF

EB

y

AE

AC

AB

AF

EB

CF

AE

2

22

2

===−=

⇒yAFEB

yyAEAF

22

Es decir, ambos triángulos son isósceles de lados yyx ,, ; yyx 2,2,2 respectivamente. De ahí, los ángulos son

iguales: º30=== cba

Por lo tanto, ⇒+=+= º60º30º60^

aACB

ACB = 90o

Y se define como la suma de las cifras de X, y Z es la suma de las cifras de Y

¿Cuántos números naturales X verifican que X + Y + Z = 60?

SOLUCIÓN

Evidentemente, 60<X por lo que, como mucho, sería igual a 59 . O sea,

1495 =+≤Y . En el mejor de los casos; para el valor de Z sería 9=Z en el caso de 9=Y

De todo lo anterior, 35914606060 ≥⇒−−≥−−=⇒=++ XZYXZYX

Estamos en el rango de 6035 <≤ X

• si 9,124035 ≤≤⇒<≤ ZYX , por lo que 60<++ ZYX

• si 5,55550 >>⇒<< ZYX , por lo que 60>++ ZYX

• si 105955 >⇒<≤ YX , por lo que 60>++ ZYX

Estamos en el rango de 5040 <≤ X . Analizando éste, se cumple la condición para estos tres casos:

• 8844 =⇒=⇒= ZYX , por lo que 608844 =++=++ ZYX

• 21147 =⇒=⇒= ZYX , por lo que 6021147 =++=++ ZYX

• 5550 =⇒=⇒= ZYX , por lo que 605550 =++=++ ZYX

Por lo tanto, verifican la condición

3 números

Las longitudes de los lados de un triángulo son 10, 10 y 12 cm. Un rectángulo de anchura 4 cm tiene la misma área que el triángulo.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

SOLUCIÓN

El triángulo isósceles tiene de altura 8610 22 =−=h cm, por lo que su área

vale 482

812 =× cm

2

Si el rectángulo tiene su misma área y 4 cm de anchura, su altura a

cumple que 124

48484 ==⇒=× aa cm

En resumen, el perímetro del rectángulo es =+++= 124124P

32 cm

Los puntos M y N se eligen arbitrariamente en los lados AD y DC, respectivamente, del cuadrado ABCD.

El cuadrado se divide en las ocho partes de áreas S1, S2, …, S8 como se muestra en la figura.

Escribe S8 en función de tres de las restantes superficies.

SOLUCIÓN

Por construcción se verifica siempre el área del triángulo BCM es la suma de las áreas de los triángulos

ABM y CDM , luego 43276851 SSSSSSSS ++++=++

De la misma forma se verifica siempre el área del triángulo ABN es la suma de las áreas de los triángulos

BCN y DAN , luego 65421873 SSSSSSSS ++++=++

Sumando las dos expresiones se tiene que ⇒++++++=++++ 765432187531 2222 SSSSSSSSSSSS

⇒++=+⇒ 6428 2222 SSSS

S8 = S2 + S4 + S6

La entrada para un recital benéfico de rock cuesta una cantidad entera de euros.

Un grupo de amigos asistió al recital y pagaron entre todos 48 €, y otro grupo de amigos pagaron 64 €

¿Cuántos valores puede tener el precio de la entrada?

SOLUCIÓN

Está claro que el precio de cada entrada debe ser un divisor común de las dos cantidades pagadas.

Como ( ) ( ) 1622,2364,48 464 ==×= mcdmcd , el precio máximo que puede valer de cada entrada será éste,

y los demás precios admisibles serán los divisores de 16

O sea,

el precio de cada entrada puede tener cinco valores distintos: 16 €, 8 €, 4 €, 2 €, 1 €

Dos colgantes están hechos del mismo material. Son de igual grosor y pesan lo mismo.

Uno de ellos tiene la forma de corona circular formada por dos círculos concéntricos de radios 6 cm y 4 cm. El segundo tiene la forma de un círculo sólido.

¿Cuál es el radio del segundo colgante?

SOLUCIÓN

Al pesar lo mismo y tener igual grosor las superficies deberán ser iguales.

Si r es el radio del segundo colgante, se cumplirá que 52204646 222222 ×=⇒=−=⇒−= rrr πππ

Es decir,

el radio vale 2 x √5 cm

Felipe tiene mucha suerte. Un día le propuso su profesor de matemáticas que sustituyera las letras a, b, c, d y e en la expresión a – (b – (c – (d + e))) por los números que él quisiera y que obtuviera el resultado.

Felipe olvidó los paréntesis pero sumó y restó correctamente y obtuvo, por casualidad, el resultado correcto.

Si las letras a, b, c y d las sustituyó por 1, 2, 3 y 4 respectivamente, ¿por qué número sustituyó la letra e ?

SOLUCIÓN

Lo que se plantea en el enunciado es que se cumple que ( )( )( ) edcbaedcba +−−−=+−−− para los

valores 1=a , 2=b , 3=c , 4=d y se trata de hallar el valor de e

( )( )( ) ceececedcbaedcbaedcbaedcba =⇒+−=−⇒+−−−=−−+−⇒+−−−=+−−−

En conclusión,

e = 3

El resto de la división del número 1001 por un número de una sola cifra es 5.

¿Cuál es el resto de la división de 2015 por ese número de una cifra?

SOLUCIÓN

Sea n el número de una cifra que consideramos en el problema. Según las condiciones, 5>n

Al dividir 1001 por n se cumple que 328399651001 2 ××==×⇒+×= cocientencocienten y 5>n

Si n es de una cifra y mayor que 65 =⇒ n

Entonces, 563352015 +×= y el resto de la división de 2015 por 6 es

5

Clara conduce una vespa a 45 km/h cuando no llueve y a 30 km/h cuando llueve.

Hoy hacía sol por la mañana y llovía por la tarde e hizo un total de 24 km en 40 minutos.

¿Cuántos minutos condujo por la tarde?

SOLUCIÓN

Sean x los minutos que condujo Clara por la tarde. Por supuesto, por la mañana condujo x−40 minutos.

Teniendo en cuenta que por la mañana hizo sol e iba a 45 km/h 4

3

60

45 == km/min y por la tarde llovía e iba

a 30 km/h 2

1

60

30 == km/min hizo, en total, ( ) 2421

4043 =×+−× xx km

De la expresión se deduce que ( ) 249612096231202421

4043 =−=⇒=+−⇒=×+−× xxxxx minutos

En resumen,

condujo 24 minutos por la tarde

16 equipos juegan en una liga de voleibol y cada equipo juega una vez contra todos los demás.

En cada partido el ganador consigue un punto y el perdedor 0 puntos. No hay empates.

Una vez jugados todos los partidos, los puntos obtenidos por los equipos forman una progresión aritmética. ¿Cuántos puntos tiene el último clasificado?

SOLUCIÓN

La cantidad de partidos jugados es el número de combinaciones de dieciséis elementos tomados dos a dos:

1202

1516!14!2

!162

162,16 =×=

×=

=C partidos.

Además el número de puntos totales disputados es, también, 120 por las condiciones del enunciado.

Llamemos 1621 ,...,, ppp a los puntos respectivos obtenidos por el equipo campeón, por el segundo, … por

el último, … valores todos enteros no negativos.

Esos valores están en progresión aritmética, por lo que se diferenciarán en una cantidad constante no

positiva d− , explicitada negativamente por comodidad de cálculo (: d es un valor entero no negativo).

Según las propiedades de las progresiones aritméticas y el contexto del problema, 015116 ≥−= dpp y

( )⇒+=⇒=−+⇒=×=+⇒=×+= dpdpppp

ppS 15152151515

16

2120120

2

16111161

161

( )115

2

1151 =⇒≤+×=⇒ d

dp porque hemos visto que 15161 =+ pp y todas las puntuaciones son

enteras no negativas.

En conclusión, 0,...,14,15 1621 === ppp

El último clasificado tiene 0 puntos

Cuando dividimos los números 272758 y 273437 por un determinado número N, de dos cifras, obtenemos como restos 13 y 17 respectivamente.

¿Cuánto vale N ?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, ( ) 23 5367527342017273437

27274513272758×==×−⇒

=×⇒+×==×⇒+×=

NabNbNb

NaNa

Como N es de dos cifras y mayor de 17 , las posibilidades de valores de N son

• 2552 ==N , pero 25 no es divisor de 272745

• 75352 =×=N , pero 75 no es divisor de 272745

• 4535 2 =×=N y, además, 456061272745 ×= y 456076272720 ×=

• 2733 ==N , pero 27 no es divisor de 272745

Evidentemente, el único valor admisible es

N = 45

Halla los valores de a y b no nulos para los que

SOLUCIÓN

( )1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

11

1111

1

0

111

0

1

0 ++

+=

++

+−

++

+=

++

+∫ =×

+∫ =×+

++++++

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

bx

b

ax

dxxxdxxxa

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

aa bb a

Es decir, ( ) 11

1

1

11

0

=++=

++

+=

++

+∫ =×+

ba

ba

ba

a

ba

b

a

b

b

adxxx a bb a

Por tanto, la propuesta inicial se verifica para

todos los valores reales no nulos de a y b

¿Para qué valores del número real b la ecuación x2 – bx + 80 = 0 tiene dos soluciones distintas que son números enteros positivos pares?

SOLUCIÓN

Se sabe que, en una ecuación de segundo grado 02 =++ CBxAx , la suma y el producto de las raíces de la

ecuación 1x , 2x verifican que A

Bxx −=+ 21 y

A

Cxx =× 21

En nuestro caso, bxx =+ 21 y 8021 =× xx

Para hallar las raíces de la ecuación que cumplen las condiciones del problema bastará obtener las distintas

descomposiciones de 80 en dos factores enteros positivos pares. Son:

• 4240240

240280

2

1 =+=⇒

==

⇒×= bx

x

• 2420420

420480

2

1 =+=⇒

==

⇒×= bx

x

• 1810810

810880

2

1 =+=⇒

==

⇒×= bx

x

y es evidente que se obtienen los mismos valores de b permutando las asignaciones a las raíces.

Concluyendo, los valores de b pedidos en el enunciado son

b = 18, b = 24, b = 42

Halla, expresándola de la manera más elemental, el valor de la suma

SOLUCIÓN

Hallemos, por inducción,!100

99......

!43

!32

!21 ++++

!31!3

65

62

21

!32

!21 −==+=+

Suponemos que !

1!

!

1......

!4

3

!3

2

!2

1

n

n

n

n −=−++++ y vamos a comprobar si esto es cierto para la suma

progresiva con denominador superior ( )!1+n

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )!1

1!1

!1

11!

!1

11!

!1!

1!

!1!

1......

!4

3

!3

2

!2

1

+−+=

++−−+×=

+++×−=

++−=

++−++++

n

n

n

nnnn

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

Es evidente que se cumple. Por lo tanto, =++++!100

99......

!4

3

!3

2

!2

1

!1001!100 −

Se quita un número de diez números naturales consecutivos.

La suma de los restantes es 2015.

¿Cuál es el número quitado?

SOLUCIÓN

Tengamos en cuenta que hablamos, en todo momento, de números naturales.

Los números son 9...,,2,1, +++ nnnn , cuya suma es 45109...21 +=+++++++ nnnnn

Supongamos que quitamos an + , siendo 90 ≤≤ a

Entonces, ( ) ( ) ⇒+=⇒=−+=+−+=+−+++++++ ananannannnnn 19709201545945109...21

1989

8218

9

1970 =⇒=+⇒++=+=⇒ aa

aan y =+=+⇒== 1219219

9

1971ann

220

¿De cuántas maneras se pueden escribir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 en los cuadrados de la figura (un número en cada cuadrado) de manera que no haya cuadrados adyacentes en los que la diferencia de los números escritos en ellos sea 3? (Los

cuadrados que solo comparten un vértice no son adyacentes)

SOLUCIÓN

Estudiamos las posibilidades existentes según el número que ocupa el cuadrado mayor.

Habiendo nombrado a cada cuadrado, vemos los casos: hay tres parejas (entre los

números citados: 1 y 4 , 2 y 5 , 3 y 6 ) cuya diferencia es 3 , por lo que deberán

ocupar, en cada posibilidad, las casillas cuadradas que no son adyacentes: dos por caso,

ocupando cada número la casilla A o la D . En conclusión, se señalan seis posibilidades

de posiciones iniciales.

De cada una de ellas, fijados los valores en A y D con los valores de una pareja, quedan cuatro casillas por

cubrir con los números de las dos parejas restantes. Para cada valor (de los cuatro que quedan) colocado en

B se podrán poner, en C , los dos valores de la pareja en la que no está el número que ocupa B

Ya tenemos, hasta ahora, 48246 =×× posibilidades.

Resta rellenar, por cada una de las anteriores, las casillas E y F : se colocan en ellas los dos números de las

respectivas parejas que han quedado sin colocar. Como quedan dos números posibles para rellenar E y el

restante colocarlo en F , las posibilidades totales son 962482246 =×=×××

Lo vemos con más concreción:

Si 41 =⇒= DA , por ser la una casilla no adyacente a la anterior.

Las demás casillas se rellenan así:

=⇒==⇒=

⇒=

=⇒==⇒=

⇒=⇒=

=⇒==⇒=

⇒=

=⇒==⇒=

⇒=⇒=

=⇒==⇒=

⇒=

=⇒==⇒=

⇒=⇒=

=⇒==⇒=

⇒=

=⇒==⇒=

⇒=⇒=

23

325

35

532

6

23

326

26

623

5

26

625

56

652

3

35

536

56

653

2

FE

FEC

FE

FEC

B

FE

FEC

FE

FEC

B

FE

FEC

FE

FEC

B

FE

FEC

FE

FEC

B

por lo que hay 16224 =×× posibilidades para el caso inicial.

Como hay 6 casos iniciales posibles, todos similares y con la misma problemática

( 3,6;6,3;2,5;5,2;1,4;4,1, =DA ), el total de posibilidades es =×=××× 1662246

96

Hoy es el cumpleaños de Alicia, Beatriz y Carlos.

La suma de sus edades es 23 y el producto de sus edades supera en 113 al producto de sus edades hace justamente un año.

¿Cuál es la suma de los cuadrados de sus edades?

SOLUCIÓN

Sean cba ,, las edades respectivas de Alicia, Beatriz y Carlos.

Según el enunciado, se verifica que ( ) ( ) ( ) ⇒+−×−×−= 113111 cbaabc

135112231121131 =+=+++=++⇒+−+++−−−=⇒ cbabcacabcbabcacababcabc

Luego ( ) ( ) ( )⇒++×−++=++⇒+++++=++ bcacabcbacbabcacabcbacba 2222 22222222

=×−=++⇒ 1352232222 cba

259

Si cada lado del hexágono regular tiene 2 cm de longitud y ABCD y CNPM son cuadrados, ¿cuál es el área de la región sombreada?

SOLUCIÓN

Podemos observar que, por evidente simetría, las alturas de los triángulos BCN ,

DCM y el que forma la región sombreada suman dos apotemas del hexágono

regular: phba 2=++

Como los ángulos interiores del hexágono regular miden º120 , fijándonos en uno

de los triángulos verdes (rectángulo) se cumple que

32

32º30cos2

2º30cos =×=×=⇒= p

p cm

Entonces, 322 ==++ phba cm, y el área de la figura que nos ocupa es 2

hDM × cm

2

Es fácil observar que los ángulos iguales del triángulo isósceles BCN valen º30 y, el ángulo desigual es

º120=BCNC . En conclusión,

• 3

32

3

2

2/3

1º30cos

112/º30cos ====⇒== BC

BCBC

lado cm. Esa es la longitud de los lados de

los cuadrados

• 33

21

332

º30º30 =×=×=⇒= senBCaBC

asen cm, altura del triángulo BCN

Según los valores de los ángulos del triángulo BCN , el ángulo C del triángulo DCM vale º60=DCMC y sus

lados adyacentes son iguales (3

32=== DMCMDC cm) por lo que el triángulo DCM es equilátero.

En ese triángulo, su altura cumple que 123

332

º60º60 =×=×=⇒= senDCbDC

bsen cm

Resumiendo, como 1335

133

323232 −=−−=−−=⇒=++ bahhba cm

De lo anterior, la superficie pedida es 3

351

3

35

3

31

3

35

3

32

2

1

2

−=

−×=

−××=× hDM

cm2

El área de la región sombreada es 1,0893 cm2

100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 5

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