101064350 Sistemas Eletricos Djalma Caselato

Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia

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AGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOS

O autor agradece a todos os seus alunos que de forma indireta o motivaram para realizao deste livro. Agradece tambm a todos os amigos professores da Escola de Engenharia Mau que incentivaram a realizao desta obra. Agradece de todo o corao a sua filha Lygia Caselato que com muito empenho e carinho fez a reviso gramatical do presente livro. Agradece igualmente a sua filha Sandra Caselato que preparou a capa do presente livro. Finalmente, agradece sua esposa pela compreenso e pacincia durante os anos em que este livro foi elaborado.

Circuitos Trifsicos

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SUMRIO

SOBRE O AUTOR PRIMEIRO PREFCIO SEGUNDO PREFCIO 1 CIRCUITOS TRIFSICOS Extrato da Teoria 1 1.1 Introduo 1 1.2 Operador 1 1.3 Seqncia positiva (direta) 1 1.4 Seqncia negativa (inversa) 2 1.5 Relao entre corrente de linha e corrente de ramo na ligao em tringulo 2 1.6 Potncia complexa 2 1.7 Equivalncia entre carga ligada em tringulo e carga ligada em estrela 3 1.8 Modelos para representao de cargas 3 1.9 Matriz de impedncia de uma linha trifsica a 4 fios com indutncias mtuas 4 Exerccios resolvidos 5 Exerccios Propostos 22 Bibliografia 34

2 VALORES PERCENTUAIS E POR-UNIDADE Extrato da Teoria 35 2.1 Definies 35 2.2 Representao de transformadores em valores por-unidade 36 2.3 Representao de transformadores com trs enrolamentos em valores por-

unidade 37

2.4 Representao de banco de transformadores monofsicos em valores por-unidade

39

2.5 Representao de mquinas rotativas em valores por-unidade 40 2.6 Representao de linha de transmisso 40 2.6.1 Linha curta 40 2.6.2 Linha mdia 40 2.6.3 Linha longa 41 2.7 Mudana de bases 41 2.8 Representao de transformadores quando h choques de bases 42 Exerccios resolvidos 43 Exerccios propostos 56 Bibliografia 61

3 COMPONENTES SIMTRICAS 62 Extrato da Teoria 62 3.1 Operador 62 3.2 Seqncia positiva (direta) 62 3.3 Seqncia negativa (indireta ou inversa) 62 3.4 Seqncia nula (zero ou homopolar) 63 3.5 Matriz de transformao de componentes simtricas para componentes de

fases 63

3.6 Sistemas trifsicos a trs fios ligao estrela (Y) 64 3.7 Sistemas trifsicos a trs fios ligao tringulo (delta) 66 3.8 Carga em estrela com neutro no-aterrado 67 3.9 Carga em estrela com neutro aterrado 68 3.10 Circuitos trifsicos com indutncias para redes equilibradas 68 3.11 Potncia complexa em componentes simtricas 69 3.12 Representao de carga do tipo Z = R + j X 70 3.121 Carga ligada em estrela com neutro aterrado 70 3.12.2 Carga ligada em tringulo 71 3.12.3 Carga em estrela com neutro aterrado atravs de impedncia Zn 71 3.13 Gerador com neutro aterrado atravs de Zn 71 3.14 Transformador trifsico com dois enrolamentos 71 3.15 Transformador trifsico com trs enrolamentos 74 Exerccios Resolvidos 75 Exerccios Propostos 93 Bibliografia 98

4 CURTOS-CIRCUITOS E ABERTURAS DE FASES Extrato da Teoria 99 4.1 Geradores equivalentes de Thvenin 99 4.2 Curto-circuito trifsico 100 4.3 Curto-circuito bifsico sem contato com a terra 100 4.4 Curto-circuito bifsico com contato com a terra 101 4.5 Curto-circuito monofsico com a terra 102 4.6 Abertura de uma fase 103 4.7 Abertura bipolar abertura de duas fases 105 Exerccios resolvidos 105 Exerccios Propostos 123 Bibliografia 129


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5 MATRIZES ADMITNCIAS E IMPEDNCIAS DE BARRAS Extrato da Teoria 130 5.1 Equivalncia de Fontes 130 5.2 Matriz de Impedncias Primitiva da Rede 130 5.3 Construo da Matriz Admitncia de Barras 132 5.3.1 Rede sem impedncias mtuas 132 5.3.2 Rede com impedncias mtuas 133 5.4 Eliminao de Barras da Matriz Ybarra por lgebra Matricial 133 5.5 Matriz Impedncia de Barras 133 5.6 Mtodo para Obteno da Matriz Impedncia de Barras 134 5.7 Rede Equivalente da Matriz Impedncia de Barra 136 Exerccios resolvidos 137 Exerccios Propostos 153 Bibliografia 161

Respostas

Captulo 1 163 Captulo 2 169 Captulo 3 172 Captulo 4 178 Captulo 5 180 Apndice 191

Circuitos Trifsicos

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SOBRE O AUTORSOBRE O AUTORSOBRE O AUTORSOBRE O AUTOR

Djalma Caselato engenheiro eletricista, com nfase em eletrotcnica, formado pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, com Mestrado e Doutorado em Engenharia na rea de Sistema de Potncia pela Escola Politcnica da USP. Desde sua formatura, em 1968, tem trabalhado na rea de elaborao de projetos de usinas hidreltricas e de subestaes, com atuao especfica na rea de equipamentos eltricos de grande porte (gerador, barramento de fases isoladas, transformadores, disjuntores, seccionadoras, sistemas de excitao e reguladores de tenso). Atividade profissional internacional, nas reas indicadas, com trabalhos desenvolvidos na Sua, Frana, Alemanha, Tchecoslovquia, frica do Sul, Repblica Democrtica do Congo, Angola e Moambique. Foi pesquisador junto ao Departamento de Energia e Automao Eltricas da Escola Politcnica da USP. Como atividade didtica exerceu a funo de Professor Adjunto do Departamento Eltrico da Universidade de Mogi das Cruzes, de maro de 1984 a janeiro de 1994, e desde maio de 1994 responsvel pelas disciplinas Sistemas de Potncia I e II, Laboratrio de Sistemas de Potncia I e II, Subestaes Eltricas e Usinas Hidreltricas na Escola de Engenharia Mau para o curso de engenharia eletrotcnica. O autor possui artigos publicados no Brasil e no exterior sobre projeto eltrico de subestao, sobre modernizao e reabilitao de usinas hidreltricas, sobre eficincia e limites operacionais de turbinas com velocidade ajustvel em sistema de conexo unitria, sobre novo modelo de gesto de qualidade para o setor energtico, sobre mtodo para clculo do GD2 de hidrogeradores e sobre aspectos tcnicos no pr-dimensionamento de grandes hidrogeradores.


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PRIMEIRO PREFCIOPRIMEIRO PREFCIOPRIMEIRO PREFCIOPRIMEIRO PREFCIO

Este livro nasceu da necessidade de desenvolvimento de elaborao de exerccios para a disciplina sistemas eltricos de potncia do curso de engenharia eltrica, opo eletrotcnica, da Escola de Engenharia Mau. Uma idia inicialmente mais tmida deu lugar elaborao deste livro mais consistente.

O livro trata de solues de exerccios padro e de exerccios extrados da realidade profissional do autor. A motivao principal para a elaborao deste livro, uma vez que o assunto no indito, a escassez de livros contendo exerccios sobre o assunto. Existe uma infinidade de livros com abordagem terica e vrios nveis de profundidade, porm com uma gama de exerccios pouco extensa. Espera-se que este livro venha a colaborar com a formao de engenheiros eletrotcnicos e a reciclagem dos profissionais atuantes no mercado de trabalho.

Dividido em cinco captulos, o livro trata de circuitos eltricos trifsicos desequilibrados como uma introduo ao estudo de sistemas eltricos de potncia e com um reforo muito grande na aplicao das leis de Kircchoff, atravs de exerccios padro de circuitos que normalmente se encontram na prtica industrial. Em seguida, aborda os valores por-unidade e valores percentuais. Posteriormente, trata de componentes simtricas da forma mais comumente utilizada no Brasil. At aqui, est toda a fundamentao necessria para o clculo de curtos-circuitos e abertura de fases. Para finalizar, o livro introduz matrizes de impedncia e admitncia nodal, como preparao para o leitor galgar nveis mais altos em seus estudos de sistemas eltricos de potncia.

A competncia tcnica e intelectual do Prof. Dr. Eng Djalma Caselato fica claramente registrada nesta coletnea de exerccios, que possibilitar aos leitores fixar ou relembrar os conceitos da teoria dos Sistemas Eltricos de Potncia atravs de questes prticas, com aplicao no cotidiano do engenheiro eletricista.

H de se destacar que somente um profissional com muita experincia prtica, que atuou nos projetos mais importantes do Brasil, no segmento da Energia Eltrica, com formao acadmica slida e muita dedicao profisso e ao compartilhamento do conhecimento poderia fazer esse livro.

Jos Ayres de Campos Diretor de Gesto e Engenharia da Construes e Comrcio Camargo Correa S.A. Presidente da CNEC Engenharia S.A.

Circuitos Trifsicos

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SEGUNDO SEGUNDO SEGUNDO SEGUNDO PREFCIOPREFCIOPREFCIOPREFCIO

A tecnologia moderna capaz de realizar a produo sem emprego. O diabo que a economia moderna no consegue inventar o consumo sem salrio.

Herbert de Souza

Este livro, concebido para auxiliar os alunos da disciplina sistemas eltricos de potncia, um livro de exerccios no qual no sero desenvolvidos os formulrios e justificativas tericas dos conceitos desta disciplina. O livro se apresenta, portanto, como um suplemento bsico aos textos de sistemas eltricos de potncia. Assim, a compreenso do assunto abordado tem como pr-requisito o conhecimento da teoria de mquinas eltricas, das solues de circuitos eltricos e a manipulao de matrizes. Embora sejam abordados assuntos introdutrios aos sistemas eltricos de potncia, muitos exerccios foram concebidos a partir da prtica em projetos eltricos reais, o que contribui para estimular o estudante a adentrar neste campo imenso que o domnio dos sistemas eltricos de potncia. O primeiro captulo aborda solues de circuitos eltricos trifsicos na condio de sistemas desequilibrados, seja a fonte e/ou a carga o elemento de desequilbrio. Estuda os diversos tipos de cargas existentes e o seu comportamento. O segundo captulo aborda um ferramental necessrio para o desenvolvimento das solues de problemas de sistemas eltricos de potncia em valores por-unidade. Trata-se de uma sistemtica usual, na qual todas as caractersticas eltricas dos equipamentos, como potncia, tenses, reatncias, resistncias e outras so apresentadas em valores relativos a uma determinada base, normalmente a potncia e a tenso nominais do equipamento, apresentadas nos dados de placas e nas especificaes tcnicas dos equipamentos. So inmeras as vantagens de resolver problemas de sistemas de potncia aplicando esta sistemtica de valores por-unidade, como se ver no segundo captulo. O terceiro captulo trata de desenvolver e solucionar exerccios pela metodologia de componentes simtrica, principalmente aplicada para casos de defeitos em redes eltricas. O quarto captulo aborda as solues de exerccios englobando a maioria dos defeitos eltricos (curtos-circuitos e aberturas de fases) que acontecem em uma rede eltrica. Neste captulo, em particular, so apresentados alguns exerccios extrados de sistemas reais. O quinto captulo aborda a metodologia de anlise dos ns, desenvolvendo o clculo e montagem da matriz admitncia de ns ou de barras. A partir desta, calcula-se a matriz impedncia de barras. Desenvolve, tambm, a montagem direta da matriz de impedncia de barras. Alguns exerccios so resolvidos e outros apenas propostos, para permitir ao estudante um desenvolvimento pessoal no conhecimento do assunto de introduo anlise de sistemas de potncia. Djalma Caselato


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1 1 1 1 CIRCUITOS TRIFSICOSCIRCUITOS TRIFSICOSCIRCUITOS TRIFSICOSCIRCUITOS TRIFSICOS

Extrato da Teoria

1.1 Introduo A grande maioria dos sistemas eltricos de potncia trifsica e, tambm, a maioria das cargas trifsica e equilibrada; entretanto, quando as cargas so monofsicas, elas sempre criam um desequilbrio no sistema. Da a necessidade de se desenvolver o conhecimento de solues de circuitos trifsicos e desequilibrados.

1.2 Operador

= 1 /120 = - 0,5 + 23 j (1.1)

2 = 1 /240 = 1 /-120 = - 0,5 - 23 j (1.2)

1 + + 2 = 0 (1.3)

1.3 Seqncia positiva (direta) Van 1

[ Van ] = Vbn = | Van | 2 (1.4) Vcn

A figura 1.1 a) representa o diagrama fasorial para a seqncia positiva. A relao entre tenses de fase e de linha para a seqncia positiva (direta) se expressa pela equao matricial (1.5) a seguir:

Vab 1

Vbc = 3 |Van | /30 2 (1.5)

Vca

Circuitos Trifsicos

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1.4 Seqncia negativa (inversa) Van 1

[ Van ] = Vbn = |Van | (1.6) Vcn

2

A figura 1.1 b) representa o diagrama fasorial para a seqncia negativa. A relao entre tenses de fase e de linha para a seqncia negativa (inversa) se expressa pela equao matricial (1.7) a seguir: Vab 1

[Vab ] = Vbc = 3 |Van | / - 30 (1.7) Vca

2

1.5 Relao entre corrente de linha e corrente de ramo na ligao em tringulo

Ia 1 [Ia ] = Ib = 3 | Iab | /-30 2 (1.8) Ic

1.6 Potncia complexa

S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn . Ic* (1.9) Sendo Ia* o conjugado da corrente Ia, Ib* de Ib e Ic* de Ic. Para sistema simtrico e equilibrado a potncia aparente vale:

S = 3 |Vab| . |Ia| , (1.10) sendo o valor do fator de potncia igual ao co-seno do ngulo formado entre a corrente de linha Ia e a tenso de fase correspondente Van; ou seja, o ngulo a diferena entre os argumentos de Van e Ia.


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1.7 Equivalncia entre carga ligada em tringulo e carga ligada em estrela

A expresso matricial que converte uma ligao em tringulo numa ligao em estrela a (1.11): Za Zca 0 0 Zab

Zb

=

++ caZacZabZ1

0

Zab

0

Zbc

(1.11)

Zc 0 0 Zbc Zca

A expresso matricial que converte uma ligao em estrela numa ligao em tringulo a (1.12): Zab Zb 0 0 Za

Zbc

=

++

cba ZZZ111

0

Zc

0

Zb

(1.12)

Zca 0 0 Za Zc

1.8 Modelos para representao de cargas

Pc = F (V) potncia ativa em funo da tenso Qc = F (V) potncia reativa em funo da tenso

a) Carga de corrente constante com variao de tenso

2

2

1

1VS

VS

= (1.13)

Circuitos Trifsicos

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b) Carga de potncia constante com variao de tenso S = P + j Q as potncias ativa e reativa permanecem iguais com a variao de tenso

c) Carga de Impedncia constante com variao de tenso

XjRS

VZc +==2

(1.14)

22

22

1

1

VS

VS

= (1.15)

1.9 Matriz de impedncias de uma linha trifsica a 4 fios com indutncias mtuas A figura 1.4 indica um trecho de linha de transmisso trifsica a 4 fios com indutncias mtuas, cujas caractersticas indicadas na figura so assim definidas:

Ra, Rb, Rc Resistncia hmica dos condutores de linha;

La , Lb , Lc Indutncia prpria dos condutores de linha;

Mab , Mbc , Mca Indutncia mtua entre os condutores de linha;

Rg Resistncia hmica do condutor de retorno;

Lg Indutncia prpria do condutor de retorno;

Mag , Mbg , Mcg Indutncia mtua entre o condutor de retorno e os condutores de linha.

Aplicando a 2 lei de Kirchhoff, e escrevendo as equaes em forma matricial, resulta:

Vaa Ra + j La j (Mab Mag) J (Mac Mag) Ia Vbb = j (Mab Mbg) Rb + j Lb J (Mbc Mbg) Ib (1.16) Vcc j (Mac Mcg) j (Mbc Mcg) Rc + j Lc Ic Resulta ainda:

Vnn = (Ia + Ib + Ic) (Rg + jLg) jMag.Ia jMbg.Ib jMcg.Ic (1.17) Vnn = [Rg + j (Lg - Mag.)] Ia + [Rg + j (Lg Mbg.)] Ib + [Rg + j (Lg Mcg.)] Ic (1.18) Para linhas de transmisso com transposio completa, resultam:

Ra = Rb = Rc = R

La = Lb = Lc = L

Mab = Mbc = Mca = M (1.19) Mag = Mbg = Mcg = M

Ra + j La = Rb + j Lb = Rc + j Lc = R + j L impedncia prpria Zp = R + Rg + + j (L + Lg 2 M) (1.20)


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Zm = Rg + j (Lg + M 2.M ) = impedncia mtua Portanto,

A matriz impedncia que multiplica a matriz coluna de correntes chama-se matriz de impedncias da rede e representa-se por Zrede.

Exerccios resolvidos

1.1 Um sistema trifsico simtrico e equilibrado com seqncia de fase direta alimenta uma carga com Vcn = 380 /35 V. Pede-se: a) As tenses de fase da carga; b) As tenses de linha da carga; c) Desenhar o diagrama fasorial.

Soluo:

Por ser um sistema simtrico: |Vcn| = |Van| = |Vbn| = 380 V a) Clculo das tenses de fase da carga:

Por ser trifsico e com seqncia direta, e utilizando a expresso matricial (1.4), tem-se: Vcn 1 380 /35

[Vcn] = Van = 380 /35 2 = 380 /-85 volts Vbn 380 /155

b) Clculo das tenses de linha da carga: Utilizando a expresso matricial (1.5), as tenses de linha da carga so: Vca 1 658,179 /75

Vab = 3 x 380 /35 + 30 2 = 658,179 /-45 Vbc 658,179 /195

c) O diagrama fasorial da figura 1.5 mostra as tenses de linha da carga para a seqncia positiva:

1.2 Resolver o exerccio anterior admitindo seqncia inversa.

Van Van Zp Zm Zm Ia

Vbn Vbn = Zm Zp Zm Ib (1.21) Vcn Vcn Zm Zm Zp Ic

Circuitos Trifsicos

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Soluo:

a) Clculo das tenses de fase da carga: Por ser trifsico e com seqncia inversa ou negativa, e utilizando a expresso matricial (1.6), tem-se:

Vcn 1 380 /35

[Vcn] = Vbn = 380 /35 2 = 380 /-85 volts Van 380 /155

b) Clculo das tenses de linha da carga: Utilizando a expresso matricial (1.7), as tenses de linha da carga so: Vab 1 658,179 /125

Vbc = 3 x 380 /155-30 = 658,179 /245 volts Vca

2

658,179 /5

c) O diagrama fasorial da figura 1.6 mostra as tenses de linha da carga, para a seqncia negativa:

1.3 Resolver o circuito trifsico da figura 1.7. Calcular: a) A corrente de carga; b) A potncia consumida pela carga. Os valores dos parmetros so: ZL = 0,5 + j ohms; Z = 10 + j 6; E = 127 V.

Soluo: Como o circuito est totalmente equilibrado, pode-se resolv-lo como se tivesse uma nica fase, ou seja, interligando os pontos N e N por um fio de impedncia nula, conforme mostrado na figura 1.8.


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a) Clculo da corrente da carga:

=

+

=

+

= jZZL

EIa 75,1001270 10,064 / -33,69 A

b) Clculo da potncia consumida pela fonte: Clculo da potncia (ver equao (1.10)): A defasagem angular entre a tenso de fase e a corrente de 33,69.

S = == 69,33899,383469,33064,102203||.||3 IV VA ou ainda, pela equao (1.9): S = 127 / 0 x 10,064 / 33,69 + 127 / - 120 x 10,064 / 153,69 + 127 /120 x 10,064 / -

86,31 S = 3834,899 /33,69 VA

1.4 No circuito da figura 1.9, os valores das impedncias so:

ZL = 0,2 + j 0,6 Zn = 5 (retorno) Za = 5 + 3 j Zb = 5 + 8 j Zc = 3 + 12 j A fonte simtrica e equilibrada com o valor de tenso Van = 127 /0 V. Calcular: a) Os valores das correntes das fases; b) O valor da potncia consumida da carga. Soluo:

a) Clculo das correntes das fases: Seja a equao matricial: [ Van ] = [ Z ] . [ Ia ] + Zn . In

Van ZL + Za 0 0 Ia

Vbn = 0 ZL + Zb 0 Ib + Zn . (Ia + Ib + Ic) (1.22) Vcn 0 0 ZL + Zc Ic

Circuitos Trifsicos

16

Da equao matricial (1.22), resultam:

naL

n

aL

ana IZZ

ZZZ

VI+

+= (1.23)

nbL

n

bL

bnb IZZ

ZZZ

VI+

+= (1.24)

ncL

n

cL

anc IZZ

ZZZ

VI+

+= (1.25)

Como In = Ia + Ib + Ic, tem-se que:

cL

n

bL

n

aL

n

cL

cn

bL

bn

aL

an

n

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZV

ZZV

ZZV

I

++

++

++

++

++

+=

1 (1.26)

127 /0 5,2 + j 3,6 0 0 Ia 127 /-120 = 0 5,2 + 8,6 j 0 Ib + 5 . In 127 /120 0 0 3,2 + 12,6 j Ic

Portanto,

127 /0 = (5,2 + j 3,6) . Ia + 5 In 127 /-120 = (5,2 + j 8,6) . Ib + 5 In 127 /120 = (3,2 + j 12,6) . Ic + 5 In Das expresses acima resultam:

nna IIjji =++

= 7,3479,07,3408,206,32,5

56,32,5

0127

nnb IIjji =++

= 8,584975,08,17864,126,32,5

56,32,5

120127

nnc IIjji =++

= 7,753846,02,44769,96,32,5

56,32,5

120127

Sendo Ia + Ib + Ic = In, quando se somam as trs expresses acima, tem-se que:

nn II = 2,51601,12,2492,11


17

In = 5,052 / 7,7 A e

Ia = 16,13 / -36,6 A Ib = 14,32 / 173,2 A Ic = 10,66 / 54,0 A Outra maneira de resolver o problema partindo de (1.23): Van ZL + Za 0 0 Ia Zn Zn Zn Ia

Vbn = 0 ZL + Zb 0 Ib + Zn Zn Zn Ib (1.27) Vcn 0 0 ZL + Zc Ic Zn Zn Zn Ic

Van ZL + Za + Zn Zn Zn Ia

Vbn = Zn ZL + Zb + Zn Zn Ib (1.28) Vcn Zn Zn ZL + Zc + Zn Ic

127 /0 10,2+3,6i 5 5 Ia 127 /-120 = 5 10,2+8,6i 5 Ib 127 /120 5 5 8,2+12,6i Ic

Da, resulta:

Ia = 16,13 / -36,6 A

Ib = 14,32 / 173,2 A

Ic = 10,66 / 54,0 A

Somando as trs correntes, determina-se In:

In = Ia + Ib + Ic = 5,052 / 7,7 A E, ainda,

Vnn = Zn.In = (5) x (5,052 / 7,7) = 25,25 / 7,7 V (Queda no fio de retorno) Van = Za . Ia = (5 + j 3) x 16,13 / -36,6 = 94,05 / -5,6 Vbn = Zb. Ib = (5 + j 8) x 14,32 / 173,2 = 135,09 / -128,8 Van = Zc . Ic = (3 + j 12) x 10,654 / 53,9 = 131,78 / 129,9

b) Clculo da potncia consumida pela carga: A potncia consumida pela carga, pela equao (1.8), : S = 94,05 / - 5,6 x 16,13 / 36,6 + 135,09 / - 128,8 x 14,32 / -173,2 + 131,78 / 129,9 x10,66

/ -53,9 S = 2667,0 +3782,9 j VA 1.5 Para a figura 1.10, determinar os valores de corrente e de potncia envolvidos, utilizando os seguintes dados:

Circuitos Trifsicos

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Van = 220 / 0 V; Vbn = 220 / -120 V; Vbn = 220 / 120 V; ZL = 0,2 + 10 j; Za = 20 + j ; Zb = 1 + 15 j ; Zc = 1 - 18 j Zn = 0,2 + 10 j

SOLUO: a) Clculo das correntes:

A partir da equao matricial (1.28), obtm-se: 220 /0 20,4+21i 0,2+10i 0,2+10i Ia

220 /-120 = 0,2+10i 1,4+35i 0,2+10i Ib

220 /120 0,2+10i 0,2+10i 1,4+2i Ic

Resolvendo essa equao matricial, resultam:

Ia = 22,9460 + j 2,8008 A Ib = 4,9241 j 3,8717 A Ic = -59,1812 + j 21,7149 A Sendo Ia + Ib + Ic = In, ento:

In = -31,3111 + j 20,6439 A Clculo das tenses na carga: [Van] = [Van] [Zrede] . [Ia] Van Van 0,2 + 10 j 0 0 22,95 + j 2,80 334,91 /-43,4 Vbn = Vbn - 0 0,2 + 10 j 0 4,92 j 3,87 = 282,01/-122,1 Vcn Vcn 0 0 0,2 + 10 j -59,18 + j 21,71 787,04 /81,3

b) Clculo da potncia consumida: A partir da equao (1.8) obtm-se o valor da potncia consumida pela carga: S = 334,906 / - 43,4 x (22,9460 - j 2,8008) + 282,007 / - 122,1 x (4,9241 + j 3,8717) +

787,041 / 81,3 x (-59,1812 - j 21,7149) S = 14982 W - j 56343 var

c) Clculo da potncia da fonte: A partir da equao (1.8) obtm-se o valor da potncia da fonte: S = 220 / 0 x (22,9460 - j 2,8008) + 220 / - 120 x (4,9241 + j 3,8717) + 220 / 120 x (-

59,1812 - j 21,7149)


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S = 15892 W - j 10867 var 1.6 Calcular o circuito da figura 1.11, determinando: a) As correntes envolvidas; b) As tenses envolvidas; c) A potncia fornecida pela fonte de energia; d) O fator de potncia da fonte. So dados: ZL = 0,2 + 0,5 j;

Za = 10 j ;

C = 100 F; freqncia 60 Hz;

|Ia| = |Ib| = Ic| = 2 A (simtrico e equilibrado)

Soluo:

a) Clculo das correntes:

jjXj C 52,2610100377 6 =

=

Van = - j Xc . Ia = - j 26,52 x 2 / 0 = 53,0504 / -90 V Vbn = - j Xc . Ib = - j 26,52 x 2 / -120 = 53,0504 / -210 V Vcn = - j Xc . Ic = - j 26,52 x 2 / 120 = 53,0504 / 30 V

AjZVI

a

naa 304,510

900504,53''

'=

==

AjjZVI

b

nbb 593,4652,210

2100504,53''

' +=

==

AjjZVI

a

naa 593,4652,210

304050,53''

'=

==

Clculo das correntes na fonte:

Ia = Ia + Ia = - 3,304 A

Ib = Ib + Ib = 1,652 + j 2,861 A

Ia = Ia + Ia = 1,652 j 2,861 A b) Clculo das tenses:

Circuitos Trifsicos

20

Clculo de Van, Vbn e Vcn

Van = Van + ZL . Ia = 53,0504 / -90 + (0,2 + j 0,5) x (-3,304 / 0) = 55,702 / -91,1 V

Vbn = Vbn + ZL . Ib = 53,0504 / -210 + (0,2 + j 0,5) x (1,652 + j 2,861) = = 55,702 / 148,9 V

Vcn = Vcn + ZL . Ic = 53,0504 / 30 + (0,2 + j 0,5) x (1,652 j 2,861) = = 55,702 / 28,9 V c) Clculo da potncia na fonte:

A potncia da fonte S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic*

S = 55,702 /-91,1 x 3,304 /180+ 55,702 /148,9 x (1,652 + j 2,861) + 55,702 / 28,9 x (1,652 - j 2,861)

S = 10,5146 + j 552,0191 = 552,119 / 88,9 VA d) Clculo do fator de potncia da fonte:

91,885146,100191,552

arctan ==

Fator de potncia = cos (88,9) = 0,019 1.7 Calcular o circuito da figura 1.12, determinando: a) O valor de Vnn; b) Os valores das correntes; c) Os valores das quedas de tenso da carga; d) As tenses de fase da carga; e) A potncia fornecida pela fonte; f) A potncia consumida pela carga; g) O fator de potncia da carga. Dados: Van = 127 / 0 , fonte simtrica e equilibrada.

ZL = j 0,2 Za = 5 + 2 j Zb = 4 + j Zc = 6 + 1,5 j

Soluo:

a) Clculo de Vnn:

Van = Van + Vnn = ( ZL + Za ). Ia (1.29)

Vbn = Vbn + Vnn = ( ZL + Zb ). Ib (1.30)

Vcn = Vcn + Vnn = ( ZL + Zc ). Ic (1.31)

Resultam dessas equaes:

a

nn

a

ana ZZL

VZZL

VI+

++

='

(1.32)


21

cba

c

cn

b

bn

a

an

ZZLZZLZZL

ZZLV

ZZLV

ZZLV

Vnn

++

++

+

++

++

+=

111'

b

nn

b

bnb ZZL

VZZL

VI+

++

='

(1.33)

c

nn

c

cnc ZZL

VZZL

VI+

++

='

(1.34)

Somando as trs expresses e sabendo que: Ia + Ib + Ic = 0 , resulta:

(1.35) 1.35)

Clculo das correntes:

Das expresses (1.32); (1.33); (1.34) e (1.35) obtm-se:

AjjIa 9,14221,242,255,79615,20

2,250127

=+

+

+

=

AjjIb 4,140811,252,255,79615,20

2,25120127

=+

+

+

=

AIII bac 8,98980,22)( =+=

b) Clculo das quedas de tenses de fase da carga:

Van = Za . Ia = (5 + j 2) x 24,221 / -14,9 = 130,434 / 6,9 V

Vbn = Zb . Ib = (4 + j) x 25,811 / -140,4 = 106,426 / -126,3 V

Vcn = Zc . Ic = (6 + j 1,5) x 22,980 / 98,8 = 142,124 / 112,9 V c) Clculo das tenses de fase da carga

Van = Za . Ia + Vnn = 130,434 / 6,9 - 20,615 /79,5 = 125,838 / -2,1 V

Vbn = Zb . Ib + Vnn = 106,426 / -126,3 - 20,615 /79,5 = 125,297 / -122,1 V

Vcn = Zc . Ic + Vnn = 142,124 / 112,9 - 20,615 /79,5 = 125,413 / 118,0 V

d) Potncia fornecida pela fonte: A potncia fornecida pela fonte calculada utilizando a equao (1.8): S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 127 / 0 x 24,221 / 14,9 + 127 / -120 x 25,811 / 140,4 + 127 / 120 x 22,980 /

-98,8 S = 8766,67 + j 2987,85 VA = 9261,81 / 18,8

e) Potncia consumida pela carga: A potncia consumida pela carga S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic*

27,2074,3

5,162,01

42,01

252,01

5,162,0120127

42,0120127

252,00127

' jjjjjjj

jjjjjjVnn +=++

+++

+++

++

+

++

+

++

=

Circuitos Trifsicos

22

S = 125,838 / -2,1 x 24,221/ 14,9 + 125,297/ -122,1 x 25,811 / 140,4 + 125,413/ 118,0 x 22,980 / -98,8

S = 8766,67 + j 2631,66 VA = 9153,15 / 16,7 VA f) Fator de potncia da carga:

71,1667,876666,2631

arctan ==

Fator de potncia = cos(16,71) = 0,9578 1.8 Calcular os valores de W1 e W2, para o exerccio anterior, de acordo com os wattmetros instalados na figura 1.13:

Vab = Van Vbn = 125,838 / -2,1 - 125,297 / -122,1 = 217,58 / 27,8 V Vbc = Vcn Vbn = 125,413 / 118,0 - 125,297 / -122,1 = 216,84 / 87,9 V W1 = Re (Vab . Ia*) = 217,58 / 27,8 . 24,221/ -14,9 = 3873,45 W W2 = Re (Vcb . Ic*) = 216,84 / 87,9 . 22,980 / 98,8 = 4893,22 W W1 + W2 = 8766,67 W

1.9 Calcular o circuito da figura 1.14, determinando: a) O valor das correntes; b) O valor das tenses de fase da carga; c) A potncia fornecida pela fonte; d) A potncia consumida pela carga; e) O fator de potncia da carga.

Dados: ZL = 0,1 + 0,5 j Zab = 5 + j 10 Zbc = 3+ 15 j Zca = 12 E ainda, Van = 380 / 0 V; Vbn = 380 / - 100 V e Vcn = 405 / 100 V.

Soluo: Transformar a carga ligada em delta numa ligao em estrela no aterrada, ficando, portanto, a soluo similar do exerccio 1.7.

j0,87804,09762520

12.)105(+=

+

+= j

jZa


23

j5,34150,07317-2520

)153(.)105(+=

+

++= j

jjZb

j2,63415,09272520

12.)153(+=

+

+= j

jZc

Clculo de Vnn A partir da expresso (1.35), obtm-se:

Vnn = 1,368 128,9 j V a) Clculo das correntes:

A partir das expresses (1.24); (1.25) e (1.26) obtm-se: AjjIa 8,3612,913780,11976,4

4,8991,1283780,11976,40380

=+

+

+

=

AjjIb 9,17284,868415,5026829,04,8991,128

8415,5026829,0100380 =

+

+

+

=

AjjIc 2,7394,451341,31927,54,8991,128

1341,31927,5100405 =

+

+

+

=

b) Clculo das tenses de fase da carga: Van = Van - ZL . Ia = 380 / 0 - (0,1 + 0,5 j ) x (72,91 54,65 j) = 345,38 + 30,99 j V Vbn = Vbn - ZL . Ib = 380 / -100 - (0,1 + 0,5 j ) x (-86,1735 +10,6713 j) = = - 52,03 332,20 j

V

Vcn = Vcn - ZL . Ic = 405 / 100 - (0,1 + 0,5 j ) x (13,2635 +43,9787 j) = = - 49,66 + 387,82 j V

c) Potncia fornecida pela fonte: A potncia fornecida pela fonte calculada utilizando a equao (1.9): S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 380 / 0 x 91,12 / -36,8 + 380 / -100 x 86,84 / 172,9 + 405 / 100 x 45,94 / 73,2 S = 46010,9 (W) + j 62103,5 (var) = 77290,7 / 53,5 VA

d) Clculo da potncia consumida pela carga: S = (345,38 - 30,99 j) x 91,12 / 36,8 + (- 52,03 332,20 j) x 86,84 /-172,9 + (- 49,66 + 387,82 j) x 45,94 / -

73,2 S = 44215,6 + 53126,8 j VA e) Fator de potncia da carga:

23,506,442158,53126

arctan ==

Fator de potncia = cos(50,23) = 0,64 1.10 Calcular o circuito da figura 1.15, determinando: a) O valor das correntes; b) O valor das tenses de

jjj

jjjVnn1341,31927,5

18415,5026829,0

13780,11976,4

11341,31927,5

1004058415,5026829,0

1003803780,11976,40380

'

++

++

+

+

+

+

+

+

=

Circuitos Trifsicos

24

fase da carga; c) A potncia fornecida pela fonte; d) A potncia consumida pela carga; e) O fator de potncia da fonte.

Dados: ZL = 0,1 + j 0,5 Zm = 0,1 j Zab = 6 + 4 j Zbc = 12 + 8 j Zca = 12 8 j Van = 460 V simtrico e equilibrado.

Soluo: Transformar a carga ligada em delta numa ligao em estrela no aterrada, aplicando a equao matricial (1.11) ficando, portanto, a soluo similar do exerccio 1.7. Za 12-8 j 0 0 6+4 j 3,4061 0,4541 j

Zb =

+ j4301

0 6+4 j 0 12+8 j = 1,7293 + 2,9694 j

Zc 0 0 12+8 j 12-8 j 6,8122 0,9083 j

Para os terminais da carga, vale;

Van = Van + Vnn = Ia . Za

Vbn = Vbn + Vnn = Ib . Zb (1.36) Vcn = Vcn + Vnn = Ic . Zc

Isolando as correntes e sabendo que Ya, Yb e Yc so as admitncias das cargas, tm-se: Ia = Ya.Van + Ya.Vnn Ib = Yb.Vbn + Yb.Vnn (1.37) Ic = Yc.Vcn + Yc.Vnn Sabendo que a somatria das correntes nula, resulta:

cba

nccnbbnaann YYY

VYVYVYV++

++=

'''

'

...

(1.38)

Matricialmente a equao (1.38) pode ser escrita: Vnn Ya Yb Yc Van

Vnn = cba YYY ++

1 Ya Yb Yc Vbn (1.39)

Vnn Ya Yb Yc Vcn

As equaes (1.36) resultam:

Van Za 0 0 Ia Ia

Vbn = 0 Zb 0 Ib = Zcarga Ib (1.40)

Vcn 0 0 Zc Ic Ic


25

Substituindo (1.39) em (1.40) resulta:

cba

a

YYYY

++1

cba

b

YYYY

++

cba

c

YYYY

++

Van Ia

cba

a

YYYY

++

cba

b

YYYY

++

1 cba

c

YYYY

++

Vbn = Zcarga Ib (1.41)

cba

a

YYYY

++

cba

b

YYYY

++

cba

c

YYYY

++

1 Vcn Ic

cba

a

YYYY

++1

cba

b

YYYY

++

cba

c

YYYY

++

YT = cba

a

YYYY

++

cba

b

YYYY

++

1 cba

c

YYYY

++

(1.42)

cba

a

YYYY

++

cba

b

YYYY

++

cba

c

YYYY

++

1

Resulta, portanto:

Van Ia

YT Vbn = Zcarga Ib (1.43)

Vcn Ic

Por outro lado, a tenso no incio da rede vale:

Van Van ZL Zm Zm Ia

Vbn = Vbn + Zm ZL Zm Ib (1.44)

Vcn Vcn Zm Zm ZL Ic

Ou, ainda:

Van Van ZL Zm Zm Ia

Vbn = Vbn - Zm ZL Zm Ib (1.45)

Vcn Vcn Zm Zm ZL Ic

Substituindo (1.45) em (1.41) resulta:

Van ZL Zm Zm Ia Za 0 0 Ia

YT Vbn - Zm ZL Zm Ib = 0 Zb 0 Ib (1.46)

Vcn Zm Zm ZL Ic 0 0 Zc Ic

Circuitos Trifsicos

26

Zrede Zcarga

Ou

Van Ia

YT Vbn = YT Zrede + Zcarga Ib (1.47)

Vcn Ic

E, portanto:

Ia -1 Van

Ib = YT Zrede + Zcarga YT Vbn (1.48)

Ic Vcn

a) Clculo das correntes Calculando as matrizes da equao (1.48) vem primeiramente a matriz da equao (1.42):

0,9681 + 0,0032 j -0,2610 0,2742 -0,7071 + 0,2710 j

YT = -0,0319 + 0,0032 j 0,7390 0,2742 j -0,7071 + 0,2710 j

-0,0319 + 0,0032 j -0,2610 0,2742 j 0,2929 + 0,2710 j

Por outro lado,

0,1 + j 0,5 0,1 j 0,1 j

Zrede = 0,1 j 0,1 + j 0,5 0,1 j

0,1 j 0,1 j 0,1 + j 0,5

E, ainda,

3,4061 0,4541 j 0 0

Zcarga = 0 1,7293 + 2,9694 j 0

0 0 6,8122 0,9083 j

E,

Van 480 / 0

Vbn = 480 / -120

Vcn 480 / 120

Resulta, portanto;

Ia 154,91 / -7,4

Ib = 130,59 / -169,2 (A)


27

Ic 51,13 / 119,7

b) Clculo das tenses de fase da carga: Aplicando o conjunto de equaes (1.36), resultam: Van = 532,33 / -15,0 V

Vbn = 448,73 / -109,4 V

Vcn = 351,36 / 112,1 V

c) Clculo da potncia fornecida pela fonte: S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 133400 (W) + j 54832 (var)

d) Clculo da potncia consumida pela carga: S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 129040 (W) j 37365 (var)

e) Clculo do fator de potncia da carga: fp = cos(atan(54832/133400)) = 0,925 Exerccios Propostos

1.11 Um sistema trifsico simtrico e equilibrado com seqncia de fase direta alimenta uma carga com Vcn = 230 /15 V. Pede-se: a) As tenses de fase da carga; b) As tenses de linha da carga; c) Desenhar o diagrama fasorial com as trs fases.

1.12 Resolver o circuito anterior admitindo seqncia inversa.

1.13 Resolver o circuito trifsico da figura do exerccio 1.7. Calcular: a) A corrente da carga; b) A potncia fornecida pela fonte; c) A potncia consumida pela carga. Dados: ZL = 1 + j ohm; Z = 1 + j 6,5 ohm; E = 110 V.

1.14 No circuito mostrado na figura 1.10, os valores das impedncias so:

ZL = 0,1 + j 3,5 Za = 4 + 2,5 j Zb = 4 + 9 j Zc = 3,5 + 10,5 j Zn = 4,5 (impedncia de aterramento da carga) A fonte simtrica e equilibrada, com valor de tenso Van = 220 /0 V. Calcular: a) As correntes de fase e do neutro; b) As tenses de fase da carga; c) A potncia consumida pela carga; d) A potncia fornecida pela fonte de energia. 1.15 No circuito da figura 1.9, os valores das impedncias so:

ZL = 0,1 + j 3,5 Za = 4 + 2,5 j Zb = 4 + 9 j Zc = 3,5 + 10,5 j Zn = 4,5 (impedncia de retorno da linha) A fonte simtrica e equilibrada, com o valor de tenso Van = 220 /0 V. Calcular: a) As correntes de fase e do neutro; b) As tenses de fase da carga; c) A potncia consumida pela carga; d) A potncia fornecida pela fonte de energia. 1.16 Para o circuito da figura 1.16, para Van = 210 / 0 V; Vbn = 205 / -102 V e Vcn = 208 / 119 V e, ainda, Za = j 45 , Zb = j 18,5 e Zc = - j 27 ; determinar: a) As correntes de linha e a corrente de neutro; b) As tenses de fase da carga; c) A potncia consumida; d) A potncia fornecida pela fonte de energia.

Circuitos Trifsicos

28

1.17 Um restaurante com alimentao monofsica a trs fios (220 V fase-a-fase e 110 V fase-neutro obtido por tap central do enrolamento do transformador) possui as seguintes cargas: 20.000 W ligados em 220 V, 10.000 W ligados na fase A com o neutro, e outros 12.100 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos trs condutores. Ver figura 1.17.

1.18 Uma pizzaria com alimentao monofsica a trs fios (220 V fase-a-fase e 110 V fase-neutro obtido por tap central do enrolamento do transformador) possui as seguintes cargas: 18.000 W ligados em 220 V, 7.000 W ligados na fase A com o neutro e outras 5.000 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos trs condutores. Ver figura 1.17.

1.19 Uma casa comercial possui uma alimentao monofsica a trs fios (220 V fase-a-fase e 127 fase-neutro) com as seguintes cargas: 18.000 W ligados em 220 V, 7.000 ligados na fase A com o neutro e outras 5.000 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos trs condutores.

1.20 Para o circuito da figura 1.18, para Van = 118 / 0 V; Vbn = 125 / -102 V e Vcn = 128 / 119 V e, ainda, Za = j 40,5 , Zb = j 39,7 , Zc = j 40,2 , ZL = 0,1+0,6 j e Zn = 0,4 j (retorno da linha), determinar: a) As correntes de linha; b) As tenses das fases da carga; c) A tenso Vnn; c) A potncia consumida pela carga; d) A potncia fornecida pela fonte de energia.

1.21 Um gerador possui um sistema de aquecimento para quando est fora de operao. Este sistema consiste de resistncias ligadas, como mostra a figura 1.19. Calcular as correntes das fases A, B, C, a corrente do neutro e a potncia complexa consumida, nos casos a seguir:


29

a) Por um problema tcnico, as duas resistncias da fase C ficam desconectadas, deixando esta fase aberta.

b) Por um problema tcnico, somente uma das resistncias da fase C fica desconectada.

Caractersticas de cada resistncia: Potncia 1500 W; Tenso 380 V; Comprimento 750 mm.

A alimentao eltrica feita com seqncia direta, com valor de tenso: VAB = 220 V.

1.22 Para o circuito da figura 1.18, Van = 125 / 0 V, Vbn = 125 / -102 V, Vcn = 128 / 119 V, e ainda, ZL = j 0,5 , Za = 46,6 + j 40,5 , Zb = 45,0 + j 39,7 , Zc = 47 + j 40,2 , e Zn = j 40 (impedncia de aterramento da carga). Determinar: a) As correntes da carga e do neutro; b) A potncia consumida pela carga; c) O fator de potncia da carga. 1.23 Resolver o exerccio anterior com Zn = 0 , determinando: a) As correntes da carga e do neutro; b) A potncia complexa consumida pela carga; c) O fator de potncia da carga.

1.24 Resolver o exerccio 1.22 para o caso em que o fio de retorno se rompe e a carga fica com o neutro isolado, calculando: a) As correntes da carga; b) A tenso VNN; c) A potncia fornecida pela fonte.

1.25 Para o circuito da figura 1.20, com o disjuntor D aberto e sabendo os seguintes dados: Dados 1.25.1 1.25.2 1.25.3 1.25.4 1.25.5

Za () 400 + j 200 410 + j 210 390 + j 190 385 + j 185 380 + j 180 Zb () 400 + j 200 410 + j 210 390 + j 190 385 + j 185 380 + j 180 Zc () 400 + j 200 410 + j 210 390 + j 190 385 + j 185 380 + j 180 ZL () 5 + j 50 4 + j 40 6 + j 60 7 + j 70 8 + j 80 Zm () 50 j 45 j 6 j 0 0 Zmg () j 5 j 4,5 j 0,5 0 0 Zn () 10 + j 50 8 + j 40 12 + j 60 2 + j 35 0 Van (V) 127 / 1 200 / 1,5 265 / 2 290 / 2,5 300 / -1 Vbn (V) 127 / -105 200 / -115 265 / -109 290 / -115 300 / -100 Vcn (V) 127 / 125 200 / 128 265 / 115 290 / 135 300 / 120

Calcular: a) As correntes de fase e de neutro; b) A potncia da carga; c) A potncia complexa no incio da Linha (pontos A-B-C); d) As tenses nos pontos A, B e C, prximo ao disjuntor aberto.

Circuitos Trifsicos

30

1.26 Resolver o circuito abaixo, figura 1.21, sabendo que simtrico e equilibrado:

CARGA

Exerccio Tenso de linha na fonte (V)

Impedncia da linha Z (ohm)

Tenso nominal (V)

Potncia (kW)

Fator de potncia (indutivo)

1.26.1 480 0,01 + j 0,05 480 300 0,9 1.26.2 2200 0,02 + j 0,15 2200 2500 0,9 1.26.3 4160 0,02 + j 0,3 4160 4500 0,85 1.26.4 6900 0,04 + j 0,7 6600 5000 0,92 1.26.5 13800 0,07 + j 0,1 13800 15000 0,9 1.26.6 460 0,008 + j 0,02 440 700 0,85 1.26.7 480 0,009 + j 0,018 440 800 0,9 1.26.8 2200 0,08 + j 0,1 2200 3500 0,9 1.26.9 220 0,005 + j 0,02 220 125 0,82 1.26.10 400 0,009 + j 0,01 380 600 0,85 1.26.11 4160 0,05 + j 0,25 4160 4500 0,85

Resolver, considerando: a) Carga modelada por impedncia constante; b) Carga modelada por potncia constante; c) Carga modelada por corrente constante; d) Construir uma tabela comparativa entre as trs solues.

Soluo do Exerccio 1.26.1

a) Carga modelada por impedncia constante Clculo da impedncia da carga:


31

ohmjarcSV

Z abC 3013,06221,09,0/300000)9,0cos(480

*

2

+=

==

Clculo da corrente:

1,2922,383)3013,06221,005,001,0(3

0480=

+++

=

+=

jjZZV

ICL

an

a

A tenso nos terminais da carga :

Van = Ia . Zc = (0,6221 + j 0,3013) x 383,22 / - 29,1 = 264,89 / -3,26 V A potncia absorvida pela carga :

kVAIVS ana 8,2554,3041,2922,38326,389,26433 '' ===

b) Carga modelada por potncia constante Como a potncia consumida constante, a corrente eltrica depende da tenso aplicada carga e este valor no conhecido. O clculo processado iterativamente da seguinte forma:

Adota-se um valor de tenso inicial da carga, que pode ser a nominal do sistema; Calcula-se a corrente absorvida pela carga; Com este valor de corrente, calcula-se o novo valor de tenso nos terminais da carga; Compara-se este valor com o valor adotado inicialmente e, se a diferena estiver dentro da preciso

desejada, o valor procurado este, seno, calcula-se novamente a corrente e o novo valor de tenso da resultante.

Tenso inicial: 0128,277

3480)0(

''==naV

Clculo do valor inicial da corrente:

AxV

SIna

a 8,2594,4000128,2779,03

8,253000003

**

''

)0(=

=

=

Clculo do novo valor de tenso: 5,328,2658,2594,400)05,001,0(0128,277)0()1(

''=+== jIZVV aLanna

Clculo da iterao seguinte:

AxV

SIna

a 3,2984,4185,328,2659,03

8,253000003

**

''

)1(=

=

=


''=+== jIZVV aLanna


AxV

SIna

a 3,2931,4215,373,2639,03

8,253000003

**

''

)2(=

=

=


''=+== jIZVV aLanna


AxV

SIna

a 3,2948,4215,362,2639,03

8,253000003

**

''

)3(=

=

=

Clculo do novo valor de tenso:

Circuitos Trifsicos

32

5,364,2633,2948,421)05,001,0(0128,277)3()3(''

=+== jIZVV aLanna


AxV

SIna

a 3,2945,4215,364,2639,03

8,253000003

**

''

)4(=

=

=


''=+== jIZVV aLanna

Como a diferena de valores entre a iterao 4 e a iterao 3 est dentro da preciso desejada, o valor da tenso a ser adotada : Van = 263,64 / - 3,5 V O seguinte clculo feito para comprovar que a potncia permaneceu constante:

S = 3 x Van . Ia* = 3 x 263,62 / - 3,5 x 421,48 / + 29,4 = 333,33 / 25,8 kVA

c) Carga modelada por corrente constante Neste caso, o mdulo da corrente constante; entretanto, seu argumento no o . O processo de clculo a ser adotado tambm iterativo.

Tenso inicial: 0128,2773

0480)0(''

==naV

Clculo do valor inicial da corrente:

AxV

SIna

a 8,2594,4000128,2779,03

8,253000003

**

''

)0(=

=

=

O valor de = 25,84 deve permanecer constante. Clculo do novo valor de tenso:

5,329,2658,2594,400)05,001,0(0128,277)0()1(''

=+== jIZVV aLanna

Clculo do argumento da corrente:

(1) = (1) - = - 3,5 - 25,8 = -29,3

Ento, o novo valor de corrente Ia(2) = 400,94 / - 29,3 A Clculo da iterao seguinte do valor de tenso:

4,328,2643,2994,400)05,001,0(0128,277)2()2(''

=+== jIZVV aLanna


(1) = (1) - = - 3,4 - 25,8 = 29,2

Ento, o novo valor de corrente Ia(3) = 400,94 / - 29,2 A. Clculo da iterao seguinte do valor de tenso:

4,330,2642,2994,400)05,001,0(0128,277)3()3(''

=+== jIZVV aLanna


(1) = (1) - = - 3,4 - 25,8 = 29,2

Ento, o novo valor de corrente Ia(4) = 400,94 / - 29,2 A. Clculo da iterao seguinte do valor de tenso:

4,330,2642,2994,400)05,001,0(0128,277)4()4(''

=+== jIZVV aLanna


(1) = (1) - = - 3,4 - 25,8 = 29,2


33

Ento, o valor final da corrente Ia = 400,94 / - 29,2 A; neste caso, a potncia absorvida pela carga :

S = 3 x Van . Ia* = 3 x 264,30 / - 3,4 x 400,94 / + 29,2 = 317,91 / 25,8 kVA

d) Comparao entre as trs solues Modelo Impedncia

constante Potncia constante Corrente constante

Ia (A) 383,23 / - 29,1 421,48 / - 29,4 400,94 / - 29,2 Van (V) 264,89 / -3,2 263,62 / - 3,5 264,30 / - 3,4 S (kVA) 304,540 / 25,8 333,333 / 25,8 317,905 / 25,8

1.27 Um alimentador de uma fonte de energia de 440 V, trifsica, 60 Hz, alimenta as seguintes cargas trifsicas: Motor 440 V, 150 kW, rendimento de 94%, fator de potncia 0,85 atrasado; Resistncia 32 kW; Outras cargas 60 kW com fator de potncia 0,7 atrasado. Calcular a potncia complexa total.

1.28 Um forno a arco submerso para produo de silcio metlico consome 25 kW, com fator de potncia 0,68 atrasado. Calcular a potncia do banco de capacitores necessria para corrigir o fator de potncia para 0,92 atrasado.

1.29 Para correo do fator de potncia de uma fbrica existe um banco de capacitores formado de dois sub-bancos, conforme mostra a figura 1.22. Cada sub-banco ligado em estrela no-aterrada, e os neutros desses sub-bancos esto interligados. Cada brao da estrela possui sete capacitores ligados em paralelo. O reator de limitao de corrente de inrush possui o valor de indutncia L = 9,06 mH. Cada capacitor possui o valor de capacitncia C = 5,71 F. O sistema alimentado com a tenso de linha de 14.800 V, simtrico e equilibrado na freqncia de 60 Hz. Calcular o mdulo da corrente de neutro para as seguintes situaes:

Exerccios Situaes 1.29.1 Um capacitor com defeito na fase A 1.29.2 Defeito num capacitor da fase A de uma estrela e na fase B da outra estrela 1.29.3 Dois capacitores com defeito no mesmo brao da estrela Fase A 1.29.4 Defeito num capacitor da fase A de uma estrela e na fase A da outra estrela 1.29.5 Defeito num capacitor no brao A e de outro no brao B da mesma estrela

Circuitos Trifsicos

34

Soluo do Exerccio 1.29.1 Clculo dos valores de reatncias: XL = 2 f L = 376,9911 x 9,06 x 10-3 = 3,4155

faseX c /3632,667101,579911,376106 =

=

de cada sub-banco

A seqncia de tenso aplicada : Van = 8544,8 / 0 V Vbn = 8544,8 / -120 V Vcn = 8544,8 / 120 V Aplicando a lei da malha de Kircchoff para o circuito dado, tm-se Van = j 3,4151 Ia j 66,3632 Ia1 + Vnn Vbn = j 3,4151 Ib j 66,3632 Ib1 + Vnn Vcn = j 3,4151 Ic j 66,3632 Ic1 + Vnn Analogamente: Van = j 3,4151 Ia j 66,3632 Ia2 + Vnn Vbn = j 3,4151 Ib j 66,3632 Ib2 + Vnn Vcn = j 3,4151 Ic j 66,3632 Ic2 + Vnn E, ainda: Ia = Ia1 + Ia2 Ib = Ib1 + Ib2 Ic = Ic1 + Ic2


35

In = Ia1 + Ib1 + Ic1 = Ia2 Ib2 Ic2 Matricialmente pode-se escrever: [ V ] = [ Z ] [ I ] Sendo: Van 8544,8 / 0 Vbn 8544,8 / -120 Vcn 8544,8 / 120 Van 8544,8 / 0 Vbn 8544,8 / -120

[ V ] = Vcn = 8544,8 / 120 0 0 0 0 0 0 0 0 e

Ia

Ib

Ic

Ia1

Ib1

[ I ] = Ic1 Ia2

Ib2 Ic2

Vnn

O valor da matriz [ Z ] :

(Ia) (Ib) (Ic) (Ia1) (Ib1) (Ic1) (Ia2) (Ib2) (Ic2) (Vnn) 3,415j 0 0 -66,363j 0 0 0 0 0 1 0 3,415j 0 0 -66,363j 0 0 0 0 1 0 0 3,415j 0 0 -66,363j 0 0 0 1 3,415j 0 0 0 0 0 -66,363j 0 1 0 3,415j 0 0 0 0 0 -66,363j 0 1 0 0 3,415j 0 0 0 0 0 -66,363j 1 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 0

A matriz acima vale para o circuito equilibrado, caso em que o valor da corrente de neutro nulo. Supondo a queima de um capacitor na primeira estrela, na fase A, a reatncia correspondente muda para:

== 4237,7763632,667

'

CX

Este valor substitui o valor da clula da primeira linha, quarta coluna. Pode-se utilizar o software MatLab paras resolver facilmente esse sistema de 10 equaes, 10 incgnitas. As respostas so: Ia = 271,54 j A Ib = 248,60 135,77 j A Ic = -248,60 135,77 j A Ia1 = 125,33 j A Ib1 = 124,30 67,89 j A Ic1 = -124,30 67,89 j A

Circuitos Trifsicos

36

Ia2 = 146,21 j A Ib1 = 124,30 67,89 j A Ic1 = -124,30 67,89 j A Vnn = -231,03 Para determinar a corrente de neutro basta somar as trs correntes de fase de qualquer uma das estrelas: In = Ia1 + Ib1 + Ic1 = - Ia2 - Ib2 - Ic2 = 125,33 j + 124,30 67,89 j - 124,30 67,89 j = = 10,45 j 1.30 Resolver a rede da figura 1.23 com os mesmos dados do exerccio 1.25, porm com as fases A e B abertas, atravs dos disjuntores instalados na linha. 1.31 Resolver a rede da figura 1.24 com os seguintes dados:

Van = 127 /1; Vbn = 127 /-119; Vcn = 127 /120 em volts;

ZL = 5+50 j e Zm = 5j em ohms; Carga Za = Zb = Zc = 400 + j200 em ohms; Considerando o disjuntor da fase A aberto, calcular: a) As correntes de fase e de neutro; b) A potncia da carga; c) A potncia complexa no incio da Linha (pontos A-B-C).

1.32 No circuito trifsico, simtrico e equilibrado, mostrado na figura 1.25, cujos parmetros valem: R = 15 ohms, XL = 12 ohms, Xc = 9 ohms, R1 = 0,6 ohm, X1 = 1,3 ohms, I = 9,5 A. Calcular as tenses em A, B e C.

1.33 A rede da figura 1.33 perde os capacitores e um conjunto R e XL ligados entre a fase A e B, conforme


37

indica a figura 1.26. Supondo-a alimentada pelas tenses de fase calculadas no exerccio 1.33 calcular as correntes nas trs fases.

1.34 A rede da figura 1.26 perde os capacitores e dois conjuntos R e XL ligados entre a fase A e B, e entre B e C, conforme indica a figura 1.27. Supondo-a alimentada pelas tenses de fase calculadas no exerccio 1.33, calcular as correntes nas trs fases.

1.35 No circuito mostrado na figura 1.28, sabendo que Zab = Zbc = Zca = 40 / 40 ohms, e a tenso da fonte (fase-neutro) simtrica e equilibrada e igual a 220 V, calcular: a) As correntes de linha b) O valor de cada wattmetro; b) a potncia ativa fornecida pela fonte; c) comparar com a soma de W1 e W2; d) O fator de potncia da carga.

1.36 Na figura 1.28, o valor lido no Wattmetro 1 1853,83 W, o fator de potncia da carga 0,866 indutivo, a tenso aplicada simtrica e equilibrada e igual a 110 V, e sabe-se ainda, que Z = Zab = Zbc = Zca. Calcular o valor de Z.

Bibliografia Brenner, E.; Javid, M. Analysis of Electric Circuits. New York: McGraw-Hill Book Company, 1967. Edminister, J. A. Coleo Schaum. Circuitos Eltricos. So Paulo: MacGraw-Hill do Brasil Ltda. 1972.

175p. Nilsson, J. W. Electric Circuits. Massachussetts: Addison-Wesley. 1989. Oliveira, C. C. B.; Schmidt. H. P.; Kagan, N.; Robba, J. E. Introduo a Sistemas Eltricos de Potncia

Componentes Simtricas. 2. ed. So Paulo: Edgard Blcher, 1996. 467p. Orsini, L. Q. Curso de Circuitos Eltricos. So Paulo: Edgard Blcher, 1993/4. 2v.

Valores Percentuais e Por-unidade

37

2 2 2 2

VALORES PERCENTUAIS E PORVALORES PERCENTUAIS E PORVALORES PERCENTUAIS E PORVALORES PERCENTUAIS E POR----UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE

Extrato da Teoria

2.1 Definies

Valores por-unidade (p.u.) correspondem a valores relativos das grandezas eltricas; basicamente correspondem a uma mudana de escala das grandezas eltricas. O valor por-unidade corresponde grandeza definida estipulada como unidade, para servir de termo de comparao entre grandezas da mesma natureza. Os valores das grandezas eltricas escolhidos como unitrios so ditos valores de base das respectivas grandezas eltricas.

Para um circuito trifsico, as relaes que comandam as quatro principais grandezas eltricas (S potncia complexa; V tenso; I corrente eltrica e Z impedncia) so:

*.3 IVS Linha= (2.1)

e Vfase = Z.I* ou *3 IZVLinha = (2.2)

sendo que o asterisco denota o conjugado do nmero complexo do fasor considerado.

Dessas quatro grandezas S, V, I e Z escolhe-se duas como base e determina-se a base das outras duas atravs das expresses (2.1) e (2.2), utilizando-se apenas o mdulo dessas expresses, pois os valores de base so grandezas escalares. Normalmente se define a potncia aparente S e o mdulo da tenso de linha1 V como valores de base. Esses valores so escolhidos arbitrariamente; porm, uma vez definidos no mudam mais. Como esses valores so sempre valores escalares, os valores dos fasores em p.u. (por-unidade) possuem sempre o mesmo argumento dos valores originais do sistema internacional.

Os valores em p.u. sero representados por letras minsculas.

baseSS

s = (2.3)

baseVV

v = (2.4)

baseIIi = sendo

base

basebase

VSI3

= (sistema trifsico) (2.5)

1 Valor da tenso entre duas fases quaisquer.


38

baseZZ

z = sendo base

basebase S

VZ2

= (2.6)

Para obter o valor em percentual s multiplicar o valor em p.u. por 100.

Qualquer conjunto de equaes pode ser expresso em por-unidade (p.u.) se os termos individuais forem divididos por quantidade base dimensionalmente equivalente, contanto que as quantidades base sejam escolhidas de forma a seguir as mesmas leis de eletricidade que as equaes originais. (Barthold, L. O.; Reppen, N. D.; Hedman, D. E.; p. 49).

2.2 Representao de transformadores em valores por-unidade

Os valores das reatncias, em percentuais, so sempre referidos aos valores nominais do transformador.

.).(2sec

sec2 upVSZ

VSZz nprim

nprim ==

(2.7)

Sendo:

Sn Potncia aparente nominal do transformador. Esta potncia a potncia mxima para a qual o transformador est projetado para trabalhar em regime contnuo sem exceder os valores de temperatura previstos em norma.

Zprim Impedncia do transformador referida ao primrio.

Zsec Impedncia do transformador referida ao secundrio.

Vprim Tenso nominal de linha do primrio do transformador.

Vsec Tenso nominal de linha do secundrio do transformador na condio em vazio, quando o transformador alimentado com tenso primria nominal.

O modelo de representao do transformador o da figura 2.1, a seguir, quando as grandezas esto em p.u.:

O modelo do transformador simplificado para um sistema de potncia, com a no considerao do circuito magnetizante, pois a corrente desviada por esse circuito demasiadamente pequena em face da energia em jogo no sistema de potncia. O diagrama fica, ento, conforme a figura 2.2:


39

Como a relao de transformao 1:1, usual apresentar, ainda, a seguinte simplificao figura 2.3:

2.3 Representao de transformadores com trs enrolamentos em valores por-unidade

Sn Potncia aparente nominal do transformador. Esta potncia de um dos enrolamentos do transformador a potncia mxima para a qual esse enrolamento est projetado para trabalhar em regime contnuo sem exceder os valores de temperatura previstos em norma.

Vprim Tenso nominal do enrolamento primrio do transformador, para a qual o transformador foi projetado.

Vsec Tenso nominal do enrolamento secundrio do transformador, na condio em vazio, quando o transformador alimentado com tenso primria nominal.

Vter Tenso nominal do enrolamento tercirio do transformador na condio em vazio, quando o transformador alimentado com tenso primria nominal.

X12 Tenso de curto-circuito quando o transformador alimentado pelo primrio, com o secundrio em curto-circuito e o tercirio em aberto (ou reatncia com o secundrio em curto-circuito e o tercirio em aberto).

X13 Tenso de curto-circuito quando o transformador alimentado pelo primrio, com o tercirio em curto-circuito e o secundrio em aberto (ou reatncia com o tercirio em curto-circuito e o secundrio em aberto).

X23 Tenso de curto-circuito quando o transformador alimentado pelo secundrio, com o tercirio em curto-circuito e o primrio em aberto (ou reatncia com o tercirio em curto-circuito e o primrio em aberto).

Um modelo, em p.u., que pode representar muito bem o transformador com trs enrolamentos o da figura 2.5:


40

x12 = xp + xs

x13 = xp + xt (2.8)

x23 = xs + xt

Do conjunto dessas trs equaes, resultam:

( )23131221

xxxxp += (2.9)

( )13231221

xxxxs += (2.10)

( )12231321

xxxx t += (2.11)

2.4 Representao de banco de transformadores monofsicos em valores por-unidade

Sejam trs transformadores monofsicos com as mesmas caractersticas, e com potncia individual S1f, ligados em estrela com o neutro aterrado no primrio e no secundrio, conforme mostrado na figura 2.6.

Nesta condio, a potncia e a tenso do banco de transformadores monofsicos formando um trifsico ficam:

S3f = 3 x S1f (2.12)

VL = 3 . Vf (2.13)

O valor da reatncia de cada transformador , em p.u.:

fb

f

fb

f

f

SS

VV

x

1

1

2

1

1

1

= (2.14)

Para o banco trifsico, a reatncia em p.u. vale:


41

f

fb

f

fb

f

fb

f

f

f

fb

f

Lb

L

f x

SS

VV

SSVV

SS

VV

x 1

1

1

2

1

1

1

1

3

3

2

3

33

33

=

=

=

= (2.15)

Em p.u., a reatncia do transformador monofsico igual reatncia do banco de transformadores, formando um trifsico. Esta assertiva vale para qualquer tipo de ligao dos transformadores.

2.5 Representao de mquinas rotativas em valores por-unidade

Legenda da figura 2.7:

e: f.e.m fora eletromotriz , se gerador, e f.c.e.m. fora contra-eletromotriz, se motor, atrs da reatncia

v: tenso nos terminais do gerador

x: reatncia por fase do gerador

2.6 Representao de linha de transmisso

2.6.1 Linha curta

Sendo Z = R + j X

2.6.2 Linha mdia

Os valores de Z e de Y so obtidos a partir dos clculos que levam em considerao o perfil da torre que sustenta os cabos e das caractersticas desses cabos. Esses valores so multiplicados pelo comprimento da linha.


42

2.6.3 Linha longa

sendo:

( )LYZsenhYZLsenhZZ ce == )( (2.16)

==

2tanh)

2tanh(1

2LYZ

ZYL

ZY

c

e (2.17)

Comprimento da linha: L

Impedncia da linha em ohm/km: Z

Admitncia da linha em S/km: Y

Constante de propagao da linha: jYZ +== (2.18)

Constante de atenuao da linha:

Constante de fase da linha:

Impedncia caracterstica da linha: YZZc = (2.19)

2.7 Mudana de bases

Trata-se de mudar os valores em p.u. de uma base velha para valores em p.u. de uma base nova:

Impedncia: 2

2

)()(novabase

novabase

velhabase

velhabasevelhabase V

SSV

puzpuz = (2.20)

2.8 Representao de transformadores quando h choque de bases

Para um sistema de potncia, a base de potncia tem que ser a mesma para toda rede. A tenso escolhida num ponto dever refletir-se em todo o sistema, de acordo com a relao de transformao dos transformadores existentes na rede. Pode acontecer, quando o sistema malhado, que a tenso base de um lado do transformador no corresponda a tenso do outro pela relao de transformao do respectivo transformador:

Vb1 Tenso de base no primrio do transformador

Vb2 Tenso de base no secundrio do transformador


43

Vn1 Tenso nominal no primrio do transformador

Vn2 Tenso nominal no secundrio do transformador

Para uma situao de choque de bases, a condio encontrada no desenvolvimento de uma soluo :

2

1

2

1

n

n

b

bVV

VV

(2.21)

21

21

2

22

1

11

1bn

n

bb VVVV

VV

veVV

v

=== (2.22)

Multiplicando e dividindo o segundo membro da equao anterior por Vb1, tem-se

=== 11

21

2

2

1

1

1

12 v

v

vv

VV

VV

VV

vn

n

b

n

n

b

b (2.23)

sendo:

11

22

1

2

bn

bn

n

n

VV

VV

v

v== (2.24)

A representao em diagrama fica:

Vantagens e aplicaes dos valores por-unidade

Na maioria dos casos, os transformadores so modelados na relao de 1:1, o que facilita sobremaneira o clculo da passagem dos valores de corrente e de tenso do primrio para o secundrio ou vice-versa.

H uma maior sensibilidade por parte do engenheiro ao avaliar a queda de tenso num trecho da rede.

Os valores de tenso calculados em p.u. so da mesma ordem de grandeza nos vrios pontos do sistema de potncia.

Os valores de impedncias de mquinas de mesma grandeza de potncia so praticamente iguais em valores por-unidade.

Exerccios resolvidos

2.1 Para o circuito monofsico da figura 2.14, com a carga operando na condio nominal, calcular o valor da tenso nos terminais do gerador.


44

Soluo:

Escolha da base: Sbase = 1,5 kVA e Vbase = 200 V.

ohmSVZ

base

basebase 67,261500

20022===

..045,0015,067,26

2,14,0upjjzlinha +=

+=

e = (0,015 + 0,045) i + 1 / 0 Como a corrente que circula no circuito tem o valor nominal, tem-se:

..9,3619,3611

upv

si ===

Resulta, ento:

e = 1,039 + j 0,027 p.u. ou E = e 200 = 207,8 + j 5,4 (V)

2.2 Para o circuito trifsico da figura 2.15, determinar a corrente e a potncia complexa na barra A para as condies de carga nominal.

Soluo:

A potncia aparente de base deve ser a mesma para o sistema todo.

Valores base: Barra A Vbase = 13,8 kV e Sbase = 70 MVA

Trecho A at B Vbase = 230 kV e Sbase = 70 MVA

Trecho C at D kVVbase 9222088230 == e Sbase = 70 MVA

Condio da carga:


45

..5,07035

ups == e ..8696,09280

upv ==

( ) ..87,365750,08,0cos5750,0 0*

uparcv

si ==

=

Transformador de 70 MVA como as bases adotadas coincidem com os valores nominais do transformador, resulta que o valor em p.u. da impedncia do transformador no se altera. Portanto:

z = 0,03 + j 0,10 p.u.

Linha A B:

=== 7143,75570

23022

base

basebase S

VZ

..1456,00368,07143,755

1108,27upjjz +=+=

Transformador de 45 MVA

( ) ..1281,00384,023070

4522009,0027,0 2

2

upjjz +=+=

Linha C D:

=== 9143,12070

9222

base

basebase S

VZ

..1547,00339,09143,120

7,181,4upjjz +=+=

A seguir, constri-se o diagrama unifilar em p.u., como na figura 2.16:

Na barra A:

v = (0,03 + j 0,10 + 0,0368 + j 0,1456 + 0,0384 + j 0,1281 + 0,0339 + j 0,1547) x (0,5750 / - 36,87) + 0,8696 / 0

v = 1,1159 + j 0,1951 p.u. multiplicando por 13,8 kV, resulta: V = 15,3994 + j 2,6924 kV

Sendo Ai 87,3699,16838,133

7000087,365750,0 =

=


46

A potncia complexa :

s = v i* = (1,1159 + j 0,1951)(0,5750 / + 36,87) = 0,4460 + 0,4747 j p.u.

S = 70 s = 31,22 + j 33,23 MVA

2.3 Fazer o diagrama de impedncias da rede da figura 2.17, em p.u.

Dados:

Equipamento Potncia nominal Tenso nominal Impedncia equivalente Gerador 1 7 MVA 4,16 kV j 0,20 p.u. Gerador 2 12 MVA 6,9 kV j 0,21 p.u. Gerador 3 9,5 MVA 6,9 kV j 0,19 p.u. Transformador T1 8 MVA 4,16 37 kV 0,020 + j 0,10 p.u. Transformador T2 15 MVA 6,9 34,5 kV 0,025 + j 0,10 p.u. Transformador T3 10 MVA 6,9 34,5 kV 0,019 + j 0,09 p.u. Linha B4 B5 - - - - - - - - - - 28 + j 120 Linha B5 B6 - - - - - - - - - - 32 + j 130 Linha B7 B8 - - - - - - - - - - 25 + j 110 Linha B8 B5 - - - - - - - - - - 28 + j 118

Soluo:

Adotam-se valores de base escolhidos arbitrariamente: Sbase = 15 MVA (para a rede toda), Vbase = 4,16 kV (no gerador 1). Primeiro, indicam-se os valores de base da tenso para cada trecho do diagrama unifilar, conforme mostrado na figura 2.18. A partir do gerador G1, com 4,16 kV, caminha-se pela rede e, cada vez que se passa por um transformador, o valor de base da tenso muda, de acordo com a relao de tenso do respectivo transformador.

Gerador G1

( )( ) ..4286,016,4

15716,420,0 2

2

upx ==

Gerador G2


47

( )( ) ..2282,04,7

15129,621,0 2

2

upx ==

Gerador G3

( )( ) ..2608,04,7

155,99,619,0 2

2

upx ==

A figura 2.18 mostra os valores de base de tenso em cada trecho da rede:

Transformador T1

( ) ( ) ( ) ( ) ..1875,00375,016,415

816,410,0020,0 2

2

upjjx +=+=

Transformador T2

( ) ( ) ( ) ( ) ..0869,00217,04,715

159,610,0025,0 2

2

upjjx +=+=

Transformador T3

( ) ( ) ( ) ( ) ..1174,00248,04,715

109,609,0019,0 2

2

upjjx +=+=

Trecho B4 B5

( ) ( ) ( ) ..3148,13068,0371512028 2 upjjx +=+=

Trecho B5 B6

( ) ( ) ( ) ..4244,13506,0371513032 2 upjjx +=+=

Trecho B7 B8

( ) ( ) ( ) ..2053,12739,0371511025 2 upjjx +=+=

Trecho B8 B5

( ) ( ) ( ) ..2929,13068,0371511828 2 upjjx +=+=

Aps o clculo das impedncias na nova base, constri-se o diagrama de impedncias, em p.u., como na figura 2.19:


48

2.4 Dada a rede a seguir figura 2.20, pede-se: a) O diagrama de impedncias; b) A corrente de circulao e a potncia fornecida pelo gerador quando a carga estiver operando nas condies nominais; c) As correntes e as tenses, e a potncia fornecida pelo gerador quando a carga estiver com 0,5 MVA, fp = 0,85 e V = 34,5 kV.

Soluo:

a) Elaborao do diagrama de impedncias Este exerccio corresponde ao tpico conflito de choque de bases.

Escolhe-se arbitrariamente o valor do gerador como base: Gerador 6,6 kV e 2 MVA.

Os demais valores das tenses de base ficam como mostra a figura 2.21.

No transformador instalado entre as barras 004 e 002 existe um conflito de base. Dessa forma, esse transformador deve ser substitudo por sua impedncia de curto-circuito referida aos valores de base, em srie com um (auto)transformador ideal, tendo como relao de transformao:

1 : = 1 : 1

2

n

n

v

v (2.25)

conforme as expresses (2.22), (2.23) e (2.24); sendo, ento:

9583,036

5,342 ==nv e 0455,12,13

8,131 ==nv


49

Logo: 9166,00455,19583,0

==

A figura 2.22, a seguir, mostra a instalao do autotransformador com relao 1:.

Os valores dos parmetros em p.u. para a figura 2.22 so:

Linha 001 005:

( )( ) 3673,01377,06,6

2832 j

jz +=

+=

Transformador T1

( )( ) 1067,06,6

25,16,608,0 2

2==x

z12 = z + x = 0,1377 + j 0,4740


50

Transformador T2

( )( ) 0824,06,6

27,16,607,0 2

2

13 jjz ==

( )( ) 0459,00115,02,13

241234 j

jz +=

+=

Transformador T3

( )( ) 0972,02,13

28,18,1308,0 2

2jjzT ==

O diagrama de impedncias fica como mostrado na figura 2.23:

b) Clculo da corrente de circulao, quando a carga estiver operando nas condies nominais Clculo da corrente da carga nas condies nominais:

79,315455,036

332

1==ni

Pela figura 2.23 deste exerccio, tm-se:

v1 vb = i2 (0,1377 + j 0,4740)

v1 (vb / ) = i1 (j 0,824 + 0,0115 + j 0,0459 + j 0,0972) = i1 (0,0115 + j 0,9671)

79,315455,021 ==+ niii

Sendo vb = (33 / 36) = 0,9167 p.u. e = 0,9166

Para solucionar o exerccio atravs de um programa computacional que opere com matrizes, escrevem-se as equaes acima em forma matricial:

- vb -0,1967 0 0,1377+j 0,4740 -1 i1 - vb / = -1,0001 = 0,0115 + j 0,9671 0 -1 i2

in 0,4639-j0,2870 1 / 1 0 v1 Donde resulta:


51

i1 0,1285 j 0,0646 i2 = 0,3235 j 0,2169 (p.u.) v1 1,0641 + j 0,1235

Pela topologia da rede, a corrente que sai do gerador igual corrente da carga. Portanto,

s = v1. in* = (1,0641 + j 0,1235)x(0,5455 / 31,79) = 0,4579 + 0,3630 j p.u. S = 2 x s = 0,9158 (MW) + j 0,7261 (Mvar) = 1,1687 / 38,41 MVA

c) Clculo das correntes, das tenses e da potncia fornecida pelo gerador, quando a carga estiver com 0,5 MVA, fp = 0,85 e V = 34,5 kV.

Clculo da corrente da carga com as condies impostas pelo problema:

79,312609,036

5,342

5,0==ni

Pela figura 2.23, tem-se:

v1 vb = i2 (0,1377 + j 0,4740)

v1 (vb / ) = i1 (j 0,824 + 0,0115 + j 0,0459 + j 0,0972) = i1 (0,0115 + j 0,9671)

79,312609,021 ==+ niii

Sendo vb = (34,5 / 36) = 0,9583 p.u. e = 0,9166 Para solucionar o exerccio atravs de um programa computacional que opere com matrizes, escrevem-se as equaes acima em forma matricial:

- vb 0 0.1377+j 0,4740 -1 i1 - vb / = 0,0115 + j 0,9671 0 -1 i2

in 1 / 0 v1

Donde resultam:

I1 0,0586 - j 0,0019 i2 = 0,1582 j 0,1353 (p.u.) v1 1,0026 + j 0,0563

Pela topologia da rede, a corrente que sai do gerador igual a corrente da carga. Portanto,

s = v1. in* = (1,0026 + j 0,0563)x(0,2609 / 31,79) = 0,2146 + 0,1503 j p.u.

S = 2 x s = 0,4292 (MW) + j 0,3006 (Mvar) = 0,5240 / 35,0 MVA

2.5 Construir o diagrama de impedncias, em p.u., da rede da figura 2.24, dados os valores constantes da tabela a seguir:

Equipamento Potncia nominal Tenso nominal Impedncia equivalente Gerador G1 = G2 = G3 60 MVA 13,8 kV j 0,20 p.u. Transformador T1 = T2 = T3 60 MVA 13,8 230 kV j 0,11 p.u.


52

Equipamento Potncia nominal Tenso nominal Impedncia equivalente Transformador T4 150 MVA 230 34,5 kV j 0,12 p.u. Transformador T5 (trs enrolamentos)

50 MVA (primrio) 25 MVA (secundrio) 25 MVA (tercirio)

230 69 138 kV (prim terc sec.)

j x12 = j 11% (p/ 50 MVA) j x13 = j 10% (p/ 50 MVA) j x23 = j 10% (p/ 50 MVA)

Transformador T6 15 MVA 138 34,5 kV j 0,09 p.u.

Linhas Impedncias longitudinais (/km)

Susceptncias transversais (S/km)

Linha 001 007 (180 km) 0,1 + j 1,20 5,5 x 10-6 Linha 001 004 (80 km) 0,08 + j 1 5 x 10-6 Linha 005 006 (90 km) 0,09 + j 1,1 4,8 x 10-6 Linha 008 003 (25 km) 0,06 + j 0,64 2 x 10-6

Soluo:

Escolhem-se como valores de base: S = 60 MVA e a tenso do gerador G1. A rede com as indicaes das tenses de base fica como mostrada na figura 2.25.


53

Geradores G1 = G2 = G3 x = 0,20 p.u.

Transformadores T1 = T2 = T3 x = 0,11 p.u.

Transformador T4 ..048,0

23060

15023012,0 2

2

upx ==


506011,012 upx ==

..12,0506010,013 upx ==

..12,01506010,012 upx ==

De acordo com as expresses (2.9), (2.10) e (2.11), resultam: ( ) ..0660,012,012,01320,021

upxp =+=

( ) ..0660,012,012,01320,021

upxs =+=

( ) ..0540,01320,012,012,021

upxt =+=


156009,0 upx ==

Linha 001 007

A partir das expresses (2.16) e (2.17) calculam-se os parmetros para essa linha considerada longa. Portanto:

Ze = 16,737 + j 208,44 e Ye = j 0,0010 S

Donde resulta, em p.u.:

..2364,00190,023060)44,208737,16( 2 upjjze +=+=


54

Ye = j 0,00000113 p.u.

Linha 001 004

Analogamente, tm-se:

Ze = 6,332 + 79,577 j e Ye = 4,011 x 10-4 j S

Donde resulta, em p.u.:

ze = 0,00718 + j 0,0903 p.u. e ye = j 0,00000045 p.u.

Linha 005 006

Resultam:

Ze = 7,985 + j 98,300 e Ye = j 4,335 x 10-4 S

Sendo == 4,31760

1382bZ resulta

ze = 0,0252 + j 0,310 p.u. e ye = j 0,00000137 p.u.

Linha 008 003

Resultam:

Ze = 1,4979 + j 16 e Ye = j 5 x 10-5 S

Sendo == 35,7960

692bZ resulta

ze = 0,0189 + j 0,2016 p.u. e ye = j 0,00000063 p.u.

O diagrama de impedncias da rede aparece na figura 2.26.


55

Exerccios Propostos

2.6 Para um sistema monofsico, so adotados como valores de base Sb = 250 kVA e Vb = 460 V. Determinar a corrente e a impedncia de base para esse sistema.

2.7 Para um sistema trifsico, so adotados como valores de base Sb = 100 MVA e Vb = 138 kV. Determinar a corrente, a impedncia e a admitncia de base.

2.8 Um transformador possui a reatncia igual a 9% na base Sb = 50 MVA e Vb = 230 kV (lado de alta tenso). Determinar o valor dessa reatncia em p.u. na nova base Sb = 250 MVA e Vb = 245 kV (lado de alta tenso).

2.9 Uma determinada carga trifsica ligada em estrela, do tipo Z = R + jX, consome a potncia complexa de S = 150 + j 90 MVA na tenso 13,2 kV. Determinar a impedncia equivalente em p.u. na base Sb = 100 MVA e Vb = 13,8 V.

2.10 Uma determinada carga trifsica ligada em tringulo, do tipo Z = R + jX, consome a potncia complexa de S = 75 + j 45 MVA na tenso de 14,4 kV. Determinar a impedncia equivalente em p.u. na base Sb = 100 MVA e Vb = 13,8 V.

2.11 Um motor de induo possui as seguintes caractersticas com base nos valores nominais do motor (em kVA e em kV):

Tenso nominal (kV) 6,6 Rendimento nominal (%) 87,6 Fator de potncia nominal (%) 85,67 Resistncia R (%) 2,25 Rs (%) 1,5 Xr (%) 15 Xs (%) 20,8 Potncia nominal no eixo (kW) 728

Determinar

a) O circuito equivalente conforme o diagrama da figura 2.27, com os valores em p.u., considerando as seguintes bases: Sb = 1200 kVA e Vb = 7,2 V.

b) A potncia eltrica consumida pelo motor, em p.u e em kW, e o fator de potncia, dados a tenso nos terminais do motor igual a 6,4 kV e o escorregamento s = 3,49%.

2.12 Um transformador trifsico com trs enrolamentos submetido aos ensaios de curto-circuito para determinao das reatncias xp, xs e xt na base 1500 kVA. As caractersticas nominais do transformador so:


56

enrolamento primrio: 13800 V, 1500 kVA; enrolamento secundrio: 2400 V, 750 kVA; enrolamento tercirio 460 V, 750 kVA.

Calcular xp, xs e xt, conhecendo os resultados dos ensaios apresentados na tabela a seguir, no considerando os valores de resistncias do enrolamento:

Ensaio Enrolamento excitado

Enrolamento curto-circuitado

Tenso aplicada, volts

Corrente no enrolamento excitado, amperes

1 1 2 229,6 31,4 2 1 3 229,6 31,4 3 2 3 138,73 31,4

2.13 Um transformador trifsico com trs enrolamentos submetido a ensaios para determinar as reatncias xp, xs e xt na base 30 MVA (desprezar a resistncia). O primrio e o secundrio so ligados em tringulo e o tercirio em estrela com neutro acessvel. As caractersticas principais so: Potncia do enrolamento primrio e secundrio 30 MVA, e a tenso de cada enrolamento 13,8 kV; o tercirio possui potncia igual a 60 MVA e tenso 138 kV. Os ensaios realizados foram:

Com o secundrio em curto-circuito e o tercirio em aberto, a tenso aplicada no primrio foi de 1593,3 V e a corrente lida de 1255 A;

Com o tercirio em curto-circuito e o secundrio em aberto, a tenso aplicada no primrio foi de 1552,7 V e a corrente lida de 1255 A;

Com o tercirio em curto-circuito e o primrio em aberto, a tenso no secundrio foi de 1752,7 V e a corrente lida de 1255 A.

2.14 Dada a rede da figura 2.28, desenhar o diagrama de impedncias utilizando como base o gerador G1.

Equipamento Potncia nominal Tenso nominal Impedncia equivalente

Gerador 1 95 MVA 13,8 kV j 0,20 p.u. Gerador 2 85 MVA 13,8 kV j 0,21 p.u. Gerador 3 9,5 MVA 6,9 kV j 0,19 p.u. Transformadores T1 = T2 = T3 =T4

100 MVA 13,8 138 kV j 0,11 p.u.


57


Transformadores T5 = T6

10 MVA 6,9 138 kV j 0,09 p.u.

Linha LT1 - - - - - - - - - - j 10 Linha LT2 - - - - - - - - - - j 11 Linha LT3 - - - - - - - - - - j 14,5


Equipamento Potncia nominal

Tenso nominal Impedncia equivalente

Gerador G1 25 MVA 13,8 kV j 0,22 p.u. Gerador G2 30 MVA 13,8 kV j 0,23 p.u. Gerador G3 9,5 MVA 6,6 kV j 0,19 p.u. Motor M3 25 MVA 13,2 kV j 0,20 Motor M4 28 MVA 13,2 kV J 0,22 Transformadores T1 = T2 30 MVA 14,4 145 kV j 0,09 p.u. Transformadores T3 = T4 28 MVA 138 13,8 j 0,09 p.u. Transformador T5 10 MVA 6,9 138 kV j 0,07 p.u. Linha LT12 - - - - - - - - - - j 10 Linha LT14 = LT23 - - - - - - - - - - j 11 Linha LT25 = LT35 - - - - - - - - - - j 14,5



58

Equipamento Potncia nominal

Tenso nominal Impedncia equivalente

Gerador 1 45 MVA 13,8 kV j 0,22 p.u. Gerador 2 25 MVA 13,8 kV j 0,23 p.u. Transformador T1 45 MVA 14,4 142 kV j 0,095 p.u. Transformador T2 28 MVA 138 13,8 kV j 0,085 p.u. Transformadores T3 = T4 30 MVA 138 13,8 kV j 0,08 p.u. Motor Sncrono M3 = M4 28 MVA 13,8 kV j 0,22 p.u. Linha LT12 - - - - - - - - - - j 9 Linha LT14 - - - - - - - - - - j 10 Linha LT23 - - - - - - - - - - j 11

2.17 Dada a rede da figura 2.28 e os dados da tabela abaixo, desenhar o diagrama de impedncias utilizando como base o gerador G1.


Gerador 1 100 MVA 14,4 kV j 0,20 p.u. Gerador 2 200 MVA 13,8 kV j 0,21 p.u. Gerador 3 50 MVA 13,8 kV j 0,23 p.u. Transformador T1 50 MVA 14,4 230 kV j 0,11 p.u. Transformador T2 50 MVA 13,8 230 kV j 0,11 p.u. Transformador T3 100 MVA 13,8 245 kV j 0,11 p.u. Transformador T4 100 MVA 13,8 240 kV j 0,11 p.u. Transformador T5 25 MVA 16 230 kV j 0,09 p.u. Transformador T6 25 MVA 13,8 230 kV j 0,09 p.u. Linha LT1 - - - - - - - - - - j 10 Linha LT2 - - - - - - - - - - j 11 Linha LT3 - - - - - - - - - - j 14,5

2.18 Um transformador trifsico de 7500 kVA (potncia do primrio) com quatro enrolamentos possui as


59

seguintes reatncias na base 7500 kVA: x12 = 11%; x13 = 11,5%; x14 = 10%; x23 = 12%; x24 = 11% e x34 = 11,5%. Determinar as reatncias xp; xs; xt e xq, segundo o modelo da figura 2.31.

Bibliografia

Barthold, L. O.; Reppen, N. D.; Hedman, D. E. Anlise de Circuitos de Sistemas de Potncia Curso de Engenharia em Sistemas Eltricos de Potncia. Srie P.T.I. 2. ed. Santa Maria RS: UFSM, 1983. 10v.

Oliveira, C. C. B.; Schmidt. H. P.; Kagan, N.; Robba, J. E. Introduo a Sistemas Eltricos de Potncia Componentes Simtricas. 2. ed. So Paulo: Edgard Blcher, 1996. 467p.

Stevenson Jr., W. W. Elementos de Anlise de Sistemas de Potncia. 2. ed. So Paulo: McGraw-Hill, 1986. 458p.


64

3333

COMPONENTES SIMTRICASCOMPONENTES SIMTRICASCOMPONENTES SIMTRICASCOMPONENTES SIMTRICAS

Extrato da Teoria

A tcnica de aplicao de componentes simtricas utilizada para redes equilibradas e simtricas, nos casos de desequilbrio nas cargas e, principalmente, para defeitos nas redes eltricas.

3.1. Operador

= 1 /120 = - 0,5 + 23 j (3.1)

2 = 1 /240 = 1 /-120 = - 0,5 - 23 j (3.2)

1 + + 2 = 0 (3.3) - 2 = 3 j (3.4) 3.2. Seqncia positiva (direta) Utiliza-se o ndice 1 para a indicao desta seqncia.

Van 1

Van1 = Vbn = Van 2

(3.5) Vcn

3.3. Seqncia negativa (indireta ou inversa) Utiliza-se o ndice 2 para a indicao desta seqncia.

Van 1

[ Van2 ] = Vbn = Van (3.6) Vcn

2

Componentes Simtricas

65

3.4. Seqncia nula (zero ou homopolar) Utiliza-se o ndice 0 para a indicao desta seqncia. Va0 = Vb0 = Vc0

Va0

Vb0

Vc0 Figura 3.2

3.5. Matriz de transformao de componentes simtricas em componentes de fases

Pelo teorema fundamental da decomposio de uma seqncia qualquer em trs seqncias positiva, negativa e nula resulta:

Va Va0 + Va1 + Va2 Va0 + Va1 + Va2

[ Va ] = Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 = Va0 + 2 Va1 + Va2 (3.7) Vc Vc0 + Vc1 + Vc2 Va0 + Va1 + 2 Va2

1 1 1

[ Va ] = Va0 1 + Va1 2 + Va2 (3.8) 1

2

Va 1 1 1 Va0

Vb = 1 2 Va1 (3.9) Vc 1 2 Va2

Matriz T

Para demonstrar a existncia de Va0, Va1 e Va2 basta verificar se existe a matriz inversa de [T]. A matriz [ T ] a matriz de transformao de componentes simtricas. Ela transforma componentes simtricas em componentes


66

de fases.

A matriz inversa de T existe e vale

1 1 1

T-1 = 1/3 1 2 (3.10) 1 2

Portanto:

Va0 1 1 1 Va

Va1 = 1/3 1 2 Vb (3.11) Va2 1 2 Vc

3.6. Sistemas trifsicos a trs fios ligao estrela (Y)

VAB = VAN VBN

VBC = VBN VCN (3.12) VCA = VCN VAN

Matricialmente,

[VAB] = [VAN] [VBN] (3.13) Ou ainda,

Van Van0 Van1 Van2 1

Vbn = Van0 Van1 . 2 Van2 . 1 (3.14) Vcn Van0 Van1 . Van2 . 2 1

e

Vbn Van0 Van1 . 2 Van2 . 1

Vcn = Van0 Van1 . Van2 . 2 1 (3.15) Van Van0 Van1 Van2 1

Logo,

Vab 0 Van1 . (1 - 2 ) Van2 . (1 - ) 1 Vbc = 0 Van1 . (1 - 2 ) 2 Van2 . (1 - ) 1 (3.16) Vca 0 Van1 (1 - 2 ) Van2 . (1 - ) 2 1

(1 - ) = 3 / - 30 (3.17)


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(1 - 2 ) = 3 / 30 (3;18) Logo,

VAB = VAN VBN = 3 / 30 VAn1 + 3 / - 30 VAN2 (3.19) ou seja: VAB0 = zero

VAB1 = 3 / 30 VAn1 (3.20)

VAB2 = 3 / 30 VAN2

A seqncia zero provoca um deslocamento do neutro.

3.7. Sistemas trifsicos a trs fios ligao tringulo (delta)

IA = IAB ICA IB = IBC IAB (3.21) IC = ICA IBC Matricialmente, [ IA ] = [ IAB ] [ ICA ] (3.22) Por outro lado,

1 1 1

[IAB] = IAB0 1 + IAB1 2 + IAB2 (3.23} 1 2

e

1 1 1

[ICA] = ICA0 1 + ICA1 2 + ICA2 (3.24} 1 2

Logo: 1 1 1


68

[ICA] = IAB0 1 + IAB1 2 + 2 IAB2 (3.25} 1 2

Resulta, ento, 1 1 1

[IA ] = (IAB0 - IAB0) 1 + (1-) IAB1 2 + (1 - 2) IAB2 (3.26} 1 2

IA0 = zero

IA1 = 3 / 30 IAB1 (3.27)

IA2 = 3 / 30 IAB2

3.8. Carga em estrela com neutro no-aterrado

As Leis de Kirchhoff so vlidas para todas as seqncias (positiva, negativa e nula).

VAN + VNN + VNA = 0

VBN + VNN + VNB = 0 (3.28)

VCN + VNN + VNC = 0

VAN ZA 0 0 IA

VBN = 0 ZB 0 IB (3.29) VCN 0 0 ZC IC

VAN 1 ZA 0 0 IA VBN + VNN 1 = 0 ZB 0 IB (3.30) VCN 1 0 0 ZC IC

Substituindo [Van] = T [Vano] e [Ia] = T [Ia0], vem: VAN0 1 ZA 0 0 IA0

T VAN1 + VNN 1 = 0 ZB 0 T IA1 (3.31) VAN2 1 0 0 ZC IA2

Multiplicando ambos os membros pela esquerda por [T]-1 , vem: VAN0 1 ZA 0 0 IA0


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VAN1 + T-1 1 VNN = T-1 0 ZB 0 T IA1 (3.32) VAN2 1 0 0 ZC IA2

Ento, resulta:

VAN0 + VNN Z0 Z2 Z1 IA0 VAN1 = Z1 Z0 Z2 IA1 (3.33) VAN2 Z2 Z1 Z0 IA2

Para este caso IA0 = 0, e a expresso matricial (3.33) torna-se: VAN0 -1 Z2 Z1 VNN VAN1 = 0 Z0 Z2 IA1 (3.34) VAN2 0 Z1 Z0 IA2

Sendo que os valores de Z0, Z1 e Z2 para a carga obtm-se da expresso matricial (3.35) que, por sua vez, decorrente do produto [T-1].[Za].[T], que denominada Zs. O inverso de Zs Ys e vale: [T-1].[Ya].[T].

Z0 1 1 1 ZA Z1 = 1/3 1 2 ZB (3.35)Z2 1 2 ZC

Dessas matrizes resultam redes de seqncia positiva, negativa e nula.

Se ZA = ZB = ZC = Z

Ento: Z0 = Z e Z1 = Z2 = 0

3.9. Carga em estrela com neutro aterrado

No caso em que a carga ligada em estrela estiver aterrada, a expresso matricial 3.33 contnua vlida, porm neste caso VNN

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