MATEMÁTICA VAULA 22: PROBLEMAS RELACIONADOS

À CIRCUNFERÊNCIA, RETAS E INEQUAÇÕES

EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL

VOLUME 5

OSG.: 103590/16

01. A equação geral da circunferência pode ser escrita como:(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Desenvolvendo estes termos, tem-se:

x2 + y2 – 2ax – 2bx + a2 + b2 – R2 = 0

Comparando a equação geral desenvolvida com a equação dada no enunciado, tem-se:x y x y

x y x yab

2 2

2 2

4 6 3 0

2 2 2 3 3 02

3

+ + − − =

+ − ⋅ −( ) − ⋅ ( ) − = →= −={

Igualando os últimos termos da equação geral desenvolvida com o último termo da equação da circunferência dada, tem-se:a2 + b2 – R2 = –3(–2)2 + 32 + 3 = R2 → R2 = 16 → R = 4

Resposta: D

02. I. Verdadeira. Vamos admitir os pontos médios da forma M(x, y) e O a origem. Como os pontos A e B estão sobre os eixos, concluímos que o

triângulo AOB é retângulo de hipotenusa I, portanto, OMI

=2

. Daí, temos: OM x yI

x yI

= + =⇒ + =2 2

22 2

2

2 4. Portanto, uma

circunferência de raio I/2.II. Falsa. 6x3 + x2y – xy2 – 4x2 – 2xy = 0 x · (6x2 + xy – y2 – 4x – 2y) = 0 x · (4x2 – y2 + 2x2 + xy – 4x – 2y) = 0 x · ((2x + y) · (2x – y) + x · (2x + y) – 2 · (2x + y)) = 0 x · (2x + y) · (2x – y + x – 2) = 0 x · (2x + y) · (3x – y – 2) = 0 Temos então três equações de reta: x = 0 2x + y = 0 3x – y – 2 = 0 Portanto, temos infinitos pontos.III. Falsa. Os pontos estão alinhados, pois:

2 3 14 1 13 1 1

2 9 4 3 2 12 0− = − + + + − − =

Resposta: A

03. I. A distância entre as retas paralelas e tangentes à circunferência é:

24 20

3 42

16

5

8

52 2R R R=

−

+ −⇒ = ⇒ =

( )

II. As retas 3 4 4 0 3 4 20 0x y e x y− + = − + = intersectam o eixo y nos pontos P1(0, 1) e P

2(0, 5), respectivamente (faça x = 0). Daí,

temos a fi gura.

Como os triângulos T2P

2C e T

1P

1C são congruentes (ângulo, lado, ângulo), C é

ponto médio de P1P

2. Daí: C =

+ +

=

0 0

2

1 5

20 3; ( ; ).

Assim a equação da circunferência será:

x y x y y

x y y

−( ) + −( ) =→ + − + = →

→ + − +

0 38

56 9

64

25

25 25 150 22

2 22

2 2

2 2 55 6425 25 150 225 64 0 25 25 150 161 02 2 2 2

= →→ + − + − = → + − + =x y y x y y

Resposta: B

y

C

10

x

5T

2

T1

P2

P1

OSG.: 103590/16

Resolução – Matemática V

04. A reta pedida é formada pelos pares (x, y) que satisfazem às duas equações simultaneamente. Subtraindo membro a membro as equações das circunferências, obtemos:( ) [( ) ( ) ]

.x y x y x x y

x y− + − − + − = − ⇒ − + + − + − =

⇒ + − =1 3 2 5 1 2 1 6 9 4 4 4

4 0

2 2 2 2

Resposta: A

05. A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência x2 + y2 = 4. Logo, sabendo que y < 0, temos f x x( ) ,= − −4 2

com –2 < x < 2.

Resposta: D

06. Determinando o centro C e o raio R da circunferência, temos:x2 – 2y + y2 = 0 ⇒ x2 + y2 – 2y + 1 = 0 + 1 ⇒ x2 + (y – 1)2 = 1

Logo, C(0, 1) e o raio R = 1.

Todo quadrado é um losango, portanto sua área pode ser calculada como sendo a medida do produto de suas diagonais. A diagonal

d desse quadrado é o diâmetro da circunferência, portanto d = 2 e sua área será dada por: A =⋅

=2 2

22

Resposta: D

07.

x(1, 0)

(–1, –2)

y x x y x x= − − − ⇒ = − −3 2 3 22 2 2

Como, x2 + 2x + 1 + y2 = 3 + 1, temos então uma semicircunferência de raio 2 e centro no ponto (–1, 0).Resolvendo um sistema com as equações da reta e da semicircunferência, temos os pontos (1, 0) e (–1, –2)

Logo, a área pedida será dada por π

π⋅

−⋅

= −2

4

2 2

22

2

.

Resposta: E

08. Como a desigualdade,f(x) + f(y) ≤ 0 ⇔ x2 – 6x + 7 + y2 – 6y + 7 ≤ 0

⇔ (x – 3)2 + (y – 3)2 ≤ 4

corresponde ao círculo de raio 2 e centro em (3, 3), e a desigualdade

f(x) – f(y) ≥ 0 ⇔ x2 – 6x + 7 – y2 + 6y – 7 ≤ 0

⇔ (x – y)(x + y) – 6(x – y) ≥ 0

⇔ (x – y)(x + y – 6) ≥ 0

corresponde à região do plano limitada pelas retas perpendiculares x – y = 0 e x + y – 6 = 0, conforme a fi gura, segue que a área da

região R vale 22

42

2

⋅⋅

=π

π u.a.

3

3

6

yx + y – 6 = 0

x – y = 0

0 6 x

Resposta: A

OSG.: 103590/16

Resolução – Matemática V

09. As coordenadas do ponto M são dadas por:

Mx x y yA B A B=

+ +

=

− + +

=2 2

1 5

2

4 2

22 3, , ( , ).

portanto, o raio da circunferência é igual a:

r = − + − =( ) ( ) .2 0 3 0 132 2

Resposta: E

10. Determinando o centro (a, b) da circunferência, temos que:–2a = –6, então a = 3–2b = 10, então b = –5; logo, o centro da circunferência é o ponto C(3, –5).Esboçando a circunferência, temos:

y

3x

3–5

4

4

R

Calculando o raio, tem-se:R2 = 32 + 42

R = 5.

Como o raio mede 5 unidades, a reta é tangente ao eixo x.

Resposta: A

Raul: 11/04/16 – Rev.: AC10359016-pro-Aula 22 - Problemas Relacionados à Circunferência, Retas e Inequações