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trigonometria 1 Funções Trigonométricas 1.1. Função Seno e Função Cosseno Função seno é a função f: , dada por f(x) = senx , tal que senx é a ordenada do pon- to P do arco orientado AP , no ciclo trigonomé- trico, de origem A e extremidade P com medida x. Função cosseno é a função f: , dada por f(x) = cosx , tal que cosx é a abscissa do ponto P do arco orientado AP , no ciclo trigonométri- co, de origem A e extremidade P com medida x. x senx cosx (cos , sen ) x x A P Sendo a função seno e cosseno tratadas, respec- tivamente, como a ordenada e a abscissa do ponto P este assumirá convenientemente os sinais segundo o sistema cartesiano ortogonal. (cos , sen ) x x (+, +) (-, +) (-, -) (+, -) Características da Função Seno A função seno nunca assumirá valores maiores que 1 e menores que -1, aja visto que o raio do ciclo trigonométrico é 1 (unitário). Desta forma a ima- gem da função seno está compreendida no intervalo fechado [-1, 1] . Para analisarmos o comportamento da função seno, imagine um ponto P deslocando-se no sentido ante-horário a partir da origem até completar uma volta. 2 0 P 2 P De 0 a π 2 o seno cresce De π 2 a π o seno de- de 0 a 1. cresce de 1 a 0. P 3 2 P 3 2 2 De π a 3π 2 o seno de- cresce de 0 a –1. De 3π 2 a 2π o seno cres- ce de -1 a 0. Observe que P pode continuar a deslocar-se no ciclo indefinidamente, dando um número qualquer de voltas. Notemos que o seno assumirá, em qual- quer uma destas voltas, os mesmos valores da pri- meira volta, dadas as mesmas condições, ou seja, isto significa dizer que a função ( ) = sen fx x repete- se periodicamente de 2π em 2π . Notemos isto no seu gráfico, denominado se- nóide. 1 -1 x y 0 - 2 2 3 2 5 2 2 Período da função seno Uma função = ( ) y fx é periódica se temos nú- meros reais p tais que ( ) = ( p) fx fx , para to do x pertencente ao domínio da função. Desta forma, o período p da função dada por ( ) = sen( ) fx b a mx n é dado por: 2π p = |m| Outra característica importante da função ( ) = sen fx x é que essa função é impar pois sen(- ) = -sen( ) x x , para todo x real. Características da Função Cosseno A função cosseno nunca assumirá valores mai- ores que 1 e menores que -1, devido ao fato de que o raio do ciclo trigonométrico é 1 (unitário). Desta forma a imagem da função cosseno está compreen- dida no intervalo fechado [-1, 1] . Para analisarmos o comportamento da função cosseno, imagine um ponto P, como feito com a fun- ção seno, deslocando-se no sentido ante-horário a partir da origem até completar uma volta. 2 P 0 2 P De 0 a π 2 o cosseno de- De π 2 a π o cosseno de-

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trigonometria

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Funções Trigonométricas

1.1. Função Seno e Função Cosseno

Função seno é a função f : , dada por

f(x) = senx , tal que senx é a ordenada do pon-

to P do arco orientado AP , no ciclo trigonomé-trico, de origem A e extremidade P com medida x.

Função cosseno é a função f : , dada por

f(x) = cosx , tal que cosx é a abscissa do ponto

P do arco orientado AP , no ciclo trigonométri-co, de origem A e extremidade P com medida x.

x

senx

cosx

(cos , sen )x x

A

P

Sendo a função seno e cosseno tratadas, respec-

tivamente, como a ordenada e a abscissa do ponto P este assumirá convenientemente os sinais segundo o sistema cartesiano ortogonal.

(cos , sen )x x

(+, +)(-, +)

(-, -) (+, -)

Características da Função Seno

A função seno nunca assumirá valores maiores que 1 e menores que -1, aja visto que o raio do ciclo trigonométrico é 1 (unitário). Desta forma a ima-gem da função seno está compreendida no intervalo fechado [-1, 1] .

Para analisarmos o comportamento da função seno, imagine um ponto P deslocando-se no sentido ante-horário a partir da origem até completar uma volta.

2

0

P

2

P

De 0 a π

2 o seno cresce De

π

2 a π o seno de-

de 0 a 1. cresce de 1 a 0.

P

3 2

P

3 2

2

De π a 3π

2 o seno de-

cresce de 0 a –1.

De 3π

2 a 2π o seno cres-

ce de -1 a 0. Observe que P pode continuar a deslocar-se no

ciclo indefinidamente, dando um número qualquer de voltas. Notemos que o seno assumirá, em qual-quer uma destas voltas, os mesmos valores da pri-meira volta, dadas as mesmas condições, ou seja, isto significa dizer que a função ( ) = senf x x repete-

se periodicamente de 2π em 2π .

Notemos isto no seu gráfico, denominado se-nóide.

1

-1

x

y

0

- 2

2

3 2

5 22

Período da função seno

Uma função = ( )y f x é periódica se temos nú-

meros reais p tais que ( ) = ( p)f x f x , para to do x

pertencente ao domínio da função. Desta forma, o período p da função dada por

( ) = sen( )f x b a mx n é dado por:

2πp =

| m |

Outra característica importante da função ( ) = senf x x é que essa função é impar pois

sen(- ) = -sen( )x x , para todo x real.

Características da Função Cosseno

A função cosseno nunca assumirá valores mai-ores que 1 e menores que -1, devido ao fato de que o raio do ciclo trigonométrico é 1 (unitário). Desta forma a imagem da função cosseno está compreen-dida no intervalo fechado [-1, 1] .

Para analisarmos o comportamento da função cosseno, imagine um ponto P, como feito com a fun-ção seno, deslocando-se no sentido ante-horário a partir da origem até completar uma volta.

2P

0

2P

De 0 a π

2 o cosseno de- De

π

2 a π o cosseno de-

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trigonometria

2

cresce de 1 a 0. cresce de 0 a -1.

P3 2

P3 2

2

De π a 3π

2 o cosseno

cresce de -1 a 0.

De 3π

2 a 2π o seno cres-

ce de 0 a 1. Observe que aqui P pode continuar a deslocar-

se no ciclo indefinidamente, dando, também, um número qualquer de voltas. Notemos que o cosseno assumirá, em qualquer uma destas voltas, os mes-mos valores dos da primeira volta, dadas as mesmas condições, ou seja, isto significa dizer que a função

( ) = cosf x x repete-se de 2π em 2π . Sendo, tam-

bém, uma função periódica. Observe isto no seu gráfico, denominado cosse-

nóide.

1

-1

x

y

0- 2 2 3 2 5 22

Período da função cosseno

O período p da função ( ) = cos( )f x b a mx n é

dado por:

2πp =

| m|

Observe, também, que a função cosseno é uma função par, ou seja, cos(-x) = cos(x) , para todo x re-

al. Comparação Entre as Funções Seno e Cosseno

Note que o gráfico da função cosseno nada mais

é do que o gráfico da função seno deslocado de π

2

unidades na horizontal para a esquerda. Tal carac-terística pode ser, de forma simples, traduzida ma-tematicamente assim:

πcos(x) = sen x , para todo x

2

.

Note esse fato na figura abaixo.

1

-1

x

y

- 2

2 3 2 5 22

Função Tangente

É a função definida para π

x kπ2

, k ,

dada por:

f(x) = tg x

A função tangente também é periódica, porém, seu período, diferentemente das funções seno e cos-seno cujo período é 2π , vale π , ou seja, no ciclo tri-

gonométrico, em condições idênticas, ela se repete em intervalos de π em π , veja a seqüência abaixo.

2

0

22

De 0 a π

2 o tangente

cresce de 0 até + .

De π

2 a π o tangente

cresce de - até 0.

3 2

3 2

2

Observe que, da primeira meia volta em diante a tangente tem o mesmo comportamento anterior, ou seja, ela se repete de meia em meia volta (de π em

π ).

Acompanhando o descrito acima podemos fa-cilmente construir o gráfico da função tangente, como exposto abaixo:

x

y

- 2 2 3 2 5 220

Observe que a imagem da função tangente é to-do conjunto dos reais ( ).

O período de uma função tangente qualquer f(x) = tg (mx n) é dado por:

πp =

| m|

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trigonometria

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EXERCÍCIOS

1. Observe o movimento da máquina indicada na figura.

y

c

c

c

Q

Q

Q

O O

OP

P

P

d d d

c c

c0

40

-40 Um motor gira a manivela OP em torno do pon-

to O. A extremidade P desta manivela, ao girar, des-loca-se dentro do vão da peça c, empurrando-a para cima ou para baixo. Esse movimento de vaivém ver-tical é o único que a peça c pode efetuar, pois ela passa pelo interior da peça d, que funcionando co-mo guia, lhe impede os movimentos laterais.

Vamos estudar o movimento vertical do ponto Q (extremidade inferior da peça c) em função do tempo, supondo que a manivela OP tenha 40 cm de comprimento e gire no sentido anti-horário a uma velocidade constante de 5 rotações por minuto e que no instante t = 0 a ordenada do ponto Q seja y = 0, conforme indica a figura anterior. Tomando como unidade a medida de 40 cm, podemos considerar a circunferência descrita pelo ponto P como sendo uma circunferência trigonométrica.

Com base no texto, calcule o que se pede: a) Qual o deslocamento angular, em radianos

do ponto P no instante t = 1s? b) Em que instante o ponto P estará em uma

posição simétrica em relação à horizontal à posição do item anterior?

c) Qual a ordenada do ponto Q no instante t = 4?

d) Entre o primeiro e terceiro segundos a or-denada de Q aumenta ou diminui? E entre o sexto e o nono segundo?

e) Como seria o gráfico que representa o mo-vimento vertical do ponto Q em função do tempo?

2. Um especialista, ao estudar a influência da varia-

ção da altura das marés na vida de várias espécies em

certo manguezal, concluiu que a altura A das marés,

dada em metros, em um espaço de tempo não muito

grande, poderia ser modelada de acordo com a fun-

ção:

A(t) 1,6 1,4 sen t6

. Nessa função, a variá-

vel t representa o tempo decorrido, em horas, a partir

da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se

que a função A, no intervalo [0,12], está representada

pelo gráfico:

( )

( )

( )

( )

( )

3. representa o gráfico da função definida por f(x) = acosbx . Os valores de a e b são, respectiva-

mente:

1

-1

x

y

0- 3 42

a) 1 e 2

b) -1 e 2

1

c) 1 e 2

1

d) -1 e 1 e) -1 e 2

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trigonometria

4

4. Se f(x) a bsen(x) tem como gráfico

y

x

2

-1

2

3

1

Então:

a) a=-2 e b=1 b) a=-1 e b=2 c) a=1 e b=-1 d) a=1 e b=-2 d) a=2 e b=-1

5. Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasilei-ra e concluiu que o mesmo era periódico e podia se aproximado pela expressão:

21 5P(t) 2cos( t )

2 6 4

onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t=0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.

a) Resolva a equação 5

cos( t ) 16 4

para t>0.

b) Determine quantas horas após o início da

observação ocorreu a primeira maré alta.

6. Estudando-se o fluxo de água em um ponto do estuário de um rio, determinou-se que a água flui para o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, em função do tempo t, em horas, de acordo com a equação v(t) A Bsen(wt) em que A,B e w

são constantes reais positivas e t 0 . A vazão na

qual a água do rio flui para o oceano varia por cau-sadas marés. Na maré baixa, a água flui mais rapi-damente, com vazão máxima de 20 milhões de litros por hora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazão mínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, o tempo entre duas marés alta é igual a 12 horas e 24 minutos. Com base nessas informa-ções, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desconsiderando, para efeito de mar-cação na folha de respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar os cálculos soli-citados.

a) Calcule o valor do coeficiente A . b) Calcule o período, em minutos, da função v. c) Determine o valor de t, em minutos, quando

10h t 22h , para o qual v(t) é máxima.

7. A temperatura, em graus célsius (ºC), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0

hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:

t

6cost

12cos)t(f , 0 t 24.

com t em horas. Determine: a) a temperatura da câmara frigorífica às 2

horas e às 9 horas (use as aproximações

2 = 1,4 e 3 = 1,7);

b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 ºC.

8. A função cujo gráfico está representada na figu-ra abaixo é definida por:

0

y

x

2

-2

43

242 443

a) y sen2x b) y cos(x / 2)

c) y 2sen(x / 2) d) y 2.cos(x / 2)

e) y 2.sen(2x)

9. o gráfico, na figura, é o a função

f : 0.4 definida por:

0

y

4 x2

3

-3

3

a) f(x) 2.sen(3x) b) f(x) 2.sen(x / 3)

c) f(x) 3.sen(x / 2) d) f(x) 3.sen(2x)

e) f(x) 4.sen(3x)

10. O gráfico a seguir representa a função real f.

2

1

2

y

x2

23

a) f(x) 1 cos(x) b) f(x) 1 cos(x)

c) f(x) cos(x 1) d) f(x) cos(x 1)

e) f(x) cos(x )

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trigonometria

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11. Na figura abaixo se tem representada parte do

gráfico de uma função trigonométrica f, de em

.

2

-2

x

y

0- 32-3 -2

Usando as informações dadas nesse gráfico,

analise as afirmativas seguintes. (1) Tal gráfico é o da função dada por

xf(x) = 2.sen

2.

(2) O período de f é 3π .

(3) f admite duas raízes no intervalo -2π, 2π .

(4) Se -2π < x < 0 , então f(x) < 0 .

(5) O conjunto imagem de f é o intervalo -2, 2 .

12. Os dados relativos aos ritmos biológicos podem, frequentemente, ser aproximados por curvas de funções trigonométricas. De modo a se ajustar aos dados, a função cosseno (gráfico A) sofre algumas transformações, como as mostradas nos gráficos B, C e D.

(A) y

t0

y t = cos

2p (B) y

t0

t0

(C) y

t0

t0

c

(D)

y

t0

t0

c c0 +

c0

A partir dessas informações, julgue os itens. (1) A função representada pelo gráfico B é:

0y t cos t ;

(2) O período da função representada pelo gráfico C é igual ao período da função y = cost acrescido de t0. (3) O conjunto imagem da função representada pelo gráfico D é [c0 c, c0 + c].

13. Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em ºC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função.

3H(t) 15 5sen( t )

12 2

,

onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da observação e H(t) a temperatura (em ºC) no instante t.

a) Resolva a equação 3

sen( t ) 112 2

, para

t 0,24

b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocor-reu no primeiro dia da observação

14. A função U, definida por U(t) = rcos (ωt - θ) ,

descreve o deslocamento no tempo t, de um bloco de massa m, preso na extremidade de uma mola, em relação à posição de equilíbrio, conforme a figura adiante. A posição de equilíbrio, nesse caso, é aquela em que U(t) = 0 . A constante ω depende apenas da

mola e da massa m. As constantes r e θ dependem da maneira como o sistema é colocado em movi-mento. Com base na situação apresentada, julgue os itens que se seguem.

equilíbrio posição inicial movimento

m

m

m

U(0)

U( )t

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trigonometria

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(1) A função U tem período igual a (2π - θ) .

(2) No instante 2π

, o bloco está novamente na

posição inicial. (3) O maior deslocamento do bloco, em relação à

posição de equilíbrio, é igual a r. (4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha du-

ração igual a 4π

3ω, o bloco passa pela posição

de equilíbrio.

15. As figuras abaixo, com seus respectivos esque-mas, ilustram três das posições assumidas pelo gin-gar feminino, mostrando que o balançar da pélvis feminina obedece a um ciclo oscilatório.

Tal movimento oscilatório pode ser observado a partir da reta imaginária (r) que passa pelas duas cristas ilíacas perpendicular à semi-reta imaginária (s) que, na ilustração, representa a coluna vertebral. Quando a mulher se desloca no seu andar, a reta (r) oscila em torno do cen-tro C para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis, conforme mostram as figuras com os respectivos esquemas. Admitindo que o movimento se completa a cada

1,5 segundo e que a função

t

3

4cos

10)t(

representa a variação do ângulo em função

do tempo t, assinale o esboço do gráfico dessa função no intervalo ]5,1 ;0[ .

a)

b)

c)

d)

e)

GABARITO

1) A) 6

B) 11 segundos.

C) 20 3 cm

D) subiu E) senoide

2) A 3) B 4) D

5) a) 24k 15

t ,k2

b) 4h30min.

6) a)12 b)744 c) 930 7) a) para t = 2 0,35 ºC

para t = 9 0,7 ºC b) t = 8 0 = 0 hora, t = 8 1 = 8 horas, t = 8 2

= 16 horas e t = 8 3 = 24 horas. 8) E 9) C 10) B 11) E E C E C 12) E E C