11 Introdução - UFRGS

1

Aula 03 : Slide 1CMP241 - Ferramentas para Síntese Automática de CIs - Reis/Johann - UFRGS 2009/1

Algoritmos de Pesquisa deCaminhos

Ferramentas para SínteseAutomática de Circuitos IntegradosProfs: Ricardo Reis e Marcelo Johann


Aula anterior…

Classes de grafo

Problemas e AlgoritmosDeixado como exercício…


Resumo Introdução Aplicações Modelo, Objetivo e Princípios de Pesquisa Algoritmos de Pesquisa de Caminhos

DFS, BFS, Maze Router em grades O Algoritmo A* Pesquisa bi-direcional e o algoritmo LCS* Conclusões


IntroduçãoIntrodução

Como sair deum labirinto?

11

algoritmo : procedimento efetivo,seqüência de operações que termina efornece a solução desejada;


AplicaçõesAplicações

Encontrar caminhos entre uma origem eum destino sobre uma estruturapossuem inúmeras aplicações.

Trânsito Roteamento de Circuitos Integrados Solução de Jogos (Problemas) Dedução de Fórmulas

22


Trânsito Trânsito

2


Conexões em Circuitos IntegradosConexões em Circuitos Integrados

chip

conexões





Divisão da área em regiõesou grade de trilhas

Grafo regular


Em um grafo localmente finito G=(V,E),encontrar o caminho mais curto entre nodosorigem s e destino t - menor custo aditivo.

v1

v2

v3v4

v5

v6

v7v8

v9

st

Definição do ProblemaDefinição do Problema 33


Princípios da PesquisaPrincípios da PesquisaA partir de s, formar uma árvore de pesquisa pela

aplicação repetitiva do operador de sucessãoUm nodo é expandido quando se aplica a operação de

sucessão sobre ele (o nodo se torna fechado)Um nodo é gerado quando é retornado pela operação

de sucessão (o nodo se torna aberto)

v1

v2v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9s t

v0

v5

v1 v6

v3v8

v7v9v2

v4 admissibility


Pesquisa em Profundidade; Pesquisa em Largura Pesquisa Heurística; Pesquisa Bidirecional; Pesquisa Heurística Bidirecional; Pesquisa Frente a Frente; Pesquisa por Perímetro; Pesquisa Linear em Espaço;

Algoritmos de Algoritmos de Pesquisa de Caminhos Pesquisa de Caminhos 4 4

3


Pesquisa em Profundidade (DFS)Pesquisa em Profundidade (DFS)

(Depth-First Search)Tão logo um novo nodo é gerado ele é selecionado para

ser expandido (LIFO).

st


(Breadth-First Search)Primeiro expande todos os nodos a uma mesma

distância da origem (FIFO).

origem

destino

Pesquisaintermediária

Pesquisacompleta

Pesquisa em Largura (BFS)Pesquisa em Largura (BFS)

[Moore 1957][Dijkstra 1959]


The Maze RouterThe Maze RouterX X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X S X

X X

X X

X X

X X

X X X X X X X X X X X X X X X X

X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X



X X

X X

X X

X 2 X

X 2 1 2 X

X 2 X

X X

X X

X X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X




X X

X X

X 4 3 X

X 4 3 2 3 X

X 4 3 2 1 2 3 X

X 4 3 2 3 X

X 4 3 X

X X

X X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X




X 7 6 5 6 X

X 7 6 5 4 5 6 7 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 X

X 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 X

X 7 6 5 4 5 6 X

X 7 6 5 6 X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


4



X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 X

X 10 9 X X X X X X X X X X X X X X X

X 11 10 11 12 X

X 12 11 12 T X

X 12 X

X X

X X

X X

X X

X X




X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

X 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X


X 11 10 11 12 13 14 15 16 X

X 12 11 12 13 14 15 16 T X

X 13 12 13 14 15 16 X

X 14 13 14 15 16 X

X 15 14 15 16 X

X 16 15 16 X

X 16 X

X X



Maze RouterMaze Router’’s expansions expansion g++void print(void);int bfs(int source, int target) { queue<int> q; q.push(source); while (!q.empty()) { int n = q.front(); q.pop(); if (n==target)

return 1; if (Space[n] != 'X')

{Space[n] = 'X';print();getchar();q.push(WEST(n));q.push(EAST(n));q.push(NORTH(n));q.push(SOUTH(n));}

} return 0; }

#include <iostream>#include <queue>using namespace std;#define SIDE 20#define PLACE(x,y) ((y)*SIDE+(x))#define WEST(n) (n-1)#define EAST(n) (n+1)#define NORTH(n) (n-SIDE)#define SOUTH(n) (n+SIDE)char Space[SIDE*SIDE];void init (void) { for (int i=0; i<SIDE*SIDE; ++i) Space[i] = ' '; for (int i=0; i<SIDE; ++i) { Space[PLACE(i,0)] = 'X'; Space[PLACE(i,SIDE-1)] = 'X'; Space[PLACE(0,i)] = 'X'; Space[PLACE(SIDE-1,i)] = 'X'; } for (int i=3; i<SIDE-3; ++i) Space[PLACE(i,10)] = 'X'; }



X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

X 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X


X 11 10 11 12 13 14 15 16 X

X 12 11 12 13 14 15 16 T X

X 13 12 13 14 15 16 X

X 14 13 14 15 16 X

X 15 14 15 16 X

X 16 15 16 X

X 16 X

X X




X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

X 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X

X 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

X 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

X 9 8 7 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X


X 11 10 11 12 13 14 15 16 X

X 12 11 12 13 14 15 16 T X

X 13 12 13 14 15 16 X

X 14 13 14 15 16 X

X 15 14 15 16 X

X 16 15 16 X

X 16 X

X X



Maze RouterMaze Router’’s trackings tracking g++typedef pair<int,int> Ref;

char Expansion[SIDE*SIDE]; // 0char Taken[SIDE*SIDE]; // ' '

int bfs(int source, int target) { queue<Ref> q; q.push(Ref(source,0)); while (!q.empty()) { int n = q.front().first; int p = q.front().second; q.pop(); if (n==target)

return 1; if (Expansion[n] == 0 &&

Taken[n] == ' '){Expansion[n] = p;q.push(Ref(WEST(n),n));. . . }

} return 0; }

1-You have to store thenode and where itcame from in the queueusing a pair<int,int>

2-Instead of Space, useExpansion[n] to storewhere the nodes camefrom and Taken[n] torepresent obstaclesand routes

4-Write backtrack(t,s)from target to sourcefollowing Expansion[n]

5


CCódigo BFS com custosódigo BFS com custos g++


Primeiro expande os nodos mais promissores,segundo a função: f(n) = g(n) + h(n)

origem destino

Pesquisaintermediária

Pesquisacompleta

g(n) h(n)

Efeito da eficiência

das estimativas

Pesquisa HeurPesquisa Heurística (A*)ística (A*) 55 [Hart et al. 1968]


Propriedades em pesquisa heurística Propriedades em pesquisa heurística

Admissibilidade (**): custo de n a t ≥ h(n)garante menor caminho

Consistência: k(n1,n2) + k(n2,n3) ≥ k(n1,n3)só expande nodos comcusto mínimo conhecido

n1

n2

n3k(n1,n2)

k(n2,n3)

k(n1,n3)

tn

h(n)

Menor caminhode n a t

h(n) = k(n,t)


g=h=f =

1

g=0h=3f =3

7

g=h=f =

13

g=h=f =

2

g=h=f =

8

g=h=f =

14

g=h=f =

9g=h=f =

6

Open List:7

c=1 c=2 c=2

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=2

g=h=f =

15c=1

c=2

g=h=f =

10

c=2

g=h=f =

4

c=1

c=2

g=h=f =

11c=1

c=2

Non uniform costs


g=h=f =

9

Open List:8, 1, 13, 6

c=2

g=h=f =

3

c=1

c=2

g=h=f =

15c=1

c=2

g=h=f =

10

c=2

g=h=f =

4

c=1

c=2

g=h=f =

11c=1

c=2

g=1h=4f =5

1

g=0h=3f =3

7

g=1h=4f =5

13

g=h=f =

2

g=2h=2f =4

8

g=h=f =

14

g=1h=5f =5

6

c=1 c=2

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

Non uniform costs


Open List:1, 13, 6, 9, 2, 14

g=h=f =

10

c=2

g=h=f =

4

c=1

c=2

g=h=f =

11c=1

c=2

g=1h=4f =5

1

g=0h=3f =3

7

g=1h=4f =5

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=3h=3f =6

14

g=4h=1f =5

9g=1h=4f =5

6

c=1 c=2 c=2

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=2

g=h=f =

15c=1

c=2

Non uniform costs

6


g=h=f =

10

c=2

g=h=f =

4

c=1

c=2

g=h=f =

11c=1

c=2

g=4h=1f =5

9

c=2

g=h=f =

3

c=1

c=2

g=h=f =

15c=1

c=2

g=1h=4f =5

1

7

g=1h=4f =5

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=3h=3f =6

14

g=1h=4f =5

6

c=1 c=2

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=0h=3f =3

Open List:1, 13, 6, 9, 2, 14 TiesTies

Non uniform costs


g=h=f =

10

c=2

g=h=f =

4

c=1

c=2

g=h=f =

11c=1

c=2

g=4h=1f =5

9

c=2

g=h=f =

3

c=1

c=2

g=h=f =

15c=1

c=2

g=1h=4f =5

1

7

g=1h=4f =5

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=3h=3f =6

14

g=1h=4f =5

6

c=1 c=2

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=0h=3f =3

Open List:1, 13, 6, 9, 2, 14 But not critical But not critical as f * = 6as f * = 6

Non uniform costs


Open List:13

g=h=f =

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=h=f =

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=h=f =

7

g=0h=4f =4

13

g=h=f =

2

g=h=f =

8

g=h=f =

14

g=h=f =

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=h=f =

15c=1

c=1

Uniform costs


Open List:14,7

g=h=f =

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=h=f =

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=h=f =

2

g=h=f =

8

g=1h=3f =4

14

g=h=f =

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=h=f =

15c=1

c=1

Critical Ties

f(14) = f(7) = f *f(14) = f(7) = f *


Open List:15,8,7

g=h=f =

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=h=f =

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=h=f =

2

g=2h=2f =4

8

g=1h=3f =4

14

g=h=f =

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=2h=2f =4

15c=1

c=1

Can choose what you want


Open List:11,9,8,7

g=h=f =

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=3h=1f =4

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=1h=3f =4

14

g=3h=1f =4

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=2h=2f =4

15c=1

c=1

Nodes close to the target first

worst

best

7


Open List:15,7,2,3

Nodes close to the target first

Only Only four four nodes expanded nodes expanded

g=4h=0f =4

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=3h=1f =4

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=1h=3f =4

14

g=3h=1f =4

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=2h=2f =4

15c=1

c=1


g=4h=0f =4

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=3h=1f =4

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=1h=3f =4

14

g=3h=1f =4

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=2h=2f =4

15c=1

c=1

Open List:15,7,2,3

But pay attention to:

Degree of freedomDegree of freedom


g=4h=0f =4

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=3h=1f =4

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=1h=3f =4

14

g=3h=1f =4

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=2h=2f =4

15c=1

c=1

Open List:15,7,2,3




g=4h=0f =4

10

c=1

g=h=f =

4

c=1

c=1

g=3h=1f =4

11c=1

c=1

g=h=f =

1

g=1h=3f =4

7

g=0h=4f =4

13

g=3h=3f =6

2

g=2h=2f =4

8

g=1h=3f =4

14

g=3h=1f =4

9g=h=f =

6

c=1 c=1 c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

c=1

g=h=f =

3

c=1

c=1

g=2h=2f =4

15c=1

c=1

Open List:15,7,2,3




CCódigo de A*ódigo de A* g++


The The A* A* AlgorithmAlgorithmX X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X 10 X

X X

X X

X X

X X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


7

3

h = estimation function

8



X X

X X

X X

X X

X 10 X

X 10 X

X 10 X

X X

X X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


Min f = g + h Max g



X X

X X

X X

X X

X 10 X

X 10 X

X 10 X

X 10 X

X 10 10 X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


Min f = g + h Max g



X X

X X

X X

X X

X 10 X

X 10 X

X 10 X

X 10 X

X 10 10 10 10 X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


Straingth path from S to T



X X

X X

X X

X X

X 10 10 10 10 X

X 10 10 10 10 X

X 10 10 10 10 X

X 10 10 10 10 X

X 10 10 10 10 X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


Degrees of freedom



X X

X X

X X

X 12 12 12 12 X

X 12 10 10 10 10 12 X

X 12 10 10 10 10 12 X

X 12 10 10 10 10 12 X

X 12 10 10 10 10 12 X

X 12 10 10 10 10 12 X


X X

X T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


Maze router-like with obstacles



X X

X 16 16 16 16 X

X 16 14 14 14 14 16 X

X 16 14 12 12 12 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 X X X X X X X X X X X X X X X

X 16 X

X 16 16 16 16 16 16 T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


The The A* A* AlgorithmAlgorithm

Maze router-like with obstacles

9



X X

X 16 16 16 16 X

X 16 14 14 14 14 16 X

X 16 14 12 12 12 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 14 12 10 10 10 10 12 14 16 X

X 16 X X X X X X X X X X X X X X X

X 16 X

X 16 16 16 16 16 16 T X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


The The A* A* AlgorithmAlgorithm

Savedeffort


Duas frentes simultâneas de pesquisa nodo de encontro: reconhecido por ambas condição de término: f(n) > min[f(m)] sobreposição

origem

destino

Pesquisa daorigem

Pesquisaunidirecional

Pesquisa dodestino

Nodo deencontro

m

Pesquisa BidirecionalPesquisa Bidirecional 66


Objetivo: Unir as vantagens de ambasDificuldades: problema das frentes desencontradas intersecção das pesquisas condição de término

Suposto problemadas frentesdesencontradas

Objetivo

Bi-A*

Bi-BFS

Pesquisa Heurística Bidirecional Pesquisa Heurística Bidirecional

[Kwa 1989]


Wave-ShappingCalcula distância até cada nodo da frente opostaf(n) = gs (n) + min[k(n,pi) + gt (pi)]

gs(n) gt(pi)

k(n,pi )

s

n

t

pi

Requer tempo (ou espaço) quadrático para tal

Pesquisa Pesquisa Frente-a-FrenteFrente-a-Frente


Dois processos de pesquisa seguidoso primeiro BFS e o segundo A*, geralmente

gs(n)

gt(pi)

k(n,pi ) s n

t

pi

Primeira pesquisa,até um perímetrodeterminado

Segunda pesquisa,com estimativasfrente-a-frente

Demonstra potencial dos heurísticos bidirecionais

Pesquisa por Perímetro Pesquisa por Perímetro


Sucessivas pesquisas A* seguidascada uma limitada por um perímetro máximo.

Não precisa armazenar lista de nodos da fronteira

Pesquisa Linear em Espaço Pesquisa Linear em Espaço

Iterative Deepening A*

origem destino

Pesquisasintermediária

Pesquisacompleta

10


O Algoritmo LCS*O Algoritmo LCS* 66Lowerbound Cooperative Search [ISA/CI2000]Cooperation overall code is like BS* [Kwa 89] dynamic estimation (resistances e penalties) Function h of one front will be improved by the

other’s g values estimated values stored in referencescompleteness and admissibility proved [SBIA2000]


Condições para ExpansãoCondições para Expansão

Sufficient Condition for Expansion A* expands all nodes with f(n) < Ps-t*

Necessary Condition for Expansion A* only expands nodes with f(n) ≤ Ps-t*

Missing fronts? No, this is not the main problem! [Kaindl 95,97]


Poder de Poda Poder de Poda

o poder de um algoritmo heurístico admissível não estáem quão rápido ele encontra um caminho da origem aodestino, mas em quão rápido ele pode computar valoresmais altos de f() para os nodos que gera.


Resistência (min idea [Kaindl 96])

Penalidade (max idea [Kaindl 96])

gs(n)

gt(pi)

s n

t

pi

ht(n) hs(n)

ht(pi)

gt(pi) t

pi

k(pi ,t)

Rt = Min[gt(pi) - k(pi,t)]

Pt = Min[gt*(pi) - k(pi,s)]

F(n) = f(n) + Rt

F(n) = gs(n) + Pt - ht(n)

Estimação Dinâmica Estimação Dinâmica


Cooperação e VisibilidadeCooperação e Visibilidade

Function h of one front will be improved by the other’sg values

But h is under-estimated while g is over-estimatedBefore: g and h were associated with the nodes themselvesVisibility: estimated values stored in references single public closed set for both fronts


Expanded nodes and running time in 2D grids

200 by 200 grids with random costs, mean 100,

minimum 50, maximum 300

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

100140

180220

260300

340380

range of random costs

rati

o L

CS

*/A

*

nodes

runtime

Resultados de LCS* versus A*Resultados de LCS* versus A*

11


Especificação de Custos AleatóriosEspecificação de Custos Aleatórios

maximum

minimum

Center(mean)

0

range

DCcost

ACcosts


Grade 200 por 200 com custos aleatórios, média

100, mínimo 50, máximo 300

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

100140

180220

260300

340380

420460

500

variação de custos aleatórios gerados

tota

l d

e n

od

os

exp

an

did

os

LCS*

melhor A*

pior A*

Em grade, admissibilidade completa

Número de Expansões em Grade 2DNúmero de Expansões em Grade 2D


LCS*/A* in 2D grids, regular cost regime

Testes de Testes de εε--admissibilidadeadmissibilidade

200 by 200 grids with random costs, mean 100,

minimum 50, maximum 300

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

15 25 35 45 55 65 75 85 95

range of random costs

rati

o L

CS

*/A

*

100%

96%


100x100 random BFS, DFS and multi-DFS mazes

LCS* ganha nos labirintos mais difíceisLCS* ganha nos labirintos mais difíceis

Maze type Time Nodes

BFS 0.698 0.661

DFS 1.035 0.975

Multi-DFS 0.612 0.595


70 nodes, all 70x70 path problems

LCS* ganha em LCS* ganha em grafos grafos aleatóriosaleatórios

Algorithm random solved

average A* 126156 78306

best A* 71576 61016

worst A* 18036 95596

LCS* 77710 59869


70 nodes, all 70x70 path problems

A* quase ótimo em A* quase ótimo em grafos grafos geométricosgeométricos

Algorithm geometric plus one arc

average A* 39095 28406

best A* 24438 21428

worst A* 53752 35384

LCS* 38662 34130

12


Pesquisa de caminhos tem diversasaplicações;

Algoritmos Heurísticos são admissíveis Existem outros algoritmos não

admissíveis; LCS* é o primeiro heurístico bidirecional e

admissível que é mais eficiente do que A*,mas é muito complexo;

Nunca esqueçam A*

ConclusõesConclusões 77


Próximas Aulas Ferramentas de Projeto, Síntese de Leiaute e

Compactação

ComputabilidadeO que é possível resolver em teoria……e o que é impossível.

TratabilidadeO que é possível resolver na prática(com tempo e memória razoáveis)…e como se resolve então!

11 Introdução - UFRGS

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