12 2011 Folhetos Regress%E3o 2 Anamorfose Folhetos

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ANAMORFOSE

LINEARIZANDO MODELOS NÃO-LINEARES PARA APLICAÇÃO DO

MQO

ECONOMETRIA

Profa. Nelly Figueiredo

Leitura: Gujarati – p. 141 a 153(apostila 85 a 97)

• Os modelos NÃO-LINEARES NAS VARIÁVEIS podem ser transformados em lineares (linearizados por anamorfose), transformando tanto Y ou X ou ambos.

• Estes modelos são chamados “ modelos não-lineares transformáveis”. Por exemplo, o modelo multiplicativo abaixo, pode ser linearizado tomando os logaritmos naturais de ambos os lados da equação.

Y = ββββ1 X ββββ1

ANAMORFOSE

Econometria – Profa. Nelly Figueiredo

ANAMORFOSE

� Podemos transformar uma função não-linear em uma função linear, através de truque matemático. Essa transformação se chama anamorfose.

� Fazemos isso para podermos utilizar os mesmos instrumentos desenvolvidos para ajustar a regressão linear simples.

� Usamos as mesmas fórmulas dos estimadores desenvolvidos pelo MMQO, obtendo estimativas dos parâmetros B1 e B2.


Linearizar o modelo1. Transformar os dados de acordo com o modelo

linearizado2. Ajustar o modelo linearizado ( naturalmente usando os

dados transformados)3. Recalcular os coeficientes, se preciso;4. Apresentar o modelo ajustado

OBS:• usualmente, apresenta-se o modelo linearizado, sem

voltar ao modelo original. • CUIDADO na interpretação dos coeficientes!

ANAMORFOSE


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ModeloForma

originalForma linearizada Obs

Linear Y = ββββ1 + ββββ2 X Y = ββββ1 + ββββ2 X Elasticidade =ββββ2 X/Y

Log-linear ou Log-Logou Exponencial ou Cobb Doglas

Y = ββββ1 X ββββ1 ln(Y) = αααα1 + ββββ2ln(X)

α1 = ln(ββββ1)Elasticidade =ββββ2

Potencia Y = ββββ1 ββββ2X ln(Y) = αααα 1+ αααα2 X

αααα 1 = ln(ββββ1)α2 = ln(ββββ2)

Elasticidade = αααα2 X

Semi-log: Lin-LogSemi-log: Log-Lin

Y = ββββ1 + ββββ2 ln(X)LnY = ββββ1 + ββββ2 X

Log-inverso ln(Y) = ββββ1 + ββββ2 1/X Elasticidade = ββββ2 1/X

ANAMORFOSE – ALGUNS MODELOS


Forma original Forma linearizada Obs.

Multiplicativo Y = ββββ0 e ββββ1 X ln(Y) = B 0 + ββββ1 XB 0 = ln(ββββ0)

ln(e) = 1

Inverso ou Recíproco-X (hipérbole)

Y = ββββ0 + ββββ1 1/X Y = ββββ0 + ββββ1 W W = 1/X

Recíproco-Y 1/Y = ββββ0 + ββββ1 X Z = ββββ0 + ββββ1 X Z = 1/Y

Recíproco-dupla 1/Y = ββββ0 + ββββ1 1/X Z = ββββ0 + ββββ1 W

W = 1/X; Z= 1/Y

Quadrática Y = ββββ0 + ββββ1 X1 + ββββ2 X22222 Y = ββββ0 + ββββ1 X1 + ββββ2 W W = X2

2222



ANAMORFOSE – ALGUNS MODELOS1) COBB-DOUGLAS

Log -linear ou Exponencial ou Cobb Doglas ou Log-Log

2

1ββ XY =

Linearizando:

XY lnlnln 21 ββ +=

Equação estimada:

)ˆ(ˆ

ˆlnˆ,lnˆˆˆln

1

12

αβ

βαβα

EXPEntão

quesendoXY

=

=+=


Propriedades – Modelo muito popular devida a suas propriedades:

1. 2β̂ é a elasticidade de Y em relação à X; (Y varia de 2β̂ % quando X aumentar 1%)

2. O coeficiente de elasticidade é constante, qualquer que seja o valor de X;

3. α̂ e 2β̂ são estimadores eficientes ( não tendenciosos) porém

1̂β é tendencioso;


1) COBB-DOUGLAS (cont.)


3

Demonstrando que elasticidade = 2β̂ .

21

ββ XY =

Y

X

dX

dY

XdX

YdY •==ε

a) dX

dY = derivada da função

121

2−××= βββ XdX

dY [1]

b) Substituindo [1] na fórmula de elasticidade:

=•=Y

X

dX

dYεY

XX ••• −1

212βββ =

=•=Y

X

dX

dYεY

X 221

βββ •• = 2β


1) COBB-DOUGLAS (cont)



2) LOG-LIN e LIN-LOG (semilogaritmicos)

2.1 Modelo LOG-LIN: Usado quando desejamos saber a variação percentual de Y

dada uma variação absoluta de X.

Como medir a taxa de crescimento através de modelo de regressão:

Yt = Y0 (1+r) t

Ln (Yt )= Ln(Y0) + t Ln (1+r) ou

ββββ1 = Ln(Y0) logaritmo do intercepto (valor inicial da série p/ t=0)

ββββ2 = Ln(1+r)

Y = variável para a qual queremos medir a taxa de crescimento

t = tempo.

LnYt = ββββ1 + ββββ2 t




2.1 Modelo LOG-LIN (cont): Propriedades do modelo log-lin:1. β2 = (variação relativa de Y) / (variação absoluta de X- no caso t);2. β2 x 100 = taxa de crescimento de Y.3. Taxa de crescimento instantânea x taxas compostas:

tx de crescimento instantânea :

=> β2 vezes 100 = taxa de crescimento instantânea

tx crescimento composta (ao longo de um período )

Sabemos que β2 = Ln (1+r)

então: 1 + r = EXP(β2 ) e r = EXP(ββββ2) - 1 r

=> { EXP(ββββ2) – 1 } vezes 100 = taxa de crescimento composta




2.1 Modelo LOG-LIN (cont): Exemplo

Supondo o modelo ajustado:

Ln^(Yt )= 2,5 + 0,07 t

ββββ2 x 100 = 7%

=> Y cresce a 7% ao ano

r = EXP(0,070,070,070,07) - 1 = 1,0725 – 1 = 0,0725 x 100 = 7,25%

=> Y teve um crescimento médio anual de 7,25% a/a no período

*a taxa composta 7,25% é ligeiramente superior à taxa instantânea 7%


4



2.1 Modelo LIN-LOG: • Usado quando desejamos saber a variação absoluta de Y

dada uma variação percentual em X.

Yt = ββββ1 + ββββ2 Ln (X)

ββββ1 = intercepto: valor de Y que independe de X

ββββ2 vezes 0,01 = variação em Y quando X varia de 1%

Exemplo

Supondo o modelo ajustado:

Yt = 28 + 250 Ln(X)

ββββ2 vezes 0,01 = 250 x 0,01 = > Y aumenta de 2,5 unidad es a cada 1%

de aumento em X.



3) MODELOS RECÍPROCOS

Propriedades : Quando X aumenta indefinidamente:

• O termo β2.1/X se aproxima de zero ( inclinação =>0);

• Y se aproxima do valor limite ou assintótico β1 (a função tende assintoticamente para o intercepto β1)

• Um valor positivo de β2 implica que a taxa de variação de Y em relação a X é negativa então Y decresce conforme X aumenta, tendendo assintoticamente para β1.

• Quando β2 negativo Y aumenta conforme ´X aumenta, tendendo assintoticamente para β1

• Verifique essas duas últimas afirmações atribuindo valores a X e representando em 2 gráficos de dispersão as seguintes equações:

XY

121 ββ +=

Econometria – Profa. Nelly FigueiredoX

Y1

64+=X

Y1

54−=



Exemplos:

• Curva de Phillips – relaciona taxa de variação % dos salários monetários e taxa de desemprego (%)

• Mortalidade Infantil X PIB per capita.


XY

164+=



Seja uma curva de Phillips dada pelo modelo

∆∆∆∆W = - 3,251 + 18,551 (1/X)

Sendo: ∆W = taxa de variação dos salários (em %);

X = taxa de desemprego ( em %)

• A tx de crescimento do salário aproxima-se assintoticamente de - 3,251% quando a tx de desemprego tende ao infinito; (força dos sindicatos pode estar influenciando essa relativa rigidez da queda dos salários após certo nível)

• O valor positivo do coeficiente de (1/X) implica que a tx de variação do salário em relação ao desemprego é negativa. A derivada (inclinação da fn) em relação a X é negativa : dW/dX = - β2/X2

• A taxa de desemprego natural: aquela que mantém o salário estável ou seja,

∆∆∆∆W = 0 .

No nosso exemplo: 0 = - 3,251 + 18,551 (1/X) ou X= 5,7082%

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