12 agua no-solo

ÁGUA NOS SOLOS

Introdução

Água nos solos:

água de constituição molecular

água adsorvida

água capilar

água livre

Capilaridade– Tensão superficial da águaComportamento diferenciado da água na superfície em contato com o ar →

orientação das moléculas

Tensão superficial (T) - trabalho necessário

para aumentar a superfície do líquido de

uma unidade infinitesimal de área

Tensão superficial da água a 20oC

→ 0,073 Nm/m2

– A teoria do tubo capilarNo contato com outras superfícies (líquidas ou sólidas) as forças químicas de

adesão geram uma curvatura na superfície livre da água → f(tipo dematerial e grau de limpeza)

NA

franja capilar

vidro limpo α ≈ 0

α

α

vidro c/ impurezas α< 40o mercúrio α > 140o

��

Em função da superfície curva, ocorre uma diferença nas pressões externa einterna da superfície ar-água.

A diferença de tensões é equilibrada pela resultante da tensão superficial.

curvatura ↑ → diferença de pressões ↑ → T para equilíbrio ↑

• Comportamento da água em tubos capilares:Quando um tubo capilar é colocado em contato com a superfície da água livre

forma-se uma superfície curva a partir do contato água-tubo. A curvatura éfunção das propriedades do material do tubo. A água sobe pelo tubocapilar até que seja estabelecido o equilíbrio das pressões interna eexterna à superfície → fenômeno de ascensão capilar

uA= uD = uF = atmosférica

uB = uC = atmosférica + γw z

uE = atmosférica - γw hc

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Fc

W

��

ÁGUA NOS SOLOS

A altura de ascensão capilar em um tubo de raio r pode ser calculadaigualando o peso da água no tubo acima do NA com a resultante da tensãosuperficial responsável pelo equilíbrio.

Peso de água:

Resultante da tensão superficial ao longo do perímetro:

Para o equilíbrio W = Fc cos α:

Quando é atingido o equilíbrio (máxima ascensão) α → 0. Logo:

Ex: tubo de vidro com 1 mm de diâmetro → hc = 3 cm

• O comportamento da água capilar nos solosOs vazios no solo são muito pequenos, comparáveis aos tubos capilares,

embora muito irregulares e interconectados.

A situação da água capilar no solo depende do histórico do NA.

wc2 hrW γ⋅⋅⋅π=

Tr2Fc ⋅⋅π⋅=

αγ⋅⋅= cos

r

T2h

wc

wCmáx

r

T2h

γ⋅⋅=

��

ÁGUA NOS SOLOS

- Quando um solo seco é colocado em contato com água livre, esta sobepor capilaridade até uma altura que é função do diâmetro dos vazios, esterelacionado como diâmetro das partículas. Como bolhas de ar ficamenclausuradas, o solo mantém parcial e decrescente saturação até a alturamáxima de ascensão capilar.

- O mesmo fenômeno ocorre quando do rebaixamento do NA. O solomantém continuidade da água nos vazios até a máxima altura capilar.Acima deste a coluna d’água se “rompe” e a água presente nos vazios éisolada do lençol freático.

Interrompida a coluna d’água, a água pode manter-se isolada, aprisionadaentre os grãos por efeito dos meniscos capilares, desde que seestabeleça o equilíbrio de forças

• Seqüência de fenômenos relacionados a capilaridade a partirdo umidecimento de um solo seco

1o) A água intersticial passa a incorporar a água adsorvida;

2o) A água vai sendo “armazenada” nos pontos de contato entre aspartículas. Formam-se os vasos capilares afunilados.

Em cada contato, em função da abertura do poro, tem-se certaquantidade de água que pode ser mantida em suspensão;

3o) Adicionando mais água, chega-se a um ponto que não é maispossível reter água por capilaridade. A água passa a ser livreincorporando o lençol freático.

• Relações empíricas para a altura capilarA altura de ascensão capilar está relacionada diretamente com os vazios

e diâmetro das partículas. Relações empíricas do tipo:

c - coeficiente de 0,1 a 0,5 cm2

situação

sem equilíbrio

situação de

possível equilíbrio

10Cmáx

De

ch

⋅=

��

• Alturas capilares máximas atingíveis– pedregulhos → alguns poucos centímetros;– areias → um a dois metros;– siltes → três a quatro metros;– argilas → dezenas de metros.

• A pressão negativa na água do soloA água capilar acima do NA assume poropressão negativa. Na realidade

assume valores menores que a pressão atmosférica (pressão dereferência = 100 kPa). A poropressão negativa da água nos solos devidoao efeito da capilaridade é chamada de sucção matricial.

Esta “resistência a tração” da água se limita ao zero absoluto de pressão, istoé, - 100 kPa, a partir do qual a água teoricamente entra em cavitação → oar dissolvido presente na água se instabiliza. Na prática, em condiçõesespeciais (água desaerada e em volumes muito pequenos), consegue-seatingir em laboratório pressões negativas na água inferiores a -100 kPa.

Em perfis de solos pouco saturados é possível medir pressões negativas naágua intersticial inferiores a -1000 kPa por meio de tensiômetros especiais.

Pelo conceito de tensão efetiva → para u (-) ⇒ σ’ > σ. O acréscimo de tensãoefetiva por efeito da pressão neutra negativa representa um acréscimo naforça de contato entre os grãos e como conseqüência uma parcelaadicional de resistência ao cisalhamento dos solos não saturados chamadade coesão aparente.

• Exemplos da importância no estudo da capilaridade– Construção de aterros e pavimentos - a água que sobe por

capilaridade tende a comprometer a durabilidade de pavimentos

– Sifonamento capilar em barragens - a água pode, porcapilaridade, ultrapassar barreiras impermeáveis e gerar porefeito de sifonamento percolação através do corpo da barragem

– Coesão aparente - parcela de resistência gerada pelosmeniscos capilares presentes em solos não saturados

ÁGUA NOS SOLOS

��

Permeabilidade e percolaçãoOs solos têm, com freqüência, a maior parte ou a totalidade de

seus poros ocupados por água, que, quando submetida auma diferença de potencial hidráulico, flui através dos porosinterconectados, fissuras e/ou outros caminhos preferenciais.

A facilidade com que a água flui através de um meio poroso,como o solo, constitui uma importante propriedadeconhecida como permeabilidade. A permeabilidade de umsolo é quantificada pelo coeficiente de permeabilidade.

Um termo análogo a permeabilidade é condutividadehidráulica, reservado ao fluxo em solos não saturados.

Chamamos de percolação o fluxo da água

através do solo.

O estudo do movimento da água no interior do solo é muitoimportante para diferentes obras de engenharia.

Importância do estudo da permeabilidade dos solos. Exs:– Determinação do fluxo e cálculo de vazões sob ou através de

barragens, na direção de escavações, cortinas ou poços derebaixamento;

– Determinação das forças de percolação exercidas sobreestruturas hidráulicas;

– Análise da velocidade de recalques por adensamento,associados a redução dos vazios a medida que a água dosporos é expulsa;

– Nos estudos de estabilidade, uma vez que a tensão efetiva(responsável pela resistência ao cisalhamento dos solos) éfunção da pressão neutra, que por sua vez depende dastensões provocadas pela percolação;

– No controle da erosão interna (“piping”) em solos finos.

ÁGUA NOS SOLOS

��

– Cargas hidráulicasPara estudar as forças que controlam o escoamento d’água através de um

solo é necessário avaliar as variações de energia no sistema.

No estudo do fluxo d’água nos solos é conveniente expressar as componentesde energia pelas correspondentes cargas ou alturas (energia por unidadede massa).

EQUAÇÃO DE BERNOULLI → válida p/ escoamentos em regime permanente,não viscosos, de fluídos incompressíveis. A carga total é dada pela somade três parcelas:

CARGA TOTAL = CARGA DE ALTURA + CARGA PIEZOMÉTRICA + CARGA DE VELOCIDADE

Carga de altura (ha) → diferença de cota entre o ponto considerado e qualquercota definida como referência;

Carga piezométrica (hp) → pressão neutra no ponto, expressa em altura decoluna d’água;

Carga de velocidade (hv) → nos problemas de percolação de água nos solos acarga de velocidade (ou cinética) é desprezível - velocidades muito baixas.

ÁGUA NOS SOLOS

vpa hhhH ++=hvA

hvB

hpA

haA

hpB

haB

A

B

zha =

wp

uh

γ=

g2

vh

2

v⋅

=

∆H

HA

HB

∆L

NR

��

hpA

Para que haja fluxo de A para B → HÁ > HB

Tem-se:

onde: ∆H = perda de carga hidráulica

Sempre que houver diferença de carga total entre dois pontos haverá fluxo, nadireção do ponto de maior carga ao ponto de menor carga total.

Analisemos dois casos:

caso 1: caso 2:

Como haA + hpA = haB + hpB ,

isto é HÁ = HB ⇒ não há fluxo HÁ=HB=hpA=hpB HC=HD=hpC=hpD

HB ≠ HC ⇒ há fluxo

HB > HC ⇒ há fluxo de B para C

Define-se como gradiente hidráulico (i) a taxa de dissipação da carga total emfunção da distância.

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HHH BA ∆+=

A

B

haA

haB

hpB

NR

NA

NAhpA=hpB

hpC=hpD

A B C D

dL

dH

Llimi

0L−=

∆∆Η−=

→∆

∆L

Hzu

zu

Bw

BA

w

A ∆++γ

=+γ

��

– Força de percolaçãoA perda de carga (∆H) é dissipada através de uma amostra de solo, deseção (A) ao longo de uma distância (L), na forma de atrito viscoso. Esteatrito provoca um esforço de arraste das partículas na direção domovimento. Esta chamada força de percolação (Fp) é dada por:

Esta força de percolação por unidade de volume (j) é:

– Tensões no solo submetido a percolaçãoAnalisemos as tensões no solo em três condições: sem fluxo, fluxo

ascendente e fluxo descendente

• Sem fluxo

As tensões na base da amostra:

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AHFp w ⋅γ⋅∆=

www

iL

H

LA

AHj γ⋅=γ⋅∆=

⋅⋅γ⋅∆=

γ⋅+γ⋅=σ Lz w w)Lz(u γ⋅+=

u' −σ=σLL)(' subw ⋅γ=⋅γ−γ=σ

��

• Com fluxo ascendente


Como h é a perda de carga pode-se escrever:

• Com fluxo descendente


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γ⋅+γ⋅=σ Lz w w)hLz(u γ⋅++=

)j(LiLL' subwsub −γ⋅=γ⋅⋅−γ⋅=σ

w)hLz(u γ⋅−+=γ⋅+γ⋅=σ Lz w

)j(LiLLh)(L' subwsubww +γ⋅=γ⋅⋅+γ⋅=γ⋅+γ−γ⋅=σ

)h()(L)hLz()Lz(' wwwwww γ⋅−γ−γ⋅=γ⋅+γ⋅+γ⋅−γ⋅+γ⋅=σ

��

– Gradiente hidráulico críticoNa condição de fluxo ascendente a tensão efetiva reduz com o aumento

no gradiente hidráulico.

Para um dado valor de gradiente hidráulico, a tensão efetiva pode seranulada → gradiente hidráulico crítico (icrít)

Como a tensão efetiva (tensão de contato grão a grão) é responsávelpela resistência ao cisalhamento de areias → perda total deresistência → comporta-se como fluído ⇒ estado de areia movediça

Para fluxo ascendente, na condição crítica:

O fenômeno de areia movediça é típico de areias finas e tem raraocorrência natural. Porém certas obras geotécnicas podem gerar estasituação. Exs:

(a) fluxo ascendente junto ao pé de jusante de barragens sobre areia fina

(b) fluxo ascendente de fundo em escavações escoradas por cortinas deestacas pranchas envolvendo areias finas

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0)i(L' wsub =γ⋅−γ⋅=σ

w

subcríti

γγ=

��

– Permeabilidade dos solos• A Lei de Darcy (1850)

Experimentalmente Darcy verificou os fatores que influenciam o fluxode um fluído em um meio poroso e estabeleceu que a descarga (Q)numa seção de área (A) é proporcional ao gradiente hidráulico (i) . Aequação que leva seu nome:

A constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente depermeabilidade (K), uma medida da propriedade do solo querepresenta a facilidade do solo em permitir a percolação d’água pelosseus interstícios.

A velocidade (v), razão entre a vazão e a área da seção de fluxo, éassim representada pela Lei de Darcy:

Chama-se de velocidade de percolação (vp) a velocidade com quea água escoa nos vazios do solo, considerando a área efetiva deescoamento, isto é, a “área de vazios” (Av)

onde: n - porosidade do solo

– A validade da Lei de Darcy

A lei de Darcy á válida para fluxo laminar → no de Reynolds (R) < 2000

v - velocidade

D - diâmetro da seção de escoamento

γ - peso específico do fluído

µ - viscosidade do fluído

g - aceleração da gravidade

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AiKQ ⋅⋅=

n

v

nA

Q

Av

Qvp =

⋅==

iKA

Qv ⋅==

g

DvR

⋅µγ⋅⋅=

NANA

NR

HA

hpA

haAA

B HB

hpB

haB

∆H

v

A

∆L

��

• Determinação do coeficiente de permeabilidade– Ensaios de laboratório

A determinação do coeficiente de permeabilidade em laboratório érealizada principalmente em ensaios com permeâmetros. O valor de Kpode também ser obtido em células triaxiais ou indiretamente em ensaiosoedométricos de adensamento.

• Ensaios em permeâmetro de carga constante

A carga hidráulica é mantida constante durante todo o ensaio.Empregado principalmente para solos granulares.

Procedimento: Após garantida a constância de vazão, mede-se o volumed’água (V) que percola pela amostra de comprimento (L) emintervalos de tempo (t).

Pela Lei de Darcy:

• Ensaios em permeâmetro de carga variável

A carga hidráulica varia durante o ensaio. Usado para solos de baixapermeabilidade. As vazões de ensaio são pequenas.

Procedimento: Após garantida a constância da vazão, faz-se leituras dasalturas inicial e final na bureta e o tempo decorrente.

Na bureta: Na amostra:

Pela equação da continuidade:

integrando entre hi e hf e entre ti e tf:

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AL

hKAiKQ ⋅⋅=⋅⋅=

t

VQ =

thA

LVK

⋅⋅⋅=

dt

dhadQ

⋅−= AL

hKdQ ⋅⋅=

h

dhdt

aL

AK

dt

dhaA

L

hK =⋅

⋅⋅⇒⋅−=⋅⋅

( )hf

hilnhf lnhi lntitf

aL

AK

h

dhdt

aL

AK hf

hi

tf

ti

=−=−⋅⋅⋅⇒−=⋅

⋅⋅

∫∫

hf

hiln

)titf(A

aLK ⋅

−⋅⋅=

��

– Ensaios de campo

Realizados em poços ou furos de sondagem.

• Ensaio de bombeamento

Ensaio realizado a partir de um poço filtrante e uma série de poçostestemunhos. Empregado principalmente na determinação dapermeabilidade de camadas arenosas e pedregulhosas abaixo do NA,sujeitas ao rebaixamento do lençol freático.

Hipóteses: massa de solo homogênea e isotrópica e permeabilidademédia em todo o meio.

A partir do momento em que se tem fluxo estacionário (válida a Lei deDarcy):

Integrando:

• Ensaios de infiltração - ensaio de tubo aberto

Mede-se a velocidade com que a água escoa por um tubo e infiltra noterreno segundo superfícies esféricas concêntricas. Empregado emterrenos permeáveis.

Integrando:

Pela eq. da continuidade: Igualando:

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NAinicial

y2y1

x1

x2

2r

Q NT

x

y

curva de

rebaixamento

dxdy

yx2dx

dyKAiKQ ⋅⋅π⋅⋅⋅=⋅⋅=

dyyQ

2K

x

dx ⋅⋅π⋅⋅=

∫∫ ⋅⋅π⋅⋅=2

1

2

1

y

y

x

x

dyyQ

2K

x

dx

( )21

22

1

2

yyx

xlogQ3,2

K−⋅π

⋅⋅=

h

ho

h1

2R

r

r + dr

t=0t

dh

NA

NTA

QiKv =⋅=

dr

dhK

r4

Q2

⋅−=⋅π⋅ 2r

dr

K4

Qdh ⋅

⋅π⋅=−

∫∫∞

⋅⋅π⋅

=−R

2

h

h r

dr

K4

Qdh

0

1R

1

K4

Qhhh 01 ⋅

⋅π⋅==−

RhK4Q ⋅⋅⋅π⋅=

dt

dhRQ

2 ⋅⋅π=

dt

dh

h4

RK ⋅

⋅=

��

• Fatores que influenciam o coeficiente permeabilidadeSegundo a Lei de Poisseville para fluxo d’água em tubos circulares de

pequeno diâmetro:

R - raio do tubo

µ - viscosidade do fluído

Para tubos de qualquer forma:Cs - fator de forma

RH - raio hidráulico

a = seção de passagem

Particularizando para o fluxo através do solo:

A - área da seção transversal

Substituindo:

Pela Lei de Darcy:

Sendo Ds o diâmetro de uma esfera equivalente ao tamanho médio dosgrãos do solo:

Equação de Kozeny-Carman

(válida para areias e pedregulhos)

Equação empírica de Hazen

(válida para areias uniformes) D10 em cm

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µ⋅⋅⋅γ=

8

iRv

2w

aiRC

Q2

Hws ⋅⋅µ⋅γ= ⋅

molhado perímetro

molhada seção da áreaRH =

ASna ⋅⋅=

s

s

s

wH

A

SVe

A

V

Lp

La

água a com contato de área

fluxo para disponível volumeR

⋅⋅==⋅⋅==

( ) AiSe1

e

A

VCASni

A

SVeCQ 3

3

2s

2sws

2

s

sws ⋅⋅⋅+

⋅⋅µγ⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

µγ⋅=

AiSe1

e

A

VCAiK 3

3

2s

2sws ⋅⋅⋅

+⋅⋅

µγ⋅=⋅⋅

33

2s

2sws

Se1

e

A

VCK ⋅

+⋅⋅

µγ⋅=

6

D

D

D61

A

V s

2s

3s

s

s =⋅π

⋅π⋅=

32

s3

wsS

36

D

e1

eCK ⋅⋅

+⋅

µγ⋅=

210D100K ⋅=

��

– Fatores devido ao permeante

• peso específico do fluído;

• viscosidade do fluído;

• temperatura →influencia as duas propriedades anteriores(principalmente a viscosidade). Convenciona-se tomarcomo referência o coeficiente de permeabilidade a 20oC

– Fatores devido ao solo

• granulometria → K ∝ D2

• compacidade → (para areias)

log K ∝ e (para solos argilosos)

• composição

- minerais de argila - caulinitas (1:1) apresentampermeabilidades 100 x maiores que montmorilonitas (2:1)

• estrutura

- solos argilosos → estrutura floculada determina maiorpermeabilidade que a dispersa;

- solos compactados → pelo mesmo efeito, soloscompactados no ramo seco são mais permeáveis quequando compactados no ramo úmido, mesmo com omesmo índice de vazios;

- solos residuais → maiores permeabilidades em virtudedos macroporos (vazios entre os agregados de partículas)

• anisotropia

O solo geralmente não é isotrópico quanto apermeabilidade → principalmente solos sedimentares,solos residuais de rochas sedimentares e metamórficasxistosas ou bandeadas e solos compactados.

Kh > 5, 10 ou 15 x Kv → bastante comum nestes solos.

• grau de saturação

Como a percolação de água não remove todo o arexistente no solo, bolhas de ar são obstáculos ao fluxod’água → K ∝ S3

ÁGUA NOS SOLOS

2020 KK

µµ⋅=

e1

eK

3

+∝

��

• Valores típicos para o coeficiente de permeabilidadeOrdem de grandeza do coeficiente de permeabilidade de solos

sedimentares

K (cm/s)

pedregulhos > 10-1

areias grossas 10-1

areias médias 10-2

areias finas 10-3

areias siltosas 10-4

areias argilosas 10-5

siltes 10-4 a 10-5

argilas siltosas 10-5 a 10-7

argilas < 10-7

Para pedregulhos e mesmo em algumas areias grossas a velocidade defluxo é muito elevada e pode se ter fluxo turbulento → não é maisválida a Lei de Darcy.

Solos residuais e solos de evolução pedogenética → elevadapermeabilidade devido aos macroporos.

Ex: solo laterítico arenoso fino poroso (SP)

- estado natural → K ≈ 10-3 cm/s

- desagregado e recolocado no mesmo índice de vazios → K ≈ 10-5 cm/s

- compactado → K ≈ de 10-6 a 10-7 cm/s

ÁGUA NOS SOLOS

��

– Percolação d’água através do solos• Equação diferencial do fluxo d’água nos solosSeja um elemento de massa de solo submetido a um fluxo d’água.

– Equação da continuidade:

igualando:

ÁGUA NOS SOLOS

dx

dz

dy

x

z

y

vx

vz

vy

vx+ ∂vx/∂x

vz+ ∂vz/∂z

vy+ ∂vy/∂y

dydxvdzdxvdzdyvQ zyx)entra( ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

dydxdzz

vvdzdxdy

y

vvdzdydx

x

vvQ

zz

yy

xx)sai( ⋅⋅

⋅

∂∂++⋅⋅

⋅

∂∂++⋅⋅

⋅

∂∂+=

dydxdzz

vdzdxdy

y

vdzdydx

x

vQ

zyx ⋅⋅⋅∂∂+⋅⋅⋅

∂∂+⋅⋅⋅

∂∂=∆

)entra()sai( QQQ −=∆

t

VQ

w

∂∂=∆

sw VSeV ⋅⋅= tes cV =

( )

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅=

∂⋅∂⋅=

∂∂

t

eS

t

Se

e1

V

t

eS

t

SeV

t

eSV

t

Vss

w

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+⋅⋅=

∂∂=∆

t

eS

t

Se

e1

dzdydx

t

VQ

w

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=

∂∂+

∂∂+

∂∂

t

eS

t

Se

e1

1

z

v

y

v

x

v zyx (1)

��

– Lei de Darcy

derivando a velocidade

substituindo (2) em (1)

– Considerações sobre o fluxo

• Fluxo estacionário (regime permanente)

Q(entra) = Q(sai) ⇒ e e S → constantes

Se o meio é isotrópico:

Kx = Ky = Kz = K

• Fluxo transiente Q(entra) ≠ Q(sai)

e = constante S variável ⇒ S↑ - embebição

S↓ - drenagem

S = constante e variável ⇒ e ↑ - expansão

e ↓ - adensamento

e e S variáveis ⇒ equação mais genérica (solução mais complexa)

ÁGUA NOS SOLOS

x

HKiKv xxx

∂∂⋅=⋅=

y

HKiKv yyy

∂∂⋅=⋅=

z

HKiKv zzz

∂∂⋅=⋅=

2

2

zz

z

HK

z

v

∂∂⋅=

∂∂

2

2

xx

x

HK

x

v

∂∂⋅=

∂∂

2

2

yy

y

HK

y

v

∂∂⋅=

∂∂

2

2

z2

2

y2

2

xzyx

z

HK

y

HK

x

HK

z

v

y

v

x

v

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂+

∂∂+

∂∂

(2)

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅

t

eS

t

Se

e1

1

z

HK

y

HK

x

HK

2

2

z2

2

y2

2

x

Equação geral do fluxo d’água nos solos

0t

e =∂∂

0t

S =∂∂

0z

HK

y

HK

x

HK

2

2

z2

2

y2

2

x =∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅

Equação do fluxo d’água estacionário nos solos

0z

H

y

H

x

H2

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

Equação do fluxo d’água estacionário em solos isotrópicos

��

• Fluxo bidimensional estacionárioA partir da situação mais genérica, se o fluxo ao longo de uma das

direções pode ser desconsiderado, a análise passa a serbidimensional. Em relação ao fluxo unidirecional, o escoamento se dáao longo de uma trajetória curva.

É regido pela seguinte equação:

– Métodos de solução

• Método analítico

Solução analítica da equação diferencial. Simples apenasquando particularizada para fluxo unidirecional. Ex:

Equação do fluxo estacionário:

Solução:

onde C e D são constantes

Condições de contorno:

z = 0 → H = 150 e z = 50 → H = 100

Substituindo na solução tem-se:

D = 150 e C = -1

Logo:

• Método gráfico

A solução analítica da Equação de Laplace → duas famíliasde curvas ortogonais entre si → rede de fluxo.

LINHAS DE FLUXO → curvas na direção do fluxo

LINHAS EQUIPOTENCIAIS → curvas de igual carga total

• Métodos numéricos

Diferenças Finitas (MDF) e Elementos Finitos (MEF)

• Métodos analógicos

Analogias → fluxo viscoso, fluxo elétrico e fluxo de calor

• Modelos reduzidos

ÁGUA NOS SOLOS

Equação do fluxo d’água estacionáriobidimensional em solos isotrópicos -

Equação de Laplace

0y

H

x

H2

2

2

2

=∂∂+

∂∂

z

150

100

50

0

NA 0z

H2

2

=∂∂

DzCH +⋅=

z150H −=

��

– Rede de fluxo

Um dos métodos mais tradicionais na resolução de problemas defluxo bidimensional → traçado da REDE DE FLUXO ⇒representação gráfica da solução para a equação diferencialdo fluxo d’água bidimensional estacionário dos solos.

Seja um fluxo bidimensional através de uma camada de solo

A família de curvas na direção do fluxo → LINHAS DE FLUXO

A família de curvas que une pontos de mesma carga hidráulica → LINHAS EQUIPOTENCIAS

O canal formado por duas linhas de fluxo adjacentes → CANAL DE FLUXO

A diferença de carga entre duas equipotenciais → ∆Hi. A perda de carga aolongo de L é ∆H = Σ ∆Hi

ÁGUA NOS SOLOS

FLUXO

LINHAS DE FLUXO

LINHAS EQUIPOTENCIAIS

NRL

zA

hpA

zB=zC

hpB

∆HAB

hpC

zC’

hpC’

∆HBC

A

B C

C’

CANAIS DE

FLUXO

��

Dado um elemento da rede de fluxo:

A área da seção do canal de fluxo (considerando largura unitária):

A área total:

onde nf = no de canais de fluxo

O comprimento L pode ser representado por:

onde nd = no de quedas de potencial

A vazão é dada por:

Se a rede de fluxo for traçada com malha quadrada (a = b):

• Passos na obtenção da rede de fluxo(Método gráfico de Forchheimer)

a) Definir as fronteiras do fluxo (condições de contorno);

b) Traçar certo número de linhas de fluxo;

c) Traçar equipotenciais formando elementos retangulares na relação a/b, emnúmero compatível com o número de linhas de fluxo e interceptando estasa 90o. Preferencialmente busca-se malha quadrada (a/b = 1).

• Recomendações úteis no traçado das rede de fluxo

- Usar poucos canais de fluxo, mantendo seções quadradas (em geral 4 a 6canais de fluxo são suficientes);

- Verificar sempre a ortogonalidade entre as curvas e a constância na relaçãode lados;

- A rede deve ser analisada por inteiro. Não se deve deter em pequenosdetalhes enquanto a rede não está refinada;

- Usar propriedades de simetria quando possível;

- As transições entre trechos retilíneos e curvos devem ser suaves.

ÁGUA NOS SOLOS

a

b

1aA ⋅=

AnA ftotal ⋅=

bnL d ⋅=1 - iaisequipotenc de n n o

d =

1 - fluxo de linhas de n n of =

AL

HKAiK Q ⋅∆⋅=⋅⋅=

bn

anHKan

bn

HK Q

d

ff

d ⋅⋅⋅∆⋅=⋅⋅

⋅∆⋅=

d

f

n

nHK Q ⋅∆⋅=

��

• Exemplos de redes de fluxo

ÁGUA NOS SOLOS

��

• Exemplos no traçado e interpretação de redes de fluxo

a) Permeâmetro curvo

Linhas de fluxo → face interna do permeâmetro - arco AC ⇒ i = 6/12

face externa do permeâmetro - arco BD ⇒ i = 6/24

as outras linhas de fluxo são círculos concêntricos - comprimento de arco diferentes ⇒ gradientes diferentes → comoK = constante, pela Lei de Darcy as velocidades variam em cada canalde fluxo. Como se procura que os canais tenham igual vazão ⇒ as áreasde fluxo devem ser maiores da face interna a externa.

Linhas equipotenciais → ∆H = 6cm que dissipa linearmente ao longo de cadalinha de fluxo. Escolhida a análise da perda de carga em 12 intervalos de0,5cm, ao longo da face interna distam 1cm e ao longo da face interna 2cm→ as linhas euipotenciais são portanto retas convergentes que porconstrução interceptam as linhas de fluxo a 90o

Definição da rede de fluxo → Busca-se na construção atender os critérios deconstância na relação de lados da malha (preferencialmente quadrada -a/b = 1) e ortogonalidade entre LF e LE. Por força de construçãopodemos ter canais de fluxo “incompletos” ou com fluxo “excedente”. Noexemplo o canal 6 tem 70% do fluxo pelos outros canais.

Vazão → K = 10-2cm/s; ∆H = 6cm; nf = 5,7; nd = 12

Q = 2,63.10-2 cm3/s/cm

ÁGUA NOS SOLOS

d

f

n

nHK Q ⋅∆⋅=

K = 1 . 10-2 cm/s

��

b) Percolação sob pranchada (cortina de estacas-prancha) penetrante numacamada de areia sendo o NA num dos lados rebaixado por bombeamento -Análise

Linhas de fluxo → o contorno da pranchada e a superfície inferior impermeávelsão linhas de fluxo definidas pela geometria do problema. Entre estas sãotraçadas outras linhas de fluxo. A espessuras dos canais de fluxo variamao longo da distância → a seção de passagem da água sob a pranchada ébem menor que a seção de entrada no terreno → como a vazão mantém-se constante, a velocidade varia ao longo de um mesmo canal de fluxo.

Linhas equipotenciais → pela Lei de Darcy, se v varia e K = constante, ogradiente i varia → como a perda de carga entre cada LE é constante, logovaria a distância entre cada equipotencial. As superfícies livres do terrenosão equipotencias definidas pela geometria do problema.

Definição da rede de fluxo → As duas condições básicas das redes de fluxodevem ser mantidas: as LF e as LE se interceptam perpendicularmente e,em cada elemento da rede, a relação entre a distância média entre as LE ea distância média entre as LF deve ser constante.

ÁGUA NOS SOLOS

��

c) Percolação pelo solo de fundação de uma barragem de concreto - Análise ecálculos

Linhas de fluxo → o contorno submerso da barragem e a superfície inferiorimpermeável são linhas de fluxo. Entre estas são traçadas outras LF.

Linhas equipotenciais → As superfícies livres do terreno são equipotencias.Entre estas são traçadas outras LE.

Definição da rede de fluxo → As duas condições básicas das redes de fluxodevem ser atendidas: as LF e as LE se interceptam perpendicularmente e,em cada elemento da rede, a relação entre a distância média entre as LE ea distância média entre as LF deve ser constante (de preferência igual a 1)

Vazão → K = 10-4 m/s; ∆H = 15,4m; nf = 5 e nd = 14

Q = 5,5.10-4 m3/s/m de barragem

Gradientes → a diferença de carga entre LE consecutivas (∆Hi )

∆∆∆∆Hi = 15,4/14 = 1,1m

O valor de ∆Hi dividido pela distância entre LE é o gradiente no elementoda rede (ii ) No ponto A - lA= 6m ⇒ iA = 1,1/6 = 0,18

O gradiente é maior nos menores elementos (próximos a superfície dabarragem). Deve ser verificada a condição de gradiente crítico junto ao péde jusante (fluxo ascendente sob gradiente mais elevado).

Cargas e pressões → estabelecido um NR, para cada ponto temos a cargaaltimétrica e a carga total (descontando da carga inicial o somatório de ∆Hi

até o ponto). A carga piezométrica é a diferença entre cargas total ealtimétrica. A pressão neutra é carga piezométrica em termosde pressão: Ponto A: zA = 35m; HÁ = 55,4 - (8 . 1,1) = 48,8m;

hpA = 48,8 - 35 = 13,8m uA = 13,8 . 10 = 138 kPa

ÁGUA NOS SOLOS

d

f

n

nHK Q ⋅∆⋅=

di

n

HH

∆=∆

i

ii

l

Hi

∆=

zHhp −=wphu γ⋅=

K = 10-4 m/s

NR

��

d) Percolação pelo interior de barragens de terra - Análise

Neste caso tem-se uma condição de contorno indefinida → a linha de fluxosuperior não é previamente conhecida. O problema é indeterminado.

O primeiro passo é a estimativa da linha de fluxo superior - LFS (ou tambémchamada linha freática superior). Existem na literatura vários métodos paraesta estimativa → função principalmente da geometria do talude de jusantee da presença ou não de filtros.

Na análise deste caso consideram-se válidas as hipóteses de Dupuit:

- Para pequenas inclinações da LFS as linhas de fluxo podem serconsideradas horizontais e as equipotenciais verticais;

- O gradiente hidráulico é a inclinação da LFS no ponto considerado.

O traçado do restante da rede de fluxo e os cálculos decorrentes seguem osmesmos procedimentos e recomendações dos casos anteriores.

ÁGUA NOS SOLOS

��

Determinação da linha de fluxo superior (LFS) - soluções gráficas

d.1) Solução de Schaffernak e Van Iterson (β < 30o)

- Ínicio da LFS → ponto M situado no NA a montante e distante 0,3 . m doponto 2. “m” é a projeção horizontal da superfície submersa do talude demontante (linha equipotencial de entrada);

- Final da LFS → ponto 4 situado no talude de jusante (linha de saída nãosubmersa) a uma distância “a” do ponto 3.

onde:

d : distância da projeção horizontal de M até 3;

H : altura d’água a montante

- Traçado da LFS → parábola de equação:

traçada de jusante a montante.

- Correção de entrada → a LFS tem entrada no ponto 2 e deve serperpendicular a linha equipotencial de entrada (1 2). O ajuste a parábola éfeito a mão livre.

- Esboço da solução:

- Vazão →

ÁGUA NOS SOLOS

β−

β−

β=

2

2

2

2

sen

H

cos

d

cos

da

dcos

sena2Hx

cos

sena2y

22

22 ⋅

ββ⋅⋅−+⋅

ββ⋅⋅=

β⋅β⋅⋅= tansenaKQ

��

d.2) Solução de Casagrande (hipótese i = dy/ds = sen β) (30o< β < 60o)

- Ínicio da LFS → idem solução anterior;

- Final da LFS → ponto 4 situado na linha de saída não submersa a umadistância a do ponto 3.

onde:

- Traçado da LFS → parábola de equação:

onde: s → comprimento da LFS desde o ponto 4

- Correção de entrada → idem a anterior

- Esboço da solução

- Vazão →

ÁGUA NOS SOLOS

β−−=

2

22

00sen

Hssa 22

0 Hds +=

( )sssena2Hy 0222 −⋅β⋅⋅−=

β⋅⋅= 2senaKQ

��

d.3) Solução de Casagrande (hipótese de Kozeny) (60o< β < 180o)


- Final da LFS → ponto 0 situado a uma distância “a0” do ponto F. Ponto Féo foco da parábola ⇒ coincide com o início dos drenos ou pé a jusante.

- Traçado da LFS → a parábola passa por 0 e M, com foco em F.

Método prático: a) vertical por 0 e horizontal por P; b) divide-se MP e POem n trechos iguais; c) une-se 0 aos pontos de divisão de MP e traçam-sehorizontais dos pontos de divisão de PO. As intersecções determinam ospontos da parábola.


- Correção de saída → saída a uma distância “a” do ponto F.

onde: k = f(β)

a’ - distância entre F e a

intersecção da parábola

com a linha de saída


ÁGUA NOS SOLOS

( )dHd2

1a 22

0 −+⋅=

'ak'aa ⋅−=

��

d.4) Solução de Kozeny (hipótese de Kozeny - parábolas confocais) (β = 180o)


- Final da LFS → ponto 0 situado a uma distância “a0” do início do dreno -o foco da parábola

- Traçado da LFS → a parábola passa por 0 e M, com foco em F e tambémpelo ponto situado a uma altura “y0” do início do dreno.

O traçado segue o método prático apresentado na solução anterior.



- Vazão →

ÁGUA NOS SOLOS

( )dHd2

1a 22

0 −+⋅=

00 a2y ⋅=

0aK2Q ⋅⋅=

��

d.5) Condições de entrada e saída da LFS

ENTRADA:

SAÍDA :

ÁGUA NOS SOLOS

NA

α < 90o

NA

α = 90o

NA

α > 90o

NA

β < 90o

NA

β = 90o

NA

β > 90o

��

– Percolação em meios anisotrópicos - condição anisotrópica depermeabilidade

Com freqüência o coeficiente de permeabilidade não é igual em todas asdireções → solos compactados (Kh > Kv) , solos residuais de rochassedimentares e metamórficas (K é maior na direção da estratificação,xistosidade ou bandeamento) e solos sedimentares.

Em geral: Kh > Kv

Neste caso a equação para o fluxo d’água bidimensional estacionário nossolos fica:

A equação do fluxo deixa de ser expressa por uma equação de Laplace. Comoresultado, na solução gráfica as linhas de fluxo deixam de serperpendiculares às equipotenciais:

• Artifício para solução:

Realizar uma transformação de coordenadas de forma a ter como equaçãonovamente um Laplaciano:

onde:

Feita a transformação de coordenadas, traça-se a rede de fluxo como em meioisotrópico, utilizando para cálculo da vazão um coeficiente depermeabilidade equivalente (Keq):

A vazão é dada por:

ÁGUA NOS SOLOS

0z

H

x

H2

2

2T

2

=∂∂+

∂∂

0z

HK

x

HK

2

2

z2

2

x =∂∂⋅+

∂∂⋅

x

zT

K

Kxx ⋅=

zxeq KKK ⋅=H

n

nKQ

d

feq ∆⋅⋅=

��

• Exemplo de rede de fluxo com condição de anisotropia eaplicação do artifício de transformação de coordenadas

• Observações:

- A transformação de coordenadas consiste, em geral, numa redução nasdistâncias horizontais, pois na maioria dos casos a permeabilidadehorizontal é menor que a vertical (Kh > Kv);

- Para o cálculo do gradientes hidráulicos deve se considerar as distânciassegundo a configuração original. Logo, após traçada a rede de fluxo naseção transformada, se deve representa-la na seção natural, voltando aosistema de coordenadas original.

ÁGUA NOS SOLOS

��

– Percolação através de meios estratificados

É comum a análise de situações de fluxo ao longo de meios estratificados,como depósitos de solos sedimentares. É conveniente transformar o perfilestratificado em uma massa de solo homogênea equivalente com umaespessura L e coeficiente de permeabilidade equivalente Keq.

Analogia → circuito elétrico ⇒ as camadas de solo correspondem a resistoresem série ou em paralelo.

• Fluxo vertical (perpendicular às camadas) resist. em série

As perdas de carga em cada camada:

Por outro lado:

onde:

∆H = Σ ∆Hi e L = Σ ∆liLogo:

• Fluxo horizontal (paralelo às camadas) resist. em paralelo

Logo:

ÁGUA NOS SOLOS

∆l1

∆l3

∆l2

∆l4

L

m1

Qv

Qh

∆H1

∆H2

∆H3

∆H4

K1

K2

K3

K4

Al

HKA

l

HKA

l

HKA

l

HKAiKQ

4

44

3

33

2

22

1

11veqv ⋅

∆∆⋅=⋅

∆∆⋅=⋅

∆∆⋅=⋅

∆∆⋅=⋅⋅=

AK

lQH

AK

lQH

4

4v4

1

1v1

⋅∆⋅=∆⋅⋅⋅

⋅∆⋅=∆

AL

HKQ veqv ⋅∆⋅=

AH

LQK

vveq

⋅∆⋅=

4

4

3

3

2

2

1

1veq

K

l

K

l

K

l

K

lL

K ∆+∆+∆+∆=

)1l(iKAiKQ iiheqh ⋅∆⋅⋅∑=⋅⋅=m

Hi∆=

44332211heq lKlKlKlK(L

1K ∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅⋅=

��

– Percolação através da fronteira de solos com permeabilidadesdiferentes - aspectos referentes a construção da rede de fluxo

Quando o fluxo atravessa a fronteira entre dois solos de permeabilidadediferentes (K1 ≠ K2) as linhas de fluxo sofrem refração. Valendo-se daspremissas básicas da percolação: continuidade da vazão e perda de cargaconstante entre equipotenciais pode-se avaliar a refração do canal de fluxoe a conseqüente mudança na conformação da rede.

A vazão:

De onde:

Pela relação entre lados e ângulos:

Logo:

De onde:

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a

a

K1

K1c

b

β

α

Q

Q

A

B

1cb

HK1a

a

HKQ 21 ⋅⋅∆⋅=⋅⋅∆⋅=

b

c

K

K

2

1 =

β=

αβ=

α cos

c

cos

a e

sen

c

sen

a

βα⋅=

βα⋅=

cos

cosba e

sen

senca

βα⋅=

βα⋅

cos

cosb

sen

senc

2

1

K

K

b

c

tan

tan ==αβ

��

• Filtros de proteção– Emprego

Filtros de proteção são empregados em obras hidráulicas de terra ondese deseja reduzir o gradiente hidráulico com o uso de um materialque ofereça menor perda de carga (mais permeável).

A redução no gradiente é necessária para se evitar o fenômeno deareia movediça em circunstâncias de fluxo ascendente e para reduziras forças de percolação responsáveis pelo arraste de partículas ecapazes de gerar processos de erosão interna (“piping’).

erosão interna → as forças de percolação superam a força de ligaçãoentre as partículas, deslocando os grãos através do maciço de solo.O fenômeno é progressivo iniciando com o carreamento de finos echegando a formação de canais internos de grande diâmetro.

Materiais grosseiros (areias grossas e pedregulhos) determinam menorperda de carga, entretanto tem vazios muito abertos que nãooferecem barreira física a erosão interna → devem ser seguidoscritérios de seleção granulométrica dos materiais.

Na prática os filtros são construídos em camadas de granulometriacrescente.

Filtros de proteção são empregados principalmente em zonas depercolação onde há transição de materiais muito diferentes (p.ex.argila compactada e enrocamento).

– Condições para material de filtro

a) Deve ser suficientemente fino para evitar a passagem das partículas dosolo adjacente pelos seus vazios e

b) Deve ser suficientemente grosso de modo a reduzir a perda de carga.

Terzaghi propôs critérios para projetos de filtro ainda hoje muito aceitos:

1. D15 (filtro) < 4 a 5 x D85 (solo) → para evitar a erosão interna

2. D15 (filtro) > 4 a 5 x D15 (solo) → para garantir menor perda de carga

Outra recomendação devido ao U.S. Corps of Engineers para garantirredução de perda de carga:

D50 (filtro) > 25 x D50 (solo)

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��

– Critério de seleção de material para filtro (Terzaghi)

ÁGUA NOS SOLOS

��

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