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12 Vetores e a Geometria

do Espaço

James Stewart – Cálculo – Volume 2

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12.1 Sistemas de Coordenadas

Tridimensionais

3 3

Sistemas de Coordenadas Tridimensionais

Para representarmos pontos no

espaço, primeiro escolhemos um ponto fixo O (a

origem) e três retas orientadas perpendiculares

entre si, os denominadas eixos coordenados:

eixo Ox, eixo Oy e eixo Oz.

4 4


Geralmente, colocamos os eixos x e y, denotados

por como retas horizontais e a reta vertical como o eixo z,

e indicamos a orientação dos eixos com setas, como

mostrado na Figura 1.

Eixos Coordenados

Figura 1

5 5


Os três eixos coordenados determinam três planos coordenados

ilustrados na Figura 3(a). O plano xy é o plano que contém os

eixos x e y; o plano yz contém os eixos y e z; o plano xz contém os

eixos x e z. Estes três planos coordenados dividem o espaço em

oito partes, chamadas octantes. O primeiro octante é

determinado pelos eixos positivos.

Planos coordenados

Figura 3(a)

6 6


Se P é qualquer ponto no espaço, seja a a distância

(orientada) a partir do plano yz ao ponto P; b a distância do plano

xz ao ponto P e c, a distância do plano xy ao ponto P.

Representamos o ponto de P pela tripla ordenada (a, b, c)

de números reais e chamamos a, b e c de coordenadas de P; a é

a coordenada no eixo (abscissa) x, b é a coordenada no eixo y

(ordenada) e c é a coordenada no eixo z (cota).

7 7


Assim, para localizarmos o ponto (a, b, c), começamos da

origem O e movemos a unidades ao longo do eixo x; em

seguida, b unidades paralelamente ao eixo y e, por fim, c

unidades paralelamente ao eixo z como na Figura 4.

Figura 4

8 8


O ponto P(a, b, c) determina uma caixa retangular como

ilustradoda na Figura 5. Se traçarmos uma perpendicular

de P ao plano xy, encontraremos um ponto Q com

coordenadas (a, b, 0), denominado projeção de P no plano

xy. Analogamente, R(0, b, c) e S(a, 0, c) são as projeções de

P nos planos yz e xz, respectivamente.

Figura 5

9 9


O produto cartesiano =

{(x, y, z) | x, y, z } é

o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais e é

denotado por .

Existe uma correspondência biunívoca entre pontos P

no espaço e triplas ordenadas (a, b, c) no .

Observe que, em termos de coordenadas, o primeiro

octante pode ser descrito como o conjunto de pontos cujas

coordenadas são todas positivas.

10 10

Superfícies

Na geometria analítica bidimensional, o gráfico de

uma equação envolvendo x e y é uma curva em .

Em geometria analítica tridimensional, uma equação em x,

y e z representa uma superfície em .

11 11

Exemplo 1

Que superfícies de estão representadas pelas

seguintes equações?

(a) z = 3 (b) y = 5

SOLUÇÃO:

(a) A equação z = 3 representa o conjunto {(x, y, z) | z = 3},

que é o conjunto de todos em com coordenada z é

igual a 3. (x e y podem assumir qualquer valor).

12 12

Exemplo 1 – Solução

Este é o plano horizontal paralelo ao plano xy e três

unidades acima deste, como na Figura 7(a).

Figura 7(a)

z =3, um plano em

continuação

13 13


(b) A equação y = 5 representa o conjunto de todos os

pontos em cuja coordenada y é 5.

Esse é o plano vertical paralelo ao plano xz e cinco

unidades à direita deste, como na Figura 7(b).

continuação

Figura 7(b)

y = 5, um plano em

14 14

Superfícies

Em geral, se k é uma constante, então x = k

representa um plano paralelo ao plano yz, y = k é um plano

paralelo ao plano xz e z = k é um plano paralelo ao plano xy.

Na Figura 5, as faces da caixa retangular são formadas

pelos três planos coordenados x = 0 (o plano yz), y = 0 (o

plano xz), e z = 0 (o plano xy), e os planos x = a, y = b e z = c.

Figura 5

15 15

Distâncias e Esferas

A fórmula familiar para a distância entre dois pontos

em um plano é estendida facilmente para a seguinte

fórmula tridimensional.

16 16

Distâncias e Esferas

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12.2 Vetores

18

Vetores O termo vetor é usado por cientistas para indicar

quantidades (tais como deslocamento ou velocidade ou

força) que têm ao mesmo tempo módulo, direção e

sentido.

Um vetor é frequentemente representado por uma seta

ou segmento de reta orientado. O comprimento da seta

representa o módulo do vetor e a seta aponta na direção e

sentido do vetor.

Denotamos um vetor por uma letra em negrito (v) ou

colocando uma seta sobre a letra .

Por exemplo, suponha que uma partícula se mova ao

longo de um segmento de reta do ponto A para o ponto B.

19

Vetores

O vetor deslocamento correspondente v, mostrado na

Figura 1, possui ponto inicial A (o início) e ponto

terminal B (o fim) e indicamos isso escrevendo .

Vetores equivalentes

Figura 1

20

Vetores

Observe que o vetor tem o mesmo tamanho, a

mesma direção e sentido que v, embora esteja em uma

posição diferente.

Dizemos que u e v são equivalentes (ou iguais) e

escrevemos u = v.

O vetor nulo, denotado por 0, tem comprimento 0. Ele é

o único vetor sem nenhuma direção específica.

21

Operações com Vetores

Suponha que uma partícula se mova de A para B, assim,

seu deslocamento é . Em seguida, a partícula muda de

direção e move-se a partir de B para C, com vetor de

deslocamento como na Figura 2. O efeito combinado

desses deslocamentos é que a partícula se moveu de A

para C. O vetor deslocamento resultante é chamado de

soma de e e escrevemos

Figura 2

22

Adição de Vetores

Em geral, se começamos com os vetores u e v, primeiro

movemos v de forma que seu início coincida com o fim de

u e definimos a soma de u e v como segue.

A definição de adição de vetores

é ilustrada na Figura 3. Você pode

ver por que essa definição é

algumas vezes chamada

Lei do Triângulo.

Figura 3

Lei do Triângulo

23

Adição de Vetores

Na Figura 4 começamos com os mesmos vetores u e v

como na Figura 3 e desenhamos uma outra cópia de v com

o mesmo ponto inicial u. Completando o paralelogramo,

vemos que u + v = v + u. Isso também fornece outra

maneira de construir a soma: se posicionarmos u e v de

maneira que eles comecem no mesmo ponto, então

u + v estará ao longo da diagonal do

paralelogramo com u e v como lados.

Figura 4

Lei do Paralelogramo:

24

Exemplo 2

Desenhe a soma dos vetores a e b mostrados na Figura 5.

SOLUÇÃO: Primeiro transladamos b e posicionamos seu

ponto inicial no ponto final de a, tomando cuidado para

desenhar uma cópia de b que tenha o mesmo

comprimento e direção.

Figura 5

25


A seguir, desenhamos o vetor a + b

[veja a Figura 6(a)] começando no

ponto inicial de a e terminando

no ponto final da cópia de b.

Alternativamente, podemos posicionar

b tal que ele comece onde a começa e

construir a + b pela Lei do

Paralelogramo, como na Figura 6(b).

Figura 6(a)

Figura 6(b)

continuação

26

Multiplicação de um vetor por um escalar

É possível multiplicar um vetor por um número real c.

(Nesse contexto, chamaremos o número real c de escalar,

a fim de distingui-lo de um vetor.)

Por exemplo, queremos que 2v seja o mesmo vetor que

v + v, o qual possui a mesma direção e sentido de v mas

tem o dobro do comprimento. Em geral, multiplicamos um

vetor por um escalar da seguinte maneira.

27


Essa definição é ilustrada na Figura 7.

Vemos que os números reais funcionam como fatores de

escala aqui; é por isso que são denominados escalares.

Figura 7

Múltiplos por escalares de v

28


Observe que os dois vetores não nulos são paralelos se

são múltiplos escalares um do outro.

Em particular, o vetor –v = (–1)v tem o mesmo

comprimento de v, mas aponta em sentido oposto. É

denominado oposto de v.

Pela diferença u – v de dois vetores, queremos dizer

u – v = u + (–v)

29

Componentes de um vetor

Para alguns propósitos é melhor introduzir um sistema de

coordenadas e tratar os vetores algebricamente. Se

posicionarmos o ponto inicial de um vetor a na origem de

um sistema de coordenadas retangulares, então o ponto

final de a tem coordenadas da forma (a1, a2) ou (a1, a2, a3),

dependendo se nosso sistema de coordenadas for em

duas ou três dimensões (veja a Figura 11).

Figura 11

30

Componentes

Essas coordenadas são denominadas componentes de a

e escrevemos

a = a1, a2 ou a = a1, a2, a3

Usamos a notação a1, a2 para o par ordenado que se

refere a um vetor para não confundir com o par ordenado

no (a1, a2), que corresponde a um

ponto no plano.

Por exemplo, os vetores apresentados

na Figura 12 são todos equivalentes

ao vetor = (3, 2) cujo ponto terminal

é P(3, 2).

Figura 12

Representações do vetor a = 3, 2

31

Componentes

O que eles têm em comum é que o ponto terminal é

alcançado a partir do ponto inicial por um deslocamento de

três unidades para a direita e duas para cima.

Podemos pensar em todos esses vetores geométricos

como representações do vetor algébrico a = 3, 2.

A representação particular da origem ao ponto P(3,

2) é chamado vetor posição do ponto P.

32

Componentes

Em três dimensões, o vetor a = = a1, a2, a3 é o vetor

posição do ponto P(a1, a2, a3). (Veja a Figura 13.)

Representações de a = a1, a2, a3

Figura 13

33

Componentes

Vamos considerar qualquer outra representação de a,

onde o ponto inicial é A(x1, y1, z1) e o ponto final é

B(x2, y2, z2).

Então, temos que ter x1 + a1 = x2, y1 + a2 = y2 e z1 + a3 = z2

e, então, a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1 e a3 = z2 – z1.

Portanto, temos o seguinte resultado.

34

Componentes

A magnitude ou comprimento do vetor v é o

comprimento de qualquer uma de suas representações e é

denotado pelo símbolo | v | ou || v ||. Usando a fórmula de

distância para calcular o comprimento de um segmento

OP, obtemos as seguintes fórmulas.

35

Componentes

Como somamos os vetores algebricamente? A Figura 14

mostra que, se a = a1, a2 e b = b1, b2, então a soma é

a + b = a1 + b1, a2 + b2, pelo menos para o caso em que

as componentes são positivas.

Em outras palavras, para somarmos

algebricamente vetores, somamos

seus componentes. Analogamente,

para subtrairmos vetores,

subtraímos suas componentes.

Figura 14

36

Componentes

A partir dos triângulos semelhantes, na Figura 15, vemos

que as componentes de ca são ca1 e ca2.

Assim, para multiplicarmos um vetor por um escalar

multiplicamos cada componente por aquele escalar.

Figura 15

37

Componentes

38

Componentes

Denotaremos por V2 o conjunto de todos os vetores

bidimensionais e por V3 o conjunto de todos os vetores

tridimensionais.

De forma mais geral, precisaremos, adiante, considerar

o conjunto Vn dos vetores de dimensão n.

Um vetor de dimensão n é uma n-upla ordenada:

a = a1, a2, . . . , an

em que a1, a2, . . . , an são números reais chamados

componentes de a.

39

Componentes

Adição e multiplicação escalar são definidas em termos

das componentes, como para os casos n = 2 e n = 3.

40

Componentes

Três vetores em V3 têm papel especial. Considere

Esses vetores i, j e k são chamados vetores da base

canônica. Eles têm comprimento 1 e direção e sentido dos

eixos x, y e z. Da mesma forma, em duas dimensões,

definimos i = 1, 0 e j = 0, 1. (Veja a Figura 17.)

Figura 17

Vetores da base canônica em V2 e V3

41

Componentes

Se a = a1, a2, a3, então podemos escrever

a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3

= a11, 0, 0 + a20, 1, 0 + a30, 0, 1

a = a1i + a2 j + a3k

Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em termos

de i, j e k. Por exemplo,

1, –2, 6 = i – 2j + 6k

Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever

a = a1, a2 = a1i + a2 j

42

Componentes

Veja a Figura 18 para a interpretação geométrica das

Equações 3 e 2 e compare com a Figura 17.

Figura 17

Vetores da base canônica em V2 e V3

Figura 18

43

Componentes

Um versor ou vetor unitário é um vetor cujo módulo é 1.

Os vetores, i, j e k são exemplos de vetores unitários ou

versores. Em geral, se a 0, então o vetor unitário que tem

mesma direção e mesmo sentido de a, chamado versor de

a, é

Para verificar isso, seja c = 1/| a |. Então, u = ca e c é um

escalar positivo, de modo que u tem a mesma direção e o

mesmo sentido do vetor a. Além disso,

| u | = | ca | = | c | | a | = = 1

44

Aplicações

Vetores são úteis em muitos aspectos da física e da

engenharia. Aqui olharemos para as forças.

Uma força é representada por um vetor porque tem

módulo (medido em libras ou newtons), direção e sentido.

Se várias forças estão agindo em um objeto, a força

resultante experimentada pelo objeto é o vetor soma

dessas forças.

45

Exemplo 3

Uma carga de 100 kg de massa pende a partir de dois fios

como é mostrado na Figura 19. Encontre as tensões

(forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas magnitudes.

Figura 19

46


Primeiro vamos exprimir T1 e T2 em função de suas

componentes horizontal e vertical. Da Figura 20 vemos

que

T1 = –| T1 | cos 50 i + | T1 | sen 50 j

T2 = | T2 | cos 32 i + | T2 | sen 32 j

A resultante T1 + T2 contrabalança F

de modo que

T1 + T2 = –F = 980 j

Figura 20

47


Logo,

(–| T1 | cos 50 + | T2 | cos 32) i + (| T1 | sen 50 + | T2 | sen 32)j = 980 j

Igualando as componentes, obtemos

–|T1|cos 50 + |T2|cos 32 = 0

|T1|sen 50 + |T2|sen 32 = 980

Resolvendo a primeira destas equações para | T2 | e

substituindo na segunda, temos

continuação

48


Ou seja, os módulos das tensões são

e

Substituindo esses valores em e , obtemos os vetores

tensão

T1 –539 i + 643 j T2 539 i + 337 j

continuação

50

O Produto Escalar

Até aqui estudamos as operaçõs de soma e de

multiplicação por um escalar para vetores.

É possível definer uma operação de multiplicação entre

vetores que produza alguma informação? Veja a seguir

uma possibilidade.

Assim, para achar o produto escalar de a e b,

multiplicamos as componentes correspondentes e

somamos.

51

O Produto Escalar

O resultado não é um vetor. É um número real, isto é, um

escalar, por isso o nome produto escalar. O produto

escalar é também conhecido como produto interno.

Apesar de a definição ter sido dada para os vetores

tridimensionais, o produto escalar para os vetores

bidimensionais é definido de forma análoga:

a1, a2 b1, b2 = a1b1 + a2b2

52

Exemplo 1

2, 4 3, –1 = 2(3) + 4(–1) = 2

–1, 7, 4 6, 2 , ( = (–1)(6) + 7(2) + 4(-1/2) = 6

(i + 2j – 3k) (2j – k) = 1(0) + 2(2) + (–3)(–1) = 7

53

O Produto Escalar

O produto escalar satisfaz as propriedades a seguir.

54

O Produto Escalar

Essas propriedades são facilmente demonstradas usando

a Definição 1. Por exemplo, vamos fazer a demonstração

das Propriedades 1 e 3:

3. a (b + c) = a1, a2, a3 b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3

= a1(b1 + c1) + a2(b2 + c2) + a3(b3 + c3)

= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3

= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)

= a b + a c

55

O Produto Escalar

O produto escalar a b tem uma interpretação geométrica

em termos do ângulo formado pelos vetores a e b,

definido como o ângulo entre os representantes de a e b,

ambos com ponto inicial na origem, com 0 . Em

outras palavras, é o ângulo entre os segmentos de reta

OA e OB na Figura 1. Observe que, se a e b são vetores

paralelos, então = 0 ou = .

Figura 1

56

O Produto Escalar

O teorema a seguir, costuma ser utilizado na Física como

definição do produto escalar.

57

Exemplo 4

Se os vetores a e b têm módulos 4 e 6, e o ângulo entre

eles é /3, determine a b.

SOLUÇÃO: Usando o Teorema 3, temos

a b = | a | | b | cos( /3) = 4 6 = 12

58

O Produto Escalar

A fórmula do Teorema 3 nos permite ainda determinar o

ângulo entre dois vetores.

59

Exemplo 5

Determine o ângulo entre os vetores a = 2, 2, –1 e

b = 5, –3, 2.

SOLUÇÃO: Uma vez que

e e

e uma vez que

a b = 2(5) + 2(–3) + (–1)(2) = 2

60


temos, do Corolário 6,

Assim, o ângulo entre a e b é

≈ 1,46 (ou 84º)

continuação

61

O Produto Escalar

Dois vetores não nulos a e b são perpendiculares ou ortogonais

se o ângulo entre eles é = /2. O Teorema 3 nos fornece

a b = | a | | b | cos( /2) = 0

e reciprocamente se a b = 0, então cos = 0, portanto,

= /2. O vetor nulo 0 é considerado perpendicular a todos os

vetores.

Temos, portanto, um método para determinar se dois vetores são

ortogonais.

62

Exemplo 6

Mostre que 2i + 2j – k é perpendicular a 5i – 4j + 2k.

SOLUÇÃO: Uma vez que

(2i + 2j – k) (5i – 4j + 2k) = 2(5) + 2(–4) + (–1)(2) = 0

esses vetores são perpendiculares por

Como 0 se 0 /2 e cos 0 se /2 , vemos que

a b é positivo para /2 e negativo para /2. Podemos

pensar que a b mede o quão próxima está a direção de a e b.

63

O Produto Escalar

Como cos 0 se 0 /2 e cos 0 se /2 , vemos

que a b é positivo para /2 e negativo para /2.

Podemos pensar que a b mede o quão próxima está a direção de

a e b.

O produto escalar a b é positivo se a e b apontam para

direções próximas, 0 se eles são perpendiculares, e negativo se

apontam em direções próximas, mas com sentidos opostos (veja a

Figura 2).

Figura 2

64

O Produto Escalar

No caso extremo, onde a e b têm mesma direção e sentido, temos

= 0, portanto, cos = 1 e

a b = | a | | b |

Se a e b têm a mesma direção, mas sentidos opostos, então =

e, assim, cos = –1 e a b = –| a | | b |.

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