Gabarito 12/04/2014

Turma 1

1. A sequência 1, 3a - 4, 9a² - 8 é uma P.G. Calcule-a.

Sabemos que uma Progressão Geométrica sempre possui a razão q que multiplica o termo

anterior para gerar o próximo termo. Dessa forma, podemos dizer que o segundo termo

apresentado (3a - 4) é o resultado da multiplicação da razão pelo primeiro termo, sendo o

primeiro termo 1, a razão só poderá ser 3a - 4, pois qualquer número multiplicado por 1 resulta

nele mesmo.

Assim, o terceiro termo, 9a² - 8, poderá ser escrito como a multiplicação do termo anterior pela

razão, o que nos leva á seguinte igualdade:

(3a - 4).(3a - 4)= 9a² - 8

Com isso podemos desenvolver a equação de forma a encontrar o valor numérico de a:

(3a - 4).(3a - 4)= 9a² - 8

9a² - 12a - 12a + 16= 9a² - 8

9a² - 24a + 16= 9a² - 8

9a² - 9a² - 24a + 16= - 8

-24a + 16= -8

-24a= -8 -16

-24a= -24

24a= 24

a= 1

Como vimos no começo, a razão q é 3a - 4. Então, agora que temos o valor numérico de a,

podemos encontrar o valor de q substituindo o valor de a:

q= 3a - 4

q= 3.1 - 4

q= 3 - 4

q= -1

Tendo os valores da razão e do primeiro termo, podemos encontrar os termos da P.G.:

a1= 1

a2= a1.q= -1

a3= a1 .q. q= 1. -1. -1= 1

Concluímos que esta P.G. é (1, -1, 1).

2)Escreva uma P.G. de 4 termos em que a1=5 e q=3

an=a1*q elevado a n-1

a1=5

a2=5*3 elevado a 2-1

a2=15

a3=5*3 elevado a 3-1

a3=45

a4=5*3 elevado a 4-1

a4=135

3. Em um bloco retangular, isto é, paralelepípedo reto retângulo, de volume 27/8, as medidas das arestas concorrentes

em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:

( ) a- 7/8

( ) b- 8/8

(X) c- 9/8

( ) d- 10/8

( ) e- 11/8

Se as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica,

então a base, a altura e a largura estão em progressão. Sabemos que o volume de um

paralelepípedo é dado pela multiplicação da base pela altura pela largura.

Sendo a medida da aresta maior 2, podemos denominar as outras medidas de x e y e montar as

seguintes igualdades com base nas informações oferecidas, onde q é a razão da P.G.:

x.q= y

y.q= 2

x.y.2= 27/8

Utilizando a igualdade do volume, podemos simplificar e colocar x em função de y: x.y.2= 27/8

x.y= 27/16

x= 27/(16.y)

Agora podemos encontrar a razão em função de y pela outra equação:

y.q= 2

q= 2/y

Tendo os valores de x e q em função de y, substituímos na primeira equação, para que, com apenas uma incógnita,

possamos encontrar um valor numérico:

x.q= y

27/(16.y) . 2/y= y

54/(16y^2)= y

54= 16.y^3

y^3= 54/16

y^3= 27/8

y= 3/2= 1,5

Como encontramos o valor de y, podemos encontrar o de x facilmente, uma vez que já tínhamos o valor dele em

função de y:

x= 27/(16.y)

x= 27/(16.1,5)

x= 27/24

x= 9/8

O enunciado pediu a medida da aresta menor. Agora que temos o valor de todas as arestas, fica fácil definir qual é a

menor.

Comparando 2 , 3/2 e 9/8, vemos que a menor é 9/8, alternativa C.

4-A razão da progresão geométrica (a;a+3;5a-3;8a) é:

a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

Resolução:

A razão entre 2 elementos consecutivos de uma PG é sempre igual.

Então (a+3) / a = (5a-3) / (a+3)

5a² - 3a = a² + 6a +9

4a² - 9a - 9 = 0

Δ=(-9)²-4.4.(-9)

Δ=81+144

Δ=225

A1=[-(-9)+√ 225]:2.4=(9+15):8=24:8=3

portanto a=3, substituindo fica, (3, 3+3, 5.3-3, 8.3)=(3, 6, 12, 24)

Pode-se concluir que q=2.

5)O 21º termo da sequência (1,2,4,8,16,32,...) é um número:

(a) menor que 100

(b) entre 100 e 1000

(c) entre 1000 e 100 000

(d) entre 100 000 e 1 000 000

(e) entre 1 000 000 e 1 050 000

A partir do enunciado pode perceber que

a1=1

razão= 2

Com isso basta aplicarmos a fórmula

an=a1.q elevado a n-1

que será:

a21=1.2 elevado a 21-1

a21=1.2 elevado a 20

a21= 2 elevado a 20

a21=1 048 576

Este número está entre 1 000 000 e 1 050 000.

R: Alternativa E

Turma 2

1-Veja:Diga qual é o ponto correspondente a :

a)-1/3=C

b)1/3=E

c)1/6=D

d)-11/5=A

e)-2 1/5=A

f)-5/3=B

2)Resolva as equações:

a) ±√2 b)20 c)x1= 2 x2=-1/2

Resoluções:

a) A equação é (x+1)/x=-1/(x-2)

Então como tem uma igualdade, podemos multiplicar em cruz: (x+1).(x-2)= x.(-1)

x²-2x+x-2=-x

x²-x+x=2

x²=2

x = ±√𝟐

b) A equação é 1/12=2/15-1/x

Então podemos fazer algo bem simples: calcular a subtração 1/12-2/15, que

resultará direto na fração 1/x:

1 - 2 = 5-8 = -3 :3 = -1 12 15 60 60 :3 20

Ou seja, x= 20

c) A equação é 3/(2x-1)=x-1

Podemos colocar 1 embaixo de x-1 e multiplicar em cruz:

3 = x-1

2x-1 1

3.1= 2x²-2x-x+1

3=2x²-3x+1

3-1=2x²-3x

2x²-3x-2=0

Temos então uma equação de 2º grau. Vamos resolver a Bháskara:

Δ = b²-4.a.c

Δ = 3²-4.2.(-2)

Δ = 9+16

Δ =25

x= -b±√Δ 2.a

x=-(-3)±√25

2.2

x1= 3+5 = 2

4

x2= 3-5=-1/2

4

x1= 2 x2=-1/2

3-)A equação ( 2x + 3 )² = 4 tem duas soluções. Somando-as, obtém-se:

a) -1/2

b) 0

c) 1

d) -3

e) -1

Resolução:

( 2x + 3 )² = 4

raiz quadrada de ( 2x + 3 )² = mais ou menos raiz quadrada de 4

2x + 3 = mais ou menos 2

2x + 3 = 2 ou 2x + 3 = -2

2x = 2 – 3 2x = -2 -3

2x = -1 2x = -5

x = -1/2 x = -5/2

-1/2 + -5/2 = -6/2

-6/2 = -3

4)A expressão (x+2)² . (x – 2) – 2(x² - 2x) é igual a:

a) x³ + 4x² + 4x – 8

b) x³ - 8

c) x³ + 4x² + 4x

d) x³ + 8x² + 8x

e) (x – 2)³

Resolução:

(x+2)² . (x – 2) – 2(x² - 2x)

(x²+4x+4).(x-2)-(2x²-4x)

(x³-2x²+4x²-8x+4x-8)-(2x²-4x)

x³-2x²+4x²-8x+4x-8-2x²+4x

x³-8

5) A soma das raízes da equação (3-x/7)((4x-20)/3)=0 é igual a:

(3 −x

7) (

4𝑥−20

3) = 0

Quando você tem um produto igual a zero, basta igualar cada um a zero, aí basta resolver a equação do 1º grau:

(3 −x

7) = 0

3.7 – 𝑥

7.7 = 0.7

21-x=0

-x = -21

X=21 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(4x−20

3) = 0

4𝑥−20

3 . 3 = 0.3

4x-20 = 0

4x= 0+20

4x= 20

X=5 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X1= 21 X2= 5

Agora, para conferirmos, é só substituir o X pelo valor de cada um:

(3 −21

7) (

4.5−20

3) = 0

(3-3) (20−20

3) = 0

0 . 0

3 = 0

0 = 0

Agora, devemos fazer a soma das raízes, pois é o que se pede:

X1= 21 21+5= 26

X2= 5

RESPOSTA: A soma das raízes é 26.

Turma 3

1)Faça o que se pede. a) por quanto devo multiplicar 1/5 para obter 1? b) quanto é 1 : 1/5? c) com base na

resposta anterior e sem usar qualquer regra, dê o resultado de 4 : 1/5.

A) Para obter 1 devo multiplicar 1/5 por 5/1.

1/5 x 5/1 = 5/5 = 1

B)1 : 1/5 = 1/1 x 5/1 = 5/1 = 5

C) 4 : 1/5 = 4/1 x 5/1 = 20/1 = 20

Na letra A, primeiro devemos fazer 1 : 1/5 que dá a resposta : 5/1 = 5 aí fazemos 1/5 x 5/1 para conferir se a

resposta está correta.

Na letra B, devemos fazer 1 : 1/5 que dá a resposta : 5/1 = 5.

Na letra C, fazemos 4 : 1/5 que dá a resposta : 20/1 = 20.

2)Efetue as divisões, operando na forma de fração que é mais fácil. a) 3,7 : 0,25 b) 6,25 :

0,125 c) 12 : 0,75 d) 0,65 : 3,25 *

primeiro de vamos transformar em uma fração-poderá transformá-los em fração se souber exatamente

o número de casas que apresentam os dois números e depois efetuar a divisão

a-37/10:25/100=14,8

b-625/100:125/1000=50

c-12/1:75/100=16

d-65/100:325/100=0,2

3)Um dos número abaixo é a solução da equação 2x² - 21x = -40

a)3,0

b)2,5

c)1,0

d)0,5

e)-0,5

Para facilitar a resolução podemos fazer tentativas com as alternativas.Você substitui as

alternativas pelas letras , como:

2.3² - 21.3 = -40 2.2,5² - 21.2,5 = -40

2.9 - 63 = -40 2.6,25 - 52,5 = -40

18 - 63 = -40 12,5 - 52,5 = -40

-45 = - 40 - 40 = -40

Portanto a alternativa certa é a alternativa B , ou seja , 2,5.

4)Se um polígono é regular e tem 10 lados, então cada um de seus ângulos internos mede: *

a) 144°

b) 140°

c) 135°

d) 130°

e) 120°

a soma dos ângulos internos de um polígono é

(n - 2)180°, n é o número de lados do polígono

como o polígono é um decágono, temos:

(10 - 2) . 180° = 8 . 180° = 1440°

os ângulos internos do decágono são iguais, pois o decágono é regular, logo:

10 = 1440°

1440°/10

144°

5) No triângulo MAU , sabe -se que  mede 60° , Û , mede 40° , a semirreta MB é bissetriz do ângulo AMU e MH é

uma altura do triângulo.(Informações: a bissetriz de ângulo divide-o em dois ângulos de mesma medida ; uma altura

de um triângulo é perpendicular a um dos lados ou prolongamento desse lado.) A medida do ângulo HBM é:

a)5°

b)8°

c)10°

d)15°

e)20°

Como todo triângulo mede 180° e a soma de  e Û é 100° . Podemos concluir que M mede 80°. Sabe - se que AMB

mede 40° . Como H é a altura ele forma dois ângulos de 90° , formando os triângulos AMH e HMB em triângulos

retângulos. Se o ângulo MHA mede 90° e o ângulo MAH mede 60° consequentemente o ângulo AMH mede 30° .

Então HMB mede 10° , porque 30° do ângulo AMB pertence a AMH.

A resposta é 10° , alternativa C.

Turma 5

1)Veja o que diz a menina: Eu e meu irmão temos 1340 reais na poupança! Mas veja que

injustiça: só a quarta parte dessa quantia é minha. Quanto ela tem na poupança? *

R:Ela tem R$335,00 porque 1340:4=335 que significa a quarta parte do dinheiro.

2)Uma escola encomendou 500 caixas de giz.Elas foram entregues em pacotes contendo 8 caixas e um pacote

incompleto A)Quantas são os pacotes completos .B)Quantas caixas há no pacote incompleto.

A)62 pacotes completos 500/8=62,5

B)4 caixas no pacote incompleto .Pois 62x8 = 496 e sobra 4.

3)Veja a tabela de preços da cantina da escola : Salgados : Hambúrguer R$3,80, Bauru R$3,00 Misto Quente R$2,80

Bebidas: Refrigerante R$0,80 Suco R$1,50.Doces Brigadeiro R$1,00 Sorvete R$1,50.Ligia comprou um salgado, uma

bebida e um doce, gastando menos de R$5,00.considerando essas informações pode se afirmar que Lígia comprou

C)Um refrigerante.

fui somando o preços até chegar ao resultado R$4,60 .Ela comprou um misto quente, um refrigerante e um brigadeiro.

4)Uma gráfica imprimiu 34 928 exemplares de um livro, que foram embalados em pacotes com 12 livros .Quando não

foi mais possível fazer esses pacotes, quantos livros sobraram?

D)8

dividi 34 928 por 12 que é igual a 2910,6 e resto 8.

5)O menor múltiplo comum de 60 e 75 é:

B)300

fui dividindo os valor até chegar ao resultado com resto 0, número menor e quociente sem número decimal o

quociente com vírgula