Circuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados

Alessandro L. Koerich

Engenharia de Computação

Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)

Introdução

• Os circuitos que estudamos até o momento são considerados

condutivamente acoplados.

– Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente.

• Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do

campo magnético gerado por um deles, são chamados de

magneticamente acoplados.

• Exemplo: Transformador bobinas magneticamente

acopladas para transferir energia de um circuito para outro.

Indutância Mútua

• Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo

magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na

outra bobina.

• Este fenômeno é chamado de indutância mútua.

• Para um indutor simples de N

espiras, quando uma corrente i

flui através dele, um fluxo

magnético é produzido ao redor

dele.

• De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é:

𝑣 = 𝑁𝑑𝜙

𝑑𝑡

Indutância Mútua

• Mas o fluxo é produzido pela corrente i, portanto qualquer mudança em é causada por uma variação na corrente:

𝑣 = 𝑁𝑑𝜙

𝑑𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑡

ou

𝑣 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

• A indutância L do indutor é dada por:

𝐿 = 𝑁𝑑𝜙

𝑑𝑖

• Esta indutância é chamada de auto-indutância, pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo na mesma bobina.

Indutância Mútua

• Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L1 e L2 que estão próximas. A bobina 1 tem N1 voltas e a bobina 2 tem N2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta corrente.

• O fluxo magnético 1 originário na bobina 1 tem dois componentes: o componente 11 percorre somente a bobina 1 e o componente 12 percorre ambas as bobinas. Portanto:

𝜙1 = 𝜙11 + 𝜙12

Indutância Mútua

• Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas,

elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total 1

percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1:

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1

𝑑𝑡

• Somente o fluxo 12 percorre a bobina 2, logo a tensão

induzida na bobina 2:

𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙12

𝑑𝑡

Indutância Mútua

• Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i1 fluindo na bobina 1:

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1

𝑑𝑖1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

= 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡

• onde 𝐿1 = 𝑁1𝑑𝜙1/𝑑𝑖1 é a auto-indutância da bobina 1. Da mesma maneira:

𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙12

𝑑𝑖1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

= 𝑀21

𝑑𝑖1𝑑𝑡

onde:

𝑀21 = 𝑁2

𝑑𝜙12

𝑑𝑖1

• M21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1. O índice 21 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 2 à corrente na bobina 1. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 2 é:

𝑣2 = 𝑀21

𝑑𝑖1𝑑𝑡

Indutância Mútua

• Supondo agora que a corrente i2 flui na bobina 2, enquanto a bobina 1 não transporta corrente.

𝜙2 = 𝜙21 + 𝜙22

• Como o fluxo total 2 percorre a bobina 2, a tensão induzida na bobina 2:

𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙2

𝑑𝑡= 𝑁2

𝑑𝜙2

𝑑𝑖2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

= 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡

• onde 𝐿2 = 𝑁2𝑑𝜙2/𝑑𝑖2 é a auto-indutância da bobina 2.

Indutância Mútua

• Da mesma maneira:

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21

𝑑𝑡= 𝑁1

𝑑𝜙21

𝑑𝑖2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

= 𝑀12

𝑑𝑖2𝑑𝑡

onde:

𝑀12 = 𝑁1𝑑𝜙21

𝑑𝑖2

• M12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2. O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 1 é:

𝑣1 = 𝑀12

𝑑𝑖2𝑑𝑡

Indutância Mútua

• Veremos que:

𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀

• M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em

henrys (H).

• Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas

estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por

fontes variantes no tempo.

Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir uma

tensão sobre um indutor vizinho, medida em henrys (H).

Indutância Mútua

• Convenção do ponto para a análise de circuitos:

– A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos.

– A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os

aspectos construtivos em circuitos

• Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada

um dos indutores acoplados magneticamente.

• Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo

terminal marcado com o ponto.

Indutância Mútua

• A convenção dos pontos diz o seguinte:

Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina

é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina.

• ou

Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referencia da tensão mútua na segunda bobina é

negativa no terminal com o ponto da segunda bobina.

• Assim, a polaridade de referencia de um tensão mútua depende da direção de referencia da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas.

Indutância Mútua

• A aplicação da convenção de

pontos pode ser ilustrada pelas

figuras ao lado:

Indutância Mútua

• A convenção de pontos, para indutores conectados em série,

pontos se somando, a indutância total será:

𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀

• Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a

indutância total será:

𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀

Análise de Circuitos Envolvendo

Indutâncias Mútuas

• Aplicando a LTK na malha1:

𝑣1 = 𝑖1𝑅1 + 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ 𝑀𝑑𝑖2𝑑𝑡

• Aplicando a LTK na malha 2:

𝑣2 = 𝑖2𝑅2 + 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ 𝑀𝑑𝑖1𝑑𝑡

• Passando para o domínio da frequência:

𝐕1 = 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝐈1 + 𝑗𝜔𝑀𝐈2

𝐕2 = 𝑗𝜔𝑀𝐈1 + 𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 𝐈2

Análise de Circuitos Envolvendo

Indutâncias Mútuas

• Aplicando a LTK na malha 1:

𝐕 = 𝐙1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝐈1 + 𝑗𝜔𝑀𝐈2

• Aplicando a LTK na malha 2:

0 = −𝑗𝜔𝑀𝐈1 + 𝐙𝐿 + 𝑗𝜔𝐿2 𝐈2

• As equações acima podem ser resolvidas da maneira usual para encontrar as correntes.

• Note que assumiremos sempre que a indutância mútua e a posição dos pontos são fornecidas.

Energia em Circuitos Acoplados

• A energia armazenada em um indutor:

𝑤 =1

2𝐿𝑖2

• A energia armazenada em dois indutores

acoplados magneticamente, assumindo

que a corrente entra nos terminais com

ponto em ambos indutores:

𝑤 =1

2𝐿1𝑖1

2 +1

2𝐿2𝑖2

2 +𝑀𝑖1𝑖2

• Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e

sai pelo terminal com ponto no outro indutor:

𝑤 =1

2𝐿1𝐼1

2 +1

2𝐿2𝐼2

2 −𝑀𝑖1𝑖2

Energia em Circuitos Acoplados

• O limite superior para a indutância mútua M:

𝑀 ≤ 𝐿1𝐿2

• Ou seja, a média geométrica das auto-indutâncias dos indutores.

• O coeficiente de acoplamento, mostra o quanto a indutância mútua se aproxima de seu limite superior:

𝑘 =𝑀

𝐿1𝐿2

• onde 0 ≤ 𝑘 ≤ 1. O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor:

𝑘 =𝜙12

𝜙1=

𝜙12

𝜙11 + 𝜙12 𝑘 =

𝜙21

𝜙2=

𝜙21

𝜙21 + 𝜙22

Energia em Circuitos Acoplados

• Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro, então k

= 1 e temos uma acoplamento 100% ou perfeitamente

acoplados.

• Para k < 0,5 temos indutores fracamente acoplados.

• Para k > 0,5 temos indutores fortemente acoplados.

• O coeficiente de acoplamento é

uma medida do acoplamento

magnético entre dois indutores;

0 ≤ 𝑘 ≤ 1.

Transformador Linear

• É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da

indutância mutua.

• Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro

terminais compreendendo dois ou mais bobinas acopladas

magneticamente.

• A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é

chamado de enrolamento primário.

• A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento

secundário.

• As resistências representam as perdas nas bobinas.

Transformador Linear

• Um transformador é considerado linear se as bobinas são

enroladas em um material magnético linear (permeabilidade

magnética constante), como baquelite, ar, plástico e madeira.

• Para obtermos a impedância de entrada, aplicamos a LTK

nas duas malhas, e temos:

𝐙in =𝐕

𝐈1= 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 +

𝜔2𝑀2

𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 + 𝐙𝐿

– O primeiro termo (𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1) é a impedância primária.

– O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos

primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário:

𝐙𝑅 =𝜔2𝑀2

𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 + 𝐙𝐿

Transformador Linear

• Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento

magnético por um circuito equivalente T (ou Y) ou (ou )

que não contém a indutância mútua:

• Circuito equivalente T:

𝐿𝑎 = 𝐿1 −𝑀, 𝐿𝑏 = 𝐿2 −𝑀, 𝐿𝑐 = 𝑀

• Circuito equivalente :

𝐿𝐴 =𝐿1𝐿2 −𝑀2

𝐿2 −𝑀, 𝐿𝐵 =

𝐿1𝐿2 −𝑀2

𝐿1 −𝑀, 𝐿𝐶 =

𝐿1𝐿2 −𝑀2

𝑀

Transformador Ideal

• Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k

= 1).

• Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas

em um núcleo comum de alta permeabilidade. Devido a esta

alta permeabilidade do núcleo, o fluxo liga todas as voltas de

ambas as bobinas, resultando portanto em um acoplamento

perfeito.

• Um transformador é dito ser ideal se:

– As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L1, L2, M );

– O coeficiente de acoplamneto é unitário (k=1);

– Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R1 = R2=

0).

Transformador Ideal

• Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação

de transformadores ideais.

• De acordo com a Lei de Faraday,

as tensões sobre os enrolamentos

primário e secundário são

respectivamente:

𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙

𝑑𝑡 𝑣2 = 𝑁2

𝑑𝜙

𝑑𝑡

Transformador Ideal

• Dividindo as equações anteriores temos:

𝑣2𝑣1

=𝑁2

𝑁1= 𝑛

onde n é a razão de voltas ou razão de transformação.

• Usando fasores, temos:

𝐕2𝐕1

=𝑁2

𝑁1= 𝑛

Transformador Ideal

• Pelo princípio da conservação da energia, temos:

𝑣1𝑖1 = 𝑣2𝑖2

• Na forma fasor, temos: 𝐈1𝐈2

=𝐕2𝐕1

= 𝑛

• Mostrando que as correntes primária e secundária estão

relacionadas à razão de voltas de maneira inversa que as

tensões, então: 𝐈2𝐈1=𝑁1𝑁2

=1

𝑛

Transformador Ideal

𝐈2𝐈1=𝑁1𝑁2

=1

𝑛

• Quando n=1, chamamos o transformador de transformador de

isolamento.

• Se n>1 temos um transformador elevador, pois a tensão

aumenta do primário para o secundário (V2>V1).

• Se n<1 temos um transformador abaixador, pois a tensão

decresce do primário para o secundário (V2<V1).

Transformador Ideal

• Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes,

temos:

1. Se V1 e V2 são ambas positivas

ou ambas negativas nos

terminais com ponto, use +n.

Caso contrário use –n.

2. Se tanto I1 quanto I2 entram

ou ambas saem dos terminais

com ponto, use –n.

Caso contrário use +n.

Transformador Ideal

• A potência complexa no enrolamento primário é:

𝐒1 = 𝐕1𝐈1∗ =

𝐕2𝑛(𝑛𝐈2)

∗= 𝐕2𝐈2∗ = 𝐒2

• Não há perda de potência. O transformador ideal não absorve

potência.

• A impedância de entrada vista pela fonte:

𝑍𝑖𝑛 =𝐕1𝐈1

=1

𝑛2𝐕2𝐈2

• Mas como 𝐕2 𝐈2 = 𝐙𝐿, então:

𝑍𝑖𝑛 =𝐙𝐿𝑛2

Transformador Ideal

• Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o

transformador, refletindo as impedâncias e fontes de um lado

do transformador para o outro.

• Refletindo o lado secundário para o primário:

– Obtemos o equivalente de Thevenin do circuito a direita dos terminais a-

b.

– Obtemos VTh como a tensão de circuito aberto nos terminais a-b.

– Obtemos ZTh removendo a fonte tensão no enrolamento secundário e

inserindo uma fonte unitária nos terminais a-b.

– Tendo VTh e ZTh adicionamos o equivalente de Thevenin à esquerda de

a-b.

Transformador Ideal

• Refletindo o lado secundário para o primário:

𝐕Th =𝐕𝑠2𝑛 𝐙Th =

𝐙2𝑛2

Transformador Ideal

• A regra geral para eliminar o transformador e refletir o circuito

secundário para o lado do primário é: dividir a impedância

secundária por n2, dividir a tensão secundária por n e

multiplicar a corrente secundária por n.

• Para refletir o lado primário do circuito para o lado secundário:

– A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito primário para o

lado secundário é: multiplicar a impedância primária por n2, multiplicar a

tensão primária por n e dividir a corrente primária por n.