Programao LinearMauricio Pereira dos SantosDepartamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica e EstatsticaUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROiiCopyright c 2.000 por Mauricio Pereira dos SantosEditorao: O autor, criando arquivo texto no format LaTex.Fluxos e figuras: Visio e Corel Paint, includos no texto como EPS (EncapsulatedPostscript File).Contedo1 Introduo 11.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Soluo grfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Respostas (parciais) dos exerccios da seo 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 O modelo geral da Programao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Variaes do Modelo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 O que est implcito em qualquer modelo de P.Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Exemplos de formulao de modelos de Programao Linear . . . . . . . . . . . . . . 181.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10 Respostas dos exerccios da seo 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 O Mtodo Simplex 332.1 Definies bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Um mtodo no muito eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.1 Empate na escolha da varivel entrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Empate na escolha da varivel sainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 No existncia de varivel sainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.4 Mltiplas (infinitas) solues timas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.5 Modelos de Minimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.6 Modelos com variveis irrestritas em sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Outras formas de modelos - O Simplex de 2 fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 Novos algortimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7 Respostas dos exerccios da seo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Anlise depois do timo 633.1 Anlise de Sensibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Anlise de Sensibilidade dos Coeficientes da Funo Objetivo . . . . . . . . . . . . . 663.2.1 De variveis no bsicas na soluo tima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.2 De variveis bsicas na soluo tima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Anlise de Sensibilidade das constantes do lado direito . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.1 Modelos Primal e Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2 Teorema Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.3 Relao entre o Primal e o Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5 Valor timo das variveis do Modelo Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6 Significado econmico dos valores timos das variveis do Modelo Dual . . . . . . . . 763.7 Anlise de Sensibilidade usando o Modelo Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7.1 Incluso de uma nova varivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.8 Anlise de Sensibilidade dos coeficientes das restries . . . . . . . . . . . . . . . . 793.8.1 De varivel no bsica na soluo tima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.8.2 De varivel bsica na soluo tima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80iv CONTEDO3.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.10 Respostas dos exerccios da seo 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 Algortimo dos Transportes 954.1 Um exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Formulao como um modelo clssico de P.Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Quadro (tableau) usado no algortimo dos transportes . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4 Fonte ou destino artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 Impossibilidade de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.6 Etapas do algortimo dos transportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.7 Nmero de variveis bsicas nas solues bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8 Mtodos para achar a soluo bsica inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.9 Esgotamento simultneo de linha e coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.10 Teste para saber se uma soluo bsica tima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.11 Solues bsicas degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.12 O Modelo da Baldeao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.13 Diferena entre Transporte e Baldeao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.14 Adaptao do modelo da baldeao ao algortimo do transporte . . . . . . . . . . . . 1184.15 O Modelo da Atribuio ou da Designao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.16 Passos do Algortimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.17 Impossibilidade de atribuio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.18 Fontes ou destinos artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.19 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.20 Respostas dos exerccios da seo 4.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345 Bibliografia de Pesquisa Operacional 139Captulo 1IntroduoMuitos colocam o desenvolvimento da Programao Linear (PL) como um dos avan-os cientficos mais importantes do sculo XX. Seu impacto desde 1950 tem sido ex-traordinrio. Hoje em dia uma ferramenta padro que tem possibilitado grandesganhos para a maioria das companhias nos pases industrializados, sendo que seuuso em outros setores da sociedade vem crescendo rapidamente. Qual a naturezadesta ferramenta e que tipo de problemas ela resolve ? Neste captulo aprende-remos as respostas para estas 2 perguntas. Resumidamente, o tipo mais comumde aplicao envolve o problema de distribuir recursos limitados entre atividadesque esto competindo por aquele recursos, da melhor maneira possvel (isto , damaneira tima). Programao Linear usa um modelo matemtico para descrevero problema . O termo linear significa que todas as funes matemticas do mo-delo so, obrigatoriamente, funes lineares. A palavra programao no se referea programao de computadores e deve ser vista como um sinnimo de planeja-mento. Assim, podemos definir a programao linear como sendo o planejamentode atividades para obter um resultado timo, isto , um resultado que atenda, damelhor forma possvel, a um determinado objetivo. Embora alocao de recursospara atividades seja o tipo mais comum, programao linear tem numerosos outrostipos de aplicao. De fato, qualquer problema cujo modelo matemtico se enqua-dre na forma geral de um modelo de PL, um problema de programao linear.Um procedimento extremamente eficiente, chamado mtodo simplex, est dispon-vel para resolver problemas de PL, mesmo aqueles com milhares de variveis.1.1 ExemploPara entender melhor os conceitos da Programao Linear, vamos trabalhar comum exemplo que servir de base para apresentarmos alguns dos aspectos relacio-nados com os modelos de Programao Linear.Uma empresa produz 2 produtos em uma de suas fbricas. Na fabricao dos 2produtos, 3 insumos so crticos em termos de restringir o nmero de unidades dos2 produtos que podem ser produzidas: as quantidades de matria prima (tipos A eB) disponveis e a mo de obra disponvel para a produo dos 2 produtos.Assim,o Departamento de Produo j sabe que,para o prximo ms,a fbricater disponvel, para a fabricao dos 2 produtos, 4900 kilos da matria prima A e2 Introduo4500 kilos da matria prima B.Cada unidade do produto tipo I, para ser produzida consome 70 kilos da matriaprima A e 90 kilos da matria prima B. Por sua vez, cada unidade do produto tipoII para ser produzida, utiliza 70 kilos da matria prima tipo A e 50 kilos da matriaprima tipo B.Como a produo dos 2 produtos utiliza processos diferentes, a mo de obra espe-cializada e diferente para cada tipo de produto, ou seja no se pode utilizar a mode obra disponvel para a fabricao de um dos produtos para produzir o outro. As-sim, para a produo do produto tipo I a empresa ter disponvel, no prximo ms,80 homens-hora. J para o produto tipo II ter 180 homens-hora. Cada unidadedo produto tipo I, para ser produzida,utiliza 2 homens-hora enquanto que cadaunidade do produto tipo II utiliza 3 homens-hora.Reduzindo do preo unitrio de venda todos os custos, chega-se a concluso de quecada unidade do produto tipo I d um lucro de $20 e cada unidade do produto tipoII d um lucro de $60.Dada a grande procura, estima-se que todas as unidades a serem produzidas, dos2 produtos, podero ser vendidas.O objetivo da empresa obter o maior lucro possvel com a produo e a venda dasunidades dos produtos tipo I e II.Queremos resolver este problema com um modelo de Programao Linear.Mas antes de fazer isto temos que conhecer o problema. Qual o problema destaempresa ?O problema que eles no sabem quantas unidades de cada tipo de produto (I e II)devem ser produzidas, de maneira que o lucro seja o maior possvel.Para construir um modelo de P.Linear temos que comear identificando o que sedeseja saber ou conhecer no problema. A isto d-se o nome de varivel de deci-so. No nosso problema temos 2 variveis de deciso que so:x1 node unidades do produto tipo I a serem produzidas no prximo ms.x2 node unidades do produto tipo II a serem produzidas no prximo ms1.Temos que identificar o objetivo que se deseja alcanar e traduz-lo por uma funomatemtica linear contendo as variveis de deciso. Assim, no nosso exemplo, oobjetivo maximizar o lucro total obtido com a produo dos 2 produtos. Cada uni-dade, a ser produzida, do produto tipo I d um lucro de $20. Como vamos produzirx1 unidades, teremos um lucro de 20x1. Da mesma forma, cada unidade do produtotipo II d um lucro de $60, ou seja, pelo produto tipo II teremos um lucro de 60x2.Desta forma a funo de lucro total, que queremos maximizar, ser uma funo daforma:20x1 + 60x2.Esta funo chamada de funo objetivo e representada, pela maioria dos au-tores, como uma funo de uma varivel Z representando o sentido da otimizaoque, no nosso caso, de maximizao. Assim, podemos escrever:(MAX)Z=20x1 + 60x2 funo objetivo.1Chamamos de x1 e x2 mas poderamos usar qualquer nome para rotular as variveis de deciso1.1 Exemplo 3Evidentemente que o nosso modelo no se restringe a funo objetivo pois se assimfosse, a soluo seria simplesmente x1=x2= , o que, sem muita anlise, per-cebemos que impossvel bastando observar a quantidade disponvel de qualqueruma das matrias primas. Desta forma os valores que x1 e x2 podem assumir estocondicionados pelas restries do modelo que, no nosso exemplo, so as as quanti-dades das 2 matrias primas e a quantidade de mo de obra disponvel. Temos querepresentar cada restrio fsica por uma funo matemtica linear contendo asvariveis de deciso do modelo. A 1arestrio que temos diz que a quantidade dis-ponvel de matria prima tipo A, no prximo ms de 4900 kilos.Cada unidade aser produzida do produto I vai consumir 70 kilos desta matria prima. Por sua vez,cada unidade a ser produzida do produto II tambm vai consumir 70 kilos destamesma matria prima. Logo70x1+ 70x2 vai nos dar toda a matria prima tipoA a ser utilizada. Esta quantidade no pode ser maior do que a empresa vai terdisponvel, ou seja 4900 kilos. Podemos escrever ento:70x1 + 70x2 4900Fazendo-se o mesmo tipo de raciocnio para a matria prima tipo B, podemos escre-ver:90x1 + 50x2 4500.Temos ainda que representar a restrio relativa a mo de obra. Para a produ-o do produto tipo I, temos 80 homens-hora disponveis. Cada unidade, para serproduzida, utiliza2homens-hora. Logo, 2x1indicatodooconsumodemodeobra, apta para produzir o produto I, no prximo ms. Como temos disponveis 80homens-hora, a restrio fica:2x1 80.Podemos escrever uma restrio semelhante para o produto tipo II, ou seja:3x2 180.A primeira vista poder parecer que formulamos todas as restries. No entanto,h um tipo de restrio no to evidente. Como visto anteriormente, x1 e x2 repre-sentam as unidades dos 2 tipos de produto a serem fabricadas. Ora no podemosproduzir, por exemplo, 10 unidades do produto tipo I ou do produto tipo II, ou seja,x1 e x2 no podem ser negativos. Matematicamente temos:x1,x2 0Podemos agora escrever todo o modelo de programao linear para o nosso exem-plo:(MAX) Z=20x1 + 60x2 Funo Objetivos.a70x1 + 70x2 490090x1 + 50x2 45002x1 803x2 180___Restries do modelox1,x2 0_Restrio de no negatividade4 Introduo1.2 Soluo grficaModelos de P.Linear de at 3 variveis podem ser resolvidos graficamente. Estetipodesoluonotemaplicaoprticapoisosproblemasdomundorealtemsempremuitomaisvariveis(dezenas, centenaseatmilhares). Noentantoasoluo grfica nos ajudar a entender os princpios bsicos do mtodo analtico,chamado de mtodo Simplex, usado para resolver os modelos de P.Linear.Vamos resolver o nosso exemplo graficamente:Comox1 ex2 tem que ser>=0, o ponto timo, ou seja o ponto que maximiza ovalor de Z, obedecidas todas as restries, s pode estar no 1oquadrante. Assimpodemos traar:x2x1(0,0)Vamos considerar a 1arestrio na igualdade, ou seja70x1+ 70x2=4900. Ela uma equao de uma reta passando pelos pontos (70,0) e (0,70). Podemos entotra-la em nosso grfico:1.2 Soluo grfica 5x2x1(0,0)7070R1Como o ponto (0,0) est abaixo da reta e como (0,0) satisfaz a restrio, todos ospontos da reta para baixo so pontos que satisfazem a restrio.Vamos fazer o mesmo com a 2arestrio que na igualdade, 90x1+ 50x2=4500 uma reta que passa pelos pontos (50,0) e (0,90). Traando-a temos:x2x1(0,0)7070R15090R2Como o ponto (0,0) est abaixo da reta e como (0,0) satisfaz a restrio, todos ospontos da reta para baixo so pontos que satisfazem a restrio.A 3arestrio, na igualdade (2x1=80), uma reta paralela ao eixox2 passandopelo ponto 40 em x1. Temos ento:6 Introduox2x1(0,0)7070R15090R2R340Como o ponto (0,0) est a esquerda da reta e obedece a restrio, todos os pontosda reta para a esquerda so pontos que satisfazem a 3arestrio.A 4arestrio na igualdade,3x2=180, uma reta paralela ao eixox1, passandopelo ponto 60 no eixo x2. Traando-a, temos:x2x1(0,0)7070R15090R2R340R460Como o ponto (0,0) est abaixo da reta e obedece a restrio, todos os pontos da retapara baixo so pontos que satisfazem a 4arestrio.Como todas as restries foram traadas temos o chamado Espao Soluo que o conjunto de todos os pontos candidatos a serem o ponto timo, ou seja, todosos pontos que obedecem a todas as restries do modelo. No grfico o EspaoSoluo o polgono hachurado, como podemos ver a seguir:1.2 Soluo grfica 7x2x1R1R2R3R4O ponto timo um ponto do espao soluo, ou seja pertencente ao polgono ha-churado. Como encontr-lo graficamente ?Vamos observar a funo objetivo: Z=20x1+ 60x2. Graficamente esta equaorepresenta uma famlia de retas paralelas, ou seja, para cada valor deZtemosuma reta que ser paralela a qualquer outra para outro valor de Z, inclusive paraaquela com o valor timo deZ. Vamos, arbritariamente, escolher um valor paraZ, por exemploZ=1200. Temos ento uma reta passando pelos pontos (60,0) e(0,20). No grfico temos:8 Introduox2x1R1R2R3R4Z=1200Como queremos maximizar o valor de Z, vamos escolher agora um valor maior, porexemplo Z=2400, ou seja uma reta passando pelos pontos (120,0) e (0,40). Vamosver como fica graficamente:x2x1R1R2R3R4Z=1200Z=24001.2 Soluo grfica 9Como esperado, a nova retaZ=2400 uma reta paralela a reta anteriorZ=1200. Descobrimos tambm que traando-se paralelas aZ=1200, acima dela,obtemos valores maiores paraZ. Como obter o ponto timo ? Simplesmente tra-ando a paralela, mais alta possvel, que toque, pelo menos, um ponto do espaosoluo. Graficamente temos:x2x1R1R2R3R4Z=1200Z=2400Z*Ponto timox2*x1*O * indica, em programao matemtica o valor timo. Assim, x1quer dizer ovalor timo de x1.O ponto timo ter sido um dos vrtices do espao soluo no uma mera coinci-dncia. Na verdade o ponto timo sempre um dos vrtices do espao soluo a noser quando temos mltiplas (infinitas) solues timas, pois neste caso, os pontostimos so todos os pertencentes a um dos lados do espao soluo. Para ilustrareste ltimo caso, mude a funo objetivo para (MAX)Z=90x1+ 50x2. Resolvagraficamente e observe que todos os pontos de um dos lados do espao soluo sopontos timos! Isto acontece porque a funo objetivo a uma funo paralela a 2arestrio.10 Introduo1.3 ExercciosA) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MAX) Z=3x1 + 5x2s.a(1) x1 4(2) 2x2 12(3) 3x1 + 2x2 18(4) x1 0(5) x2 0Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).B) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MAX) Z=2x1 +x2s.a(1) x2 10(2) 2x1 + 5x2 60(3) x1 +x2 18(4) 3x1 +x2 44(5) x1 0(6) x2 0Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).C) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MAX) Z= 2x12x2s.a(1) 3x14x2 18(2) 8x13x2 24(3) 6x1 + 8x2 24(4) 3x1 + 5x2 21(5) x1 3(6) x2 0Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).1.3 Exerccios 11D) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MAX) Z= 2x18x2s.a(1) 4x1 + 2x2 8(2) 3x1 + 6x2 6(3) 6x1 + 6x2 18(4) x2 2(5) x1 2(6) 5x1 + 3x2 15(7) x1 0Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).E) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MAX) Z= 4x12x2s.a(1) x1 +x2 8(2) 8x1 + 3x2 24(3) 6x1 + 8x2 48(4) 3x1 + 5x2 15(5) x1 4(6) x2 0Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).F) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MAX) Z= 2x15x2s.a(1) 2x12x2 10(2) 7x1 + 3x2 21(3) 2x1 + 3x2 6(4) 3x1 + 9x2 27(5) x1 1(6) x2 4Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).12 IntroduoG) Resolva graficamente o modelo abaixo:(MIN) Z= 4x12x2s.a(1) x1 +x2 8(2) 8x1 + 3x2 24(3) 6x1 + 8x2 48(4) 3x1 + 5x2 15(5) x1 3(6) x2 0Indique o espao soluo (hachurando), o ponto timo (apontando) e as restri-es redundantes (pelo nmero).1.4 Respostas (parciais) dos exerccios da seo 1.3Nas respostas a seguir est mostrado apenas o espao soluo. Alm disso, 2 retasZ so mostradas cortando o espao soluo. O ponto timo no est apontado. Oseixos so sempre x1 (horizontal) e x2 (vertical).Exerccio A-202468101214-2 2 4 6 8 10 12 141.4 Respostas (parciais) dos exerccios da seo 1.3 13Exerccio B010203040505 10 15 20 25 30 35Exerccio C-10-5051015-20 -15 -10 -5 5 10Redundantes: (1) e (5)14 IntroduoExerccio D-10-50510-10 -5 5 10Redundantes: (1),(2),(4) e (7)Exerccio E-10-505101520-10 -5 5 10Redundantes: (2), (6)1.4 Respostas (parciais) dos exerccios da seo 1.3 15Exerccio F-8-6-4-202468-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12Redundantes: (1),(2) e (6)Exerccio G-10-50510-10 -5 5 10Redundante: (1)16 Introduo1.5 O modelo geral da Programao LinearO modelo geral da programao linear pode ser escrito como:(MAX) Z=c1x1 +c2x2+ . . . +cnxnsujeito aa11x1 +a12x2+ . . . +a1nxn b1a21x1 +a22x2+. . . +a2nxn b2...am1x1 +am2x2+ . . . +amnxn bmxi 0aij, bi e cj so chamados de parmetros do modelo e particularmente so chamadosde:cj coeficientes da funo objetivobiconstantes do lado direitoaij coeficientes das restries ou coeficientes tecnolgicos1.6 Variaes do Modelo Gerala) A funo objetivo pode ser de minimizao:(MIN) Z=c1x1 +c2x2+ . . . +cnxnb) Algumas restries podem ser do tipo :ai1x1 +ai2x2+ . . . +ainxn bic) Algumas restries podem ter sinal =:ai1x1 +ai2x2+. . . +ainxn=bid) Algumas variveis de deciso podem assumir qualquer valor, entre e +,e so chamadas de irrestritas em sinal.1.7 O que est implcito em qualquer modelo de P.Lineara) ProporcionalidadeEsta considerao implica em que o nvel da contribuio de uma varivel qual-quer sempre proporcional ao seu valor. Para exemplificar vejamos no nossoexemplo o caso da varivelx1. O seu lucro unitrio igual a 20. Esta proprie-dade diz que a contribuio de x1 para o lucro total 20x1 independentementesex1 igual a 10 ou igual a 100.000.000. Em um esquema produtivo este fatonem sempre verdade pois existe, quase sempre, um fator de economia de es-cala.Os modelos de programao linear no levam isto em conta e ou se usa, se foro caso, uma aproximao ou se tem que usar programao no linear. Normal-mente, a soluo de modelos de programao no linear muito mais complexa.1.7 O que est implcito em qualquer modelo de P.Linear 17b) AditividadeEsta considerao implica em que no h interao entre as diversas variveisdo modelo, ou seja, a contribuio do total de variveis a soma das contribui-es individuais de cada uma das variveis. Para exemplificar vamos consideraro nosso exemplo prottipo. A contribuio para o lucro total da varivelx120x1 independentemente se x2 igual a 1 ou 10.000. Por sua vez a contribuiode x2 para o lucro total 60x2 seja qual for o valor assumido por x1. No mundoreal isto, normalmente, tambm no acontece assim, ou seja, a quantidade deum produto pode inuir na produo de outro independentemente das restriestecnolgicas.Seemummodeloaconsideraodaaditividademodificaaessnciadopro-blema, deve-se usar programao no linear.c) DivisibilidadeA partir da construo de um modelo de P.Linear ns transformamos um pro-blema do mundo real para o mundo matemtico. Para encontrarmos a soluoque procuramos, temos que resolver o problema matematicamente. A soluogrfica, por exemplo, um procedimento matemtico. Assim sendo, perfeita-mente normal que a soluo de um modelo de P.Linear d, como soluo tima,valores fracionrios. Assim sendo poderia ter acontecido que a resposta para onosso exemplo fosse x1=17, 96 e x2=14, 88. Mas x1 e x2 representam unida-des de produtos. Como fabricar pedaos de produtos ? Ser que a soluo seriacortar a parte fracionria ? Isto poderia nos tirar do timo pois nem sempre otimo inteiro o timo fracionrio com a parte fracionria cortada.Como se resolve na prtica este tipo de problema ? Se as variveis de decisorepresentam bens cujo valor de mercado reduzido (uma mesa, por exemplo)trabalhamos com programao linear e simplesmente cortamos a parte fracio-nria dos valores timos. Se no entanto as variveis representam bens de altovalor (um avio,por exemplo),temos que trabalhar com Programao LinearInteira acrescentando as restries de que as variveis tem de ser inteiras. Por-que, para este tipo de modelo, no trabalhar sempre com P.Linear inteira ? Por-que o processo de obteno da soluo tima muito mais lento que a P.Linearsimples.d) CertezaEsta considerao implica em que todos parmetros do sistema so constantesconhecidas no se aceitando nenhuma incerteza de qualquer tipo. Se alguns dosparmetros tem qualquer nvel de incerteza a formulao como um modelo deP.Linear poder levar a resultados incorretos.18 Introduo1.8 Exemplos de formulao de modelos de Programao Li-nearA) Em uma fazenda deseja-se fazer 10.000 Kilos de rao com o menor custo pos-svel.De acordo com as recomendaes do veterinrio dos animais da fazenda,a mesma deve conter:# 15% de protena.# Um mnimo de 8% de fibra.# No mnimo 1100 calorias por kilo de rao e no mximo 2250 calorias por kilo.Parasefazerarao, estodisponveis4ingredientescujascaractersticastcnico-econmicasestomostradasabaixo: (Dadosem%, excetocaloriasecusto)Protena Fibra Calorias/kg Custo/kgCevada 6,9 6 1.760 30Aveia 8,5 11 1.700 48Soja 9 11 1.056 44Milho 27,1 14 1.400 56A rao deve ser feita contendo no mnimo 20% de milho e no mximo 12% desoja.Formule um modelo de P.Linear para o problema.SoluoVariveis de decisoxiKilos do ingrediente i a serem usados na rao (i=1 (Cevada), i=2 (Aveia),i=3 (Soja), i=4 (Milho)).(Min) Z=30x1 + 48x2 + 44x3 + 56x4s.a.x1 +x2 +x3 +x4=10000 (Quantidade de rao)0, 069x1 + 0, 085x2 + 0, 09x3 + 0, 271x4=0, 15 10000 (Protena)0, 06x1 + 0, 11x2 + 0, 11x3 + 0, 14x4 0, 08 10000 (Fibra)1760x1 + 1700x2 + 1056x3 + 1400x4 1100 10000 (calorias)1760x1 + 1700x2 + 1056x3 + 1400x4 2250 10000 (calorias)x4 0, 20 10000 (Milho)x3 0, 12 10000 (Soja)xi 0B) Uma fbrica de papel recebeu 3 pedidos de rolos de papel com as larguras ecomprimentos mostrados abaixo:Pedido Largura (cms) Comprimento (cms)1 50 10.0002 70 300003 90 20.0001.8 Exemplos de formulao de modelos de Programao Linear 19A fbrica tem que produzir os pedidos a partir de 2 rolos de tamanho padroque tem 100 e 200 centmetros de largura e comprimento muito grande (paraefeitos prticos pode-se considerar infinito). Os rolos dos pedidos no podem seremendados na largura embora possam ser emendados no comprimento.Deseja-se determinar como devem ser cortados os 2 rolos de tamanho padropara atender os pedidos, com o objetivo de que a perda de papel seja a mnimapossvel.Formule um modelo de P.Linear para o problema.SoluoPara um melhor entendimento do problema, vamos mostrar uma soluo poss-vel para o problema:50 50500090 70 402000030000Esta soluo consistiria em cortar o 1orolo padro (largura 100) em 2 tiras de5.000 cms. Emendados no comprimento, atenderiam ao 1opedido. Para atendero 2oe o 3opedidos, o 2orolo seria cortado conforme mostra o desenho.Dois tens importantes devem ser observados neste exemplo: A perda (a partehachurada:4030000+9010000=2100000 cm2) e que possvel ter perdacom largura de pedido, ou seja, os 10000 cms cortados com largura 90 cms.Podemos construir uma tabela comos possveispadres de corte, lembrandoquepodemosdesprezarospadresdecorteemqueaperdanalarguraserigual ou maior que a menor largura de pedido (50 cms).Rolo de 100 cms Rolo de 200 cmsLargura 1 2 3 4 5 6 7 8 950 2 4 2 2 1 70 1 1 2 1 90 1 1 1 2Perda na largura 0 30 10 0 30 10 10 40 20Podemos agora definir as variveis de deciso:xicms, cortados no comprimento, no padro i (i=1,2,. . . ,9)SiSobra em cms, no comprimento, com largura de pedido (i=1 (50),i=2 (70),20 Introduoi=3 (90))O modelo fica como:(MIN) Z=30x2+10x3+30x5+10x6+10x7+40x8+20x9+50S1+70S2+90S3s.a.2x1 + 4x4 + 2x5 + 2x6 +x7=10000 +S1(largura 50cms)x2 +x5 + 2x7 +x8=30000 +S2(largura 70cms)x3 +x6 +x8 + 2x9=20000 +S3(largura 90cms)Si, xi 0C) O gerente de um restaurante que est encarregado de servir o almoo, em umaconveno,nos prximos 5 dias tem que decidir como resolver o problema dosuprimento de guardanapos. As necessidades para os 5 dias so 110, 210, 190,120 e 100 unidades respectivamente. Como o guardanapo de um tipo especial,o gerente no temnenhumemestoque e suas alternativas durante os 5 dias so:Comprar guardanapos novos ao preo de $10 cada um.Mandar guardanapos j usados para a lavanderia onde eles podem receber2 tratamentos:(a) Devoluo em 48 horas ao preo de $3 a pea.(b) Devoluo em 24 horas ao preo de $5 a pea.Considerando que o objetivo do gerente minimizar o custo total com os guar-danapos formule um modelo de P.Linear para o problema.As seguintes observaes devem ser levadas em conta:O tempo da lavanderia considerado ser exato, ou seja, o guardanapo en-viado as 15 horas de um dia volta as 15 horas do dia seguinte (servio de24 horas) ou seja aps o almoo. Idem para o servio de 48 horas.Aps a conveno os guardanapos sero jogados no lixo.SoluoVariveis de decisoxinode guardanapos a serem comprados no isimo diayi node guardanapos usados enviados, no isimo dia, para a lavanderia servio de 24 horasti node guardanapos usados enviados, no isimo dia, para a lavanderia servio de 48 horasVisandoauxiliaraformulaodomodelovamosconstruirumatabelamos-trando as vrias fontes para se obter, a cada dia, guardanapos limpos :1.8 Exemplos de formulao de modelos de Programao Linear 21D I AOrigem 1 2 3 4 5Novo x1x2x3x4x5Lav. 24 horas y1y2y3Lav. 48 horas t1t2Total Necessrio 110 210 190 120 100As restries para a necessidade de guardanapos limpos so:x1=110 no precisa entrar no modelox2=210 no precisa entrar no modelox3 +y1=190x4 +y2 +t1=120x5 +y3 +t2=100Para se definir as restries correspondentes as quantidades de guardanaposusados temos que definir uma outra varivel deciso:vi node guardanapos usados que, no isimo dia, no so enviados para alavanderia.Devemos nos lembrar que o timo no implica, necessriamente, em que todosos guardanapos usados sejam lavados.As restries ficam :v1 +y1 +t1=110y2 +t2 +v2=210 +v1y3 +v3=190 +v2v4=120 +v3v5=100 +v4O modelo fica como:(MIN) Z=10(x3 +x4 +x5) + 5(y1 +y2 +y3) + 3(t1 +t2)s.a.x3 +y1=190x4 +y2 +t1=120x5 +y3 +t2=100v1 +y1 +t1=110y2 +t2 +v2=210 +v1y3 +v3=190 +v2v4=120 +v3v5=100 +v4xi,yi,ti,vi 022 IntroduoD) A Motorauto S/A fabrica 3 modelos de automveis nas suas fbricas: Modelode1.100cilindradas(c.c.), modelode1.400c.c. emodelode1.800c.c. Umconito trabalhista faz prever uma greve prolongada na fbrica 1 num futuromuito prximo. Para fazer face a esta situao, a direo da empresa decidiupreparar um plano excepcional de produo e vendas para o prximo perodo,pressupondo que no haver produo na fbrica 1 durante este perodo. Nestemesmo perodo, a capacidade de produo da fbrica 2 ser de 4.000 unidadesde 1.100 c.c., ou 3.000 unidades de 1.400 c.c. ou 2.000 unidades de 1.800 c.c. ouqualquer combinao apropriada destes 3 modelos. Uma combinao apropri-ada pode ser, por exemplo, 2.000 unidades de 1.100 c.c. (50% da capacidade),900 unidades de 1.400 c.c. (30% da capacidade) e 400 modelos de 1.800 c.c. (20%da capacidade). Analogamente a fbrica 3 tem capacidade para 3.000 modelosde 1.100 c.c. ou 8.000 modelos de 1.400 c.c. ou qualquer combinao apropri-ada destes 2 modelos, no sendo o modelo de 1.800 c.c. produzido nesta fbrica.Cada automvel de 1.100 c.c. vendido por $1.150, cada modelo de 1.400 c.c. vendido por $1.450 e cada modelo de 1.800 c.c. vendido por $1.800. O custode produo na fbrica 2 de $875, $1.200 e $1.450 para cada unidade produ-zida dos modelos de 1.100 c.c., 1.400 c.c. e 1.800 c.c. respectivamente. Por suavez o custo de produo na fbrica 3 de $900 para cada unidade produzidado modelo de 1.100 c.c. e de $1.100 para cada unidade do modelo de 1.400 c.c.A empresa assumiu compromissos que a obrigam a fornecer 1.000 unidades domodelo de 1.800 c.c.para exportao.Por outro lado, dada a queda na procurapelos modelos de 1.100 c.c. e 1.800 c.c., o departamento comercial estima em1.000 e 2.500 unidades as vendas mximas destes 2 modelos, respectivamente.Como o modelo de 1.400 c.c. atualmente um grande sucesso comercial, noexiste limitao para suas vendas. No incio do perodo, os estoques dos 3 mo-delos so de 200 unidades do modelo de 1.100 c.c., 600 unidades do modelo de1.400 c.c. e 200 unidades do modelo de 1.800 c.c. possvel, dados os ltimosacordos assinados, importar da Argentina at 500 unidades do modelo de 1.100c.c. Cada modelo importado custar $1.000.Considerando que o objetivo da Motorauto maximizar seus lucros, formule ummodelo de P.Linear para o problema.SoluoVariveis de decisox1 node unidades do modelo de 1.100 c.c. a serem produzidas na fbrica 2.x2 node unidades do modelo de 1.400 c.c. a serem produzidas na fbrica 2.x3 node unidades do modelo de 1.800 c.c. a serem produzidas na fbrica 2.x4 node unidades do modelo de 1.100 c.c. a serem produzidas na fbrica 3.x5 node unidades do modelo de 1.400 c.c. a serem produzidas na fbrica 3.x6 node unidades do modelo de 1.100 c.c. a serem importadas da Argentina.A funo objetivo uma funo de lucro sendo cada lucro individual calculadocomo a diferena entre o preo de venda e o custo de produo.1.8 Exemplos de formulao de modelos de Programao Linear 23O modelo do problema fica como:(MAX) Z=275x1 + 250x2 + 350x3 + 250x4 + 350x5 + 150x6s.a.x1 +x4 +x6 (1000 200) (modelo de 1.100 c.c.)x6 500 (modelo de 1.100 c.c.)x3 (1000 200) (modelo de 1.800 c.c.)x3 (2500 200) (modelo de 1.800 c.c.)x14000+x23000+x32000 1 (capacidade de produoFbrica 2)x43000+x58000 1 (capacidade de produoFbrica 3)xi 0E) Uma empresa responsvel pelo abastecimento semanal de um certo produto aoRio de Janeiro e a So Paulo, pretende estabelecer um plano de distribuio doproduto a partir dos centros produtores situados em Belo Horizonte, RibeiroPreto e Campos. As quantidades semanalmente disponveis em B.Horizonte,R.Preto e Camposso 70, 130 e 120 toneladas respectivamente. O consumosemanal previsto deste produto de 180 toneladas no Rio e 140 toneladas emS.Paulo. Os custos de transporte, em $/ton, de cada centro produtor para cadacentro consumidor est dado abaixo:Rio So PauloB.Horizonte 13 25R.Preto 25 16Campos 15 40Considerando que o objetivo da empresa minimizar seu custo total de trans-porte, formule um modelo de P.Linear para o problema.SoluoVariveis de decisoxijToneladasaseremtransportadasdaorigemi(i=1(B.Horizonte), i=2(R.Preto), i=3 (Campos)) para o destino j (j=1 (Rio), j=2 (So Paulo)).O modelo fica como:(MIN) Z=13x11 + 25x12 + 25x21 + 16x22 + 15x31 + 40x32s.a.x11 +x12=70 (B.Horizonte)x21 +x22=130 (R.Preto)x31 +x32=120 (Campos)x11 +x21 +x31=180 (Rio)x12 +x22 +x32=140 (S.Paulo)xij 024 Introduo1.9 ExercciosA) Na produo de unidades de 4 tipos de produtos, so utilizadas 2 mquinas.O tempo utilizado na fabricao de cada unidade, de cada tipo de produto, emcada uma das 4 mquinas est dado na tabela abaixo:Tempo por unidade produzida (horas)Mquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 Produto 41 2 3 4 22 3 2 1 2O custo total de produo de uma unidade de cada produto diretamente pro-porcional ao tempo de uso da mquina. Considere que o custo por hora paraas mquinas 1 e 2 so $10 e $15 respectivamente. O total de horas disponveispara todos os produtos nas mquinas 1 e 2 so 500 e 380 respectivamente.Se o preo de venda, por unidade, dos produtos 1, 2, 3 e 4 de $65, $70, $55 e$45, formule o problema como um modelo de P.Linear com o objetivo de maxi-mizar o lucro lquido total.B) Uma companhia de aviao est considerando a compra de avies de passagei-ros de 3 tipos: de pequeno curso, de curso mdio e de longo curso. O preo decompra seria de $6,7M para cada avio de longo curso, $5M para avies de m-dio curso e $3,5M para avies de pequeno curso. A diretoria autorizou um gastomximo de $150M para estas compras, independentemente de quais avies se-ro comprados. As viagens areas em todos os tipos de avies, fazem prever queos avies andaro sempre lotados. Estima-se que o lucro anual lquido seria de$0,42M para cada avio de longo curso,$0,30M para avio de mdio curso e$0,23M para avio de pequeno curso. A companhia ter pilotos treinados parapilotar 30 novos avies. Se somente avies de pequeno curso forem comprados,a diviso de manuteno estaria apta a manter 40 novos avies. Cada avio demdio curso gasta 1/3 a mais de manuteno do que o dispendido por um aviode pequeno curso e o de longo curso 2/3 a mais. As informaes acima foramobtidas por uma anlise preliminar do problema. Uma anlise mais detalhadaser feita posteriormente. No entanto, usando os dados acima como uma pri-meira aproximao, a diretoria da empresa deseja conhecer quantos avies decada tipo deveriam ser comprados se o objetivo maximizar o lucro.Formule um modelo de P.Linear para este problema. (M = 1.000.000)C) Uma empresa tem 3 fbricas com ociosidade na produo. Todas as 3 fbricastem capacidade de produzir um certo produto e a gerncia decidiu usar umaparte da ociosidade na produo deste produto. O produto pode ser feito em 3tamanhos: grande, mdio e pequeno, que do um lucro lquido de $12, $10 e$9 respectivamente. As fbricas 1, 2 e 3 tem capacidade de fabricar 500, 600e 300 unidades do produto respectivamente, independentemente do tamanho aser produzido. H, no entanto, limitao do espao para estocagem. As fbricas1, 2 e 3 tem 9000, 8000 e 3500m2de rea para estocagem respectivamente.Cada unidade de tamanho grande,mdio e pequeno necessita de 20,15 e 121.9 Exerccios 25m2respectivamente. O Departamento de Vendas indicou que 600, 800 e 500unidades dos tamanhos grande, mdio e pequeno, respectivamente, podem servendidas por dia. De maneira a manter uma certa uniformidade,a gerenciadecidiu que a percentagem do uso das capacidades ociosas das 3 fbricas devemser iguais. A gerncia deseja saber quanto de cada tamanho deve ser produzidoem cada fbrica de maneira que o lucro seja mximo.Formule um modelo de P.Linear para este problema.D) Um investidor pode investir dinheiro em duas atividades A e B disponveis noincio dos prximos 5 anos. Cada $1 investido em A no comeo de um ano re-torna$1,40(umlucrode$0,40)doisanosmaistarde(atempodeimediatoreinvestimento). Cada $1 investido em B no incio de um ano retorna $1,70,trs anos mais tarde. Existem ainda 2 atividades C e D que estaro disponveisno futuro. Cada $1 investido em C no incio do segundo ano retorna $2,00, qua-tro anos mais tarde. Cada $1 investido em D no comeo do quinto ano, retorna$1,30 um ano mais tarde.O investidor tem $10.000.Ele deseja conhecer comoinvestir de maneira a maximizar a quantidade de dinheiro acumulado no inciodo sexto ano.FormuleummodelodeP.Linearparaesteproblema. Considerequenohinao.E) Com seus conhecimentos do curso, um aluno calcula que poderia se prepararcom perfeio para o exame de uma certa disciplina D1 em 20 horas de estudointensivo. Para uma outra disciplinaD2 ele precisa de 25 horas. Para passar,ele precisa obter no mnimo 50 pontos (num mximo de 100) em cada uma de-las. Alm disso, ele deseja alcanar a maior mdia ponderada possvel, sendo 3e 5 os pesos deD1 eD2 respectivamente. Ele dispe de apenas 30 horas paraestudar.Formule o problema como um modelo de P.Linear, a fim de obter a distribuiodas horas de estudo, considerando proporcionalidade entre o esforo e o rendi-mento de seus estudos.F) O Governo decidiu instalar em uma certa rea 3 indstrias: U1, U2 e U3.Trslocalidades diferentesL1,L2 eL3 foram selecionadas. As condies geoecon-micas (energia, comunicaes, etc...) variam de local para local. As indstriastambm possuem caractersticas tcnicas distintas (custos operacionais, capa-cidade, tipo de produo, etc...). Um estudo preliminar levou a concluso que aseficincias relativas das diversas indstrias nas diferentes localidades so:L1L2L3U11,5 1 2U20,8 0,6 2,5U32 0,7 1AssimemL3, porexemplo, U1funcionaria2vezesmaiseficientemente, doponto de vista econmico, do que emL2. O problema distribuir as 3 inds-trias pelas 3 localidades (no mximo 1 indstria em cada localidade) da ma-26 Introduoneira mais eficiente.Formule o problema como um modelo de P.Linear.G) Uma companhia deseja obter uma nova liga metlica com 30% de chumbo, 20%de zinco e 50% de estanho a partir de alguns minrios tendo as seguintes pro-priedades:M I N R I O SPropriedades 1 2 3 4 5% Chumbo 30 10 50 10 50% Zinco 60 20 20 10 10% Estanho 10 70 30 80 40Custo ($/kg) 8,5 6 8,9 5,7 8,8O objetivo determinar as propores destes minrios que deveriam ser mistu-rados para produzir a nova liga com o menor custo possvel.Formule este problema como um modelo de P.Linear.H) Uma famlia de fazendeiros possui 100 acres de terra e tem $30.000 em fun-dos disponveis para investimento.Seus membros podem produzir um total de3.500 homens-hora de trabalho durante os meses de inverno e 4.000 homens-horas durante overo. Setodosesteshomens-horas noso necessrios, osmembros mais jovens da famlia podem ir trabalhar em uma fazenda da vizi-nhana por $4,00 por hora durante o inverno e $4,50 por hora durante o vero.A famlia obtm renda com 3 colheitas e 2 tipos de criao de animais: vacasleiteiras e galinhas (para obter ovos).Nenhum investimento necessrio paraas colheitas mas no entanto cada vaca necessita de um investimento de $900 ecada galinha de $7. Cada vaca necessita de 1,5 acre de terra, 100 homens-horade trabalho no inverno e outros 50 homens-hora no vero. Cada vaca produziruma renda lquida anual de $800 para a famlia. Por sua vez cada galinha nonecessita de rea, requer 0,6 homens-hora durante o inverno e 0,3 homens-horano vero. Cada galinha produzir uma renda lquida de $5 (anual). Ogalinheiropode acomodar um mximo de 3.000 galinhas e o tamanho dos currais limitao rebanho para um mximo de 32 vacas. As necessidades em homens-hora ea renda lquida anual, por acre plantado, em cada uma das 3 colheitas estomostradas abaixo:Soja Milho FeijoHomenshora no inverno 20 35 10Homenshora no vero 50 75 40Renda anual lquida ($) 375 550 250A famlia deseja maximizar sua renda anual.Formule este problema como um modelo de P.Linear.1.9 Exerccios 27I) Um avio de carga tem 3 compartimentos para armazenar carga: frente, centroe traseira. Estes compartimentos tem limite de capacidade em termos de pesoe espao, como mostrado abaixo:Compartimento Capacidade peso (ton) Capacidade espao (m3)Frente 8 140Centro 12 200Traseira 7 85Almdisto, os pesos das cargas emcada compartimento devemmanter a mesmaproporo em relao a capacidade de cada compartimento, a fim de manter oequilbrio do avio.As 4 cargas abaixo esto disponveis para carregar um determinado vo:Carga Peso (ton) Volume (m3/ton) Lucro ($/ton)1 14 14 1002 11 20 1303 18 17 1154 9 11 90As cargas podem ser divididas em pedaos de qualquer peso e tamanho. Oobjetivo determinar quanto de cada carga deveria ser aceita e como distribu-la entre os compartimentos do avio de maneira a maximizar o lucro total dovo. Formule este problema como um modelo de P.Linear.J) Para um bar que funciona 24 horas por dia, a seguinte quantidade de emprega-dos necessria:Hora do dia Nomnimo de empregados2 6 46 10 810 14 1014 18 718 22 1222 2 4Cada empregado trabalha 8 horas consecutivas por dia. O objetivo achar omenor nmero necessrio de empregados de modo que a necessidade mnimaacima seja obedecida.Formule o problema como um modelo de P.Linear.28 IntroduoK) Uma fbrica descontinuou a produo de um produto que no estava dando lu-cro. Isto criou uma considervel capacidade de produo ociosa. A gerncia estconsiderando em usar esta capacidade ociosa em um ou mais, de 3 produtos, osquais chamaremos de produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponvel das mquinasque poderiam limitar a sada est dada na tabela abaixo:Tempo disponvelTipo de Mquina (em mquinashora por semana)A 500B 350C 150O nmero de mquinas-hora necessrias para cada produto :Tipo de Mquina Produto 1 Produto 2 Produto 3A 9 3 5B 5 4 0C 3 0 2O Departamento de Vendas indicou que o potencial de vendas para os produtos1 e 2 excedem a taxa mxima de produo e que o potencial de vendas parao produto 3 de 20 unidades por semana. O lucro unitrio seria de $30, $12e $15 respectivamente para os produtos 1, 2 e 3. Quanto se deve fabricar dosprodutos 1, 2 e 3 de maneira que o lucro seja mximo.Formule o problema como um modelo de P.Linear.1.10 Respostas dos exerccios da seo 1.9 291.10 Respostas dos exerccios da seo 1.9Exerccio AxiUnidades do produto i a serem produzidas(MAX) Z=10x25x4s.a2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 5003x1 + 2x2 +x3 + 2x4 380xi 0Exerccio Bx1 node avies de longo curso a serem compradosx2 node avies de mdio curso a serem compradosx3 node avies de pequeno curso a serem comprados(MAX) Z=0, 42x1 + 0, 30x2 + 0, 23x3s.a6, 7x1 + 5x2 + 3, 5x3 150x1 +x2 +x3 3053x1 +43x2 +x3 40xi 0Exerccio Cxij quantidade a ser produzida do tamanho j (j=g,m,p) na fbrica i (i=1,2,3)(MAX) Z=12x1g+10x1m+9x1p+12x2g+10x2m+9x2p+12x3g+10x3m+9x3gs.a.x1g +x1m +x1p 500x2g +x2m +x2p 600x3g +x3m +x3p 30020x1g + 15x1m + 12x1p 900020x2g + 15x2m + 12x2p 800020x3g + 15x3m + 12x3p 3500x1g +x2g +x3g 600x1m +x2m +x3m 800x1p +x2p +x3p 500x1g+x1m+x1p500=x2g+x2m+x2p600=x3g+x3m+x3p300xij 0Exerccio DXt$ investido na atividade X(X=A,B,C e D) no perodo t(t=1,2,3,4,5)Rt$ no investido no perodo t(t=1,2,3,4,5)(MAX) Z=2C2 + 1, 7B3 + 1, 4A4 + 1, 3D5 +R5s.a.A1 +B1 +R1=10000R1 +A2 +B2 +C2 +R2=01, 4A1R2 +A3 +B3 +R3=01, 7B11, 4A2R3 +A4 +R4=01, 7B21, 4A3R4 +D5 +R5=0Xt, Rt 030 IntroduoExerccio ECada hora de estudo na disciplina D1 garante ao aluno 5 pontos.Para a disciplina D2 o rendimento de 4 pontos por hora.X node horas que o aluno estudar D1.Ynode horas que o aluno estudar D2.(MAX) Z=3X+ 5Y8s.a.X+Y=305X 504Y 50X, Y 0Exerccio Fxij indstria Ui instalada na cidade Lj.(MAX) Z=1, 5x11+x12+2x13+0, 8x21+0, 6x22+2, 5x23+2x31+0, 7x32+x33s.a.x11 +x12 +x13=1x21 +x22 +x23=1x31 +x32 +x33=1x11 +x21 +x31=1x12 +x22 +x32=1x13 +x23 +x33=1Xij=0 ou 1Exerccio Gxifrao de 1 kilo do minrio i usada na produo de 1 kilo da nova liga.(MIN) Z=8, 5x1 + 6x2 + 8, 9x3 + 5, 7x4 + 8, 8x5s.a.x1 +x2 +x3 +x4 +x5=10, 3x1 + 0, 1x2 + 0, 5x3 + 0, 1x4 + 0, 5x5=0, 30, 6x1 + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 0, 1x4 + 0, 1x5=0, 20, 1x1 + 0, 7x2 + 0, 3x3 + 0, 8x4 + 0, 4x5=0, 5xi 0Observe que a 1arestrio redundante pois a soma das outras 3.Exerccio Hxi(i=1, 2, 3) acres plantados com soja, milho e feijo, respectivamente.xi(i=4, 5) node vacas e galinhas, respectivamente.xi(i=6, 7) excesso de homens-hora no inverno e vero, respectivamente.(MAX) Z=375x1 + 550x2 + 250x3 + 800x4 + 5x5 + 4x6 + 4, 5x7s.a.x1 +x2 +x3 + 1, 5x4 100900x4 + 7x5 3000020x1 + 35x2 + 10x3 + 100x4 + 0, 6x5 +x6=350050x1 + 75x2 + 40x3 + 50x4 + 0, 3x5 +x7=4000x4 32x5 3000xi 01.10 Respostas dos exerccios da seo 1.9 31Exerccio Ixij toneladas de carga i (i=1, 2, 3, 4) armazenadas no compartimento j (j=1, 2, 3) onde 1(frente), 2(centro) e 3(traseira).(MAX) Z=100(x11+x12+x13) +130(x21+x22+x23) +115(x31+x32+x33) +90(x41 +x42 +x43)s.a.x11 +x12 +x13 14x21 +x22 +x23 11x31 +x32 +x33 18x41 +x42 +x43 9x11 +x21 +x31 +x41 8x12 +x22 +x32 +x42 12x13 +x23 +x33 +x43 314x11 + 20x21 + 17x31 + 11x41 14014x12 + 20x22 + 17x32 + 11x42 20014x13 + 20x23 + 17x33 + 11x43 85x11 +x21 +x31 +x418=x12 +x22 +x32 +x4212=x13 +x23 +x33 +x437xij 0Exerccio Jxj node empregados comeando no incio do perodo j (j=1, 2, ..., 6).(MIN) Z=x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6s.a.x1 +x6 4x1 +x2 8x2 +x3 10x3 +x4 7x4 +x5 12x5 +x6 4xj 0Exerccio K(MAX) Z=30x1 + 12x2 + 15x3s.a9x1 + 3x2 + 5x3 5005x1 + 4x2 3503x1 + 2x3 150x3 20xi 032 IntroduoCaptulo 2O Mtodo SimplexO chamado Mtodo Simplex foi apresentado por George B. Dantzig, um matemticoamericano, em 1947. Nos anos seguintes o prprio Dantzig e outros matemticosforam aperfeioando-o, principalmente visando torn-lo mais eficiente do ponto devista computacional. Estas melhorias no entanto no mudaram a sua essnciae,embora novos mtodos tenham surgido no final da dcada de 80,o Simplex ainda o algortimo mais usado para resolver modelos de P.Linear e, provavelmente,o mais usado de todos os algortimos matemticos.2.1 Definies bsicasSoluo qualquer atribuio de valores para as variveis de deciso do modelo.Soluo Praticvel qualquer soluo em que nenhuma das restries do mo-delo violada.Soluo Impraticvel qualquer soluo emque pelo menos uma das restriesdo modelo violada.Soluo Bsica Dado um conjunto dem equaes linearmente independentesen incgnitas, onden>m, se define como soluo bsica a soluo para oconjuntodeequaesemque(n m)variveissofeitasiguaisa0easrestantes so obtidas da resoluo do sistema de equaes.Exemplo: Seja o sistema abaixo:x1 +x2 + 3x3x4 +x5=6x1 + 2x2 + 2x3x4 + 2x5=2temos m=2 e n=5.Cada soluo bsica ter (52)=3 variveis iguais a 0, por exemplo x3,x4 e x5 e (53)=2 obtidas da resoluo do sistema, ou seja,x1=10 e x2= 4. bvio quevariando-se as variveis feitas iguais a zero teremos novas solues bsicas. O n-mero de solues bsicas que podem ser obtidas vem da frmula :_nm_=n!m!(n m)!34 O Mtodo SimplexAs variveis diferentes de 0 so chamadas de variveis bsicas e as iguais a 0so chamadas de variveis no bsicas.Soluo bsica degenerada: uma soluo bsica em que pelo menos uma dasvariveis bsicas igual a 0. Esta varivel chamada de varivel bsica degene-rada.VariveisdeFolga: Sovariveisquesoacrescentadasasinequaesparatransform-las em equaes. Denominaremos as variveis de folga deFi, ondei o ndice da varivel.Exemplo:2x1 80 2x1 +F1=802.2 Um mtodo no muito eficienteVamos voltar ao nosso exemplo:(MAX) Z=20x1 + 60x2s.a.70x1 + 70x2 490090x1 + 50x2 45002x1 803x2 180x1,x2 0Vamos acrescentar variveis de folga as 4 restries do modelo:(1) 70x1 + 70x2 +F1=4900(2) 90x1 + 50x2 +F2=4500(3) 2x1 +F3=80(4) 3x2 +F4=180Temos um sistema de equaes lineares com 4 (m) equaes e 6 (n) variveis. Destesistema podemos obter:6!4!2!=15 solues bsicas.importante observarque as variveisdefolga, includasno exemplo, temumsignificado fsico relacionado com o modelo apresentado. Assim F1, por exemplo,representa o nmero de kilos da matria prima tipo A que no sero utilizadas nafabricao dos produtos tipos I e II.Em resumo,embora tenham sido usadas para transformar inequaes em equa-es,as variveis de folga tem um significado fsico relacionado com o problemasendo modelado.Outro ponto a ser mencionado que, como x1 e x2 so >=0, as variveis de folgatambm s podem ser >=0. Logo todas as variveis so >=0.Voltando ao exemplo prottipo podemos encontrar as 15 solues bsicas do sis-tema de equaes lineares formado pelas restries, acrescidas das suas respecti-vas variveis de folga. Cada soluo bsica ser obtida escolhendo-se 2 variveis efazendo-as iguais a 0 e resolvendo-se o sistema para as 4 variveis restantes.Aplicando-se esta regra, obtemos as 15 solues bsicas:2.2 Um mtodo no muito eficiente 35noNo bsicas Bsicas Condio Z1 x1=0 x2=0 F1=4900 F2=4500 F3=80 F4=180 Praticvel 02 x1=0F1=0 x2=70 F2=1000 F3=80 F4= 30 Impraticvel 3 x1=0 F2=0 x2=90 F3=80 F4= 90 F1= 1400 Impraticvel 4 x1=0 F3=0 0=80 Impossvel 5 x1=0 F4=0 F3=80 x2=60 F1=700 F2=1500 Praticvel 36006 x2=0 F1=0 F3= 60 F2= 1800 F4=180 x1=70 Impraticvel 7 x2=0 F2=0 F3= 20 F1=1400 x1=50 F4=180 Impraticvel 8 x2=0 F3=0 F1=2100 F2=900 x1=40 F4=180 Praticvel 8009 x2=0 F4=0 0=180 Impossvel 10 F1=0 F2=0 x1=25 x2=45 F3=30 F4=45 Praticvel 320011 F1=0 F3=0 x1=40 x2=30 F2= 600 F4=90 Impraticvel 12 F1=0 F4=0 x1=10 x2=60 F3=60 F2=600 Praticvel 380013 F2=0 F3=0 x1=40 x2=18 F1=840 F4=126 Praticvel 188014 F2=0 F4=0 x1=16.7 x2=60 F3=46.7 F1= 466.6 Impraticvel 15 F3=0 F4=0 x1=40 x2=60 F1= 2100 F2= 2100 Impraticvel Podemos observar na soluo grfica cada uma das 15 solues bsicas. Como o mo-delo de 2 variveis de deciso(x1, x2), cada soluo bsica a interseco de 2restries. Podemos inclusive observar que 2 das solues (4 e 9) so a intersecode 2 paralelas que se interceptam no infinito.x2x1R1R2R3R41235781011121314 1549 infinfComo podemos observar, a soluo bsica no12 a soluo tima (como vimos nasoluo grfica). Ter sido simples coincidncia o fato da soluo tima ser uma36 O Mtodo Simplexdas solues bsicas ? No simples coincidncia pois pode-se provar que:Se um modelo de Programao linear possui uma nica soluotima, ento ela uma soluo bsica do sistema de equaeslineares formado pelas restries do modelo acrescidas das suasrespectivas variveis de folga.No grfico podemos observar que a soluo tima s pode ser um dos vrtices (pon-tos extremos) do espao soluo pois eles so justamente as solues bsicas prati-cveis. Isto vem do fato de que o espao soluo sempre um conjunto convexo ondecada soluo bsica a interseco de tantas restries quantas forem as variveisde deciso do modelo (duas, x1 e x2 no nosso caso).No caso de termos mais de uma soluo tima, teremos sempreum noinfinito de solues timas pois sero timos todos os pon-tos que unem 2 vrtices (pontos extremos) adjacentes, ou seja,todos os pontos de um dos lados do espao soluo.Os 2 postulados acima nos levam a concluso de que um modelo de programaolinearspodeter2tiposdesoluestimas: ouelanica, ouseja, umnicoponto, ou tem um nmero infinito de pontos timos. Assim, impossvel existir ummodelo de programao linear que tenha, por exemplo, 5 solues timas.Como que j vimos, parece que para achar a soluo tima de ummodelo de Progra-mao Linear basta encontrar as solues bsicas do sistema de equaes linearesformado pelas suas restries, e escolher a melhor, em funo do objetivo, dentreas praticveis.Um exemplo, no entanto, nos mostra que este mtodo totalmente impraticvel.Vamos supor que temos um modelo com 50 restries e 100 variveis. importanteressaltar que um modelo deste tamanho apenas um modelo de programao li-near de tamanho de pequeno para mdio. Quantas solues bsicas teramos queencontrar ?100!50!50!=1029, levaria-se anos mesmo usando-se os computadores mais velozes.Veremos a seguir que o mtodo simplex examina apenas um nomuito pequeno des-tas solues bsicas para encontrar a soluo tima.Vamos ver mais uma definio:Soluo bsica praticvel adjacente: Duas solues bsicas praticveis so ad-jacentes se elas diferem por apenas uma varivel no bsica (bviamente, comoo total de varveis a soma das no bsicas com as bsicas, elas diferem tambmpor uma varivel bsica).Assim, as solues bsicas a seguir, so adjacentes:VB___F1=4900F2=4500F3=80F4=180___VNB_x1=0x2=0_e___F1=2100F2=900x1=40F4=180___VNB_F3=0x2=0_O node solues bsicas praticveis adjacentes cada soluo bsica igual aonmero de variveis de deciso do modelo (duas, x1ex2no nosso caso). Assim,como pode ser visto no grfico onde so mostradas as solues bsicas, a soluo no2.2 Um mtodo no muito eficiente 371 tem duas adjacentes: a no5 e a no8.O Simplex est baseado na seguinte propriedade, cuja prova no mostraremos aquimas que pode ser encontrada em diversos textos:Se uma soluo bsica melhor que as suas adjacentes,entoela a soluo tima.Com base nesta propriedade podemos definir as etapas bsicas do mtodo Simplex:1. Obter uma soluo bsica praticvel inicial. Esta soluo obtida fazendo-seas variveis de deciso como variveis no bsicas,ou seja,iguais a 0. Asvariveis bsicas sero as variveis de folga.2. Dada uma soluo bsica testar se ela melhor que suas adjacentes. Se for, a soluo tima.3. Se no for ir para a melhor soluo bsica adjacente e voltar a etapa 2.Vamos aplicar ento o simplex ao nosso exemplo:(MAX) Z=20x1 + 60x2s.a.70x1 + 70x2 490090x1 + 50x2 45002x1 803x2 180x1,x2 0Vamos introduzir as variveis de folga e numerar as equaes:(0) Z 20x160x2=0(1) 70x1 + 70x2 +F1=4900(2) 90x1 + 50x2 +F2=4500(3) 2x1 +F3=80(4) 3x2 +F4=180Esta forma de um modelo de P.Linear (na verdade um sistema de equaes linea-res) chamada de forma padro (standard). Todas as equaes so de igualdade etodas as constantes do lado direito so 0.Como vemos temos um sistema de equaes lineares com 5 equaes e 7 variveis.Cada soluo bsica ter 7 5=2 variveis no bsicas iguais a 0. O valor das 5restantes obtido da resoluo do sistema de equaes lineares depois de se zeraras variveis no bsicas. No simplex a soluo bsica inicial obtida fazendo-secomo variveis no bsicas (iguais a 0) as variveis de deciso (x1ex2no nossocaso). Assim, a soluo bsica inicial :VB___F1=4900F2=4500F3=80F4=180___VNB_x1=0x2=0_Z=0Embora Z seja uma varivel bsica, ela colocada fora do colchete de variveisbsicas. Veremos mais adiante porque.38 O Mtodo SimplexOlhando agora com mais ateno podemos reparar em mais uma caracterstica daforma padro: varivel bsica s aparece uma nica vez, ou seja, em uma nicaequao com coeficiente igual a 1. Qual a vantagem disto ? A vantagem que ao seeliminar as variveis no bsicas (porque so iguais a zero), obtemos, diretamente,o valor numrico das variveis bsicas.Durante o simplex, nas sucessivas solues bsicas que sero obtidas, trabalhare-mos sempre usando esta forma padro para aproveitar esta propriedade.Como temos uma soluo bsica, temos que testar se ela a soluo tima. Paraser a tima ela tem que ser melhor que as suas adjacentes.Estudando a soluo bsica em questo, vemos que ela tem 2 adjacentes: uma emquex1sairia do time de no bsicas (bviamente uma bsica teria que sair dotime de bsicas) e outra em que x2 sairia do time de no bsicas. importante entender que, por exemplo, x1 sair do time de no bsicas, ou seja dasiguais a zero, implica em ela se tornar bsica, ou seja, maior que 0 (vamos ignoraraqui o fato de que, excepcionalmente, ela pode ser degenerada).Vamos escrever a funo objetivo em funo das variveis de deciso:(0) Z=20x1 + 60x2O que observamos que se x1 se tornar bsica o valor de Z vai aumentar (20 uni-dades por unidade de x1), ou seja vai melhorar a funo objetivo. Isto mostra quea adjacente atual soluo bsica, ou seja aquela em que x1 bsica melhor quea soluo atual.Podemos afirmar ento, que a atual soluo no tima pois pelomenos uma adjacente melhor.Vamos examinar se a outra adjacente, ou seja aquela emx2vai se tornar bsicatambm melhora o valor da funo objetivo. Como podemos ver acima, para cadaunidade que x2 assuma, a funo objetivo aumenta de 60 unidades. Esta adjacentetambm melhor que a soluo atual!A etapa 2 do mtodo simplex diz que se a atual soluo bsica no tima, deve-seir para a melhor adjacente. Matemticamente impossvel saber, a no ser emproblemas pequenos, qual a melhor adjacente. O que na verdade ns fazemos, ir para aquela adjacente que aparenta dar o maior ganho para o valor deZ. Nonosso caso a melhor adjacente aparente aquela em quex2 passaria a ser bsicapois para cada unidade de x2, temos um aumento de 60 em Z contra um aumentode 20 no caso de x1. importante deixar claro que o mtodo simplex funciona, ou seja vai levar-nos asoluo tima, independente da escolha a ser feita. A razo de termos escolhido aque aparenta dar maior ganho prende-se unicamente ao desejo de se fazer, princi-palmente quando se trabalha manualmente, o mnimo de iteraes. Via de regra,embora no obrigatoriamente, quando se escolhe a que d maior ganho este desejo atendido.Escolhemos entox2como a varivel que vai se tornar bsica ou, em outras pa-lavras, a varivel que vai entrar na base. Ela chamada de varivel entrante.Resumindo temos:Candidatas varivel entrante (so sempre as no bsicas):x1 e x2.Varivel entrante:x2Comox2vai entrar na base, ou seja se tornar bsica, uma das atuais variveis2.2 Um mtodo no muito eficiente 39bsicas vai ter que deixar de ser bsica ou em outras palavras, sair da base.Estavarivel chamada de varivel sainte.As candidatas varivel sainte (sempre as variveis bsicas) so:F1, F2, F3 e F4.Neste ponto fica claro porque no colocamos Z no colchete das variveis bsicas.Mesmo sendo uma varivel bsica, Z nunca levada emconta como candidata va-rivel sainte pois ela o objetivo. No teria sentido tir-la da base, transformando-a em varivel no bsica igual a 0.Como escolher a varivel sainte ? Vamos escrever as restries em funo das can-didatas a varivel sainte:(1) F1=4900 70x170x2(2) F2=4500 90x150x2(3) F3=80 2x1(4) F4=180 3x2Na anlise que vamos fazer podemos eliminarx1. Porque ? porquex1 varivelno bsica e no a entrante, ou seja vai permanecer como no bsica, igual a 0.Temos ento:(1) F1=4900 70x2(2) F2=4500 50x2(3) F3=80(4) F4=180 3x2Neste momento, temos que ter ateno em2 pontos: o 1o que estamos trabalhandoem um sistema de equaes lineares e, obviamente, o valor de cada varivel estrelacionado ao valor das demais variveis. O 2o que, como vimos anteriormente,todas as variveis (exceto Z) s podem ser 0. Em outras palavras a nica vari-vel que pode assumir valores negativos Z.Comox2avarivelentranteecadaunidadequeelaassumirvaiaumentaroZem 60, queremos quex2 assuma o maior valor possvel. No entanto este valorest condicionado a que nenhuma outra varivel se torne negativa. Na equao (1)acima, vemos que x2 pode ir at 70 antes que F1 se torne negativa. J na equao(2), x2 s pode ir at 90 pois, acima disto, F2 se tornaria negativa. Pela equao (3)poderamos levar x2 at o . Finalmente na (4) observamos que x2 poderia ir at60.A equao (4) que limita o valor mximo de x2, ou seja x2 no pode passar de 60pois quando ela atinge este valor, F4 chega a zero.ComoF4 foi a varivel que chegou a zero primeiro quando tentvamos atribuir omaior valor possvel para x2 (a entrante), ela ser a varivel sainte.J temos ento o time de variveis bsicas e no bsicas da soluo bsica adja-cente melhor do que a que acabamos de testar. Teremos:VB___F1F2F3x2___VNB_x1=0F4=0_Em um modelo pequeno como o que estamos aplicando o simplex, poder ser ten-tador se obter o valor numrico das variveis bsicas por simples substituio. Emmodelos maiores este procedimento tornaria invivel a obteno da soluo tima.40 O Mtodo SimplexPor esta razo o simplex passa de uma soluo bsica para outra mantendo a es-trutura padro que vimos anteriormente ou seja, varivel bsica aparecendo umanica vez, no sistema de equaes lineares, com coeficiente igual a 1.Comox2, a entrante, vai substituirF4, a sainte, como varivel bsica, temos queconstruir um sistema linear equivalente em quex2 aparea em uma nica equa-o com coeficiente igual a 1 e no aparea nas demais equaes, ou seja tenhacoeficiente igual a zero.Em que equaox2 vai aparecer com coeficiente igual 1 ? Naquela em queF4, asainte, aparecia com coeficiente igual a 1, ou seja a equao (4). Como fazer comque o coeficiente de x2 seja igual a 1 ? Basta dividir ambos os lados da equao por3, obtendo:(4) x2 +13F4=60Como eliminar x2, ou seja fazer seu coeficiente igual a 0, da equao (0) ? Podemosusar 2 procedimentos: o 1o tirar o valor de x2 da nova equao (4) e substituir naequao (0); o 2o, mais elegante, aplicar a propriedade dos sistemas de equaeslineares que diz que um sistema no se altera quando somamos (ou subtramos) uma equao uma outra multiplicada por uma constante.Podemos ento multiplicar a nova equao (4) por 60 e somar a equao (0),ob-tendo:Z 20x160x2=060x2 + 20F4=3600 +Z 20x1 + 20F4=3600Para eliminarx2 da equao (1) usamos o mesmo procedimento, ou seja multipli-camos a nova equao (4) por 70 e somamos a equao (1), obtendo:70x1 + 70x2 +F1=490070x2703F4= 4200 +70x1 +F1703F4=700Processo semelhante para eliminarmosx2da equao (2). Multiplicamos a nova(4) por 50 e somamos a equao (2), obtendo:90x1 + 50x2 +F2=450050x2503F4= 3000 +90x1 +F2503F4=15002.2 Um mtodo no muito eficiente 41Como na equao (3) o coeficiente dex2 j zero, no precisamos fazer qualquertransformao.A nova soluo bsica :(0) Z 20x1 + 20F4=3600(1) 70x1 +F1703F4=700(2) 90x1 +F2503F4=1500(3) 2x1 +F3=80(4) x2 +13F4=60VB___F1=700F2=1500F3=80x2=60___VNB_x1=0F4=0_Z=3600Mais uma vez podemos observar que, eliminadas as variveis no bsicas (=0),obtemos, diretamente, o valor numrico das variveis bsicas.Temos que testar se esta nova soluo bsica melhor que as suas adjacentes, ouseja se ela a tima.Como antes, temos 2 solues adjacentes a esta: uma em que x1 passaria a varivelbsica e outra em queF4 voltaria ao time das bsicas. Vamos analisar a equaode Z:Z=3600 + 20x120F4Sex1passar a bsica, o valor deZ, para cada unidade dex1, aumentar de 20.Logo a atual soluo no tima: j descobrimos uma adjacente melhor.Vamos examinar a outra adjacente possvel, ou seja aquela em queF4 passaria aser varivel bsica. Como todas as variveis, exceto Z, tem que ser 0, qualquervalor atribudo aF4 iria diminuir o valor deZ, logo esta alternativa pior que aatual soluo. Assim x1 a varivel entrante.Para escolher a sainte, vamos escrever as restries em funo das candidatas avarivel sainte, ou seja as atuais variveis bsicas:(1) F1=700 70x1 +703F4(2) F2=1500 90x1 +503F4(3) F3=80 2x1(4) x2=60 13F442 O Mtodo SimplexF4no precisa ser levada em considerao pois no bsica, no a entrante e,portanto, vai continuar sendo igual a 0.Na equao (1) x1 pode ir at 10 antes de F1 se tornar negativa.Pela equao (2),x1 pode ir at 16,67. Na (3), x1 pode ser levado at 40 e pela equao (4), x1 poderiair at o .O limite para o valor dex1 est na equao (1), logoF1 a que chega a zero pri-meiro e ser a varivel sainte.Temos que construir a nova soluo bsica em que x1 vai substituir F1 como vari-vel bsica. Assim, na equao (1), que era onde aparecia a sainte (F1), vamos fazercom que x1 aparea com coeficiente igual a 1, eliminando x1 das demais equaes.Para fazer com quex1fique com coeficiente 1, vamos dividir, ambos os lados, aequao (1) por 70, obtendo:(1) x1 +170F113F4=10Para eliminar x1 da equao (0) podemos tirar o valor de x1 da nova equao (1) esubstituir na equao (0) ou podemos multiplicar a nova equao (1) por 20 e somar equao (0), obtendo:Z 20x1 + 20F4=360020x1 +2070F1203F4=200 +Z+2070F1 +403F4=3800Para eliminar x1 da equao (2), podemos multiplicar a nova equao (1) por 90e somar a eq.(2), obtendo:90x1 +F2503F4=150090x19070F1 + 30F4= 900 +9070F1 +F2 +403F4=600Para eliminar x1 da equao (3), multiplicamos a nova equao (1) por 2 e soma-mos a equao (3), obtendo:2x1 +F3=802x1270F1 +23F4= 20 +270F1 +F3 +23F4=602.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex 43A nova soluo bsica fica ento como:(0) Z+2070F1 +403F4=3800(1) x1 +170F113F4=10(2) 9070F1 +F2 +403F4=600(3) 270F1 +F3 +23F4=60(4) x2 +13F4=60VB___x1=10F2=600F3=60x2=60___VNB_F1=0F4=0_Z=3800Temos que testar se esta soluo a tima. Como antes, ela tem 2 adjacentes: umaem queF1passaria a ser varivel bsica e outra em queF4 que seria a novabsica. Vamos examinar a equao de Z:Z=3800 2070F1403F4Como F1 e F4 s podem assumir valores 0, tanto uma opo quanto outra iriamdiminuir o valor deZse virassem variveis bsicas. Logo,a ltima soluo asoluo tima e pode ser representada como:VB___x1=10F2=600F3=60x2=60___VNB_F1=0F4=0_Z=3800O * representa o valor timo da varivel.2.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex2.3.1 Empate na escolha da varivel entranteSuponha que em um modelo cujo objetivo seja maximizarZ, tenhamos, em deter-minada iterao, a seguinte equao (0):(0) Z 60x160x2=0As variveisx1ex2so as candidatas a varivel entrante e para escolher umadelas escrevemos a equao como:Z=60x1 + 60x2.Tantox1quantox2do, por unidade, o mesmo ganho (60) paraZ. Em resumo44 O Mtodo Simplexh umempate naescolhadavarivelentrante e a escolha deve ser arbrit-ria. No h como prever a escolha que minimizaria o nmero de iteraes a seremrealizadas at se chegar a soluo tima.2.3.2 Empate na escolha da varivel sainteSeja a seguinte soluo bsica (em um modelo de maximizao):(0) Z 20x1 + 20F4=3600(1) 70x1 +F1703F4=700(2) 90x1 +F2503F4=900(3) 2x1 +F3=80(4) x2 +13F4=60VB___F1=700F2=1500F3=80x2=60___VNB_x1=0F4=0_Z=3600Reescrevendo a equao (0), Z=3600+20x1 20F4, podemos ver quex1 avarivel entrante. Para escolher a sainte, vamos explicitar as equaes em funodas candidatas, que so as variveis bsicas:(1) F1=700 70x1 +703F4(2) F2=900 90x1 +503F4(3) F3=80 2x1(4) x2=60 13F4F4pode ser desconsiderada por ser no bsica (=0) e no a entrante. Na 1apodemos levar x1 at 10, na 2atambm podemos lev-lo at 10. Na 3aat 40 e na4aat .Temos ento um empate na escolha da varivel sainte: tanto F1 quanto F2 chegama zero quandox1 chega a 10. Aqui tambm a escolha arbritria, mas vamosveroqueacontecenaprximasoluobsica. Escolhendo, arbritariamente, F1como a sainte a prxima soluo fica como:2.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex 45(0) Z+2070F1 +403F4=3800(1) x1 +170F113F4=10(2) 9070F1 +F2 +403F4=0(3) 270F1 +F3 +23F4=60(4) x2 +13F4=60VB___x1=10F2=0F3=60x2=60___VNB_F1=0F4=0_Z=3800Observando o conjunto de variveis bsicas notamos que uma delas,F2 ou seja ano escolhida no empate, uma varivel bsica degenerada, ou seja, igual a zero.Sempre que houver empate entren candidatas varivel sainte, aparecero, naprxima soluo bsica, n 1 variveis bsicas degeneradas.Este fato no afeta o mtodo e, caso a soluo no seja a tima, o simplexdeve ser continuado normalmente, devendo as variveis degeneradas se-rem tratadas como variveis bsicas normais.Est provado (existem vrios modelos publicados) que o empate na esco-lha da varivel sainte, pode levar o simplex a entrar em loop, ou sejavoltar a uma soluo por onde ele tenha passado. Como este fato ra-rssimo, os pacotes de computador que implementam o simplex, em seuprocesso default, simplesmente ignoram a possibilidade de que a so-luo do modelo pode levar a um loop infinito. A incluso de rotinas(existem vrias) para contornar este problema onera muito, em termosde tempo, a obteno da soluo tima.46 O Mtodo Simplex2.3.3 No existncia de varivel sainteSuponha que na escolha da varivel sainte temos a seguinte situao: x1 a va-rivel entrante e F1, F2 e F3 so as candidatas a varivel sainte. As restries, emfuno das candidatas a sainte so:(1) F1=5 +x1 + 3x2(2) F2=29 2x2(3) F3=12 + 2x1.At onde podemos levar x1 sem tornar negativa qualquer outra varivel ?Observe quex2 varivel no bsica, no entrante ou seja vai continuar comono bsica (=0).Na 1aequao o valor de x1, que s pode ser 0, pode ir at o que F1 no che-gar a zero. Na equao (2) no aparecex1. Logo qualquer valor que ele assumir(at o ) no vai inuenciar o valor de F2. Pela 3aequao, tambmx1 pode ir ato que F3 no chegar a zero.Como vimos, o valor de x1 poder ir at o que nenhuma das candidatas a vari-vel sainte chegar a zero. Em outras palavras, no existe varivel sainte. Quandotemos este caso, temos um modelo com soluo ilimitada ou sejaZ= se oproblema de maximizao ou Z= se o modelo de minimizao.Nomundorealquandoistoaconteceporqueomodelotemalgumerronasuaformulao pois no existe objetivo igual a na vida real.2.3.4 Mltiplas (infinitas) solues timasSeja o seguinte modelo de Programao Linear:(MAX) Z=8x1 + 8x2s.a.2x1 + 2x2 122x1 +x2 9x1 + 3x2 16x1,x2 0Resolvendo graficamente, temos:2.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex 47AZ =14

Z =30

X1X2BComo as retas Z so paralelas a um dos lados do espao soluo, a reta de Z timase confunde com o prprio lado do espao soluo e todos os pontos do segmento dereta (A B) so pontos timos. Como em um segmento de reta temos um noinfinitode pontos temos um noinfinito de solues timas.Como o simplex vai nos mostrar que temos infinitas solues timas ? Aplicando-seo simplex ao modelo temos:(0) Z 8x18x2=0(1) 2x1 + 2x2 +F1=12(2) 2x1 +x2 +F2=9(3) x1 + 3x2 +F3=16VB___F1=12F2=9F3=16___VNB_x1=0x2=0_Z=0Varivel entrante:x1Varivel sainte:F2Nova soluo bsica:(0) Z 4x2 + 4F2=36(1) x2 +F1F2=3(2) x1 +12x2 +12F2=92(3)52x212F2 +F3=23248 O Mtodo SimplexVB___F1=3x1=92F3=232___VNB_x2=0F2=0_Z=36Varivel entrante:x2Varivel sainte:F1Nova soluo bsica:(0) Z+ 4F1=48(1) x2 +F1F2=3(2) x112F1 +F2=3(3) 52F1 + 2F2 +F3=4VB___x2=3x1=3F3=4___VNB_F1=0F2=0_Z=48A soluo tima e o ponto A do grfico, ou seja um dos extremos do segmento dereta timo.Como o simplex nos indica que o modelo tem infinitas solues timas ?Se obser-varmos a equao de Z tima, Z+ 4F1=48, podemos observar que ela tem umacaractersticaincomum: umavarivelnobsica, F2, noaparece, ousejatemcoeficiente igual a0, na equao. O fato de uma, ou mais, variveis no bsicasno aparecerem (coeficiente igual a 0) na equao (0) da soluo tima, indica queo modelo tem infinita solues timas. Como obt-las ?Podemos fazer com queF2, a varivel no bsica que no aparece na equao deZ, seja varivel entrante. Como o seu coeficiente igual a 0, ela no vai alterar ovalor timo de Z.Escolhemos a varivel sainte pelo processo normal e obtemos:Varivel entrante:F2Varivel sainte:F3Nova soluo bsica:(0) Z+ 4F1=48(1) x214F1 +12F3=5(2) x1 +34F112F3=1(3) 54F1 +F2 +12F3=22.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex 49VB___x2=5x1=1F2=2___VNB_F1=0F3=0_Z=48A nova soluo, que tambm tima, o ponto B do grfico, ou seja o outro extremodo segmento de reta.Como o nosso modelo um modelo de 2 variveis de deciso (x1 ex2), o lado doespao soluo um segmento de reta. Para se definir qualquer ponto de um seg-mento de reta precisamos de 2 pontos do segmento. O simplex nos deu os 2 pontos:A:(3,3) e B:(1,5). Como definir genericamente um ponto (a,b) do segmento de retalimitado pelos pontos (3,3) e (1,5) ?Cada ponto timo (a, b) deve obedecer a:___(a, b)=1(3, 3) +2(1, 5)1 +2=11, 2 0Generalizando, se temos n pontos timos (p1, p2, . . . , pn), devemos ter:___(a, b, . . . , n)=1p1 +2p2 +. . . +npn1 +2 +. . . +n=1i 0Resumindo, emummodelodeP.Linearcomnvariveisdedecisoemltiplas(infinitas) soluestimastemosqueencontrarpeloSimplexnpontostimos.Qualquercombinaolineardestesnpontossertambmumpontotimopoisser um dos pontos do lado timo do espao soluo.2.3.5 Modelos de MinimizaoSeja o seguinte modelo de programao linear:(MIN) Z=3x1 + 6x22x3 + 4x4s.a.x1 + 7x2 + 3x3 + 7x4 463x1x2 +x3 + 2x4 82x1 + 3x2x3 +x4 10x1, x2, x3, x4 0Este um modelo de minimizao. O que muda no simplex quando o modelo deminimizao ?Muda o critrio de escolha da varivel entrante: Ser aquela que causar, por uni-dade, a maior diminuio no valor da funo objetivo (Z).Muda o critrio de parada: A soluo ser tima quando nenhuma das candidatas varivel entrante diminuir o valor da funo objetivo (Z) se ela passar a ser b-sica (entrante).No muda o critrio da escolha da varivel sainte: Continua sendo o mesmo.Se for desejvel, possvel trabalhar somente com maximizao no Simplex. Para50 O Mtodo Simplextanto, basta observar o grfico a seguir:F(x)xf(x)-f(x)x0Max[-f(x)]Min[f(x)]O que podemos inferir deste grfico, considerando quef(x) e f(x) so recpro-cas ? O valor do mnimo def(x) igual, em valor absoluto, ao valor do mximode f(x). Tambm podemos observar que o valor, x0, que minimizaf(x) e quemaximiza f(x) o mesmo. Assim sendo, se quisermos achar o mnimo de f(x),podemos multiplicar por 1 e achar o mximo de f(x).No simplex podemos fazer a mesma coisa, qual seja multiplicar a funo objetivopor 1 e resolver por maximizao. Quando tivermos a soluo tima do problemade maximizao basta multiplicar o valor timo de Z por 1 para ter a soluo domodelo de minimizao. Os valores das variveis o mesmo para os 2 problemas.Exerccio: Resolver o modelo acima por minimizao e por maximizao.Resposta: Z= 162.3 Situaes que podem acontecer no Mtodo Simplex 512.3.6 Modelos com variveis irrestritas em sinalComo definido anteriormente, variveis irrestritas em sinal so variveis que po-dem assumir qualquer valor entre e +.Seja o modelo a seguir:(MIN) Z=3x1 + 6x22x3 + 4x4s.a.x1 + 7x2 + 3x3 + 7x4 463x1x2 +x3 + 2x4 82x1 + 3x2x3 +x4 10x1, x3, x4 0x2 irrestrita em sinalO Mtodo Simplex no admite variveis negativas, por esta razo impossvel tra-balhar com o modelo acima sem transform-lo. Como resolver o problema ?Sim-plesmentelembrandoquequalquerquantidadenegativapodeserrepresentadacomo a diferena de 2 quantidades positivas. Assim, por exemplo, 4 pode ser adiferena entre+6 e+10. Aplicando esta deduo ao nosso modelo, substitumosx2 pela diferena de 2 variveis 0 em todo lugar onde x2 aparea.Vamos fazer x2=x5x6. Nosso modelo fica ento como:(MIN) Z=3x1 + 6x56x62x3 + 4x4s.a.x1 + 7x57x6 + 3x3 + 7x4 463x1x5 +x6 +x3 + 2x4 82x1 + 3x53x6x3 +x4 10x1, x3, x4, x5, x6 0Na soluo tima para se obter o valor timo de x2 fazemos:x2=x5x6Exerccio:Resolver o modelo acima.Resposta:Z= 48 x2= 8Nodevemosconfundirumavarivelirrestritaemsinalcomumavarivel, porexemplox3, para a qual exista uma restrio do tipox3 4. Como esta va-rivel pode assumir alguns valores negativos, o que no permitido no simplex,temos que fazer uma substituio. Para isto criamos uma varivel no existenteno modelo, por exemplo x5, e fazemos com que x5 seja igual a x3 + 4. Temos entox3=x5 4. Substitumos, no modelo, cada x3 por x5 4, considerando x5 0.Resolvemos o simplex e o valor timo de x3 ser igual x5452 O Mtodo Simplex2.4 Outras formas de modelos - O Simplex de 2 fasesSeja o seguinte modelo de programao linear:(MAX) Z=4x1 + 3x2s.a.x1 + 2x2=106x1 + 6x2 40x1 2x2 0Vamos resolver este modelo pelo simplex. Podemos escrever a equao de Z como:(0) Z 4x13x2=0A 1arestrio tem uma particularidade: ela uma igualdade ! Sendo uma igual-dade, ela no tem folga. Do ponto de vista do problema fsico, este fato lgico poisa restrio tem que ser satisfeita na igualdade. No entanto, para fazer o simplex,este fato causa um problema pois as variveis de folga so as variveis bsicas dasoluo bsica inicial do simplex.Como precisamos de uma varivel para ser a bsica inicial, vamos criar uma vari-vel. Estas variveis, por no terem qualquer significado com o problema em si, sona verdade um artifcio matemtico, recebem o nome de Variveis Artificiais.Vamos rotular as variveis artificiais como Ai onde, por exemplo, A3 vai represen-tar a varivel artificial colocada na restrio 3.Podemos ento introduzir a varivel artificial na nossa restrio, obtendo:(1) x1 + 2x2 +A1=10Na 2arestrio, que tem o sinal , podemos colocar a varivel de folga:(2) 6x1 + 6x2 +F2=40Na 3arestrio o sinal do tipo . Aqui no temos folga e sim uma eventual sobrase a restrio no for atendida na igualdade. Como todas as variveis, excetoZtem que ser 0, temos que colocar uma varivel de folga com sinal para trans-formar a inequao em equao. Temos ento:(3) x1F3=2Aqui temos outro problema para o simplex: F3 no pode ser usada como varivelbsica inicial pois o seu valor seria igual a 2, o que o simplex no permite. Assim,para ser uma varivel bsica inicial, vamos introduzir tambm uma outra varivelartificial, obtendo:(3) x1F3 +A3=2O nosso sistema de equaes lineares tem ento a seguinte aparncia:(0) Z 4x13x2=0(1) x1 + 2x2 +A1=10(2) 6x1 + 6x2 +F2=40(3) x1F3 +A3=2Temos no sistema 2 variveis artificiais:A1 e A3. Como so artificiais, qual o valorque se espera que estas variveis tenham na soluo tima ? ZERO !Se aplicarmos diretamente o simplex sobre o sistema acima, no teremos nenhumagarantia de que as variveis artificiais sero iguais a0 na soluo tima. Na ver-2.4 Outras formas de modelos - O Simplex de 2 fases 53dadeumvalordiferentedezeroparaqualquerdestasvariveisindicariaqueomodelo no tem soluo praticvel pois qualquer valor(=0) para uma varivelartificial indicaria uma soluo impraticvel.Para resolver isto vamos dividir o simplex em 2 fases: Na primeira vamos abando-nar, provisoriamente, a funo objetivo original e criar uma outra funo objetivo,que chamaremos de W, visando minimizar o somatrio das variveis artificiais. Sea funo objetivo tima desta primeira fase for igual a zero, o modelo tem soluopois as variveis artificiais foram zeradas e podemos ento partir para a 2afaseque objetivar otimizar a funo objetivo original.Voltandoaonossoexemplo, podemoscriarafunoobjetivodafaseIqueser:(MIN) W=A1 +A3 que, como j vimos, equivalente a (MAX) W= A1A3.Esta transformao de minimizao em maximizao no obrigatria e,obvia-mente, poderamos trabalhar com minimizao.O sistema de equaes lineares fica como:(0) W+A1 +A3=0(1) x1 + 2x2 +A1=10(2) 6x1 + 6x2 +F2=40(3) x1F3 +A3=2Neste ponto devemos observar que as variveis A1 e A2 foram criadas para seremas variveis bsicas iniciais. Pela estrutura utilizada no simplex, variveis bsicass devem aparecer uma nica vez com coeficiente igual a 1. Como podemos veracima, A1 e A3 esto aparecendo, indevidamente, na equao (0). Assim, antes decomear o simplex temos que elimin-las de l. Mais uma vez, temos 2 formas defazer isto: obter os valores de A1 e A3 das equaes (1) e (3) e substituir na equao(0) ou multiplicar as equaes (1) e (3) por 1 e som-las equao (0), obtendo:W+A1 +A3=0x12x2A1= 10 +x1 +F3A3= 2W 2x12x2 +F3= 12A soluo bsica inicial fica ento como:(0) W 2x12x2 +F3= 12(1) x1 + 2x2 +A1=10(2) 6x1 + 6x2 +F2=40(3) x1F3 +A3=2VB___A1=10F2=40A3=2___VNB___x1=0x2=0F3=0___W= 12Lembrando que o objetivo maximizar o valor de W, encontramos:Varivel entrante:x1Varivel sainte:A3Nova soluo bsica:54 O Mtodo Simplex(0) W 2x2F3 + 2A3= 8(1) 2x2 +F3 +A1A3=8(2) 6x2 +F2 + 6F36A3=28(3) x1F3 +A3=2VB___A1=8F2=28x1=2___VNB___A3=0x2=0F3=0___W= 8Varivel entrante:x2Varivel sainte:A1Nova soluo bsica:(0) W+A1 +A3=0(1) x2 +12F3 +12A112A3=4(2) F2 + 3F33A13A3=4(3) x1F3 +A3=2VB___x2=4F2=4x1=2___VNB___A3=0A1=0F3=0___W=0Chegamos ao timo da fase I e o valor de W zero ou seja conseguimos levar a zeroas variveis artificiais.Se no timo da fase I o valor timo de W diferente de zero, ou seja o valor timode uma ou mais variveis artificiais diferente de0, significa que o modelo notem soluo praticvel. Quando isto acontece porque no existe nenhum pontoque satisfaa a todas as restries ou, em outras palavras, o espao soluo oconjunto vazio.Como este no foi o caso do nosso exemplo, podemos passar para a fase II. Parafazer isto, eliminamos a equao deWe todas as variveis artificiais. Trazemosde volta a funo objetivo original, ficando nosso sistema como:(0) Z 4x13x2=0(1) x2 +12F3=4(2) F2 + 3F3=4(3) x1F3=2Como x1 e x2 so variveis bsicas, elas tem que ser eliminadas da equao de Z.Podemos tirar o valor dex1 da equao (3) e dex2 da equao (1) e substituir naequao (0). Podemos tambm multiplicar as equaes (1) e (3) por 3 e 4 e somar a2.4 Outras formas de modelos - O Simplex de 2 fases 55equao de Z. Temos ento:Z 4x13x2=03x2 +32F3=12 +4x14F3=8Z 52F3=20A soluo bsica inicial da fase II fica como:(0) Z 52F3=20(1) x2 +12F3=4(2) F2 + 3F3=4(3) x1F3=2VB___x2=4F2=4x1=2___VNB_F3=0_Z=20Lembrando que o objetivo maximizar o valor de Z, temos:Varivel entrante:F3Varivel sainte:F2A nova soluo bsica fica como:(0) Z+56F2=703(1) x216F2=103(2)13F2 +F3=43(3) x1 +13F2=103VB___x2=103F3=43x1=103___VNB_F2=0_Z=703A soluo tima !56 O Mtodo Simplex2.5 Novos algortimosO mtodo Simplex foi desde 1947 (ano em que Dantzig o apresentou) at o final dadcada de 1970 o nico algortimo prtico para a resoluo de modelos de P.Linear.Todos os programas-pacotes, profissionais, para a resoluo de modelos de P.Linearo utilizam apenas incorporando rotinas e artifcios visando diminuir o tempo deprocessamento e reduzir os erros de arredondamento inerentes aos clculos efetu-ados em computador.Em 1979, no entanto, o matemtico russo L.G. Khachian publicou um artigo (Kha-chian, L. G. 1979. APolynomial AlgorithminLinearProgramming. SovietMathematics Doklady, Vol. 20: 191-194) apresentando um algortimo alternativopara o Simplex. Embora tenha tido grande repercusso (a notcia, na poca, saiunos principais jornais do mundo, inclusive no Brasil) o algortimo, de grande sig-nificadoterico, notevenenhumarepercussoprticapoisassoluestimasdemoram muito mais tempo para serem encontradas do que usando-se o Simplex.O Trabalho de Khachian levou, no entanto, a que numerosos pesquisadores tentas-sem caminhos alternativos ao mtodo daquele matemtico.Em1984Karmarkar, umpesquisadordaAT&TBellLaboratories, publicouumartigo (Karmakar, N. 1984. A New Polynomial-Time Algorithm for Linear Pro-gramming. Combinatorica, Vol. 4: 45-68) apresentando um novo algortimo que,para determinados tipos de modelos (milhares de variveis e matrizes esparsas),tem apresentado resultados superiores (mais rpidos) que o Simplex. J existemvrios programas comerciais utilizando o algortimo de Karmakar.Este algortimo,diferentemente do Simplex que pula de um ponto extremo paraoutro (vrtices do espao soluo), um algortimo de ponto-interior, ou seja, elecaminha por pontos dentro do espao soluo at chegar ao vrtice timo. Um dosproblemas desta nova abordagem encontrar o ponto inicial do algortimo. Esteponto tem que ser um ponto do interior do espao soluo e em modelos com milha-res de variveis e restries, no tarefa simples encontr-lo.Como no poderia deixar de ser, existe muita pesquisa em relao ao assunto (hmuito dinheiro envolvido) e certo que esta nova variante de resoluo de modelosde P.Linear ser aperfeioada.2.6 Exerccios 572.6 ExercciosA) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=3x1 + 2x2s.a.2x1 + 4x2 22x1 + 4x2 102x1x2 7x13x2 1x1, x2 0B) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=4x1 + 3x2 + 6x3s.a.3x1 +x2 + 3x3 302x1 + 2x2 + 3x3 40xi 0C) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=2x1x2 +x3s.a.3x1 +x2 +x3 60x1x2 + 2x3 10x1 +x2x3 20xi 058 O Mtodo SimplexD) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=6x1 + 2x2 + 10x3 + 8x4s.a.3x13x2 + 2x3 + 8x4 255x1 + 6x24x34x4 204x12x2 +x3 + 3x4=10xi 0E) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=x1 +x2 +x3 +x4s.a.x1 +x2 2x3 +x4 5xi 0F) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=2x1 + 3x2s.a.x1 + 2x2 4x1 +x2=3xi 02.6 Exerccios 59G) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MIN) Z=4x1 + 3x2s.a.2x1 +x2 103x1 + 2x2 6x1 +x2 6xi 0H) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z= x1 + 4x2s.a.3x1 +x2 6x1 + 2x2 10x2 3x1 Irrestrita em sinalI) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=x1 + 2x2x3s.a.2x1x2 + 3x3 54x1x2 +x3 4x1 + 3x2 6x1, x2 Irrestritas em sinalx3 060 O Mtodo SimplexJ) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4s.a.5x1 +x2 +x3 + 8x4=102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4=10xi 0K) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MIN) Z=2x1 + 3x2 +x3s.a.x14x22x3 83x1 + 2x2 6xi 0L) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z=10x1 + 15x2 + 12x3s.a.5x1 + 3x2 +x3 95x1 + 6x2 + 15x3 152x1 +x2 +x3 5xi 02.7 Respostas dos exerccios da seo 2.6 61M) Resolva o modelo a seguir pelo Simplex:(MAX) Z= 2x12x2 + 2x3s.a.x1 + 2x2 + 4x3=202x1x2 + 12x3 60xi 02.7 Respostas dos exerccios da seo 2.6A) x1=5 x2=3 Z=21B) x1=0 x2=10 x3=203Z=70C) x1=15 x2=5 x3=0 Z=25D) Soluo Ilimitada (Z= )E) Pontos timos obtidos pelo simplex: (2,0,5,0)(0,2,5,0)(0,2,0,5)(2,0,0,5) Z=7(a, b, c, d)=1(2, 0, 5, 0) +2(0, 2, 5, 0) +3(0, 2, 0, 5) +4(2, 0, 0, 5)i 0

i=1F) x1=2 x2=1 Z=7G) x1=4 x2=2 Z=22H) Substitua x1 por (x3x4).Substitua x2 por (x53).Aplique o simplex e substitua de volta. x1= 27x2=367Z=1467I) Substitua x1 e x2 pela diferena de 2 variveis 0.Aplique o simplex e substitua de volta.x1=95x2=75x3=0 Z=235J) x1=53x2=53x3=0 x4=0 Z=403K) x1=45x2=95x3=0 Z=7 (Infinitas solues)L) Sem soluo praticvelM) x1=0 x2=0 x3=5 Z=1062 O Mtodo SimplexCaptulo 3Anlise depois do timoVimosnoscaptulosanteriorescomoobterumasoluotimaparaummodelodeP.Linear. Normalmente, emaplicaesreais, somenteasoluotimanosuficiente para se ter todo tipo de informaes que queremos. Assim, comum sedesejarsaber o que aconteceria com asoluo domodelose um dosparmetrossofresse algum tipo de variao. Uma alternativa bvia seria resolver o modelomodificado e obter a nova soluo tima. Este processo no entanto demorado ecaro pois implicaria no uso, repetida vezes, do computador.Veremosnestecaptuloque, semresolveromodelonovamente, possvelobterquase todas as informaes necessrias em conseqncia de variaes nos parme-tros do modelo.Paraumamelhorcompreensodastcnicasusadasvamostrabalharcomose-guinte exemplo:Uma empresa produz 3 produtos em uma de suas fbricas. Na fabricao dos 3produtos, 3 insumos so crticos em termos de restringir a capacidade de produopossvel: a mo de obra disponvel, a quantidade de matria prima e o espao paraa armazenagem das unidades produzidas. Assim, o Deptode Produo j sabe que,para o prximo ms, a fbrica ter disponvel 100 kilos de matria prima, 360 m2de rea para estocar as unidades produzidas e 400 homenshora de mo de obra.Cada unidade produzida do produto 1 consome 1 kilo de matria prima, precisa de6m2para ser armazenada e necessita de 8 homenshora em termos de mo deobra. J cada unidade do produto 2 consome 2 kilos de matria prima, necessitatambm de 6m2para ser armazenada e envolve o uso de 4 homenshora de mode obra. Por sua vez, cada unidade produzida do produto 3 precisa de 2 kilos dematria prima, 4m2para ser armazenada e o trabalho equivalente a 4 homenshora.Reduzindo do preo de venda todos os custos diretos e indiretos, foi determinadoque o lucro unitrio igual a $4 para o produto 1, $5 para o produto 2 e $3 paracada unidade produzida do produto 3.Levando em conta que o objetivo da empresa maximizar o lucro com a produoe a venda dos 3 produtos foi formulado o seguinte modelo de P.Linear visando de-terminar as quantidades que deveriam ser fabricadas de cada produto no prximoms.Variveis de deciso:64 Anlise depois do timoxinodeunidadesaseremproduzidas, noprximoms, doprodutoi(i =1, 2, 3).O modelo fica como:(MAX) Z=4x1 + 5x2 + 3x3s.ax1 + 2x2 + 2x3 100 (matria prima kilos)6x1 + 6x2 + 4x3 360 (espao m2)8x1 + 4x2 + 4x3 400 (mo de obra HH)xi 0Submetido ao Simplex, a soluo apresentou as seguintes solues bsicas onde (I) a soluo inicial e (F) a soluo final ou seja, a tima:Soluo (I)(0) Z 4x15x23x3=0(1) x1 + 2x2 + 2x3 +F1=100(2) 6x1 + 6x2 + 4x3 +F2=360(3) 8x1 + 4x2 + 4x3 +F3=400VB___F1=100F2=360F3=400___VNB___x1=0x2=0x3=0___Z=0Varivel entrante: x2Varivel Sainte: F1Nova soluo bsica:(0) Z 32x1 + 2x3 +52F1=250(1)12x1 +x2 +x3 +12F1=50(2) 3x12x33F1 +F2=60(3) 6x1F1 +F3=2003.1 Anlise de Sensibilidade 65VB___x2=50F2=60F3=200___VNB___x1=0F1=0x3=0___Z=250Varivel entrante: x1Varivel Sainte: F2Soluo (F)(0) Z+x3 +F1 +12F2=280(1) x2 +43x3 +F116F2=40(2) x123x3F1 +13F2=20(3) 4x3 + 4F12F2 +F3=80VB___x2=40x1=20F3=80___VNB___F1=0F2=0x3=0___Z=2803.1 Anlise de SensibilidadeNa prtica, muito raro que se consiga determinar os parmetros (cj, aij e bi) dedeterminadomodelocomcertezaabsoluta. Narealidadenormalmenteospar-metros do modelo so simples estimativas sujeitas a certo grau de incerteza. Emconsequncia deste fato normal que se queira avaliar os efeitos de mudanas nasoluo tima encontrada, se alteramos um ou mais parmetros do modelo, logica-mente sem precisar resolver o modelo novamente.Assim a Anlise de Sensibilidade, tambm chamada de Anlise de Ps-Optima-lidade, o estudo do efeito na soluo tima de alteraes efetuadas nosparmetros de determinado modelo. Por ser demorada e cara, a anlise feitaresolvendo-se novamente o modelo s adotada em ltimo caso. As diferentes ca-tegorias de alteraes que podemos analisar so:a) Alteraes nos coeficientes da funo objetivo (cj).b) Alteraes nas constantes do lado direito (bi).c) Alteraes nos coeficientes das restries (aij).d) Incluso de uma nova varivel.66 Anlise depois do timo3.2 Anlise de Sensibilidade dos Coeficientes da Funo Ob-jetivo3.2.1 De variveis no bsicas na soluo timaVamos examinar, por exemplo, a varivel x3 que representa o node unidades a se-rem produzidas do produto 3.Vamos responder a seguinte questo: Se o coeficiente de x3 na funo objetivo (lu-cro unitrio) for menor que 3, a soluo (F) continua sendo a tima ?Por intuio, podemos ver que a resposta para esta pergunta sim, pois se um lu-cro igual a 3 no foi suficiente para tirar x3 de zero, um lucro menor, menos ainda.Mas se o coeficiente de x3 for maior que 3, a soluo (F) continua sendo a tima ?Para responder a esta pergunta podemos imaginar um coeficiente, para x3, maiorque 3 na soluo inicial e, baseando-nos nas propriedades dos sistemas de equaeslineares, calcular como ficaria a equao de Z (equao 0) no sistema timo (F).Lembre-se que para saber se uma soluo tima ou no, temos que examinar aequao de Z (equao 0).Seja ento 3 + o coeficiente de x3 , onde 0.Temos ento:(0)IZ 4x15x2(3 + )x3=0Podemos escrever:(0)IZ 4x15x23x3x3=0Se chamarmos x3 de k, podemos escrever:(0)IZ 4x15x23x3 +k=0Se com esta equao (0) no sistema inicial (I) aplicssemos o Simplex, como elachegaria no sistema (F) ?Considerando que a varivelk s aparece na equao (0) e como durante o sim-plex somamos e subtramos equao (0) mltiplos das outras equaes (restries)nas quais k no aparece, teramos:(0)FZ+x3 +k +F1 +12F2=280Substituindo pelo valor de k, temos:(0)FZ+x3x3 +F1 +12F2=280(0)FZ+ (1 )x3 +F1 +12F2=280A equao acima seria a equao (0) da soluo (F) se o coeficiente original dex3fosse 3 + . Para esta soluo continuar sen