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Princípio Fundamental da Contagem Análise Combinatória
Prof.: Denilson Miranda
Princípio Fundamental da Contagem
(Análise Combinatória)
1 - Contagem e análise combinatória
Exemplo: Imagine que você possui em seu armário
3 calças, 4 camisetas e 2 pares de tênis. De quantas
maneiras diferentes você pode se vestir?
O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que para
obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta
multiplicar o numero de calças pelo número de
camisetas e pelo número de tênis. Em outras palavras,
quando temos acontecimentos sucessivos e
independentes, bastas multiplicar as quantidades
de possibilidades de cada acontecimento.
Exemplo: Quantos números de 3 algarismos
podemos formar utilizando apenas os algarismos 1,
2, 3, 4, 5 e 6?
*E se o exemplo dissesse que os números de 3
algarismos formados devem ter os 3 algarismos
distintos?
**E se o exemplo houvesse dito que, além de
formar números com algarismos distintos, o
algarismo 2 sempre deve estar presente na
primeira, segunda ou terceira posição?
Uma dica para você saber quando somar e quando
multiplicar é perceber a presença das expressões
“E” e “OU”.
Fique atento!!!!
- O princípio multiplicativo é utilizado no caso de
eventos independentes (a escolha da camiseta
independe da escolha da calça, que independe da
escolha do tênis);
- O princípio aditivo é utilizado no caso de eventos
mutuamente excludentes (a presença do 2 em uma
posição exclui a possibilidade de ele estar nas
demais posições).
1. (ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closed
90 pares de sapatos, todos devidamente
acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90.
Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de
sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira
do closed quatro caixas de sapatos. O número de
retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo
que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é
igual a:
a) 681384 c) 43262 b) 382426
d) 7488 e) 2120
2 - Permutação simples
Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5
pessoas que devem se sentar em uma fileira do
cinema, uma ao lado da outra. De quantas
maneiras diferentes podemos sentar essas
pessoas?
Quantos anagramas podemos formar utilizado
todas as letras da palavra BRASIL?
Obs.: Anagrama é uma “palavra” formada pela
transposição (troca ou “embaralhamento”) das
letras de outra palavra.
O Princípio Fundamental da Contagem também é
chamado de Princípio Multiplicativo, pois o
número total de possibilidades é o produto dos
números de possibilidades em cada etapa.
A permutação simples é um caso
particular de arranjo, onde os elementos
formam agrupamentos que se
diferenciarão somente pela ordem, ou seja,
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 1
Princípio Fundamental da Contagem Análise Combinatória
Prof.: Denilson Miranda
Atenção !!!!
0! = 1 e 1! = 1
𝑛!
(𝑛! − 1)=
𝑛 . 𝑛 − 1 !
𝑛 − 1 != 𝑛
n! + x! = (n + x)! e n! - x! = (n - x)!
n! . x! = (n . x)!
3 - Permutação com repetição
Quantos anagramas podemos formar com a
palavra B R A S I L E I R O ?
Note que no exemplo anterior temos 2 letras
repetidas 2 vezes (R e I), neste caso temos que
contar somente uma vezes cada letra, pois
independe da posição dela.
Neste caso, quando há repetição devemos usar a
fórmula da permutação simples, porém dividir o
resultado pelo número de permutação de cada
letra repetida.
PR(10 ; 2 e 2) = 5!
2!𝑥 2!= 10 anagrama
Generalizando, temos que:
PR(n ; m e p) = 𝑛 !
𝑚 !𝑥 𝑝!
4 - Permutação Circular
Ocorre quando temos grupos com m elementos
distintos formando uma circunferência.
PC = ( m – 1 )!
Exemplo: Seja um conjunto com 10 cientistas. De
quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-
se junto a uma mesa circular para realizar uma
experiência sem que haja repetição das posições?
P(10) = (10-1)! = 9! = 362880
Exemplo: 5 crianças desejam brincar de roda. De
quantos modos distintos estas crianças podem formar a
roda sem que haja repetição?
P(5) = (5-1)! = 4! = 24
1. (ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre
elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de
um desfile de modas. A promotora do desfile
determinou que as modelos não desfilarão
sozinhas, mas sempre em filas formadas por
exatamente quatro das modelos. Além disso, a
última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou
Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não
poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de
diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420 b) 480 c) 360
d) 240 e) 60
2. (CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Quatro
crianças devem ficar uma ao lado da outra para
uma fotografia. Se a criança mais alta deve ficar em
uma das extremidades, o número de arrumações
possíveis dessas crianças é:
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
3. (FDC – MAPA – 2010) O número máximo
possível de placas de automóvel em nosso país,
com três letras e quatro algarismos, começadas
pela letra B e terminadas pelo algarismo 9, é:
a) 650.000 b) 676.000 c) 175.760
d) 10.000 e) 26.000