Guilherme Schubert - Metodo Expositivo de Teoria Musical Parte 1
135781509 metodo-cross-1
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Método de Cross 1
ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS II
3º Ano / 2º Semestre – 2001/2002
Prof. João Miranda Guedes (DEC)
MÉTODO DE CROSS
Seja a seguinte estrutura hiperstática:
R1 R2 p
L
E,I
Os momentos nos apoios têm valor conhecido, apresentado em tabelas apropriadas, neste caso:
12
2
21LpRR ⋅
−=−=
Consideremos agora na estrutura anterior um apoio duplo intermédio, i.e. duas barras:
R1 R3 p
L1 L2
E,I
=
R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p
L1 L2
R12 R32 M2=-R20
+
L1 L2
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 2
Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p
L1 L2
R10R’20
R30 p
R’’20 +=
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2 concentrado aplicado na direcção 2:
R*12 R*32∆2=1
k’22
k’’22
L1 L2
[ ] { } { } { }222222 0 MKK =+∆⋅′′+′
21
2
2222
22
44
12
⋅⋅+
⋅⋅
⋅−−
=′′+′
=∆
LIE
LIE
Lp
KKM
i.e.
R12 R’22
R32
R’’22
+
∆2
22222
2222222
22222
2222222
MKK
KKR
MKK
KKR
⋅′′+′
′′=∆⋅′′=′′
⋅′′+′
′=∆⋅′=′
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 3
O momento flector na extremidade das barras é proporcional à rigidez à rotação das barras no nó. Somando então as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R1 R’2
R3 p
R’’2 +
∆2
( )
( )202222
222022202
202222
222022202
RKK
KRRRR
RKK
KRRRR
−⋅′′+′
′′+′′=′′+′′=′′
−⋅′′+′
′+′=′+′=′
Os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à rotação da barra e a rigidez à rotação do nó.
Consideremos agora a estrutura anterior constituida por barras axialmente indeformáveis e tal que a barra da esquerda é vertical:
p
L1
E, I
L2
=
p
L1
+
L2
R20
E, I
L1
E, I
M2=-R20
L2
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 4
Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
p
L1
=
L2
R20= R’20+ R’’20
R’’20
p
R’20
+
∆2
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2 concentrado aplicado na direcção 2:
L1
E, I
L2
K’22 K’’22
∆2=1
[ ] { } { } { }222222 0 MKK =+∆⋅′′+′
21
2
2222
22
44
12
⋅⋅+
⋅⋅
⋅−−
=′′+′
=∆
LIE
LIE
Lp
KKM
i.e.
R’’22R’22
+
∆2
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 5
22222
2222222
22222
2222222
MKK
KKR
MKK
KKR
⋅′′+′
′′=∆⋅′′=′′
⋅′′+′
′=∆⋅′=′
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R’’2 p
R’2
+
∆2
( )
( )202222
222022202
202222
222022202
RKK
KRRRR
RKK
KRRRR
−⋅′′+′
′′+′′=′′+′′=′′
−⋅′′+′
′+′=′+′=′
Os momentos flectores nas extremidades das barras são iguais aos calculados na estrutura anterior.
Consideremos agora a mesma estrutura, constituida por barras axialmente indeformáveis, mas supondo a barra da esquerda numa posição «diagonal»:
p
L1
L2
E, I
=
R20
p
+
E, I
L2
L1
M2=-R20
E, I
L2
L1
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 6
Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
R20
p
+
E, I
L2
L1
R20= R’20+ R’’20
R’’20 p
R’20
+
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2 concentrado aplicado na direcção 2:
E, I
L2
L1
K’22K’’22
∆2=1
[ ] { } { } { }222222 0 MKK =+∆⋅′′+′
21
2
2222
22
44
12
⋅⋅+
⋅⋅
⋅−−
=′′+′
=∆
LIE
LIE
Lp
KKM
i.e.
R’’22R’22
+
∆2
22222
2222222
22222
2222222
MKK
KKR
MKK
KKR
⋅′′+′
′′=∆⋅′′=′′
⋅′′+′
′=∆⋅′=′
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 7
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R’’2 p
R’2
+
∆2
( )
( )202222
222022202
202222
222022202
RKK
KRRRR
RKK
KRRRR
−⋅′′+′
′′+′′=′′+′′=′′
−⋅′′+′
′+′=′+′=′
Os momentos flectores nas extremidades das barras são ainda iguais aos calculados na estrutura anterior, i.e. não dependem da orientação das barras.
Seja agora uma estrutura constituida por 3 barras axialmente indeformáveis:
p
E, I
α
L2
A
B
C
D
1
2
3
L3L1 . cos α
=
p
E, I
α
L2
L3 L1 . cos α
R20
1
2
3
E, I
α
L2
L3 L1 . cos α
+M2=-R20
1
2
3
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 8
Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
p
E, I
α
(R20)1
(R20)2
(R20)3
1
2
3
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2 concentrado aplicado na direcção 2:
E, I
α
1
2
3 (K22)1
(K22)2
(K22)3
∆2=1
( ) ( ) ( )[ ] { } { } { }22322222122 0 MKKK =+∆⋅++
( ) ( ) ( )321
3
2
322222122
22
444
12
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅
⋅−−
=++
=∆
LIE
LIE
LIE
Lp
KKKM
i.e.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 9
E, I
α
1
2
3 (R22)1
(R22)2
(R22)3
∆2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
322222122
3222322322
2322222122
2222222222
2322222122
1222122122
MKKK
KKR
MKKK
KKR
MKKK
KKR
⋅++
=∆⋅=
⋅++
=∆⋅=
⋅++
=∆⋅=
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
p
E, I
α
L2
L3L1 . cos α
1
2
3 (R2)1
(R2)2
(R2)3
∆2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )20
322222122
32232032232032
20322222122
22222022222022
20322222122
12212012212012
RKKK
KRRRR
RKKK
KRRRR
RKKK
KRRRR
−⋅++
+=+=
−⋅++
+=+=
−⋅++
+=+=
Mais uma vez, os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à rotação da barra e a rigidez à rotação do nó. Note ainda que, por um lado, caso não exista qualquer momento concentrado aplicado no nó livre,
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 10
( ) ( ) ( ) 0322212 =++ RRR
e por outro, o equilíbrio do nó transfere para as extremidades das barras opostas ao nó que sofre rotação um momento que, por sobreposição dos efeitos anteriores, é igual a
p
E, I
α
1
2
3 (R2)1
(R2)2
(R2)3
∆2
(Ra)1
(Ra)2
(Ra)3
=
p
E, I
α
(R20)1
(R20)2
(R20)3
1
2
3
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
(Ra0)1
(Ra0)2
(Ra0)3
E, I
α
1
2
3 (K22)1
(K22)2
(K22)3
∆2=1
+
(Ra2)1=(Ka2)1
(Ra2)2=(Ka2)2
(Ra2)3=(Ka2)3
x ∆1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )20
322222122
32233032303
20322222122
32222022202
20322222122
12211012101
RKKK
KrRRRR
RKKK
KrRRRR
RKKK
KrRRRR
aaaa
aaaa
aaaa
−⋅++
⋅+=+=
−⋅++
⋅+=+=
−⋅++
⋅+=+=
i.e. são calculados adicionando aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, um valor r do momento absorvido pela barra na extremidade que sofre rotação, sendo que para a barra i,
( ) ( )iaii KKr 222 =⋅
No caso de barras de secção constante, temos:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 11
5,024 =⇒
⋅⋅=
⋅⋅⋅ i
iii r
LIE
LIEr
Para finalizar esta primeira abordagem do Método de Cross, iremos considerar ainda na estrutura anterior um apoio duplo na extremidade direita da barra 3,
p
E, I
α
L2
A
B
C
D
1
2
3
L3L1 . cos α
A resolução da estrutura determina para os esforços nas extremidades das barras
p
E, I
α
1
2
3 (R2)1
(R2)2
(R2)3
∆2
(Ra)1
(Ra)2
(Ra)3
=
p
E, I
α
(R20)1
(R20)2
(R20)3
1
2
3
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
(Ra0)1
(Ra0)2
E, I
α
1
2
3 (K22)1
(K22)2
(K22)3
∆2=1
+
(Ra2)1=(Ka2)1
(Ra2)2=(Ka2)2
x ∆1
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )20
322222122
32232032232032
20322222122
32222022222022
20322222122
12212012212012
RKKK
KRRRR
RKKK
KRRRR
RKKK
KRRRR
−⋅++
+=+=
−⋅++
+=+=
−⋅++
+=+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 03
20322222122
32222022202
20322222122
12211012101
=
−⋅++
⋅+=+=
−⋅++
⋅+=+=
a
aaaa
aaaa
R
RKKK
KrRRRR
RKKK
KrRRRR
A rigidez à rotação da barra 3 no apoio fictício, (K22)3, é, neste caso, igual a (3. E.I / L)3 e não a (4.E.I / L)3, sendo (Ra0)3 = r3 = 0. Por outro lado, os valores cocientes da rigidez à rotação
das barras nos nós designam-se por coeficientes de distribuição de rigidez nos nós