14 Micro 2 - Exercícios

Captulo 2

Equilbrio Geral - Ecincia noSentido de Pareto

Exerccio 2.1 (Argumento intuitivo das taxas marginais de substituio na fronteira dacaixa de Edgeworth). Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotaesagregadas dos dois bens so dadas por A1 = A2 = 1. Utilizando a tcnica aprendida nas notasde aula mostre que se [(1; x2A) ; (0; x

2B)] eciente no sentido de Pareto, ento TMgS (A)

TMgS (B) e que se [(x1A; 1) ; (x1B; 0)] eciente no sentido de Pareto, ento TMgS (A)

TMgS (B).

Soluo. Suponha que [(1; x2A) ; (0; x2B)] eciente, mas TMgS (A) = < = TMgS (B).

Fixe tal que < < e considere a alocao [(1 "; x2A + ") ; (0 + "; x2B ")], para" bem pequeno. Observe que os dois consumidores estariam mais felizes, contradizendo aecincia da alocao original. Ns conclumos que TMgS (A) TMgS (B). Agora suponhaque [(x1A; 1) ; (x

1B; 0)] eciente, mas TMgS (A) = > = TMgS (B). Novamente, xe

tal que > > e considere a alocao [(x1A + "; 1 ") ; (x1B "; 0 + ")], para " bempequeno. Observe que os dois consumidores estariam mais felizes, o que uma contradio.Ns conclumos que TMgS (A) TMgS (B) : k

Exerccio 2.2. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotaes iniciaisagregadas so dadas por A1 = A2 = 1 e as funes de utilidade dos consumidores sodadas por U i (x1i ; x

2i ) = (x

1i )(x2i )

1, para algum 0 < < 1, para i = A;B. Ou seja, asutilidades dos dois consumidores so medidas pela mesma funo Cobb-Douglas. Utilize oque aprendemos nas notas de aula e no exerccio 2.1 acima para encontrar uma expressoalgbrica que caracterize a curva de contrato desta economia. Ou seja, ache uma expresso dotipo x2A = f (x

1A) que caracterize todas as alocaes ecientes para esta economia. Represente

gracamente, na caixa de Edgeworth, esta curva de contrato.

Soluo. Vamos primeiro tentar identicar as alocaes ecientes no interior da caixa deEdgeworth. Como vimos nas notas de aula, tais alocaes sero caracterizadas por TMgS (A) =

5

6 CAPTULO 2. EQUILBRIO GERAL - EFICINCIA NO SENTIDO DE PARETO

TMgS (B). Primeiramente, observe que

TMgS (A) =UA1 (x

1A; x

2A)

UA2 (x1A; x

2A)

=x2Ax1A

1(1 )

x1Ax2A

=

1 x2Ax1A:

Como a funo de utilidade do consumidor B exatamente igual, ns sabemos que

TMgS (B) =

1 x2Bx1B:

Igualando as duas expresses acima ns temos:

1 x2Ax1A

=

1 x2Bx1B.

Agora lembre-se que qualquer alocao factvel tem que satisfazer x1B = 1x1A e x2B = 1x2A.Usando tal fato na expresso acima ns camos com a seguinte expresso:

1 x2Ax1A

=

1 1 x2A1 x1A()

x2Ax1A

=

1 x2A1 x1A

()

x2A x1Ax2A = x1A x1Ax2A()

x2A = x1A:

Ou seja, as alocaes ecientes no interior da caixa de Edgeworth esto todas localizadasna diagonal.2.1 Ser que existem alocaes ecientes na fronteira da caixa de Edgeworth?Infelizmente este exemplo um pouco problemtico, j que a derivada da funo Cobb-douglasacima no est bem denida na fronteira da caixa de Edgeworth. Vamos ignorar um pouco talfato e usar a conveno de que toda vez que tivermos uma diviso por zero, ento a expressoser igual a innito. Vamos primeiro vericar se algum ponto da forma [(0; x2A) ; (1; x

2B)]

2.1Neste ponto, eu aconselho que vocs sempre voltem na condio de igualdade entre as taxas marginaisde substituio e veriquem se tais alocaes realmente satisfazem aquela condio. uma boa forma devocs conferirem que no erraram nenhuma conta.

7eciente.2.2 Calculando as taxas marginais de substituio ns temos:

TMgS (A) =

1 x2A0

= 1>

1 x2B1

= TMgS (B) ;

contrariando a condio de ecincia em tal caso. Similarmente, em alocaes da forma[(x1A; 0) ; (x

1B; 1)], ns temos:

TMgS (A) =

1 0

x1A= 0

0 tais que quando (w1A; w

2A) = (1 t1; t2) e (w1B; w2B) = (t1; 1 t2),

a alocao resultante do equilbrio competitivo da economia exatamente (x1A; x2A) =

12; 45

e (x1B; x

2B) =

12; 15

. Encontre o vetor de preos e as transferncias t1 e t2

relacionadas a tal equilbrio (Ateno! Existem vrias combinaes de transfernciasque geram a alocao citada. Vocs podem escolher qualquer uma dentre as combinaesque funcionam.)

Soluo.

(a) Como somente preos relativos so determinados em equilbrio, ns podemos escolhero preo de um dos bens como numerrio. Faamos isto com o bem 1, ento. O nossotrabalho agora encontrar o preo p do bem 2 que equilibra os mercados. Como osdois consumidores so Cobb-douglas e a funo demanda deste tipo de consumidor nossa velha conhecida, ns podemos escrever as demandas diretamente. O consumidorA gastar 1=3 da sua renda com o bem 1 e 2=3 com o bem 2. Ou seja, sua demandaser dada por

x1A =1

3

w1A + pw2A

1=1

3e

x2A =2

3

w1A + pw2A

p=2

3p:

J o consumidor B gasta 2=3 de sua renda com o bem 1 e 1=3 com o bem 2. Ou seja,sua demanda dada por

x1B =2

3

w1B + pw2B

1=2p

3e

x2B =1

3

w1B + pw2B

p=1

3:

A condio de equilbrio de mercado para o bem 1, por exemplo,

x1A + x1B = 1;

o que equivalente a1

3+2p

3= 1:

16 CAPTULO 3. EQUILBRIO GERAL - EQUILBRIO COMPETITIVO

fcil ver que a nica soluo para a equao acima p = 1. Substituindo tal valornas expresses para as demandas acima, ns obtemos a seguinte alocao no equilbrio(x1A; x

2A) =

13; 23

e (x1B; x

2B) =

23; 13

:

(b) Agora as demandas dos consumidores so dadas por

x1A =1

3

1 t1 + pt21

;

x2A =2

3

1 t1 + pt2p

;

x1B =2

3

t1 + (1 t2) p1

e

x2B =1

3

t1 + (1 t2) pp

:

Dividindo a expresso para x1A pela expresso para x2A ns obtemos

p

2=x1Ax2A

=5

8:

Ou seja, o preo em um equilbrio associado alocao citada tem que ser p = 5=4. Deposse de tal preo agora ns podemos tentar encontrar valores de t1 e t2 que nos dem aalocao desejada. Como a questo j disse, vrios valores de t1 e t2 podem ser usadospara tanto. Isto ocorre porque todas as equaes geradas pelas funes demanda acimaso linearmente dependentes quando p = 5=4. Tentemos achar valores de t1 e t2 quefaam x1A assumir o valor desejado, ento. Ou seja, tentemos encontrar valores de t1 et2 que resolvam a seguinte equao:

1

2=1

3

1 t1 + 54t21

:

A equao acima pode ser escrita de forma simplicada como

5t2 4t1 = 2:

Possveis solues para a equao acima so (t1; t2) =0; 2

5

, (t1; t2) =

12; 45

, (t1; t2) =

14; 35

, etc.. fcil checar que qualquer das combinaes de transferncias acima de

fato gera a alocao desejada. k

Captulo 4

Equilbrio Geral - Economias comProduo

Exerccio 4.1. Considere uma economia com um consumidor e uma rma. Nesta economiaexistem dois insumos para produo. Trabalho, representado pela letra L e terra, representadopela letra T . O consumidor recebe uma dotao inicial de 15 unidades de L e 10 unidadesde T . Trabalho e terra so utilizados para produzir dois tipos de bens, mas, representadopela letra A e Bandanas, representado pela letra B. Suponha que a tecnologia de produode mas seja dada pela seguinte funo de produo:

A = min fL; Tg :Ou seja, para produzir uma unidade de ma necessrio utilizar pelo menos uma unidade detrabalho e uma unidade de terra. Por outro lado, para se produzir uma unidade de Bandanas necessrio se utilizar uma unidade de trabalho. Ou seja, Bandana tem a seguinte funode produo:

B = L:

Para nalizar a descrio de nossa economia, suponha que as preferncias do nosso consumidorsejam dadas pela seguinte funo de utilidade:

U (A;B) = A34B

14 :4.1

Calcule o equilbrio competitivo desta economia.

Soluo. Como sabemos que apenas preos relativos so determinados em um equilbriocompetitivo, conveniente escolhermos logo um dos preos como numerrio. Faamos, ento,pL = 1. O nosso objetivo agora encontrar pT ; pA e pB. Vamos primeiro analizar o problemada produo de mas. Neste caso o problema da rma pode ser escrito como:

max(L;T )

pAmin fL; Tg L pTT:4.2

A primeira coisa que podemos perceber no problema acima que claramente a rma nuncavai querer usar uma quantidade desigual dos dois insumos, certo? Isto nos permite escrever4.1 isto mesmo, a utilidade do consumidor s depende de quanto ele consome de mas e bandanas.4.2Ou seja, o problema da rma escolher quanto ela vai usar dos insumos L e T na produo de mas

com o objetivo de maximizar o seu lucro.

17

18 CAPTULO 4. EQUILBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUO

o problema acima somente em termos de L. Ou seja, o problema da rma pode ser escritocomo

maxLpAL (1 + pT )L

Sejam LA e TA as quantidades dos insumos L e T que resolvem o problema de produo demas. Usando apenas lgica, podemos concluir que a soluo do problema acima tem asseguintes caractersticas:

TA = LA =1, se pA > 1 + pT ;TA = LA = 0, se pA < 1 + pT ;

TA = LA 0, se pA = 1 + pT :De fato, se pA > 1 + pT , ento a rma obtm um lucro estritamente positivo com qualquerunidade vendida do bem A. Portanto, ela vai querer produzir uma quantidade ilimitada dobem. Claramente esta uma situao em que um equilbrio competitivo no poder existir.Por outro lado, se pA < 1 + pT , ento a rma obteria um lucro negativo com qualquerunidade vendida do bem A. Ento, claro que neste caso a rma no iria querer produzirnada. Finalmente, se pA = 1 + pT , independentemente da quantidade produzida pela rma,o seu lucro ser zero. Neste caso, todos os valores de LA e TA satisfazendo LA = TA sosolues para o problema da rma. Analisemos agora o problema de produo de bandanas.Neste caso o problema da rma pode ser escrito como

max(L;T )

pBL L pTT

A primeira coisa que podemos notar no problema acima, que obviamente a rma escolherusar zero unidades do bem T , j que este no usado na fabricao de bandanas. O problemaacima reduz-se para

maxLpBL L

Chamando de LB; TB os valores de L e T que solucionam o problema de produo debandanas e fazendo uma anlise similar ao problema de produo de mas ns chegamos seguinte caracterizao:

TB = 0

LB = 1, se pB > 1;LB = 0, se pB < 1;

LB 0, se pB = 1:O raciocnio para se chegar s condies acima exatamente o mesmo do problema anterior.Para podermos encontrar o equilbrio competitivo desta economia, falta agora resolvermoso problema do consumidor. Este pode ser escrito como:

max(L;T;A;B)

A34B

14

sujeito a

pAA+ pBB + L+ pTT 15 + 10pTA;B;L; T 0:

19

Mas observe que a utilidade do consumidor no depende de quanto ele possui dos bens L eT . Portanto, bvio que a soluo do problema acima ter Lc = Tc = 0.4.3 Isto nos permiteescrever o problema acima de forma simplicada como:

max(A;B)

A34B

14

sujeito a

pAA+ pBB 15 + 10pTA;B 0:

Agora o problema se torna o de um consumidor Cobb-douglas e ns j sabemos que suasoluo ter o consumidor gastando 3=4 de sua renda com o bem A e 1=4 com o bem B. Ouseja, a soluo do problema acima ser

Ac =3

4

15 + 10pTpA

e Bc =1

4

15 + 10pTpB

:

Agora ns j temos tudo que precisamos para podermos encontrar um vetor de preos queequilibre a nossa economia. Comecemos equilibrando o mercado para o bem T , ento. Acondio de equilbrio de mercado para o bem T dada por:

Tc + TA + TB = 10:4.4

Acima ns vimos que Tc = TB = 0. Portanto, a condio acima reduz-se para TA = 10.Dada a caracterizao da soluo de produo de mas acima, fcil ver que o equilbriocompetitivo tem que estar ocorrendo em um ponto em que

pA = 1 + pT :

Isto implica que em equilbrio ns tambm temos LA = 10. Tentemos agora equilibrar omercado para o bem L. A condio de equilbrio de mercado para tal bem dada por

Lc + LA + LB = 15:

Usando o que aprendemos acima tal condio pode ser simplicada para

10 + LB = 15:4.5

Ou seja, em equilbrio ns temos LB = 5. Novamente, da caracterizao da soluo doproblema de produo de bandanas ns aprendemos que um vetor de preos que equilibre anossa economia tem que satisfazer

pB = 1:

4.3Notao: Chamaremos de (Lc; Tc; Ac; Bc) a cesta de consumo que resolve o problema do consumidor.4.4Ou seja, o que o consumidor consome de T mais o que usado de T na produo de mas e bandanas

tem que ser igual dotao inicial do bem T .4.5Usamos aqui os fatos de que do problema do consumidor ns sabemos que Lc = 0 e na anlise acima

aprendemos que LA = 10:


Finalmente, vamos agora equilibrar o mercado para o bemA. Como acima ns j aprendemosque a rma produzir 10 unidades do bem A, a condio de equilbrio para o mercado de talbem pode ser escrita simplesmente como

Ac = 10:

O que em termos da soluo do problema do consumidor torna-se

3

4

15 + 10pTpA

= 10:

Lembre-se que acima ns aprendemos que pA = 1 + pT . Portanto, podemos escrever acondio acima como

3

4

15 + 10pT1 + pT

= 10;

o que nos d pT = 1=2 e, consequentemente, pA = 3=2.4.6 Portanto, o nosso equilbriocompetitivo consistir da alocao (Lc; Tc; Ac; Bc) = (0; 0; 10; 5), (LA; TA; AA) = (10; 10; 10)e (LB; TB; BB) = (5; 0; 5), e do vetor de preos (pL; pT ; pA; pB) = (1; 1=2; 3=2; 1): kExerccio 4.2. Considere uma economia como a estudada nas notas de aula. Isto , umaeconomia com um insumo x, dois bens produzidos, y e z, dois consumidores, A e B, eduas rmas, f e g. As funes de produo das duas rmas so dadas por fy(xfy) = axfy ,fz(xfz) = cxfz , gy

xgy= bxgy e gz(xgz) = dxgz , em que a > b e d > c.

(a) Mostre que em qualquer plano de produo eciente para esta economia somente aempresa f produz o bem y e somente a empresa g produz o bem z:

(b) Escolha o preo do bem x como numerrio. Isto , faa px = 1. Mostre que emqualquer equilbrio competitivo da economia acima, em que quantidades positivas dosbens y e z sejam produzidas, o vetor de preos (1; py; pz) sempre o mesmo. Istoocorre independentemente de quais sejam as funes de utilidade dos consumidores,independentemente de quais sejam as dotaes iniciais do bem x e independentementede como as aes das rmas estejam distribudas entre os consumidores (Dica: se talresultado independente das funes de utilidade dos consumidores, ento provavelmenteele s depende do problema das rmas. A letra (a) facilita a soluo, mas, embora dmais trabalho, tambm d para resolver a questo sem utiliz-la.).

Soluo.

(a) Suponha que (xfy ; xfz) exgy ; xgz

seja um plano de produo eciente. Dena xy :=

xfy + xgy e xz := xfz + xgz . Por denio, ns sabemos que (xfy ; xgy) soluo para oseguinte problema:

maxxf ;xg

axf + bxg

4.6Neste ponto sempre uma boa idia voltar ao problema do consumidor e vericar que o vetor de preosencontrado realmente faz o consumidor escolher consumir 10 unidades de A e 5 unidades de B.

21

sujeito axf + xg = xy

Mas bvio que a nica soluo para o problema acima xf = xy e xg = 0.4.7 Ouseja, xfy = xy e xgy = 0. Um raciocnio inteiramente anlogo mostra que xfz = 0 exgz = xz:

(b) Seguindo a dica, olhemos para o problema das rmas, ento. Estudemos primeiro oproblema da rma f :

maxxfy ;xfz

pyaxfy + pzcxfz (xfy + xfz)

Obviamente, se py > 1=a ou pz > 1=c, a rma poderia obter um lucro innitoproduzindo uma quantidade innita de um dos bens. Logo, como por hiptese oproblema acima tem soluo, ns temos que ter py 1=a e pz 1=c. Se py < 1=a, arma tem prejuzo quando produz uma quantidade positiva do bem y. Pela letra (a),ns sabemos que a rma f produz uma quantidade positva do bem y, logo ns temosque ter py = 1=a. Exatamente o mesmo raciocnio, agora aplicado ao problema darma g, mostra que pz = 1=d: k

Exerccio 4.3. Considere a economia no exemplo 1 das notas de aula sobre economias comproduo. possvel mostrar que a alocao (x1A; x

2A) = (1=4; 1=4), (x

1B; x

2B) = (3=4; 7=4)

e (y1; y2) = (1; 2) eciente no sentido de Pareto. Aquele exemplo satisfaz as condiesdo segundo teorema do bem-estar, portanto, sabemos que com a correta redistribuio dasdotaes iniciais e da propriedade da rma existir um equilbrio competitivo que gera aalocao acima. Encontre um destes equilbrios (Dica: do problema do consumidor A vocj consegue descobrir qual vai ser o vetor de preos no equilbrio. A partir da, encontraruma distribuio de dotao inicial e de propriedade da rma que leve a um equilbrio coma alocao acima fcil).

Soluo. Vamos primeiro estudar um pouco as caractersticas da alocao que temos emmos. Primeiramente, observe que os dois consumidores juntos consomem uma unidade dobem 1 e a rma utiliza outra unidade do bem 1 em seu processo de produo. Portanto,como era o caso no exemplo das notas de aula, a dotao inicial agregada do bem 1 tem queser igual a 2. Isto

w1A + w1B = 2:

Similarmente, os dois consumidores juntos consomem 2 unidades do bem 2 e a rma produzas mesmas 2 unidades do bem 2. Portanto, novamente como nas notas de aula, a dotaoinicial agregada do bem 2 tem que ser igual a zero. Ou seja,

w2A = w2B = 0:

Na nossa economia teremos ainda um vetor (A; B) que representa a parcela dos lucros darma que cada consumidor tem direito. Para completar esta anlise preliminar lembre-seque em um equilbrio competitivo s preos relativos esto determinados, portanto, ns

4.7 claro que implicitamente o problema acima tambm tem a restrio xf ; xg 0:


podemos escolher um dos preos como numerrio. Faamos, ento p1 = 1. O nosso vetor depreos agora assume o formato (p1; p2) = (1; p). O nosso trabalho agora encontrar w1A; w

1B,

(A; B) e p, de modo que dados w1A; w1B, (A; B), o vetor de preos (1; p) e a alocao

(x1A; x2A) = (1=4; 1=4), (x

1B; x

2B) = (3=4; 7=4), (y

1; y2) = (1; 2) constituam um equilbriocompetitivo. Seguindo a dica do problema, vamos primeiramente olhar para o problema doconsumidor A. Tal problema pode ser escrito como

max(x1A;x2A)

x1A 12x2A 12

sujeito a

x1A + px2A w1A + A

x1A; x2A 0:

O consumidor acima o nosso velho amigo Cobb-douglas e ns j sabemos que a soluo detal problema dada por

x1A =1

2

w1A + A

1e x2A =

1

2

w1A + A

p:

Se dividirmos x1A por x2A ns obtemos

x1Ax2A

= p:

Lembre-se que estamos procurando um vetor de preos que leve cesta de consumo (x1A; x2A) =

(1=4; 1=4) no equilbrio. Da condio acima ns vemos que tal vetor de preos ter quesatisfazer p = 1. Ou seja, conforme a dica do problema nos tinha informado, do problemado consumidor A ns j conseguimos descobrir qual vetor de preos estar associado como equilbrio competitivo que estamos tentando construir. Dado que o segundo teorema dobem-estar nos garante que vai existir um equilbrio competitivo com tal alocao, ns jsabemos que se tentarmos resolver o problema da rma com o vetor de preos em questons teremos que obter exatamente (y1; y2) = (1; 2). S por desencargo de conscincia vamoschecar se isto realmente acontece. Lembre-se que o problema da rma

maxy1p2y1 12 y1:

A condio de primeira ordem do problema acima nos d

py1 1

2 = 1;

o que pode ser simplicado paray1 = p2:

Como ns j aprendemos que p = 1, ns vericamos que de fato sob tal vetor de preosa rma realmente escolhe y1 = 1, o que gera um nvel de produo y2 = 2. Ns tambm

23

podemos observar que em tal situao o lucro da rma ser = 1. Finalmente, vamos olharpara o problema do consumidor B:

max(x1B ;x2B)

x1B + x2B

sujeito a

x1B + px2B w1B + B

x1B; x2B 0:

Como ns sabemos que um equilbrio competitivo com o vetor de preos e a alocao emquesto vai existir, ns tambm j sabemos que com a correta distribuio de renda a cesta(x1B; x

2B) = (3=4; 7=4) ser uma soluo para o problema acima. Neste caso fcil vericar

que tal fato verdade, j que, conforme aprendemos nas notas de aula, com p = 1, qualquercombinao de x1B e x

2B que esgote a renda do consumidor B ser soluo para tal problema.

Lembre-se que queremos que o consumidor B consuma a cesta (x1B; x2B) = (3=4; 7=4). Sob

o vetor de preos em questo isto implica em um gasto igual a 5=2. De forma similar, nsqueremos que o consumidor A consuma a cesta (x1A; x

2A) = (1=4; 1=4), o que d um gasto

igual a 1=2. Portanto, tudo que temos que fazer agora escolher uma dotao inicial e umvetor (A; B) tais que a renda de A seja 1=2 e a renda de B seja 5=2. Existem innitascombinaes que geram tais rendas. A tabela abaixo mostra algumas possibilidades:

w1A w1B (A; B)

1=2 3=2 (0; 1)0 2 (1=2; 1=2)1=4 7=4 (1=4; 3=4)

: k

Captulo 5

Bem-estar Social5.1

Exerccio 5.1. Considere uma situao em que os agentes tm preferncias sobre um parde alternativas x e y. Mostre que o funcional de bem-estar social dado pela regra de votaopor maioria simples Paretiano e satisfaz as propriedades Anonimidade, Neutralidade entreAlternativas e Resposta Positiva.

Soluo. Lembre-se que, dada a notao introduzida nas notas de aula, o funcional debem-estar social dado pela regra da votao por maioria simples pode ser representadopela seguinte frmula:

fS (f1; :::; fN) =

8 0;

0 sePN

i=1 fi = 0;

1 se PNi=1 fi < 0:Primeiramente, note que se (f1; :::; fN) = (1; :::; 1), ento

PNi=1 fi = N > 0. Similarmente, se

(f1; :::; fN) = (1; :::;1), entoPN

i=1 fi = N < 0. Ento, fS(1; :::; 1) = 1 e fS(1; :::;1) =1, o que implica que a regra da maioria paretiana. Agora, como zemos nas notas deaula, para um determinado perl (f1; :::; fN) dena n+ (f1; :::; fN) como o nmero de 1sem (f1; :::; fN). Similarmente, dena n (f1; :::; fN) como o nmero de -1s em (f1; :::; fN).Observe que

PNi=1 fi = n

+ (f1; :::; fN)n (f1; :::; fN). Desta forma, ns podemos reescrevera frmula da regra da maioria como

fS (f1; :::; fN) =

8 n (f1; :::; fN) ;0 se n+ (f1; :::; fN) = n (f1; :::; fN) ;

1 se n+ (f1; :::; fN) < n (f1; :::; fN) :

Mas agora evidente que o valor fS (f1; :::; fN) s depende do nmero de 1s e -1s no perl(f1; :::; fN) e, consequentemente, a regra da maioria satisfaz Anonimidade. Agora observe

5.1Quando eu imprimo o texto na minha impressora, algumas expresses que tm um smbolo de prefernciacomo sobrescrito aparecem apenas como um til. Isto , a expresso %% aparece apenas como %~, quandoimpressa. Ou seja, o arquivo visualisado corretamente na tela do computador, mas a impresso apresentatal problema. A nica forma que eu encontrei para resolver isto foi imprimir o arquivo como imagem. Nomeu caso isto feito selecionando imprimir, depois clicando no boto avanado e depois selecionando a opoimprimir como imagem. Isto s uma dica caso algum tenha o mesmo problema.

25

26 CAPTULO 5. BEM-ESTAR SOCIAL

que para um dado perl (f1; :::; fN), n+(f1; :::; fN) = n(f1; :::;fN) e n(f1; :::; fN) =n+(f1; :::;fN). Note que se fS(f1; :::; fN) = 1, o que equivalente a dizer que n+(f1; :::; fN) >n(f1; :::; fN), ns claramente teremos n+ (f1; :::;fN) < n (f1; :::;fN), o que equivalentea dizer que fS (f1; :::;fN) = 1. Similarmente, se fS (f1; :::; fN) = 0, o que equivalente adizer que n+ (f1; :::; fN) = n (f1; :::; fN), ns teremos n+ (f1; :::;fN) = n (f1; :::;fN),o que equivalente a dizer que fS (f1; :::;fN) = 0. Finalmente, se fS (f1; :::; fN) = 1, oque equivalente a dizer que n+ (f1; :::; fN) < n (f1; :::; fN), ns teremos n+ (f1; :::;fN) >n (f1; :::;fN), o equivale a dizer que fS (f1; :::;fN) = 1. Portanto, em todas assituaes possveis ns temos fS (f1; :::;fN) = fS (f1; :::; fN), o que implica que a regrada maioria satisfaz Neutralidade entre Alternativas. Para nalizar, suponha que o perl(f1; :::; fN) seja tal que fS (f1; :::; fN) 0. Ns sabemos que isto equivalente a dizer quen+ (f1; :::; fN) n (f1; :::; fN). Seja agora (f^1; :::; f^N) um perl tal que f^i fi pra todo i,com desigualdade estrita para algum i. Mas isto implica que n+(f^1; :::; f^N) n+ (f1; :::; fN)e n (f1; :::; fN) n(f^1; :::; f^N), com pelo menos uma destas duas desigualdades estrita.Mas ento, claramente ns temos n+(f^1; :::; f^N) > n(f^1; :::; f^N), o que equivalente a dizerque fS(f^1; :::; f^N) = 1. Ou seja, a regra da maioria satisfaz Resposta Positiva. Isto completaa soluo do exerccio. kExerccio 5.2. Complete mais dois passos da demonstrao do Teorema de Impossibilidadede Arrow para dois agentes e trs alternativas. Mais especicamente, usando o que foiaprendido nos passos 1 e 2 nas notas de aula mostre que para qualquer perl (%1;%2) emque z 2 y, ns temos que ter z (%1;%2)S y e, posteriormente, mostre que para qualquer perl(%1;%2) em que x 2 y, ns temos que ter x (%1;%2)S y:Soluo. Considere o seguinte perl: %1= (x; y; z) e %2= (z; x; y). Pela propriedade deunanimidade, ns sabemos que para tal perl ns temos que ter x (%1;%2)S y. Pelo passo 1na demonstrao nas notas de aula, ns tambm sabemos que para tal perl ns temos queter z (%1;%2)S x. Mas ento, usando a transitividade de %(%1;%2)S , ns obtemos z (%1;%2)S y.Por IAI, ns aprendemos que para qualquer perl em que y 1 z e z 2 y ns teremosz (%1;%2)S y. Mas para pers em que z 1 y e z 2 y, Paretianismo imediatamente implicaque z (%1;%2)S y. Com isto ns conclumos que para qualquer perl em que z 2 y nsnecessariamente teremos z (%1;%2)S y, como queramos.Considere agora o perl %1= (y; x; z) e %2= (x; z; y). Por unanimidade, ns sabemos que

x (%1;%2)S z. Pelo que ns aprendemos na primeira parte do exerccio, ns tambm temos queter z (%1;%2)S y. Mas ento, usando a transitividade de %(%1;%2)S ns obtemos x (%1;%2)S y.Agora, por IAI, ns conclumos que para qualquer perl em que y 1 x e x 2 y ns temosque ter x (%1;%2)S y. Novamente, como por Paretianismo ns temos x (%1;%2)S y para todosos pers em que x 1 y e x 2 y, ns conclumos que x (%1;%2)S y para qualquer perl emque x 2 y. Isto completa a soluo do exerccio. kExerccio 5.3. Suponha que estejamos em uma economia como a da seo 4 das notasde aula. Ou seja, os agentes tm preferncias sobre suas cestas de consumo individual.Seja

x11; :::; x

K1

; :::;

x1N ; :::; x

KN

uma alocao eciente no sentido de Pareto. Mostre que

existe um agente i que no inveja ningum. Ou seja, mostre que existe um agente i tal queU i

x1i ; :::; x

Ki U i x1i ; :::; xKi pra todo i:

27

Soluo. Suponha quex11; :::; x

K1

; :::;

x1N ; :::; x

KN

seja eciente, mas todos os agentes

invejem algum. Ou seja, suponha que para todo i exista j tal que U ix1j ; :::; x

Kj

>

U ix1i ; :::; x

Ki

. Comecemos pelo agente 1. Por hiptese, existe um agente i (1) tal que

U ix1i(1); :::; x

Ki(1)

> U i

x1i ; :::; x

Ki

. Agora observe que por hiptese o agente i (1) tambm

inveja algum. Ou seja, se chamarmos este algum de i2 (1) ns teremos U i(1)x1i2(1); :::; x

Ki2(1)

>

U i(1)x1i(1); :::; x

Ki(1)

. Mas, por hiptese tambm existir um agente i3 (1) que o agente i2 (1)

invejar, e assim por diante. Se continuarmos procedendo desta forma, ns acabaremoscom uma sequncia dada por 1; i (1) ; i2 (1) ; i3 (1) ; :::; tal que para todo j 0 o agenteij (1) inveje o agente ij+1 (1).5.2 Agora observe que na nossa economia ns temos umnmero nito, N , de agentes. Obviamente, existir j > 0 tal que ij+1 (1) = il (1) paraalgum l < j. Ou seja, existir um indivduo ij (1) que invejar algum que j apareceuanteriormente na sequncia. Seja j o menor valor de j para que isto acontece, e sejail (1) o indivduo que ij

(1) inveja. Pela discusso acima ns sabemos que l < j. Agora

olhemos para a seguinte sequncia nita de agentes: il (1) ; il+1 (1) ; :::; ij(1). Observe que na

sequncia acima todo agente inveja o agente posterior a ele e o ltimo agente, ij(1), inveja

o primeiro agente, il (1). Ou seja, na sequncia acima temos um crculo de inveja. Masento, olhemos para a alocao

x^11; :::; x^

K1

; :::;

x^1N ; :::; x^

KN

em que para l j j 1,

(x^1ij(1); :::; x^Kij(1)) = (x

1ij+1(1); :::; x

Kij+1(1)) e (x^

1ij (1); :::; x^

kij (1)) = (x

1il(1); :::; xK

il(1)). Para os demais

agentes i denax^1i ; :::; x^

Ki

=x1i ; :::; x

Ki

. Primeiramente, observe que tudo que zemos foi

redistribuir as cestas de consumo que tnhamos na alocaox11; :::; x

K1

; :::;

x1N ; :::; x

KN

,

portanto sex11; :::; x

K1

; :::;

x1N ; :::; x

KN

era factvel, ento

x^11; :::; x^

K1

; :::;

x^1N ; :::; x^

KN

tambm factvel. Alm disto, por construo, para l j j, ns temos U j(x^1j ; :::; x^Kj ) >U j(x1j ; :::; x

Kj ). Para os demais indivduos ns temos

x^1i ; :::; x^

Ki

=x1i ; :::; x

Ki

, portanto,

U ix^1i ; :::; x^

Ki

= U i

x1i ; :::; x

Ki

. Mas ento a alocao

x^11; :::; x^

K1

; :::;

x^1N ; :::; x^

KN

melhora

estritamente a situao de alguns indivduos na economia sem piorar a situao de nenhumoutro. Isto contradiz a ecincia no sentido de Pareto de

x11; :::; x

K1

; :::;

x1N ; :::; x

KN

.

Ns temos, ento, que concluir que a nossa hiptese inicial no verdadeira. Ou seja, temque existir algum indivduo i na nossa economia que no inveje ningum, como queramosdemonstrar. kExerccio 5.4. Suponha que estejamos em uma situao com 3 alternativas fx; y; zg e trsagentes fA;B;Cg. As preferncias dos agentes so dadas pela tabela abaixo:

A B Cx y zy z xz x y

:

Ou seja, o agente A prefere x a y e prefere y a z, e assim por diante. Suponha que nossatarefa seja escolher uma das alternativas acima com o intuito de fazer o melhor para asociedade. Considere o seguinte mtodo: primeiro escolha um par de alternativas e realizeuma votao entre os agentes. Feito isto, pegue a alternativa vencedora da votao anteriore realize uma nova votao contra a alternativa que cou de fora da primeira votao.5.2Ns estamos adotando aqui a conveno de que o agente i0 (1) simplesmente o agente 1.

28 CAPTULO 5. BEM-ESTAR SOCIAL

(a) Mostre que tal procedimento totalmente manipulvel. Isto , mostre que de acordo coma ordem de votao que escolhermos ns podemos inuenciar na escolha nal.

(b) Suponha agora que ns usemos estas votaes dois a dois para denir a nossa prefernciasocial entre as alternativas. Ou seja, uma alternativa ser socialmente prefervel aoutra se mais agentes a considerarem melhor do que a outra. Chame a prefernciasocial denida desta forma de %S. No difcil ver que tal mtodo para deniruma preferncia social satisfaz Paretianismo e IAI, mas obviamente no ditarorial.Parece, ento, que algo mais fundamental no est correto aqui. Discuta.

Soluo.

(a) Suponha que primeiro faamos uma votao entre x e y. Neste caso x ter 2 votos contraapenas 1 voto de y. Ou seja, x vencer a votao. Agora se zermos uma votao entrex e z, z seria a alternativa que obteria 2 votos e venceria a eleio. Neste caso, ento,a escolha social seria z. Suponha agora que primeiro comecemos com uma votaoentre y e z. Neste caso y recebe 2 votos e vence a votao. Mas agora quando zermosuma votao entre x e y, x quem receber 2 votos. Neste caso a escolha social seriax. Finalmente, se iniciarmos com uma votao entre x e z, vemos que z vence talvotao por 2 a 1. Mas quando nalmente realizarmos uma votao entre z e y, y quem vencer a votao por 2 a 1. Ou seja, neste caso a escolha social seria y. Nsmostramos, ento, que se pudermos controlar a ordem da votao entre as alternativasns podemos fazer com que a escolha social seja qualquer uma que quisermos.

(b) Utilizando a regra proposta no exerccio ns somos obrigados a concluir que x S y,z S x e y S z. Como foi apontado pelo enunciado do exerccio, tal procedimentode fato satisfaz Paretianismo e IAI, e no ditatorial. No entanto, isto no umacontradio ao Teorema da Impossibilidade de Arrow. Note que a preferncia socialobtida com tal procedimento no transitiva e esta uma das hipteses do teoremade Arrow. Note, tambm, que exatamente a intransitividade da preferncia socialdenida desta forma que gera o fenmeno descrito no item (a). O processo de escolhapor votao realmente escolhe a alternativa preferida entre um par de alternativas, mascomo a preferncia social resultante no transitiva, dependendo da ordem em que nscomparamos as alternativas ns obtemos uma escolha diferente. k

Captulo 6

Monoplio

Exerccio 6.1 (Imposto sobre os lucros). Considere o exemplo 1 das notas de aula sobremonoplio. Lembre-se que naquele exemplo ns tnhamos dois bens, x e y e um consumidorcom funo de utilidade U (x; y) = x+ 2

py. Tambm tnhamos uma tecnologia de produo

dada por y =px, ou seja, o bem x usado como insumo para produzir o bem y. Finalmente,

o consumidor tinha uma dotao inicial wx do bem x.

(a) Calcule o nvel de produo em equilbrio quando a rma age como monopolista (Dica:Quase todo o trabalho j est feito nas notas de aula. Tudo que voc tem a fazer pegar a expresso encontrada l e usar uma condio de equilbrio de mercado).

(b) Suponha agora que o governo resolva impor um imposto proporcional sobre o lucro domonopolista. Isto , se o monopolista tiver um lucro ele ter que pagar um valort de imposto, em que 0 < t < 1. O valor arrecadado com o imposto sobre os lucrosdo monopolista ser repassado diretamente ao consumidor na forma de um subsdio demontante xo.6.1 Calcule o nvel de produo de equilbrio agora.

(c) Se voc fez as contas corretamente, voc percebeu que o nvel de produo no item (b) exatamente o mesmo do item (a). De acordo com tal modelo, parece no haver nenhumajusticativa para a imposio de um imposto sobre os lucros das rmas. claro queo modelo acima tem uma sria limitao que faz com que o modelo por denio jignore um possvel efeito de tal imposto. Que limitao e que efeito so estes?6.2

Soluo.

(a) Nas notas de aula ns chegamos seguinte expresso caracterizando o nvel de produode monoplio:

1

2

1py= 2

pwx x:

6.1Ou seja, o consumidor ver tal subsdio como algo totalmente exgeno e totalmente independente dassuas aes.6.2O modelo obviamente tem vrias limitaes, mas tem uma que claramente mais relevante para a

discusso aqui.

29

30 CAPTULO 6. MONOPLIO

Mas dada a nossa tecnologia de produo, ns sabemos que y =pwx x. Usando isto

na expresso acima ns camos com

1

2

1py= 2y;

o que nos d um nvel de produo

y =1

2

13p2:

(b) Agora o problema do consumidor vira

max(x;y)

x+ 2py

sujeito ax+ py = wx + + s;

em que s o subsdio que este recebe do governo. Repetindo os passos nas notas deaula ns vemos que as condies de primeira ordem do problema do consumidor aindanos do a mesma condio que antes. Ou seja, ns chegamos a

1py= p:

Dada a caracterizao da funo demanda inversa do consumidor obtida na expressoacima, o problema da rma monopolista pode agora ser escrito como

= maxxf(1 t)

1ppxf

pxf xf

!

Mas a condio de primeira ordem do problema acima exatamente a mesma que nstnhamos no caso sem imposto.6.3 Nas notas de aula ns j vimos que tal condioimplicava que

1

2

1py= 2

pwx x:

Ou seja, se novamente usarmos a observao de que y =pwx x em equilbrio, ns

obteremos o mesmo nvel de produo que obtivemos antes.

(c) A grande limitao de tal modelo que ele s tem um consumidor. Suponha queo modelo tivesse dois consumidores. Neste caso, o nvel de produo de equilbriogeralmente vai depender das dotaes iniciais dos agentes e de como as aes da rmaesto divididas entre os consumidores. Porm, se o governo impuser um imposto sobreo lucro da rma e redistribu-lo entre os consumidores de acordo com o percentual

6.3Isto no deve ser nenhuma surpresa. claro que o valor de xf que maximiza ppxf xf tambm

maximiza ppxf xf

para qualquer > 0:

31

de aes da rma que cada consumidor possui, ns obteremos o mesmo resultado queobtivemos agora. Ou seja, a alocao de equilbrio ser exatamente a mesma. Mas, claro, isto s ocorre se o governo usar como parmetro de distribuio exatamente opercentual de aes que cada consumidor possui. Se o governo utilizar qualquer outraforma para calcular a redistribuio do imposto, a alocao de equilbrio ser diferente.Em resumo, um modelo com apenas um consumidor, por denio, ignora os possveisefeitos de redistribuio de renda que um imposto sobre o lucro da rma monopolistapode ter. k

Exerccio 6.2. Suponha que a rma F produza um determinado bem y e que a sua funocusto seja dada por

C (y) = y2:

Ou seja, para produzir y unidades do bem a rma gasta y2. Seja a funo demanda inversado bem y dada por

p (y) = 3 y:(a) Calcule o preo e a quantidade produzida do bem y quando o mercado competitivo

(rma age como tomadora de preos) e quando a rma age como monopolista.

(b) Suponha agora que o governo, na tentativa de eliminar a inecincia do monoplio,implemente o seguinte esquema de incentivo. O governo pagar um bnus de s reaispor cada real vendido pela rma. Isto , se a rma obtiver uma receita de x reais coma venda do bem y, ento o governo lhe pagar um bnus de sx reais. Calcule o valorde s que faz com que a rma produza a quantidade eciente (o valor encontrado nocaso competitivo).

Soluo.

(a) Quando a rma age como tomadora de preos o seu problema pode ser escrito como

maxypy y2

A condio de primeira ordem para o problema acima nos d

p = 2y:

Dada a curva de demanda inversa da economia, a oferta e a demanda s estaroequilibradas se

2y = 3 y;o que implica que

yc = 1

epc = 2:

Quando a rma age como monopolista o seu problema pode ser escrito como

maxy(3 y) y y2


A condio de primeira ordem para o problema acima

3 4y = 0;o que nos d

ym =3

4e, consequentemente,

pm =9

4:

(b) O problema da rma agora pode ser escrito como

maxy(3 y) y (1 + s) y2

A condio de primeira ordem para o problema acima

y (1 + s) + (3 y) (1 + s) 2y = 0:Fazendo y = 1 na expresso acima, ns obtemos s = 1. k

Exerccio 6.3. Uma empresa monopolista produz um bem q de acordo com uma funocusto dada por c (q) = q + q2. Suponha que a curva de demanda inversa do mercado sejadada por p (q) = 13 q.

(a) Calcule a quantidade q produzida pelo monopolista. Qual o seu lucro?

(b) Suponha agora que, embora a empresa monopolista funcione em um mercado protegidocontra a importao, esta tenha a opo de vender o seu bem no mercado exterior. Maisespecicamente, o monopolista tem a opo de vender o bem no mercado domstico,em que este enfrenta uma curva de demanda inversa dada por pd (qd) = 13 qd,mas tem tambm a opo de vender o bem no mercado internacional por um preopi = 11. O preo do bem no mercado internacional no depende da quantidade qivendida pelo monopolista neste mercado. A funo custo da rma continua sendodada por c (q) = q + q2. A diferena que agora q = qd + qi. Quanto a rma venderno mercado domstico e no mercado internacional? Qual o seu lucro agora? (Dica: Aintuio pode ser traioeira aqui. melhor conar na matemtica e resolver o problemado monopolista completo.)

Soluo.

(a) Neste caso o problema do monopolista

maxq(13 q) q q q2

A condio de primeira ordem do problema acima nos d q = 3 Tal quantidade implicaque o preo cobrado pelo monopolista ser 10 e o seu custo ser 12. Portanto o seulucro ser = 10 3 12 = 18:

33

(b) O problema da rma agora

maxqd;qi

(13 qd) qd + 11qi (qd + qi) (qd + qi)2

As condies de primeira ordem do problema acima so

12 4qd 2qi = 0

e10 2qd 2qi = 0:

Resolvendo o sistema acima ns obtemos qd = 1 e qi = 4. O preo no mercadodomstico ser 12. O custo da rma ser 5+52 = 30. Portanto, o lucro do monopolistaser

= 12 1 + 11 4 30= 26: k

Exerccio 6.4 (Monopsnio). Suponha que uma empresa produza um bem y que vendidono mercado internacional por um preo py = 24. O nico insumo para a produo do bem y um bem super especializado, x. O bem y produzido de acordo com a funo de produoy := ln x. O preo pago por unidade do insumo x segue a curva de oferta inversa w(x) = 2+x.

(a) Suponha primeiro que o mercado para o bem x seja competitivo. Isto , suponha quea rma aja como tomadora de preos em relao ao preo w. Calcule quanto a rmautilizar do insumo x neste caso. (Ateno! Embora a rma aja como tomadora depreos em relao a w, posteriormente w tem que ser tal que a oferta e a demanda pelobem x quem equilibradas). (Dica: No nal voc chegar em uma equao do segundograu que tem uma raiz positiva e uma negativa. Logicamente, a soluo do problema a raiz positiva.)

(b) Suponha agora que a rma seja o nico consumidor do insumo x e que esta entenda quea sua deciso em relao a quantidade utilizada de x afeta diretamente o preo pagow(x). Isto , a rma no mais tomadora de preos em relao ao bem x. Calculequanto a rma utilizar do insumo x neste caso. (Dica: Novamente voc chegar emuma equao do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa em que asoluo do problema a raiz positiva.)

(c) Se voc fez as contas corretamente, voc vericou que a quantidade de insumo x utilizadana letra (a) foi maior do que na letra (b). Suponha que no caso tratado na letra (b) ogoverno queira implementar um esquema de incentivos que faa com que a rma utilizea mesma quantidade de insumos da letra (a). O esquema funcionar da seguinte forma:o governo subsidiar uma frao s dos custos da rma com o insumo x. Isto , se osgastos da rma com o insumo x forem l, esta receber uma ajuda de s l do governo.Qual o valor de s que faz com que a rma utilize a mesma quantidade de insumo xencontrada na letra (a)?


Soluo.

(a) Quando a rma age como tomadora de preos o seu problema :

maxx24 lnx wx


24

x= w:

Para que o mercado do bem x esteja equilibrado, o w que aparece na soluo doproblema da rma tem que coincidir com o que aparece na curve de oferta inversa. Ouseja, a seguinte equao tem que ser satisfeita:

24

x= 2 + x;

o que nos d a seguinte equao do segundo grau:

x2 + 2x 24 = 0:A soluo positiva da equao acima x = 4:

(b) O problema da rma agora

maxx24 lnx (2 + x)x


24

x= 2 + 2x;

o que implica que a soluo do problema satisfaz a seguinte equao do segundo grau:

x2 + x 12 = 0:A soluo positiva da equao acima x = 3:

(c) Com o subsdio descrito na questo o problema da rma vira:

maxx24 lnx (1 s)(2 + x)x


24

x= (1 s)(2 + 2x);

o que implica que a soluo do problema satisfaz a seguinte equao do segundo grau:

x2 + x 121 s = 0:

Substituindo x = 4 na equao acima ns camos com a seguinte equao em relaoa s:

12

1 s = 20;Resolvendo a equao acima ns obtemos s = 2=5. k

Captulo 7

Discriminao de Preos

Exerccio 7.1 (Descrio grca da soluo do modelo de Mussa e Rosen). Considere omodelo de discriminao de preos de segundo grau estudado nas notas de aula (o modelo deMussa e Rosen). Caracterize gracamente a soluo de tal modelo. Ateno, no livro textotem uma anlise grca para se chegar a soluo de um modelo parecido com o de Mussa eRosen. No aquela anlise grca que eu quero. O que eu quero algo mais simples. Dadaa soluo que ns obtivemos nas notas, simplesmente mostre no mesmo grco os pacotes deconsumo dos dois consumidores, as curvas de indiferena dos dois consumidores que passampor estes pacotes e os pacotes ecientes, ou seja, os pacotes que teriam sido vendidos se omonopolista pudesse diferenciar os dois consumidores, bem como as curvas de indiferenaque passam por tais pacotes.

Soluo. Lembre-se que a soluo do problema deMussa e Rosen tem as seguintes caractersticas:

1. A quantidade oferecida ao agente do tipo H a eciente.

2. A restrio de participao para o agente do tipo L satisfeita com igualdade.

3. A restrio de compatibilidade de incentivos para o agente do tipo H satisfeita comigualdade.

As trs condies acima implicam que a soluo do modelo de Mussa e Rosen pode serrepresentada gracamente como na gura 7.1.Na gura 7.1 os pacotes que solucionam o modelo de Mussa e Rosen esto identicados

com o sobrescrito MR. A primeira coisa que podemos perceber que o pacote oferecidoao agente L encontra-se exatamente na interseo entre as curvas de indiferena dos doisagentes. Isto nada mais do que a representao grca do fato de que a restrio decompatibilidade de incentivos para o agente do tipo H satisfeita com igualdade. Ou seja,o agente do tipo H indiferente entre o seu pacote,

pMRH ; q

MRH

, e o pacote direcionado ao

agente L,pMRL ; q

MRL

. A outra coisa que podemos perceber que a curva de indiferena

do agente L que passa sobre o seu pacote intercepta a origem. Isto nada mais do que arepresentao grca do fato de que na soluo do modelo de Mussa e Rosen a restrio departicipao do agente do tipo L satisfeita com igualdade. Finalmente, ns vemos na guraque a quantidade consumida pelo agente do tipo H na soluo de Mussa e Rosen igual a

35

36 CAPTULO 7. DISCRIMINAO DE PREOS

Figura 7.1: Soluo do modelo de Mussa e Rosen

quantidade consumida por H quando o monopolista consegue diferenciar os consumidores,representada na gura por qEH . Por outro lado, a quantidade consumida por L menor doque o nvel eciente, que a quantidade produzida pela rma quando ela pode diferenciar osdois consumidores. A razo disto, conforme podemos perceber na gura, o fato de que se omonopolista tentasse fazer o agente L comprar a cesta

pEL ; q

EL

, ento o agente H preferiria

tal pacote ao pacotepMRH ; q

MRH

. Isto acaba fazendo com que o monopolista produza uma

quantidade menor do que a eciente para o agente L. kExerccio 7.2. Suponha que a economia tenha dois tipos de consumidores e que a rmamonopolista consiga diferenci-los. A curva de demanda agregada dos consumidores do tipoA dada por

qA (pA) = 20 pAe a dos consumidores do tipo B dada por

qB (pB) = 16 pB2:

O custo de produo da rma monopolista dado por

c (qA + qB) = 4 (qA + qB) :

(a) Encontre os preos cobrados pelo monopolista quando a prtica de discriminao depreos permitida. Calcule o excedente agregado dos consumidores neste caso. Isto, a soma dos excedentes dos dois tipos de consumidores (Dica: Para fazer a questovoc primeiro vai ter que derivar as curvas de demanda inversa para os dois tipos deconsumidores).

(b) Suponha agora que a prtica de discriminao de preos seja proibida por lei. Encontre opreo cobrado pela rma neste caso. Tambm neste caso, calcule o excedente agregado

37

dos consumidores (Dica: Para fazer esta questo voc ter que derivar a curva dedemanda agregada para este caso. Esta curva ter 3 regies. Para preos abaixo deum certo valor, os dois tipos de consumidores consomem. Para preos entre o valorpreviamente mencionado e um valor mais alto apenas um tipo de consumidor consome.Para preos acima do valor mais alto citado anteriormente, nenhum consumidor consome.De posse da curva de demanda agregada, voc pode agora derivar a curva de demandainversa. Esta tambm ser dividida em regies. A soluo do problema da rma sedar na regio em que esta resolve atender aos dois tipos de consumidores. Portanto,na hora de resolver o problema da rma voc pode assumir que a curva de demandainversa da economia corresponde parte da curva da demanda inversa em que a rmaatende aos dois consumidores. Porm, para calcular o excedente dos consumidores vocprecisar olhar para a curva de demanda inversa completa, considerando todas as suasregies).

Soluo.

(a) Conforme a dica, vamos primeiro encontrar as curvas de demanda inversa para os doistipos de consumidores. Para tanto, tudo que temos que fazer isolar p nas suas funesdemanda, o que nos d as seguintes curvas de demanda inversa:

pA (qA) = 20 qAe

pB (qB) = 32 2qB:O custo marginal de produo do monopolista constante e igual a 4. Como omonopolista pode praticar discriminao de preos, suas escolhas timas igualaroa sua receita marginal com cada tipo de consumidor ao seu custo marginal. Ou seja,resolvero as seguintes equaes:

20 2qA = 4

e32 4qB = 4:

Resolvendo as equaes acima ns obtemos

qA = 8

eqB = 7:

As quantidades acima implicam que os preos cobrados pelo monopolista sero pA = 12e pB = 18. O excedente dos consumidores do tipo A ser dado pela rea escura dagura abaixo.


Figura 7.2: Excedente dos consumidores do tipo A.

Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo A 32. J o excedente dos consumidoresdo tipo B dado pela rea escura da gura abaixo.

Figura 7.3: Excedente dos consumidores do tipo B.

Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo B 49. O excedente agregado, ento, 32 + 49 = 81:

(b) A curva de demanda agregada agora dada por

q (p) =

8 32:

Tal curva de demanda agregada est associada com a seguinte curva de demandainversa:

p (q) =

32 2q, se q 6;24 2

3q, se q > 6:

39

Seguindo a dica, ns sabemos que a soluo do problema do monopolista se dar naregio em que este atende aos dois tipos de consumidores. Ou seja, na regio em quea curva de demanda inversa da economia

p (q) = 24 23q:

Igualando a receita marginal ao custo marginal ns camos com a seguinte equao:

24 43q = 4:

Ou seja, a quantidade produzida pela rma ser q = 15. Isto d um preo p = 14.Finalmente, o excedente dos consumidores ser dado pela rea escura da gura abaixo:

Figura 7.4: Excedente dos consumidores sem discriminao de preos.

Ou seja, o excedente dos consumidores A+B + C = 36 + 36 + 27 = 99: kExerccio 7.3 (Descontos para Estudantes). Suponha que um monopolista venda em ummercado que tenha dois tipos de consumidores: estudantes e consumidores regulares. Acurva de demanda dos estudantes dada por

qe = (2 3pe)e a dos consumidores regulares dada por

qr = (1 pr) :Por simplicidade, suponha que o custo de produo do monopolista constante e igual azero.

(a) Suponha que o mercado seja composto s por estudantes. Que preo o monopolistacobrar? E se o mercado for composto s por consumidores regulares, que preo omonopolista cobrar?


(b) Suponha agora que uma frao dos consumidores seja de estudantes e uma frao(1 ) seja de consumidores regulares. Isto , o lucro do monopolista assume oseguinte formato: = (lucro obtido com estudantes) + (1 ) (lucro obtido comconsumidores regulares). Suponha, tambm, que o governo imponha uma lei que obrigueque o preo cobrado dos estudantes seja sempre igual metade do preo cobrado dosconsumidores regulares. Assumindo que o monopolista v sempre tentar atender aosdois mercados, calcule o preo cobrado dos consumidores regulares (o preo cobradodos estudantes ser a metade) como funo de . Observe que a frmula para o preoencontrada uma funo crescente em relao a , ou seja, quanto maior a parcelada populao composta por estudantes, maior o preo. Explique intuitivamente porque isto ocorre, utilizando o que voc aprendeu na letra (a).

Soluo.

(a) Se o mercado for composto s por estudantes, o problema do monopolista pode serescrito como

maxpe(2 3pe) pe:7.1

A condio de primeira ordem do problema acima nos d pe = 1=3. Quando o mercado composto s por consumidores regulares o problema do monopolista pode ser escritocomo

maxpr(1 pr) pr

Da condio de primeira ordem do problema acima ns obtemos que pr = 1=2.

(b) Agora o problema do monopolista pode ser escrito como

maxp2 3p

2

p2+ (1 ) (1 p) p

Da condio de primeira ordem do problema acima ns temos

1 3

2p

+ (1 ) [1 2p] = 0()

p =2

4 :

Como o exerccio j havia nos informado, p uma funo crescente de . Alm disto,ns podemos observar que quando = 0 e, portanto, s existem consumidores regularesno mercado, p = 1=2, que o preo que encontramos na letra (a). Alm disto, quando = 1 e, portanto, s existem estudantes, p = 2=3, o que nos d um preo para

7.1Eu estou escrevendo o problema do monopolista como um em que ele escolhe o preo. Alternativamente,eu poderia ter derivado a curva de demanda inversa e escrito o problema como um em que ele escolhea quantidade. As duas abordagens se equivalem, mas como na letra (b) ser mais conveniente escrevero problema como um em que o monopolista escolhe o preo, eu optei por usar a abordagem em que omonopolista escolhe o preo desde o incio.

41

estudantes igual a 1=3, que exatamente o valor que encontramos na letra (a). Arazo pela qual o preo uma funo crescente de simples. Quando pequeno, omonopolista se importa mais com as vendas para consumidores regulares e, portanto,quanto menor , mais p se aproxima de 1=2. A medida que aumenta, as vendas paraestudantes passam a ser mais importantes e p=2 se aproxima de 1=3 o que equivalentea dizer que p se aproxima de 2=3: k

Captulo 8

Escolha sob Incerteza

Exerccio 8.1 (Maximizar a Probabilidade de Obter a Consequncia Favorita). Considereo exemplo de preferncia sobre loterias nas notas de aula. Isto , suponha que o conjunto dealternativas X tenha uma alternativa x que a favorita do agente. Suponha, tambm, quedadas duas loterias p e q,

p % q () p (x) q (x) :Ou seja, o agente sempre busca maximizar a probabilidade de obter a sua consequnciafavorita. Mostre que tal relao de preferncias satisfaz Independncia e a propriedadeArquimediana (Dica: No tente mostrar isto diretamente, use o teorema da utilidade esperada).

Soluo. Lembre-se que, de acordo com o teorema da utilidade esperada, uma prefernciasatisfaz Independncia e a propriedade Arquimediana se e somente se ela tem uma representaopor utilidade esperada. Ento, para provarmos que a preferncia acima satisfaz as duaspropriedades, tudo o que precisamos fazer encontrar uma representao por utilidadeesperada que a represente. Mas isto fcil. Considere a funo de Bernoulli u tal queu (x) = 1 e u (x) = 0 para todo x 2 X, com x 6= x. Calculemos agora a utilidade esperadade uma loteria genrica dada tal funo de Bernoulli. Lembre-se que a utilidade esperadade uma loteria p genrica dada por

U (p) =Xx2X

p (x)u (x) :

Mas como para todo x 6= x u (x) = 0, a expresso acima reduz-se para

U (p) = p (x) 1:

Mas, ento, para qualquer par de loterias p e q, dizer que p (x) q (x) exatamente omesmo que dizer que X

x2Xp (x)u (x)

Xx2X

q (x)u (x) .

Ou seja, % tem uma representao por utilidade esperada em que a funo de Bernoulli u denida como acima. Pelo teorema da utilidade esperada, % satisfaz Independncia e apropriedade Arquimediana. k

43

44 CAPTULO 8. ESCOLHA SOB INCERTEZA

Exerccio 8.2. Suponha agora que estejamos falando de loterias monetrias. Lembre-se quepara uma dada loteria p, ns usamos a notao E [p] para representar o seu valor esperado.Ns usaremos a notao V ar (p) para representar a varincia de uma determinada loteria.Por exemplo, para loterias que retornam apenas dois prmios, isto , loterias do tipo p := (x) (1 ) (y), o valor esperado e a varincia tm a seguinte forma

E [p] = x+ (1 ) y

eV ar (p) = (x E [p])2 + (1 ) (y E [p])2 :

(a) Calcule os valores esperados e as varincias das loterias p := 13(2) 2

3(1) e q :=

14(8) 3

4(4) :

(b) (Dependendo dos seus conhecimentos de probabilidade e estatstica este exerccio podeser um pouco mais difcil, mas eu acho que vocs tm condies de resolv-lo) Suponhaagora que o agente tenha uma funo de utilidade sobre o conjunto de loterias monetriasdada por

V (p) = E [p] (E [p])2 V ar (p) :Considerando loterias que retornam apenas dois prmios, isto , loterias da forma (x) (1 ) (y), mostre que a funo de utilidade acima pode ser escrita no formatode utilidade esperada. Ou seja, mostre que existe uma funo u sobre os nmeros reaistal que para qualquer loteria p := (x) (1 ) (y),

V (p) = u (x) + (1 )u (y) :

Soluo.

(a) Comecemos com a loteria p. Para tal loteria ns temos

E [p] =1

3 2 + 2

3 1 = 4

3

e

V ar (p) =1

3

2 4

3

2+2

3

1 4

3

2=

1

3

2

3

2+2

3

13

2=

2

9:

J para a loteria q ns temos

E [q] =1

4 8 + 3

4 4 = 5

45

e

V ar (q) =1

4(8 5)2 + 3

4(4 5)2

=1

4(3)2 +

3

4(1)2

= 3:

(b) Considere uma loteria genrica p := (x) (1 ) (y). Observe que a varincia de ppode ser escrita como

V ar (p) = (x E [p])2 + (1 ) (y E [p])2=

x2 2xE [p] + (E [p])2+ (1 ) y2 2yE [p] + (E [p])2

= x2 + (1 ) y2 2E [p] (x+ (1 ) y) + (E [p])2 ;

em que ns simplesmente reagrupamos os termos na segunda expresso acima. Masobserve que x+ (1 ) y exatamente o valor esperado de p, portanto, a expressoacima pode ser escrita como

V ar (p) = x2 + (1 ) y2 2 (E [p])2 + (E [p])2= x2 + (1 ) y2 (E [p])2 :

Mas agora ns podemos escrever V (p) como

V (p) = E [p] (E [p])2 V ar (p)= E [p] (E [p])2 x2 + (1 ) y2 (E [p])2= E [p] x2 (1 ) y2= x+ (1 ) y x2 (1 ) y2=

x x2+ (1 ) y y2 :

Mas ento, tudo que temos a fazer denir u como a funo tal que para todo z 2 R,u (z) = z z2. k

Exerccio 8.3 (Seguro Total). Lembre-se do exemplo nas notas de aula. Isto , suponhaque tenhamos um agente com riqueza inicial igual a W . Com probabilidade um evento queimplica em uma perda de D reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidadede fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos D reaisocorra. Suponha que o preo pago por cada real segurado seja simplesmente s.

(a) Suponha que o agente tenha contratado um seguro para X reais. Como no sabemosainda se o evento que ocasiona a perda dos D reais vai ocorrer, a riqueza futura doagente para ns uma varivel aleatria, ou, na nossa terminologia, uma loteria.Escreva a loteria que representa a riqueza futura de um agente que contratou um segurode X reais.


(b) Observe que para cada possvel valor de X, a expresso que voc encontrou acimarepresenta uma loteria diferente. Deste modo, o problema de escolher o nvel timode seguro pode ser interpretado como o problema de escolher a melhor loteria dentreas diversas possveis acima. Suponha agora que o seguro tenha um preo justo, isto, suponha que s = . Mostre que neste caso o valor esperado das loterias acima sempre o mesmo, independentemente do valor X.

(c) Ou seja, quando o seguro tem um preo justo, o problema do agente passa a ser ode escolher entre vrias loterias que tm o mesmo valor esperado. Use este fatopara argumentar que neste caso um agente avesso ao risco sempre vai escolher umseguro total, ou seja, X = D (Dica: Voc no tem que fazer conta. A concluso vemdiretamente da denio de averso ao risco).

Soluo.

(a) Caso o evento no ocorra, a riqueza futura do agente ser simplesmente W sX. Ouseja, sua riqueza inicial menos quanto ele gastou em seguro. Caso o evento ocorra, suariqueza futura ser W sX D +X. Ou seja, ser igual sua riqueza inicial menoso que ele gastou em seguro, menos os D reais que ele perde, mais os X reais que eleganha da seguradora. Como o evento ocorre com probabilidade , a riqueza futura doagente pode ser representada pela loteria

pX := (W D + (1 s)X) (1 ) (W sX) :

(b) Dado qualquer valor X, o valor esperado da loteria pX

E [pX ] = (W D + (1 s)X) + (1 ) (W sX) :

Como por hiptese agora s = , a expresso acima pode ser escrita como

E [pX ] = (W D + (1 )X) + (1 ) (W X)= W D + (1 )X (1 )X= W D:

Ou seja, o valor esperado de todas as loterias pX o mesmo, independentemente dovalor X:

(c) Primeiro, observe que se o agente contratar um seguro total, ou seja, quando X = D, ariqueza futura do agente ser igual aWD, independentemente da ocorrncia ou nodo evento que gera a perda dosD reais. Ou seja, contratar um seguro total equivalentea escolher a loteria degenerada que paga o prmio W D com probabilidade 1. Masa denio de averso ao risco nos diz que um agente avesso ao risco sempre vai preferirreceber o valor esperado de uma loteria com certeza do que car com a prpria loteria.Como todas as loterias na parte (b) tm o mesmo valor esperado, isto implica que oagente considerar a loteria pX com X = D melhor do que todas as outras. k

47

Exerccio 8.4 (Demanda por Ativos de Risco). Suponha que existam dois estados possveisda natureza, f!1; !2g. A idia que no futuro um dos dois estados vai ocorrer. Suponhaque a probabilidade de que !1 v ocorrer seja p (!1) = 1=3 e a probabilidade de que !2 vocorrer seja p (!2) = 2=3. Suponha que a economia tenha dois ativos de risco. O primeiroativo, A1, paga 1 real no estado !1 e paga 2 reais no estado !2, j o ativo A2 paga 3 reaisno estado !1 e paga 0 reais no estado !2.

(a) Suponha que os preos por unidade dos ativos A1 e A2 sejam, respectivamente, pA1 = 4=3e pA2 = 1. Seja agora um agente com funo de Bernoulli u (x) = lnx. Suponha quetal agente tenha 2 reais para gastar entre os dois ativos descritos acima. Quanto elecompraria de cada ativo e, dado o seu portiflio, quanto seria o retorno nanceiro doagente em cada um dos estados?

(b) Se voc fez as contas corretamente, voc percebeu que o portiflio escolhido pelo agentena letra (a) d um retorno maior no estado !2 do que no estado !1. Este resultado intuitivo, j que o preo do ativo A2 corresponde exatamente ao valor esperado de umaunidade de tal ativo enquanto, por outro lado, o preo do ativo A1 est mais baratodo que o valor esperado de uma unidade de tal ativo. Desta forma, intuitivo queo agente esteja comprando relativamente mais do ativo A1 e, portanto, o seu retornomonetrio seja maior no estado que mais favorvel a tal ativo. Suponha agora que oativo A1 tambm tenha um preo justo. Isto , suponha que pA1 = 5=3. Calcule quantoo agente compraria de cada ativo neste caso e compute o retorno nanceiro do agenteem cada um dos estados.

(c) Se voc fez as contas corretamente, voc percebeu que no item anterior o retorno nanceirodo agente o mesmo nos dois estados. Tal resultado no depende dos exatos valoresutilizados na questo. Em geral, se tivermos um agente avesso ao risco, todos os ativostiverem um preo justo e a nossa estrutura de ativos for rica o suciente, o agente vaiescolher um portiflio que elimine a incerteza sobre os seus ganhos futuros. No exemploaqui estudado, a riqueza da estrutura de ativos corresponde ao fato de que os dois ativosacima so negativamente correlacionados. Isto , o ativo A1 paga mais no estado !2e o ativo A2 paga mais no estado !1. Mostre que se isto no for verdade, ento noexiste portiflio que elimine a incerteza sobre os ganhos monetrios futuros do agente.Ateno, tal resultado independente do fato do portiflio ser o timo ou no e tambmno depende dos preos dos ativos. O resultado bem mais trivial, simplesmente, emtal caso, qualquer portiflio pagar mais em um estado que no outro.

Soluo.

(a) A deciso do agente pode ser representada pelo seguinte problema de maximizao:

maxA1;A2

1

3ln (1 A1 + 3 A2) + 2

3ln (2 A1 + 0 A2)

sujeito a4

3 A1 + 1 A2 = 2:


Ou seja, o problema do agente maximizar a utilidade esperada do seu portiflio dadoque ele s tem 2 reais para gastar em ativos. Usando a restrio para eliminar A2 doproblema acima ns camos com o seguinte problema simplicado:

maxA1

1

3ln (6 3A1) + 2

3ln (2A1)

A condio de primeira ordem do problema acima

16 3A1 +

4

3

1

2A1= 0:

Resolvendo a equao acima para A1 ns obtemos

A1 =4

3:

Usando a restrio do problema original ns obtemos

A2 =2

9:

Dado tal portifolio o retorno nanceiro do agente no estado !1 ser 2. J no estado !2o retorno do agente ser 8=3.

(b) Agora o problema do agente pode ser escrito como

maxA1;A2

1

3ln (1 A1 + 3 A2) + 2

3ln (2 A1 + 0 A2)

sujeito a5

3 A1 + 1 A2 = 2:

Novamente, usando a restrio para eliminar A2 do problema acima ns camos como seguinte problema simplicado:

maxA1

1

3ln (6 4A1) + 2

3ln (2A1)

A condio de primeira ordem do problema acima

43

1

6 4A1 +4

3

1

2A1= 0:

Resolvendo a equao acima para A1 ns obtemos

A1 = 1:

Usando a restrio do problema original ns obtemos

A2 =1

3:

Dado tal portifolio o retorno nanceiro do agente no estado !1 ser 2 que o mesmoretorno que o agente ter no estado !2.

49

(c) Suponha que os nossos dois ativo sejam tais que A1 paga xA1 no estado !1 e yA1 no estado!2, com xA1 > yA1. Suponha, tambm, que A2 no seja negativamente correlacionadocom A1. Isto , suponha que A2 pague xA2 no estado !1, yA2 no estado !2, masque xA2 > yA2. Sejam agora e as quantidades dos ativos A1 e A2 que o agenteest comprando, respectivamente. Mas ento, o seu retorno no estado !1 ser xA1 +xA2 que obviamente maior do que yA1 + yA2. Ou seja, impossvel para oagente eliminar a incerteza sobre os seus ganhos futuros, no importa quanto ele estejadisposto a pagar por isto. Apesar desta parte do exerccio ser bastante trivial, elailustra um ponto importante. Geralmente, em situaes prticas no possvel eliminarcompletamente a incerteza sobre os ganhos futuros. Por exemplo, todos os ativos nasbolsas de valores so pelo menos um pouco positivamente correlacionados. k

Captulo 9

Teoria dos Jogos - Jogos na FormaNormal

Exerccio 9.1 (Jogo da Produo de Armas Nucleares). Dois pases vizinhos esto considerandoa possibilidade de construir armas nucleares. Se ambos construrem armas nucleares, entoa situao ser ruim para os dois, j que isto implica em um alto custo nanceiro, almdo risco que um vizinho detentor de armas nucleares representa. Caso apenas um dospases construa armas nucleares, ento o pas construtor desfrutar de uma grande vantagemestratgica e esta acaba sendo a melhor situao possvel para ele. Por outro lado, o pasque no construir car numa situao muito ruim, j que car praticamente submissoao vizinho. Esta a pior situao possvel para ele. Finalmente, se ningum construirarmas nucleares, a situao boa para os dois, j que ambos economizam bastante dinheiro eningum ca ameaado. Mesmo assim, ambos os pases prefeririam a vantagem estratgicade serem os nicos detentores da tecnologia nuclear.

(a) Descreva a situao acima como um jogo matricial. Os exatos valores dos ganhosdos jogadores no importam. Voc pode colocar o que voc quiser, desde que elesrepresentem a situao acima de forma consistente. Em especial, as informaes emnegrito tm que estar reetidas no jogo que voc escrever.

(b) Resolva o jogo que voc escreveu utilizando o conceito de soluo mais simples possvel.Isto , se o jogo for resolvvel por dominncia, ento resolva-o por dominncia. Caso ojogo no seja resolvvel por dominncia, ento tente resolv-lo por eliminao iterativade estratgias estritamente dominadas. Caso ainda assim no seja possvel resolvero jogo, ento tente resolv-lo encontrando os seus equilbrios de Nash (em estratgiaspuras).

Soluo.

(a) A situao descrita no enunciado pode ser representada pelo seguinte jogo:

Pas 2

Pas1

C NC 0; 0 5;5N 5; 5 2; 2

:

51

52 CAPTULO 9. TEORIA DOS JOGOS - JOGOS NA FORMA NORMAL

Observe que todas as informaes em negrito esto reetidas em tal jogo. A melhorsituao para um determinado pas quando este constri armas nucleares e o seuvizinho no. A situao em que ambos constroem pior do que quando ambos noconstroem. Finalmente, a pior situao para um pas quando este no constri armasnucleares e o seu vizinho constri.

(b) fcil ver que no jogo acima C uma estratgia estritamente dominante para ambos osjogadores. Portanto, o jogo acima pode ser resolvvel por dominncia e a sua soluocorresponde ao caso em que ambos os pases constroem armas nucleares. k

Exerccio 9.2 (Jogo do Dinheiro Grtis). Dois agentes econmicos extremamente racionaisparticipam do seguinte jogo em que eles podem ganhar mais de um milho de reais. Primeiramente,ambos os jogadores, em salas separadas, tm que escrever 1, 100, 10:000 ou 1:000:000 emfolhas de papel que posteriormente so colocadas dentro de envelopes. Quando os envelopesso abertos, o jogador que escreveu o menor nmero recebe uma quantia, em reais, igual soma dos dois nmeros. O outro jogador no recebe nada. Caso ambos tenham escrito omesmo nmero, ento cada um recebe, em reais, exatamente o valor que cada um escreveu.Ou seja, se ambos escreverem 10:000, por exemplo, ento cada jogador recebe 10:000 reais.

(a) Descreva a situao acima como um jogo matricial.

(b) Resolva o jogo que voc escreveu na parte (a) por eliminao iterativa de estratgiasestritamente dominadas. Ser que tais agentes realmente merecem a terminologiaracionais?

Soluo.

(a) A situao acima pode ser descrita pelo seguinte jogo matricial:

1 100 10:000 1:000:0001 1 ; 1 101 ; 0 10:001 ; 0 1:000:001 ; 0100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0 1:000:100 ; 010:000 0 ; 10:001 0 ; 10:100 10:000 ; 10:000 1:010:000 ; 01:000:000 0 ; 1:000:001 0 ; 1:000:100 0 ; 1:010:000 1:000:000 ; 1:000:000

Lembre-se que por conveno o jogador 1 quem escolhe as linhas e o jogador 2 quemescolhe as colunas.

(b) Primeiramente, observe que jogar 1:000:000 estritamente dominada por jogar 1, parao jogador 1. Eliminando tal estratgia camos com o seguinte jogo:

1 100 10:000 1:000:0001 1 ; 1 101 ; 0 10:001 ; 0 1:000:001 ; 0100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0 1:000:100 ; 010:000 0 ; 10:001 0 ; 10:100 10:000 ; 10:000 1:010:000 ; 0

53

Mas observe que jogar 1:000:000 tambm estritamente dominada por jogar 1, para ojogador 2, no jogo acima. Eliminando-se tal estratgia o jogo reduz-se para

1 100 10:0001 1 ; 1 101 ; 0 10:001 ; 0100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 010:000 0 ; 10:001 0 ; 10:100 10:000 ; 10:000

Agora quem estritamente dominada por jogar 1, para o jogador 1, 10:000. Tirandotal estratgia do jogo ns camos com a matriz

1 100 10:0001 1 ; 1 101 ; 0 10:001 ; 0100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0

Novamente, 10:000 tambm estritamente dominada por 1 para o jogador 2, o que nosd o seguinte jogo, ainda mais simplicado:

1 1001 1 ; 1 101 ; 0100 0 ; 101 100 ; 100

Uma anlise exatamente anloga a que zemos at agora nos permitir eliminar asestrategias 100, para ambos os jogadores. Isto implica que o jogo acima resolvvelpor eliminao iterativa de estratgias estritamente dominadas e a sua soluo consistedos dois jogadores jogarem 1. Observe que tal soluo faz com que ambos os jogadoresobtenham um ganho nal de 1 real cada. Dado que se ambos jogassem 1:000:000 ambosteriam recebido 1:000:000 de reais, a extrema racionalidade dos dois agentes neste casono parece ser necessariamente um sinal de inteligncia. k

Exerccio 9.3 (Sorveteiros em Praia Circular). Considere novamente o problema dos sorveteirosque tm que se posicionar em uma faixa de areia. A diferena agora que esta faixa de areiase encontra ao redor de uma lagoa circular. Suponha que o permetro da lagoa seja 1 e que aspessoas estejam distribudas de maneira uniforme por toda a faixa de areia. Os sorveteirosso idnticos e, portanto, as pessoas sempre compram do sorveteiro mais prximo. Caso maisde um sorveteiro estejam posicionados em uma mesma posio, as pessoas que esto maisprximas daquela posio se dividem igualmente entre todos os sorveteiros l posicionados.

(a) Suponha que apenas dois sorveteiros estejam escolhendo aonde se posicionarem na faixade areia ao redor da lagoa. Caracterize todos os equilbrios de Nash deste jogo. (Dica:Voc no precisa sair fazendo conta. A caracterizao dos equilbrios pode ser bemintuitiva, voc pode usar guras, etc., mas seja preciso na sua explicao. Finalmente,existe um nmero enorme de equilbrios).

(b) Suponha que agora tenhamos trs sorveteiros escolhendo uma posio na faixa de areia.Caracterize todos os equilbrios de Nash do jogo agora (Dica: Novamente existirodiversos equilbrios, mas voc ter que divid-los em duas classes. Equilbrios em quenenhum dos sorveteiros se posiciona na mesma posio que algum outro sorveteiro eequilbrios em que pelo menos 2 sorveteiros se posicionam em uma mesma posio).


Soluo.

(a) Chamemos os dois sorveteiros de A e B, por exemplo. Suponha que o sorveteiro A estejaposicionado em um lugar qualquer da faixa de areia (ver gura abaixo).

Observe que se B se posicionar em um local diferente de A, independentemente dasua exata localizao, metade das pessoas estaro mais prximas de B do que de A.Ou seja, onde quer que B se posicione este vender sorvetes para exatamente metadedas pessoas na praia. Caso B se posicione no mesmo local que A ele tambm vendesorvetes para exatamente metade das pessoas. Isto , B sempre indiferente entretodas as suas estratgias. Por simetria, exatamente a mesma coisa acontece com A.Mas ento, qualquer perl de estratgias equilbrio de Nash desse jogo.

(b) Chamemos agora os sorveteiros de A, B e C. Suponha que A e B estejam posicionadosem locais distintos (ver gura abaixo).

SejamDAB e dAB os comprimentos do maior e do menor arco entre A e B, respectivamente.Se C se posicionar no menor arco entre A e B o seu ganho ser dAB=2 1=4, comigualdade se e somente se dAB = DAB = 1=2. Se C se posicionar no maior arco entre A eB o seu ganho ser DAB=2 1=4, com igualdade se e somente se dAB = DAB = 1=2. Jse C se posicionar na mesma posio que A ou B o seu ganho ser igual a 1=4. Vemos,ento, que qualquer posio no interior do maior arco que liga A e B uma melhorresposta para C. Por simetria, a mesma coisa acontece com A e B. Ns conclumos,ento, que qualquer perl de posies em que todos os sorveteiros estejam posicionadosno maior arco que liga os outros dois sorveteiros equilbrio de Nash do jogo acima.Por exemplo, o perl na gura abaixo um equilbrio do jogo:

Na verdade, como se posicionar no arco menor entre os outros dois sorveteiros s melhor resposta para C quando dAB = DAB, ou seja, quando os dois arcos tm o mesmo

55

tamanho, ns vemos que todos os equilbrios de Nash em que todos os sorveteirosescolhem posies diferentes so da forma acima. Resta testarmos equilbrios em que2 ou mais sorveteiros se posicionem em um mesmo lugar. Suponha que A e B estejamna mesma posio (ver gura abaixo).

Observe que se C se posicionar em uma posio diferente de A e de B, o seu ganhoser 1=2. J se C se posicionar na mesma posio que A e B o seu ganho ser 1=3.Portanto, qualquer posio diferente da de A e B melhor resposta para C. Vejamosse existe alguma posio de C que faa com que se posicionarem em um mesmo localsejam de fato melhores respostas para A e B. Pela nossa anlise acima, ns vemos quese posicionar no mesmo local que A s ser uma melhor resposta para B se os doisarcos entre A e C tiverem o mesmo tamanho. Por simetria, isto tambm faz com quese posicionar no mesmo local que B seja uma melhor resposta para A. Ns aprendemosque os pers de posio em que dois sorveteiros estejam em um mesmo lugar e o outroesteja na posio oposta, do outro lado da lagoa so os nicos equilbrios de Nash dojogo em que mais de um sorveteiro cam na mesma posio. A gura abaixo apresentaum exemplo de tal equilbrio.

k

Captulo 10

Teoria dos Jogos - Estratgias Mistas

Exerccio 10.1 (Encontro em Nova Iorque). Os professores X e Y marcaram um encontropara tomar um caf na loja do Starbucks prxima a Universidade de Nova Iorque. O problema que eles esqueceram de combinar se eles estavam falando da loja no Washington SquarePark ou da loja na Broadway. Suponha ainda que eles no tm como se comunicar.10.1 Talsituao pode ser representada pela seguinte matriz de ganhos:

Professor Y

ProfessorX

W BW 1; 1 0; 0B 0; 0 1; 1

:

Isto , se ambos forem para o mesmo lugar, ambos recebem um ganho de 1. Se eles forempara lugares diferentes, ambos recebem um ganho de zero. Permitindo o uso de estratgiasmistas, encontre todos os equilbrios de Nash do jogo acima.

Soluo. Ns estamos interessados em resolver o jogo acima permitindo o uso de estratgiasmistas. Ou seja, os conjuntos de estratgias dos dois jogadores sero AX = AY = [0; 1].Tentemos primeiro encontrar um equilbrio de Nash em que Professor X jogue W comprobabilidade 1. Isto , vejamos se existe um perl de estratgias (; ) com = 1 queseja um equilbrio de Nash para o jogo acima. Dado que = 1, o ganho que Professor Yobtem com uma estratgia genrica dado por

UY (1; ) = 1 + (1 ) 0 = :Fica claro, ento, que a melhor resposta para Professor Y neste caso jogar = 1.Veriquemos, ento, se = 1 uma melhor resposta para Professor X quando Professor Yjoga = 1. Com Professor Y jogando = 1, o ganho de uma estratgia genrica , paraProfessor X; pode ser escrito como

UX (; 1) = 1 + (1 ) 0 = .Fica claro que jogar = 1 de fato a melhor resposta para Professor X quando ProfessorY joga = 1. Ns conclumos que o perl (; ) = (1; 1) o nico equilbrio de Nash dojogo acima em que Professor X joga W com probabilidade 1.10.1Este jogo foi criado muito antes da existncia do telefone celular.

57

58 CAPTULO 10. TEORIA DOS JOGOS - ESTRATGIAS MISTAS

Tentemos agora encontrar um equilbrio de Nash em que Professor X jogue B comprobabilidade 1. Ou seja, um equilbrio (; ) em que = 0. Contra 0, o ganho deuma estratgia genrica de Professor Y dado por

UY (0; ) = 0 + (1 ) 1 = 1 : claro que a melhor resposta para Professor Y neste caso jogar = 0. Resta vericarmosse jogar = 0 uma melhor resposta para Professor X quando Professor Y joga = 0.Neste caso, o ganho de uma estratgia genrica de Professor X dado por

UX (; 0) = 0 + (1 ) 1 = 1 .Fica evidente que jogar = 0 de fato a melhor resposta para Professor X. Ns conclumosque (; ) = (0; 0) o nico equilbrio de Nash do jogo acima em que Professor X joga Bcom probabilidade 1.Finalmente, tentemos encontrar um equilbrio de Nash do jogo acima em que Professor

X jogue uma estratgia mista no degenerada. Ou seja, um equilbrio (; ) em que0 < < 1. Pela proposio que ns aprendemos nas notas de aula, ns sabemos que istos pode acontecer se o ganho que Professor X obtem quando joga = 1 o mesmo que eleobtem quando joga = 0. Em termos dos ganhos do jogo tal condio pode ser escrita como

UX (1; ) = UX (0; )

() 1 + (1 ) 0 = 0 + (1 ) 1:

Resolvendo a equao acima ns encontramos = 1=2. Ou seja, para que jogar umaestratgia mista no degenerada seja uma melhor resposta para Professor X necessrio queProfessor Y esteja jogando cada uma de suas estratgias puras com probabilidade 1=2. Masisto implica que um equilbrio de Nash em que Professor X use uma estratgia mista nodegenerada s pode ocorrer se Professor Y tambm estiver usando uma estratgia mista nodegenerada. Usando novamente a proposio nas notas de aula ns aprendemos que

UY (; 1) = UY (; 0)

() 1 + (1 ) 0 = 0 + (1 ) 1:

Resolvendo a equao acima ns obtemos = 1=2. Ns conclumos que (; ) = (1=2; 1=2) o nico equilbrio de Nash do jogo acima em que Professor X joga uma estratgia mistano degenerada. Como este era o ltimo caso que faltava ser analisado ns conclumos queos equilbrios de Nash do jogo acima so (1; 1) ; (0; 0) ; (1=2; 1=2) : kExerccio 10.2. Considere o seguinte jogo:

Jogador 2

Jogador1

E DC 1; 1 0; 1B 0; 1 2; 0

:

Permitindo o uso de estratgias mistas, encontre todos os equilbrios de Nash do jogo acima.

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Soluo. Tentemos primeiro encontrar um equilbrio em que 1 jogue C com probabilidade1. Ou seja, um equilbrio (; ) em que = 1. Quando o jogador 1 joga = 1, o ganhode uma estratgica genrica para o jogador 2 dado por

U2 (1; ) = 1 + (1 ) 1 = 1:Isto , qualquer estratgia uma melhor resposta para o jogador 2 quando 1 joga = 1.Tentemos, ento, encontrar as estratgias que fazem = 1 ser uma melhor resposta parao jogador 1. No difcil ver que = 1 ser uma melhor resposta para o jogador 1 contrauma estratgia se e somente se

U1 (1; ) U1 (0; ) :A condio acima equivalente a

1 + (1 ) 0 0 + (1 ) 2:Isolando na desigualdade acima ns obtemos 2=3. Ou seja, para qualquer 2=3,jogar = 1 ser uma melhor resposta para o jogador 1. Ns conclumos que todos ospers (1; ) com 2=3 so equilbrios de Nash do jogo acima em que 1 joga C comprobabilidade 1. Tentemos agora encontrar equilbrios do jogo acima em que 1 jogue B comprobabilidade 1. Neste caso, o ganho de uma estratgia genrica para o jogador 2 dadopor

U2 (0; ) = 1 + (1 ) 0:Fica claro que a melhor resposta para 2 neste caso jogar = 1. Temos que conferir agorase = 0 uma melhor resposta para 1 quando o jogador 2 joga = 1. Contra = 1 oganho de uma estratgia genrica para o jogador 1 dado por

U1 (; 1) = 1 + (1 ) 0:Mas evidente que a melhor resposta para o jogador 1 neste caso escolher = 1.Ns conclumos que no existe equilbrio de Nash do jogo acima em que 1 jogue B comprobabilidade 1.Finalmente, tentemos encontrar equilbrios de Nash do jogo acima em que 1 jogue uma

estratgia mista no degenerada. Ou seja, tentemos encontrar equilbrios (; ) em que0 < < 1. Pela proposio nas notas de aula ns sabemos que isto s pode acontecer se

U1 (1; ) = U1 (0; )

() 1 + (1 ) 0 = 0 + (1 ) 2:

Resolvendo a equao acima ns encontramos = 2=3. Ou seja, para que tenhamos umequilbrio de Nash em que 1 joga uma estratgia mista, ns temos que ter o jogador 2 usandoa estratgia mista = 2=3. Novamente, pela proposio nas notas de aula, isto s podeocorrer se o jogador 2 estiver indiferente entre as suas duas estratgias puras. Isto ,

U2 (; 1) = U2 (; 0)

() 1 + (1 ) 1 = 1 + (1 ) 0:


Resolvendo a equao acima ns obtemos = 1. Mas = 1 uma estratgia mistadegenerada. Ns conclumos que o jogo acima no tem nenhum equilbrio de Nash em queo jogador 1 jogue uma estratgia mista no degenerada. kExerccio 10.3 (Existncia do Equilbrio). Considere um jogo 2x2 genrico. Isto , considereum jogo representado pela seguinte matriz de ganhos:

Jogador 2

Jogador1

E DC U1 (C;E) ; U2 (C;E) U1 (C;D) ; U2 (C;D)B U1 (B;E) ; U2 (B;E) U1 (B;D) ; U2 (B;D)

:

(a) Suponha que o perl (C;E) seja um equilbrio de Nash do jogo acima (sem o uso deestratgias mistas). Considere agora a extenso do jogo acima para o jogo correspondenteem que os jogadores podem usar estratgias mistas. Seja a probabilidade com que ojogador 1 joga C e a probabilidade com que o jogador 2 joga E. Argumente que operl (; ) = (1; 1) um equilbrio de Nash do novo jogo, em que estratgias mistasso permitidas.

(b) Suponha agora que saibamos que no jogo acima (sem o uso de estratgias mistas) jogarC seja uma melhor resposta para o jogador 1 quando 2 est jogando E. Suponha,tambm, que o jogo acima no tenha nenhum equilbrio de Nash em estratgias puras.Isto vai implicar diversas relaes entre os ganhos dos agentes nas diversas situaespossveis. Por exemplo, como j sabemos que C uma melhor resposta contra E para ojogador 1, e j que por hiptese o jogo no tem equilbrio de Nash em estratgias puras,no pode ser verdade que E seja uma melhor resposta contra C para o jogador 2. Emtermos dos ganhos da matriz acima isto equivale a dizer que U2 (C;D) > U2 (C;E).Usando o mesmo tipo de raciocnio compare agora U1 (C;D) com U1 (B;D), depoisU2 (B;E) com U2 (B;D) e, nalmente, U1 (C;E) com U1 (B;E).

(c) (Esta questo mais difcil, mas prestando ateno na dica ela resolvvel.) Usando oque voc aprendeu na letra (b), mostre que existe um valor 2 (0; 1) tal que

U2 (C;E) + (1 )U2 (B;E) = U2 (C;D) + (1 )U2 (B;D) :Similarmente, mostre que existe um valor 2 (0; 1) tal que

U1 (C;E) + (1 )U1 (C;D) = U1 (B;E) + (1 )U1 (B;D) :Dica: Suponha que a; b; c; d; e; f sejam nmeros tais que

a c = e > 0e

b d = f > 0:Observe que

f

e+ fa+

e

e+ fd =

f

e+ fc+

e

e+ fb:

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(d) Argumente que (; ) um equilbrio de Nash do jogo acima quando ns permitimos ouso de estratgias mistas. Se voc olhar com ateno voc notar que a questo inteira uma demonstrao passo a passo de que jogos 2x2 sempre tm equilbrios de Nashem estratgias mistas.

Soluo.

(a) Como por hiptese (C;E) um equilbrio de Nash do jogo em estratgias puras, nssabemos que

U1 (C;E) U1 (B;E)e

U2 (C;E) U2 (C;D) :Considere agora o jogo em que estratgias mistas so permitidas. Observe que o ganhode uma estratgia genrica , contra = 1, para o jogador 1, dado por

U1 (; 1) = U1 (1; 1) + (1 )U1 (0; 1)= U1 (C;E) + (1 )U1 (B;E) :

Como j sabemos que U1 (C;E) U1 (B;E), claro que = 1 maximiza o ganhoacima.10.2 Ns conclumos que = 1 uma melhor resposta para 1 quando 2 estjogando = 1. Olhemos agora para o ganho de uma estratgia genrica , para ojogador 2, quando 1 est jogando = 1. Tal ganho dado por

U2 (1; ) = U2 (1; 1) + (1 )U2 (1; 0)= U2 (C;E) + (1 )U2 (C;D) :

Novamente, como sabemos que U2 (C;E) U2 (C;D), claro que = 1 maximiza oganho acima. Ns conclumos que = 1 uma melhor resposta para 2 quando 1 estjogando = 1. Isto conclui a demonstrao de que (1; 1) um equilbrio de Nash dojogo acima quando estratgias mistas so permitidas.

(b) A primeira informao que a questo nos d que C uma melhor resposta para 1quando 2 joga E. Em termos dos ganhos envolvidos no jogo isto equivalente a dizerque U1 (C;E) U1 (B;E). Como j mencionado na questo, o fato de que o jogono tem nenhum equilbrio de Nash em estratgias puras implica que E no pode seruma melhor resposta para 2 quando 1 joga C. Em termos dos ganhos do jogo isto equivalente a dizer que U2 (C;D) > U2 (C;E). Ns acabamos de aprender, ento, queD uma melhor resposta para 2 quando 1 joga C. Como o jogo no tem equilbrios deNash, C no pode ser uma melhor resposta para 1 contra D. Ou seja, ns temos queter U1 (B;D) > U1 (C;D). Isto implica que B uma melhor resposta para 1 contraD. Novamente, o fato de que o jogo no tem equilbrios de Nash implica que contra Ba melhor resposta para 2 tem que ser jogar E. Ou seja, U2 (B;E) > U2 (B;D). ComoE uma melhor resposta para 2 contra B, B no pode ser uma melhor resposta para1 contra E. Isto implica que U1 (C;E) > U1 (B;E) :

10.2Anal de contas a expresso acima nada mais do que uma mdia ponderada entre U1 (C;E) eU1 (B;E). Como toda mdia tem que ser menor ou igual ao maior de seus termos, ns chegamos conclusono texto.


(c) Da letra (b) ns sabemos que U2 (C;D) > U2 (C;E) e U2 (B;E) > U2 (B;D). Denaa := U2 (C;D), c := U2 (C;E), b := U2 (B;E), d := U2 (B;D), e := U2 (C;D) U2 (C;E) e f := U2 (B;E) U2 (B;D). Observe que, por construo,

a c = e > 0

eb d = f > 0:

Mas seguindo a dica ns sabemos que

f

e+ fa+

e

e+ fd =

f

e+ fc+

e

e+ fb:

Agora dena

:=f

e+ f

e observe que1 = e

e+ f:

Substituindo as variveis na equao acima por suas respectivas denies ns obtemos

U2 (C;D) + (1 )U2 (B;D) = U2 (C;E) + (1 )U2 (B;E) :

Da letra (b) ns tambm sabemos que U1 (C;E) > U1 (B;E) e U1 (B;D) > U1 (C;D).Dena agora a := U1 (C;E), c := U1 (B;E), b := U1 (B;D), d := U1 (C;D), e :=U1 (C;E) U1 (B;E) e f := U1 (B;D) U1 (C;D). Novamente, por construo, nstemos

a c = e > 0e

b d = f > 0:Aplicando a dica novamente ns obtemos

f

e+ fa+

e

e+ fd =

f

e+ fc+

e

e+ fb:

De novo denindo

:=f

e+ f;

ns podemos escrever a equao acima como

U1 (C;E) + (1 )U1 (C;D) = U1 (B;E) + (1 )U1 (B;D) :

(d) Olhemos primeiro para a condio envolvend

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