12/Mar/2018 Aula 7

14/Mar/2018 Aula 8

8. Momento linear 8.1 Definio 8.2 Impulso de uma fora 8.3 Centro de massa 8.4 Conservao

7. Conservao da energia 7.1 Foras conservativas e no conservativas 7.2 Energia potencial gravtica 7.3 Energia potencial elstica 7.4 Nvel zero da energia potencial

7.5 Conservao da energia mecnica 7.6 Energia e cinemtica 7.7 Energia e foras no-conservativas

1

2

7.1 Foras conservativas e no conservativas

Uma fora diz-se conservativa se o trabalho por ela realizado no depender do percurso efetuado, mas apenas do deslocamento (diferena entre os pontos inicial e final). Portanto, o trabalho realizado por uma fora conservativa, ao longo de uma linha fechada, nulo.

Exemplos de foras conservativas: fora de restituio de

uma mola fora gravtica.

Trabalho realizado pela fora gravtica ao longo de uma linha fechada: W = 0

Aula anterior

3

Uma fora diz-se no-conservativa (ou dissipativa) se o trabalho por ela realizado depender do percurso efetuado. Portanto, o trabalho realizado por uma fora no-conservativa, ao longo de uma linha fechada, no nulo.

Exemplo de foras no-conservativas: atrito

Trabalho realizado por uma fora de atrito, ao longo de uma linha fechada: W 0

7.1 Foras conservativas e no conservativas Aula anterior

Aula anterior

4

A qualquer fora conservativa est associada uma energia potencial. Exemplo: energia potencial gravtica. O trabalho realizado pela fora gravtica independente do percurso escolhido, s depende da diferena de alturas y.

W =!F.d!r

si

s f m mg

Wif = (mg) (hf hi) = mghi mghf = Ui Uf .

y

mg

mg

x

hf

hi

U (h) = mgh.

Wif = mg( ) hf hi( ) =mghi mghf=Ui U f = U

7.2 Energia potencial gravtica

U h( ) =mgh Energia potencial gravtica

Projtil Simulao

5

7.3 Energia potencial elstica

A fora de restituio de uma mola tambm conservativa. Logo, est-lhe associada uma energia potencial (elstica).

Umola = kx dxxi

x f

= 12 kx2 +U0

dUmola = dW = !F d!

= Fxdx = (kx)dx

= kx dx

U0 = 0 Se Umola =12kx2

Aula anterior

Mola Simulao

6

7.4 Nvel zero da energia potencial

Exemplo: uma pedra, inicialmente em repouso, deixada cair. Determine a sua velocidade imediatamente antes de tocar o solo, segundo os dois referenciais (Betty e Bill).

Ecin f =12mv f2 = (U f Ui ) = U

Betty: Ui = mg yi = 9,8 JU f =mg y f = 0 J

UBetty =U f Ui = 9,8 J

Bill: Ui = mg yi = 0 J e U f =mg y f = 9,8 J

UBill =U f Ui = 9,8 J

v f =2Um

=2(9,8 J)

(1 kg)= 4,43 m/s

Aula anterior

7

7.5 Conservao da energia mecnica

A energia mecnica total de um sistema a soma da sua energia cintica com a energia potencial.

Se as nicas foras em ao forem conservativas, a energia mecnica total conserva-se. Por exemplo, quando a nica fora a realizar trabalho num sistema for a fora gravtica, a energia mecnica total mantm-se.

Aula anterior

8

7.5 Conservao da energia mecnica

Uma fora conservativa pode ser obtida a partir da sua funo energia potencial. Por exemplo, a uma dimenso:

dU =!F d! = Fxdx

Fx = dUdx

A duas e trs dimenses:

Fx = dUdx, Fy =

dUdy

Fz = dUdz

Aula anterior

9

7.7 Energia e foras no-conservativas

Na presena de foras no-conservativas, a energia mecnica total no conservada:

Wtotal =Wc +WncEcin = U +Wnc

Aula anterior

Wnc = U +Ecin = E

10

4.9 Energia mecnica e foras no-conservativas O bloco tem uma velocidade inicial de 7 m/s e percorre 2 m at chegar rampa. O coeficiente de atrito cintico k =0,3 e a inclinao da rampa de 40. Determine: a) a velocidade do bloco, quando chega rampa; b) a distncia que percorre na rampa at parar, momentaneamente.

a)

Chapter 7

664

(c) Apply the work-energy theorem for systems with kinetic friction:

sfEEEWmechthermmechext

or, because UKE

mech and

U = 0, thermext

EKW

Solving for K yields: thermext EWK

Substitute numerical values and

evaluate K:

J34J33.7J70.2J03.91K

(d) Because Ki = 0: 2f2

1f

mvKKm

Kv 2f

Substitute numerical values and

evaluate f

v : m/s2.9kg8.0J33.72

fv

64 Using Figure 7-41, suppose that the surfaces described are not frictionless and that the coefficient of kinetic friction between the block and the

surfaces is 0.30. The block has an initial speed of 7.0 m/s and slides 2.0 m before

reaching the ramp. Find (a) the speed of the block when it reaches the ramp, and (b) the distance that the block slides along the inclined surface before coming momentarily to rest. (Neglect any energy dissipated along the transition curve.)

Picture the Problem The pictorial representation shows the block in its initial, intermediate, and final states. It also shows a choice for Ug = 0. Let the system consist of the block, ramp, and Earth. Then the kinetic energy of the block at the

foot of the ramp is equal to its initial kinetic energy less the energy dissipated by

friction. The blocks kinetic energy at the foot of the incline is partially converted

to gravitational potential energy and partially converted to thermal energy

(dissipated by friction) as the block slides up the incline. The free-body diagram

shows the forces acting on the block as it slides up the incline. Applying

Newtons second law to the block will allow us to determine fk and express the energy dissipated by friction.

gF

nF

x

y

kf

0g

U0

00x

h

21

3

01x m 0.2

2x

03v

m/s 0.71v

2v

m 0.23x

m m

m

m

nc cinW U E E= + = !f .!s = 0+ 1

2mv22 12mv12

(at chegar rampa, U = 0)

Como !f .!s = f scos180= f s = f x2 x1( )

e f = kmg v2 = v12 2kg x2 x1( ) = 72 20,39,81 = 6,1m/s

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4.9 Energia mecnica e foras no-conservativas O bloco tem uma velocidade inicial de 7 m/s e percorre 2 m at chegar rampa. O coeficiente de atrito cintico k =0,3 e a inclinao da rampa de 40. Determine: a) a velocidade do bloco, quando chega rampa; b) a distncia que percorre na rampa at parar, momentaneamente.

Chapter 7

664

(c) Apply the work-energy theorem for systems with kinetic friction:

sfEEEWmechthermmechext

or, because UKE

mech and

U = 0, thermext

EKW

Solving for K yields: thermext EWK

Substitute numerical values and

evaluate K:

J34J33.7J70.2J03.91K

(d) Because Ki = 0: 2f2

1f

mvKKm

Kv 2f

Substitute numerical values and

evaluate f

v : m/s2.9kg8.0J33.72

fv

64 Using Figure 7-41, suppose that the surfaces described are not frictionless and that the coefficient of kinetic friction between the block and the

surfaces is 0.30. The block has an initial speed of 7.0 m/s and slides 2.0 m before

reaching the ramp. Find (a) the speed of the block when it reaches the ramp, and (b) the distance that the block slides along the inclined surface before coming momentarily to rest. (Neglect any energy dissipated along the transition curve.)

Picture the Problem The pictorial representation shows the block in its initial, intermediate, and final states. It also shows a choice for Ug = 0. Let the system consist of the block, ramp, and Earth. Then the kinetic energy of the block at the

foot of the ramp is equal to its initial kinetic energy less the energy dissipated by

friction. The blocks kinetic energy at the foot of the incline is partially converted

to gravitational potential energy and partially converted to thermal energy

(dissipated by friction) as the block slides up the incline. The free-body diagram

shows the forces acting on the block as it slides up the incline. Applying

Newtons second law to the block will allow us to determine fk and express the energy dissipated by friction.

gF

nF

x

y

kf

0g

U0

00x

h

21

3

01x m 0.2

2x

03v

m/s 0.71v

2v

m 0.23x

m m

m

m

b) nc cinW U E E= + =

!f .!s = mgh0( )+ 0 12mv2

2

(no plano inclinado)

Mas !f .!s = f scos180= f s = f x3 x2( )

0 cos cosn nF F mg F mgy = = = f = k Fn = kmg cos

mgh =mg x3 x2( )sen

kmg cos x3 x2( ) =mg x3 x2( )sen 12mv22

x3 x2 =v22

2g k cos + sen( )= 2,2m

Por sua vez,

12

O momento linear de uma partcula o produto da sua massa pela velocidade:

!p =m !v p =kg m / s

!F =m!a =md

!vdt=d m !v( )dt

=d!pdt

A partir da 2 lei de Newton, se m for constante:

!F = d

!pdt

8.1 Definio

Momento linear total de um sistema de vrias partculas:

!Psist =

!pii = mi

!vii

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O impulso de uma fora o produto da fora pelo intervalo de tempo em que ela atua num objeto:

!I =!F t I =kg m / s

A variao do momento linear de uma partcula igual ao impulso da fora resultante:

8.2 Impulso de uma fora

!F = d

!pdt

!p =!F t

14

A variao do momento linear depende do tempo durante o qual a fora resultante atua:

8.2 Impulso de uma fora

Ecin =!F .!s

A variao da energia cintica depende da distncia em que a fora resultante atua:

!p =!F t

15

8.3 Centro de massa

O centro de massa de um sistema o ponto em que esse sistema fica em equilbrio quando est suspenso num campo gravtico uniforme.

Para 2 partculas, de massas m1 e m2:

xCM =m1x1+m2x2m1+m2

=m1x1+m2x2

M

yCM =m1y1+m2y2m1+m2

=m1y1+m2y2

M

zCM =m1z1+m2z2m1+m2

=m1z1+m2z2

M

16

8.3 Centro de massa

No caso de objetos slidos homogneos, o centro de massa coincide com o centro geomtrico.

Mas o centro de massa pode localizar-se fora do objeto:

Posio do CM

simulao

17

8.3 Centro de massa

Posio do centro de massa de um sistema de N partculas:

xCM =1M

mixii=1

N

yCM =1M

mi yii=1

N

zCM =1M

mizii=1

N

!rCM =1M

mi!ri

i=1

N

com !rCM = xCM

!ex + yCM

!ey + zCM

!ez

Para um objeto com uma distribuio contnua de massa: !rCM =

1M

!r dm

Exemplo Trs objetos pontuais, de massas m1 = 3 kg e m2 = m3 = 1 kg, esto nos vrtices do tringulo da figura. Determine a posio do centro de massa deste sistema.

18

!rA = 2

!ex + 2

!ey

!rB =!ex +!ey

!rC = 3

!ex +0

!ey

!rCM =1

(3+1+1)3(2!ex + 2

!ey ) +1(

!ex +!ey )+1(3

!ex )

= (2!ex +1,4!ey )m

!rCM =1M

mi!ri

i=1

N

19

8.3 Centro de massa

O momento linear total de um sistema igual ao produto da sua massa (total) pela velocidade do centro de massa:

Como

!Psist =

!pii = mi

!vii =M !vCM

d!Psistdt

=Md!vCMdt

=M !aCM

!Fext =M

!aCM!Fext =

d!Psistdt

!Fext = 0

d!Psistdt

= 0 !Psist = constante

Movimento do CM simulao filme

20

8.4 Conservao do momento linear

Se o somatrio das foras exteriores for nulo, o momento linear do sistema mantm-se inalterado (princpio da conservao do momento linear).

Mesmo na presena de foras exteriores, como a gravidade e a fora normal, desde que a sua soma seja nula, o momento linear do sistema constante.

Exemplo Um canosta da canoa 1 empurra a canoa 2 com uma fora de 46 N, para as separar. A massa total da canoa 1 130 kg e a da canoa 2 250 kg. Determine o momento linear de cada canoa, aps a fora ter sido aplicada durante 1,2 s.

21

I1 = F1t = 55,2Ns = p1p1,i =m1v1,i = 0

Canoa 1: F1 = 46N

Como

p1, f = 55,2 kg m/s

I2 = F2t = 55,2Ns = p2p2,i =m2v2,i = 0

Canoa 2: F2 = 46N

Como

p2, f = 55,2 kg m/s

Exemplo Um canosta da canoa 1 empurra a canoa 2 com uma fora de 46 N, para as separar. A massa total da canoa 1 130 kg e a da canoa 2 250 kg. Determine o momento linear de cada canoa, aps a fora ter sido aplicada durante 1,2 s.

22

a1,x =F1,xm1

=46 N130 kg

= 0,354 m/s2

a2,x =F2,xm2

=46 N

250 kg= 0,184 m/s2

!F1 =m1

!a1 ,!F2 =m2

!a2

v1,x = a1,xt = (0,354 m/s2)(1,2 s) = 0,425 m/s

v2,x = a2,xt = (184 m/s2)(1,2 s) = 0,221 m/s

p1,x =m1v1,x = (130 kg)(0,425 m/s) = 55,3 kg m/s

p2,x =m2v2,x = (250 kg)(0,221 m/s) = 55,3 kg m/s!Psist = 0

Alternativa:

Exemplo Um vago de 14 toneladas desloca-se horizontalmente, com velocidade constante de 4 m/s. Quando passa por baixo de um silo, 2000 kg de cereal so despejados para o vago. Admita que o cereal cai exatamente na vertical e que as foras de atrito so desprezveis. Quanto tempo demora o vago a percorrer 500 m?

23

!Fi ext =

!Psyst

Fg gro x + Fg vago x + Fn x = 0

!Fi ext =

!Fg gro +

!Fg vago +

!Fn

Pi,sist x = Pf ,sist x

Exemplo Um vago de 14 toneladas desloca-se horizontalmente, com velocidade constante de 4 m/s. Quando passa por baixo de um silo, 2000 kg de cereal so despejados para o vago. Admita que o cereal cai exatamente na vertical e que as foras de atrito so desprezveis. Quanto tempo demora o vago a percorrer 500 m?

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mvagovi,x +mgro(0) = (mvago +mgro)v f ,x

Pi,sist x = Pf ,sist x

v f ,x = vi,xmvago

mvago +mgro

Como d = v fxt t =d(mvago +mgro)

mvagovix

t = (500 m)(14000 kg+ 2000 kg)(14000 kg)(4 m/s)

=143 s