TEMA I LTC 10- LÓGICA

LÓGICA BIVALENTE - 22 aulas • Unidade 1- Proposições – 8 aulas • Unidade 2- Condições e conjuntos- 14 aulas

---------------------------------------------Unidade 1-Proposições----------------------------------------

15ª e 16ª aulas- 4 de Outubro –

Correção do TPC.

Início do estudo da lógica bivalente.

Conceitos: Termos e Proposições. Valor lógico de uma proposição. Operações lógicas: negação e conjunção.

1. TPC 2. Pág. 104 ex.30 a)c); 31 3. Pág. 108 ex. 14

LÓGICA BIVALENTE -

1. CONCEITOS

• Termo ou Designação- expressão que designa um objeto Ex. 4; 2+1/3; mdc( 2,6) • Proposição-expressão à qual é possível atribuir valor lógico ( V ou 1; F ou 0). Daí o

nome lógica Bivalente (apresenta apenas 2 valores lógicos).Representam-se por p,q,r,s. Ex. p: 4 é nº par; q: 2+1/3 >4; r: mdc(2,6)=2.

• Princípio do terceiro excluído- Para uma proposição verifica-se apenas um dos casos é verdadeira ou é falsa ( não há terceiro caso).

• Princípio da não contradição- uma proposição não pode ser simultaneamente Verdadeira e Falsa.

• Proposições equivalentes- escreve-se 𝑝 ⟺ 𝑞 quando ambas tiverem o mesmo valor lógico.

17ª e 18ª aulas- 10 de Outubro – 2º feira

Correção do TPC.

Operações lógicas: Negação, conjunção, disjunção.

Prioridade das operações. Propriedades da conjunção e da disjunção

1. OPERAÇÕES LÓGICAS

Partindo de proposições simples é possível formar novas proposições ( compostas) utilizando operações lógicas. Assumem muita importância as expressões:

𝑛ã𝑜 → 𝑁𝑁𝑁𝑁çã𝑜 → ∽ 𝑁 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑐𝑛çã𝑜 → ∧ 𝑜𝑐 → 𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑛çã𝑜 → ∨ 𝑑𝑁… 𝑁𝑛𝑒ã𝑜 → 𝑑𝑖𝑝𝑖𝑑𝑐𝑁çã𝑜 → ⟹ 𝑑𝑁 𝑁 𝑑𝑜𝑖𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑑𝑁 ( 𝑜𝑐 𝑑𝑁 𝑁 𝑑ó 𝑑𝑁) → 𝑁𝑞𝑐𝑑𝑒𝑁𝑖ê𝑛𝑐𝑑𝑁 → ⟺

1. Negação ∽

Negação da proposição p representa-se por ∽ 𝑝

Tabela de verdade da Negação

Exemplos:

p ∽ 𝑝 2 é um nº primo 2 não é um nº primo

ou não é verdade que 2 seja nº primo

Todos os números ímpares são primos Não é verdade que todos os nºs ímpares são primos

ou Nem todos os nºs ímpares são primos

Nenhum nº par é primo Não é verdade que nenhum nº par seja primo ou Algum nº par é primo

2 < 3 2≥3 2∈ 𝑁 2∉ N

Dupla Negação:

Pág. 15 ex.4

2. Conjunção ∧ Tabela de verdade

Pág. 16 ex.5,6

3. Disjunção ∨ Tabela de verdade

Pág. 17 ex.7,8

Fazer ex. 8, 9,10

19ª e 20ª aulas- 11 de Outubro – 3ª feira

Correção do TPC.

Primeiras Leis de De Morgan.

Implicação.

10º B Nota: PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES 1º Parentesis 2º ∽ 3º ∧ 𝒆 ∨ ( pela ordem que aparecem) 4º ⟹ 𝑁 ⟺ ( pela ordem que aparecem)

𝑝 ⟹ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑒𝑁𝑖 𝑜 𝑖𝑁𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑑𝑁𝑛𝑑𝑠𝑑𝑐𝑁𝑑𝑜 𝑑𝑁 𝑝⟹ (𝑝 ∧ 𝑞) 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝑟 𝑒𝑁𝑖 𝑜 𝑖𝑁𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑑𝑁𝑛𝑑𝑠𝑑𝑐𝑁𝑑𝑜 𝑑𝑁 ( 𝑝 ∨ 𝑞) ⟺ 𝑟

𝑝 ∨ ~𝑞 ⟺ 𝑟 𝑒𝑁𝑖 𝑜 𝑖𝑁𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑑𝑁𝑛𝑑𝑠𝑑𝑐𝑁𝑑𝑜 𝑑𝑁 [𝑝 ∨ (~𝑞)] ⟺ 𝑟 Têm significados diferentes:

(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟 ≠ 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)

(𝑝 ⟺ 𝑞) ⟹ 𝑟 ≠ 𝑝 ⟺ (𝑞 ⟹ 𝑟)

• Propriedades da conjunção e disjunção Pág. 19

10 º C

Tautologia- é uma proposição composta que é sempre verdadeira quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições elementares que a formam.

Nota: Entre proposições usamos o símbolo equivalente.

Pág. 19 ex.9,12

Nota: Notação simbólica:

• Primeiras Leis de De Morgan

Pág.21 ex. 14,16,17

21ª e 22ª aulas- 13 de Outubro – 5ª feira

Correção do TPC.

Operações lógicas: Implicação e equivalência.

Relação da implicação com a disjunção. Propriedades da Implicação. Exercícios de aplicação.

1. TRABALHO AUTÓNOMO Nº 2 2. TPC Pág. 21 ex. 17

3. Implicação ⟹

𝑝 ⟹ 𝑞 𝑑𝑁𝑛𝑑𝑜 𝑝 𝑜 𝑁𝑛𝑒𝑁𝑐𝑁𝑑𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑁 𝑞 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑁𝑞𝑐𝑁𝑛𝑒𝑁

Pág.23 ex. 19

4. Preencher a tabela e deduzir as propriedades

5. Relação da implicação com a disjunção

p q ~p ~q 𝑝 ⟹ 𝑞 ~𝑝 ∨ 𝑞 ~𝑞 ⟹ ~𝑝

6. Propriedades da Implicação.

Pág. 25 ex. 24

Equivalência 𝑝 ⟺ 𝑞 𝑖ê− 𝑑𝑁 𝑝 𝑁𝑞𝑐𝑑𝑒𝑁𝑖𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑁 𝑞 𝑜𝑐 𝑝 𝑑𝑁 𝑁 𝑑ó 𝑑𝑁 𝑞

Propriedades da equivalência

23ª e 24ª aulas- 17 de Outubro – 2ª feira

Esclarecimento de dúvidas.

1. Olimpíadas da Matemática ? 2. Trabalho autónomo nº 2

Pág. 28 ex. 25,26,28,

Pág. 68 ex.28,29,30,32

25ª e 26ª aulas- 18 de Outubro – 3ª feira

Teste de avaliação.

PREPARAR TESTE 1 10º ano 1º Estudar muito bem os conteúdos teóricos referentes a cada uma das matérias 2º Fazer/ rever todos os exercícios do manual realizados em aula 3º Quem tem mais dificuldade deve fazer os exercícios que estão resolvidos no próprio manual e confrontá-los com a resolução apresentada. 4º Fazer os seguintes exercícios : TEMA Manual Outros: RADICAIS

1. Pág. 98 ex. 23, 30 2. Pág. 107, 108, 109( ex. 16 i,j,k;

ex. 18) Pág 110 ( ex. 20,21,24,25( a,b,c),26,27,28,29,30

3. Mini Teste 4. Trabalhos autónomos 5. Cad. Atividades: Pág. 10 ex.1 ( alguns), 2,

3,5. Pág.35 ex. Grupo I: 1,2,5; GrupoII,1,2,. Pág.40 ex. Grupo I: 1,2,3,4. Grupo II : 1,

6. Cad Ex. Texto (LINK) Pág 31 ex,14,15,19,20,21,22,25,26,27,28

7. Ficha4 ( está na pasta Fichas de Consolidação)

LÓGICA 8. Pág. 22 ex. 18,22,23,24,25,26 28 Pág. 68 ex.26,27,28,29,30,32,

Cad. Atividades: Pág4 ex.3,5,6,7,8,9,11,12,

7ª e 8ª aulas –Simplificação de expressões envolvendo operações com proposições.

Por. Ed. Pág 31

Pág. 68 ex.28,29,30,32

Resumo Por. Ed Pág 32 , 33

------------------------------------Unidade 2-Condições e Conjuntos-------------------------------------

27ª e 28ª aulas 20 Outubro ( 5ª feira) – Expressão proposicional ou condição. Expressão designatória. Classificação das condições.

1. Pág. 68 ex.28,29,30,32 Dúvidas?

2. Relembrar os conjuntos: Pág 33

CONCEITOS:

Relembrar:

• Termo ou Designação- expressão que designa um objeto Ex. 2+3; 4.5 • Proposição-expressão à qual é possível atribuir valor lógico ( V ou 1; F ou 0). Daí o

nome lógica Bivalente (apresenta apenas 2 valores lógicos).Representam-se por p,q,r,s. Nota: A saber:

Variável-símbolo que pode tomar um dado valor de um conjunto. Representa-se por uma letra:x,y,a,b,…

Constantes- designações ou termosnúmeros.

P= 2L+2C Perímetro do retângulo P,L,C variáveis e 2 é a constante

• Expressão Designatória-é uma expressão com variáveis que se transforma num

termo ( número) quando se substituem essas variáveis por objetos. 𝐸𝐸𝑁𝑖𝑝𝑖𝑜: 2𝐸 + 3 Expressão designatória.

• Expressão proposicional ou Condição- é uma expressão p(x) envolvendo a variável x, tal que substituindo x por um objeto a se obtém uma proposição p(a).

Exemplo:

2𝐸 + 3 = 7 Expressão proposicional

Pág. 31 Ex.32,33,34

Classificação das condições

Q

Nota: Para classificar as condições ( indicar o valor lógico) ∀𝐸,𝑝(𝐸) é necessário conhecer o domínio ( conjunto de elementos que a variável toma)

29ª e 30ª aulas 24 Outubro ( 2ª feira) – Quantificador universal e existencial. Operações lógicas com condições. Segundas Leis de De Morgan. Exercícios de aplicação.

Quantificador Universal- ∀ → 𝑃𝑁𝑟𝑁 𝑒𝑜𝑑𝑜 𝑜𝑐 𝑞𝑐𝑁𝑖𝑞𝑐𝑁𝑟 𝑞𝑐𝑁 𝑑𝑁𝑐𝑁

1. Linguagem corrente: “ todo o número natural é positivo”

Linguagem matemática:

• ∀𝐸, 𝐸 ∈ 𝑁 ⟹ 𝐸 > 0 • ∀𝐸 ∈ 𝑁, 𝐸 > 0 (mais simples) CONDIÇÃO UNIVERSAL em N

2. ∀𝐸 ∈ 𝑍, 𝐸 > 0 CONDIÇÃO É NÃO UNIVERSAl em Z porque para x=2 a proposição obtida é Verdadeira e para x= -3 a proposição obtida é Falsa

Quantificador Existencial - ∃ 𝑁𝐸𝑑𝑑𝑒𝑁 𝑝𝑁𝑖𝑜 𝑖𝑁𝑛𝑜𝑑 𝑐𝑖 𝑒𝑁𝑖𝑜𝑟

1. Linguagem corrente: “ Existe pelo menos um número racional que é solução da condição: 2𝐸 = 1 Linguagem matemática: ∃ 𝐸 ∈ 𝑄: 2𝐸 = 1 Condição Possível em Q

2. ∃ 𝐸 ∈ 𝑍: 2𝐸 = 1 Condição Impossível em Z

Assim os quantificadores Universal e Existencial aplicados a condições transformam as condições em Proposições.

∃ 𝑜𝑐 ∀ 𝑐𝑜𝑖 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑒𝑟𝑁𝑛𝑑𝑠𝑜𝑟𝑖𝑁 𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃ÇÃ𝑃

Pág. 33 Ex.35,36,37,38

31ª e 32ª aulas 25 Outubro ( 3ª feira) – Operações lógicas com condições.

Segundas Leis de De Morgan. Equivalência de condições. Equivalência como dupla implicação.

1. Relembrar entre Proposições:

Operações Lógicas (∧ 𝑁 ⋁ )com proposições

2. Operações Lógicas com Condições

𝑐(𝐸)− 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖 𝑞(𝐸)–𝑞𝑐𝑁𝑖𝑞𝑐𝑁𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑ção 𝑝(𝐸)– 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖 𝑁ã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖 𝑑(𝐸) – 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖

𝑑(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖

A conjunção de duas condições é verificada para todos os valores da variável que verificam simultaneamente as duas condições

𝑐(𝐸) ∧ 𝑝(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖

𝑐(𝐸) ⋁ 𝑞(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖

A disjunção de duas condições é verificada para todos os valores da variável que verificam pelo menos uma das condições dadas

𝑝(𝐸) ⋁ 𝑞(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖( podendo ser ou não

Universal)

~ 𝑑(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖

~ 𝑐(𝐸) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑃𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑í𝑒𝑁𝑖

Nota: 𝑑(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸)é 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑𝑑𝑒𝑁𝑖 Sendo 𝑑(𝐸) impossível significa que para todas as

concretizações da variável 𝐸, 𝑑(𝐸) é Falsa logo para qualquer concretização da variável 𝐹 ∧ 𝑉 = 𝐹𝑁𝑖𝑑𝑜 𝐹 ∧ 𝐹 = 𝐹𝑁𝑖𝑑𝑜 . Assim 𝑑(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) é 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑑𝑑𝑑𝑒𝑁𝑖

Exercício:

Pág. 38 Ex 42

3. Segundas Leis de De Morgan 𝐷𝑁𝑑𝑁 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑝(𝐸)

• ~( ∀𝐸, 𝑝(𝐸) ) ⟺ ∃𝐸: ~𝑝(𝐸) • ~( ∃𝐸: 𝑝(𝐸) ) ⟺ ∀𝐸, ~𝑝(𝐸)

Pág. 48 ex.61.

4. Equivalência de Condições

Nota: Mostrar que a condição ∀𝐸 ∈ 𝑈,𝑝(𝐸) 𝑛ã𝑜 é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑐𝑛𝑑𝑒𝑁𝑟𝑑𝑁𝑖 recorremos a um contraexemplo. Ou seja arranjamos uma concretização da variável que transforme p(x) numa proposição falsa.

• ∀𝐸 ∈ 𝑃, 𝐸2 > 0 esta condição não é universal pois para 𝐸 = 0 a condição é falsa.

Pág. 38 Ex 44,45,47b)c) 49 a) b),51,54,56,60,61,

Sejam 𝒑(𝒙) 𝒆 𝒒(𝒙) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄çõ𝒆𝒆 Exemplo

𝑝(𝐸) ⇒ 𝑞(𝐸)

𝑝(𝐸) → é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑑𝑐𝑠𝑑𝑐𝑑𝑁𝑛𝑒𝑁 𝑞(𝐸) → é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜 𝑛𝑁𝑐𝑁𝑑𝑑á𝑟𝑑𝑁

Só não é verificada ( não é verdadeira) por um valor da variável que torne 𝑝 numa proposição verdadeira e 𝑞 numa proposição Falsa

Dois nºs são negativos⟹ o produto é positivo condição Universal

• 𝐸 = 2 ⟹ 𝐸2 = 4 condição Universal • 𝐸2 = 4 ⟹ 𝐸 = 2

não é uma condição universal

𝑝(𝐸) ⟺ 𝑞(𝐸)

𝑝(𝐸) ⇒ 𝑞(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) ⇒ 𝑝(𝐸)

𝑝(𝐸) → é 𝑐𝑖𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑑çã𝑜

( dupla implicação)

𝑛𝑁𝑐𝑁𝑑𝑑á𝑟𝑑𝑁 𝑁 𝑑𝑐𝑠𝑑𝑐𝑑𝑁𝑛𝑒𝑁 para que se verifique 𝑞(𝐸)

Ao concretizar a variável x obtemos proposições com o mesmo valor lógico

2𝐸 = 4 ⟺ 𝐸 + 4 = 6

𝑝(𝐸) ⇒ 𝑞(𝐸) ⟺ ~𝑞(𝐸) ⇒ ~𝑝(𝐸)

Demonstração por Contrarrecíproco

• Pág 45 ex 56

Dar Resumo Port. Ed Pág. 56, 57

15ª e 16ª aulas – Conjuntos definidos por condições. Igualdade de conjuntos. Representação em compreensão e em extensão de um conjunto. Condições equivalentes.

Exemplo Representação de um conjunto em compreensão

𝐴 = {𝐸 ∈ 𝑈 ∶ 𝑝(𝐸)} Sendo U um conjunto e p(x) uma condição.

𝐴 = {𝐸 ∈ 𝑍: 𝐸 + 6 = 4}

Representação de um conjunto em extensão

𝐴 = {𝑁1,𝑁2,𝑁3, … ,𝑁𝑘} k elementos do conjunto A.

𝐴 = {2,4,6,8}

Condições equivalentes 𝑝(𝐸) ⇔ 𝑞(𝐸)

Se num Universo U 𝑝(𝐸) 𝑁 𝑞(𝐸) admitem o mesmo conjunto solução

𝑃 = 𝑄

Considera em R 𝑝(𝐸):𝐸 + 4 = 6 𝑞(𝐸): 2𝐸 = 4

Pág.51 ex. 67, 69,72 a)b)c)

17ª e 18ª aulas – Inclusão de conjuntos. Igualdade de conjuntos. Interseção e reunião de conjuntos. Complementar de um conjunto.

Conjuntos Exemplo Inclusão de conjuntos

𝐴 𝑁𝑑𝑒á 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑑𝑑𝑜 𝑁𝑖 𝐵 𝑜𝑐 𝐴 é 𝑐𝑖

𝑑𝑐𝑠𝑐𝑜𝑛𝑐𝑐𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑁 𝐵 𝐴 ⊂ 𝐵

∀𝐸, 𝐸 ∈ 𝐴 ⇒ 𝐸 ∈ 𝐵

A={2,3,5,7} B: conjunto dos nºs naturais inferiores a 8.

Igualdade de conjuntos 𝐴 = 𝐵 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑁 𝐵 ⊂ 𝐴

∀𝐸(𝐸 ∈ 𝐴 ⇔ 𝐸 ∈ 𝐵) se todos os elementos de A são elementos de B.

A: conjunto dos nºs primos inferiores a 10 B={2,3,5,7}

Interseção de dois conjuntos

𝑝(𝐸) ∧ 𝑞(𝐸) 𝑃 ∩ 𝑄

𝐴 = [𝜋, 10[ B={2,3,5,7}

𝐴 ∩ 𝐵 = {5,7}

União (ou reunião) de dois conjuntos

𝑝(𝐸) ∨ 𝑞(𝐸) 𝑃 ∪ 𝑄

𝐴 = [𝜋, 10[ B={2,3,5,7} 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3} ∪ [𝜋, 10[

Complementar de um Conjunto

~ 𝑝(𝐸) �̅�

𝐴 = [1, +∞[

�̅� = ]−∞, 1[

Complementar de um Conjunto em relação a outro

Diferença entre A e B A exceto B

𝐴 ∖ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵�

A={1,2,3,4,5} B={3,5,7} 𝐴 ∖ 𝐵 = {1,2,4}

Pág. 58 Ex.74,75,76

19ª e 20ª aulas – Exercícios globais sobre conjuntos definidos por condições.

Pág.62 ,63,64,65,66, 70,71

21ª e 22ª aulas – Exercícios globais sobre proposições e conjuntos definidos por condições.