16 Binômio de Newton

MATEMÁTICA PROFESSOR TENANI www.professortenani.com.br

149

BINÔMIO DE NEWTON

NÚMEROS BINOMIAIS

Dados os números naturais, n e p , chamamos número

binomial ao número.

!

( )! !

n n

p n p P

com n p

Dizemos que n é o numerador e p é o denominador.

Obs.

,n p

nC

p

Consequências:

10

nn

1

nn n

1n

nn

Propriedade

n n

p n p

Chamamos n

p

e n

n p

de números binomiais

complementares.

RELAÇÃO DE STIFEL

1 1

1

n n n

p p p

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) (UEL-PR) A solução da equação

1

4 7

1 2

2

n

n

é um número

múltiplo de:

a) 11

b) 9

c) 7

d) 5

e) 6

02) (MACK-SP) Os números binomiais 2

3

k

e 2

5

k

são

completares, k e 3k . Então k vale:

a) 6

b) 15

c) 8

d) 5

e) 10

03) (FUVEST-SP) Lembrando que !

! !

n n

p p n p

,

a) Calcule 6

4

b) Simplifique a fração

12

4

12

5

c) Determine os inteiros n e p de modo que

1 2

1 2 3

n n n

p p p

.


150

TRIÂNGULO DE PASCAL

01

0

1 11 1

0 1

2 2 21 2 1

0 1 2

3 3 3 31 3 3 1

0 1 2 3

4 4 4 4 41 4 6 4 1

0 1 2 3 4

Propriedades (I) Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes dos

extremos são complementares.

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

5 51 10 10 1

(II) A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma

linha é igual ao binomial situado imediatamente do

binomial da direita.

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

(III) A soma de todos os binomiais da linha n é 2n

0

1

2

3

4

01 2 1

0

1 11 1 2 2

0 1

2 2 21 2 1 2 4

0 1 2

3 3 3 31 3 3 1 2 8

0 1 2 3

4 4 4 4 41 3 6 4 1 2 16

0 1 2 3 4

Genericamente, temos:

... 20 1 2

nn n n n

n

ou 2

nn

p o

n

p


04) (UNIFOR-CE) Por uma das propriedades do triângulo de

Pascal, a soma 50 50 51 52

20 21 22 23

é igual a:

a) 53

23

b) 52

21

c) 52

22

d) 51

21

e) 51

22

05) (UEMS) O somatório 10 11

k o k

é igual a:

a) 34.572

b) 34.571

c) 2.048

d) 2.047

e) 2.045

06) (MACK-SP) A partir de um grupo de 10 pessoas, devemos

formar k comissões de pelo menos dois membros, sendo

que em todas deve aparecer uma determinada pessoa A

do grupo. Então k vale:

a) 1024

b) 512

c) 216

d) 511

e) 1023


151

BINÔMIO DE NEWTON

0 1 1 0... ...0 1

n n n n p p nn n n n

x a x a x a x a x ap n

ou

n

n n p p

p o

nx a x a

p

Obs.

(I) Possui 1n termos.

(II) A soma dos expoentes de um termo é o grau do binômio.

(III) O expoente do primeiro termos decresce e do segundo

cresce.

(IV) Os coeficientes do desenvolvimento de n

x a são os

elementos da linha n do triângulo de Pascal.


07) (PUC-PR) O valor da expressão 4 3 2 2 3 4103 4.103 .3 6.103 .3 4.103.3 3 é igual a:

a) 1410

b) 1210

c) 1010

d) 810

e) 610

08) (UNB) A expressão 17 17

170

1712 2 2

2

k k

k k

é

equivalente a :

a) 17

17

12 2

2

b) 17

17

12

2

c) 1

d)

17

17

2

2

09) (ITA-SP) O valor de 10 8 2 6 4 4 6 2 8 10

5 sec 10 sec 10 sec 5 sec sectg x tg x x tg x x tg x x tg x x

, para todo 0,2

x

, é:

a) 1

b) 2

2

sec

(1 )

x

sen x

c) 2sec tgx

d) 1

e) Zero

TERMO GERAL.

Essa fórmula nos permite encontrar o termos do

desenvolvimento de certa ordem conhecida.

1

n p p

p

nT x a

p


10) (UFPA) No desenvolvimento do binômio 5

2

3

1x

x

, qual

o termo independente de x ?

a) 2º

b) 3º

c) 4º

d) 5º

e) 6º

11) (MACK-SP) No desenvolvimento 2 3t

xx

, t os

coeficientes de binomiais do quarto e do décimo terceiro

termo são iguais. Então, o termo independente de x é o :

a) Décimo

b) Décimo primeiro

c) Nono

d) Décimo segundo

e) Oitavo

EXERCÍCIOS PROPOSTOS.


152

1) (FMABC-SP) O número de raízes da equação 2

12 12

2x x

é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) Maior que 3.

2) (PUC-RS) Sendo 18 18

4k k

, então !k vale:

a) 120

b) 720

c) 840

d) 5040

e) 40320

3) (UNIRIO-RJ) Calcule o valor de

...0 1 2 3 1

n n n n n n

n n

, sendo n ímpar;

justifique sua resposta.

4) (UFSM-RS) Se 6 6 6

...0 2 6

x

e

... 2551 2

y y yy

y

, então x

y vale:

a) 5

b) 6

c) 8

d) 7

e) 9

5) (ITA-SP) Dadas as afirmações:

I. ... 20 1 2 1

nn n n n n

n n

, para n .

II. , , 0,1,2,...,n n

n k nk n k

.

III. Existem mais possibilidades de escolher 44 números

diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que

escolher 6 números diferentes entre os inteiros de 1 a 50.

Conclui-se que:

a) Todas são verdadeiras.

b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.

c) Apenas (I) é verdadeira.

d) Apenas (II) é verdadeira.

e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

6) (UFSE) A soma 5 5 6 7

2 3 4 5

é:

a) 6

5

b) 7

6

c) 8

6

d) 8

4

e) 8

5

7) (UCSAL-BA) Se um número natural n é tal que

2

10 10 11 12

5 6 7 2n

, então n é:

a) Igual a 6 ou -6.

b) Um número par.

c) Um número quadrado perfeito.

d) Um número maior que 10.

e) Divisor de 15.

8) (UNIFOR-CE) A soma 30 30 30

2.8 9 10

é igual a:

a) 30

11

b) 31

9

c) 31

10

d) 32

9

e) 32

10

9) (UFPR) Sejam n e p números inteiros positivos, tais que

1n p . Então, 1 1

1 1

n n n

p p p

é igual a:

a) 1

1

n

p

b) n

p

c) 1n

p

d) 1

1

n

p

e) 1

1

n

p

10) (PUC-SP) Se 1

101

m

p

e 55

m

m p

, então

1m

p

é

igual a:

Comentado [G1]: GABARITO: C

Comentado [G2]: GABARITO: D

Comentado [G3]: GABARITO: 0

Comentado [G4]: GABARITO: 0C

Comentado [G5]: GABARITO: B

Comentado [G6]: GABARITO: E



Comentado [G9]: GABARITO: 0



153

a) 40

b) 45

c) 50

d) 55

e) 60

11) (UNIFOR-CE) Se o desenvolvimento do binômio 4( )ax b ,

com a e b reais, é 4 3 216 96 216 216 81x x x x ,

então os números a e b são tais que:

a) b é um número inteiro.

b) 3b é um número par.

c) a b

d) 2 9a

e) . 6a b

12) (PUC-MG) No desenvolvimento de 10( 1)x , o termo de

grau três tem coeficiente:

a) 80

b) 95

c) 100

d) 120

e) 135

13) (UFSE) No desenvolvimento do binômio 6( )x a ,

segundo as potências decrescentes de x , o termo central

é 3540x . Nessas condições o valor de a é:

a) -3

b) -2

c) 2

d) 3

e) 4

14) (UCSAL-BA) Dos coeficientes dos termos do

desenvolvimento do binômio 8

12x

x

, o maior é:

a) 512

b) 1024

c) 1120

d) 1792

e) 3548

15) (UEPI) O coeficiente de 3x no desenvolvimento de 5

13

3x

é:

a) 15

b) 18

c) 27

d) 30

16) (UFMT) O coeficiente do 4º termo do desenvolvimento de 6(2 3 )x y , segundo as potências decrescentes de x , é:

a) -4230

b) 4230

c) 4320

d) -4300

e) -4320

17) (FMJ-SP) No desenvolvimento do binômio 150

3

2

12x

x

segundo potências decrescentes de x, o termo

independente de x é o:

a) 71º

b) 85º

c) 91º

d) 100º

e) 121º

18) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do

desenvolvimento de 11( )x a igual a 51386x , o valor de

a deve ser:

a) 6 3

b) 32 6

c) 10

d) 3

e) 3 10

19) (FURG-RS) O termo independente de x no

desenvolvimento de 6

2

2x

x

é:

a) 4

b) 15

c) 30

d) 60

e) Inexistente

20) (UFOP-MG) No desenvolvimento de

6

3

1x

x

, qual o

coeficiente do termo em 2x ?

a) 20

b) 35

c) 56

d) 70

e) 15

21) (USJT-SP) Qual é o termo independente de x no

desenvolvimento do binômio de Newton 6

1xx

?

a) 16

b) 20

c) 24

d) 28

e) 32

22) (UFAL) O 4º termo do desenvolvimento do binômio 2 8(2 )x kx , segundo as potências decrescentes de x , é

igual a 1328x . Nessas condições, k é um número:








Comentado [G18]: GABARITO: A






154

a) Negativo.

b) Divisível por 3.

c) Irracional.

d) Racional e não inteiro.

e) Múltiplo de 6.

23) (MACK) O sistema

3 2 2 3

2 2

3 3 3 38

0 1 2 3

6

x x y xy y

x y

tem por solução

um par ordenado ( ; )x y cuja representação gráfica é um

ponto do: a) Primeiro quadrante b) Segundo quadrante c) Terceiro quadrante d) Quarto Quadrante e) Eixo das abscissas

24) (MAUÁ) Calcular a e b, sabendo-se que 3( ) 64a b e

que

5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5

321 2 3 4

a a b a b a b ab b

25) (UEL-PR) No desenvolvimento do binômio

10

4 1x

x

,

segundo potências decrescentes de x, o sétimo termo é:

a) 4210.x

b) 11

4120.x

c) 2210.x

d) 11

4120.x

e) 4210.x

26) (UEL-PR) No desenvolvimento do binômio 8

ykx

k

,

segundo as potências decrescentes de x, o quarto termo é 5 3224x y . Nessas condições, 4k é um número

compreendido entre a) 1 e 5 b) 6 e 11 c) 12 e 17 d) 18 e 23 e) 24 e 29

27) (UECE-CE) O coeficiente de x na expansão de 7

1xx

é:

a) 0 b) 7 c) 28 d) 35 e) 49

28) (UNESP-SP) No desenvolvimento de 6

3 x , segundo as

potências crescentes de x , o termo central é:

a) 210x

b) 324x

c) 330 3x

d) 360x

e) 360 3x

29) (PUC-RS) Se o terceiro termo do desenvolvimento de

n

a b é 5 221. .a b , então o sexto termo é:

a) 4 335. .a b

b) 3 421. .a b

c) 2 521. .a b

d) 67. .a b

e) 2 57. .a b

30) (UFPI) Se a e b são números reais tais que

101024a b e se o 6º termo do desenvolvimento

binomial é igual a 252, então:

a) 1

2a e

3

2b

b) 3a e 1b

c) 2

3a e

4

3b

d) 1

3a e

5

3b

e) 1a e 1b

31) (UNIFOR-CE) No desenvolvimento do binômio 8

4 2x

x

,

segundo as potências decrescentes de x , o quarto termo

é:

a) 17448x

b) 1756x

c) 20448x

d) 2056x

e) 23448x

GABARITO

01) C 02) D 03) 0 04) C 05) B

06) E 07) E 08) E 09) 0 10) B

11) E 12) D 13) D 14) D 15) D

16) E 17) C 18) A 19) D 20) A

21) B 22) D 23) D 24) * 25) C

26) C 27) C 28) E 29) C 30) E

32) A

* a) 1a e 3b


Comentado [G24]: GABARITO: a=1 b=3








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