17-18-19 JUNTOS
of 137
-
Upload
townsville878431382 -
Category
Documents
-
view
261 -
download
0
Transcript of 17-18-19 JUNTOS
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
1/137
1. En un determinado mes se produjeron 5 lunes, 5 martes y 5 mircoles. En el mesanterior hubo solo cuatro domingos. Entonces, el prximo mes incluirnecesariamente
A) 5 domingos. B) 5 mircoles.C) exactamente 4 viernes. D) exactamente 4 sbados.E) exactamente 4 jueves.
Resolucin:
1) El mes determinado es la que se muestra (marzo). Observe que el mes anteriores febrero.
Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do
2) El prximo mes es la que se muestra (abril).
Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do
3) Por tanto el prximo mes incluir necesariamente: exactamente 4 sbados
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
2/137
2. En un ao bisiesto se cuentan los das de la semana y se observa que hay msjueves y viernes que los dems das. Qu da de la semana es el 15 de junio deese ao?
A) martes B) jueves C) lunes D) mircoles E) domingo
Resolucin:Dado que un ao bisiesto tiene 366 das =52 semanas y 2 das. Debemos empezar
con jueves y viernes:1 de enero es jueves2 de enero es viernesAs sucesivamente hasta llegar al 15 de junio.Total =30+29+31+30+31+15 = 166 = mltiplo(7) + 5 = martesPor lo tanto es martes 15 de junio
Clave: A
3. Considerando que hoy es lunes y que (2 )1n n das atrs, fue mircoles, qu da
ser luego de 1(2 )n n das?
A) martes B) jueves C) lunes D) viernes E) mircoles
Resolucin:Retrocediendo desde lunes, hasta mircoles:
0
(2 )1 7 5n n
Entonces:0
120 1 7 5n 4n
Luego, debe de pasar:0
184 7 2
Ser mircoles.Clave: E
4. La fiesta de HLM se realiz el da 14 de junio, un sbado del ao bisiesto 2008.Cuntos aos tienen que pasar, a partir de ese momento, para que el 14 de juniosea nuevamente sbado?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolucin:1) Tenemos el siguiente proceso consecutivo:
Ao Tipo de ao Da 14 de junio:
2008 Bisiesto Sbado2009 Normal Domingo2010 Normal Lunes
2011 Normal Martes2012 Bisiesto Jueves2013 Normal Viernes2014 Normal Sbado
2) Por tanto pasarn 6 aos para que el 14 de junio sea sbado nuevamente.
Clave: C
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
3/137
5. Juan, el martes 11 de marzo de 1975, cumpli una edad que es igual a la suma delos dgitos del ao en que naci. Qu da de la semana naci?
A) jueves B) viernes C) sbado D) domingo E) lunes
Resolucin:
a=5 y b=5Naci en 1955del 11 de marzo 1975 a 11 marzo 1955aos transcurridos = 20aos bisiestos = 5
d.t = 20 + 5= 25 =0
7 4 martes 3 = viernes
Clave: B
6. Otto von Bismarck-Schnhausen fue poltico prusiano, artfice y primer canciller delsegundo Imperio Alemn o Segundo Reich. Bismarck naci en Schnhausen, alnoroeste de Berln, el 1 de abril de 1815. Qu da de la semana naci Bismarck, siel 1 de abril de 2012 fue domingo?
A) sbado B) jueves C) lunes D) viernes E) martes
Resolucin:Contaremos das transcurridos hasta abril del 2012Aos transcurridos = 2012 - 1815 = 197
Aos bisiestos = 494
18162012
Das transcurridos sern: 197 + 49 = 246 =0
7 1 Luego el 1 de octubre de 1815 es sbado.
Clave: A
7. Sir Andrew John Wiles naci en Cambridge, Inglaterra, el 11 de abril de 1953; es unmatemtico britnico que alcanz fama mundial en 1993 por la demostracin delltimo teorema de Fermat. Si el 11 de marzo de 2012 fue domingo, qu da de lasemana naci Sir Andrew John Wiles?
A) sbado B) domingo C) lunes D) martes E) mircoles
Resolucin:
11 de marzo de 2012 domingo entonces + 31 das transc.=0
7 3
11 de abril 2012 mircolesdel 11 de abril 2012 al 11 de abril 1953aos transcurridos = 59bisiestos transcurridos = 15
d.t = 59 + 15 = 74 =0
7 4 mircoles 3 = Sbado
Clave: A
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
4/137
8. Alejandro Romualdo, reconocido poeta peruano de la generacin del 50, naci el 19de diciembre de 1926. Entre sus publicaciones destaca Canto coral de Tpac
Amaru con su famoso verso que dice: Y no podrn matarlo. El 29 de febrero de2012 fue mircoles; halle qu da naci, si muri el 27 de mayo 2008.
A) martes B) lunes C) domingo D) jueves E) viernes
Resolucin:Naci: Da/19/12/1926El 29/02/2012 fue mircoles veamos que da fue 19/12/2011:
Das trascurridos:0
72 7 2 , entonces fue un da lunes.Ahora veamos del 19/12/1926 al 19/12/2011:Aos trascurridos: 85Aos bisiestos (1928,., 2008) = 21
Das trascurridos:0
85 21 106 7 1 Romualdo naci un da domingo.
Clave: C9. Un capataz tiene por orden realizar una obra en 30 das. Al iniciar la obra con 10
obreros trabajando 6 horas diarias, en 20 das realizan el 50% de la obra. Cuntosobreros debe contratar adicionalmente, si aumenta la jornada a 8 horas diarias paraterminar la obra a tiempo?
A) 5 B) 6 C) 58 D) 15 E) 10
Resolucin: Obreros h/d das obra
10 6 20 50%
10 + x 8 10 50%
%50
%50x
20
10x
6
8
x10
10
luego x = 5
Clave: A
10. Una obra se comenz con n obreros y a partir del segundo da se despide un obrerocada da, hasta que qued solo 1 obrero con quien se concluy la obra. Si el primerda se hizo un noveno de la obra, en cuntos das se termin la obra?
A) 17 B) 16 C) 18 D) 19 E) 20
Resolucin:
n obreros hicieron9
1de la obra en 1 da, entonces los n obreros realizarn toda la
obra en 9 das.
Mtodo: todo parte
9(n) = 1(n) + 1(n 1) + 1(n2) + . + 1(1)
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
5/137
9n =2
)1n(n luego n = 17
concluyeron la obra en 17 das.
Clave: A
11. De cuantas maneras se pueden ubicar en un tablero de ajedrez que consta de 8x8
cuadriculas una ficha blanca en un casillero blanco y una ficha negra en un casilleronegro que no estn en una misma lnea horizontal ni vertical?
A) 780 B) 712 C) 815 D) 768 E) 1024
Resolucin:En un tablero de ajedrez hay 32 casilleros blancos y 32 casilleros negros.En cada fila vertical u horizontal hay 4 casilleros blancos y 4 casilleros negros.Al colocar una ficha blanca en cualquier casillero blanco (32 posibilidades)
eliminamos todos los casilleros negros que estn en lnea vertical y horizontal, esdecir eliminamos 4 casilleros negros verticales y 4 casilleros negros horizontalesquedando solo 32 8 = 24 casilleros negros.Por tanto: (32)(24) = 768
Clave: D
12. En el concurso de matemticas organizado por el CEPUSM en un saln rindieron elexamen un total de 24 alumnos y no pasaron a la siguiente fase (fase final) tantosalumnos como la mitad de los que s pasaron. Cuntas opciones distintas se tiene
para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? Indique como respuesta lasuma de cifras del resultado obtenido.
A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) 11
Resolucin:Del problema se tiene:Pasaron: 16No pasaron: 8
Luego el # de formas es: 16x15x14 = 3360
Clave: B
13. El siguiente recipiente de base cuadrangular contiene 16 m3 de agua. Luego sevierte al recipiente una cierta cantidad de agua, de tal forma que el recipiente quedatotalmente lleno. Se pide calcular el volumen del agua aadido.
A) 26 m
3
B) 30 m3
C) 35 m3
D) 36 m3
E) 38 m3
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
6/137
Resolucin:Vo = volumen inicialV = volumen de agua aadidoVr= volumen del recipientePor semejanza de pirmides:
3 3
3 3
2 16 254
3 3
or
r r
VV
V V
Por tanto: V = Vr- Vo = 54 16 = 38
Clave: E
14. En la figura mostrada, ABCD-EFGH es un prisma recto cuyas bases son regionescuadradas. Si M es punto medio, calcule la razn entre los volmenes de lapirmide H BMN y el prisma.
A)1
18
B)1
9
C)1
6
D)1
14
E)1
20
Resolucin:
pirmide(2U)h
V
3
prismaV (12U)h
Por tanto: pirmide
prisma
V 1
V 18
1. En enero de un cierto ao hubo 4 martes y 4 sbados. Qu da de la semana fue el9 de enero de ese ao?
A) lunes B) martes C) mircoles D) jueves E) viernes
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
7/137
Resolucin:
1) Se tiene el mes de enero:
Lu Ma Mi Ju Vi Sa Do
1 2 3 4 5
12
19
26
31
6
13
20
27
7 8 9 10 11
14 15 16 17 18
21 22 23 24 25
28 29 30
Enero
2) Por tanto 9 de enero fue Jueves.
Clave: D
2. Si el ayer de n das despus del pasado maana de maana, coincide con elmaana de 2n das despus de ayer, qu da de la semana fue nn das antes de
ayer, si pasado maana es domingo?
A) lunes B) martes C) domingo D) jueves E) sbado
Resolucin:
...Hoy
2n
n Del grfico: 2n + 1 = n + 4 n = 2Si pasado maana es domingo, el da de ayer fue jueves y 4 das antes fuedomingo.
Clave: C
3. El viernes 7 de diciembre del 2012 se celebrar una misa muy especial, la familia deDiego se reunir en la iglesia para conmemorar 110 aos de la muerte de sutatarabuelo. Qu da de la semana falleci el tatarabuelo de Diego?
A) viernes B) sbado C) lunes D) domingo E) martes
Resolucin:2012 110 =19021902, 1903, 1904, , 2012# de bisiestos = (2012-1904)/4 + 1=28# de das transcurridos = 110+28=138=7(19)+5Da pedido = viernes 5 = domingo
Clave: D
4. Charles Darwin, llamado padre de la teora de evolucin, naci el 12 febrero de1809. En 1859 publico su libro El origen de las especies donde formul que todaslas especies de seres vivos, han evolucionado mediante un proceso de seleccinnatural que consiste que miembros de una poblacin con caractersticas msadaptables sobreviven,.Muri el 19 de abril de 1882. Hallar el da que muri si el29 de febrero de 2012 fue mircoles.
A) Sbado B) jueves C) domingo D) viernes E) mircoles
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
8/137
Resolucin:Como por dato tenemos que: mircoles 29/02/2012
Das transcurridos para 19/04/2012:0
50 7 1 y debe ser juevesMuri: da 19/04/1882 y es jueves 19/04/2012Aos trascurridos: 130Aos bisiestos: 33 1 = 32
Das trascurridos:0
130 32 162 7 1
C. Darwin muri un da mircoles.Clave: E
5. Una cuadrilla de 12 obreros puede terminar una obra en 15 das, trabajando 10horas diarias. Al cabo de 7 das de labor se enferman 5 de los obreros, 3 das mstarde, se comunica al contratista que termine la obra a tiempo. Cuntos obrerosadicionales tendr que contratar para cumplir en el plazo fijado?
A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 7
Resolucin:Mtodo: todo parte
15 x 12 x 10 = 7 x 12 x 10 + 3 x 7 x 10 + 5 (7 + x) 10
Luego x = 8
Contrata adicionalmente 8 obreros.
Clave: A
6. Un grupo de obreros pueden terminar una obra en 13 das, trabajando 6 horasdiarias. Despus de 3 das de trabajo se determin que la obra quedase terminada 4das antes del plazo inicial y para lo cual se contrata 5 obreros ms y todos trabajan8 horas diarias; terminando la obra en el nuevo plazo fijado, con cuntos obrerosse inici dicha obra?
A) 20 B) 18 C) 21 D) 22 E) 24
Resolucin:
Mtodo: todo parte, X = Nro. De obreros al inicio.
13(x) (6) = 3 (x) (6) + 6 (x + 5) (8)
x = 20
Clave: A
7. Vctor invita al cine a su novia y a tres de sus amigas al cine, si los asientos son filasde 5 butacas cada una y todos se deben sentar en la misma fila; entonces las
afirmaciones siguientes son:- Los 5 podrn ubicarse de 25 maneras diferentes- Si Vctor se sienta siempre en el medio, se podrn ubicar de 24
maneras diferentes- Podrn ubicarse de 48 formas diferentes, si Vctor se sienta junto a su novia.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
9/137
Resolucin: Como son 5 personas, el 1 5 posibilidades, el 2 4 posibilidades,
el 3 3 posibilidades, el 4 2 posibilidades, el 5 1 posibilidad. Es decir
5x4x3x2x1=120. As la afirmacin 1 es falsa.
Al ubicarse en el medio Vctor quedan 4 disponibles 4x3x2x1=24 por tanto laafirmacin 2 es verdadera.
Vctor y su novia, se pueden contar como uno solo, luego 4x3x2x1=24 y entreVctor y su novia pueden intercambiar posiciones. Es decir 2x24=48. As laafirmacin 3 es verdadera.
Clave: D
8. Una familia que se encuentra en Lima desea visitar a unos parientes que seencuentran en Puno, se dan cuenta que tienen dos formas de llegar:
A) Lima (6 carreteras) Junn (5 carreteras) Cusco (3 carreteras) Madre de
Dios(4 carreteras) Puno.
B) Lima(4 carreteras) Huancavelica(5 carreteras) Ayacucho(9 carreteras)Apurmac(5 carreteras) Cusco(5 carreteras) Puno.
De cuantas maneras diferentes la familia se puede trasladar para llegar a Punotomando cualquiera de las dos rutas propuestas? Indique como respuesta la sumade cifras de dicho resultado.
A) 18 B) 15 C) 21 D) 22 E) 16
Resolucin:El nmero de formas en cada caso es:
A) 6x5x3x4=360
B) 4x5x9x5x5 = 4500
Luego el total es = 4860 Clave: A
9. Un profesor de matemtica de una Institucin Educativa asigna un problema deGeometra a Perico para que calcule el volumen del prisma recto que se muestra enla figura. Si la arista lateral mide 20cm y Perico resolvi el problema, cul es elvolumen del prisma?
A) 35320cm
B) 35400cm
C) 34440cm
D) 33910cm
E) 34980cm
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
10/137
Resolucin:
BC 39 AB
ANM ABC: BC 15 y AB 365 13 12
Volumen=
36 15
( )(20) 54002
Clave: B
10. Se funde una bola de plomo de 3 cm de radio para obtener luego bolitas del mismomaterial, con radio de 1 cm cada una. Cuntas bolitas, como mximo seobtendrn?
A) 27 B) 30 C) 35 D) 26 E) 28
Resolucin:Sea n el nmero de bolitas obtenidas.Como los volmenes de la esfera original y la suma de las n pequeas, deben seriguales tenemos:
27n)1(3
4n)3(
3
4 33
Clave: A
Aritmtica
1. Si35
132
2)!(2x
2)!(xx!
1)!(x1)!(x
(2x)!
-, halle (x 1)!
A) 120 B) 720 C) 24 D) 6 E) 2
SOLUCION:
(2x)(2x 1)(2x 2)! x(x 1)!(x 2)! 132
(x 1)!(x 2)!(x 1)x(x+1) (2x 2)! 35
x(2x 1) 66x = 6 (x 1)! = (6 1)! =120
(x 1)(x +1) 35
CLAVE: A
2. De un juego de 52 naipes se extrae al azar tres de ellas. Halle la cantidad demaneras de extraer al menos un as
A) 4 804 B) 4 200 C) 4 400 D) 4 800 E) 4 600
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
11/137
SOLUCIONX = # de ases 4 48 4 48 4 481 2 2 1 3 0x 1 C C C C C C 4804
CLAVE: A
3. En una reunin hay 4 estudiantes y 10 profesores. Cuntas comisiones de 5personas pueden formarse, si en cada una de ellas participan a lo ms 2alumnos?
A) 1 800 B) 1 812 C) 1 821 D) 1 802 E) 1 281
SOLUCION#E = 4; #P = 10 4 10 4 10 4 100 5 1 4 2 3C C C C C C 1812
252 + 840 + 720CLAVE: B
4. Un estudiante debe responder obligatoriamente 8 de 10 preguntas enumeradasde un examen. Si tiene que elegir al menos 4 de las cinco primeras, halle la
cantidad de maneras, como podra responder dicho examen
A) 25 B) 38 C) 30 D) 36 E) 35
SOLUCION
_ _ _ _ _
n = 8 5 5 5 54 4 5 3C C C C 25 10 35 CLAVE: E
5. Con las letras de la palabra MATEMATICO Cuntas permutaciones sepueden formar con la condicin de que las letras iguales estn equidistantesde los extremos?
A) 1440 B) 1220 C) 1430 D) 1600 E) 1340
SOLUCION
MATEMATICO MAT_ _ _ _ TAM # formas = 5.4.3.4! = 1440CLAVE: A
6. El capataz de un grupo de 20 obreros que construyen el tren elctrico, pidealeatoriamente, la opinin a tres de ellos sobre las nuevas disposiciones deseguridad en la construccin. Si 12 estn a favor y 8 estn en contra, cuntosresultados posibles obtendr el capataz de dicho sondeo?
A) 1 140 B) 1 104 C) 1 100 D) 1 401 E) 1 144
SOLUCION# FAVOR = 12 # CONTRA = 8 12 8 12 8 12 8 12 83 0 2 1 1 2 0 3C C C C C C C C 1140
CLAVE: A
_ _ _ _ _
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
12/137
7. Benito solo puede jugar a la ruleta 5 veces donde ganar o perder S/. 1 000 encada juego. Si empieza a jugar con S/. 2 000 y dejar de jugar a la quinta vez si pierde todo su dinero si gana S/. 3 000, esto es si completa los S/. 5 000.Halle el nmero de formas como puede suceder el juego
A) 30 B) 20 C) 40 D) 50 E) 25
SOLUCION
Total de casos: 25
Casos que culminan: FaltaGGG 4GPPP 2PGPP 2PP 8 16 juegos TOTAL: 32 16 + 4 = 20
CLAVE: B
8. En el nmero capica de 15 cifras ATINAANITALAVAL . Cuntas
permutaciones se pueden hacer con sus dgitos, teniendo en cuenta que todaslas vocales siempre deben estar juntas, lo mismo que las consonantes?
A) 35 200 B) 35 208 C) 35 820 D) 35 280 E) 35 802
SOLUCION
# permutaciones = 2!. 8 76;2 2;2;2P .P =8! 7!
2 . 352807!2! 2!2!2!
CLAVE: D
9. Cuntos productos diferentes se pueden obtener con los nmeros naturalesdel 33 al 41, ambos inclusive, tomndolos de tres en tres?
A) 84 B) 648 C) 5 040 D) 48 E) 468
SOLUCION9
3C 84
CLAVE: A
10. Willy, Lucho, Jos, Pedro, Sandra y Karina van al teatro y deben ubicarse enuna fila de seis asientos. Si Sandra y Karina deben ubicarse en los dosasientos del centro, de cuntas maneras diferentes podrn acomodarse?
A) 120 B) 24 C) 48 D) 12 E) 6
SOLUCION_ _ S K _ _ 4!2! = 48
CLAVE: C
11. Una grupo de turistas debe realizar un viaje de excursin, para el cual cuentancon tres vas para poder hacerlo; partiendo en tren, continuando en mnibus ypara llegar a su destino en avin. Si hay 5 rutas para el tren, 3 para el mnibusy 2 para el avin, de cuntas maneras diferentes podrn decidir el viaje?
A) 30 B) 10 C) 12 D) 24 E) 48
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
13/137
SOLUCION
TREN OMNIBUS AVIONA MB X # FORMAS: 5.3.2 = 30C ND YE P
CLAVE: A
12. Cuntos nmeros mayores de 5 000 pueden formarse con los dgitos 1, 2, 4 y 5?
A) 24 B) 12 C) 6 D) 120 E) 240
SOLUCION
5 _ _ _ = 63.2.1
CLAVE: C
A) 924 B) 936 C) 926 D) 928 E) 920
SOLUCION
2 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 1210 9;2 10P P P 924 CLAVE: A
2. De cuntas maneras se pueden sentar tres hombres y tres mujeres alrededorde una mesa circular de seis asientos, sino debe haber dos mujeres juntas nidos hombres juntos?
A) 6 B) 12 C) 10 D) 4 E) 16
SOLUCIONC3 3P .P 2!3! 12
CLAVE: B
3. Cuntos nmeros de tres cifras menores que 436 pueden obtenerse con losdgitos 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7?
A) 187 B) 197 C) 166 D) 162 E) 192
1. Cuntos nmeros de 12 cifras tienen como productos de cifras a 12?.
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
14/137
SOLUCION
______
abc
1 1 1
2 2 2
. .
. .
3 7 7 entonces 3.7.7 = 147
4 1 7 = 7
4 2 7 = 7
4 3 5 = 5 Por lo tanto 147 + 7 + 7 + 5 = 166
CLAVE: C
4. Cuntos mensajes diferentes se pueden obtener permutando, tres asteriscos,tres puntos y cuatro lneas verticales?
A) 2100 B) 4800 C) 10400 D) 4200 E) 720
SOLUCION
* * * . . . | | | | 104;3;3P 4200
CLAVE: D
5. Se quiere pintar una bandera que tiene cinco franjas horizontales y para ellodispone de cuatro colores diferentes. Si dos franjas contiguas no puedenpintarse de un mismo color, de cuantas maneras diferentes se puede pintar labandera?
A) 360 B) 512 C) 340 D) 1024 E) 324
SOLUCION
Total = 4.34 = 324
C13333
CLAVE: E
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
15/137
6. Tres parejas de esposos que asisten al teatro desean sentarse en una fila conocho asientos desocupados de cuantas maneras pueden sentarse si cadapareja quieren estar juntos?
A) 480 B) 960 C) 360 D) 420 E) 512
SOLUCION
_ _ _ _ _ _ _ _ 5 325.4.3.2!
P .2 .8 4802!
CLAVE: A
7. Con las letras de la palabra MARACUYA Cuntas permutaciones puedenrealizar si las vocales deben estar juntas?
A) 620 B) 480 C) 720 D) 600 E) 512
SOLUCION
AAAUMRCY 5! 43P = 120.4 = 480
CLAVE: B
8. De cinco hombres y ocho mujeres cuantas parejas mixtas se pueden formar siJuan se niega a formar pareja con Mara y Rosa
A) 60 B) 48 C) 38 D) 124 E) 96
SOLUCION
H = 5; M = 8# Parejas = 8.5 2 = 38
CLAVE: C
9. Si las consonantes de la palabra UNIVERSITARIA ocupan la mismaposiciones, de Cuntas maneras pueden permutar las vocales?
A) 960 B) 840 C) 780 D) 420 E) 920
SOLUCIONIIIAAUE 73;2P 420
CLAVE: D
10. Se tiene cuatro libros diferentes de fsica y tres libros diferentes de matemticade cuntas maneras se podr ubicar en un estante para cinco libros y deben
estar en forma alternada?
A) 256 B) 240 C) 144 D) 320 E) 216
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
16/137
SOLUCION
F = 4; M = 3
F M F M F
M M M F M 4.3.2.3.2 + 3.2.1.4.3 = 144 + 72 = 216
CLAVE: E
lgebra
1. Si a,2,b,4,b,2a,3,a,4,2f es una funcin, hallar 6f .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solucin:
36f 3bb4f,34f4aa2fy42f
a,2,b,4,b,2a,3,a,4,2f
Clave: C
2. Hallar el rango de la funcin 2,2xsi,1xxxf .A) 0,3 B) 2,3 C) 1,3 D) 1,3 E) 1,0 Solucin:
1,311,3fRanLuego1y3
11x23
0x240x2Como
2,0xSi,1
0,2xSi,1x2xf
2,2x,1xxxf
Clave: D
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
17/137
3. Hallar el mnimo valor de la funcin f tal que 9x12x3xf 2 .A) 3 B) 3 C) 4 D) 6 E) 2
Solucin:
3esfdevalormnimo
3y
312x3
112x
02x
12x3
3x4x3
9x12x3xf
2
2
2
2
2
2
Clave: B
4. Determine la suma de los cuadrados de los elementos enteros del dominio de
la funcin 1xx164x2xxf 22 .A) 36 B) 16 C) 29 D) 30 E) 8
Solucin:
30169414321
4,1,14,4fDom
,1x
1x01x)iii
4,4x
04x4x
016x
0x16)ii
x
031x
04x2x)i
01x0x1604x2x:iominDo
1xx164x2xxf
2222
2
2
2
2
22
22
R
R
Clave: D
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
18/137
5. Si fRanfDomhalle,5x
x5xf .
A) ,0 B) ,0 C) 5,0 D) 5,0 E) 5,0 Solucin:
5,05,0,05,fRanfDomLuego5y
5y
y5x
5x
x5y
0y05x
x5
y:Rango)ii
,05,x
05x
x5:iominDo)i
5x
x5xf
2
22
Clave: D
6. Sean 1x
2xxgy
1x
2xxf
funciones reales de variable real.
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) Las funciones f y g tienen el mismo dominio.
ii) Si ,1hDom,xgxfxh .iii) 2,fgDom A) FVF B) FFF C) FVV D) FFV E) VVF
5 0
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
19/137
Solucin:
,1,1,201x02xxgDom
,12,01x
2x/xfDom
1x
2xxgy
1x
2xxf
/R
R
F)iii
V)ii
F)i
,1fgDom
,1,1,12,gfDom
Clave: A
7. Si f : R R es una funcin tal que 3xxxf 2 , hallar el mximo de f en 1,0 .A)
4
5B)
4
11C)
4
13D) 12 E) 3
Solucin:
4
11esfdemximoelLuego
4
11xf3
4
1
4
1
2
1x0
04
1
2
1x
4
1
4
1
2
1x0
21
21x
21
1x01,0xComo
34
1
2
1xxf
1,0xsi,3xxxf
2
2
2
2
2
Clave: B
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
20/137
8. Cules de las siguientes funciones son pares?
4,4xsi,11xxf)IV
4,3xsi,1xxf)III
2,2xsi,1xxf)II
1,1xsi,1xxf)I
A) Todas B) I y II C) I , II y III D) II y IV E) I , II y IV
Solucin:
paresfuncionesson)IVy)II,)ILuego
fDomxfDomxSi)b
fDomx,xf1x1xxf)a
1xxf
Clave: E
EVALUACIN DE CLASE
1. Si f es una funcin definida por bxbaxf , ba tal que 10,2,7,1f , hallar el valor de f (a + b).A) 8 B) 11 C) 10 D) 0 E) 6
Solucin:
1141545415fLuego5ba1a;4b4b
10b3a2
14b4a2
10b3a2
7b2a
:solviendoRe
10b3a210bb2a210bba2102f
7b2a7bba71f
bxbaxf
Clave: B
2. Determine el conjunto de valores de x de modo que la funcin 3x2xf sea no negativa.A) 1,2 B) 8,2 C) 6,1 D) 5,1 E) 8,5
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
21/137
Solucin:
5,1x5x1
23x2
23x
03x2y
3x2xf
Clave: D
3. Dada la funcin cuadrtica bxaxxf 2 tal que x,x1xfxf R. Hallar a b.
A) 2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Solucin:
0ba
2
1b
2
1a0ba
2
1a
xbaax2
xbbxaax2axbxax
x1xb1xabxax
x1xfxfbxaxxf
22
22
2
Clave: B
4. Dada la funcin 4x36xf 2 . Hallar la suma de los elementos delconjunto fRanfDom Z.A) 5 B) 11 C) 9 D) 15 E) 7
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
22/137
Solucin:
6,6x
06x6x
0x36:iominDo 2
72101234
2;1;0;1;2;3;4Z2,46,6fRanfDom
2,4y
2y1064y6
364y
04y36
4y36x
x364y
4y0x364y
4x36y:Rango
2
2
22
22
2
2
Z
Clave: E
5. Hallar el dominio de la funcin 2xx
1xxf
2 .
A) ,11,2 B) ,62,3 C) ,10,2 D) ,10,3 E) ,31,2
Solucin:
;11;2fDom
01x2x
1x
2xx
1x:iominDo
2xx
1x
xf
2
2
Clave: A
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
23/137
6. Si RR :f es una funcin tal que 2x1002xf , hallar fRanfDom .A) 10,8 B) 8,0 C) 10,2 D) 10,2 E) 10,0 Solucin:
10,10x
010x10x
0x100:iominDo
x1002xf
2
2
10,212,210,10fRanfDom
12,212,8,2fRan
12,8y
012y8y
0y8y12
02y102y10
02y100x
x1002y
2y0x100
x1002y:Rango
22
22
2
2
Clave: C
7. Dada la funcin cuadrtica 5x4xxf 2 . Indicar que puntos de f cumplenque su diferencia de coordenadas es 9 y su abscisa no sea un nmero primopositivo.
A) 7,2 B) 5,4,8,1 C) 5,4,7,2 D) 5,4,8,1,7,2 E) 1,8,4,5
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
24/137
Solucin:
f8,1f5,45y,4x;8y,1x
1x4x01x4x95x4xx9yxsiAhora
f7,2
7y,2x2x7x
02x7x
014x5x
95x5x9x5x4x9xyfy,xSea
5x4xxf
2
2
22
2
Clave: D
8. Cules de las siguientes resultan de la suma de una funcin par y una
funcin impar?
I) g(x)= x2senx3cos II) h(x)= 1x2x III) xfxf
2
1xfxf
2
1xf
A) Solo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I , II y III
Solucin:
Sea f (x) una funcin
xfxf2
1xfxf
2
1xf
par impar
Luego toda funcin es la suma de una funcin par e imparClave: E
Tr igonometra
1. La funcin real f definida por f(x) = tg5x ctg5x + 10. Hallar el complemento deldominio de f.
A)
Zn/5
nB)
Zn/10
nC) Z n/n
D)
Zn/6
nE)
Zn/2
n
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
25/137
Solucin:
5x (2n + 1)2
5x n
x (2n + 1)10
x
5
n x
10
n
(Domf)c
=
Zn/10
n
Clave: B
2. Hallar el complemento del dominio de la funcin f definida por
f(x) 12 ctg cosx 5 .
A)
Zn/2
)1n2(B) Z n/n C)
Zn/2
n
D)
Zn/4
nE)
Zn/3
)1n2(
Solucin:
cosx n
cosx n
cosx 1
x n
(Domf)c
= Z n/n
Clave: B
3. Hallar el complemento del dominio de la funcin real f definida por
ctg4xf(x)
sec 4x 1
.
A)
Zn/
2
n3 B) Z n/n C)
Zn/
2
n
D) ,4 2
E)
Zn/4
n
Solucin:
f(x) =1x4sec
x4ctg
est definida si sec4x 1 sen4x 0
entonces 4x 2n 4x n
x 2
n x
4
n
x 4
n
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
26/137
4. Sea la funcin real f definida por f(x) = 2 ctg csc6x4
, x
5,
12 36
. Hallar el
rango de f.
A) 2,3 B) 1,3 C) 0,2 D) 1,2 E) 0,1
Solucin:
Como12
x
36
5, entonces
2
6x
6
5
1 csc6x 2
4
4
csc6x
2
0 ctg
x6csc
4 1
2 f(x) 3
Ran(f) = 2,3
Clave: A5. Hallar el rango de la funcin real f definida por f(x) =
2sec x csc x 1 .
A) [1, B) [9, C) 1, D) 9 , E) [2,
Solucin:
f(x) = (secxcscx + 1)2 = (2csc2x + 1)2
csc2x 1 csc2x 1
2csc2x 2 2csc2x 2
2csc2x + 1 1 2csc2x + 1 3
(2csc2x + 1)2 1 (2csc2x + 1)
2 9
Ran(f) = [1,
Clave: A
6. Sea la funcin real f definida por f(x) = 2csc x 10csc x 20 , x 5
,4 6
.Si el rango
de f es a,b , calcularab 4
10
.
A)5
2B)
5
7C) 4 D) 5 E) 10
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
27/137
Solucin:
f(x) = (cscx 5)2 5
tenemos4
x
6
5, entonces
1 cscx 2
4
cscx 5 3
9 (cscx 5)2 16
4 (cscx 5)2 5 11
Ran(f) = [4,11]
ab 4
10
= 4
Clave: D
7. Si el rango de la funcin real f definida por f(x) = tgx sec x csc x , x 2 5
,3 6
es a,b , calcular a + 3b.
A) 2 2 B) 3 3 C) 3 2 D) 2 3 E) 3 2 Solucin:
f(x) = tgx + secxcscx =xcossenx
1
xcos
senx
=xcossenx
1xsen2 =
xcossenx
xcos2= ctgx
Luego6
5x
3
2
3
3)x(f3
a + 3b = 2 3
Clave: D
8. La funcin real f est definida por f(x) = 3cscx ,5
x , ,4 4
. Si el rango
de f es ,b a, , hallar2a b .
A) 20 B) 30 C) 21 D) 22 E) 39
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
28/137
Solucin:
Si x
,4
, entonces cscx 1
Si x 4
5,
, entonces cscx 2
Luego
3cscx 3 3cscx 3 2 Ran(f) = [3, , 3 2 ]
a = 3, b = 3 2
a + b2 = 3 + 18 = 21Clave: C
9. Sea f la funcin real definida por f(x) =sec x
2, 4 6x 7 . En cunto excede
el valor mximo de f a su valor mnimo?
A)2
1B) 1 C)
4
1D)
3
1E) 2
Solucin:
Como 4 6x 7 , entonces
3
2 x 0)
(y k)2 = 4p(x h)
V = ( 6,0) y2
= 4p(x + 6)
A = (2,8) 64 = 4p(8) 4p = 8
y2 = 8(x + 6)
Reemp. B( 3, k)
k2 = 8(3) k = 2 6
Clave: B
3. Si P( 2, 4) es punto medio de una cuerda de la parbola: y2 + 6x + 10y + 19 = 0,
halle la ecuacin de la recta que contiene a dicha cuerda.
A) x + 2y + 10 = 0 B) x + 3y + 14 = 0 C) 3x + y + 10 = 0
D) 2x + y + 8 = 0 E) x + 3y 10 = 0
Solucin:
Ec. de P : (y + 5)2
= 6(x + 1)
eje focal // eje X (p < 0)
V = ( 1, 5)
x1 + x2 = 4 y1 + y2 = 8
Reemp:
y 21 + 6x1 + 10y1 + 19 = 0
y 22 + 6x2 + 10y2 + 19 = 0
8(y2 y1) + 6 (x2 x1) 10(y2 y1) = 0
3xx
yy
12
12
3
2x
4y
3x + y + 10 = 0
Clave: C
4. Una parbola contiene al punto R( 1, 2), su lado recto tiene como longitud 4 m, sueje focal es paralelo al eje X y su vrtice cuya ordenada es positiva pertenece a larecta x 3 = 0. Halle la ecuacin de la parbola.
A) (y 6)2 = 4(x 3) B) (y + 6)
2 = 4(x 3) C) (x 2)2 = 4(y 2)
D) (y 2)2 = 4(x 3) E) (x 3)
2 = 4(y 2)
)(
Y
X
P
V
B
A
Y
X
(x ,y )2 2
(x ,y )1 1
(x,y)
P( 2, 4)
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
33/137
Solucin:
Eje focal // eje X (p < 0)
(y k)2 = 4p(x h)
V = (3,k) (y k)2
= 4p(x 3)
p4 = 4 4p = 4 p = 1
(y k)2 = 4(x 3)
Reemp. R( 1, 2)
( 2 k)2
= 4( 1 3) k = 4 2 k = 2
Ec. P : (y 2)2 = 4(x 3)
Clave: D
5. La ecuacin de una parbola es y2 4x 2y 11 = 0. Halle la distancia en metrosdel foco a la directriz.
A) 3 m B) 3,5 m C) 2,5 m D) 1 m E) 2 m
Solucin:
Ec. P : y2 2y + 1 = 4x 12
(y 1)2
= 4(x 3)
d(F,L ) = p2
p4 = 4 p2 = 2
Clave: E
6. Halle la ecuacin de una parbola cuyo vrtice es el punto V(2, 3), pasa por elpunto A(4,1) y su eje focal es la recta x 2 = 0.
A) )3y(2)2x( 2 B) )3y(4)2x( 2 C) )3y(2)2x( 2 D) )3y(4)2x( 2 E) )3y(8)2x( 2
Solucin:
Eje focal // eje Y
(x h)2 = 4p(y k) p > 0
(x 2)2
= 4p(y + 3)
Para x = 4 y = 1
Reemp. 4 = 4p(2) 4p = 2
(x 2)2 = 2(y + 3)Clave: A
Y
X
V = (3,k)
R( 1, 2)
3
Y
X
P
V
eje focal
Y
X
V(2, 3)
eje focal
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
34/137
7. El agua que fluye de un grifo horizontal que est a 25 m del piso, describe una curvaparablica con vrtice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se ha alejado10 m de la recta vertical que pasa por el grifo, halle a qu distancia de esta rectavertical tocar el agua el suelo.
A) 20 m B) 25 m C) 26 m D) 21 m E) 28 m
Solucin:
Eje focal // eje Y
x2
= 4py y p < 0
Para x = 10 y = 4
Reemp.:
100 = 4p( 4) 4p = 25
x2 = 25y
x2 = 25( 25)
x = 25Clave: B
8. En la figura, CM es el lado recto de la parbola P de vrtice V (1,0) y el rea de la
regin sombreada es8
9m2. Halle la ecuacin de la parbola.
A) y2 = 3(x 1)
B) (x 1)2 = 3y
C) (x 1)2 = 2y
D) (y 1)2 = 3x
E) (x 1)2 = 6y
Solucin:
Asomb =2
pp4 2p2
4
8
9
p =4
3
Eje focal // eje Y
V = (1,0) y p > 0
(x 1)2 = 3y
Clave: B
X
Y
2125
410
x
C
O V
M
Peje focal
p
4p
F
Y
X
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
35/137
9. En la figura, OA es dimetro, A y V son puntos de tangencia y el rea del
semicrculo es 50. Si el eje X es directriz de la parbola P y 2AB = 3AO, halle la
ecuacin de dicha parbola.
A) (x + 2)2 = 24(y + 6)
B) (x 2)2 =12(y + 6)
C) (y 6)2 = 12(x 2)
D) (x 2)2 = 24(y 6)
E) (x 2)2 = 12(y 6)
Solucin:
A =
8
OA2= 50 OA = 20
V = (2,6) y p > 0
Eje focal // eje Y
(x 2)2
= 4p(y 6)
Si eje X es directriz
p = 6Reemp:
(x 2)2
= 24(y 6)Clave: D
10. Un arco parablico tiene 18 m de altura y 24 m de ancho. Si la parte superior del arcoes el vrtice de la parbola. Halle la altura donde la parbola tiene un ancho de 16 m.
A) 14 m B) 9 m C) 12 m D) 8 m E) 10 m
Solucin:
Eje focal // eje Y
V = (0,0) y p < 0
x2 = 4py
Para x = 12 y = 18
122 = 4p( 18) 4p = 8
x2 = 8y
Para x = 8 y = (18 h)
64 = 8(18 h) h = 10Clave: E
ejefocal
P
O
V
Q A X
Y
B
2
6
8 10
10
3730
24
16
h
18
X
Y
V
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
36/137
11. Una parbola cuya ecuacin es y2 = 20x,pasa por el punto M de abscisa igual a 7.Halle el radio focal del punto M.
A) 10 m B) 12 m C) 8 m D) 9 m E) 14 m
Solucin: Si y
2= 20x
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
p = 5
Para x = 7 y = b
b2 = 20 7 b = 2 35
d = 22 )0352()57(
d = 12
Clave: B
12. Halle la ecuacin de una circunferencia que tiene por dimetro el lado recto de laparbola cuya ecuacin es y2 = 16x.
A) (x + 3)2 + (y 1)2 = 8 B) (x 2)2 + y2 = 25 C) x2 + (y 3)2 = 32D) (x + 2)2 + (y 1)2 = 25 E) (x 4)2 + y2 = 64
Solucin: Si y2 = 16x
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
4p = 16 p = 4
Ec. circunf.
(x 4)2
+ y2
= 64Clave: E
13. En la figura, F y V son foco y vrtice de la parbola P: Si VO = 10 m y ON = 12 m,halle la ecuacin de la parbola.
A) (x 10)2 = 25y/6
B) (x + 5)2
= 15y/2
C) (x 10)2
= 25y/3
D) (x 5)2 = 25y/3
E) (x 10)2 = 50y/3
Y
XF(5,0)
M(7,b)
d
Y
XF(4,0)
8
8
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
37/137
Solucin:
Eje focal // eje Y
V = (10,0)
(x 10)2 = 4py
Para N = (0,12)
100 = 4p(12) 4p =3
25
(x 10)2 =3
25y
Clave: C
14. Se tiene una parbola P : y = x2, en la cual se traza la recta L paralela a
L1 : y = 2x 7, y que pasa por el punto (0,3). Halle la longitud del segmento que
tiene como extremos los puntos de interseccin de L y P:
A) 4 2 B) 5 2 C) 4 5
D) 3 2 E) 2 3
Solucin:
L : y = mx + b
Si L // L1 mL = 2
Reemp:
y = 2x + 3
L P
x2 = 2x + 3
x2 2x + 1 = 3 + 1
(x 1)2 = 4 x = 1 2
x = 3 y = 9
x = 1 y = 1
d = 4 5
Clave: C
O V
ejefocal
Y
X
NF
12
10
Y
X
( 1,1)
(3,9)d
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
38/137
1. En la figura, el eje Y es la directriz de la parbola P de foco F y vrtice V.Si QR = 2 m y OF = 6 m, halle las coordenadas de P.
A) (1, 32 )
B) (1, 52 )
C) (4, 52 )
D) (4, 32 )
E) (4, 22 )
Solucin:
OV = VF (propiedad)
TrazarPHOF
QRP FHP
OP = PF = 4
P = (4, 32 )
Clave: D
2. El punto C(3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta: L: 2x-5y+18=0, determinando una cuerda cuya longitud es igual a 6m. Halle la ecuacinde dicha circunferencia.
A) (x 3)2 + (y + 1)2 = 36 B) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 17C) (x + 3)2 + (y - 1)2 = 19 D) (x 3)2 + (y +1)2 = 38E) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 34
Y
XO
QP
RV H F
2 4a
2
a
4
2 3
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
39/137
Solucin: d(C,L) =
22 52
18)1(5)3(2
= 29
R2 = ( 29 )2 + 32 = 38
Ec. de C :(x-3)2 + (y+1)2 = 38
Clave: D
3. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto A(3,5) y es tangente a la
recta L : 3x + y + 2 = 0 en el punto B(-1 ,1).
A) (x 2)2 + (y + 2)2 = 10 B) ) (x + 2)2 + (y - 2)2 = 10C) (x 2)2 + (y - 2)2 = 9 D) (x 2)2 + (y - 2)2 = 10E) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9
Solucin:
mBC .mL = -1m
L= -3
mBC =1h
1k
3
1
. . .I
mCM = 11h
3k
. . . II
De I y II
(x -2)2 +(y 2)2 = 10Clave: D
4. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene
su centro en el punto comn de las rectas L1: x + 3y 6 = 0 y L2: x 2y 1 = 0.A) (x - 2)2 + (y+2)2 = 10 B) (x 1)2 + (y 3)2 = 10C) (x 3)2 + (y 1)2 = 10 D) x2 + (y-1)2 = 15
E) (x-3)2 + y2 = 15
3
3d
C(3,-1) R
L : 2x-5y+18=0
L : 3x+y+2=0
B(-1,1)
A(3,5)
C(h,k)
R
M(1,3)
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
40/137
Solucin:
x + 3y = 6 . . . I
x 2y = 1 . . . II
De I y II : x = 3 y y = 1
R2=(3-0)2 +(1-0)2=10
(x 3)2
+ (y 1)2
= 10
Clave: C
5. Halle la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est en el eje Y, la cual pasa por
los puntos A( 0,62 ) y B(3, 5).
A) x2 + (y + 1)2 = 25 B) x2 + (y 1)2 = 25C) x2 + (y 2)2 = 18 D) x2 + (y + 2)2 = 58E) x2 + (y3)2 = 13
Solucin:
R2 =24 + h2 = 9+(5-h)2
h = 1 y R2 = 25
Ec. de C :x2 + (y-1)2 = 25
Clave: B
6. Una pelota describe una curva parablica alrededor de un punto F, siendo este elfoco de la parbola. Cuando la pelota est a 10 m de F, el segmento de recta de F a
la pelota hace un ngulo de 60 con el eje de la parbola. Halle la ecuacin de laparbola.
A) y2
= 10x B) y2
= 4x
C) y= 10x
2
D) y2
= 5x
E) x2
= 10y
Solucin:
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
y2 = 4px p =2
5
y2 = 10x
Clave: AX
YL
V F H552
10
10
60
P
Y
XO
C(h,k)
Y
XO
C(0,k)
( ,0)
(3,5)
62
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
41/137
1. El avestruz Alwi est entrenando para la Competencia de Cabeza en Arena de lasOlimpadas de los Animales. l saca la cabeza de la arena a las 8:15 en la maanadel da lunes y as alcanza un rcord al permanecer por 98 horas y 56 minutos.
Cundo meti Alwi su cabeza en la arena?
A) Viernes a las 11:11 a.m.B) Jueves a las 5:41 a.m.C) Jueves a las 11:11 a.m.
D) Viernes a las 5:19 a.m.E) Jueves a las 5:19 a.m.
Solucin:1) Como 98h 56min = 4d 2h 56min2) Retrocediendo 4d, ser: jueves 8:15 a.m.3) Luego retrocediendo 2h 56min, ser: 5.19 a.m.4) Por tanto Alfonso meti su cabeza. Jueves 5:19 a.m.
Clave: E
2. Elisa dobla una hoja de papel cinco veces. Luego, ella hace un agujero al papeldoblado antes de desdoblarlo. Cuntos agujeros tiene el papel desdoblado?
A) 64 B) 20 C) 32 D) 24 E) 16
Solucin:1) El papel con cinco dobleces, produce 32 pliegues paralelas.2) Por tanto se producen 32 agujeros.
Clave: C
3. Julio tiene dos hijos. l es 25 aos mayor que su hijo menor. Se puede determinarla edad de Juliosi:
(1) Entre sus dos hijos suman la edad de l.(2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 aos.
A) Ambas juntas, (1) y (2) B) (2) por s solaC) Se requiere informacin adicional D) Cada una por s sola, (1) o (2)E) (1) por s sola
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
42/137
PartidosJugados
PartidosGanados
Goles encontra
PartidosPerdidos
PartidosEmpatado
Goles aFavor
Union
Alianza
Sporting
2 0
1
2
4
Solucin:Con el primer dato se obtiene:Padre: x + 25H. menor: xH. mayor: yx + y = x + 25y = 25No se puede determinar la edad de Julio
Con el segundo dato se obtiene: y x = 5No se puede determinar la edad de JulioPero usando los dos datos juntos se obtiene: x = 20Julio tiene 20 + 25 = 45
Clave: A
4. Alianza, Unin y Sporting, disputan un torneo de una sola ronda (cada equipo juegauna vez con los otros). Aparece una tabla de posiciones con solo algunos datos delos partidos jugados. Cul fue el resultado del partido entre Unin y Alianza, en eseorden?
A) 2-0 B) 3-0 C) 1-0 D) 2-1 E) 3-1
Solucin:
De los datos observados se deduce
unin 2alianza 0
alianza 2
sporting 2unin le gana a sporting x-0
Clave:
5. Se verifican las siguientes operaciones 2 + 3 = 10, 7 + 2 = 63, 6 + 5 = 66, 8 + 4 = 96.Halle el valor de 9 + 7.
A) 16 B) 144 C) 69 D) 46 E) 247
Solucin:2 x ( 2 + 3 ) = 107 x ( 7 + 2 ) = 636 x ( 6 + 5 ) = 668 x ( 8 + 4 ) = 96Luego 9 x ( 9 + 7 ) = 144
Clave: B
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
43/137
6. Cuntas personas deben estar reunidas, como mnimo, para tener 4 con el mismo
da de la semana en la fecha de su cumpleaos?
A) 22 B) 21 C) 28 D) 25 E) 35
Solucin:
Planteamos:Lunes: 3
Martes: 3Mircoles: 3Jueves: 3Viernes: 3Sbado: 3Domingo: 3Luego faltara una persona para que como mnimo haya 4 personas con lascondiciones pedidas.Por lo tanto deben estar reunidas: 7(3) + 1 = 22
Clave: A
7. Cul es la mitad de la tercera parte del mayor nmero impar menor que 20 que noes primo?
A) 19/6 B) 17/6 C) 15/2 D) 5 E) 5/2
Solucin:
El nmero impar menor que 20 que no es primo es 15, as resulta la fraccin 5/2.Clave: E
8. Juanita compro un kilogramo de harina de trigo de segunda y un kilogramo de harinade trigo de primera que juntos cuestan juntos 18 soles. Se mezcla 14 Kg. de primeracon 26Kg. de harina de segunda y se obtiene un precio por kilogramo menor en 3soles del que habra obtenido si se mesclaran 26Kg. de primera y 14 Kg. desegunda. Cul es el precio del kilogramo de trigo de segunda.
A) 6 B) 4 C) 8 D) 3 E) 2
Solucin:p = precio de un kilogramo de harina de primeraq = precio de un kilogramo harina de segundaw = precio de un kilogramo de mezclaPrimera mezcla.
(I)
Segunda mezcla.
(II)
(II) en (I): se tiene: p q= 10 y por dato p + q =18, se obtiene: P = 4.Clave: B
9. Se tiene aguardiente de 18, 20 y 36. Para vender 80 litros de aguardiente de 20,utilizamos 10 litros ms de aguardiente de 20 que 36. Cuntos litros deaguardiente de 18 se utiliza?
A) 78 B) 110 C) 96 D) 84 E) 56
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
44/137
Solucin:
Sea V = litros de 36 que se utilizaV +10 litros de 20 que se utilizaX = litro de 18 que se utiliza.Se tiene por dato: x + (V + 10) + V = 80 (I)
La mezcla: ()
Se tiene: 700 = 9x + 28V (II)(II) (I): 280 = 5x entonces x = 56.
Clave: E
10. Hallar la cifra terminal del desarrollo siguiente: ().
A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 6
Solucin:
Se tiene que 4567 = + 3Luego () ( ) () ( ) ( )
Clave: C
11. Hay 5 administradores y 4 ingenieros, se desea formar un directorio que consta deun gerente, un subgerente, un secretario y un tesorero. De cuntas formasdiferentes se puede formar el directorio si all debe haber por lo menos 2administradores y por lo menos 1 ingeniero?
A) 6400 B) 4800 C) 2400 D) 7200 E) 1200
Solucin:
5 4 5 4
2 2 3 1C C C C 4!
10 6 10 4 24
2400
Clave: C
12. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular; Gerson y Carlos son dos deellos, que por ningn motivo se sientan juntos. De cuntas formas diferentes sepueden sentar?
A) 4610 B) 8310 C) 3600 D) 5320 E) 4320
Solucin:
Todas las formas de sentarse las formas que estn juntos7! 6!
6!(7
2
2
3600
)
Clave: C
13. En un triedro tri-rectngulo M-ABC se cumple que 2 2 2
1 1 1 1
81(MA ) (MB) (MC).
Si el rea de la regin triangular ABC es 20 m2, calcule el volumen de dicho slido(en m3).
A) 60 m3 B) 50 m3 C) 63 m3 D) 66 m3 E) 57 m3
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
45/137
Solucin:
. 2bA 20m
. Dato: 2 2 2
1 1 1 1
81(MA) (MB) (MC)
. 2 2 2
1 1 1AMHxR.M. : ......(1)
x (MA) (MH)
. 2 2 2
1 1 1BMCxR.M. : ....(2)
(MH) (MB) (MC)
. Sustituyendo (2) en (1): 2 2 2 2
1 1 1 1
x (MA) (MB) (MC)
. Por tanto: x 9
. Luego: 3V 60m
Clave: A
14. En la figura se muestra dos conos de revolucin cuyas generatrices miden 8m y 4m.
Si BP es bisectriz del ABQ, calcule el volumen del cono menor.
A) 349 15 m24
B) 356 15 m15
C) 349 15 m23
D) 349 15 m26
E) 349 15 m29
Solucin:
. PBQ :Issceles m 8
. n 8
PFQ BHQ r 4
. Luego: n 2r
. 2 2 2PBQ : 4 8 8 2(8)(n)
n=7, 7
r2
, 15
QH2
. Por tanto: 349 15
V m24
Clave: A
A CB
P
Q
F
A
C
B
H
Px
M
m
rA CB
P
Q
8
H
F
n
4
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
46/137
dice 21, el cuarto dice 28, el quinto dice 35, el primero dice 42, el segundo dice 49 ysiguen contando de 7 en 7. Jess dice 77, Mara dice 119, Ana dice140, Elena dice161 y Danilo dice 133. Quin dice 259?
A) Jess B) Mara C) Ana D) Elena E) Danilo
Solucin:1) Dicen los nmeros:
1:0
5 1 7
Jess
2:0
5 2 7
Mara
3:0
5 3 7
Elena
4:0
5 4 7
Danilo
5:0
5 7 Ana
2) Como 259 5 7 2 7 . Por tanto 259 dijo Mara.
Clave: B
2. En el siguiente arreglo numrico determine la suma de las cifras de la suma de los
nmeros de las 15 primeras filas.
Fila 1 1Fila 2 2 2Fil a 3 5 3 5Fila 4 7 3 3 7Fila 5 9 3 3 3 9
. .
. .
. . . . . . .
A) 8 B) 10 C) 9 D) 5 E) 11
Solucin:
N de filas Suma1 12 1+2(2)3 1+3(1)+2(2+5)4 1+3(1)+3(2)+2(2+5+7). .
. .
. .
15 1+3(1)+3(2)+3(13)+2(2+5+7++29)=720
Suma de cifras = 9Clave: C
1. Cinco hermanos se ubican en fila, el primero dice 7, el segundo dice 14, el tercero
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
47/137
3. El costo de una excursin es de $ 300. Si hubieran ido 3 estudiantes menos
entonces el costo por estudiante habra sido de $ 5 ms. Si todos los estudiantespagaron igual costo, cuntos estudiantes fueron a la excursin?
A) 15 B) 16 C) 12 D) 14 E) 20
Solucin:
Sea: w el nmero de estudiantes.
A cada estudiante le tocara pagar un pasaje de300
w, pero debido a que en el
supuesto fueron w 3 estudiantes, cada uno tendra que pagar 5 dlares ms de
pasaje osea300
5w
, para lograr cubrir el paquete de viaje de $ 300.
Algebraicamente tenemos la ecuacin:
300
5 3 300ww
300 5 300
3
w
w w
De aqu: 2 3 180 0w w , entonces w= 12 , w = 15Clave: A
4. El PBI de un pas est proyectado en t2 + 2t + 50 miles de millones de dlares,donde tse mide en aos a partir del ao en curso. Determine el instante a partir delcual el PBI sea igual o exceda a $58 mil millones.
A) 5 aos B) 6 aos C) 2 aos D) 4 aos E) 10 aos
Solucin:2
2 50 58t t 4 2 0t t t = 2
Clave: C
5. Con seis nios y cuatro nias se desea formar un equipo mixto de fulbito. Si Patriciaesta enemistada con Ral y Jos, de cuantas formas diferentes se podr formar elequipo de fulbito, si patricia no puede estar con Ral ni con Jos en el mismoequipo? (no deben estar las cuatro nias en el equipo)
A) 102 B) 110 C) 112 D) 98 E) 115
Solucin:
N de equipos a formar = 6 35 1
C C (no va Patricia)
+ 6 34 2
C C (no va Patricia)
+ 6 33 3C C (no va Patricia)+ 6 3
3 3C C (no va Patricia)
+ 4 34 1
C C (no van Ral y Jos, si va Patricia)
+ 4 33 2
C C (no van Ral y Jos, si va Patricia)
= 6x3 + 15x3 + 20x1 + 1x3 + 4x3 = 98Clave: D
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
48/137
6. Se tiene 23 pares ordenados distribuidos en el plano cartesiano de la siguiente
manera, 12 pares en el primer cuadrante, 10 pares en el segundo cuadrante y el par(0,0) con la propiedad de que tres pares o ms no pueden estar en lnea recta.
i) Cuntas rectas se pueden formar con los pares del primer cuadrante?ii) Cuntas rectas se pueden formar tal que contengan el par (0,0)?
A) 66 y 22 B) 88 y 20 C) 23 y 40 D) 60 y 20 E) 68 y 24
Solucin:
I) 66!2!10
!12122
C
II) 22 rectas.Clave: A
7. En una reunin se encuentran 4 parejas de esposos (4 varones y 4 mujeres) ydesean sentarse en una mesa circular de ocho asientos. De cuantas manerasdiferentes se sientan las parejas de esposos si ellos siempre se sientan juntos?
A) 96 B) 225 C) 48 D) 192 E) 384
Solucin:
La respuesta es 43! 2 96
Clave: A
8. En un torneo de ajedrez se jugaron en total 218 partidos, habiendo dos ruedas. En laprimera rueda jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores.
Cuntos participaron en el torneo de ajedrez?A) 20 B) 24 C) 22 D) 18 E) 16
Solucin:
( )
()
()
() ( )
Clave: A
9. En el grfico se muestra un paraleleppedo rectangular. Si la pirmide cuya base esla regin sombreada y cuyo vrtice es P, tiene volumen igual a 36 , calcule elvolumen del paraleleppedo.
A) 216
B) 220
C) 235
D) 360
E) 380 Solucin:
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
49/137
=
(. a ) =
(
. a )
36(6) = a.b.h abh =216
= a.b.h = 216
Clave: A10. En el grfico, la superficie lateral del cilindro de revolucin y la superficie
semiesfrica son equivalentes. Si R = 2u, calcule el volumen del cono de revolucinde vrtice V.
A)
3u
B)
3
u
C)
3u
D)
3u
E)
3u
Solucin:
Sea la altura del cilindro: h
Por la igualdad de superficies: 2(4) = 2(2)h h = 2
=
(4).4 =
u3
Clave: C
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
50/137
5. Si alguien hablara de la fuerza mstica de los cerros y de los ros, sera considerado
por Comte como
A) metafsico. B) fetichista.* C) positivista. D) politesta. E) monotesta.
Solucin B: El fetichismo consiste en personificar los objetos y dotarlos de un podermgico.
Aritmtica
1. La probabilidad de que Ana desapruebe el examen de Aritmtica es 0, 5, laprobabilidad de que Juan desapruebe el mismo examen es 0,2 y laprobabilidad de que Ana y Juan desaprueben el examen es 0,1. Cul es laprobabilidad de que ni Ana ni Juan desaprueben el examen?
A) 0,2 B) 0,6 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,8
SOLUCIN:
P A B P A P B P A B P A B 0,5 0.2 0,1 0,6 P A B 0,4 Clave: D
2. Sean A y B dos sucesos con 1 1
P(A) y P(B)3 2
. Si A est contenido en B,
halle la probabilidad de que ocurra B pero no A.
A)5
6B)
3
8C)
1
6D)
1
8E)
5
24
SOLUCIN:
Si A est contenido en B, 1
P B A6
Clave: C
3. Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P(B) 0,7 . Halle el mayor valor
posible de P A B .
A) 0,3 B)0,7 C)0,1 D) 0,1 E) 0,4
SOLUCIN:
mayorP A B 0,4 en el caso que A B
Clave: E4. En un estudio para determinar la agudeza visual se presentan al sujeto cuatro
matices de un color que varan ligeramente en su brillo. Cul es laprobabilidad de que la persona, por simple azar, coloque los matices de mayora menor brillo?
A)3
8B)
1
2C)
1
8D)
1
4E)
1
24
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
51/137
SOLUCIN:
A: La persona coloca por simple azar los matices de mayor a menor brillo
1
# A 1 # 24 P A24
Clave: E
5. Tres personas juegan disparejos, para lo cual cada uno lanza al airesimultneamente una moneda; si uno de los resultados es diferente de losotros dos, la persona que obtiene el resultado diferente pierde. Cul es laprobabilidad de que uno de ellos pierda, en una tirada, si las tres monedas noestn cargadas?
A)1
4B)
1
8C)
3
4D)
3
32E)
5
24
SOLUCIN:
ccc,ccs,csc,css,sss,ssc,scs,scc
A ccs,csc,css,ssc,scs,scc
6 3P A
8 4
Clave: C
6. Tres atletas del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si losseis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, cul es la probabilidad deque los atletas del equipo A lleguen en los tres primeros lugares y los delequipo B lleguen en los tres ltimos lugares?
A)1
720B)
1
20C)
1
360D)
3
10E)
4
5
SOLUCIN:
A: Los atletas del equipo A llegan en los tres primeros lugares y los delequipo B en los tres llegan en los tres ltimos lugares
1
# 720 # A 6X6 36 P A20
Clave: B
7. Una urna contiene 10 canicas numeradas del 1 al 10. Se extraen 4 canicas y sedefine a x como el segundo en orden ascendente de magnitud de los cuatronmeros extrados. Cul es la probabilidad de que x=3?
A)1
6B)
1
5C)
2
5D)
8
15E)
1
10
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
52/137
SOLUCIN:
10 2 74 1 27X6 1
# C # A C X1XC P A7X3X10 5
Clave: B
8. Seis parejas de casados se encuentran en una habitacin. Si se elige cuatropersonas al azar, hallar la probabilidad de que ninguna pareja sean casadosentre los cuatro.
A)37
66B)
16
33C)
4
11D)
15
22E)
17
44
SOLUCIN:
A: Ninguna de las 6 posibles parejas que se pueden formar con las 4personas elegidas son casados entre ellos
12 6 2 2 2 24 4 1 1 1 116
# C 495 # A C XC XC XC XC P A
33
Clave: B
9. La probabilidad de que la construccin de un edificio se termine a tiempo es17
20, la probabilidad de que no haya huelga es
3
4 y la probabilidad de que la
construccin se termine a tiempo dado que no hubo huelga es14
15. Cul es la
probabilidad de que no haya huelga dado que la construccin se termin atiempo?
A)1
3B)
1
5C)
2
5D)
14
17E)
7
10
SOLUCIN:
T: La construccin se termina a tiempo 17
P T20
H: No hubo huelga 3 14
P H P T /H4 15
3 14XP H T P H P T/H 144 15P H/T17P T P T 17
20
Clave: D
10. Los porcentajes de votantes del candidato X en tres distritos electorales
diferentes se reparten como sigue: En el primer distrito, 21%; en el segundodistrito, 45% y en el tercero, 75%. Si un distrito se selecciona al azar y unvotante del mismo se selecciona aleatoriamente, cul es la probabilidad quevote por el candidato X?
A)21
100B)
45
100C)
47
100D)
1
4E)
11
50
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
53/137
SOLUCIN:
Ai: Se selecciona el i -simo distrito i1
P A3
B:La persona seleccionada vota por el candidato X
3
i i
i 1
1 21 45 75 47P B P A P B/ A P B x
3 100 100 100 100
Clave: C
11. En una ciudad determinada los simpatizantes de los candidatos A, B y C son30%,50% y 20% respectivamente. En las ltimas elecciones votaron el 65% delos simpatizantes de A, el 82% de B y el 50% de C. Si se selecciona al azar unapersona de la ciudad y se sabe que no vot en las elecciones pasadas, cules la probabilidad que sea simpatizante de B?
A)295
1000B)
90
1000C)
20
59D)
18
79E)
18
59
SOLUCIN:Ei: Se selecciona un simpatizante del i -simo candidatoN:El candidato no vot en las ltimas elecciones
2 2 2
2
50 18XP E N P E P N / E 18100 100P E / N
30 35 50 18 20 50P N P N 59x x x
100 100 100 100 100 100
Clave: D
12. Javier lanza repetidas veces dos dados y gana si obtiene 8 puntos antes deobtener 7.Cul es la probabilidad que Javier gane?
A)11
25B)
11
36C)
5
36D)
25
36E)
5
11
SOLUCIN:
A:Se obtiene 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arribaB:No se obtiene 7 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia
arriba
E:Se obtiene 8 antes de 7
5 25
36 36 P A P B
... ...P E P A BA BBA P A P BA P BBA
2
5 25 25 51 .... 1 ...
36 36 36 11
P E P A P B
Clave: E
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
54/137
1. Un sistema detector de humo usa dos dispositivos, A y B. Si el humo est presente, laprobabilidad de que el humo sea detectado por el dispositivo A es 0,95; por eldispositivo B, 0,98; y por ambos dispositivos 0,94. Si hay humo, encuentre laprobabilidad de que sea detectado por el dispositivo A, por el dispositivo B o porambos.
A) 98100
B) 95100
C) 97100
D) 96100
E) 99100
SOLUCIN:
A:El humo es detectado por el dispositivo AB:El humo es detectado por el dispositivo B se colocan en un estante en
99
P A B 0,95 0,98 0,94 0,99100
Clave: E2. Si se colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volmenes de una cierta
obra, cul es la probabilidad de que el orden sea perfecto?
A)1
4B)
1
36C)
1
12D)
1
16E)
1
24
SOLUCIN:
A:Los libros quedan ordenados as: Volumen 1, 2,3 y4 #(A) = 1
1# 4! 24 P A
24
Clave: E
3. Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P B 0,7 1. Halle el mnimo valor
posible de P A B .
A) 110 B) 15 C) 310 D) 0 E) 25
SOLUCIN:
1
minimoP A B 0,110
Clave: A
4. Un centro educativo tiene estudiantes desde primero hasta sexto grado. Los
grados 2, 3, 4, 5, y 6tienen el mismo nmero de estudiantes, pero el primergrado tiene el doble. Si un estudiante es seleccionado al azar de una lista quecontiene a todos los estudiantes del centro, cul es la probabilidad de que elestudiante seleccionado pertenezca a un grado impar?
A)2
3B)
1
6C)
1
2D)
3
4E)
4
7
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
55/137
SOLUCIN:Se p: Probabilidad que un estudiante pertenezca a segundo grado
1
P 7p 7p 1 p7
A: El estudiante seleccionado pertenece a un grado impar
4
P A 4p7
Clave: E
5. Un director tcnico de vley dispone de diez jugadoras, de las cuales cuatroson armadoras. Si selecciona al azar un equipo de seis jugadoras, cul es laprobabilidad de que entre ellas haya seleccionado exactamente dosarmadoras?
A)3
5B)
3
7C)
4
7D)
2
5E)
1
7
SOLUCIN:
A:Se selecciona exactamente dos armadoras
106# C 210 colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volmenes de
una cierta obra, cul es la probabilidad de que el orden sea perfecto?
4 6
2 4C xC 6x15 3
P A210 210 7
Clave: B
6. En una Cooperativa de Servicios hay cinco hombres y seis mujeres comocandidatos para formar una comisin. Si se elige al azar cuatro personas,cul es la probabilidad de formar con ellas una comisin mixta?
A)31
33B)
310
333C)
210
331D)
160
357E)
5
16
SOLUCIN:
A:Se forma una comisin mixta de 4 miembros
5 6 5 6 5 6
1 3 2 2 3 1
11
4
C xC C xC C xC 31P A
C 33
Clave: A
7. Una empresa de productos de consumo transmite publicidad por televisinpara uno de sus jabones. De acuerdo a una encuesta realizada, se asignaron
probabilidades a los sucesos siguientes: B:Una persona compra el productoS:Una persona recuerda haber visto la publicidad. Las probabilidades fueron
P(B) = 0,20 , P(S) = 0,40 y P A B 0,12 . Cul es la probabilidad de que una
persona compre el producto, dado que recuerda haber visto la publicidad?
A)3
5B)
2
5C)
3
10D)
3
25E)
1
5
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
56/137
SOLUCIN:
P B S 0,12 3P B/S
P S 0,40 10 Clave: C
8. Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados equilibrados.Cul es la probabilidad de que la diferencia entre los dos nmeros que
aparecen sea menor que 3?
A)4
9B)
7
18C)
5
12D)
5
36E)
2
3
SOLUCIN:
A: La diferencia entre los 2 nmeros que aparecen en las caras que caenhacia arriba es 3
24 2
P A
36 3
Clave: E
9. Una mquina produce un artculo defectuoso con probabilidad p y produce unartculo no defectuoso con probabilidad q. Se selecciona aleatoriamente parasu control seis de los artculos producidos, siendo los resultados de controlindependientes para estos seis artculos. Cul es la probabilidad de queexactamente dos de los seis artculos sean defectuosos?
A) 30 p2 q4 B) 72p2 q2 C) 10p6 q4 D) 24 p2 q4 E) 15p2 q4
SOLUCIN:A :Exactamente 2 de los 6 artculos seleccionados son defectuosos
6 4 2 2 42P A C p q 15p q Clave: E
10. En la tabla siguiente se presentan datos muestrales de la cantidad de personasque cuentan con seguro mdico segn edades.
SEGURO MDICOEDAD SI NO
18 a 34 750 17035 o mayor 950 130
Si se elige al azar una persona y no tiene seguro mdico, cul es laprobabilidad de que tenga entre 18 y 34 aos?
A)13
95 B)
17
92C)
1
18D)
3
20E)
17
30
SOLUCIN:A: La persona elegida tiene entre 18 y 34 aosB:La persona elegida no tiene seguro mdico
P A B 170 17P A/B
P B 300 30
Clave: E
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
57/137
lgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. 3x
2xxfquetalb
3
5,
2
a33,1:fSi
es una funcin sobreyectiva,
halle22
ba .A) 5 B) 2 C) 1 D)
2
1E)
4
1
Solucin:
2
1
4
1
4
1ba
21bb
35
65
2
1aa
2
3
4
3
b3
5,a
2
3fRanvasobreyectiesfAdems)II
6
5,
4
3fRan
6
5
3x
11
4
3
6
1
3x
1
4
1
63x43x13,1xSi
3x
11
3x
2xxf)I
22
Clave: D
2. Halle la suma de los tres mayores valores enteros del dominio de la funcin
2,1fDom:f para que la funcin sea sobreyectiva si 2x
2x2xf
.
A) 3 B) 2 C) 0 D) 4 E) 3
Solucin:
0101:enteroselementosmayorestres
3
4,fDom
3
4x
3
22x
0
2x
232
2x
221
2x
22
2x
2x2xf)I
Clave: C
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
58/137
3. Halle un intervalo para que la funcin 2xx21xf sea inyectiva y
decreciente.
A) 1,0 B) 0, C) 1,12 D) 5,1 E) ,0 Solucin:
0x;1x2
0x;1x2xf
0x;xx21
0x;xx21xf
2
2
2
2
Del grfico:
f es inyectiva y decreciente en 5,1
Clave: D
4. Dada la funcin mx4
1xf si se cumple 0m;1mfm4f 2 .
Determine el valor de 4f4f .A) 13 B) 2 C) 8 D) 3 E) 11
Solucin:
114f4f82444f
324
44f
2m
1m2
2m02m3m2m1m4m4
m4
1mfm4fSi)II
mx4xf
my4xmx4
1xfySea)I
22
2
Clave: E
Y
2
1 1x
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
59/137
5. Determine la funcin inversa de 14xxfpordefinida4,1:f 2 R .
A) 8,1x;1x1xf B) 8,1x;1x4xf C) 8,0x;1x4xf D) 8,1x;11xxf E) 8,1x;41xxf Solucin:
1x4xf1y4x
1y4x
4x1y
14xxfySea)II
8,1fDom
8xf1
814x194x0
04x34x14,1x)I
2
2
22
Clave: B
6. Si fDomhalle,32xf x .A) ,2 B) R+ C) 2, D) 2,2 E) ,2 Solucin:
2,fDom 2xf232
x03xx
32xf
x
x
x
RRR
Clave: C
7 Si 13fhalle,8x;8xlog10xf 22 A) 4 B) 8 C) 2 D) 8 E) 62
Solucin:
Sea 8x,8xlog10xfy 22 10y2
222
28x
8x,10y8xlog
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
60/137
48213f
82xf
82x
1013
10x
10y
Clave: A
8. Determine el rango de la funcin 45,21x,exf 1x1ln2 .A)
2
e,0 B)
2
1,0 C) 2
2
e,2
eD) 22 e2,e E)
2
2
e,2
e
Solucin:
2
2
22
21x1ln22
1ln21x1ln22
1ln2
1x1ln2
e,2
efRan
exf2
e
ee2
e
eee
1ln1x1ln
2
1ln
11x12
1
2
11x0
4
11x
2
1
4
5x
2
1
4
5,2
1x,exf
Clave: E
EVALUACIN DE CLASE
1. Dada la funcin ba0;b5
a3xf
a3x2
, indique el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:
I) f es creciente II) f es inyectiva III)b5
a3
2
a3f
A) VVV B) VFF C) VFV D) FFF E) VVF
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
61/137
Solucin:
F1
b5
a3
b5
a3
2
a3f)III
Vinyectivaesfxxa3x2a3x2
b5
a3
b5
a3xfxf/xyx)II
Vcrecienteesfxfxf
b5
a3
b5
a31
b5
a3b5b3a30Como
a3x2a3x2xx/xyxSea
fDom)I
ba0;b5
a3xf
0a32
a32
2121
a32x2a3x2
2121
21
a32x2a31x2
212121
a3x2
R
R
R
Clave: E
2. Dada la funcin 11,23,0fDom:f definida por baxxf , 0a es creciente y suryectiva, halle el valor de 11ff .A) 4 B) 4 C) 5 D)
3
1 E)3
1
Solucin:
3
13f11ff
3
2xxf
3
2yx
2x3ySea)II
2x3xf
3a11ba3113f
2b20f
11,23f,10ffRansuryectivaycrecienteesf)I
Clave: E
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
62/137
3. Si 1x
3x2xfquetalb
2
3,a
5
114,0fDom:f
es una funcinbiyectiva, halle baf .A) 1 B) 0 C)
2
1 D) 2 E) 1
Solucin:
0113fbaf
2x
11xf
2y
11x
2y
11x
1x
12y)II
2bb2
33
1aa511
511
b2
3,a
5
113,
5
11fRan3
1x
12
5
11
11x
1
5
151x14x04,0x
1x
12
1x
3x2xf)I
Clave: B
4. Si b,axfDomy1,1x,x1
xxf
, halle el valor de
ab8a4b2 .A) 3 B) 9 C)
21 D) 2 E) 1
Solucin:
x1
11
1x0,x1
xxfSea
0x1,x1
x
1x0,
x1
x
xf
1,1x,x1
xxf
1
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
63/137
9a4b22
1b;
2
1afDom
2
1,
2
1fRanfRanfRan
0,2
1fRan
0x1
112
11x1
1
2
11x0
0x1,x1
11
x1
xxfSea
2
1,0fRan
2
1
1x
110
2
1
1x
1121x11x0
ab8
21
2
2
1
Clave: B
5. Si 4,3x,63x 13x 1xxf 2 , halle el valor de 15f .A)
2
7B)
2
5C)
2
1D)
7
2E)
7
5
Solucin:
2
7
1615
1315f
16x
13xf
16y
13x
16y
13x
16y3x
16y
3x
11
3x
11
3x
2x6y
63x
13x1x6
3x
1
3x
1xxfy
22
22
Clave: A
6. Si 3,1 pertenece a la grfica de la funcin f definida por x22xaxf , halleel rango de f.
A) 3,0 B) 3, C) 3,3 D) 3,0 E) 3,
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
64/137
Solucin:
3,0fRan
3xf03
1
3
10
111x01xx
3
1
3
1xf
3
1aa31f
fdegrfica3,1
1121x
22
121xx22x
21
R
Clave: A
7. Halle el dominio de la funcin f definida por 21 xx2lnxf .A) 12,0 B) 1,0 C) 2,1 D)
2
3,
2
1E) 2,0
Solucin:
12,0fDom1x2,0x
1xx202xx
0xx2ln0xx2
fDomx;xx2lnxf
1x
2
22
21
Clave: A
8. Si
2x1x10
loglnxf , halle la suma de los elementos enteros
del dominio de f.
A) 4 B) 2 C) 1 D) 5 E) 5
Solucin:
02x1x
100
2x1x
10log
2x1x
10loglnxfSi
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
65/137
123:fDomdelenterosvalores
3,12,4fDom
02x1x02x1x3x4x
02x1x
xx12
012x1x
10
2
Clave: C
Geometra
1. Dada la ecuacin de la elipse 5x2 + 9y2 30x + 18y + 9 = 0. Halle las coordenadas
de su centro.
A) (1; 4) B) (3; 7) C) (3; 1) D) (4; 3) E) (1; 1)
Solucin:
Completando cuadrados:
5(x2 6x + 9 9) + 9(y2 + 2y + 1 1) + 9 = 0
5(x 3)2 45 + 9(y + 1)2 9 + 9 = 0
5(x
3)2 + 9(y + 1)2 = 45
5
)1y(
9
)3x( 22
= 1
C = (3;1)Clave: C
2. Halle la ecuacin de una elipse cuyos focos son los puntos F1(3;2) y F2(3;4), si se
sabe adems que la longitud de su eje mayor es 10 unidades.
A) 16(x 3)2 + 25(y 5)2 = 400 B) 25(x 3)2 + 16(y + 1)2 = 400
C) 16(x 5)2 + 25(y 3)2 = 400 D) 9(x 5)2 + 25(y 3)2 = 400
E) 25(x 3)2 + 9(y 5)2 = 400
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
66/137
Solucin:
Tenemos que 2a = 10 a = 5
De la figura tenemos 2c = 6 c = 3
Pero a2 = b2 + c2 b = 4
2
2
2
2
5
)1y(
4
)3x(
= 1
25(x 3)2 + 16(y + 1)2 = 400
Clave: B
3. En la figura se muestra una elipse de centro O donde F1 y F2 son sus focos. Si la
elipse tiene por ecuacinn14
x2
+
n5
y 2
= 1 y OB2 = 4F2O. Halle OC.
A) 2 2 m B) 2 3 m
C) 3 m D) 4 m
E) 6 m
Solucin:
Tenemos quen5b
n14a
2
2
22
222
bac
cba
Pero a2 = 4c
14 n = 4 n5n14 n = 2
b = 3 m
Clave: C
4. Si la recta L : y = 2x + n, n > 0 es tangente a la elipse 9x2 + 4y2 = 36. Halle n2 9.
A) 5 B) 9 C) 12 D) 16 E) 25
Solucin:
Como y = 2x + n ; n > 0
9x2 + 4(2x + n)2 = 36
9x2 + 4(4x2 + 4xn + n2) = 36
25x2 + 16nx + 4n2 36 = 0
Pero = 0
256n2 400n2 + 3600 = 0
n = 5
n2 9 = 16Clave: D
Y
X
C
D
OA BF1 F2
Y
X
F1 (3,2)
O
F2 (3, 4)
C(3, 1)
Y
XOF1
F2
L
(x,y)n
: y = 2x + n
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
67/137
5. En la figura, la elipse tiene por ecuacin 16x2 + 25y2 400 = 0. Si F1 y F2 son sus
focos y adems F2 es centro de la circunferencia de radio 4 m, halle la abscisa del
punto P.
A) 3 m B) 4 m
C) 5 m D)
2
5m
E)3
5m
Solucin:
Como la ecuacin de la elipse es
2
2
2
2
4
y
5
x = 1
4b
5ac = 3
En el F1PF2:
62 (3 + x)2 = 42 (3 x)2
20 9 x2 6x = 9 x2 + 6x
12x = 20
x =3
5m
Clave: E
6. En la figura, F1 y F2 son los focos de la elipse cuya ecuacin es24
y
49
x 22 = 1.
Si PF2 = 6 m, halle el rea de la regin triangular F1PF2.
A) 26 m2
B) 28 m2
C) 24 m2
D) 12 m2
E) 36 m2
Solucin:
Como a = 7
F1P + PF2 = 14
F1P + 6 = 14
F1P = 8
21PFFS =
2
48= 24 m2
Clave: C
Y
XOF1 F2
P
Y
XOF1 F2
P
Y
XOF1 F2
P
6 4
H3
x
3 x
Y
XOF1 F2
P
6
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
68/137
7. En la figura, F1 y F2 son los focos de la elipse. Si AF1 = 2 m, halle el inradio del
tringulo ABF2.
A) 1 m B) 2 m
C) 3 m D) 4 m
E) 5 m
Solucin:
Por definicin tenemos
F1B + BF2 = 2 + AF2
pero por Poncelet:
AB + BF2 = AF2 + 2r
2 +
2
21
AF2
BFBF
= AF2 + 2r
r = 2 mClave: B
8. En la elipse cuya ecuacin es4
y
9
x 22 = 1, halle el rea de la regin triangular en
metros cuadrados formada por un lado recto y los segmentos que unen sus
extremos con el centro de la elipse.
A)3
4m2 B)
3
58m2 C)
3
52m2 D)
7
4m2 E)
3
54m2
Solucin:
Si4
y
9
x 22 = 1 a = 3 y b = 2 c = 5
PQ =a
b2 2 PQ =
3
8
SPOQ = 53
8
2
1
SPOQ
=3
54
Clave: E
Y
X
OF1
F2
B
A
Y
XOF1 F2
P
Q
Y
X
OF1
F2
B
A
2
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
69/137
9. En la figura, O es el centro de la circunferencia cuyo radio es 5 m. Si A y B son los
focos de la elipse y mAMB = 106, halle las coordenadas del punto C.
A) (2;1) B) (3;1)
C) (4;6) D) (4;1)
E) (5;1)
Solucin:
Como BC es dimetro
m ) CAB = 90 y
m ) BCA = 53
por definicin:
2a = 16a = 8
LN = 16 LA = BN = 4
C = (4;6)Clave: C
10. En una elipse que tiene por ecuacin x2 + 2y2 = 8, se traza la recta tangente en el
punto P( 6 ; 1). Halle la ecuacin de la recta.
A) 6 x 2y = 8 B) 6 x + 2y = 4 C) 6 y 2x = 8
D) 6 y 2x = 6 E) 6 x 2y = 4
Solucin:
Como ( 6 , 1) L
1 = m 6 + b
Como: x
2
+ 2y
2
= 8x2 + 2(mx + b)2 = 8
x2(1 + 2m2) + 4mbx + 2b2 8 = 0
Pero = 0 tiene nica solucin
16m2b2 4(1 + 2m2)(2b2 8) = 0
8m2 = b2 4
Reemplazando tenemos:
2m2 2m 6 + 3 = 0 m =2
6
y = x 6 7
y = x2
6 4 2y = x 6 8
Clave: A
Y
X
OB
C
A M (16;0)
Y
XO
( 6, 1)
L : y = mx + b
Y
X
OB
C
A ML N
53
44
5
5
8
6
106
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
70/137
11. Se tiene una elipse de focos F1( 2;0) y F2(2;0) en donde se ubican los puntos A y
B de tal manera que el rea de la regin cuadrangular F1AF2B es mxima e igual a4 m2. Halle la ecuacin de la elipse.
A)2
y
6
x 22 = 1 B)
2
y
8
x 22 = 1 C)
12
y
9
x 22 = 1
D) 22
y5
x = 1 E)
4
y
9
x 22 = 1
Solucin:
BAFF 21S =
2
1AB F1F2
1
sen
= 90
Luego tenemos
4 =2
1AB 4
AB = 2
5a2c
1b
5
x2+ y2 = 1
Clave: D
12. En la figura, determine la ecuacin de la elipse que describe el punto P(x;y) sobre elplano xy, si se cumple que el producto de las tangentes de los ngulos de las baseses siempre igual a 4.
A)36
y
9
x 22 = 1 B)
25
y
16
x 22 = 1
C)9
y
36
x 22 = 1 D)
25
y
9
x 22 = 1
E)36
y
9
x 22 = 1
Solucin:
Tenemos que:
tgtg = 4
)x3(
y)x3(
y
= 4
y2 = 4(9 x2)
36
y
9
x 22 = 1
Clave: A
Y
XOB( 3;0) A(3;0)
P(x;y)
XF1( 2,0) F2(2,0)
A
B
4
Y
XOB( 3;0) A(3;0)
P(x;y)
3 x 3 x
y
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
71/137
13. En la figura se muestra una elipse de centro O cuyos focos son F1 y F2.
Si L1 : 3 x y + 2 3 = 0 y la suma de pendientes de L1 y L2 es cero, halle la ecuacin
de la elipse.
A) x2 + y2 = 16
B)
4
y
10
x 22 = 1
C)16
y
12
x 22 = 1
D)12
y
16
x 22 = 1
E)4
y
9
x 22 = 1
Solucin:
Tenemos que:1
mL
+2
mL
= 0
Pero1
mL
= 3
tg = 3 = 60
a = 4, b = 2 3 , c = 2
12y
16x
22
= 1
Clave: D
14. Determine el lugar geomtrico de todos los puntos P(x;y) del plano cartesiano tal quela suma de sus distancias a los puntos Q( 3;0) y R(3;0) es siempre constante eigual a 10 unidades.
A) x + y = 10 B) 25x2 + 16y2 = 400 C) 16x2 + 25y2 = 400
D) 5x2 + 4y2 = 20 E) 4x2 + 5y2 = 20
Solucin:
Tenemos d1 = 22 y)3x(
d2 = 22 y)3x(
10 = d1 + d2
(10 d1)2 = d2
2
100 + 12x = 20 22 y)3x(
400 = 16x2 + 25y2
16
y
25
x 22 = 1
Clave: C
Y
XOF1 F2
L 2 L 1
Y
XOF1 F2
L 2 L 1
2
42 3
= 60 60
Y
XO B(3;0)A( 3;0)
(x;y)d1
d2
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
72/137
1. Los focos de una elipse son los puntos F1(3,0) y F2(3,0) y la longitud de su ladorecto es 9 unidades. Halle la ecuacin de la elipse.
A)
36
y
81
x 22 = 1 B)
27
y
49
x 22 = 1 C)
27
y
36
x 22 = 1
D)36
y
27
x 22 = 1 E)
81
y
36
x 22 = 1
Solucin:
MN =a
b2 2= 9
29
ab
2
pero c = 3
Como a2 = b2 + c2
4k2 = 9k + 9
4k2 9k 9 = 0
4k 3
k
3 k = 3
a = 6, b = 3 3 , c = 3
27
y
36
x 22 = 1
Clave: C
2. Los puntos A(2;m) y B(n;4) pertenecen a una elipse cuyo centro es el punto
C(3;1). Si AB contiene al centro, halle mn.
A) 3 B) 8 C) 8 D) 3 E) 4
Solucin:
2
)m,2()4,n( = (3,1)
n = 4 y m = 2
mn = 8Clave: C
Y
XOF1( 3,0)
M
N
F2 (3,0)
Y
X
A(2,m)
B(n,4)
(3,1)
~
~
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
73/137
3. En la figura, se muestra una elipse de centro O cuyos focos son F1 y F2 .
Si4
3
AQ
FF 21 y F1B + F2B = 20 cm, halle la ecuacin de la elipse.
A)64
y
100
x 22 = 1
B)100
y
64
x 22
= 1
C)100
y
25
x 22 = 1
D)16
y
25
x 22 = 1
E)100
yx
22 = 1
Solucin:
Como F1B + F2B = 20 cm
Por definicin:
2a = 20
a = 10 cm
43
AQFF 21
k8AQk6FF 21
k4b
k3ca = 5k
5k = 10
k = 2
100
y
64
x 22
= 1
Clave: B
4. En la figura, se muestra una elipse de focos F1 y F2 donde AB es el eje mayor y la
recta L es la recta normal a la elipse en T. Si AF1 =2
5m, F1P = 4 m y PF2 = 6 m,
halle PT.
A) 15 m B) 20 m
C) 25 m D) 30 m
E) 35 m
Y
X
F1
O
F2
B
D
QA
Y
X
F1
O
F2
B
D
QA
3k
3k
4k
T
PA B
F1 F2
L
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
74/137
Solucin:
Como L es normal a la elipse en T
mF1TP = mPTF2
Luego por el primer T.B.I. en el TF1F2:
n3
n2
TF
TF
2
1
3n
15n5
Por el segundo T.B.I.:
x2 = 6(9) 24
x = 30 m
Clave: D
5. El centro de una elipse es el punto M(3;5) y sus focos son F1(1;5) y F2(7;5). Siel eje menor tiene una longitud de 10 unidades, halle la ecuacin de la elipse.
A)41
)5y(
25
)3x( 22
= 1 B)
25
)5y(
41
)3x( 22
= 1
C)9
)5y(
25
)3x( 22
= 1 D)
25
)5y(
9
)3x( 22
= 1
E)9
y
25
x 22 = 1
Solucin:
Como 2b = 10
b = 5 m
de la figura c = 4 m
como a2 = b2 + c2
a = 41
25
)5y(
41
)3x( 22
= 1
Clave: B
6. Si Q(2 5 ;2) es punto de una elipse cuya longitud de su semieje menor es 3unidades. Halle la ecuacin de la elipse cuyos focos estn situados en el eje deabscisas y son simtricos con respecto al origen de coordenadas.
A)9
y
16
x 22 = 1 B)
36
y
49
x 22 = 1 C)
9
y
36
x 22 = 1
D)5
y
9
x 22 = 1 E)
192
y
256
x 22 = 1
T
PA B
F1 F2
L
5/2 4 5/26
2n 3nx
M(3,5)F1( 1,5) F2 (7,5)10 m
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
75/137
Solucin:
E:2
2
2
2
b
y
a
x = 1
como Q E y b = 3
9
y
a
x 2
2
2
= 1
9
2
a
)52( 2
2
2
= 1
a2 = 36 a = 6
9
y
36
x 22 = 1
Clave: C
1. Dada la funcin f definida por f(x) = 4arcsen
6
2x, hallar la interseccin del
dominio y rango de f.
A) [ 2 ,8] B) [ 8, 2 ] C) [ 8,4] D) [ 2 ,2 ] E) [ 2 ,4]
Solucin:
Domf: 1 6
2x 1 8 x 4
Domf = [ 8, 4]
Ranf:
2
arcsen
6
2x 2
2 4 arcsen
6
2x 2
2 f(x) 2
Ranf = [ 2, 2]
Domf Ranf = [ 2 ,4]
Clave: E
2. Calcular el valor de arcsen
7
130cos +arccos
7
96sen .
A)7
5B)
7
6C)
11
5D)
7
3E)
14
5
Y
XOF1 F2
Q( 2 5,2)
Tr igonometra
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
76/137
Solucin:
14sen
14sen
7
4cos
7
130cos
14
11cos
14
3cos
7
5sen
7
5sen
7
96sen
7
5
14
10
14
11
1414
11cosarccos
14senarcsen
Clave: A
3. La funcin real F est definida por F(x) = 4 + 12arctg(3x 2),3
23x
3
1 , el
rango de F es el intervalo [a,b] ; calculara
b.
A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10
Solucin:
1 3x 3 + 2 1 3x 2 3
arctg( 1) arctg(3x 2) arctg( 3 )
4
arctg(3x 2)
3
3 12 arctg(3x 2) 4
4 + 12 arctg(3x 2) 8
RanF = [, 8] a
b=
8= 8
Clave: A
4. Sean las funciones reales f y g definidas por f(x) = sen4x + cos(arctgx) y
g(x) = 3 tg(arccos( x)); calcule f(1) + g
2
1.
A) 2 2 B) 2 3 C) 2 + 3 D) 2 + 1 E) 2 + 2
Solucin:
f(1) + g
2
1=
2
1arccostg3)1(arctgcos(
4sen
=
3
2tg3
4cos
4sen = 2 3
Clave: B
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
77/137
5. Calcular el valor de cos2
4
1arccos
2
1+ sen2
3
1arccos
2
1.
A)4
21B)
24
19C)
24
23D)
3
14E)
24
7
Solucin:
cos2x =2
x2cos1 ; sen2x =2
x2cos1
= arccos4
1 cos =
4
1
= arccos3
1 cos =
3
1
cos
2
4
1
arccos2
1
= cos
2
2 = 2
cos1
= 2
4
11
= 8
5
sen2
3
1arccos
2
1= sen2
2=
2
cos1 =
2
3
11
=3
1
8
5+
3
1=
24
23
Clave: C
6. Si el rango de la funcin real f definida por
f(x) =3
arctg(1)+arccos
2
3arcsen(4x
5) es [a,b], hallar b
a.
A)3
2 2B)
6
7C)
6
5D)
5
4 2E)
6
5 2
Solucin:
f(x) =6
5
12
2
arcsen(4x 5)
2
arcsen(4x 5)
2
12
5 2
6
5arcsen(4x 5)
12
5 2
3
2 f(x)
2
2 Ranf =
12,
3
22
32
22
=6
5 2
Clave: E
7. Hallar el dominio de la funcin real f definida por f(x) =
16)x4arctg(
x4tgarc
22
.
A) R
4
1,
4
1
B) R
4
1,
2
1C) R
2
1,
4
1
D) R
4
1,
4
1E) R
12
1,
2
1
-
8/22/2019 17-18-19 JUNTOS
78/137
Solucin:
x Domf (arctg4x)216
2 0
4x4arctg
4x4arctg 0
4x 1 x 4
1
Domf = R
4
1,
4
1
Clave: D
8. Hallar el dominio de la funcin real f definida por f(x) = arccos1x
x
2
2
+ arcsen x .
A) [ 1,0] B) [0,1] C)
0,
2
1D) 0,1 E)
0,
2
1
Solucin:
1 1 1x
1
2 1 1 x 1
2
1x
1
2 0 0 x 1
0 1x
1
2 2
2
1 x2 + 1 < +
2
1 x2 < +
0 x < + 0 x 1
Dom f(x) = [0,1]
Clave: B
9. Determine el rango de la funcin f, definida por f(x) = 65
3x2
arcsen3
2
.
A)
2,0 B)
2,
4C)
2,0 D
