17-Fluidos Estatica Dinamica

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] ltima atualizao: 28/11/2006 11:16 H

9 - Fluidos: Esttica e Dinmica

Fundamentos de Fsica 2 Halliday, Resnick, Walker

4 Edio, LTC, 1996

Fsica 2 Resnick, Halliday, Krane

4 Edio, LTC, 1996

Fsica 2 Resnick, Halliday, Krane

5 Edio, LTC, 2003 Cap. 16 - Fluidos Cap. 17 - Esttica dos

FluidosCap. 15 - Esttica dos

Fluidos Cap. 18 - Dinmica dos

FluidosCap. 16 - Dinmica dos

Fluidos

Prof. Anderson (Itacar, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FSICA 2

CAPTULO 16 - FLUIDOS

EXERCCIOS E PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 90

[Incio documento]

[Incio seo] [Incio documento]

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fsica 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 16 Fluidos

2


RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FSICA 2

CAPTULO 17 - ESTTICA DOS FLUIDOS

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

[Incio documento]

06. Em 1654, Otto von Guericke, prefeito de Magdeburgo e inventor da bomba de vcuo, realizou

uma demonstrao diante do Conselho Imperial, em que duas parelhas de cavalos no foram capazes de separar dois hemisfrios de lato no interior dos quais se havia feito vcuo. (a) Mostre que a fora F necessria para separar os hemisfrios F = R2, onde R o raio (externo) dos hemisfrios e a diferena entre a parte interna e a externa da esfera (Fig. 18). (b) Supondo R = 0,305 m e a presso interna igual a 0,100 atm, qual a fora que deveriam exercer as parelhas de cavalos para separar os hemisfrios? (c) Porque foram utilizadas duas parelhas de cavalos? No seria suficiente utilizar apenas uma para fazer a demonstrao?

(Pg. 73)

Soluo. (a) Considere o seguinte esquema da situao:

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Esttica dos Fluidos

3


R

y

x

z

d

d

Rd

R sen R dsen

dF

d sen F

d sen F sen

A fora dF que age num elemento de rea dS da superfcie da esfera sujeita a uma diferena de presso p vale: (1) 'dF pdS= A fora que age sobre toda a superfcie esfrica devido a p vale: ' ' sen senF dF = (2) Na Eq. (2), dF sen sen a componente de dF paralela ao eixo y. esta componente que se ope a F, que a fora externa exercida pelos cavalos (confira no esquema acima). O elemento de rea dS dado por: . sendS Rd R d = O resultado acima obtido por meio do produto dos comprimentos dos lados do elemento de rea. 2 sendS R d d = (3) Substituindo-se (1) e (3) em (2): ' 2 2sen senF R p d d = Como as integrais so independentes, podemos fazer:

2' 2 2

0 0sen senF R p d d

= p

p

' 22F R= A fora que agem em cada hemisfrio (F) a metade de F. Logo: 2F R= Podemos notar que a fora em cada hemisfrio o produto da rea do hemisfrio projetada no plano xz (ortogonal ao eixo y), ou seja a rea de uma circunferncia de raio R, pela diferena de presso. (b)

( ) ( ) ( )2 5 50,305 m 1,01 10 Pa 0,100 1,01 10 Pa 26.565,22 NF = = " 26,6 kNF


4


(c) Uma parelha de cavalos seria suficiente, desde que a corda ligada ao outro hemisfrio fosse amarrada em algum lugar fixo e resistente, como um tronco de rvore. Temos que nos lembrar que poca do experimento as leis de Newton, em particular a lei da ao e reao, no eram conhecidas.

[Incio seo] [Incio documento] 13. Um tubo em U simples contm mercrio. Quando 11,2 cm de gua so derramados no ramo

direito, a que altura sobe o mercrio no lado esquerdo, com relao ao seu nvel inicial? (Pg. 73)

Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

hl d

H O2

HgHg Este problema deve ser resolvido tendo-se em vista que as presses nos pontos 1 e 2 so iguais. A presso no ponto 1 vale:

21 0 H Op p gd= + (1)

A presso no ponto 2 vale: 2 0 Hgp p gh= + (2) Igualando-se (1) e (2):

20 0Hg H Op gh p gd + = +

( )

( ) ( )23

3 3

998 kg/m11,2 cm 0,821882 cm

13,6 kg/mH O

Hg

h d= = =10 "

Em relao ao nvel original, o deslocamento d a metade de h, como mostra o esquema:

( )0,821882 cm 0,410941 cm2 2hd = = =" "

0, 411 cmd

[Incio seo] [Incio documento] 14. Na face vertical de uma represa que est voltada contra a corrente do rio, a gua se encontra a

uma profundidade D, como mostra a Fig. 20. Seja L a largura da represa. (a) Determine a fora horizontal exercida sobre a represa pela presso manomtrica da gua e (b) o torque total devido presso manomtrica da gua, aplicado em relao a uma linha que passa pelo ponto O, paralelamente largura da represa. (c) Onde est a linha de ao da fora resultante equivalente?


5


(Pg. 73)


ydy

dF

rO

D

L

Considere um elemento de rea dA, de comprimento L e altura dy (dA = Ldy), localizado a uma profundidade y ao longo da represa. A presso hidrosttica sobre esse elemento de rea vale:

( )ydFp gdA

y= = Onde a densidade da gua da represa. Logo: dF gydA gyLdy = = (1)

0

DF dF gLyd= = y

2

2gLDF =

(b) O elemento de torque d provocado por dF, em relao ao eixo que passa pelo ponto O ao longo da largura da represa, dado por: d d= r F ( ). .sen

2d D y dF =

(2) ( )d D y d = Fdy

Substituindo-se (1) em (2): ( )d gLy D y = ( ) 3 3

0 2 3D D Dd gL y D y dy gL = = =


6


3

6gLD =

(c) A linha de ao da fora resultante (F) a profundidade h, contada a partir da superfcie, onde essa fora deve agir na represa para produzir o torque . Ou seja: = r F ( ) ( ). .sen

2D h F D h F = = (3)

Substituindo-se os resultados dos itens (a) e (b) em (3):

( )3 26 2

gLD gLDD h =

3DD h =

23Dh =


23. Dois recipientes cilndricos idnticos, cujas bases esto no mesmo nvel, contm um lquido de

densidade . A rea de cada base A, mas em um dos recipientes a altura do lquido h1, e no outro, h2. Determine o trabalho realizado pela gravidade para equalizar os nveis quando os dois recipientes so conectados. (Pg. 74)


h1 h2

A B C

h1 - h2 ( - h1 )/2h2 ( - h1 )/2h2

No esquema A, vemos a situao inicial do problema, onde os cilindros da direita e da esquerda acabaram de ser conectados. Para igualar o nvel dos cilindros, podemos fazer uma operao em duas etapas. A primeira etapa consiste em transpor a metade superior da coluna de lquido mais alta para a direita (B). Nesta etapa, nenhum trabalho gravitacional executado. Na segunda etapa, a poro de lquido de altura (h1 h2)/2 dever ser baixada de uma altura tambm igual a (h1 h2)/2. O trabalho gravitacional executado nesta etapa ser:

1 22

h hW mg = Na equao acima, m a massa da coluna lquida de altura (h1 h2)/2. Podemos substituir m por V, em que V o volume dessa coluna. ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Esttica dos Fluidos

7


1 2 1 2 1 22 2

h h h h h hW Vg A g = = 2

( )21 2

4h h

W Ag =

[Incio seo] [Incio documento] 24. Um tubo em U est cheio com um nico lquido homogneo, que temporariamente

comprimido em um dos lados por um pisto. O pisto removido e o nvel do lquido em cada ramo oscila. Mostre que o perodo de oscilao (2L/g)1/2, onde L o comprimento total de lquido no tubo. (Pg. 74)


2xx

Seja a densidade do lquido. Se o nvel de uma das colunas for baixado de uma distncia x, o nvel da outra coluna atingir uma altura 2x em relao primeira. A coluna de altura 2x exercer uma fora gravitacional que ser capaz de acelerar toda a massa lquida (m). Vamos resolver a segunda lei de Newton para o sistema: x xF ma= A fora gravitacional exercida pela coluna lquida 2x corresponde ao produto entre a presso do lquido (p) e a rea da seo reta da coluna (A). O sinal negativo devido fora ter o sentido contrrio ao deslocamento x.

2

2

d xpA mdt

=

2

22d xg xA ALdt

=

2

2

2 0d x g xdt L

+ = (1) A Eq. (1) a equao diferencial do movimento harmnico simples, sendo que o coeficiente de x 2. 2g

L =

Logo:


8

2T =


22LTg

=

[Incio seo] [Incio documento] 28. A trao num fio que sustenta um bloco slido abaixo da superfcie de um lquido (de densidade

maior do que a do slido), T0 quando o vasilhame que o contm (Fig. 23) est em repouso. Mostre que a trao T, aplicada quando o vasilhame sofre uma acelerao a, em sentido vertical para cima, dada por T0 (1 + a/g).

(Pg. 74)

Soluo. Considere o seguinte esquema, onde a situao A corresponde ao sistema em equilbrio (a = 0) e B ao sistema acelerado para cima (a = +aj):

A

E0

T0P

a = 0

B

P

a

E

T x

y

Na situao A temos: 0yF = 0 0 0E T P = (1) 0 0E T P= +Na situao B temos: y yF ma= E T P ma = PT E P a

g=

1 aT E Pg

= + (2)

Precisamos agora de uma relao entre E e E0: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 17 Esttica dos Fluidos

9



10

V 0E g= ( )E g a= + VSendo o lquido supostamente incompressvel, seu volume nas situaes A e B so iguais. Logo:

0E gE g a

= +

01aEg

= + E (3) Substituindo-se (1) em (3):

( )0 01 1 1a aE T P Tg g = + + = + + +

a Pg

(4)

Substituindo-se (4) em (2):

01 1 1a aT T P Pg g

= + + + + ag

01aT Tg

= +

[Incio seo] [Incio documento] 32. Um bloco de madeira flutua na gua com 0,646 do seu volume submerso. No leo, 0,918 do seu

volume fica submerso. Determine a densidade (a) da madeira e (b) do leo. (Pg. 75)

Soluo. Quando o bloco de madeira colocado na gua, observa-se a seguinte situao, onde P o peso do bloco e Ea o empuxo da gua sobre o bloco:

gua

Ea

P

aP E= ( )0,646amg g V= 0,646 a

mV

= (1) Mas m/V a densidade da madeira (m) e a densidade da gua a = 1,00 103 kg/m3. Logo: ( )3 30,646 1,00 10 kg/mm = 3 3646 10 kg/mm = Quando o bloco colocado no leo, observa-se a seguinte situao, onde Eo o empuxo do leo sobre o bloco:


Eo

P leo

oP E= ( )0,918omg g V= 0,918 o

mV

= (2) Igualando-se (1) e (2):

( )3 30,646 0,70370 1,00 10 kg/m0,918o a = = " 3 3704 10 kg/mo

[Incio seo] [Incio documento] 37. Um objeto cbico cuja aresta mede L = 0,608 m e cujo peso P = 4.450 N, no vcuo, pende da

extremidade de um fio dentro de um tanque aberto cheio de um lquido de densidade = 944 kg/m3, como mostra a Fig. 25. (a) Determine a fora total para baixo, exercida pelo lquido e pela atmosfera, no topo do objeto. (b) Determine a fora total para cima, aplicada no fundo do objeto. (c) Determine a tenso no fio. (d) Calcule a fora de empuxo sobre o objeto, aplicando o princpio de Arquimedes. Que relao existe entre essas trs quantidades?

(Pg. 75)

Soluo. Considere o seguinte esquema das foras que agem sobre o corpo submerso:


11


yT

P

Fi

Fs

(a) A fora exercida na parte superior do corpo (Fs) igual presso total nessa regio (ps) multiplicada pela rea da parte superior do corpo (A): s sF p A= A presso total na parte superior do corpo igual soma da presso atmosfrica (p0) e da presso exercida pelo lquido profundidade L/2:

0 38.376,75 N2sLF p g A = + = "

38,4 kNsF (b) A presso total na parte inferior do corpo (pi) vale: i iF p A= 20 2i

LF p g L L = + +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )25 3 2 0,608 m1,01 Pa 944 kg/m 9,81 m/s 0,608 m 0,608 m2iF = 10 + + 40.458,13 NiF = " 40,5 kNiF (c) A tenso no fio (T) obtida por meio da condio de equilbrio esttico do corpo, em que P o peso do corpo: 0yF = 0i sT F F P+ = ( ) ( ) ( )38.376,75 N 4.450 N 40.458,13 N 2.368,88 Ns iT F P F= + = + =" " " 2,37 kNT (d) A fora de empuxo (E) vale:

( )( )( )33 3 2944 kg/m 9,81 m/s 0,608 m 2.081,38 NE gV gL = = = = " 2,08 kNE A relao entre essas foras : i sE F F=



12


41. Uma casca esfrica oca, feita de ferro, flutua quase completamente submersa na gua; veja a Fig. 27. O dimetro externo de 58,7 cm e a densidade do ferro de 7,87 g/cm3. Determine o dimetro interno da casca.

(Pg. 75)


D/2

d/2x

y

gua

P

E

Nas equaes a seguir, P o peso da casca esfrica, E o empuxo que a gua exerce sobre a casca, Fe e gua so as densidades da casca e da gua, VInt e VExt so os volumes interno e externo da casca e mFe a massa da casca. A casca esfrica oca est em equilbrio, logo: 0yF = 0P E = Fe Extguam g gV= ( )Fe Ext Int Extguag V V gV =

3 34 43 2 2 3 2Fe gua

D d Dg g = 3

3 3 guaFe

D d D3 =

3 3 1 guaFe

d D

=

( ) ( )( )1/31/3 3

3

0,998 g/cm1 58,7 cm 1 56,1057 cm

7,87 g/cmgua

Fe

d D

= = = "

56,1 cmd

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13


43. Trs crianas, cada uma pesando 366,5 N, constroem uma jangada amarrando toras de madeira de 0,32 m de dimetro e 1,77 de comprimento. Quantas toras sero necessrias para manter as crianas tona? Considere a densidade da madeira como sendo 757,7 kg/m3. (Pg. 76)


gua

Ea

Pt

Pc

Na situao de equilbrio, o peso de n toras (cada uma pesando Pt) somado ao peso das trs crianas (cada uma pesando Pc) ser igual ao empuxo exercido pela gua (Ea): 3 c tP nP E+ = a

)c

)

( ) (3 c t t a tP g nV g nV + = ( ) 3t a tngV P = (

3 ct a t

PngV = (1)

Na Eq. (1), Vt o volume e t a densidade de cada tora e a a densidade da gua. O volume de cada tora, em que l o seu comprimento e d o seu dimetro, vale:

2

2tdV l =

2

4tldV = (2)


( )212 c

a t

Pnlgd =

( )( )( )( ) ( ) ( )22 3 312 366,5 N

3,27641,77 m 9,81 m/s 0,32 m 998 kg/m 757,7 kg/m

n = = "

Aqui no possvel arredondar o resultado para 3. Caso isto seja feito, o uso de trs toras no ir suportar o peso das crianas, j que uma frao de tora ainda seria necessria (0,249...) para equilibrar o sistema. Portanto, necessrio acrescentar mais uma tora para satisfazer condio de flutuabilidade. 4 torasn =



14



FSICA 2

CAPTULO 18 - DINMICA DOS FLUIDOS

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

[Incio documento]

12. Em um furaco, o ar (densidade 1,2 kg/m3) sopra sobre o telhado de uma casa a 110 km/h. (a)

Qual a diferena de presso entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b) Qual o mdulo da fora devida a esta diferena de presso sobre um teto de 93 m2? (Pg. 94)

Soluo. Considere o seguinte esquema da situao, onde A a rea do telhado:

Aie

F

ve

(a) Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do telhado da casa:

2 21 12 2i i i e e

p gy v p gy ve + + = + + A presso no interior a presso atmosfrica (p0), enquanto que a presso no exterior p. Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo nvel em relao ao solo, teremos yi = ye = y. Pode-se considerar que a velocidade do ar no interior (vi) aproximadamente zero. Logo:

2102i e

p gy p gy ve + + = + +

( ) 22 31 1 1101,2 kg/m m/s 560,1851 Pa2 2 3,6i e e

p p v = = = " 560 Pai ep p

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15(b)


( ) ( )( )2560,1851 Pa 93 m 52.097, 222 Ni eF p p A= = =" " 52 kNF Esta fora equivalente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco carros de passeio.

[Incio seo] [Incio documento] 13. As janelas de um edifcio medem 4,26 m por 5,26 m. Num dia de tempestade, o vento est

soprando a 28 m/s paralelamente a uma janela do 53o andar. Calcule a fora resultante sobre a janela. A densidade do ar 1,23 kg/m3. (Pg. 94)

Soluo. Aplicando-se a equao de Bernoulli a pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) da janela do prdio:

2 21 12 2i i i e e

p gy v p gy ve + + = + + Considerando-se que a presso no interior a presso atmosfrica (p0), que a presso no exterior p, que yi = ye e que a velocidade do ar no interior (vi) aproximadamente zero, teremos:

2012

p p v + Nesta equao, chamamos a velocidade do ar no exterior simplesmente de v. Logo:

2012

p p v (1) A fora resultante sobre o vidro ser: ( ) ( )0 0F p p A p p DH= = (2) Na Eq. (2), D a largura e H a altura da janela. Substituindo-se (1) em (2):

( )( ) ( )( )22 31 1 1,23 kg/m 28 m/s 4, 26 m 5,26 m 10.804,048 N2 2F v DH = = " 10,8 kNF Esta fora exercida de dentro para fora do edifcio. Quanto maior for a velocidade do vento no exterior, maior ser a diferena de presso sobre a janela e, portanto, maior ser a fora. Caso esta fora seja maior que a fora mxima de coeso do material que compe o vidro, haver ruptura do mesmo.

[Incio seo] [Incio documento] 15. A Fig. 30 mostra um lquido escoando por um orifcio em um tanque de grandes dimenses a

uma distncia h abaixo da superfcie do lquido. O tanque aberto na parte superior. (a) Aplicando a equao de Bernoulli linha de corrente que liga os pontos 1, 2 e 3, mostre que a velocidade com que o lquido sai do orifcio 2v g= h . Este resultado conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a sada do orifcio apontasse diretamente para cima, qual seria a altura mxima atingida pelo jato de lquido? (c) Como a


16


viscosidade ou a turbulncia afetariam a sua anlise?

(Pg. 94)


v

y

0

h 1

2

Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos:

2 21 1 1 2 21 12 2

p gy v p gy v2 + + = + + A anlise da situao revela que p1 = p2 = p0, em que p0 a presso atmosfrica. Considerando-se que o dimetro do tanque muito maior do que o dimetro do orifcio, temos que v1


20 010 02

p v p gh + + = + +max Substituindo-se o resultado do item (a):

max1 22

gh gh = maxh h= Este resultado esperado, pois sendo o fluido ideal no h dissipao de energia mecnica durante o fluxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial que convertida em energia cintica no item (a) reconvertida em potencial no item (b). (c) A viscosidade do lquido dissiparia parte da energia mecnica do sistema, enquanto que a turbulncia ocasionaria perda de presso. Em ambos os casos, o resultado prtico seria a diminuio da velocidade de sada do fluido em (a) e da altura em (b).

[Incio seo] [Incio documento] 16. Um tanque contm gua at a altura H. feito um pequeno orifcio em sua parede,

profundidade h abaixo da superfcie da gua (Fig. 31). (a) Mostre que a distncia x da base da parede at onde o jato atinge o solo dado por x = 2 [h(H h)]1/2. (b) Poderia ser perfurado um orifcio a outra profundidade, de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deveria ser feito um pequeno orifcio para que a gua que sair por ele atinja o solo distncia mxima da base. Qual esta distncia mxima?

(Pg. 94)


v2

x

H

1

2

y

h

x ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 Dinmica dos Fluidos

18


Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos 1 e 2:

2 21 1 1 2 21 12 2

p gy v p gy v2 + + = + +

20 1 0 21 102 2

p gy p gy 2v + + = + +

( ) 21 2 12g y y v2 = Como y1 y2 = h, temos: 2 2v = gh (1) Na coordenada x, o jato de fluido possui velocidade constante: 0 xx x v= + t 20x v t= + (2) Substituindo-se (1) em (2):

2x t gh= (3) Na coordenada y, o jato de fluido possui movimento com acelerao constante:

20 012y

y y v t at = +

2010 02

y t gt =

( ) 212

H h gt =

( )2 H htg= (4)

Na Eq. (4), t o tempo que o jato de fluido leva para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3):

( )2 2H h ghxg

=

( )2x H h h= (5) (b) Sim. Veja o esquema a seguir.

x

H

1y

h

x

h

A outra profundidade (h) deve produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expresso:


19


( ) ( )' '2 2x H h h H h h= = ( ) ( )' 'H h h H h h = ( )'2 ' 2 0h Hh Hh h + =As razes desta equao so: '1h h= '2h H= hLogo: 'h H h= (c) O alcance mximo obtido derivando-se (5) em relao a h e igualando-se o resultado a zero (ponto de mximo da funo):

( )( )2 0dx d H h hdh dh= = ( )

2 0H hH h h

=

2Hh =


20. A gua represada por um dique tem 15,2 m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm de

dimetro passa atravs do dique 6,15 m abaixo da superfcie da gua, como ilustra a Fig. 34. A extremidade do cano no lado seco do dique est tampada. (a) Calcule a fora de atrito entre a parede do cano e a tampa. (b) A tampa removida. Qual o volume de gua que escoa pelo cano em 3 horas?

(Pg. 94)



20


h

y

0

1

2

3 d/2

fatF

(a) Para que a rolha permanea em equilbrio esttico na horizontal (coordenada x), a fora devido presso hidrosttica, exercida da esquerda para a direita, deve ter o mesmo mdulo da fora de atrito esttico entre a rolha e a represa, exercida da direita para a esquerda. Logo:

( ) 22 2 2atdf F p A gh = = =

( )( )( )( )23 22 998 kg/m 9,81 m/s 6,15 m 0,043 m

87, 4382 N4 4atghdf

= = = " 87 Natf (b) Considere agora o seguinte esquema para a nova situao:

h

y

0

1

2

3 d/2v3

Para determinar o volume escoado preciso calcular a vazo, que por sua vez depende do clculo da velocidade de escoamento (v3). Este feito por meio da aplicao da equao de Bernoulli aos pontos 1 e 3:

2 21 1 1 3 31 12 2

p gy v p gy v3 + + = + +

20 1 0 31 102 2

p gy p gy v3 + + = + +

( ) 21 3 12g y y v3 = Como y1 y3 = h, temos: 3 2v g= h A vazo no ponto 3 (Vz) vale:

2

3 3 22zV dV A vt

= = = gh


21


2

24dV gh = t

( ) ( )( )2 2 30,043 m 3.600 s2 9,81 m/s 6,15 m 3 h 172,2810 m4 hV = = "

3170 mV

[Incio seo] [Incio documento] 21. Um sifo um dispositivo para remover lquidos de um recipiente que no pode ser tombado.

Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas to logo isso tenha sido feito, o lquido escoar at que seu nvel paire abaixo da abertura do tubo em A. O lquido tem densidade e viscosidade desprezvel. (a) Com que velocidade o lquido sai do tubo em C? (b) Qual a presso no lquido no ponto mximo B? (c) Qual a maior altura possvel h1, a que um sifo pode fazer subir a gua?

y

0

(Pg. 95)

Soluo. (a) Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos S e C, teremos:

2 21 12 2S S S C C

p gy v p gy vC + + = + + Como vS


( ) 21 2 01 02 2B Bp g d h h v p 21

Cv + + + + = + + (1) De acordo com a equao de continuidade, temos: B B C CA v A v=Como AB = AB C, isto implica em vBB

0

= vC. Aplicando-se este raciocnio em (1), teremos: ( )1 2Bp g d h h p+ + + = ( )0 1B 2p p g d h h= + + (c) Uma das condies que limitam a altura h1 a velocidade com que o lquido passa pelo ponto B. Quanto maior for h1, menor ser vB. O maior valor que hB 1 pode ter quando vBB = 0. Logo, aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos S e B, teremos:

2 21 12 2S S S B B

p gy v p gy vB + + = + +

1

( ) ( )0 2 1 20 0Bp g d h p g d h h + + + = + + + + 0 Bp p gh= + (2) Na Eq. (2), a soma pB + ghB 1 deve ter o valor constante p0 (presso atmosfrica). Quanto maior for h1, menor dever ser pBB para que a soma continue dando p0. O limite dessa situao ocorre quando pB = 0. Neste caso, hB

max

1 = h1max. Portanto: 0 10p gh= +

( )

( )( )5

01max 3 2

1,01 Pa10,3162 m

998 kg/m 9,81 m/sphg

10= = = "

1max 10,3 mh

[Incio seo] [Incio documento] 25. Um tubo oco est colado, em uma das extremidades, a um disco DD (Fig. 37). O conjunto

colocado um pouco acima de um outro disco CC de papelo. Soprando-se pelo tubo, o disco CC atrado para DD. Seja A a rea do papelo e v a velocidade mdia do ar entre CC e DD. Determinar a fora dirigida para cima que atua no papelo, cujo peso deve ser desprezado. Suponha que v0


1

2v-v

Fresp0

p

A fora resultante sobre o papelo vale: (1) ( )0res resF p A p p= = APara calcular pB, aplicamos a equao de Bernoulli aos pontos 1 e 2: B

2 21 1 1 2 21 12 2

p gy v p gy v2 + + = + + Como p1 = p0, gy1 gy2 (a presso exercida por uma coluna de ar pequena desprezvel) e v0


vi

vs

S

A

B

A fora de sustentao (S) a fora resultante da diferena de presso do ar imediatamente acima e abaixo da asa (pi > ps). (1) (res i sF S p p= = ) AO termo pi ps pode ser calculado por meio da aplicao da equao de Bernoulli s linhas de corrente do ar bem prximas asa, nas partes superior e inferior:

2 21 12 2s s s i i

p gy v p gy vi + + = + + Como gys gyi (a presso exercida por uma coluna de ar pequena desprezvel), teremos: ( 2 21

2i s s ip p v v ) (2)


( )2 212 s i

S A v v A equao de Bernoulli somente tem validade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes, o escoamento alm de ser estacionrio, incompressvel e no-viscoso, dever ser irrotacional. Para que seja irrotacional e homogneo, as linhas de corrente do escoamento devem ser paralelas e igualmente espaadas, como no esquema abaixo:

No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do avio, essa condio no satisfeita. Pode-se obter boa aproximao ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente prximas asa, acima e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial.

[Incio seo] [Incio documento] 31. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos 1 e

2, e a equao de continuidade (Eq. 3), verifique a Eq. 11 para a velocidade do escoamento no ponto 1. Eq. 3 1 1 2 2A v A v=

( )'

2 2

2 ghv aA a

= Eq. 11


25


(Pg. 96)

Soluo. Aplicando-se a equao de continuidade aos pontos 1 e 2, teremos: 1 1 2 2A v A v= 1 12

2

A vvA

= (1) Aplicando-se a equao de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos:

2 21 1 1 2 21 12 2

p gy v p gy v2 + + = + + Como os pontos 1 e 2 esto no mesmo nvel em relao ao solo horizontal, temos y1 = y2. Logo:

2 21 2 21 12 2

p p v v1 = Mas, p1 p2 = gh, em que a densidade do lquido no tubo curvo. Logo: ( )' 22 112gh v v = 2

'2 22 1

2 ghv v = (2) Substituindo-se (1) em (2):

2 '

21 11

2

2A v ghvA

=

'

21 2 2

1 222

2 ghvA A

A

=

( )'

1 2 2 21 2

2 ghv AA A

=



26



FSICA 2

CAPTULO 15 - ESTTICA DOS FLUIDOS

EXERCCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

[Incio documento]



27



FSICA 2

CAPTULO 16 - DINMICA DOS FLUIDOS

EXERCCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

[Incio documento]

05. (a) Considere um fluido de massa especfica que escoa com velocidade v1 e passa

abruptamente de uma tubulao cilndrica com rea de seo transversal a1, para outra tubulao cilndrica mais larga, cuja rea de seo transversal a2 (veja a Fig. 36). O jato de lquido que emerge da tubulao estreita mistura-se com o que se encontra na tubulao mais larga, depois ele escoa quase uniformemente com velocidade mdia v2. Sem se preocupar com os detalhes de menor importncia relacionados mistura, utilize o conceito de momento linear para mostrar que o aumento de presso devido mistura aproximadamente igual a ( )2 1 2 2 1p p v v v = . (b) Mostre, partindo-se da equao de Bernoulli, que em uma tubulao cuja seo transversal aumente gradativamente, esta diferena de presso pode ser expressa por

( )2 22 1 1 212p p v v = . (c) Determine a perda de presso devida ao alargamento brusco da tubulao. Voc seria capaz de fazer uma analogia com os choques elsticos e inelsticos entre partculas, estudados na mecnica?

(Pg. 96)


28Soluo.


(a) Vamos considerar uma poro do fluido de massa m que ocupe a regio de turbulncia durante um intervalo de tempo t. Uma vez que a presso deve ser contnua, esperamos que no ponto A, imediatamente aps o estreitamento e no limite esquerdo de m, a presso seja p1 e no ponto B, imediatamente aps a regio de turbulncia e no limite direito de m, seja p2. Veja o esquema a seguir.

v p1 1, v p2 2, A B

m

a1 a2x

y

z

A fora horizontal resultante F sobre a poro de massa m dada por: 1 2 2 2p a p a= F i i ( )1 2 2p p a= F i Como o escoamento estacionrio antes e aps a regio de turbulncia (antes do ponto A e aps o ponto B), o momento linear de m antes de ocupar a regio de turbulncia : 1 1mv=p iE aps ocupar a regio de turbulncia : 2 2mv=p iA variao do momento linear p sofrida por m igual ao impulso recebido pela fora resultante devido variao de presso quando esta ocupa a regio de turbulncia. Sendo t o intervalo de tempo que m permanece na regio de turbulncia, temos: 2 1 t = =p p p F ( )2 1 1 2 2mv mv p p a t = i i i (2 1 1 2

2

1 mp p v va t = ) (1)

Como a vazo mssica a mesma antes e aps a turbulncia, temos:

1 1 2 2m a v a vt

= = (2) Substituindo-se (2) em (1):

( )2 1 2 2 1 22

1p p a v v va

=

( )2 1 2 1 2p p v v v = Note que se tivssemos substitudo (2) em (1) da forma seguinte:

(2 1 1 1 1 22

1p p a v v va

= ) (3) Da equao de continuidade temos: (4) 1 1 2 2a v a v=Substituindo-se (4) em (3): ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 5a Ed. - LTC - 2003. Cap. 16 Dinmica dos Fluidos

29


( )2 1 2 2 1 22

1p p a v v va

=

( )2 1 2 1 2p p v v v = (b) No caso de o fluxo ser estacionrio ao longo de toda a tubulao, podemos aplicar a equao de Bernoulli:

2 21 1 1 2 21 12 2

p gy v p gy v2 + + = + + Desprezando-se a variao de nvel na tubulao (y1 = y2):

2 21 1 21 12 2

p v p 2v + = +

( )2 22 1 1 212p p v v = (c) A perda de presso p corresponde diferena das respostas obtidas nos itens (b) e (a): ( ) ( )2 21 2 2 1 212p v v v v = v ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 21 1 12 2 22 2 2p v v v v v v v v v v v v v v = = + = + 2 ( )21 212p v v =



30

17-Fluidos Estatica Dinamica

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